Thứ Năm, 12 tháng 8, 2021

TT&HĐ IV - 37/e


                                                  Điều kì diệu của dãy số Fibonacci

 
Tỷ Lệ Vàng Fibonacci – Mật Mã Không Thể Lý Giải Của Vũ Trụ Hay Chỉ Là Sự Trùng Hợp?
                                                           
PHẦN IV:     BÁU VẬT 
"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
  
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.
A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.
J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.
...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)


Chúng ta đã nói rất nhiều đến con số 1. Đó là con số ai cũng cho là minh bạch, đơn giản nhất, “khô cứng” như một tiên đề và trơ trơ bất dịch như một chân lý, không cần phải bàn luận về nó. Ấy vậy mà theo chúng ta quan niệm, nó lại đồng thời là một thực thể kỳ bí nhất. Số 1 là nguyên tố của mọi con số (trừ nó) và đồng thời cũng bao hàm tất cả mọi con số, nghĩa là nó nhỏ nhoi nhất mà cũng vĩ đại nhất. Có thể nói ai hiểu được tường tận bản chất của số 1 (và “bóng” của nó là số 0) thì người đó sẽ am hiểu một cách cơ bản Thực tại ảo và thông qua đó sẽ nhận thức được đúng đắn và sâu sắc Thực tại Khách quan.
Hình 4
Nhìn con số 1 đứng độc lập, khó lòng mà mường tượng được mối quan hệ “keo sơn” gắn bó của nó với số Tỷ lệ vàng. Chẳng hạn có bài toán như thế này:
                 
Chúng ta gọi kết quả của bài toán là x (ẩn số). Nếu bài toán là biểu thức (gọi là “liên căn bậc hai của một”) và chỉ có hai số 1 thôi, thì:
                 
Vì không có một số đếm hay tự nhiên nào bình phương lên bằng 2 cả nên rõ ràng lúc này x là một số “nhân tạo”, và “chắc như bắp” là nó chỉ có thể tồn tại trong thực tại ảo dưới tên gọi là “số vô tỷ”.
Nếu trong bài toán có ba số 1 thì:
                 
Suy ra:
                 
Nếu trong bài toán có bốn số 1 thì:
                 
Suy ra:
                 
Nói chung, nếu bài toán có n số 1 thì có thể viết dưới dạng khác là:
                 
với n-2 số 1
Có thể đặt . Nếu n là nhiều vô hạn thì X phải là số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2 và đồng thời phải là một số thập phân vô tận. Lúc này có thể viết biểu thức dưới dạng tương tự như trường hợp có ba số 1, tuy nhiên vế phải của biểu thức không thể là số 2 được nữa mà phải là X2 và chúng ta viết:
                 
Trên đời này, nếu có số nào mà khi bình phương lên rồi trừ đi một lại bằng chính nó thì số đó, có lẽ, chỉ có thể là Tỷ lệ vàng .
Có cách giải khác thuyết phục hơn như sau:
      
Bài toán tìm  còn có một dạng khác nữa, cũng lạ kỳ không kém, gọi là liên phân số:
    
Qua biểu thức này, các nhà toán học nói rằng Tỷ lệ vàng là “thứ vô tỷ nhất” trong số các vô tỷ. Riêng chúng ta thì thấy thêm rằng Tạo Hóa không những đã gắn liền số với số 1 như một định mệnh mà còn gắn liền nó với số 2 và số 5. Nếu số 1 được cho là biểu trưng của Vũ Trụ thì số 2 là biểu trưng của tương phản lưỡng nghi và số 5 là biểu trưng của sự biến hóa (ngũ hành). Trên một mặt phẳng tương phản, nếu không có hai cặp lưỡng nghi phương chiều và một hệ quan sát (gốc tọa độ), nghĩa là không có 5 yếu tố phân hoạch (mà đối với không gian là 7 yếu tố gồm ba cặp phương chiều và một gốc tọa độ) thì không bao giờ có thể xác định được phương vị của bất cứ sự vật - hiện tượng nào, cũng như không thể “theo dõi” được “hành tung” của nó. Quá trình tương tác nước - lửa trong Trời - Đất rốt cuộc thì cũng hun đúc nên được loài người - một giống loài có một cái đầu ngạo nghễ mà cũng ngông nghênh chứa một bộ não biết tư duy một cách sáng suốt mà cũng mù quáng; có hai cánh tay tự do để cầm nắm công cụ kiếm ăn dễ dàng hơn mà cũng bị ràng buộc bởi vũ khí; có hai đôi chân linh hoạt để “chu du thiên hạ”, để chạy trốn tai họa mà cũng để xông tới tấn công đối tượng, tạo ra tai họa cho chính đồng loại của mình. Nếu không có hai bàn tay 5 ngón thì chắc gì con người tôn vinh hình ngôi sao 5 cánh và chọn hệ cơ số 10 làm cơ sở cho cách đếm cũng như sự tính toán ngày nay, để từ đó mà biết được rằng trong ngôi sao 5 cánh (hay ngũ giác đều) lại ẩn chứa một số gọi là Tỷ lệ vàng?
Minh họa ở hình 5 cho chúng ta thấy, theo tính chất về hai tam giác đồng dạng thì phải có:
Cho DC = 1, gọi BC là x, ta viết lại:
Hình 5: Tỷ lệ vàng ẩn chứa trong sao 5 cánh hay ngũ giác đều
Vậy, có thể phát biểu: đường chéo của một ngũ giác đều chia cho cạnh của nó là một Tỷ lệ vàng.
Không những thế, các đường chéo của ngũ giác đều còn hợp lại thành một ngôi sao 5 cánh và trong lòng ngôi sao đó là một ngũ giác đều nhỏ hơn. Đến lượt các đường chéo của ngũ giác đều nhỏ hơn đó cũng tạo một ngôi sao 5 cánh và một ngũ giác đều nhỏ hơn nữa. Cứ thế, quá trình có thể tiếp diễn đến vô tận mà giới hạn là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều lớn nhất ban đầu.
Tình hình lặp lại đến vô tận như trên cũng xảy ra trong trường hợp hình chữ nhật. Người ta gọi hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật mà tỷ lệ giữa cạnh dài và cạnh ngắn của nó bằng . (Xem minh họa ở hình 6)
Tính chất của hình chữ nhật vàng nếu cắt bỏ hình vuông có cạnh là cạnh ngắn hơn của nó thì phần còn lại cũng sẽ là một hình chữ nhật vàng (nhỏ hơn). Cắt bỏ hình vuông tương tự như thế đối với hình chữ nhật vàng mới, lại được hình chữ nhật vàng mới nhỏ hơn nữa và cứ thế sẽ đến giới hạn là một điểm (xem hình 6) mà nhà toán học Clifford A. Pichover đề nghị gọi nó là “Con mắt của Thượng Đế”.
Khi định nghĩa Tỷ lệ vàng, Ơclit quan tâm trước tiên đến việc diễn giải ở khía cạnh hình học và sử dụng tỷ lệ ấy để dựng hình ngũ giác cùng với vài khối Platon. Theo bước chân ông, giới toán học Hy Lạp ở những thế kỷ tiếp theo đã có thêm nhiều kết quả hình học mới liên quan tới Tỷ lệ vàng. Chẳng hạn có một tác phẩm toán học gọi là “bổ sung” cho bộ “Cơ sở” (thường được gọi là quyển XIV) mà người ta cho rằng tác giả là Hypsicles (nhưng các định lý lại được gán cho Apollonius, một trong ba gương mặt chủ chốt (cùng với Ơclit và Ácximet (Archimedes)) thuộc thời hoàng kim của toán học Hy Lạp cổ đại. Trong tác phẩm này có một định lý quan trọng liên quan đến khối 12 mặt và khối 20 mặt nội tiếp trong cùng một khối cầu.
Hình 6: Hình chữ nhật vàng
Sau thời hoàng kim, nền toán học Hy Lạp cổ đại nói chung và hình học nói riêng dần dần bước vào thời kỳ suy thoái không phục hồi được. Trong tình hình đó, những để cập hình học cũng trở nên thưa thớt. Nhà hình học Hy Lạp nổi tiếng cuối cùng đóng góp định lý có liên quan đến Tỷ lệ vàng là Pappus. Ông đưa ra phương pháp mới để dựng khối 12 mặt và 20 mặt, đồng thời để so sánh thể tích của các khối Platon, và tất cả liên quan với Tỷ lệ vàng. Sau khi Pappus mất thì mối quan tâm tới Tỷ lệ vàng cũng bước vào thời kỷ ngủ đông đằng đẵng ở phương Tây.
Tuy nhiên, toán học vẫn còn sức sống ở Ấn Độ và trong thế giới Ảrập. Người Ảrập đã học được hệ đếm cơ số 10 với mười ký số (có cả số 0) của các học giả Ấn Độ trong thời kỳ này và thông qua thế giới Ảrập mà hệ đếm đó được truyền bá vào châu Âu qua ngả Tây Ban Nha vào thế kỷ VIII. Hệ đếm cơ số 10 là một cải cách to lớn đối với nền toán học châu Âu và cũng là của toàn thế giới. Vào thời kỳ này thế giới Ảrập trở thành một trung tâm quan trọng của việc nghiên cứu toán học. Nhiều người nhận định rằng, nếu không có sự trỗi dậy về mặt tri thức trong thế giới ấy suốt thế kỷ VIII thì thư viện Alexandria vĩnh viễn là đống tro tàn và hầu hết nền toán học Hy Lạp cổ đại có lẽ đã không còn.
Dù các nhà toán học Ảrập có nhiều đóng góp quan trọng nhưng chủ yếu là thuộc lĩnh vực số học. Đối với vấn đề Tỷ lệ vàng thì họ chỉ tiếp cận nói chung là sơ sài. Người Ảrập có những nghiên cứu có liên quan tới Tỷ lệ vàng và lịch sử của nó là nhà toán học Abu Kamil Shuja (850 - 930). Trong một quyển Khảo luận của ông, có trình bày 20 bài toán và lời giải, với những tính toán diện tích các hình, độ dài cạnh, bán kính vòng tròn ngoài tiếp. Trong một vài tính toán đó, ông có sử dụng Tỷ lệ vàng. Vài bài toán số học trong quyển “Đại số” (Algebra) của ông, có thể cũng lấy ý từ khái niệm Tỷ lệ vàng. Abu Kamil Shuja viết nhiều sách. Đặc biệt đáng chú ý là các công trình của ông còn là nền tảng cho vài tác phẩm của nhà toán học người Ý, danh tiếng lẫy lừng của thời Trung cổ, tên là Leonardo Fibonacci. Bước nhảy đột phá trong lịch sử nghiên cứu của Tỷ lệ vàng có liên quan mật thiết với tên tuổi nhà toán học này.
***
Leonardo Fibonacci sinh vào thập niên 1170 tại Pisa, trong một gia đình doanh nhân. Vào thế kỷ XII, Pisa là một cảng sầm uất giao thương cả trong và ngoài nước. Các thương vụ dồn dập đã tạo ra nhu cầu cao về tính toán và ghi chép thống kê. Chắc chắn Leonardo có nhiều dịp quan sát các viện thư ký liệt kê, tính toán giá cả với những số La Mã và bằng bàn tính. Việc tính toán với những ký số La Mã thật không phải là một trò dễ dàng. Chẳng hạn muốn có tổng của hai số 3.786 và 3.843, hồi đó phải làm phép cộng MMMDCCLXXXVI với MMMDCCCXLIII. Với phép cộng mà đã thấy “khiếp” rồi, huống hồ là nhân hai số La Mã đó. Việc dùng bàn tính tuy có đỡ hơn song cũng còn rất bất tiện. Bàn tính người Tây Âu dùng vào thời kỳ đó gồm các hạt đếm được xỏ bằng dây kim loại. Vị trí của dây kim loại sẽ đại diện cho từng giá trị số. Một bàn tính điển hình có 4 dây như vậy, các hạt của dây cuối thuộc hàng đơn vị, dây tiếp theo đóng vai trò hàng chục, dây thứ ba đóng vai trò hàng trăm và dây cuối (trên cùng) là hàng ngàn. Từ “bàn tính” (abacus) có lẽ xuất phát từ “avaq”, tiếng Hebrew có nghĩa là “cát bụi”, vì vào thời nguyên sơ, bàn tính có thể chỉ là những phiến đất sét có rải những viên đá hay sỏi nhỏ trên đó để làm hạt đếm.
Lớn lên, Fibonacci có điều kiện du hành đến một số quốc gia vùng Địa Trung Hải để quan sát và nghiên cứu những vấn đề về toán học. Qua những cuộc đi đó, ông đã tiếp thu được nhiều hệ thống số đếm khác nhau cũng như học hỏi được nhiều điều mới mẻ về tính toán số học. So sánh các hệ thống ký số khác nhau đó, Fibonacci đã rút ra được kết luận quan trọng rằng các ký số Ấn Độ (còn gọi là các dãy số Hindu - Ảrập) và cách ghi các ký số ấy ưu việt hơn hẳn mọi ký số và phương pháp ghi ký số khác.
Sau đó, Fibonacci đã bắt tay vào viết tác phẩm toán học đầu tiên và nổi tiếng nhất của mình có tựa đề “Quyển sách về bàn tính” (Liberabaci), xuất bản năm 1202. Mở đầu tác phẩm này, ông viết: “Chín con số Ấn Độ là: 987654321. Với chín con số này và với ký hiệu 0… bất kỳ con số nào cũng có thể được viết, như được chứng minh dưới đây”. Ông đã dành riêng 7 chương đầu của tác phẩm để giới thiệu cách viết và sử dụng các ký số Ấn Độ, cách chuyển đổi các ký số La Mã sang hệ thống ký số mới và việc ứng dụng nó trong quá trình tính toán. Có thể nói nhờ Fibonacci mà hệ đếm cơ số mười thực sự được phổ biến ở châu Âu.
Tài năng toán học xuất chúng cùng với tác phẩm để đời nói trên của Fibonacci đã làm danh tiếng của ông nổi như cồn và đến tai Frederick II, Hoàng đế La Mã, người được coi là mạnh thường quân của toán học và cả khoa học lúc bấy giờ. Vào khoảng năm 1220, khi diện kiến Hoàng đế ở Pisa, Fibonacci đã trình bày một loạt bài toán được xem là rất khó cùng với nhiều cách giải tài tình của ông.


                            Chân dung đương thời, chưa rõ tác giả
                          Tượng Fibonacci. Camposanto, Pisa.
Fibonacci đã có vai trò nổi bật trong lịch sử nghiên cứu Tỷ lệ vàng. Trong cuốn sách nhỏ về hình học của mình có tựa đề “Hình học thực hành”, xuất bản năm 1223, Fibonacci đã giới thiệu nhiều phương pháp mới để tính đường chéo và diện tích hình ngũ giác đều, tính cạnh ngũ giác, thập giác đều từ đường kính của cả hai vòng tròn nội tiếp cũng như ngoại tiếp, tính thể tích khối 12 mặt, 20 mặt, và tất cả những tính toán đó đều có liên hệ chặt chẽ với Tỷ lệ vàng. Qua đó mà Fibonacci đã mở rộng ứng dụng các tính chất của Tỷ lệ vàng trong nhiều tính toán hình học khác nhau. Tuy nhiên, đóng góp quan trọng nhất của ông trong việc hiểu biết sâu sắc Tỷ lệ vàng và làm cho nó trở nên một con số vô cùng kỳ thú lại có vẻ như một sự tình cờ, xuất phát từ một bài toán số học rất “đời thường”, tạm gọi là “Bài toán nuôi thỏ”. Bài toán này được trình bày ở chương XII trong tác phẩm Liberabaci, như sau:
“Có một người đặt một cặp thỏ con vào một vị trí vây kín bởi tường cao. Qua năm sau, sẽ có bao nhiêu cặp thỏ ra đời từ cặp thỏ đầu tiên? Biết rằng, cứ mỗi tháng thì mỗi cặp lại sinh ra một cặp thỏ con mà cứ hai tháng tuổi thì chúng đã có khả năng sinh sản.”
Lời giải bài toán thực ra là tương đối đơn giản. Nếu gọi cặp thỏ trưởng thành (có thể sinh sản được) là chữ “l”, gọi cặp thỏ con (chưa sinh sản được) là “e”, thì lúc đầu tiên rõ ràng là chẳng có cặp thỏ nào cả, và một tháng sau khi bỏ cặp thỏ con vào đó, chúng trở thành một cặp thỏ trưởng thành. Sau một tháng nữa, cặp thỏ đó cho ra đời một cặp thỏ con. Hết tháng thứ ba sẽ có hai cặp thỏ trưởng thành và một cặp thỏ con. Hết tháng thứ tư, hai cặp thỏ trưởng thành đẻ ra hai cặp thỏ con và cặp thỏ con của tháng trước trở thành cặp trưởng thành. Cứ thế, đoàn thỏ tiếp tục tăng trưởng theo một qui luật nhất quán nêu trên, và dựa vào qui luật đó mà biết được số cặp thỏ ở bất cứ tháng nào là bao nhiêu. Chúng ta minh họa qui luật tăng trưởng của thỏ ở hình 7.
Hình 7: Qui luật tăng trưởng của đoàn thỏ
Có thể thấy rằng bản thân bài toán và lời giải của nó chẳng có gì đặc biệt và cũng có thể hiểu được dễ dàng. Điều đặc biệt ở đây chính là điều ẩn chứa trong qui luật tăng trưởng của đàn thỏ. Trước hết, chúng ta hãy viết số lượng các cặp thỏ sau từng tháng dưới dạng một dãy số:
Qui luật của dãy này là tăng dần lên theo cách số hạng sau bằng tổng hai số hạng đứng trước gần nó nhất. Nghĩa là:
(1 = 0 + 1)
 2 = 1 + 1
 …
 5 = 2 + 3
 …
 13 = 5 + 8
 …
Nhà toán học người Pháp tên là Edouard Lucas (1842 - 1891), vào thế kỷ XIX, đặt tên cho dãy số có qui luật nêu trên là dãy Fibonacci. Những dãy số nào mà tương quan giữa các số hạng có thể biểu diễn bằng công thức toán thì được gọi là dãy đệ qui (recursive). Dãy Fibonacci (gọi tắt là dãy F) là đệ qui đầu tiên mà châu Âu biết đến.
François-Édouard-Anatole Lucas
Sinh 4 tháng 4 năm 1842
Amiens, Pháp
Mất 3 tháng 10, 1891 (49 tuổi)
Paris, Pháp
Ngành Toán học
Tại sao chúng ta lại cho rằng dãy F ẩn chứa điều đặc biệt? Phải nói rằng không những chỉ chứa điều đặc biệt mà quá nhiều điều đặc biệt nữa là đằng khác! Nhiều người đã phải kinh ngạc trước những biểu hiện hết sức lạ lùng và đầy bất ngờ của dãy F khi xem xét nó. Dưới đây là một số biểu hiện “kinh điển” trong số hầu như bất tận những biểu hiện dị thường của dãy .
Có thể chọn vài con số liền kề trong dãy F để nhân chúng từng cặp với nhau, với điều kiện số cặp là lẻ, xong rồi cộng các cặp tích số đó lại, chúng ta sẽ có kết quả là bình phương của con số cuối cùng dùng để nhân. Chẳng hạn chọn: 1, 1, 2, 3, để lập ba cặp nhân:
1 x 1, 1 x 2, 2 x 3
rồi cộng chúng lại và có kết quả:
1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 = 9
Số 9 chính là số bình phương của 3 (số cuối cùng).
Cũng có thể chọn để có tổng:
1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 5 + 5 x 8 + 8 x 13 + 13 x 21 = 441
Số 441 chính là 212.
Nếu cộng mười con số Fibonacci liên tiếp, chẳng hạn:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
sẽ có kết quả là một số chia hết cho 11 và kết quả phép chia này cũng là một số thuộc dãy F:
143 : 11 = 13
Và hơn nữa, có thể suy ra rằng tổng đó bằng 11 lần con số thứ bảy.
Nếu chọn bất cứ bốn số F liên tục nào, chẳng hạn là 1, 2, 3, 5, rồi làm tương tự như sau:
1 x 5 = 5
2 x 2 x 3 = 12
22 + 32 = 13;
Thì ba số kết quả, mà ở đây là 5, 12, 13 hợp thành một bộ ba số Pitago:
52 + 122 = 132
Dãy j còn được gọi là dãy Fibonacci vàng. Giả sử số thứ tự trong dãy của số F nào đó là n thì số đứng sau kề số Fn là Fn+1. Tỷ số Fn/Fn+1 sẽ dần tới số khi dãy F tiến càng xa về phía vô tận. Có thể liệt kê một đoạn trong dãy F để thấy điều này:

Thế là dãy số F xuất hiện từ bài toán nuôi thỏ đã có mối quan hệ “huyết thống” với tích trung bằng tích ngoại trong hình học. Có bất ngờ không? Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy đó là một hiển nhiên nếu phân tích lại:
Cứ thế, khi n tiến xa đến vô tận thì:
Thật là phi thường! Nhưng có lẽ phi thường hơn nữa đối với dãy Fibonacci cùng với những con số của nó là nó lúc ẩn lúc hiện hầu như khắp nơi trong tự nhiên cũng như trong xã hội loài người. Hình như đã có mối liên hệ sâu sắc giữa dãy F với một nguyên lý cơ bản nào đó hoặc dãy F (và qua đó mà cả Tỷ lệ vàng) chính là một biểu hiện của nguyên lý cơ bản đó của Tự Nhiên Tồn Tại. Chúng ta sẽ trình bày một vài trường hợp trong vô số trường hợp biểu diễn của dãy F (và số ) trong thiên nhiên.
Khi tăng trưởng theo chiều thẳng đứng, cành cây trổ lá theo một khoảng cách đều đặn. Hơn nữa, có nguyên nhân từ việc chọn vị trí tối ưu để tiếp cận ánh nắng, hơi nước… mà các lá (hay các cành của cây) mọc ra từ dưới lên trên một cách “xen kẽ” nhau giống như chúng “dàn trải” theo một đường xoắn ốc nào đó chứ không theo kiểu “chồng” nhau theo chiều thẳng đứng (xem minh họa ở hình 8). Chẳng hạn lá cây đoạn (baswood) mọc đối nhau, tương đương nửa vòng quanh nhánh, có tỷ lệ xếp là ½. Ở những loài cây như phỉ, mâm xôi, sồi… thì tỷ lệ này là (lá này cách lá kia một phần ba vòng thân nhánh). Trong khi đó, cây táo và cây mơ có tỷ lệ xếp lá là , còn cây lê và liễu thì có tỷ lệ xếp lá là . Tất cả các tỷ lệ ấy đều được lập nên từ các số có trong dãy F.
Hình 8
Người đầu tiên khám phá ra mối tương quan giữa kiểu xếp lá và các con số Fibonacci là nhà thiên văn lừng danh Keple (Johann Kepler). Tuy nhiên, phải đến thế kỷ XIX thì những nghiên cứu mang tính toán học thực sự về hiện tượng xếp lá mới xuất hiện. Thời đó, người ta đã ghi nhận được kiểu xếp các mắt của trái dứa cũng như kiểu xếp các lá trên đầu trái dứa đều theo các hình vòng xoắn liên quan chặt chẽ tới các số của dãy F. Đặc biệt là đối với cụm lá trên đầu trái dứa, nếu quan sát kỹ và hình dung có một đường cong nối lần lượt các tâm lá từ gốc lên, thì đường cong đó là một đường cong xoắn và người ta thường gọi nó là đường xoắn sinh sản. Nếu nhìn từ trên xuống, sẽ thấy góc tạo bởi hai đường tim của hai lá liền kề nhau thường là khoảng 137,5 độ. Điều bất ngờ thú vị nhất ở đây là góc 137,5o có thể được suy ra từ một tính toán có sự tham gia của Tỷ lệ vàng:

Góc 137,5o còn được gọi là Góc Hoàng Kim. Trong một công trình nghiên cứu được công bố vào năm 1907, Van Iterson đã chứng minh rằng nếu nhìn một tập hợp điểm nằm sít nhau trên đường xoắn thật khít, mỗi điểm cách nhau theo góc 137,5o thì mắt chúng ta sẽ nhìn thấy hiện tượng là có hai lớp mô hình xoắn ốc, một theo chiều thuận và một theo chiều ngược kim đồng hồ. Số lượng đường xoắn trong hai lớp này có khuynh hướng là những con số Fibonacci liền kề, bởi vì tỷ lệ của chúng gần với Tỷ lệ vàng. Những bông li ti của một đóa hoa hướng dương đã được sắp xếp theo cách như thế (xem minh họa ở hình 9). Cách sắp xếp tương tự như hoa hướng dương cũng thấy được ở một số loài hoa khác, chẳng hạn như hoa cúc dại, hoa hồng…
Hình 9
Các con số của dãy F và Tỷ lệ vàng không chỉ xuất hiện thường xuyên trong thế giới thực vật mà thực ra là chúng có mặt phổ biến ở khắp nơi, ở mọi tầng nấc qui mô trong Vũ Trụ, từ khu vực vô cùng nhỏ chỉ có thể quan sát qua kính hiển vi, cho đến những khu vực rộng lớn cỡ các Thiên hà.
Hình 10
Vào thế kỷ XVII, nhà toán học Jacques Bernouilli (1654-1705) đã dành riêng một khảo luận có tên “Đường xoắn diệu kỳ” để nói về một loại đường xoắn mà vì bị mê hoặc bởi vẻ đẹp của nó, ông đã đặt tên là “Đường xoắn Logarith” (xem minh họa ở hình 10). Đặc tính của đường xoắn Logarith là dù kích cỡ có thay đổi to nhỏ như thế nào thì hình dáng của nó vẫn luôn được giữ nguyên. Nếu dùng kính hiển vi để phóng đại những vòng xoắn Logarith mà mắt thường không thể nhìn thấy, rồi phóng đại lên bằng kích cỡ ở hình 10 thì chúng giống hệt nhau và nếu đem chồng cái này lên cái kia thì hoàn toàn khít khao. Đặc tính này được gọi là đặc tính tự đồng dạng và nhờ có nó mà đường xoắn Logarith trở nên đặc biệt quyến rũ khiến cho nhà toán học Jacques Bernouilli ca ngợi hết lời rằng nó “có thể được dùng để làm biểu tượng cho lòng kiên định và bất biến trong nghịch cảnh, hoặc cho cơ thể loài người mà sau bao thay đổi, ngay cả sau khi chết, cũng sẽ phục hồi đúng bản chất vốn có, chính xác và hoàn hảo”. Không những thế, nhà toán học còn yêu cầu là sau khi chết, trên bia mộ mình phải khắc hình đường xoắn đó và câu: “Cho dù có thay đổi, ta lại khởi lên y như cũ”. Linh hồn của ông có lẽ vô cùng đau buồn khi biết rằng người thợ thực hiện việc khắc bia mộ đã lầm lẫn, không khắc hình đường xoắn Logarith theo ước nguyện của ông mà lại khắc hình đường xoắn Acximét (là dạng đường xoắn có khoảng cách giữa những vòng cuộn luôn không đổi).
Sự tăng trưởng theo kiểu tự đồng dạng thể hiện rất phong phú trong tự nhiên. Chẳng hạn như sự tăng trưởng của sừng cừu, ngà voi, của hoa hướng dương, vỏ ốc, xoáy nước, những trận cuồng phong, hình chụp nhiều thiên hà…
Jacob Bernoulli
Jacob Bernoulli
Sinh 27 tháng 12, 1654
Basel, Thụy Sĩ
Mất 16 tháng 8, 1705 (50 tuổi)
Basel, Thụy Sĩ
Nơi cư trú Thụy Sĩ
Tôn giáo Calvinist
Ngành Toán học
Một trong những biểu hiện tuyệt vời của đường xoắn Logarith là nó có mối quan hệ khăng khít với Tỷ lệ vàng. Có thể vẽ đường xoắn Logarith trên cơ sở hình chữ nhật vàng và hình tam giác vàng (xem hình 11a và b).
Hình 11
Đường xoắn Logarith còn được nhà bác học đại tài Đềcác (Renè Descarter) đặt tên là “Đường xoắn đẳng giác” vào năm 1638 do đặc tính độc đáo sau đây của nó: nếu vẽ một đường thẳng từ điểm cực đến bất kỳ một điểm nào trên đường cong, đường thẳng ấy sẽ cắt đường cong tại cùng một góc chính xác. Một trong những loài chim bay nhanh nhất hành tinh là chim cắt. Chúng có khả năng lao tới con mồi với tốc độ lên đến 320km/giờ. Tuy nhiên chim cắt lại không lao tới con mồi theo một lộ trình thẳng để tận dụng tối đa tốc độ của nó mà lại theo một lộ trình cong xoắn. Nhà sinh vật học Vance Tucker thuộc trường Đại học Duke (Mỹ) đã từng thắc mắc nhiều năm trời về hành động kỳ lạ này. Cuối cùng, ông mới phát hiện ra rằng mắt chim cắt nằm ở hai bên đầu, vì vậy nếu nó muốn bay theo lộ trình thẳng đến con mồi trong khi phải luôn quan sát con mồi thì nó phải nghiêng đầu đi 40o và nếu làm như vậy thì té ra phải giảm tốc độ bay đi nhiều. Chính vì vậy mà chim cắt chọn phương án bay đến con mồi theo đường xoắn đẳng giác, vừa luôn theo dõi được hành vi con mồi, vừa phát huy được tốc độ tối đa. (Xem hình minh họa 12)…

(Còn tiếp)
------------------------------------------------------------


vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)