Blaise Pascal

Tuy nhiên, vì Tự Nhiên Tồn Tại là không thị phi nên cũng chẳng có chút ưu tiên cho chủ thể quan sát nào cả. Do đó điểm đã cho cũng có thể “nằm” ở khu vực tột cùng xa đối với một chủ thể quan sát khác đang ở tột cùng xa nhưng cho rằng bản thân đang ở khu vực lân cận trung tâm Vũ Trụ. Và ở đó, chủ thể quan sát đó cũng thấy đường thẳng đi qua điểm đã cho mà chẳng đổi chiều gì cả. Như vậy nghĩa là tại bất cứ điểm nào của đường thẳng cũng đều thấy hiện tượng đường thẳng đi qua một cách bất biến.
 Xét theo góc độ nào đó thì đường thẳng phải chuyển hóa thành đường tròn. (Thật là quá ư kỳ quặc! Rất may là không thể quan sát được hai hiện tượng đó cùng một lúc! Hơn nữa, biết đâu chừng điều đó có thể còn ít kỳ quặc hơn việc cho rằng đường thẳng là dài vô hạn độ trong một không gian có thể chất được bảo toàn tuyệt đối? Có một hiện tượng trong thực tiễn làm chúng ta bớt “sợ hãi” đó là khi đặt một đường tròn (hay mặt tròn) thẳng góc với mặt tấm gương thì ảnh trong gương của nó chỉ là một đoạn thẳng). Nếu thế, về phương diện nào đó, phải cho rằng đường tròn và đường thẳng là tương đương nhau và là tương phản ảo - thực của nhau qua một mốc nào đó có thể là đường vừa tròn vừa thẳng, không tròn không thẳng mà cũng không phải cả hai (đường cong nào đó chăng?). 
Trong một biểu hiện khác nữa dễ được trực giác xác nhận hơn, đó là đường thẳng nói trên “cắt” đường tròn tương ứng với nó thành hai phần bằng nhau và đảm nhận luôn vai trò đường mốc tương phản của hai nửa đường tròn đó, mà trong tương phản âm - dương, tổng hai nửa đường tròn đó đúng bằng chu vi đường tròn và mất tính tương phản, còn trong tương phản nghịch đảo, tích hai nửa đường tròn đó phải bằng 1 (có thể cho rằng 1 là độ dài của đường thẳng đã phân đôi đường tròn và đường tròn chọn luôn nó là đơn vị đo độ dài cho mình, lúc này chu vi đường tròn chính bằng và trong tương phản nghịch đảo thì: ).

Nếu gọi độ dài của phần thực đường thẳng là d thì độ dài toàn phần của nó là D=2d và tương ứng, chu vi đường tròn thực phải là và chu vi toàn phần của nó phải là . Hiểu điều này như thế nào? Trước hết, cần phải đồng thuận rằng điểm nào cũng bình đẳng với điểm nào, nghĩa là điểm nào cũng là điểm thông thường và đồng thời cũng là điểm ở tột cùng xa, điểm nào cũng là điểm thực và đồng thời cũng có thể là điểm ảo, và như vậy, không gian vĩ mô vừa là thực mà cũng vừa là ảo, vừa không có tâm nhưng điểm nào cũng có thể là tâm của nó. Trên cơ sở quan niệm đó, có thể hiểu điều trên là: nếu từ một điểm cho trước đi theo một đường thẳng và đi hết chiều dài toàn phần của nó để về lại điểm đã cho, thì hành trình ấy là tương đương với hành trình cũng xuất phát từ điểm đã cho, đồng thời đi theo hai chiều tương phản nhau nào đó và trên hai đường tròn giống hệt nhau, đều nhận đường thẳng đang nói tới là đường phân đôi, sao cho khi đường thẳng “về” đến điểm đã cho thì hai đường tròn đó cũng đồng thời “về” đến điểm đã cho. Tuy nhiên vì đường thẳng là liên tục cho nên hai đường tròn nói trên phải là liên thông nhau, phải là hai “đoạn” tương phản ảo - thực của nhau (không trùng nhau) của một đường toàn phần nào đó có tính tròn nhưng không phải đường tròn. Chúng ta tạm gọi đường tròn này là “đường giả tròn”. Đường giả tròn là đường cũng luôn thay đổi phương từ điểm này qua điểm khác một cách đều đặn trên suốt chiều dài của nó.

Nếu cho một điểm bất kỳ và từ điểm ấy vẽ một đường giả tròn thì khi đầu mút của nó đạt đến tột độ xa, nó sẽ chuyển hóa thành ảo để đi đến điểm ảo, rồi qua điểm ảo đến tột độ xa của miền ảo, khi vượt qua miền ảo, nó lại chuyển hóa thành thực và trở về điểm đã cho. Điểm đã cho là điểm thực của điểm ảo. Trong không gian qui ước  Hư Vô (không gian ảo vĩ mô), vị trí của điểm ảo có vẻ được thấy trùng với điểm thực. Tuy nhiên trùng không có nghĩa là khoảng cách của chúng bằng 0. Chúng có vẻ trùng nhau mà thôi vì thực ra giữa chúng là “muôn trùng xa cách”. Rất khó hình dung đường giả tròn, nhưng chúng ta cũng cố gắng tìm cách miêu tả ở hình 2/a.

Từ điểm thực A, đường giả tròn đi đến điểm thực tột cùng xa B. Khi vượt qua B, đường giả tròn thực chuyển hóa thành đường giả tròn ảo tiến về điểm ảo A' rồi vượt qua A' tiến đến điểm tột cùng xa của miền ảo là B'. Từ đây đường giả tròn ảo lại chuyển hóa thành thực để đi về điểm thực A ban đầu. Để “thấy” được đường giả tròn một cách tỏ tường hơn (dù… “sai bét” hơn), chúng ta có thể “tùng xẻo” hình 2/a, “phanh thây” nó ra thành hình 2/b (rùng rợn quá!), và “đánh dấu” thêm.

Đối với đường giả tròn thì 2 điểm tột cùng xa của miền thực cũng chính là 2 điểm tột cùng xa của miền ảo. Để thấy được điều này, nếu chúng ta cũng bắt đầu từ điểm A, “vẽ” đường giả tròn nhưng theo chiều ngược lại và giả sử rằng điểm C là điểm tột cùng xa đầu tiên của miền thực cũng như miền ảo. Khi đường giả tròn đến C, nó chuyển hóa thành ảo đi qua B' (lúc này không còn là điểm tột cùng xa nữa, rồi tiếp tục qua A' để đến với E' ( là điểm tột cùng xa thứ hai của miển ảo lẫn miền thực). Ở đây nó chuyển hóa trở lại thành đường thực, đi qua B (lúc này cũng chỉ là điểm thông thường), về lại A. Nếu có một đường thẳng nối hai điểm C (hay C') và E (hay E'), thì độ dài toàn phần của nó và bản thân nó đóng vai trò là đường phân đôi (đường kính) của đường giả tròn. Một cách siêu hình, có thể cho rằng độ dài toàn phần của đường giả tròn trên hình 2/b là bằng tổng hai đường tròn O₁, O₂ và cũng chính là bằng chu vi đường tròn O. Chú ý rằng nếu thể hiện các điểm tột cùng xa C và E (hay C' và E') trên hình không triển khai 2/a thì sẽ thấy chúng dường như trùng nhau. (Với quan niệm bất kỳ điểm nào cũng có thể là điểm ở tột cùng xa thì khi cho điểm A, nó cũng là điểm C, và điểm B là điểm tận cùng xa thứ hai của không gian ở miền thực (lúc này C' và B' là hai tận cùng xa của không gian miền ảo). Có lẽ nên quan niệm như vậy mới đúng hơn chăng?).

Hình 2: Miêu tả tượng trưng về đường giả tròn.

Một trong những điều “vui nhộn” nhất về quan niệm đường giả tròn là nếu vẽ lại một cách tượng trưng phần thực của nó ở hình 2/b trong trường hợp điểm C (C’) và E (E’) là các điểm tột cùng xa, xoay hình đi một chút và thêm cho nó hai “con mắt” thì chúng ta sẽ có một Thái cực (xem hình 3).

Trong thực tại, độ dài toàn phần của đường giả tròn không thể nhỏ hơn chu vi đường tròn O ở hình 2/b. Nếu cho độ dài đường kính là bằng D và độ dài toàn phần của đường giả tròn là bằng thì phải có:

Hình 3: Thái cực xuất hiện khi triển khai đường giả tròn

Có thể gọi đường giả tròn ở hình 2/a là “đường biên” hay “đường chân trời” của Không Gian Vũ Trụ. Đó là đường vừa thực vừa ảo, không thực không ảo, là cả hai mà cũng không phải cả hai, và không thể quan sát được “trọn vẹn” nó trong cùng một lúc cũng như trong thực tại. Trong mối tương phản nghịch đảo, vì có thể thấy đoạn thực của đường giả tròn có độ dài rất lớn (Không Gian Vũ Trụ dường như là vô tận) nên đoạn ảo của nó được coi như vô cùng nhỏ và có thể bỏ qua. Lúc này, độ dài toàn phần của đường giả tròn chỉ còn bằng phần thực của nó. Phần thực đó cũng được cho là khép kín và được gọi với cái tên là “đường trắc địa”.

Đường biên của Không gian vĩ mô là một đường giả tròn đóng vai trò liên thông giữa hai miền thực và ảo của Không gian ấy. Đó là một trong nhiều biểu hiện về tính vừa phân định tương phản vừa liền lạc thống nhất của Vũ Trụ. Tính lạ kỳ của đường biên Vũ Trụ còn gợi ý cho chúng ta đến khái niệm mặt biên của Vũ Trụ. Mặt biên của Vũ Trụ phải hàm chứa vô vàn đường biên Vũ Trụ và vì thế có thể tưởng tượng được mặt đó vừa là mặt của miền ảo, vừa là mặt của miền thực, là mặt phân định ra hai miền đó, đồng thời là mặt kín bao hàm toàn bộ không gian. Nghĩa là Không Gian Vũ Trụ có trong mà cũng có ngoài, không có trong mà cũng chẳng có ngoài, đồng thời là cả hai mà cũng không phải cả hai. Hình dung ra một mặt như thế theo “thói quen” trực giác không gian thông thường là một điều cực kỳ khó khăn nếu không muốn nói là không thể. Tuy nhiên, có thể phần nào cảm nhận được đường biên cũng như mặt biên của Không Gian Vũ Trụ ở tầng vĩ mô, nếu chúng ta nhớ lại và liên tưởng đến những phát hiện của hình học trong lý thuyết Tôpô.

Trong thực tại, chúng ta thấy mặt nào cũng có hai phía. Một tờ giấy có mặt bên này thì cũng có mặt bên kia, một cái hộp có mặt trong thì cũng có mặt ngoài. Nhà toán học Miôbiux là người đầu tiên phát hiện ra rằng, cũng có những mặt chỉ có một phía và dải băng mang tên ông trở nên nổi tiếng trong lịch sử hình học, cũng đồng thời là một minh họa điển hình cho loại mặt này (xem hình 4). Nếu từ điểm A, vẽ một đường dọc theo chiều dài của dải băng (hướng mũi tên) và đường đó ở giữa dải băng thì sẽ được một đường cong kín, đi qua toàn bộ bề mặt của nó mà không thể phân biệt được đâu là mặt trong, đâu là mặt ngoài. Người ta nói dải băng miôbiux chỉ có một mặt và mặt đó gọi là mặt một phía. Có thể hình dung đường giả tròn là đường ở trung tâm dải băng đó.

Hình 4: Dải băng Miobiux

Khi còn là sinh viên, nhà toán học Felix Klein (1849-1925) đã rất say mê với những tư tưởng của Riman trong “bài giảng thử” năm 1854. Ông có một niềm cảm hứng đặc biệt đối với hình học và đã làm việc để mở rộng những tư tưởng hình học trong nghiên cứu tôpô. Klein cũng đã đưa ra một hình mẫu nói về mặt một phía gọi là “bình Klein”. Bình này có một mặt kín nhưng lại không chia không gian thành phần “trong” và phần “ngoài”. Nếu mặt của dải băng Miôbiux là mặt hai chiều xoắn theo chiều thứ ba thì mặt của bình Klein là mặt ba chiều, xoắn theo chiều thứ tư. Bình Klein là một gợi mở tốt cho ý tưởng về sự tồn tại mặt biên của Không Gian Vũ Trụ.
 
                                     Nhà toán học Miôbiux (1790 - 1868)

Felix Klein (1849 - 1925)

Bây giờ, chúng ta chuyển sang bàn luận đến trường hợp cho trước hai điểm (một cách tùy ý) trong không gian của hình học vĩ mô. Tương tự như trường hợp cho trước một điểm, đối với hai điểm cho trước cũng vẽ được vô số và đa dạng đường qua hai điểm ấy. Tuy nhiên chỉ có thể vẽ được duy nhất một đường thẳng đi qua chúng mà thôi. Vì đường nào cũng khép kín cho nên hai điểm ấy luôn chia đường thành hai đoạn. Đối với đường thẳng thì đoạn ngắn hơn nối hai điểm ấy là đoạn có độ dài ngắn nhất so với mọi đoạn nối hai điểm ấy và được gọi là “khoảng cách” giữa hai điểm ấy. Vì hai điểm được cho trước tùy ý, nên chúng có thể đều ảo, đều thực, hoặc một thực một ảo. Nếu hai điểm đó là thực, ảo của nhau thì khoảng cách giữa chúng có thể đạt đến độ dài toàn phần của đường thẳng. Nếu hai điểm đó là trùng nhau (trong không gian hư vô) thì khoảng cách của chúng vừa bằng độ dài toàn phần của đường thẳng, vừa bằng 0 (và bằng 1 nếu chúng kề nhau). Nếu hai điểm ấy là cùng thực (hoặc cùng ảo) thì bao giờ cũng qui ước được một trong hai điểm ấy là điểm ở tận cùng xa và điểm kia là “lân cận” của nó. Nếu sự “lân cận” ấy trở nên tận cùng xa thì hai điểm đã cho là hai điểm tận cùng xa của nhau và khoảng cách của chúng đúng bằng độ dài đoạn thực của đường thẳng.

Từ nay chúng ta coi như miền ảo của không gian vĩ mô là không đáng kể và bỏ qua nó. Vì vậy có thể nên định nghĩa: đường thẳng là đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm tận cùng xa của nhau. Còn đoạn thẳng là đoạn có ít nhất một đầu mút là điểm thông thường (ở “lân cận” đầu mút kia!).

Trên đường thẳng qua hai điểm đã cho có thể làm xuất hiện thêm nhiều điểm khác và chúng ta gọi những điểm như vậy là thẳng hàng đối với nhau. Có thể thấy rằng qua ba hay nhiều điểm thẳng hàng, chỉ có thể vẽ duy nhất một đường thẳng, thế nhưng qua ba điểm thẳng hàng cho trước, không thể nào vẽ được một đường tròn.

Khi có ba điểm cho trước không thẳng hàng, sẽ không bao giờ vẽ được một đường thẳng qua ba điểm ấy nhưng sẽ vẽ được duy nhất một đường tròn qua chúng. Hiển nhiên là nếu nối ba điểm ấy bằng những đoạn thẳng thì chúng hợp thành một đường gấp khúc khép kín và lập nên một hình tam giác nội tiếp đường tròn duy nhất đi qua ba điểm đã cho đó.

Cũng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước, có thể vẽ một đường bất kỳ qua hai điểm mà không qua điểm còn lại. Vậy qua điểm còn lại đó có thể vẽ được một đường giống hệt nó (được gọi là trùng khít tuyệt đối với nó). Chúng ta gọi hai tập hợp điểm của hai đường đó có quan hệ tương ứng một một và nếu khoảng cách của các điểm tương ứng của hai đường đó là bằng nhau tuyệt đối (bất biến) trên suốt chiều dài của chúng thì chúng được gọi là hai đường song song với nhau. Nếu đó là hai đường thẳng thì gọi là hai đường thẳng song song. Từ đây, chúng ta có định đề 5 Ơclít: qua một điểm ngoài đường thẳng cho trước chỉ có thể vẽ được một đường thẳng và chỉ một mà thôi, song song với đường thẳng đã cho. Vì không gian của hình học vĩ mô là trống rỗng nên có thể đặt ra những qui ước khác nhau thay cho định đề 5 Ơclít để có những hình học vĩ mô khác nhau phi Ơclít (miễn là không mâu thuẫn).

Chúng ta gọi những đường không song song nhau là những đường chéo nhau hoặc cắt nhau và cả những đường có vẻ như song song nhau (gọi là giả song song) nhưng khác nhau về hình dạng.

Quan niệm về đường thẳng thuần túy, có hai điểm mút ở tận cùng xa, khi bỏ qua miền ảo, vẫn còn gây rất nhiều áy náy. Vì điểm tận cùng xa cũng có thể là điểm thông thường nếu chúng ta “ở đó” nên đường thẳng vẫn phải tiếp tục được kéo dài ra nữa. Như thế dẫn đến phải quan niệm về một không gian vô tận “thực sự” và tuyệt đối. Quan niệm như thế sẽ làm cho NTT, người khởi xướng ra triết học duy tồn “buồn thúi ruột”. Cần phải tìm cách cãi cho được để ông ta khỏi phiền lòng!

Có lẽ rằng luôn phải lưu ý tới nội tại của một điểm dù là bỏ qua nó. Cũng theo quan niệm của hình học vĩ mô mà nhìn thế giới vô cùng nhỏ trong không gian vĩ mô thì một điểm không gian tận cùng nhỏ có nghĩa cũng là ở tận cùng xa và vì “thấy” được nó, nên cũng tận cùng gần. Từ “rìa” một điểm tận cùng gần cho trước, nếu vẽ một đường thẳng thì đường thẳng đó sẽ tiến tới tận cùng xa và như thế, điểm mút của nó sẽ đến tiếp giáp với “rìa” bên kia của điểm đã cho. Nếu bỏ qua nội tại của điểm thì điểm mút của đường thẳng sẽ trùng với điểm mút ban đầu của nó. Nếu không bỏ qua nội tại của điểm đã cho thì đường thẳng phải phát triển tiếp, xâm nhập vào nội tại điểm đã cho, được gọi là miền ảo của không gian, mà theo “quan sát” của đường thẳng cũng đã chuyển hóa thành ảo đó chính là miền thực của một vũ trụ bao la “thứ thiệt”. Như vậy, một đường thẳng xuất phát từ một điểm bất kỳ nào trước sau gì cũng về lại điểm đó. Thế nhưng một đường thẳng như thế thì sao mà thẳng nữa mà phải cho rằng nó cong và đồng thời cũng là đường trắc địa.

Làm sao mà dung hòa được giữa tính vô tận của không gian và tính cong của đường thẳng? Phải chăng ở trạng huống không gian “rất gần” với sự vô tận của vô cùng lớn thì đường trắc địa (qui ước là đường tròn) và đường  phân đôi nó (qui ước là đường thẳng) là ảo - thực của nhau, nghĩa là nếu đi trên đường thẳng thì “hiện thực” là đi trên đường trắc địa và “thấy” đường thẳng (như “ảo ảnh”) là đường tròn, và ngược lại, nếu đi trên đường tròn thì “hiện thực” là đi trên đường thẳng và “thấy” đường tròn (như ảo ảnh) là đường thẳng (hay theo quan niệm vật lý là chuyển động đều trên đường thẳng thì thấy đang “quay” vì “cảm” được lực hướng tâm, còn “quay” trên đường tròn thì thấy đang chuyển động thẳng đều vì không “cảm” được tác dụng của lực)?

Dù không gian của hình học vĩ mô được thấy là rỗng không, có cái vẻ êm đềm, tĩnh lặng và thuần khiết nhưng chính sự ẩn hiện đa dạng các loại đường, muôn màu muôn vẻ những mối quan hệ giữa chúng, đã làm phát lộ ra ở mức độ nhất định tính đa tạp của nó. Một trong những biểu hiện cơ bản của không gian vĩ mô là mối quan hệ khăng khít và sự chuyển hóa sinh động qua lại giữa tính thẳng (bất biến hướng) và tính cong tròn (biến đổi đều đặn hướng trên một mặt phẳng). Chính sự chuyển hóa trong mối quan hệ giữa tính thẳng và tính cong tròn mà làm xuất hiện các đường cong, đường lượn, đường sóng… và các mặt lượn, vặn xoắn…

Cần thấy rằng những biểu hiện đa tạp đó trước sau gì cũng được nhận thức thừa nhận và nhận thức ngày càng thấu đáo, bởi vì đó chính là những phản ánh ở chừng mực nhất định cái bản chất vốn dĩ của Vũ Trụ.

Trong không gian vĩ mô, đường thẳng tuyệt đối (hay gọi là thẳng thuần túy) và cong tròn tuyệt đối (hay còn gọi là cong tròn thuần túy) chỉ có thể là lý tưởng, thuộc tồn tại ảo. Tất cả các loại đường, không ít thì nhiều, đều cong. Đó là biểu hiện những kết hợp giữa thẳng thuần túy và cong tròn thuần túy. Có thể nói, không có một đường thẳng nào lại không cong và không có một đường cong tròn nào lại không thẳng, hay nói cách khác là trong cong có thẳng và trong thẳng có cong. Để khảo sát và nghiên cứu mối quan hệ và chuyển hóa giữa thẳng và cong tròn, quan sát và tư duy ở tầng vĩ mô phải đề ra những qui ước chủ quan của mình để đi đến một khái niệm cơ sở, đó là “độ cong” của đường, mặt, không gian. Có thể nói độ cong là một trong những “thước đo” về mức độ vặn, xoắn, uốn lượn cũng như tầm cỡ qui mô của không gian theo quan điểm của chủ thể quan sát và tư duy ở tầng nấc vĩ mô nào đó.

Hình 5: Khái niệm về độ cong

Trong Vũ Trụ hình học, chúng ta có thể tưởng tượng ra được một đoạn thuần thẳng nào đó và có thể vẽ một cung tròn nhận nó là đường kính. Cảm nhận trực giác cho thấy nếu cho đường kính đó ngày một dài ra thì sẽ vẽ được những cung tròn có vẻ ngày càng “dãn” ra so với cung tròn ban đầu và đến một lúc mà cung tròn bị dãn ra đến nỗi một đoạn của nó trong tầm quan sát được, trông chẳng khác nào một đường thẳng (xem minh họa ở hình 5). Hiện tượng đó chỉ ra rằng đi về phía qui mô vô cùng lớn của không gian, tính cong tròn giảm đi và tính thẳng tăng lên và ngược lại, đi từ phía qui mô không gian vô cùng lớn đến phía không gian vô cùng nhỏ, tính thẳng giảm đi còn tính cong tròn tăng lên. Hay nói cách khác là chu vi của đường tròn càng lớn thì độ cong của nó càng nhỏ và ngược lại, chu vi của nó càng nhỏ thì độ cong của nó càng lớn. Giả sử có hai đường tròn có đường kính lần lượt là D₁ và D₂.

Chu vi của chúng được tính lần lượt là và . Để so sánh độ cong giữa chúng, ta lập mối quan hệ tỷ lệ:

                 

Nếu , chúng ta nói độ cong của đường tròn có đường kính D₁ nhỏ hơn độ cong của đường tròn có đường kính D₂. Nếu , chúng ta nói độ cong của đường tròn có đường kính D₁ lớn hơn độ cong của đường tròn có đường kính D₂.

Với cách xác định độ cong như trên thì cũng có thể bằng 1:

                 

Nghĩ là: độ cong của một đường tròn so với chính nó bao giờ cũng bằng 1. Như chúng ta đã biết, 1 là biểu thị của đơn vị. Vậy có thể qui ước, độ cong của đướng tròn trên làm đơn vị độ cong (tương đối) của Vũ Trụ. Thế thì có độ cong tuyệt đối không?

Những suy nghĩ ở trên dẫn đến nghi vấn: hình như độ cong của không gian chỉ là ý niệm hoàn toàn chủ quan của chủ thể quan sát, tư duy và nhận thức ở một tầng nấc kích cỡ qui mô không gian nào đó. Dường như chủ thể quan sát có thể tùy tiện chọn bất cứ chu vi đường tròn nào làm chuẩn trong việc đánh giá mức độ cong cũng được? Và như thế mức độ cong của không gian một tầng nấc qui mô nào đó sẽ bất ổn và hoàn toàn tùy thuộc vào sự đánh giá của một hệ quan sát. Hơn nữa, vì độ cong của một đường tròn so với chính nó luôn bằng 1 là một hiện tượng bất biến và phổ biến ở mọi tầng nấc qui mô không gian, cho nên có thể nghĩ rằng sự trình diễn của không gian ở tầng nấc qui mô nào đó trước chủ thể quan sát “thuộc” tầng nấc đó cũng y hệt sự trình hiện của không gian ở tầng nấc khác đối với một chủ thể quan sát khác “thuộc” tầng nấc này. Có thể nào cho rằng vì ở tầng nấc của chúng ta, tính thẳng, phẳng Ơclít của không gian là một hiện thực không thể chối cãi được (dù bên cạnh đó cũng có thể cùng tồn tại cả tính phi Ơclít), nên tính Ơclít của không gian vĩ mô, dù là ở chốn vô cùng xa hay vô cùng gần, ở cõi vô cùng nhỏ hay vô cùng lớn? Hay không gian vĩ mô chẳng phải Ơclít mà cũng chẳng phải phi Ơclít (vì nó hư vô) và tùy theo quan niệm chủ quan của chủ thể quan sát, nhận thức mà nó có thể như thế này hoặc như thế kia? Giả dụ đúng thế thật thì cái không gian đó là do con người duy ý chí trong mê lầm sáng tạo ra và nó chỉ có thể hiện hữu trong Vũ Trụ là một lực lượng có thực, là cái có trước, cái nhờ Nó mà chủ thể quan sát và tư duy được sinh ra, làm bộ phận của Nó. Không, chủ thể quan sát và tư duy dù “muốn” nhận thức như thế nào về Không Gian Vũ Trụ mặc lòng, Không Gian ấy vẫn tồn tại và vận động theo “ý chí khách quan” của nó, theo cách tự nhiên vốn dĩ. Sự gây nhiễu và lũng đoạn của tính chủ quan không hề mảy may ảnh hưởng đến cấu trúc và hành vi của Không Gian Vũ Trụ mà chỉ làm cho chủ thể quan sát và tư duy tự “hành hạ khốn khổ” bản thân mình, tự gây cho mình mù quáng mà thôi.
Nếu tận cùng nhỏ là điểm KG (cách gọi khác của hạt KG), và nếu hình tượng của nó là hình tròn, thì độ cong của nó chính là độ cong tuyệt đối của Vũ Trụ.

Để bảo vệ những “thành quả” đã “gặt hái” được trong những bàn luận “một cách triết học” về không gian thực tại, chúng ta không thể phủ nhận sự thực khách quan về độ cong của không gian vĩ mô. Đồng thời, để không mâu thuẫn thì chúng ta cũng không thể phủ nhận được rằng độ cong đó cũng nhuốm đậm màu sắc chủ quan của chủ thể quan sát và tư duy, mà nguyên nhân làm nảy sinh ra là do bản chất của nhận thức. Vậy thì, đến đây, chúng ta có thể khẳng định: Không Gian Vũ Trụ, theo năng lực quan sát bị giới hạn trong phạm vi vĩ mô, thực sự là có độ cong; độ cong đó cực đại ở tầng nấc tận cùng nhỏ và cực tiểu ở tầng nấc tận cùng lớn. Quá trình giảm độ cong không gian từ tầng nấc qui mô vô cùng nhỏ đến tầng nấc qui mô vô cùng lớn (hoặc ngược lại) là liên tục vì bản thân không gian không tự phân ra các “khoảng” tầng nấc qui mô. Việc phân ra thành các “khoảng” tầng nấc, các lớp không gian chỉ là tương đối, có tính ước lệ bởi chủ quan của chủ thể quan sát và tư duy (được cho là đang hiện hữu và nghiên cứu ở đâu đó trong thế giới vĩ mô!).

Nếu chúng ta chọn một khoảng cách nào đó làm độ dài cho một đoạn thẳng và chọn đoạn thẳng đó là đường kính của một đường tròn qui ước là chuẩn để dựa vào đó mà đánh giá độ cong của các tầng nấc qui mô không gian khác nhau do chính chúng ta phân định theo qui ước chủ quan của mình thì rõ ràng chúng ta đã sáng tạo ra một không gian có “cách biểu hiện” độ cong theo quan điểm của riêng chúng ta. Về mặt hình thức, không gian đó có thể đã mô tả phù hợp với không gian thực tại nhưng về mặt thực chất nó đã trở nên “dị dạng” so với không gian thực tại bởi sự nhiễu loạn của qui ước chủ quan, và cái không gian đó chỉ có thể hiện hữu trong Vũ trụ hình học, nghĩa là trong sự tưởng tượng của chúng ta mà thôi. Chẳng hạn, chúng ta cho rằng ánh sáng truyền thẳng và chọn quãng đường đi được của tia sáng trong một giây (300.000 km) là đường kính của đường tròn chuẩn để đánh giá độ cong, và gọi đường kính của nó là đơn vị độ cong không gian (bằng 1). Để xác định độ cong của một đường tròn bất kỳ có đường kính D nào đó, chúng ta có thể viết:

và gọi đó là độ cong của đường (gọi như thế, vì diện tích mặt cầu là và thể tích khối cầu là , nên chúng ta cũng có thể gọi:

Khi D tăng trưởng đến vô cùng lớn thì tiến tới vô cùng nhỏ. Hiện tượng được suy ra trong nhận thức hoàn toàn chủ quan này ắt phải dẫn chúng ta đến kết luận: độ cong của đường tròn vô cùng lớn đó so với đơn vị chuẩn đã chọn là hầu như bằng 0, nghĩa là tính cong của nó hầu như không còn nữa và có thể coi nó là đường thẳng. Tuy nhiên, kết luận này chỉ đúng và cũng chỉ “phục vụ” cho chúng ta, những chủ thể quá ư nhỏ bé và thiển cận (nhưng cứ nằng nặc đòi làm chúa tể!) thôi, chứ đối với một chủ thể quan sát có “tầm vóc” khổng lồ đến mức cũng… vô cùng lớn thì sự thể sẽ hoàn toàn khác. Đường tròn, dù có gọi là thẳng thì cứ vẫn là đường tròn!

Tương tự, nếu D là vô cùng nhỏ thì chúng ta phải đi đến kết luận: độ cong “ở đó” là vô cùng lớn và đường tròn có đường kính D hầu như không còn tính thẳng nữa. Tuy nhiên, đối với chủ thể quan sát ở rất “sâu” trong nội tại của đường tròn đó thì lại thấy độ cong của nó “chẳng nhằm nhò gì”, thậm chí có thể cho là  bằng 0 và đường tròn đó được thấy như một đường thẳng.

“Tệ hại” hơn nữa, nếu chúng ta cho rằng bản thân đang sống trong một không gian có kích cỡ qui mô về khoảng cách là gấp đôi từ chỗ chúng ta đặt trạm quan sát đến đường chân trời (vì chúng ta không thể thấy được bất cứ điều gì xảy ra ở “bên kia” đường chân trời) và tạm cho rằng nó bằng 300 km, thì độ cong của không gian này so với chuẩn mà chúng ta đã chọn là:

Và nếu tính theo độ cong khối thì là:

Hachiko là 1 chú chó nhỏ, lông màu trắng chào đời vào tháng 11 năm 1923 ở tỉnh Akita, Nhật Bản.

Câu chuyện xảy ra vào năm 1925, tại nhà ga Shibuya. Hachi, biệt danh là Hachiko – là một chú chó nhỏ, lông màu trắng, chào đời vào tháng 11 năm 1923 ở tỉnh Akita, Nhật Bản. Chú bị lạc chủ và được giáo sư Ueno của trường đại học Tokyo đem về nuôi dưỡng như người con trong gia đình.


Hàng ngày như thường lệ, cứ mỗi buổi sáng là Hachiko tiễn giáo sư Ueno Eizaburo đến nhà ga để ông lên tàu đi làm và cả hai đều đi bộ tới nhà ga Shibuya. Hachiko không được phép theo giáo sư đến Đại Học Hoàng Gia (nay là Đại Học Tokyo), nơi ông đang giảng dạy, và chiều cũng vậy, cứ đến 3 giờ chiều , Hachiko lại ra nhà ga đợi giáo sư về.
Nhưng vào ngày 12 tháng 5 năm đó, giáo sư Ueno đã qua đời sau một cơn đột quỵ khi đang giảng bài trên giảng đường ở trường đại học và mãi mãi không thể trở về được. Còn Hachiko cứ như mọi ngày, vẫn đến nhà ga vào lúc 3 giờ chiều để đón chủ nhân về. Nhưng hôm đó đã qua 3 giờ rất lâu, bao nhiêu chuyến tàu đã đi qua, trời đã tối mà không thấy giáo sư về. Và Hachiko, chú cho trung thành không hề nản lòng, Hachiko vẫn đứng đợi và đợi.

Hachiko linh cảm rằng có chuyện gì chẳng lành đã xảy ra, tuy vậy nó vẫn ra ga đợi chủ nhân vào lúc 3 giờ chiều mỗi ngày. Chẳng bao lâu sau, những người xung quanh bắt đầu để ý tới sự chờ đợi vô vọng của Hachiko đối với người chủ nhân đã qua đời của mình. Lần lượt, từ người làm vườn trước đây của giáo sư, đến giám đốc nhà ga và những người dân trong vùng đã cho Hachiko ăn và thay phiên nhau chăm sóc nó.


Câu chuyện về chú chó trung thành nhanh chóng được lan truyền khắp nơi và Hachiko được coi như một tấm gương sáng về lòng trung thành. Người ta tìm đến Shibuya chỉ để nhìn Hachiko, cho nó ăn, hoặc nhẹ nhàng xoa đầu vào đầu nó để chúc may mắn.

Năm 1932, khi Hachiko đợi chủ nhân được 7 năm, 1 sinh viên của giáo sư Ueno đã viết 1 bài báo kể về chuyện cảm động này và gửi đăng ở 1 tờ báo lớn ở Tokyo . Ngay lập tức có rất nhiều người quan tâm lo lắng cho chú chó trung thành này. Cũng từ Hachiko mà người Nhật thêm vào từ điển từ mới “chukhen” – chú chó nhỏ trung thành .

Nhiều ngày, nhiều tháng, rồi nhiều năm trôi qua, Hachiko vẫn có mặt đều đặn ở nhà ga vào lúc 3h chiều, mặc dù nó đã bị bệnh viêm khớp và đã quá già yếu rồi. Cuối cùng vào ngày 8 tháng 3 năm 1935, gần 11 năm kể từ ngày nó nhìn thấy chủ nhân lần cuối cùng, người ta tìm thấy Hachiko -lúc đó đã 12 tuổi - nằm gục chết tại chính cái nơi mà nó đã đứng đợi chủ nhân của mình trong suốt nhiều năm.

Hachiko qua đời ngày 8/3/1935. Cả gia đình giáo sư quây quần bên chú trong những giây phút cuối cùng.

Cái chết của Hachiko được đăng lên trang nhất của rất nhiều tờ báo lúc bấy giờ và người đã dành hẳn một ngày để để tang Hachiko. Từ số tiền đóng góp của dân chúng trong cả nước, người ta đã thuê nhà điêu khắc Ando Teru để làm một bức tượng Hachiko bằng đồng. Khi bức tượng được hoàn thành và được đặt trang trọng ở bên trong sân ga, tại chính vị trí nó đã đứng đợi chủ nhân trong gần 10 năm.




Tuy nhiên, vài năm sau đó, Nhật Bản lâm vào chiến tranh, tất cả những thứ gì là kim loại đều bị lấy đi để làm vũ khí, không ngoại trừ bức tượng Hachiko. Sau khi chiến tranh kết thúc, vào năm 1948, con trai của Ando Teru là Takeshi đã làm một bức tượng Hachiko mới. Bức tượng đó được đặt ở ga Shibuya cho đến tận ngày hôm nay. Mỗi năm vào ngày 8/4, người ta lại tổ chức một buổi tưởng niệm Hachiko tại nhà ga Shibuya.



Ngoài bức tượng Hachiko ở ga Shibuya, Hachiko còn được dựng tượng ở quê hương mình, bên ngoài ga Odate và một bức khác ở trước bảo tàng chó Akita.


Bên cạnh mộ của giáo sư Ueno tại nghĩa trang Aoyama cũng có đặt một bức tượng của Hachiko. Có nhiều tin đồn rằng xương của Hachiko cũng được chôn tại đó. Nhưng thực ra bộ xương của Hachiko hiện đang được trưng bày tại Viện Bảo tàng Quốc Gia.

Hình ảnh Hachiko được trưng bày tại bảo tàng Tự nhiên và Khoa học quốc gia ở Ueno.

Đại học Tokyo cũng tạc một bức tượng Hachiko đang chơi đùa cùng giáo sư.

Một tấm bia tưởng niệm Hachiko cạnh mộ chủ ở nghĩa trang Aoyama được dựng để tưởng nhớ chú. Lối ra ở ga Shibuya được đặt theo tên Hachiko.

Một nắp cống in hình Hachiko ở ngay gần bức tượng tại ga Shibuya.
Câu chuyện về Hachiko được Hollywood dựng thành bộ phim Hachi: A Dog’s Tale. Tài tử Richard Gere đóng vai giáo sư Hidesaburo Ueno.

Xem trailer bộ phim Hachi: A Dog’s Tale:

“Hết ngày nọ sang ngày kia, hết tháng nọ sang tháng kia, rồi hết năm nọ sang năm kia, hình ảnh con chó cái già cứ đi đi về về giữa phần mộ và ngôi nhà của ông bà chủ nó đã trở thành quen thuộc với dân làng Ngọc này…”. Câu chuyện có thật về một chú chó canh mộ chủ ở Việt Nam sẽ khiến bạn không thể nào cầm được nước mắt.

Một cư dân mạng đã đăng tải hình ảnh của một chú chó lông vàng với ánh mắt buồn bã kèm theo câu chuyện về cuộc đời 15 năm của chú chó già lên mạng xã hội. Chú chó được chủ chăm nuôi từ khi còn nhỏ, sau khi chủ qua đời, nó vẫn trung thành thăm nom và chăm sóc ngôi nhà và mộ của chủ suốt 5 năm.

Nguyên văn câu chuyện về cuộc đời chú chó trung thành:

“Nó đã bước sang cái tuổi 15. Cái tuổi về già của một con chó cái. Mười năm đầu đời của nó không có gì đáng nói ngoài việc nó đẻ cho chủ nó 6 lứa con mỗi lứa cũng 6 con lứa nào con nó cũng bụ bẫm, đẹp đẽ như tranh vẽ.

Chủ của nó là 2 cán bộ nhà nước đã nghỉ hưu khi nó chưa ra đời… Những đứa con của nó ông bà không bán mà cho các nhà hàng xóm láng giềng, cũng vì thế mà nó và đàn con đông đúc đã trở thành đội bảo vệ hiệu quả của cái xóm nhỏ bé, nơi có những con người coi mẹ con nó là những người bạn thật sự…

Thế rồi tai nạn khủng khiếp ập xuống cuộc đời nó… Ông bà chủ lần lượt ra đi vì căn bệnh hiểm nghèo… Con cái của chủ nó đều đang công tác ở tận Sài Gòn… Tang ma xong lại dắt díu nhau đi hết… Phần hương khói con cái ông bà chủ nhờ bà thím gần đó coi sóc, còn phần nó tự gánh lấy trách nhiệm coi sóc ngôi nhà và phần mộ của ông bà chủ….

Rồi những ngày tiếp sau đó người ta cũng quen dần với sự vắng vẻ của ngôi nhà và 1 con chó cái già và cũng không ai thèm để ý đến sự vắng mặt của nó ở ngôi nhà vào buổi sáng 7 giờ đến 8 giờ buổi chiều 4 giờ đến 5 giờ… nắng cũng như mưa. Mãi gần 3 tháng sau người ta mới phát hiện ra hành tung của nó… Thì ra những lúc nó vắng nhà là lúc nó xuống nằm bên mộ ông bà chủ của nó, cách đấy hơn 1km. Từ đấy ngôi ngà của chủ nó có nhiều người qua lại… quét cho nó cái ngõ – cái sân, đặt biệt là cái tô đựng thức ăn của nó lúc nào cũng sạch sẽ và đầy những thức ăn ngon… Hết ngày nọ sang ngày kia, hết tháng nọ sang tháng kia, rồi hết năm nọ sang năm kia, hình ảnh con chó cái già cứ đi đi về về giữa phần mộ và ngôi nhà của ông bà chủ nó đã trở thành quen thuộc với dân làng Ngọc này… ai cũng ái ngại và thương cảm cho nó… Đôi mắt đen nhánh khi xưa bây giờ đã chuyển sang màu trắng đục… mắt nó đã lòa.

Bước chân nó cũng không được nhanh nhẹn nữa… có một đều khác nữa mà ai cũng nhận ra nó không đi bên đường như trước mà cứ giữa đường nó đi… mắt nó đã mù hẳn…

Người đi bộ tránh nó, xe đạp xe máy nhường đường cho nó, ô tô dừng lại để nó đi qua…. Có một điều lạ nữa là khi nó đi đến chỗ ngã tư giáp đường Quốc lộ bao giờ nó cũng dừng lại ta vểnh lên nghe ngóng và khi nó bước những bước nhọc nhằn trên phần đường quốc lộ cũng là lúc không có chiếc ôtô nào chạy qua… và những người yêu quý nó… bám sát theo chân nó, 2 tay dang ra giống như công an dẹp đường giữ an toàn cho một nhân vật quan trọng đi qua….

Cách đây gần một tháng trên đường ngoài mộ chủ về nó dính cơn mưa dông bất chợt… một người dân phát hiện nó nằm thoi thóp bên đường… Nó được đưa về nhà và chăm sóc như một người bệnh thực sự rồi nó cũng qua khỏi cơn nguy kịch… nhưng 4 chân của nó không còn đủ sức đưa nó xuống phần mộ của ông bà chủ nữa….

Hôm nay, tôi vào thăm nó, nó không còn vẫy vẫy cái đuôi được nữa 2 dòng nước ở hai khóe mắt chảy ra đậm đặc hơn, đôi mắt không còn chút sinh khí nào. Một nỗi buồn man mác xâm chiếm tâm hồn tôi, tự nhiên nước mắt tôi cứ chảy ra và phải khó khăn lắm mới bấm được mấy kiểu ảnh… và bây giờ tôi post lên để các bạn thấy: Nó đấy, 15 năm tuổi đời có 5 năm đi lại chăm nom phần mộ và ngôi nhà của chủ… Nó là một con chó cái già đấy các bạn ạ!”

Câu chuyện này đã làm nhiều người liên tưởng đến chú chó Hachiko của Nhật. Làm sao có thể cầm lòng trước cảnh tượng một chú chó ở cái tuổi không còn đủ khỏe mạnh với đôi mắt chẳng thể nhìn rõ đường đi vẫn kiên trì bên cạnh mộ phần chủ nhân đến những phút cuối cùng.

Câu chuyện đã thu hút rất nhiều lượt thích và bình luận của cư dân mạng, ai cũng cảm thấy xúc động trước tình cảm của chú chó trung thành. Bạn Thuy Kim nghẹn ngào: “Đọc câu chuyện này khiến mình không thể nào cầm được nước mắt. Chó đúng là loài động vật vô cùng trung thành”. “Chỉ có ta bỏ nó chứ nó ko bao giờ bỏ ta. Mình chưa bao giờ xem nó là con thú, mình rất rất thương chó và xem nó giống như một người bạn, một người thân của mình”, bạn Trinh Quách bình luận.

Theo Thể thao văn hóa