TT&HĐ IV - 37/f

                                         Lưu ý để sử dụng thành thạo vòng tròn lượng giác

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)

Những câu chuyện lịch sử có liên quan đến dãy F, số còn rất nhiều, khó lòng kể ra hết được. Có lẽ chúng ta nên tạm dừng ở đây vì đã nêu ra được những điều cốt yếu. Chỉ xin nói thêm rằng, đến nay, Leonard Fibonacci vẫn còn được nhiều người nhắc đến. Tại Pisa, một bức tượng của ông được chế tác từ thế kỷ XIX vẫn sừng sững trong công viên Scotto, gần đó có một con đường mang tên Fibonacci.

Hình 12

***

Sự xuất hiện số vô tỷ (dù là tất yếu) trong Vũ trụ số đã từng gây kinh hoàng cho các nhà toán học trường phái Pitago thời cổ đại. Nhưng rồi loài người cũng nhanh chóng thừa nhận nó một cách “vui vẻ” với an ủi rằng chúng là kết quả của sự khai căn “vô nguyên tắc”. Còn sự xuất hiện những đoạn thẳng vô tỷ trong Vũ trụ hình thì cho đến tận ngày nay, dù cũng phải thừa nhận, nhưng vẫn thấy “khó coi”. Một đoạn thẳng vô tỷ mà luôn có thể xác định được một cách dứt khoát là điều hoàn toàn khó hiểu nếu không quan niệm về tính biểu hiện nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại.

Người ta cho rằng sự vô tỷ của một đoạn thẳng có nguồn gốc từ tính vô ước mà nguyên nhân sâu xa của tính vô ước, theo chúng ta là do các đoạn thẳng nằm trong những thế giới khác nhau về phương chiều. Thực ra, không có đoạn thẳng nào là thực sự vô tỷ cả, sự biểu hiện vô tỷ của chúng là có tính “nhân tạo”. Có thể nói, với sự tư duy “bạt mạng” của mình, con người đã sáng tạo ra đoạn thẳng vô tỷ để tự “hành hạ” mình.

Việc chia đoạn thẳng theo điều kiện tích trung bằng tích ngoại (hay trung tỷ bằng ngoại tỷ) làm một đoạn thẳng cho trước (cũng có nghĩa là hoàn toàn xác định và như vậy, số trị độ dài của nó nếu không nguyên thì ít ra cũng phải hữu tỷ), bị phân thành hai đoạn vô tỷ (nhưng về mặt trực quan là hoàn toàn hữu hạn) đã gây ra sự bối rối ghê gớm cho nhận thức. Trong thực tế, vì chia đoạn thẳng là một hành động tự do nên có thể chia được như thế. Tuy nhiên, đồng thời cũng không thể chia được như thế vì không thể có một “con dao” sắc đến vô tận (mỏng đến vô tận) để phân một đoạn thẳng đã xác định thành hai đoạn (rõ ràng là) hữu hạn nhưng có giới hạn ở vô cùng tận. Không thể nào không bái phục Tỷ lệ vàng, một đứa con sinh ra từ mâu thuẫn “khủng khiếp” như thế lại là một trong những niềm thích thú nhất của Thiên nhiên, lại là một trong những yếu tố cốt lõi tạo tác nên những vẻ đẹp bất diệt của Tự Nhiên. Đó phải chăng cũng là cội nguồn của tình yêu say đắm trong tâm hồn của những giống loài biết tư duy, nhận thức. Có lẽ, tỷ lệ vàng là sự minh chứng hùng hồn cho quan niệm tính vô hạn của cái hữu hạn!

Đến đây, chúng ta bất chợt nhớ lại một bài thơ mà chúng ta đã cảm tác sau khi xem một cuộc thi hoa hậu thế giới trên TV. Bài thơ đó như thế này:

TỶ LỆ VÀNG

Ta ngồi ngắm Tỷ lệ vàng
Bước qua bước lại hai hàng nõn thon
Muốn ôm khuôn thước trăng tròn
Hôn vùi non nước thỏa hồn lang thang…

Chợt nhìn thấy vợ đi ngang
Vội vàng eo ỏng: “Toàn nàng… ma chê”
Vợ lườm, vợ nguýt thấy ghê:
“Đàn ông, một lũ chẳng mê cũng thèm!”.

Lạ thay hai mảnh treo rèm
Khéo che vô tỷ, người xem nức lòng!

Vui chút thế thôi, bây giờ chúng ta sẽ quay lại xem xét lần nữa việc chia đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại.

Trước hết, chúng ta sẽ vẽ lại đoạn thẳng OA của hình 2:

Điểm B nằm tại vị trí thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại, nghĩa là:

                 

Trong không gian Ơclít, đường thẳng là tập hợp của vô số điểm kế tiếp nhau trên một phương nhất định. Ở đây, đoạn thẳng OA là một tập hợp hữu hạn điểm nằm kề tiếp nhau trên đường thẳng a. Giả sử rằng các điểm đó là điểm tuyệt đối (hạt KG), tổng “bề dày” của chúng chính là độ dài tuyệt đối của đoạn thẳng OA và bằng n (n cũng là số lượng của các điểm làm nên đoạn thẳng OA). Điểm B chỉ có thể là một trong số các điểm đó.

Điều giả sử nêu trên dẫn đến kết luận đầu tiên là không những đoạn thẳng OA là nguyên (tự nhiên) mà các đoạn OA và BA cũng là những đoạn thẳng hữu tỷ, đều có bản chất nguyên (tự nhiên). Cần chú ý rằng, tất cả những đoạn thẳng hữu tỷ đều có bản chất nguyên (tự nhiên). Sự hữu tỷ của chúng chỉ là do nhân tạo, do nhận thức quy định. Chẳng hạn có đoạn thẳng hữu tỷ là 0,5m. Nếu chúng ta qui định lại đơn vị đo độ dài cho nó là dm thì nó sẽ trở thành một đoạn thẳng nguyên (tự nhiên) và bằng 5 dm (đềximét!).

Nếu chúng ta gọi OB là x và BA là y, thì:

                 

và vì phải thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại nên cũng có:

     

Giải phương trình theo ẩn số x, chúng ta được:

      

Khi chọn y=1 (hoặc -1) thì

    

Nghiệm của phương trình đã gây ra một “khủng hoảng vĩ đại” không thể tin nổi: x là một đoạn thẳng tư nhiên “thuở ban đầu", giờ đây lại trở thành một đoạn thẳng vô tỷ, thậm chí là vừa âm vừa vô tỷ và “ngắn” hơn đoạn thẳng y (trong khi chúng ta “thấy” nó dài hơn).

Cần phải hiểu hiện tượng đó như thế nào? Về vấn đề nghiệm âm của phương trình có thể tạm hiểu được là khi hai đoạn thẳng x và y là cùng dấu âm, dương (không phân định thành tương phản, hoặc là cùng chiều nếu chúng là những véctơ) thì x luôn dài hơn y, ngược lại, khi chúng (được qui ước) khác dấu âm, dương (hoặc là những véctơ trái chiều), thì x bao giờ cũng ngắn hơn y (về mặt giá trị tuyệt đối) và hơn nữa x₁ và x₂ là tương phản nghịch đảo của nhau qua gốc –y², nghĩa là:

                 

Còn vấn đề sau khi tính toán, một đoạn thẳng nguyên bị “đổi” thành vô tỷ thì như thế nào?

Nếu xem xét kỹ thì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng a đều luôn được xác định đối với đường thẳng a vì chúng chỉ có thể được hình thành bắt đầu từ một điểm nào đó và kết thúc tại một điểm khác. Không thể có một khoảng cách nào trong x nhỏ hơn đơn vị độ dài tuyệt đối của a được nữa. Một đoạn thẳng là vô tỷ đối với đường thẳng a thì không cùng phương với đường thẳng a, hoặc phải là một đường không thẳng, hoàn toàn hay có ít nhất một bộ phận khác phương với a. Chính vì điều này mà không thể nào chọn được điểm B trên đoạn thẳng OA sao cho thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại. Còn muốn thỏa mãn điều kiện ấy thì hoặc điểm B phải nằm ngoài đường thẳng a (để đoạn x được thấy là vô tỷ đối với a), hoặc nếu B vẫn có thể nằm trên đường thẳng a (trong khoảng OA) thì đoạn OBA không còn thẳng nữa (nghĩa là không còn thuộc a nữa dù ba điểm O, B, A vẫn thuộc a). Chúng ta minh họa vài trường hợp có thể của đoạn OBA khi nó thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại (theo “quan niệm” của đường thẳng a) ở hình 13:

Hình: 13: Hiện tượng tích trung bằng tích ngoại

Thực ra các minh họa ở hình 13 chỉ có tính chất gợi ý tượng trưng chứ không đúng vì trong hiện thực khách quan mà chúng ta đang hiện hữu không thể dựng được những đoạn thẳng ấy với điều kiện chúng vừa phải là hữu tỷ vừa thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại. Muốn thực hiện được điều đó thì phải “thổi thời gian vào, nghĩa là các đoạn thẳng đó phải sống động. Tuy nhiên trong một điều kiện nào đó, chúng ta tin rằng những hình chiếu của những đoạn thẳng ở hình 13, khi “chiếu xuống” đường thẳng a, sẽ tạo nên đoạn OA với điểm phân chia B sẽ thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại mà cả x, y và OA sẽ chẳng có đoạn thẳng nào là vô tỷ cả (đương nhiên là không phải theo “quan điểm” của a).

Dù rằng sự vô tỷ, xét ở khía cạnh khác cũng mang tính khách quan của nó, nhưng chắc chắn rằng nếu không có sự tạo dựng của tư duy thì nó khó lòng thể hiện ra được, thậm chí là không tồn tại. Sự nhân tạo thật không biết đến đâu mà lường! Ngay cả đoạn thẳng OA “chắc như bắp” là tự nhiên như thế, mà qua sự “nhào nặn” của tư duy, nhân tạo cũng buộc đoạn thẳng này phải vô tỷ. Chúng ta sẽ giải phương trình theo hướng hơi khác một chút để minh chứng điều vừa nói.

    

Chọn n là ẩn số và giải ra chúng ta được:

     

Bỏ qua trường hợp phân định tương phản thì n>y, do đó phương trình có nghiệm duy nhất là:

                 

Kết quả cho thấy dù y có thế nào chăng nữa thì n vẫn phải là một số vô tỷ, hay có thể nói, muốn thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại, đoạn OA phải biến thành vô tỷ.

    

Đúng thật là hiện tượng tích trung bằng tích ngoại đã tạo ra biết bao nhiêu điều kỳ lạ, song có lẽ điều kỳ lạ nhất là dù có vẻ thiên về tính nhân tạo nhiều hơn thì đối với sự xắp bày của tự nhiên và các quá trình vận động của vạn vật, nó không hề xa lạ chút nào, mà trái lại, cứ như một kim chỉ nam cho mọi thứ thích thú hướng về. Hình như không có một con số nào sánh được sự vừa kỳ diệu vừa kỳ cục với Tỷ lệ vàng. Chúng ta cho rằng có như thế là vì Tỷ lệ vàng đã bộc lộ ra nhiều điều quan trọng của Vũ Trụ hình học và thông qua đó là của Tự nhiên Tồn tại, chẳng hạn như về mối quan hệ giữa quan sát nhận thức và Thực tại khách quan, và sự chuyển hóa giữa các tầng nấc không gian từ vi mô đến vĩ mô, về cấu trúc đa tạp của không gian… Chắc rằng, Tỷ lệ vàng là một biểu hiện của yếu tố hay mối quan hệ nào đó rất sâu xa về cấu trúc nền tảng của Vũ Trụ hình học. Nếu có thế thì thử hỏi số có mối liên hệ nào đến số “Pi” (ký hiệu: ) không?

Số là một con số mà nếu không có nó thì Vũ Trụ hình học không có sự tương phản giữa “cong” và “thẳng” và do đó mà cũng không thể có chuyển hóa giữa hai lực lượng lưỡng nghi ấy. Nếu thực sự có như vậy thì thử hình dung xem tình hình sẽ nghiêm trọng đến cỡ nào? Cũng thật lạ lùng là số  cũng vô tỷ “khủng khiếp” như số .

Số , đầu tiên được dẫn ra từ hình học, khi người xưa tìm cách tính độ dài (chu vi) đường tròn, nhưng cũng như số , nó ẩn hiện khắp nơi trong tự nhiên. Thí dụ, giáo sư Hans Henrik Stlum, nhà khoa học vế trái đất thuộc trường đại học Cambridge, đã tiến hành tính toán tỷ số giữa chiều dài thực của các con sông và độ dài tính theo đường chim bay của chúng và lập tỷ số. Ông phát hiện ra rằng mặc dù tỷ số này có giá trị khác nhau đối với các con sông khác nhau, nhưng tính trung bình thì nó lớn hơn 3 một chút, cụ thể là vào khoảng 3,14, rất gần với số .

Số chính là tỷ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó. Ngay từ xa xưa, các nhà toán học đã nỗ lực tìm “chân tướng” của số và công cuộc đó cũng là một nỗ lực vô tiền khoáng hậu cho đến tận ngày nay. Acximét đã đưa ra trị số phân số để biểu thị số ; Lưu Huy thời Ngụy ở Trung Quốc đưa ra phân số và , Thái Huy thời Đông Hán dùng phân số …, người Ấn Độ xưa dùng các phân số … Nhà toán học Tổ Xung Chi, người thời Nam Bắc triều ở Trung Quốc đưa ra đuợc trị của số chính xác kỷ lục lúc bấy giờ và kỷ lục đó tồn tại trong một thời gian dài, đó là số 3,141592 (chính xác đến 6 số lẻ). Trong dân gian Việt Nam có lưu truyền một qui tắc xác định đường kính của đường tròn khi biết chu vi của nó: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, nghĩa là “chia (chu vi) làm 8 phân, bỏ đi 3 phần, còn lại 5 phần, rồi chia đôi”, hay có thể viết:

                 

Năm 1427, người Ả Rập tính được ra 17 số sau dấu phẩy của . Một nhà số học người Hà Lan đã tính ra được 35 số sau dấu phẩy của . Sau khi ông mất vào năm 1610, người ta đã khắc số với 35 số thập phân đó lên bia mộ để ghi nhận công lao của ông.

Năm 1973, nhờ máy tính điện tử đã ra đời, hai nhà số học nữ người Pháp đã tính được 1 triệu số sau dấu phẩy của . Sau đó một người Mỹ nâng lên thành 1,5 triệu số lẻ. Đến tháng 9-1989, một nhà toán học  ở trường Đại học Tôkyô (Nhật) đã tính được với hơn 1 tỷ số lẻ. Năm 1996, một nhà toán học Nhật khác cũng thuộc trường Đại học Tôkyô tính chính xác số đến 6 tỷ số lẻ. Sau đó nghe đâu có hai anh em người Nga, sống ở New York đã tính được số với 8 tỷ con số. Có lẽ công cuộc tìm kiếm trị chính xác của số vẫn còn tiếp diễn. Chúng ta không hiểu công cuộc đó có đem lại hiệu quả thiết thực nào không vì người ta ước chừng rằng, chỉ cần một số  chính xác tới 39 con số thập phân thôi là cũng đủ để tính chu vi Vũ Trụ chính xác tới cỡ bán kính của nguyên tử hydrô. Vả lại cũng đã có ít nhất là hai công thức số học để tính số rồi.

Công thức thứ nhất để tính bắt nguồn từ một bế tắc của nhà toán học Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Nhà toán học này không tìm được tổng của chuỗi các nghịch đảo bình phương:

                 

Ông có viết: “Cho đến nay, tôi đã cố gắng nhiều nhưng vẫn không tìm ra. Ai tìm được và cho biết thì tôi xin cảm ơn vô cùng”.

Một nhà toán học thiên tài, đã từng là học trò của Johann Bernoulli (1667 - 1748, em trai của Jacob), đã chú ý tới bài toán đó. Người đó chính là Ơle.

Ơle (Léonard Euler, 1707 - 1783), là nhà toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý học, triết học, âm nhạc, xây dựng… Tuy nhiên sự nghiệp chủ yếu và có được những thành quả phi thường, rực rỡ nhất của ông là nghiên cứu toán học. Trong vai trò nhà toán học, Ơle là thiên tài.

Như đã kể, Ơle (Léonard Euler, 1707 - 1783), là nhà toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý học, triết học, âm nhạc, xây dựng… , Ơle sinh ngày 15-4-1707 tại Bâle, Thụy Sĩ, trong một gia đình mục sư. Từ nhỏ, qua sự hướng dẫn của cha, Ơle đã tỏ ra có năng khiếu đặc biệt về toán học. Năm 1720, Ơle vào học tại trường Đại học Bâle. Tài năng toán học của ông nhanh chóng được giáo sư J. Bernoulli phát hiện. Năm 17 tuổi thì Ơle tốt nghiệp đại học.

Năm 1727, Ơle đến làm việc ở Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua (St. Pêtécbua là tên gọi của thủ đô nước Nga lúc bấy giờ). Tại đây, tài năng của Ơle nhanh chóng thăng hoa. Năm 1735, khi Viện hàn lâm Pêtécbua cần có những số liệu tính toán thiên văn để thiếp lập bản đồ, Ơle đã nhận lời thực hiện yêu cầu đó trong thời hạn 3 ngày. Với một khối lượng công việc đáng lẽ ra phải cần vài tháng mới có thể hoàn thành thì ông đã làm cho mọi người hết sức ngỡ ngàng và thán phục khi thực hiện xong chỉ trong vòng 1 ngày 1 đêm. Do làm việc cật lực như vậy mà ông bị hỏng một bên mắt.

Sau 14 năm làm việc, Ơle hoàn thành rất nhiều công trình toán học có giá trị cao. Ngoài công tác nghiên cứu, ông còn giảng dạy ở trường Đại học tổng hợp Pêtécbua, làm chuyên gia kiểm định kỹ thuật trong công tác đo lường.

Năm 1741, Ơle chuyển sang làm việc tại Viện hàn lâm khoa học Beclin, kinh đô nước Đức. Trước khi rời Nga, ông nhận danh hiệu viện sĩ danh dự Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua. Trong quá trình 25 năm làm việc ở Đức, Ơle đã cho công bố gần 300 công trình nghiên cứu, đồng thời vẫn cộng tác chặt chẽ với Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua và cho đăng tải trên tạp chí của Viện này hơn 100 công trình khác.

Năm 1766, Ơle về lại Pêtécbua. Bốn năm sau, tức năm 1770, do ngày đêm làm việc quên mình, con mắt còn lại của ông bị hỏng nốt. Sau khi bị mù, Ơle còn lâm phải cảnh nhà cháy trụi, của cải mất sạch, cô quạnh vì vợ ông đột ngột qua đời. Song tai ương và đau buồn đó có vẻ như không hề ảnh hưởng tới sức sáng tạo và năng suất làm việc phi thường của Ơle. Ông đã đọc cho thư ký chép hết công trình này đến công trình khác. Từ năm 1766 cho đến lúc qua đời, Ơle đã cho ra đến 416 công trình nghiên cứu, tính ra là khoảng 25 công trình trong 1 năm.

Ơle qua đời tại Pêtécbua vào ngày 18-9-1783 trong khi đang làm viện sử Viện hàn lâm khoa học của 8 nước trên thế giới gồm: Nga, Anh, Đức, Pháp… Sau khi Ơle mất, những công trình chưa công bố của ông được tiếp tục đang trên tạp chí của Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua đến 80 năm sau mới hết.

Năm 1911, tại quê hương Ơle, người ta đã in toàn bộ các công trình nghiên cứu của ông thành bộ sách gồm 85 quyển cỡ lớn với tổng số gần 40.000 trang. Trong đó có:

- Lý thuyết về sự chuyển động của các sao chổi và hành tinh.

- Cơ học phân giải.

- Lý thuyết đầy đủ về sự đóng và vận chuyển tàu thủy.

- Nhập môn về phép tính vi tích phân.

- Toán vi phân.

- Toán tích phân

………

Để tìm tổng chính xác của chuỗi các nghịch đảo bình phương, nhà toán học Ơle đã áp dụng một phương pháp chứng minh do chính ông sáng tạo ra, gọi là phép chứng minh tương tự. Ông đã tiến hành như sau:

Nếu phương trình đa thức tổng quát bậc n:

                 

có n nghiệm phân biệt x₁, x₂,…, x_n thì theo định lý Viét, có thể phân tích nó thành:

                 

So sánh những số hạng cùng bậc đối với x ở hai vế đồng nhất thức ấy, có thể rút ra được những hệ thức giữa các nghiệm đã biết và các hệ số của phương trình. hệ thức đơn giản nhất, tìm được bằng cách so sánh những số hạng chứa x^n-1, là:

                 

Việc phân tích thành những thừa số bậc nhất có thể làm theo cách khác. Nếu các nghiệm đều khác 0, hay khác 0 thì cũng sẽ có:

    

Ơle tiếp tục khảo sát phương trình đa thức bậc 2n có dạng:

                 

Nó có 2n nghiệm phân biệt là:

                 

Và hiển nhiên dẫn đến đồng nhất thức:

                 

Từ đó suy ra:

                 

Với những khảo sát cơ bản trên và lấy nó làm cơ sở so sánh, Ơle chuyển sang xét phương trình hay:

                 

Vế trái của phương trình có vô số số hạng, nó có “bậc vô tận”. Vì vậy, theo nhận xét của Ơle, không nên ngạc nhiên rằng nó có vô số nghiệm:

                 

Ơle chia 2 vế của phương trình k cho x thì làm xuất hiện một phương trình tương tự như phương trình j, và khi loại bỏ nghiệm 0 của nó đi thì có thể viết:

     

Đó chính là kết quả tổng của chuỗi các nghịch đảo bình phương mà Jacob Bernoulli đã từng nỗ lực nhưng không tìm ra được.

Chứng minh bằng tương tự là một ý tưởng táo bạo nhưng tài tình của nhà toán học thiên tài Ơle. Mười năm sau đó, ông viết: “Đây là một phương pháp mới và chưa từng được dùng vào mục đích như vậy”

Để có đủ cơ sở vững chắc cho niềm tin vào sự sáng tạo đó của mình, Ơle đã thử nó với nhiều trường hợp khác và đều thành công mỹ mãn. Và cũng bằng cách tương tự như thế, Ơle đã tìm ra một công thức tính số tuyệt đẹp:

                 

Công thức tính số thứ hai bắt nguồn từ việc nghiên cứu dựng các đa giác đều nội tiếp đường tròn bằng thước kẻ và compa.

Nói chung, nếu đã dựng được hình đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn thì cũng dựng được đa giác đều 2n cạnh bằng cách chia đôi cung giữa 2 đỉnh kế nhau của đa giác đều n cạnh. Chẳng hạn, vì người ta đã dựng được đa giác đều 3 cạnh (tam giác đều) và 5 cạnh (ngũ giác đều) nên cũng dựng được các đa giác đều có số cạnh là 6, 12, 24… và 10, 20, 40… Một cách tổng quát thì có thể dựng được các đa giác đều 3.2ⁿ cạnh và 5.2ⁿ cạnh bằng thước kẻ và compa. Còn có một trường hợp nữa là nếu bắt đầu từ đường kính (gọi là “đa giác đều 2 cạnh nội tiếp”) thì người ta sẽ dựng được bằng thước kẻ và compa các đa giác đều nội tiếp có 2ⁿ cạnh.

Nếu biểu thị độ dài một cạnh của đa giác đều n cạnh là a_n (đối với đa giác đều 2 cạnh thì a_n=1), thì cạnh của đa giác đều 2n cạnh là:

                 

Điều này được chứng minh dễ dàng như sau (xem hình 14):

Hình 14: gấp đôi cạnh của một đa giác đều

Gọi:            a_n = DE = 2DC

                  a_2n = DB

                  AB = 2

Vì tam giác ABD vuông nên diện tích của nó là:

    

Từ những dữ liệu đó, thay thế vào, sẽ có:

                 

Và làm xuất hiện phương trình:

                 

Giải phương trình này với ẩn là , sẽ được:

                 

Từ chúng ta còn rút ra được:

                 

Nhờ hai kết quả tính a_2n và a_n, rồi thông qua biện luận, chúng ta sẽ có công thức tính a_2n khi n>2, mà vế phải là một liên căn thức gồm n-1 căn thức bậc 2.

                 

Có thể nói độ dài một cạnh của đa giác đều 2ⁿ cạnh, nếu đem so với đường kính đường tròn ngoại tiếp nó, là một số vô tỷ không thua gì số .

Nếu đã biết độ dài của a_2n thì chu vi đa giác đều đó, khi qui ước đường kính bằng 2 là . Cho nên cũng có thể suy ra được:

   

Một số tự nhiên nhân với một số vô tỷ “ghê gớm” thì tất nhiên cũng phải là một số vô tỷ không kém. Trị số gần đúng của  là 3,141592, số  này được Tổ Xung Chi, người Trung Quốc nêu ra lần đầu tiên vào thế kỷ V (thời Nam - Bắc triều). Nó đã đủ độ chính xác cần thiết cho mọi tính toán thực dụng. Thế nhưng để “thực chứng” sự vô tỷ của cũng như để “chiến thắng” trong việc xác định với mức độ khó khăn ngày càng tăng các trị số kế tiếp nhau của nó, trong lịch sử toán học đã có một cuộc thi đua không chính thức. Các kỷ lục về tính toán số  vì thế mà liên tục được xác lập để rồi lần lượt bị bứt phá. Cuối thế ký XX, 11-9-2000, con số lẻ thứ một triệu tỉ của được xác định, và đó là số 0. Tháng 8-2009, con số lẻ thức 2,6 triệu tỉ của được tính ra tại trường Fabrice Bellard đã phá kỷ lục đó với số gồm 2,7 triệu tỉ con số. Giả sử mỗi giây đọc được một chữ số thì muốn đọc hết chữ số của số này phải cần đến một lượng thời gian là 85.000 năm. Còn kỷ lục về việc nhớ số  thì Lu Chao, người Trung Quốc, đã được sách Guinness (sách liệt kê các kỷ lục ở mọi lĩnh vực trên thế giới) ghi nhận là anh này đã nhớ chính xác và đọc ra vanh vách tới con số thứ 67.890 của số . Công cuộc đi tìm trị số ngày một chính xác hơn của hoàn toàn không hề có ý nghĩa thực tiễn mà có vẻ như một minh chứng hùng hồn về tính khí cực kỳ tò mò và sự “bướng bỉnh” lạ lùng của một giống loài biết tư duy nhận thức!

(Còn tiếp)
------------------------------------------------------------------