CÂU CHUYỆN KHOA HỌC 79 /b

LẠM BÀN I:
-Không có trực giác, đã không có nhận thức thế giới.
-Tư duy lý trí là con đẻ của trực giác.
-Thế giới thực tại rộng lớn và sâu sắc đến cùng cực, trong khi khả năng trực giác của con người lại hạn định, do đó tư duy lý trí phải hóa thân thành tư duy trừu tượng, lấy suy tư lôgic phi thực chứng làm công cụ để tiếp tục nhận thức thế giới.
-Đó là lý do vì sao khoa học ngày nay bấp bênh đến thế.
-Computer vĩnh viễn là tư duy máy móc, không phải là tư duy trừu tượng của não người. Do đó nó không bao giờ có thể "đẻ ra" một lý thuyết khoa học mới nào.
-Nếu Trái Đất tồn tại đủ lâu thì câu “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết!” sẽ là một chân lý chắc chắn.
-Tình yêu sinh ra từ bản năng sinh tồn và sự thấm thía về nỗi thống khổ của con người. Do đó có thể nói: tình yêu sinh ra Chúa chứ không phải do Chúa sinh ra!
LẠM BÀN II:
-1.Bản chất tận cùng của vật chất và lực? Bản chất vật chất là không gian. Không gian là Tồn Tại. Lực là sự thể hiện của Tồn Tại và sự cố gắng (nỗ lực) thể hiện trạng thái vốn có của tồn tại (tương đối).
2.Nguồn gốc của chuyển động? Đặc tính cơ bản của Tồn Tại là thường biến. Biểu hiện cuối cùng về tính thường biến của vật chất là chuyển động. Chuyển động là vật chất thay đổi trạng thái, vị trí trong không gian.
3.Nguồn gốc sự sống? Biểu hiện về tính đầy đủ của thực tại khách quan là Tồn Tại hình như phân ra làm hai thể tương phản nhau: thụ động - chủ động trong cố gắng tồn tại. Quá trình chuyển hóa từ thụ động sang chủ động trong cố gắng tồn tại là nguồn gốc sinh ra sự sống. Sống là cố gắng sống còn.
4.Tại sao tự nhiên sắp xếp dường như có mục đích? Vì không thể có Hư Vô.
5.Nguồn gốc của những khả năng cảm thụ đơn giản? Một tồn tại không thể tồn tại được nếu xung quanh không biết nó tồn tại. Sự biết đó có được nhờ thông qua tác dụng tương hỗ (tác dụng lực).
6.Nguồn gốc của tư duy thông minh và ngôn ngữ? Trong thiên nhiên hữu hạn, sinh vật phải đấu tranh sinh tồn bằng tiến hóa - thích nghi để sống còn. Tiến hóa - thích nghi là nguồn gốc của tư duy thông minh và ngôn ngữ.
7.Bản chất của tự do ý chí (freewill)? Lựa chọn và được lựa chọn thực hiện phương cách bản thân mình cho là tối ưu để sống còn.
-Câu hỏi hắc búa nhất và cũng là cuối cùng của nhận thức loài người (có thể vĩnh viễn bó tay!): không gian là gì?
-HỌC THUYẾT DARWIN về cơ bản là chân lý chắc chắn, có thể phản biện nhưng không thể bác bỏ được'
-Vũ trụ chuyển hóa và vận động sao cho Tồn Tại được bảo toàn. Đó là tất định!
-Thực tại khách quan là xác định! Chỉ có con người là bất định!
-Toán học, khi thoát ra khỏi phạm vi thực dụng của nó, sẽ trở thành huyễn hoặc và bất toàn. Phải chăng huyễn hoặc và bất toàn lại là bản chất của Vũ Trụ trong miền trừu tượng!?
-Rồi đây, như một tất yếu, nhận thức thế giới thực tại của loài người sẽ đứng dưới bầu trời của duy nhất một học thuyết thống nhất vĩ đại - "HỌC THUYẾT VỀ MỌI THỨ".
 (ĐC sưu tầm trên NET)

 

Kurt Goldel định lý bất toàn

VỀ TÍNH BẤT TOÀN: TỪ PASCAL ĐẾN GODEL (On the Incompleteness: From Pascal to Godel)

• 10 phản hồi

Abstract: Blaise Pascal and Kurt Gödel were two great mathematicians, who lived in three centuries apart, but having many resemblances in their schools of thoughts; While Pascal came first to point out the imperfection of mathematics, Gödel put an end for the pursuit of mathematics completeness by proclaiming the Theorem of Incompleteness in 1931. It may not be certain if Gödel had been influenced by Pascal but the concurrence of thoughts between these two geniuses is certainly interesting and worthy of further reflection. Tóm tắt: Blaise Pascal và Kurt Godel là hai nhà toán học vĩ đại sống cách nhau ba thế kỷ, nhưng có những điểm rất tương đồng về mặt tư tưởng: Pascal là người đầu tiên chỉ ra tính bất toàn của Toán học, Godel là người đặt dấu chấm hết cho cuộc thảo luận về tính đầy đủ của toán học khi ông loan báo Định lý Bất toàn. Không rõ Godel có chịu ảnh hưởng gì từ Pascal hay không, nhưng cuộc gặp gỡ tư tưởng giữa hai thiên tài này chắc chắn là một chủ đề rất thú vị và có nhiều ý nghĩa để tiếp tục suy ngẫm.

[1] – GODEL ĐI TRƯỚC THỜI ĐẠI CỦA ÔNG QUÁ XA

Cách đây ngót hai chục năm, khi mới chân ướt chân ráo đến Úc, tôi bị shock khi trông thấy một định lý toán học vĩ đại mà mấy chục năm trước đó ở Việt Nam tôi không hề biết, không hề được nghe ai nói đến. Đó là Theorem of Incompleteness của Kurt Godel, ra đời năm 1931, mà lẽ ra thế hệ tôi, sinh viên ngành Toán Đại học Tổng hợp Hanoi những năm đầu thập kỷ 1960, phải biết rõ và thuộc làu. Vậy mà chúng tôi không hề biết. Rõ ràng có một cái gì đó không ổn. Tại sao một định lý quan trọng như thế mà không ai nhắc đến? Ký ức tôi vẫn ghi nhớ hình ảnh Giáo sư Tạ Quang Bửu những năm đầu thập kỷ 1960 rất hăng hái truyền bá các tư tưởng toán học hiện đại. Trí nhớ mách tôi rằng ông nhiệt tình cổ võ tư tưởng Bourbaki (một trường phái toán học Pháp chạy theo đường lối Siêu-Toán-học của David Hilbert) và chẳng hề đả động gì đến Godel. Có nghĩa là đến tận những năm 1960, đường lối Siêu-Toán-học của Hilbert vẫn còn khuynh đảo thế giới, mặc dù về lý thuyết, nó đã bị định lý của Godel bác bỏ từ 1931 (1). Thế mới biết sự lấn lướt của trường phái Hilbert thật ghê gớm. Một bộ óc uyên bác với trái tim khoa học rực cháy như GS Tạ Quang Bửu cũng bị cuốn theo Bourbaki, chẳng quan tâm gì tới Godel. Thậm chí có thể ông không hề biết Godel, bởi nếu biết thì rất khó để cưỡng lại sức hấp dẫn của nó. Sự thật này nói lên rằng không phải vì Việt Nam nghèo thông tin nên thế hệ tôi không biết gì về Godel, mà chắc chắn phải có một cái gì đó không ổn trong thế giới toán học làm cho tên tuổi Godel bị chìm đi. Để tìm hiểu hiện tượng này, gần đây người ta đã tiến hành một cuộc thăm dò dư luận, với ba tên tuổi lớn trong khoa học thế kỷ 20 là Einstein, Heisenberg và Godel. Kết quả: 100% người được hỏi đều biết Einstein là ai; khoảng 50% biết Heisenberg; dưới 5% biết Godel. Đó là thăm dò gần đây. Nếu thăm dò vào thời điểm 1960, khi Bourbaki đang nổi như sóng cồn (được ca ngợi là “Euclid của thế kỷ 20”), thì e rằng không ai biết Godel!
Thật là trớ trêu, trong khi thiên hạ không thèm biết Godel là ai thì nhà bác học vĩ đại nhất thế kỷ 20 là Einstein lại “mê” Godel đến nỗi nói với mọi người rằng ông đến trường đại học chỉ cốt để gặp Godel (hai ông cùng là giáo sư Viện nghiên cứu cao cấp ở Princeton của Mỹ trong thập kỷ 1940). Từ đó suy ra rằng, chỉ có thiên tài mới nhận ra thiên tài, chỉ có anh hùng mới nhận ra anh hùng. Kẻ tầm thường không nhận ra anh hùng, thậm chí còn đố kị ghen ghét anh hùng. Đó là lẽ đời. Thế giới toán học cũng không phải là ngoại lệ.
Tóm lại, dưới ánh sáng của lịch sử khoa học, không quá khó hiểu để giải thích vì sao tên tuổi Godel bị chìm trong thế kỷ 20. Đơn giản vì tư tưởng của Godel đã vượt quá xa những nhà toán học cùng thời. Đa số không hiểu ông, một thiểu số ngấm ngầm chống lại ông, cố tình tảng lờ định lý của ông, vì định lý ấy làm tan giấc mộng vàng của họ – giấc mộng Siêu-Toán-học.
Thực ra không phải chỉ có Einstein mới nhận ra Godel. Một nhân vật xuất chúng khác không thể không nhắc đến, đó là John Von Newman, cha đẻ của chiếc computer đầu tiên. Newman vốn là một nhà toán học xuất sắc đi theo Chương trình Hilbert. Nhưng lúc đang ở Mỹ, ngay khi vừa biết Định lý Bất toàn, ông lập tức ngừng các bài giảng về Chương trình Hilbert, và thay thế bằng bài giảng về Định lý Godel. Tuy nhiên cá nhân Newman không đủ lực để chống lại cỗ máy hùng hậu của Chương trình Hilbert trên toàn thế giới. Bản thân Hilbert lúc ấy vẫn còn sống. Ông không hề thay đổi quan điểm, thậm chí vẫn tiếp tục viết sách truyền bá chương trình của mình. Ông mất năm 1943 và không một lúc nào hé răng thừa nhận Định lý Bất toàn, thừa nhận thất bại của bản thân. Những người chịu ảnh hưởng của ông cũng vậy. Trường phái Bourbaki là thí dụ điển hình. Thậm chí tư tưởng Bourbaki lan cả vào trường học, tạo nên trào lưu “Toán học Mới” (Nouvelles Mathématiques), gây nên thảm họa giáo dục tại Pháp trong những năm 1950-1960. GS Phạm Xuân Yêm ở Pháp (2), trong một email trao đổi với tôi, cho biết chính ông là một nạn nhân của Toán học Mới. Ông chán nó đến mức bỏ ban Toán, chuyển sang ban Vật lý. Những người tỉnh táo sáng suốt như GS Yêm không nhiều. Toán học Mới đã sụp đổ tại Pháp, nhưng di căn của nó vẫn có thể thấy tại Việt Nam. Và bây giờ xin trở lại với Godel.
Cuối thế kỷ 20, thời thế đã thay đổi, gió đã đổi chiều. Khoa học computer đã làm cho nhân loại giật mình để tái khám phá ra một Godel vĩ đại. Bây giờ tôi phải kể tiếp câu chuyện ở trên. Ngay khi mới đến Úc, tôi đã thích sục sạo trong thư viện và hiệu sách. Hồi ấy internet còn sơ khai lắm, nên sách là nguồn thông tin chủ yếu. Bước chân vào một hiệu sách sang trọng đối diện với Broadway Shopping Centre, một hình ảnh nổi bật đập vào mắt tôi, đó là mô hình Tam giác Penrose, nhan nhản trên các trang bìa của nhiều cuốn sách về Godel.

Sự thật trớ trêu thế đấy! Một khám phá từ 1931, vậy mà cuối thế kỷ 20 mới nở rộ trên diễn đàn học thuật. “Better late than never”, muộn còn hơn không bao giờ! Tôi vớ lấy sách, ngắm nghía Tam giác kỳ cục của Penrose. Cấu trúc bất khả (impossible structure) của nó kích thích trí tò mò của tôi. Và chỉ cần lướt qua vài trang đầu tôi đã choáng váng biết ngay mình đã va phải một bức tường của một lâu đài kỳ vĩ về tư tưởng – Theorem of Incompleteness của Kurt Godel. Tam giác Penrose là một minh họa tiêu biểu cho tư tưởng đó.
Mua sách về đọc. Càng đọc càng thấy hấp dẫn, càng vỡ nhẽ ra rằng định lý này quá quan trọng, nó như một túi khôn hơn là một câu chuyện thuần túy toán học. Tôi viết ngay một bài báo với tiêu đề “Possible & Impossible”, gửi tới tạp chí SIGNS of the Times, và lập tức được hoan nghênh. Nhưng thiết thực hơn, tôi gửi ngay thông tin về Godel tới các diễn đàn tiếng Việt cả trong lẫn ngoài nước. Kể từ đó, Theorem of Incompleteness đã được Việt Nam hóa dưới tên gọi Định lý Bất toàn.
Tên gọi ấy bật ra từ trong tâm khảm tôi ngay sau khi tôi nắm bắt được tư tưởng cơ bản của nó. Tôi không dịch, mà cảm – cảm thấu ý nghĩa của định lý để bật ra tên gọi của nó. Nếu dịch thì phải là “định lý về tính không đầy đủ”. Nhưng mấy chữ “không đầy đủ” trong tiếng Việt không đủ để làm rõ tư tưởng của định lý này. Thật vậy, định lý Godel đã chỉ ra rằng toán học không thể đầy đủ; muốn đầy đủ thì không tránh khỏi mâu thuẫn; muốn tránh mâu thuẫn thì phải chấp nhận không đầy đủ; trong toán học tồn tại những mệnh đề bất khả quyết định (undecidable) – không thể chứng minh và cũng không thể phủ nhận,…
Tóm lại, Toán học là bất toàn! Đó là cảm nhận trực tiếp của tôi về định lý của Godel, sau khi đọc cuốn “Impossibility” của John Barrow. Tôi thực sự mê cuốn sách đó vì tính triết học của nó. Thật vậy, Định lý Godel kéo theo hàng loạt hệ quả triết học về nhận thức, hối thúc chúng ta điều chỉnh lại cách nhìn về thế giới, nếu không muốn trở nên lạc hậu hoặc sai lầm ngộ nhận, giống như sự ngộ nhận của những người chạy theo Siêu-Toán-học ngộ nhận về bản chất của Toán học, tưởng rằng Toán học là những chân lý khách quan hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực, độc lập với bộ não của con người, và trước sau con người sẽ khám phá ra tất cả những chân lý khách quan đó. Định lý Godel chứng minh rằng đó ngộ nhận và không tưởng.
Định lý Godel dạy rằng Toán học xét cho cùng cũng chỉ là một tập hợp những kinh nghiệm của con người, giống như các dạng nhận thức khác. Toán học không cao hơn và cũng không thấp hơn các dạng nhận thức khác. Toán học cùng với các dạng nhận thức khác bổ sung cho nhau để cùng mô tả hiện thực. Mỗi dạng nhận thức có những đặc thù riêng, ưu thế riêng, nhưng không mâu thuẫn với nhau, mà bổ sung cho nhau. Hóa ra Định lý Bất toàn cũng dẫn tới hệ quả phù hợp với Nguyên lý Bổ sung (Complementarity Principle) của Niels Bohr. Đúng là tư tưởng lớn gặp nhau!
Vì thế đối với tôi, trong gần hai chục năm qua, câu chuyện về bất toàn trở thành chủ đề hấp dẫn nhất và có ý nghĩa nhất. Tôi thích chủ đề bất toàn đến nỗi trong một seminar gần đây tại Hanoi, một cựu GS vật lý của Đại học Bách khoa Hanoi nhận xét: “Tôi thấy anh Hưng là một đệ tử trung thành của Godel, lúc nào cũng nhắc đến Godel,…”. GS đó nói đúng, nhưng không đầy đủ. Vì thực ra tôi còn đặc biệt quan tâm tới đến những tư tưởng tiền thân của Godel, điển hình là Blaise Pascal.

[2] – PASCAL, NGƯỜI ĐẦU TIÊN NÊU LÊN TÍNH BẤT TOÀN CỦA TOÁN HỌC

Tên tuổi Pascal thấm vào trí não tôi từ xửa xừa xưa, ít nhất từ khi học Định luật Thủy tĩnh của ông. Thậm chí còn sớm hơn, khi tôi còn rất bé, được bố cho ngồi trên gióng trước của xe đạp để đi chơi. Vừa đi bố tôi vừa dạy “identités remarquables” (hằng đẳng thức đáng nhớ). Tôi phải đọc rành rọt cho bố tôi nghe. Khi nào đạt tới độ nhuyễn, văn chương nhịp nhàng đâu ra đấy rồi mới thôi. Bố tôi bảo: “Đọc chưa nhuyễn là vì chưa hiểu; hiểu rồi thì tự khắc sẽ nhuyễn”. Khi thấy tôi thuộc rồi, bố tôi lại giảng Tam giác Pascal, dùng tam giác này để khai triển nhị thức bậc 2, bậc 3, bậc 4, bậc 5… Sau này học Nhị thức Newton tôi thấy rất hay, nhưng vẫn quyến luyến Tam giác Pascal, bởi cái mô hình hình học của nó. Tư duy hình học luôn luôn gợi cảm, giúp ta khái quát hóa vấn đề tới tận cùng bản chất. Cái gì được học từ nhỏ thường nhớ rất lâu và rất sâu. Vì thế Pascal đã trở thành một “Hero” của tôi từ lúc nào không biết. Không phải “hero” nào cũng giữ được hình ảnh mãi mãi. Có những “hero” phản bội ta khi ta lớn lên. Nhưng Pascal không bao giờ phản bội tôi. Ngược lại, hình bóng của ông càng ngày càng lớn, càng ngày càng vĩ đại, bởi tôi đo tầm vóc con người theo tiêu chuẩn do chính Pascal đặt ra: “Pensée fait la grandeur de l’homme” (Tư tưởng làm nên tầm vóc con người).
Về điểm này, tôi phải thực sự biết ơn bố tôi, bởi bố tôi không chỉ là người đầu tiên gieo vào tâm hồn trẻ thơ của tôi tên tuổi Pascal, mà còn trở thành người bạn chí thiết của tôi khi tôi đã đủ lớn để háo hức lắng nghe những cái suýt xoa, chép miệng, tán thưởng của ông mỗi khi ông đọc được một câu trác tuyệt trong PENSÉES (TƯ TƯỞNG), tác phẩm trứ danh của Pascal.
Thú thật, tôi hiểu Pensées của Pascal phần lớn qua lời bố tôi. Mỗi khi ông thán phục Pascal, ông thường kêu lên: “C’est incroyable!” (Không thể tưởng tượng nổi). Ý ông nói không thể tin một người vừa giỏi toán, vừa giỏi vật lý, lại có cái đầu triết học thâm thúy đến thế, văn chương hay đến thế (3).
Theo Wikipedia, Pensées là một kiệt tác và một bước ngoặt trong nền văn xuôi của Pháp. Sainte Beuve, nhà phê bình văn học nổi tiếng của Pháp thế kỷ 19, ca ngợi đó là những trang hay nhất trong ngôn ngữ Pháp. Nhà văn kiêm sử học, triết gia nổi tiếng người Mỹ trong thế kỷ 20 là Will Durant nhận định Pensées là “cuốn sách hùng hồn nhất trong nền văn xuôi Pháp”. Vậy mà đến nay vẫn chưa có một bản dịch tiếng Việt nào, thật là đáng tiếc.
Mặc dù Pensées ra đời từ ba thế kỷ rưỡi trước đây, nhưng nó mang tính phi thời gian (timeless), vì đó là một trong những túi khôn của nhân loại, được viết ra bởi một trong những nhà đại quảng bác (universalist) của mọi thời đại. Túi khôn ấy không đánh đố người đọc bằng những khái niệm hàn lâm chữ nghĩa sáo rỗng xa rời cuộc sống, mà ngược lại, nó như những lời thủ thỉ tâm sự, những khơi gợi, khuyên nhủ, đụng đến những góc khuất tâm lý, những khát vọng, những nỗi băn khoăn căn bản và sâu xa nhất của con người – nỗi băn khoăn về sống và chết, về con người và con vật, về cái vô cùng và cái trống rỗng, về lý lẽ và đức tin,… trong đó ông gợi ý rằng nhận thức bằng lý lẽ vốn bị hạn chế, nhận thức bằng trái tim (trực giác) giúp ta nhìn rộng và sâu hơn, ông đề cao tư tưởng, đề cao tính người, vì thế đưa ta đến gần với ĐẠO.
Đạo của Pascal là Thiên Chúa giáo, nhưng người đọc có thể hiểu rộng ra, đó là ĐẠO theo nghĩa tổng quát – ĐẠO của vũ trụ, ĐẠO của Trời Đất, ĐẠO làm người!
Để tới gần ĐẠO, trước hết con người phải khiêm tốn. Học khiêm tốn không dễ. Phải ý thức được rằng nhận thức của mình vốn hạn chế, tri thức của mình vốn bất toàn, để từ đó biết lắng nghe, biết trầm tư suy ngẫm, biết từ bỏ cái tôi đáng ghét, như thế mới có đức khiêm tốn thực sự. Vì thế, vấn đề bản chất của nhận thức và khả năng nhận thức của con người trở thành một trong những chủ đề trung tâm trong triết học của Pascal. Thảo luận của ông thường xuyên xoay quanh chủ đề trung tâm này. Chẳng hạn trong Chương 31 của Pensées, ông nêu lên một câu hỏi lớn: “Comment se pourrait-il qu’une partie connut le tout?” (Làm thế nào mà một bộ phận có thể nhận thức được cái toàn thể?).
Đó chính là câu hỏi dành cho “sáu anh mù ở xứ Indostan” trong tích “Thầy Bói Xem Voi”: Làm thế nào để nhận thức được con voi? Sáu anh mù sờ voi, anh nhất bảo voi như bức tường (thân voi), anh hai bảo voi như ngọn giáo (ngà voi), anh ba bảo voi như con rắn (vòi voi), anh bốn bảo voi như cái cột nhà (chân voi), anh năm bảo voi như cái quạt giấy (tai voi), anh sáu bảo voi như cái dây thừng (đuôi voi), thế là sáu anh mù cãi vã nhau ỏm tỏi, ai cũng cho mình giỏi, anh nào cũng hung hăng, mỗi anh đúng một phần, nhưng đều sai tất cả!
Tích “Thầy Bói Xem Voi” chứng tỏ từ xa xưa con người đã đạt tới một trình độ tư duy rất sâu sắc. Nhưng sự sâu sắc ấy chỉ thực sự trở thành một quan điểm triết học rõ ràng về tính bất toàn của nhận thức kể từ năm 1658, khi Pascal viết tác phẩm “De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader” (Về tinh thần hình học và Nghệ thuật thuyết phục). Đầu tiên, công trình này được dùng làm Lời Nói Đầu cho một cuốn sách giáo khoa hình học trong bộ sách nổi tiếng mang tên “Petites-Écoles de Port-Royal”. Mãi tới 1667 (tức 5 năm sau khi ông mất), tác phẩm ấy mới được Nhà xuất bản Arnauld xuất bản chính thức thành một cuốn sách độc lập.
Trong tác phẩm này, Pascal ca ngợi Hình học (tức Hình học Euclid) như một mẫu mực của Toán học, một mẫu mực của tư duy lý lẽ, không có dạng tư duy lý lẽ nào sáng sủa, rõ ràng và thuyết phục bằng Hình học. Hầu hết các vĩ nhân đều thán phục và say mê môn Hình học này. Isaac Newton viết cuốn “Triết học Tự nhiên” theo phong cách của Hình học Euclid. Abraham Lincoln đặt cuốn Hình học Euclid làm sách gối đầu giường, vì nó giúp ông trở thành một luật sư tranh cãi hùng biện. Albert Einstein ca ngợi Hình học Euclid là “Cuốn sách nhỏ thiêng liêng” (The Holy Booklet). Tóm lại, Hình học là một mẫu mực của tư duy lý lẽ không thể chê vào đâu được.
Nhưng Pascal không dừng lại ở đó. Ông chỉ ra cái bất toàn của Hình học, tức là cái bất toàn của tư duy lý lẽ nói chung, vì Hình học là mẫu mực của tư duy lý lẽ. Thật vậy, lần đầu tiên trong lịch sử khoa học, Pascal đặt vấn đề hoài nghi về giới hạn của tư duy lý lẽ: liệu con người có thể khám phá ra mọi chân lý dựa trên một số chân lý đã được thiết lập từ trước hay không.
Cái mà ông gọi là “chân lý được thiết lập từ trước” thì nay ta gọi là tiên đề (axioms). Vậy mối hoài nghi của Pascal có thể được phát biểu theo ngôn ngữ hiện đại như sau: Liệu có thể có một hệ tiên đề đủ tin cậy để từ đó xây dựng nên một hệ thống toán học hoàn hảo không?
Suốt mấy trăm năm, kể từ khi hoài nghi của Pascal được nêu lên, không thấy ai trả lời, trừ chính bản thân Pascal. Nhưng đến đầu thế kỷ 20, hoài nghi ấy “bỗng nhiên” trở thành một chủ đề trung tâm của Toán học.
Thật vậy, năm 1900, trong Hội nghị Toán học Thế giới họp tại Paris, David Hilbert kêu gọi các nhà toán học hãy tìm một Hệ tiên đề cho Số học
Dưới ngọn cờ của Hilbert, việc củng cố nền tảng của lâu đài toán học bỗng trở thành nhiệm vụ cấp bách. Đích thân Hilbert lao vào xây dựng lại hệ tiên đề cho Hình học Euclid. Ông chê Hệ tiên đề của Euclid là không đầy đủ. Ông xây dựng một hệ tiên đề mới (gồm 20 tiên đề), được gọi là Hệ tiên đề Hilbert. Với tuyên bố hùng hồn: “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”, Hilbert thể hiện niềm tin mạnh mẽ rằng trước sau Toán học sẽ tìm ra một Hệ tiên đề đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn, để từ đó kiến tạo nên một lâu đài toán học tráng lệ, vững chắc, không có nghịch lý. Đó chính là chương trình vĩ đại của Siêu-Toán-học, một thứ TOE của Toán học (một kiểu Lý thuyết về mọi thứ của Toán học). Tôi không biết Hilbert có đọc tác phẩm “Về tinh thần Hình học và Nghệ thuật thuyết phục” của Pascal hay không, nhưng có thể tin chắc rằng nếu ông có đọc, ông cũng không tán thành Pascal, bởi vì những gì ông làm hoàn toàn trái ngược với tư tưởng của Pascal.
Tư tưởng của Pascal trong cuốn sách nói trên bao gồm 2 luận điểm cơ bản. Xin trình bầy 2 luận điểm đó bằng ngôn ngữ hiện đại như sau: Một, bằng phương pháp logic thuần túy, không có cách nào để kiểm tra những chân lý được thiết lập từ trước là đúng! Đơn giản vì bất kỳ một chân lý nào cũng đòi hỏi một chân lý khác làm chỗ dựa cho nó về mặt logic. Vì thế việc kiểm chứng một hệ tiên đề bằng logic thuần túy sẽ dẫn tới một chuỗi vô hạn các bước kiểm chứng. Đó là điều bất khả (impossible). Hai, những mệnh đề được chọn làm tiên đề thực ra chỉ là một niềm tin được một số người nhất trí tán thành. Nói cách khác, Hình học, mặc dù là một mẫu mực của tư duy lý lẽ, nhưng xét cho cùng cũng chỉ là một niềm tin. Không có một lý thuyết nào là tuyệt đối logic. Mọi dạng nhận thức đều dựa trên niềm tin. Niềm tin có thể đúng hoặc sai. Vì thế Hình học là bất toàn. Mọi lý thuyết dựa trên lý lẽ đều bất toàn.
Lập luận của Pascal rất thuyết phục, vậy tại sao Hilbert không tin? Ông khăng khăng cho rằng sẽ xây dựng được những hệ tiên đề đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn. Rốt cuộc Hilbert đúng hay Pascal đúng. Câu trả lời đã quá rõ ràng.
Định lý Godel đã chỉ ra rằng không tồn tại một hệ tiên đề đầy đủ của Toán học. Chương trình Siêu Toán học là không tưởng. Hệ tiên đề Hilbert (dành cho Hình học Euclid) một thời được quảng cáo rùm beng như một mẫu mực của phương pháp tiên đề, thực ra không xứng đáng với quảng cáo đó. Để thấy rõ điều này, xin đọc bài “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?” của Phạm Việt Hưng trên tạp chí TIA SÁNG Tháng 08/2002 và trên các trang mạng Vietsciences, PVHg’s Home.
Vậy đâu là nguyên nhân cốt lõi dẫn một nhà toán học lỗi lạc như Hilbert đi tới sai lầm?
Câu trả lời: Hilbert thiếu cái đầu triết học!
Thật vậy, ông là một nhà toán học lỗi lạc nhưng lại thiếu cái đầu triết học toán học. Ông ngộ nhận về sức mạnh của Toán học, ngộ nhận về bản chất của Toán học, ngộ nhận về vai trò của Toán học. Đó là sai lầm của mọi sai lầm của Hilbert.
Toán học dù kỳ diệu đến mấy, chính xác đến mấy, hiệu quả đến mấy, nhưng VỀ BẢN CHẤT cũng chỉ là một khoa học dựa trên kinh nghiệm của con người, như bất kỳ dạng nhận thức nào khác. Đã là kinh nghiệm của con người thì không thể tránh khỏi sai lầm, nghịch lý, và mâu thuẫn, không thể hoàn toàn độc lập và khách quan, tách rời hiện thực như Chủ nghĩa Hình thức chủ trương.
Nhưng Hilbert và những người theo gót ông không hiểu điều đó. Những người này mắc phải chứng huyễn hoặc cái mà họ tôn thờ. Họ hạ bệ tôn giáo nhưng lại tôn Toán học lên địa vị thần thánh. Thật vậy, họ tưởng Toán học là một hệ thống chân lý tuyệt đối độc lập với hiện thực và độc lập với bộ não của con người. Họ quá tự tin và ảo tưởng khi cho rằng con người trước sau sẽ khám phá ra những chân lý tuyệt đối ấy, dựa trên tư duy logic chặt chẽ.
Tóm lại, Hilbert là một nhà toán học vĩ đại nhưng không giỏi triết học. Xem thế đủ biết cái đầu triết học cao hơn cái đầu toán học thuần túy. Pascal và Godel vừa là nhà toán học lỗi lạc, vừa là nhà tư tưởng thâm thúy. Sự đồng điệu về tư tưởng giữa hai thiên tài này là minh chứng hùng hồn cho câu ngạn ngữ Pháp: “Tư tưởng lớn gặp nhau!”.

[3] – KẾT LUẬN

Blaise Pascal và Kurt Godel, trực tiếp hoặc gián tiếp, bằng triết học hoặc toán học, cùng đi tới những kết luận rất quan trọng về nhận thức sau đây:
■ Nhận thức bằng lý lẽ luôn luôn bất toàn (không đầy đủ). Nhận thức lý lẽ mạnh nhất là Toán học. Nhưng Định lý Godel đã chứng minh không thể chối cãi rằng Toán học là bất toàn. Suy ra mọi dạng nhận thức dựa trên lý lẽ đều bất toàn. Pascal là một trong những thiên tài khoa học, nhưng ông lại là người đầu tiên chỉ ra tính bất toàn của lý lẽ: “La dernière démarche de la raison est de reconnaître qu’il y a une infinité de choses qui la surpassent” (Bước cuối cùng của lý lẽ là nhận ra rằng có vô số thứ ở phía bên kia tầm với) (Pascal, Pensées).
■ Nhận thức của con người rộng hơn nhận thức bằng lý lẽ. Pascal nói rất rõ điều này: “Nous connaissons là vérité non seulement par la raison, mais encore par le coeur” (Chúng ta nhận thức chân lý không chỉ bằng lý lẽ, mà còn bằng trái tim). Thậm chí ông cho rằng nhận thức bằng trái tim thông minh hơn nhận thức bằng lý lẽ: “Le coeur a ses raisons que la raison ne connait point” (Trái tim có những lý lẽ của nó mà lý lẽ chẳng hiểu gì cả).

■ Để có một nhận thức đầy đủ và phong phú hơn, nhận thức bằng lý lẽ phải được bổ sung bằng nhiều dạng nhận thức khác nhau, trong đó TRỰC GIÁC đóng vai trò ngọn đuốc soi đường. Điều này hoàn toàn phù hợp với tư tưởng của Nguyên lý Bổ sung của Niels Bohr.
Nhận thức trực giác được Pascal gọi là nhận thức bằng trái tim. Qua Pensées có thể thấy không ai nhấn mạnh đến vai trò của trực giác bằng Pascal. Còn Godel thì sao? Hãy nghe ông nói: “Trực giác không phải là chứng minh; nó là cái đối lập với chứng minh. Chúng ta không phân tích trực giác để thấy một chứng minh, nhưng bằng trực giác chúng ta nhìn thấy một cái gì đó mà không cần một chứng minh nào cả” (Intuition is not proof; it is the opposite of proof. We do not analyze intuition to see a proof but by intuition we see something without a proof).
Chủ nghĩa Hilbert cho rằng logic chứng minh sẽ giúp con người khám phá ra mọi chân lý. Quả là một sai lầm ấu trĩ!

PVHg, Sydney 28/05/2015

Blaise Pascal – Nhà khoa học có tâm hồn văn chương

Không phải ngẫu nhiên mà Bergson - nhà triết học, nhà văn Pháp nổi tiếng giành giải thưởng Nobel Văn học năm 1928 đã phải đưa ra một nhận xét: "Những máy đo lường của chúng ta quá ngắn để ước lượng được chiều sâu tư duy của Pascal". Không chỉ là một nhà toán học thiên tài, Pascal còn là một nhà vật lí học nổi tiếng, nhà văn và là nhà tư tưởng lớn của nhân loại.

Chân dung nhà khoa học Blaise Pascal - Ảnh: imgur.com

Tài không đợi tuổi
Blaise Pascal sinh ngày 19 tháng 6 năm 1623, tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp. Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris. Vào lúc Pascal chào đời, ông Etienne đang đảm nhận vai trò Chánh án tòa Hộ tại Clermont. Mẹ của Pascal qua đời khi ông chỉ mới được ba tuổi.
Ngay từ khi mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường, hay hỏi người lớn những câu hỏi hóc búa và bản thân cậu cũng trả lời được các câu hỏi khó. Biết được tố chất thiên tài của con nên ông Etienne quyết định giáo dục Pascal theo cách riêng của mình. Ông đặt ra nguyên tắc là khiến cho đứa trẻ phải làm các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn.
Vào năm 1631, ông Etienne dọn nhà lên thành phố Paris để chăm nom chuyện học hành cho con trai. Pascal được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường tiếp thu kiến thức thông qua các cuộc đàm luận với cha. Trong lúc rảnh rỗi, ông Etienne kể cho con trai nghe các câu chuyện về Khoa học, nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thõa mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.
Một hôm, khi bước vào phòng, ông Etienne vô cùng ngạc nhiên khi thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luật của Euclide. Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy Toán học cho con bao giờ, hơn nữa định luật của Euclide là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho một đứa trẻ 12 tuổi. Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide từng phát biểu. Nhưng vì chưa từng học môn Hình học nên Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn", đường thẳng là "cái thước kẻ".
Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Với trí thông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được nhiều bài toán khó. Sự mày mò tìm hiểu xuất phát từ niềm đam mê khiến Pascal chẳng bao lâu đã trở thành một nhà toán học trẻ có hạng.
Sáng chế ra máy tính đầu tiên
Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa học nên Pascal cũng được tham dự vào các buổi hội thảo. Nhờ đó, Pascal có cơ hội trình bày những điều do mình khám phá, cũng như góp các tư tưởng, lý luận về những tác phẩm của các nhà bác học đương thời.
Năm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học: "Về thiết diện của đường coniques", trong đó cậu đã chứng minh một định lý nổi tiếng, đó là định lý về lục giác thần kì. Pascal đã rút ra 400 hệ quả từ định lý này. Nhà toán học đồng thời là nhà triết học vĩ đại Descartes đã phải thốt lên: "Thật không thể tưởng tượng nổi một người ở tuổi thiếu niên lại có thể làm nên một công trình tầm cỡ như thế". Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học xuất sắc đương thời phải bái phục. Không ít người còn đề nghị Pascal cho in thành sách, song vì khiêm tốn, Pascal đã từ chối.

Chiếc máy tính cơ học của Blaise Pascal Ảnh: liveauctioneers.com

Khi ông Etienne giữ chức vụ Giám đốc Thuế vụ miền Rouen, sổ sách kế toán quá nhiều khiến ông mệt mỏi. Để giúp đỡ cha, Pascal đã mày mò nhiều năm liền để sáng chế ra một chiếc máy tính có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản. Đến nay, nguyên tắc của nó vẫn còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân, hiện đại. Phát minh này đã làm rạng danh tên tuổi của Pascal.
Blaise Pascal - "Cây sậy biết suy nghĩ"
Là một nhà triết học, Pascal rất nổi tiếng với câu nói "Con người là một cây sậy, nhưng là cây sậy biết suy nghĩ". Tương truyền, có một người bạn đã khuyên Pascal từ bỏ khoa học để đi theo tôn giáo, với lý do: "Con người chỉ là một cây sậy yếu ớt trước tạo hóa vô biên. Làm sao anh có thể đương đầu nổi với giông tố cuộc đời". Pascal đã tự tin trả lời: "Đúng, con người chỉ là một cây sậy mềm yếu, nhưng là một cây sậy biết suy nghĩ. Vì thế, nó không bao giờ chịu cho giông tố dập vùi…".
Năm 1654, Pascal tới thăm em gái trong một tu viện tại Port Royal. Chuyến viếng thăm này đã khiến Pascal càng thêm "ghê tởm sự giả dối cực độ của người đời". Cũng năm đó, sau một lần thoát chết trong vụ tai nạn xe cộ, Pascal đã có nhiều chuyển hướng trong nhận thức. Ông bắt đầu quan tâm tới tôn giáo và thần học. Các tác phẩm của ông trong thời kỳ này gồm "Những bức thư của Louis de Montalte" viết cho một người bạn ở tỉnh nhỏ (1656 - 1657), được coi là một áng văn kinh điển; tác phẩm "Suy nghĩ" (xuất bản năm 1669, sau khi tác giả qua đời), được xem là một tác phẩm triết học và văn chương bậc thầy.
Tháng 6 năm 1662, Pascal quyết định tặng căn hộ mình đang ở cho một gia đình nghèo mắc bệnh đậu mùa và dọn đến ở với người chị gái tên Gilberte. Tại đây, Pascal bị bệnh tật hành hạ suốt hai tháng trời. Ông trút hơi thở cuối cùng vào ngày 19 tháng 8 năm 1662, hưởng thọ 39 tuổi. Để ghi nhớ bậc Vĩ nhân Khoa học này, người ta đã phát hành tem thư, tổ chức các buổi thuyết trình về Triết học, Toán học và Văn chương. Nhiều phòng triển lãm đã trưng bày các tác phẩm của Pascal cùng chiếc máy tính là phát minh lừng danh của nhà toán học thiên tài này.

Minh Ly
(Tổng hợp theo cand.com.vn)

Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20

• 23 phản hồi

“Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20” là một bài giảng của Perry Marshall. Dưới đây là bản lược dịch của Phạm Việt Hưng.

Abstract: Gottfried Leibniz once said: “Without mathematics we cannot penetrate deeply into philosophy. Without philosophy we cannot penetrate deeply into mathematics. Without both we cannot penetrate deeply into anything.”. Quoting Leibniz, Perry Marshall leads us to the world of Maths and Philosophy, where we can see more clearly the truth. That is the aim of his lecture: “Gödel’s Incompleteness Theorem: The #1 Mathematical Discovery of the 20th Century”.

Lời dẫn của người dịch: Gottfried Leibniz có lần nói: “Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”. Dẫn lời Leibniz, Perry Marshall đưa chúng ta vào thế giới của Toán học và Triết học, ở đó chúng ta có thể thấy rõ hơn chân lý, biết đâu là sự thật. Đó là mục đích bài giảng của ông: “Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 của thế kỷ 20”….

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN CỦA GÖDEL: KHÁM PHÁ TOÁN HỌC SỐ I CỦA THẾ KỶ XX

Bài giảng của Perry Marshall

Gottfried Leibniz: “Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”. Galileo Galilei: “Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”

Năm 1931, Kurt Gödel giáng cho các nhà toán học trong thời của ông một đòn nặng nề
Năm 1931, nhà toán học trẻ Kurt Gödel có một khám phá mang tính bước ngoặt, gây ra những chấn động lớn như những gì Albert Einstein đã làm.
Khám phá của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà thực ra áp dụng cho tất cả các ngành của khoa học, logic và hiểu biết của con người nói chung. Nó thực sự làm rung chuyển trái đất.
Nhưng trớ trêu thay, không mấy ai biết về nó.
Vậy hãy cho phép tôi nói với các bạn câu chuyện về định lý này.

Các nhà toán học vốn thích chứng minh mọi thứ. Vì thế họ nóng lòng và băn khoăn trong suốt nhiều thế kỷ vì có một số định đề toán học họ nghĩ là đúng nhưng không thể CHỨNG MINH.
Chẳng hạn nếu bạn đã từng học Hình học ở trường trung học, hẳn là bạn đã làm những bài tập chứng minh các tính chất của tam giác dựa trên một số định lý cơ bản.
Môn hình học đó được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid. Mọi người đều thấy những tiên đề đó là đúng, nhưng sau 2500 năm vẫn không có ai tìm ra cách chứng minh chúng.
Vâng, dường như hoàn toàn hợp lý khi cho rằng một đường thẳng có thể kéo dài vô tận về hai phía, nhưng không ai có thể CHỨNG TỎ điều đó. Chúng ta chỉ có thể bầy tỏ rằng đó là một tập hợp 5 tiên đề hợp lý, và thực tế là cần thiết.
Những thiên tài toán học cao chót vót đã thất vọng trong hơn 2000 năm bởi vì họ không thể chứng minh tất cả các định lý của họ. Có rất nhiều điều “rõ ràng” là đúng nhưng không ai có thể tìm ra cách chứng minh.
Tuy nhiên, vào những năm đầu của thập niên 1900, một niềm lạc quan to lớn bắt đầu phát triển trong giới toán học. Các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới lúc đó (như Bertrand Russell, David Hilbert và Ludwig Wittgenstein) tin rằng họ đang nhanh chóng tiến gần tới một phương pháp tổng hợp cuối cùng.
(Họ tin rằng) một sự thống nhất “Lý thuyết về mọi thứ” rốt cuộc sẽ thít chặt các đầu mối lỏng lẻo. Toán học sẽ kiện toàn, đạn bắn không thủng, không có kẽ hở cho không khí lọt vào, và toán học sẽ đắc thắng.
(Nhưng) năm 1931, nhà toán học trẻ người Áo, Kurt Gödel, đã công bố một công trình CHỨNG MINH một lần và mãi mãi rằng một Lý thuyết Duy nhất về Mọi thứ thực ra là không thể có (impossible, bất khả).
Khám phá của Gödel được gọi là “Định lý Bất toàn”.
Nếu bạn dành cho tôi vài phút, thì tôi sẽ giải thích với bạn định lý đó nói gì, Gödel đã khám phá ra định lý đó như thế nào, và định lý đó có ý nghĩa gì – tôi nói bằng một ngôn ngữ mộc mạc, đơn giản đến nỗi ai cũng hiểu.

Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng: “Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích về bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.”

Xin nhắc lại điều nói trên bằng ngôn ngữ chính thức của khoa học:
Định lý Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng biểu diễn số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”
Luận đề Church-Turing nói rằng một hệ vật lý có thể biểu diễn số học sơ cấp y như con người, và rằng số học của Máy Turing (computer) không thể chứng minh được bên trong hệ thống đó và do đó computer cũng bất toàn.
Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo lường đều có khả năng biểu diễn số học sơ cấp (Nói cách khác, trẻ em có thể làm toán bằng cách đếm ngón tay, nước chảy vào thùng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được, và các hệ vật lý luôn luôn đua ra câu trả lời rõ ràng).
Do đó vũ trụ (thế giới vật lý) có khả năng biểu diễn được bằng số học sơ cấp và giống như bản thân toán học và computer, vũ trụ ấy là bất toàn.
Lý luận trên có thể tóm tắt bằng tam đoạn luận sau đây:
1. Mọi hệ thống đủ phức tạp có thể tính toán được đều bất toàn.
2. Vũ trụ là một hệ đủ phức tạp có thể tính toán được.
3. Do đó vũ trụ là bất toàn.
Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh tất cả các khái niệm trong cuốn sách hình học trung học của bạn. Nhưng tất cả chúng được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid, những tiên đề này rõ ràng là đúng nhưng không thể chứng minh. 5 tiên đề đó nằm ngoài cuốn sách, tức là bên ngoài vòng tròn bạn vừa vẽ.
Bạn cũng có thể vẽ một vòng tròn xung quanh một chiếc xe đạp nhưng sự tồn tại của chiếc xe đạp đó dựa vào một nhà máy ở bên ngoài vòng tròn đó. Chiếc xe đạp không thể tự giải thích sự tồn tại của bản thân nó.
Gödel chứng minh rằng LUÔN LUÔN có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh. Trong bất kỳ hệ thống logic hay hệ thống số nào mà các nhà toán học đã từng xây dựng được đều luôn luôn tồn tại ít nhất một vài giả định không thể chứng minh.
Định lý bất toàn của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà cho mọi đối tượng tuân thủ các định luật của logic. Bất toàn đúng trong toán học; nó cũng đúng trong khoa học hay ngôn ngữ hoặc triết học.
Và: Nếu vũ trụ mang tính chất toán học và logic thì tính bất toàn cũng áp dụng cho vũ trụ.

Gödel sáng tạo ra chứng minh của mình bằng cách khởi đầu với “Nghịch lý Kẻ nói dối” (The Liar’s Paradox) – đó là mệnh đề: “Tôi đang nói dối.” (I am lying)
Mệnh đề “Tôi đang nói dối” là một mệnh đề tự mâu thuẫn, bởi nếu mệnh đề ấy phản ánh đúng sự thật, rằng tôi là một kẻ nói dối, thì suy ra mệnh đề vừa nói không đáng tin cậy, tức là mệnh đề ấy mâu thuẫn với chính nó; nếu mệnh đề ấy sai, lập luận tương tự cũng đi đến mâu thuẫn .
Tương tự như vậy, bằng một trong những biến đổi khéo léo nhất trong lịch sử toán học, Gödel đã chuyển Nghịch lý Kẻ Nói Dối thành một công thức toán học. Ông đã chứng minh rằng bất kỳ một mệnh đề nào cũng đòi hỏi một quan sát viên bên ngoài.
Không có mệnh đề nào (một sự trình bày nào) có thể một mình nó tự chứng minh nó đúng.

Kurt Gödel
Sinh	April 28, 1906 Brno, Austria-Hungary
Mất	January 14, 1978 Princeton, New Jersey
Ngành	Toán học

Định lý bất toàn của Gödel là một đòn nặng nề giáng vào “chủ nghĩa thực chứng” trong thời đại đó. Gödel chứng minh định lý của ông một cách rõ ràng trắng đen đến nỗi không ai có thể tranh cãi với logic của ông.
Tuy nhiên một số đồng nghiệp toán học của ông đến lúc ra đi về bên kia thế giới vẫn phủ nhận ông, tin rằng bằng cách này hay cách khác, trước sau Gödel chắc chắn phải sai.
Nhưng ông không sai. Định lý của ông thực sự đúng. Có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh.
Một “lý thuyết về mọi thứ” – dù trong toán học hay vật lý, triết học – sẽ không bao giờ tìm thấy. Đơn giản vì nó không thể tồn tại (impossible, bất khả).
OK, vậy điều này thực ra có ý nghĩa gì? Tại sao vấn đề này lại là vô cùng quan trọng, thay vì chỉ là một chuyện phiếm để mua vui?

Đây là ý nghĩa của định lý:
● Đức tin và Lý lẽ không phải là kẻ thù của nhau. Thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh.
● Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.
● Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn nhưng sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.
● Lý lẽ hướng từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn là “lý lẽ suy diễn” (deductive reasoning). Thí dụ:
1. Mọi người đều sẽ chết.
2. Socrates là một con người.
3. Vậy Socrates sẽ chết.
● Lý lẽ hướng từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn là “lý lẽ quy nạp”. Thí dụ:
1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi.
2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.
Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.
Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. Bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mỗi lúc bạn quan sát. Bạn không thể CHỨNG MINH vũ trụ là hợp lý (rational, tuân thủ những quy luật nhất định). Bạn chỉ có thể nhận thấy các công thức toán học, như E = mc2 chẳng hạn, dường như mô tả một cách hoàn hảo cái mà vũ trụ tiến hành.
Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Những định luật này đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ là logic và dựa trên những định luật cố định có thể khám phá ra.
Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó ( Bạn không thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Thực ra bạn phải chấp nhận điều đó bằng niềm tin. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học không thể chứng minh, nó chỉ có thể gợi ý, phỏng đoán (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy rằng Chúa tạo ra một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).

Bây giờ hãy xem xét điều gì sẽ xẩy ra khi chúng ta vẽ vòng tròn lớn nhất có thể có – vòng tròn bao quanh toàn thể vũ trụ (nếu có đa vũ trụ thì vẽ môt vòng tròn chứa tất cả những vũ trụ đó):
● Phải có một cái gì đó bên ngoài vòng tròn đó. Một cái gì đó mà chúng ta phải thừa nhận là không thể chứng minh được.
● Vũ trụ mà chúng ta biết là hữu hạn – hữu hạn vật chất, hữu hạn năng lượng, không gian hữu hạn và thời gian là 13.7 tỷ năm tuổi.
● Vũ trụ ấy mang tính chất toán học. Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo đạc đều có thể biểu diễn bởi số học (Bạn không cần biết toán học để làm phép cộng – bạn có thể sử dụng bàn tính gẩy tay để tìm câu trả lời vào mọi lúc).
● Vũ trụ (tất cả mọi vật chất, năng lượng, không gian, thời gian) không thể tự giải thích cho nó.
● Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là vô hạn. Theo định nghĩa, không thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó .
● Nếu chúng ta vẽ một vòng tròn bao quanh mọi vật chất, năng lượng, không gian và thời gian và áp dụng định lý Gödel, chúng ta sẽ thấy cái gì ở ngoài vòng tròn đó sẽ không phải là vật chất, không phải năng lượng, không phải không gian và cũng không phải thời gian. Đó là thế giới phi vật chất.
● Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều không phải là một hệ thống – nghĩa là không phải một tập hợp bao gồm các thành phần. Nói cách khác, nếu chúng ta có thể vẽ một vòng tròn bao quanh vật chất, năng lượng, không-thời-gian thì cái nằm ngoài vòng tròn ấy là không thể phân chia được.
● Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là nguyên nhân không có nguyên nhân, bởi vì bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh một kết quả.

Chúng ta có thể áp dụng lý lẽ quy nạp tương tự cho nguồn gốc của thông tin:
● Trong lịch sử vũ trụ, chúng ta cũng đã biết sự xuất hiện của thông tin, vào khoảng 3.5 tỷ năm trước. Nó xuất phát từ mã của Hệ Di truyền (Genetic code), một thứ phi vật chất mang tính biểu tượng .
● Thông tin phải xuất phát từ bên ngoài, bởi vì thông tin được biết không phải là một đặc trưng vốn thuộc về vật chất, năng lượng và không gian hoặc thời gian.
● Mọi mã mà chúng ta biết nguồn gốc đều được thiết kế bởi những thực thể có ý thức.
● Do đó bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất cũng phải là một thực thể có ý thức.
Nói cách khác, khi chúng ta bổ sung thông tin vào trong phương trình, chúng ta có thể kết luận rằng cái ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất không chỉ vô hạn và phi vật chất, mà còn có ý thức.
Chẳng phải thú vị hay sao khi những vấn đề này nghe có vẻ đáng ngờ vực như những gì mà các nhà thần học đã mô tả Chúa trong hàng ngàn năm nay?
Vì thế sẽ chẳng có gì đáng ngạc nhiên khi thấy 80-90% dân chúng trên thế giới tin vào Thượng đế theo một cách nào đó. Thật vậy, đó là trực giác đối với phần lớn các dân tộc. Nhưng định lý Gödel chỉ ra rằng đó cũng là logic tối cao. Thực ra đó là lập trường duy nhất mà người ta có thể nắm lấy và đứng trên đó trong vương quốc của lý lẽ và logic.
Người nào tự phụ tuyên bố “Bạn là người của đức tin, còn tôi là người của khoa học” thì người ấy không hiểu gốc rễ của khoa học hoặc bản chất của tri thức!
Một khía cạnh thú vị khác…
Nếu bạn có dịp thăm một trang mạng vô thần lớn nhất thế giới có tên là Infidels, bạn sẽ thấy trên trang chủ lời tuyên bố sau đây:
“Chủ nghĩa duy tự nhiên (naturalism) là giả thuyết cho rằng thế giới tự nhiên là một hệ đóng, ngụ ý rằng không có cái gì không phải là thành phần của thế giới tự nhiên mà lại ảnh hưởng lên nó” Nếu bạn biết định lý Gödel, bạn sẽ thấy rằng mọi hệ logic phải phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống. Vậy theo định lý bất toàn của Gödel, tuyên bố của trang mạng Infidels không thể chính xác. Nếu vũ trụ là logic, nó phải có một nguyên nhân bên ngoài.
Do đó chủ nghĩa vô thần vi phạm các định luật của lý lẽ và logic.
Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học không bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có lựa chọn nào khác là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời.
Tính Bất toàn của vũ trụ không phải là chứng minh cho việc Chúa tồn tại. Nhưng… đó LÀ chứng minh cho nhận định rằng để kiến tạo nên một mô hình vũ trụ hợp lý thì niềm tin vào Chúa không chỉ logic 100%… mà đó là điều cần thiết.
5 tiên đề của Euclid không thể chứng minh một cách hình thức và Chúa cũng không thể chứng minh một cách hình thức . Nhưng… giống như bạn không thể xây dựng một hệ thống hình học chặt chẽ mà không có 5 tiên đề của Euclid, bạn cũng không thể xây dựng một lý thuyết mô tả vũ trụ chặt chẽ mà không có Nguyên nhân Ban đầu và một Cội Nguồn của trật tự.
Do đó đức tin và khoa học không phải là kẻ thù của nhau, mà liên minh với nhau. Điều đó đã đúng trong hàng trăm năm, nhưng đến năm 1931 thì nhà toán học trẻ gầy ốm Kurt Gödel đã chứng minh điều đó.
Không có thời kỳ nào trong lịch sử nhân loại đức tin vào Chúa lại trở nên có lý hơn, logic hơn, hoặc hoàn hảo hơn bằng khi nó được hỗ trợ bởi khoa học và toán học.

Perry Marshall