TT&HĐ IV - 37/k

                                                                 Bài toán tô màu

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

 

(Tiếp theo)

 

Một đường cong kín thì rõ ràng là 2 “đầu mút” của nó phải trùng nhau. Còn từ “cong” làm chúng ta dễ loại trừ đường gãy khúc. Chúng ta có thể hiểu “cong” ở đây là tương đương với khái niệm “bất kỳ”. Trong một không gian đa tạp thì đường cong (hay lượn) mới mang tính tổng quát (hay phổ biến). Tất cả các kiểu, dạng đường khác chỉ là những trường hợp đặc biệt của đường cong mà phần nhiều là do chủ quan của quan sát, nhận thức “thấy thế” và qui ước. Với quan niệm như thế thì đường tròn chỉ là một trường hợp riêng, hay còn gọi là trường hợp đặc biệt của một đường cong bất kỳ khép kín, không tự cắt nó, hay như các nhà toán học nói, đường tròn là tương đương tôpô với một đường cong khép kín, không tự cắt nó.

Còn thế nào gọi là “miền trong” hay “miền ngoài”? Về mặt trực giác, chúng ta thường vẫn nghĩ miền trong là miền thuộc đâu đó vùng trung tâm và miền ngoài là miền bị ngăn cách khỏi cái trung tâm ấy, nhưng thực ra không hẳn là như thế. Vì đường cong bất kỳ có thể “đi đến” vô tận rồi “trở về”, nên một bộ phận của miền trong có thể “nằm đâu đó” ở vô tận, và một bộ phận của miền ngoài, vì lẽ đó cũng “nằm đâu đó”  ở vùng trung tâm hoặc lân cận trung tâm. Có thể quan niệm một cách tương đối rằng miền trong là nội tại của một “thực thể” có tính hữu hạn và bị “đóng kín”, còn miền ngoài là môi trường của miền trong, bao bọc miền trong, nhận miền trong là bộ phận của nó và miền ngoài mang “nặng” tính vô hạn.

Một trong những hệ quả của định lý Jordan là nếu có hai điểm khác biệt thuộc cùng một miền, thì có ít nhất một đường nối hai điểm đó không cắt đường cong bất kỳ c phân định miền, còn nếu hai điểm thuộc hai miền khác nhau thì không thể có một đường nào nối hai điểm đó lại không cắt c.

Có thể rằng bản thân Jordan, khi xây dựng những khái niệm: “đường cong kín”, “miền trong”, “miền ngoài”… để phát biểu định lý, cũng không thể ngờ rằng chúng thật sự bất ổn, và chính việc phân tích những quan hệ và khái niệm nảy sinh trong quá trình chứng minh định lý đã trở thành nhiệm vụ lý thuyết có ý nghĩa quan trọng bậc nhất mà chủ yếu là lý thuyết tôpô hiện đại phải có trách nhiệm giải quyết.

Chúng ta tin tưởng sâu sắc rằng trên bước đường đi giải quyết những khúc mắc nảy sinh do sự xuất hiện tự nhiên những ý niệm, ý tưởng mới trong công cuộc khám phá và sáng tạo để nhận thức thực tại theo “cách riêng” của mình, toán học rồi đây cũng sẽ đạt đến những quan niệm tương tự mà Triết học Duy Tồn đã tiếp cận được về cấu trúc không gian thực tại, đồng thời cũng đóng luôn vai trò làm minh chứng quan trọng cho những quan niệm triết học ấy. Trong toán học ngày nay đã phơi bày ra hiện tượng là xuất hiện hàng loạt những mâu thuẫn nội tại không sao “công phá” được. Và toán học sẽ vĩnh viễn “hoang mang” nếu không thừa nhận sự biểu hiện nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại mà Triết học duy tồn đã chỉ ra, Có thể lấy vấn đề của định lý Jordan làm một ví dụ điển hình cho nhận định này.

Theo quan niệm của Triết học Duy tồn thì định lý Jordan, cùng với những hệ quả suy ra từ nó đã hàm chứa nhiều nghịch lý khó lòng giải quyết nổi. Chẳng hạn, khi một đường cong khép kín thì nó phân định mặt phẳng thành hai miền phân biệt được gọi (hay qui ước) là “trong” và “ngoài”. Nhưng “trong” và “ngoài” thực ra chỉ là hai nhãn mác hình thức có thể tùy tiện gán cho miền nào cũng được, cho nên lại phải thêm qui ước như thế nào là “trong” và như thế nào là “ngoài”. Vậy thì trên cơ sở nào mà đưa ra được qui ước ấy, hay nói cách khác, dựa vào hiện tượng nào bộc lộ ra từ sự phân định trong - ngoài để xây dựng một qui ước nhằm phân biệt được đâu là “trong” và đâu là “ngoài” một cách rạch ròi?

Giả sử rằng mặt phẳng bị phân định nói trên trải rộng đến vô tận (nếu có vô tận!), thì từ kinh nghiệm của quá trình quan sát trực giác thông thường, chúng ta có thể qui ước miền trong là miền bị giới hạn bởi đường cong khép kín, còn miền ngoài là miền “bao bọc” miền trong và có tính vô hạn. Điều đó có nghĩa là chỉ có thể dựng được đoạn thẳng thuộc miền trong còn đối với miền ngoài thì luôn dựng được đường thẳng (đoạn thẳng có 2 đầu kéo dài đến vô tận) thuộc riêng nó. Qui ước như thế thoạt nhìn, kể ra cũng hợp lý và định lý Jordan trở thành có vẻ hiển nhiên như một… tiên đề.

Tuy nhiên nếu suy xét kỹ thì không đơn giản như vậy. Chính cái khái niệm “đường cong bất kỳ khép kín” đã gây nên mọi “rắc rối”, “bất ổn” cho việc chứng minh định lý Jordan và thậm chí còn chứng minh rằng trong nhiều trường hợp, định lý Jordan là sai, hoặc chỉ có thể nói rằng định lý này là một trường hợp đặc biệt khi tăng cường thêm những qui ước mới.

Trước hết, chúng ta thấy rằng, có thể hiểu đường cong bất kỳ khép kín là một đường, chỉ xuất phát từ một điểm trong tầm quan sát được và khép kín tại điểm ấy, nhưng trước khi khép kín, nó có thể đi đến vô tận, một hay nhiều lần, “lang thang” một đỗi trong vô tận (nghĩa là có một hay nhiều đoạn trùng với đường ở vô tận!). Lúc này, đường cong bất kỳ khép kín đó chia mặt phẳng ra thành nhiều miền và ít nhất là 2 miền và không còn có thể phân biệt được (những) miền nào gọi là “trong”, (những) miền nào gọi là “ngoài” theo qui ước đã nêu ở trên vì ở miền nào cũng có thể dựng được đường thẳng ít nhất là có một đầu mút của nó kéo dài đến vô tận hoặc chẳng có miền nào có đường thẳng thuộc riêng nó. Nếu hình dung mặt phẳng là hình tròn và đường tròn là đường vô tận thì ở hình minh họa 18, giữa A và B, miền nào gọi là “trong” và miền nào gọi là “ngoài” (hình 18/a)? Còn ở hình 18/b thì lại càng khó xác định hơn: hoặc là đường cong kín c chia mặt phẳng ra 4 miền hoặc cũng có thể coi có 3 đường cong khép kín cũng chia mặt phẳng thành 4 miền, và nhìn kỹ thì thấy… hoa cả mắt, chẳng còn biết ra làm sao cả.

Hình 18: Sự bất ổn của định lý Jordan

Để cho định lý Jordan còn có thể phát huy được hiệu lực, không còn cách nào khác là phải thêm qui ước, chẳng hạn: đường cong bất kỳ khép kín c không được tiếp xúc với đường vô tận.

Với qui ước đó, rõ ràng là miền trong và miền ngoài đã được phân biệt rạch ròi và định lý Jordan tiếp tục được bảo vệ.

Khi đường cong kín bất kỳ phân định ra miền trong và miền ngoài thì đồng thời nó cũng “vô tình” làm cho mặt phẳng phân hóa thành 2 lực lượng tương phản nhau gọi là trong - ngoài, trong sự thống nhất của nó. Vì đường tròn là một tương đương tôpô của đường cong bất kỳ khép kín (và không tự cắt nó), cho nên có thể coi tương phản nghịch đảo qua đường tròn là trường hợp riêng (hay đặc biệt) của tương phản nghịch đảo qua đường cong bất kỳ khép kín và tâm điểm của đường tròn chính là điểm trung tâm của đường cong bất kỳ khép kín chuyển biến thành (có thể tạm hình dung điểm trung tâm là điểm mà khi miền trong xoay tròn thì nó chính là điểm nằm trên trục xoay vuông góc của miền trong và là điểm bất động duy nhất của miền trong, hay có thể hình dung một cách “vật lý”: nó là trọng tâm của miền trong). Như vậy, có thể gán cho miền trong và miền ngoài là hai thể tương phản nghịch đảo của nhau qua đường cong bất kỳ khép kín. Hiện tượng đó còn cho phép chúng ta nói rằng miền trong và miền ngoài là tương đương nhau qua phép biến đổi nghịch đảo. “Mạnh miệng” hơn nữa, chúng ta nói rằng, hai miền đó cũng là một tương đương tôpô và suy ra: nếu miền trong là hữu hạn thì miền ngoài cũng có tính hữu hạn; nếu miền ngoài là vô hạn thì miền trong cũng có tính vô hạn; hay: miền ngoài là vô hạn trong hữu hạn và miền trong là hữu hạn trong vô hạn.

Trên đây là nhận định có phần ngây thơ của chúng ta. Nhưng toán học chắc cũng phải nhận định tương tự như thế hoặc “hay hơn” như thế nếu nó vẫn còn muốn bảo toàn tính chính xác và nhất quán của nó. Tuy nhiên, khi nhận định như thế thì sự phân biệt trong - ngoài lại bị xóa mờ đi, do đó có lẽ không còn cách nào khác là lại tăng cường thêm qui ước. Bám vào điểm trung tâm, chúng ta qui ước thế này: miền trong và miền ngoài luôn có chung một điểm trung tâm nhưng điểm trung tâm đó luôn thuộc về miền trong, còn miền trong thì luôn bị bao hàm bởi miền ngoài, mà nếu ở trạng thái không tương phản thì chỉ là bộ phận của miền ngoài.

Việc củng cố làm tăng khả năng phân biệt được giữa “trong” và “ngoài” của chúng ta có phù hợp với toán học hay không? Giả sử rằng nó phù hợp thì toán học có phản ánh đúng về nguyên tắc biểu hiện của Thực tại khách quan hay không? Giả sử câu trả lời là khẳng định thì sẽ phải thừa nhận một hiện tượng lạ lùng sau đây của Tự Nhiên Tồn Tại: vì đường cong bất kỳ khép kín là có thể chọn tùy ý nên bất cứ điểm không gian nào cũng có thể là điểm trung tâm Vũ Trụ và như vậy có thể “thấy” Vũ Trụ có vô vàn trung tâm, đồng thời cũng vô tâm và có thể qui ước cho nó có 1 tâm, 2 tâm, 3 tâm…

Từng đó qui ước đã đủ “mạnh” để bảo toàn định lý Jordan chưa? Chưa đâu! Chúng ta đã quan niệm rằng, không thể có Hư Vô vì “có” Hư Vô thì vẫn cứ là Tồn Tại, do đó, đường cong bất kỳ khép kín muốn tồn tại thì phải có nội tại, nghĩa là nó phải có tiết diện dù có thể chỉ bằng “tiết diện” của hạt KG (thực thể nhỏ nhất của Vũ Trụ), hay tạm gọi là độ dày khi ở trên mặt phẳng, và muốn hiện hữu được thì phải có “bàn tay” tạo dựng. Vì có độ dày nên có thể coi đường cong bất kỳ khép kín như một “dải” cong bất kỳ khép kín và do đó, dải này phải là một bộ phận lực lượng của mặt phẳng, hay đúng hơn là ”chiếm chỗ” một phần trong mặt phẳng. Vậy thì khi chia mặt phẳng để phân biệt được miền trong và miền ngoài thì cũng đồng thời làm xuất hiện một miền thứ ba ở giữa hai miền đó (diện tích của dải cong khép kín). Có thể hình dung miền thứ ba là miền ngoài của miền trong và miền trong của miền ngoài do nó phân định ra. Để phù hợp với định lý Jordan thì phải qui ước cho miền thứ ba thuộc một miền trong hai miền còn lại, hoặc “phớt lờ” đi vì cho rằng nó vô cùng “mỏng” nên cũng không đáng kể. Dù cho dải cong bất kỳ khép kín thuộc miền nào thì cũng vi phạm vào hệ quả của định lý Jordan là cho 2 điểm bất kỳ trong cùng một miền thì sẽ có ít nhất một đoạn đường nối 2 điểm đó không cắt đường cong bất kỳ khép kín phân định miền. Hay có thể nói hệ quả đó chỉ còn một nửa hiệu lực, nghĩa là chỉ đúng với miền “không có” đường cong khép kín phân định miền. Tuy nhiên, dù có qui ước như thế thì vẫn luôn luôn phân định được giữa dải đường cong kín và miền mà nó được qui ước thuộc về đó. Muốn xóa bỏ sự phân biệt ấy thì phải tìm lý do để “phớt lờ” dải phân cách đi và khi thực hiện theo hướng này thì cũng coi như chúng ta đã chọn cách qui ước thứ 2.

Chọn cách nào thì cũng không bao giờ xóa nhòa cái ranh giới chia miền ấy được trong thực tại dù là thực tại ảo nếu còn muốn chia miền, vì rằng đường là do tập hợp các điểm nối tiếp nhau mà thành. Muốn cho định lý Jordan, sau khi đã được trang bị hàng loạt qui ước, chính xác không chê vào đâu được thì phải cho rằng bề dày của đường cong kín phân định miền là bằng 0. Điều đó có nghĩa là điểm phải có nội tại bằng 0, và khi đó mặt phẳng - là thực thể được cấu thành “một cách đặc biệt” từ tập hợp các điểm - cũng phải bằng 0. Có thể hình dung được một mặt phẳng có nội tại bằng 0 mà lại vẫn phân định tương phản thành miền trong - miền ngoài không? Chỉ có hai khả năng đối với mặt phẳng có nội tại bằng 0 là: nó tồn tại nhưng không hiện hữu (không quan sát thấy) hoặc nó thực sự không tồn tại (chưa cần phải nói đến rằng mặt phẳng tuyệt đối “kiểu Ơclít” là không thể tồn tại được trong cấu trúc không gian đa tạp của Vũ trụ thực tại khách quan). Nói đúng hơn, một mặt phẳng có nội tại bằng 0 (là tập hợp “dàn trải” của vô vàn điểm Hư Vô) và được phân định thành miền trong - miền ngoài chỉ có thể tồn tại và hiện hữu trong Vũ trụ hình học đầy hư ảo (Thực tại ảo).

Đến đây, có thể kết luận rằng định lý Jordan đã mô tả đúng tương đối nhưng không chính xác về bản chất một hiện tượng của thực tại khách quan. Muốn cho nó chính xác thì phải tăng cường qui ước và khi đã đạt được độ chính xác tuyệt đối theo “ý chí của tư duy” thì đồng thời nó cũng xa rời thực tại khách quan để chỉ có thể “sống còn” trong thực tại ảo là Vũ trụ hình học Ơclít mà thôi. Suy rộng ra, toán học chỉ tỏ ra chính xác khi nó đóng vai trò là công cụ tính toán, định lượng, và mất dần độ chính xác khi nó “kiêm nhiệm” cả chức năng triết học để nhận thức thực tại. Càng nhận thức sâu thực tại, toán học càng mất chính xác, càng mất chính xác thì càng phải tăng cường qui ước một cách duy ý chí để bảo vệ cái danh hiệu là “ngành khoa học chính xác” của nó và làm như vậy nó đã vô tình rời xa thực tại khách quan để “trú ngụ” hẳn trong thực tại ảo với biết bao nhiêu nghịch lý không thể khắc phục được. Chính những nghịch lý ấy đã làm cho toán học buộc phải nhận thức lại thực tại khách quan và nhận thức lại cả bản thân nó. Rốt cuộc, thì toán học chỉ còn một cách duy nhất để tránh mâu thuẫn là chấp nhận nghịch lý, coi sự xuất hiện nghịch lý là một trong những bản chất của thực tại khách quan. Đó cũng chính là quan niệm vừa giản dị, vừa tự do của triết học duy tồn. Lúc này thật là phù hợp để nhắc lại câu nói cực kỳ chí lý của nhà vật lý lừng danh Anhxtanh: “Chừng nào toán học liên quan tới thực tại, thì toán học không chắc chắn; còn khi toán học chắc chắn, thì toán học lại không liên quan đến thực tại”.

Trong thực tiễn, có thể “phớt lờ” bề dày của đường cong khi chia miền bằng cách tô màu để phân biệt miền này với miền kia. Hiển nhiên là trên mặt phẳng, không phải chỉ có thể chia thành 2 miền trong - ngoài mà có thể chia thành nhiều miền “kề” nhau và miền nào cũng có thể tự qui ước nội tại nó là “trong”, các miền còn lại hợp thành một miền gọi là “ngoài” của nó. Nếu các miền đó được gọi là lãnh thổ (trong đó có miền được gọi là “biển”) thì mặt phẳng đã chia miền đóng vai trò như một tấm bản đồ và việc tô màu để phân biệt các lãnh thổ với nhau (thấy được ranh giới giữa chúng) đã dẫn đến bài toán 4 màu.

Có thể chứng minh một cách thông thường (không thông qua máy tính) rằng chỉ cần sử dụng tối đa 4 màu khác nhau để tô bất kỳ tấm bản đồ nào mà các lãnh thổ đều phân biệt được với nhau (những lãnh thổ nằm kề nhau có màu khác nhau)? Chúng ta tin là hoàn toàn có thể và sau đây, chúng ta cũng xin đề xuất một phương hướng chứng minh.

Nói chung, chỉ có đúng 2 cách chia (hay phân vùng) một mặt phẳng (hay một miền nào đó). Cách thứ nhất chính là chia theo các lớp trong ngoài, vùng ngoài bao bọc vùng trong. Cách thứ hai tạm gọi là cách chia theo những phương chiều khác nhau để phân chia mặt phẳng hay một miền nào đó thành những bộ phận gọi là vùng nằm kề nhau và “nối tiếp” nhau.

Vì có thể chọn tùy ý điểm trung tâm để thực hiện chia trong - ngoài và cùng một lúc có thể chia trong - ngoài tại nhiều điểm trung tâm đối với mặt phẳng hay miền để tạo ra vô số vùng (hay còn gọi là lãnh thổ) nên cách chia thứ hai chỉ là hệ quả của cách chia trong - ngoài, và như vậy có thể cho rằng chỉ có một cách chia lãnh thổ duy nhất đối với mọi bản đồ. Không làm mất đi tính tổng quát nếu chúng ta coi đường cong bất kỳ khép kín trong phép chia trong – ngoài là những đường tròn đồng tâm. Giả sử rằng trên một mặt phẳng chúng ta chọn 3 điểm trung tâm nào đó để làm cơ sở chia trong – ngoài thành các lớp thì sẽ nhận được “hồn vía” của một bản đồ phân chia lãnh thổ như hình 19.

Để tô màu bản đồ này, chúng ta chọn 4 màu khác nhau có tên gọi là 1, 2, 3, 4 và dùng màu 1 để tô cho bất cứ lãnh thổ nào và tiếp tục tô theo nguyên tắc: những lãnh thổ kề nhau phải khác màu (và những lãnh thổ chỉ tiếp xúc với nhau tại một điểm thì không phải kề nhau).

Hình 19: “Hồn vía” của một bản đồ lãnh thổ.

Nếu tô màu như minh họa ở hình 18 thì rõ ràng chỉ cần đến ba màu (giả sử các lãnh thổ đó hợp thành một lục địa và bao quanh là biển cả thì chỉ cần dùng 2 màu để biểu diễn).

Trực giác đã cho chúng ta thấy, hình như đúng là chỉ cần tối đa 4 màu là có thể tô được bất cứ bản đồ nào. Tuy nhiên điều đó có chắc chắn để phát biểu thành định lý không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt khảo sát vài trường hợp đơn giản nhất.

Nếu trên bản đồ chỉ là biển cả mênh mông thì hiển nhiên chúng ta chỉ cần dùng một màu. Nếu trên bản đồ thể hiện chỉ có một lãnh thổ bị bao bọc bởi biển cả (trường hợp chia mặt phẳng thành hai miền trong - ngoài), thì để phân biệt, chúng ta phải dùng hai màu (hình 20/a).

Nếu coi cái lãnh thổ đó là một lục địa phân chia thành hai lãnh thổ thì chỉ có hai cách chia là trong - ngoài (hình 20/b) và (tạm gọi) là theo phương chiều (hình 20/c). Khi lục địa được chia làm hai miền tiếp giáp nhau thì bản thân nó phải dùng hai màu để phân biệt lãnh thổ. Tuy nhiên, đối với cách chia thứ nhất, vì xuất hiện hiện tượng miền trong của miền trong nên miền đó bị cách ly với miền ngoài cùng (biển cả) cho nên hai miền đó có thể dùng chung một màu, nghĩa là cũng chỉ cần hai màu để tô bản đồ. Đối với cách chia thứ hai, vì hai lãnh thổ không phải là trong - ngoài của nhau mà là hai bộ phận kề nhau của lục địa và đều tiếp giáp với biển cả, đều nhận biển cả làm miền ngoài, nên xảy ra hiện tượng ba miền tiếp giáp lẫn nhau, và phải cần đến 3 màu để tô bản đồ.

Hình 20: Các trường hợp tô màu bản đồ.

Bây giờ chúng ta cho rằng lục địa đó được chia thành 3 lãnh thổ và cố tình chia sao cho phải sử dụng số màu nhiều nhất, thì chỉ có một cách chia duy nhất là ba lãnh thổ đó tiếp giáp lẫn nhau và cùng tiếp giáp với biển cả (nghĩa là 4 miền tiếp giáp lẫn nhau) như ở hình 21/a. Vì 3 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau nên phải dùng 3 màu khác nhau và vì cả 3 lãnh thổ đó đều tiếp giáp với biển cả nên phải dùng đến màu thứ tư để tô nó.

Hình 21: Chia lục địa thành các lãnh thổ

Mới chia lục địa ra thành 3 lãnh thổ thôi mà đã phải dùng đến 4 màu rồi là một sự kiện làm cho nhận định tô bất cứ bản đồ nào cũng chỉ cần tới 4 màu, trở nên thật là “bấp bênh”, có khả năng sụp đổ bất cứ lúc nào. Dù sao thì đã lỡ leo lên lưng cọp rồi nên chúng ta chỉ còn nước tiếp tục… cưỡi cọp thôi, nếu không muốn bị cọp vồ!

Có thể chia lục địa thành 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau không? Có! Điều kiện để lãnh thổ thứ tư tiếp giáp với 3 lãnh thổ còn lại và đảm bảo 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau là lãnh thổ thứ tư phải “sở hữu” được khu vực chứa điểm cắt nhau của các đường ranh giới của 3 lãnh thổ kia, gọi là “đỉnh” hay “ngã ba biên giới”  (điểm A trên hình 21/a). Việc chia lục địa thành 4 lãnh thổ như trên được minh họa ở hình 21/b. Khi lục địa đã chia thành 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau thì rõ ràng là phải cần đến 4 màu. Thế nhưng vì lãnh thổ thứ tư bị cách ly khỏi biển cả (tương tự như trường hợp ở hình 20/b) nên nó và biển cả có thể dùng chung một màu. Điều đó cho thấy cũng chỉ cần 4 màu để tô bản đồ minh họa trên hình 21/b.

Có thể cho lãnh thổ thứ tư tiếp giáp với biển không? Có thể, miễn là nó đủ sức mạnh chinh phục, chiếm một phần đất đai của lãnh thổ nào đó trong 3 lãnh thổ để tạo hành lang ra biển. Sự xâm lược đó được chúng ta mô tả ở hình 21/c. Lúc này vì lãnh thổ thứ tư đã tiếp giáp với biển cả nên chúng không thể dùng chung một màu được nữa. Tuy nhiên khi lãnh thổ thứ tư hoàn thành cuộc xâm lăng thì đồng thời nó cũng làm cho hai trong ba lãnh thổ còn lại không có biên giới chung nữa và hai lãnh thổ đó có thể dùng chung một màu. Việc phải tăng thêm một màu do lãnh thổ thứ tư tiếp giáp biển và giảm được một màu khi tô màu các lãnh thổ chung qui lại thì cũng chỉ cần đến 4 màu để tô bản đồ.

Qua các trường hợp phân chia lục địa ở hình 21, chúng ta phán đoán rằng, muốn phân chia lục địa ra thành những lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau (nghĩa là mỗi lãnh thổ đều có đường biên giới chung với những lãnh thổ còn lại) thì số lượng tối đa về lãnh thổ chỉ có thể là bốn, trong đó phải có một lãnh thổ đóng vai trò là miền trong của lục địa (không tiếp giáp với biển hay còn gọi là miền ngoài của lục địa). Do miền trong của lục địa có thể tô trùng màu với miền ngoài của nó mà không vi phạm tính phân biệt được cho nên ở góc độ tô màu, có thể coi nó như một điểm (phớt lờ đi) và trường hợp hình 21/b là tương đương với trường hợp hình 21/a. Vì vậy, có thể phát biểu tiếp: đối với một miền (mặt phẳng giới hạn) nào đó, chỉ có thể phân chia ra được tối đa là 4 vùng tiếp giáp lẫn nhau với điều kiện phải có vùng trong vùng ngoài và hoặc là vùng trong, hoặc là vùng ngoài được phân ra ba vùng bộ phận tiếp giáp lẫn nhau.

Điều hiển nhiên là có thể phân chia lục địa ở trên ra không hạn chế về số lượng lãnh thổ, nhưng không bao giờ có được hơn 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau. Tuy nhiên có thể chia lục địa ra nhiều lãnh thổ sao cho có những lãnh thổ tiếp giáp với hai hay nhiều lãnh thổ khác và có thể có lãnh thổ tiếp giáp với mọi lãnh thổ còn lại và cả biển như minh họa ở hình 22.

Hình 22: Chia lục địa ra nhiều lãnh thổ.

Chúng ta tin rằng, cách chia lãnh thổ như mô tả ở hình 22 là có tính cơ bản, tiêu biểu, có thể đại diện được cho mọi kiểu chia lãnh thổ, có thể dùng nó làm phương tiện để giải quyết bài toán 4 màu, hay nói cách khác, nếu định lý 4 màu được chứng minh đúng cho trường hợp này thì cũng đúng cho mọi trường hợp khác.

Trên hình 22, chúng ta thấy lục địa được chia theo cách trong - ngoài thành 3 miền và như thế nếu kể cả biển nữa thì bản đồ được chia trong - ngoài thành 4 miền, trong đó miền trong cùng (cũng đóng vai trò như môt lạnh thổ) có đường biên tiếp giáp với các lãnh thổ còn lại.

Vì cách chia trong ngoài là duy nhất đối với mọi bản đồ nên luôn có thể qui ước được lãnh thổ nào đó là miền trung tâm (miền trong) của lục địa và những vành đai nằm kế tiếp nhau từ trong ra phía biển. Có thể hình dung vành đai được hình thành từ tập hợp một số nước tiếp giáp một cách nối tiếp nhau thành một dải phân cách (có thể kín hoặc không kín) giữa miền trong (lãnh thổ trung tâm, vành đai trong) và miền ngoài (vành đai ngoài, biển). Có thể thấy ở hình 22, lục địa có 2 vành đai, vành đai trong gồm 4 lãnh thổ và vành đai ngoài gồm 2 lãnh thổ.

Nếu trên bản đồ chỉ có biển và một vành đai gồm các lãnh thổ tiếp giáp nối tiếp nhau thực sự (một lãnh thổ tiếp giáp với 2 lãnh thổ khác ở hai phía “đối diện” và 2 phía “đối diện” còn lại tiếp giáp với biển thì chỉ cần 2 màu tô xen kẽ các lãnh thổ và 1 màu tô biển, tổng cộng gồm 3 màu là đủ. Trên hình 22, nếu chỉ có 5 lãnh thổ gồm lãnh thổ ở trung tâm và 4 lãnh thổ hợp thành vành đai trong và biển thôi thì do có hiện tượng bị cách ly không thể khắc phục được mà tương tự như trường hợp ở hình 21/c, chỉ cần 4 màu tô là đủ. Cho dù vành đai trong có xuất hiện thêm 4 lãnh thổ nữa (được phân thêm bởi các đường gạch đứt đoạn) thì tình hình vẫn không thay đổi và nếu lục địa có thêm vành ngoài gồm 2 lãnh thổ nữa, rồi mới tới biển thì cũng chỉ cần đến 4 màu để tô bản đồ. Suy rộng ra, dù có chia lãnh thổ theo những đường biên kỳ dị cỡ nào hay có thể nói, lãnh thổ có phân bố ngẫu nhiên cỡ nào chăng nữa thì đều mang bản chất của hình 22 nên đều có thể chỉ dùng 4 màu để tô bản đồ một cách mỹ mãn.

Hướng chứng minh định lý 4 màu mà chúng ta muốn đề xuất là như thế.

Còn một vấn đề nữa của lý thuyết tôpô có vai trò quan trọng trong những ứng dụng tôpô vào các ngành toán học khác và gợi cho bản thân chúng ta nhiều ý tưởng về vận động nội tại của vạn vật mà chúng ta muốn nhắc tới, đó là vấn đề “điểm bất động”.

Để có được một khái niệm ban đầu về điểm bất động, chúng ta có thể hình dung một cốc nước đặt trên bàn và sau khi dùng thìa khuấy thì trong cốc sẽ hình thành một khối xoáy nước, điểm trung tâm của khối nước được cho là không chuyển động và người ta còn gọi là “điểm bất động”. Một hiện tượng thiên nhiên thường thấy, biểu diễn rất rõ ràng về điểm bất động, là bão. Bão là một vùng gió xoáy mạnh kèm theo mưa lớn. Tuy nhiên vùng trung tâm của nó, thường gọi là “mắt bão”, thì luôn lặng gió, trời quang mây tạnh. Nếu không chú ý đến chuyển động tịnh tiến của bão thì có thể coi mắt bão, hay chính xác hơn, tâm bão là một điêm bất động.

Có thể hình dung một cách toán học về điểm bất động như sau. Giả sử có một mặt hình tròn gồm cả biên của nó (đường tròn) có tính đàn hồi và phải chịu một biến đổi liên tục nào đó như bị bóp, kéo căng, uốn, bẻ gập… (không bắt buộc phải là biến đổi một - một), với điều kiện mỗi điểm của đĩa vẫn còn là một điểm của đĩa tuy rằng có thể thay đổi vị trí, thì mỗi biến đổi liên tục như thế vẫn còn lại ít nhất một điểm không thay đổi vị trí ban đầu, gọi là điểm bất động, hay nói cách khác, có ít nhất một điểm mà vị trí của nó sau khi biến đổi sẽ trùng với vị trí trước khi biến đổi của nó. Đó cũng chính là nội dung được phát biểu nôm na của định lý Brauơ. Năm 1912, nhà toán học Brauơ (L. E. Jan Brower, 1881-1966), người Hà Lan đã chứng minh được và phát biểu thành định lý nổi tiếng: Mọi ánh xạ liên tục từ một vật thể cầu trong không gian n chiều vào chính nó thì có một điểm bất động.

Định lý Brauơ có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong toán học. Nó cũng trở thành công cụ đắc lực trong việc chứng minh một bài toán có nghiệm hay không. Chẳng hạn có bài toán tìm nghiệm của phương trình . Trước hết, có thể thấy một biểu hiện đơn giản nhất của định lý điểm bất động là khi cho là hàm số liên tục trên và thì phải có một giá trị , sao cho . Từ tình huống này, có thể chuyển biến việc tìm nghiệm của phương trình thành việc tìm điểm bất động của hàm số: . Khi có một làm cho thì cũng có nghĩa là và do đó chính là một nghiệm của .

Năm 1967, giáo sư toán học người Mỹ tên là Herbert Skafn đã đề xuất một phương pháp tìm điểm bất động bằng cách tìm dãy điểm hữu hạn dẫn tới điểm bất động. Đây là một phương pháp thực sự hiệu quả và có tính đột phá.

Dù sao, việc tìm được điều kiện cần và đủ để điểm bất động tồn tại vẫn là vấn đề khó khăn. Đối với một số hình, có thể có những ánh xạ liên tục lên chính nó nhưng không có điểm bất động. Chẳng hạn miền vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm quay xung quanh tâm của nó một góc bội của 360^o. Đó là một biến đổi liên tục của miền vào chính nó nhưng không có điểm bất động.

Có một câu hỏi lớn mà toán học ngày nay (có lẽ) còn chưa giải đáp được. Đó là: Nếu khẳng định được có điểm bất động thì điểm đó là duy nhất hay còn có thể đồng thời có những điểm bất động khác nữa và số lượng của chúng là bao nhiêu?

Theo quan niệm triết học thì vận động hay biến đổi là biểu hiện cơ bản của tồn tại, cho nên khái niệm “bất động” chỉ có tính tương đối và nằm trong qui ước. Ngay cả điểm KG cũng không thể bất động tuyệt đối mà chỉ có thể nói nó “bất di, bất dịch”, nghĩa là không “di chuyển” trong Vũ trụ (và đồng thời nếu quan sát ở góc độ khác thì nó lại luôn thay đổi vị trí một cách liên tục do có sự biến đổi trạng thái nội tại của nó và của các điểm KG lân cận được kết hợp lại một cách “hòa điệu”).

Có thể phán đoán rằng điểm bất động mà các nhà toán học khám phá được trong khi nghiên cứu các quá trình biến đổi của các hình thể hình học và có thể lấy những thí dụ minh họa một cách đơn giản về điểm ấy bằng nhiều những hiện tượng của thiên nhiên (như lốc, bão, xoáy nước…), chính là điểm cân bằng trong vận động nội tại của thực thể vạn vật ở thực tại khách quan. Vận động nội tại của vạn vật là tổng hợp cùng lúc nhiều dạng biến đổi, chuyển hóa tương phản. Cho nên tùy theo mức độ ưu tiên của quan sát mà có thể thấy được đồng thời một hay nhiều (loại) điểm cân bằng xuất hiện, mà mỗi điểm đó chính là điểm bất động của một loại biến đổi, chuyển hóa nào đó của nội tại vạn vật. Theo quan điểm của vật lý thì những điểm cân bằng chỉ trở nên bất động khi vận động nội tại của vạn vật không chịu các tác động của môi trường bên ngoài.

Tuy nhiên theo quan niệm của triết học duy tồn thì một trong những nguyên nhân cơ bản làm chuyển hóa nội tại vạn vật là do có sự tác động của môi trường, hay nói cách khác, tác động của môi trường là động lực chủ yếu của vận động nội tại vạn vật. Chính là thế mà cần phải nhìn nhận theo hai góc độ khác nhau đối với điểm cân bằng. Khi đứng ở “bên ngoài” quan sát thì không có một điểm cân bằng nào của vạn vật là bất động hoặc nếu có (theo qui ước) thì chúng là những điểm không phải điểm cân bằng mà chỉ là điểm ảo không thuộc nội tại vạn vật. Khi đứng ở “bên trong” quan sát thì điểm cân bằng nào cũng là điểm bất động và thậm chí đôi khi còn thấy được cả đường bất động. Tuy nhiên sự bất động của điểm (hay đường) ấy chỉ là so với tất cả những điểm, những bộ phận còn lại của nội tại vạn vật, hay có thể nói điểm bất động chỉ có tính tuyệt đối đối với bản thân nội tại vạn vật mà thôi.

Vũ trụ hình học là một Vũ trụ ảo “ thiếu” thời gian tính, không thể hiện được hoặc thể hiện một cách hời hợt, siêu hình sự tác động “qua lại” phong phú, nhiều vẻ vừa cơ bản vừa tất yếu giữa vạn vật và môi trường chứa vạn vật ấy mà một hình thể hình học nào đó, nếu có thì cũng chỉ có thể có duy nhất một điểm bất động đối với biến đổi tôpô. Vũ trụ hình học, do đó mà cũng không thừa nhận sự tồn tại của điểm bất động ảo. Cần nói thêm rằng khi bàn luận về định lý Jordan, chúng ta có đưa ra khái niệm “điểm trung tâm”. Chúng ta cho rằng điểm trung tâm là điểm bất động thực của miền trong đối với biến đổi tôpô và đồng thời cũng là điểm bất động ảo của miền ngoài. Quan niệm như vậy thì miền vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm khi chịu một sự biến đổi liên tục (ánh xạ lên chính nó) cũng có một điểm bất động ảo và điểm đó chính là tâm của hai đường tròn “tạo dựng” nên miền vành khuyên đó.

 

(Hết chương XXXVII)
----------------------------------------------------------------------