TT&HĐ IV - 37/g

 

Henri Poincaré – “Con Quỷ Toán Học”, 51 Lần Được Đề Cử Giải Nobel Vật Lý

                                                               

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)

Tuy nhiên, cái gọi là “tất nhiên” chưa hẳn đã là duy nhất. Vì như chúng ta từng nói, một đoạn thẳng chỉ trở nên vô tỷ nếu nhìn nó ở một góc độ nhất định nào đó, hay khi so sánh nó với “ai đó” mà phải thông qua phép khai căn không được phép thực hiện trong thế giới số hữu tỷ. Nếu nhìn ở góc độ khác hoặc trong sự so sánh phù hợp nhất định nào đó thì đoạn thẳng đó là hữu tỷ, nguyên hay tự nhiên. Chẳng hạn, nếu chúng ta chọn a_2n là hữu tỷ thì đường kính của đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều 2ⁿ cạnh phải vô tỷ, vì giữa chúng là sự vô ước, thế nhưng lúc này lại là số hữu tỷ, thậm chí là số tự nhiên.

Công thức tính số ở trên, thoạt nhìn thì thấy đẹp như một cô gái tuổi trăng tròn với mái tóc dài thướt tha trong gió. Nhưng nhìn kỹ thì thấy hơi… bực mình. Chúng ta rất thích người thiếu nữ để tóc dài vì nó làm tăng thêm phần dịu hiền và duyên dáng. Song một mái tóc dài đến vô tận thì lại hóa ra… quá kỳ dị. Sẽ không bao giờ hiểu nổi một người con gái có mái tóc dài bất tận và hình như chưa bao giờ được chải chuốt cho bớt rối, lại có thể lả lướt khoe duyên khắp Vũ Trụ như thế.

Nhưng không, hãy “nhìn” kỹ lại đi, hình như mái tóc ấy không đến nỗi dài như thế. Có thể đó chỉ là cái bóng của một mái tóc khác ngắn hơn nhiều và đẹp hơn nhiều chăng? Tương tự như mặt trời chiếu bóng của một cái cột lên mặt đất ở góc độ rất xiên: độ dài cột là hữu hạn nhưng bóng của nó lại có thể dài đến vô định.

Trong công thức tính ấy, chúng ta đã đặt điều kiện rằng chỉ khi thì vế phải mới bằng vế trái. Nhưng đặt điều kiện như thế có đúng không và sao không đặt điều kiện ? Nếu đặt thì vẫn chưa vô hạn vì do đó liên căn thức của vế phải phải kết thúc trước khi còn khả năng khai triển và vì vậy nó sẽ trở nên hữu tỷ. Do đó đặt điều kiện vẫn hợp lý hơn. Thế nhưng nếu đặt điều kiện như vậy thì liên căn thức, tương tự như trường hợp kia, cũng phải kết thúc ở n-1, nghĩa là bị chặn trước khi đạt tới vô hạn, và trong trường hợp này, cũng phải hữu tỷ.

Sẽ cảm nhận rõ hơn vấn đề trên nếu qui ước lại rằng đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều không phải bằng 2 mà chỉ bằng 1 đơn vị độ dài. Lúc này chúng ta có phương trình:

                 

Giải ra với a_2n<1 sẽ có nghiệm:

                 

Qua biện luận, chúng ta đạt được:

                 

                  với n-1 căn thức bậc 2

Để cho khỏi rườm rà, ở đây chúng ta viết công thức tính theo a_2n, và như vậy:

                 

với a_2n là một dạng liên căn thức có n-1 căn thức bậc 2

Rõ ràng, bằng bất cứ giá nào thì a_2n cũng phải hữu hạn vì nó bị chặn trước khi đạt tới vô hạn. Vậy a_2n phải hữu tỷ không lặp lại và do đó  không thể vô tỷ!

Mặt khác, nếu quan niệm rằng  các đường thẳng hay cong đều do tập hợp các điểm “xếp” liên tiếp nhau tạo nên thì đường tròn không thể ngoại lệ. Vì đường tròn là đường cong khép kín nên n không thể bằng mà phải hữu hạn. (Nếu muốn cho n là vô hạn thì phải tính đến vô vàn các điểm ảo trong nội tại của các điểm tạo nên đường tròn, rồi vô vàn điểm trong nội tại các điểm ảo tạo nên điểm thực, cứ thế mãi mãi cho đến khi vỡ lẽ ra rằng thực ra là sự đếm lặp lại giữa ảo và thực để chẳng thể xác định được cái gì hết. Số vô tỷ là vì thế chăng?!).

Vì sao một liên căn thức khi không được tiếp tục tiến triển nữa thì nó trở thành hữu tỷ? Chúng ta đã nói điều lố bịch chăng khi chỉ với thôi, chẳng tiến triển gì cả, cũng chẳng thể nào hữu tỷ được? Có thể trong Vũ Trụ số học, tình hình là “bi đát” như thế. Nhưng ở đây là Vũ Trụ hình học được bộ não hoang tưởng “thái quá” của chúng ta nhận thức. Chúng ta cho rằng khi liên căn thức dừng tiến triển thì cũng có nghĩa dừng vận động. Khi một đoạn thẳng nằm bất động thì dù có bị đánh giá thế nào cũng mặc, nó vẫn hiển hiện chắc nịch là một đoạn thẳng xác định được.

Nói về sự hoang tưởng bạt mạng thì hoang tưởng sau đây cũng thuộc dạng “siêu quần”: Nếu xét ở tầng các điểm làm nên một đường tròn là nhỏ nhất tuyệt đối (điểm KG) thì không phải bất cứ loại đa giác đều nào cũng nội tiếp được tùy ý đường tròn có qui mô tương xứng nào, mà phải tùy thuộc vào số lượng, sự chẵn lẻ của tập hợp điểm đó, chỉ có loại đa giác đều phù hợp mới nội tiếp được và tùy tình hình, mới có thể phát triển được lên thành đa giác đều có 2n cạnh.

Ghê chưa?!

Chưa ghê lắm đâu! Những suy đoán tiếp theo có lẽ còn ghê hơn nữa!

Trong tất cả những đa giác đều nội tiếp đường tròn thì đa giác 6 cạnh đều (lục giác đều) có một tính chất phi thường hơn cả, đó là độ dài một cạnh của nó bằng độ dài bán kính (nửa độ dài đường kính) đường tròn ngoại tiếp, hay nếu gọi độ dài đường kính là D, độ dài cạnh lục giác đều nội tiếp là a₆, thì có thể biểu diễn:

                 

Đẳng thức đó có tuyệt đối chính xác không? Nếu chúng ta quan niệm rằng là số vô tỷ thì nó không chính xác, còn nếu chúng ta quan niệm  là hữu tỷ thì có thể nó chính xác đến thậm chí là tuyệt đối.

Nhưng hiện tượng một cạnh của đa giác đều bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp nó là ngẫu nhiên vô ý hay định mệnh hữu tình. Có thể là cả hai. Tạo hóa buộc phải cho điều đó xảy ra để đảm bảo tính đầy đủ của Tự Nhiên Tồn Tại và cũng chính vì thế mà điều xảy ra đó cũng là hy hữu. Một sự hy hữu tất yếu bao giờ cũng hàm chứa sự tinh túy để trở thành quí giá và tuyệt đẹp. Nếu Tạo Hóa đã không vô tình bày ra hiện tượng một cạnh của lục giác đều bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp nó thì “tội vạ” gì không làm cho nó đạt đến chính xác tuyệt đối? Chúng ta cho rằng đẳng thức nêu trên là tuyệt đối chính xác và nằm ngoài quan sát trực giác. Chỉ khi bị con người “soi mói” và nhận thức (thông qua khái niệm), nó mới trở nên “phập phù”.

Bản chất của Tự Nhiên Tồn Tại ẩn hiện úp úp mở mở ở khắp nơi, lởn vởn ở khắp mọi tầng nấc qui mô của Vũ Trụ. Nếu chỉ cần hiểu bản chất của Tự Nhiên Tồn Tại một cách định tính thôi thì có lẽ nghiền ngẫm cho thấu được Triết học Hoàng - Lão cũng đã là đủ. Và một khi đã thừa nhận triết học ấy thì ngay trong hình học sơ cấp cũng có thể thấy được những nguyên lý cơ bản nhất của Tự Nhiên Tồn Tại và ngược lại, có thể dùng hình học sơ cấp để minh chứng cho triết thuyết về tự nhiên của Lão Tử. Cùng một chân lý thì đi tìm nó ở nơi đơn giản là dễ dàng hơn ở chốn phức tạp. Toán học phát triển lên trình độ ngày một cao thì cũng ngày một phức tạp. Nhu cầu tìm kiếm chân lý đã buộc nó phải như vậy. Phải thừa nhận rằng nhờ sự phát triển đó mà toán học đã gặt hái được những thành tựu vĩ đại về nhận thức Tự Nhiên. Tuy vậy, mặt trái của sự phát triển toán học lại gây ra khó khăn chồng chất cho đám hậu thế trong việc nhận thức nội dung của nó, thậm chí là bất khả. Sự phát triển tư duy nhận thức từ thấp đến cao là một qui luật, vì vậy mà loài người không phải không muốn mà là không biết, không thể phát hiện được những chân lý cao vời vợi của Tự Nhiên ẩn chứa trong những sự việc đơn giản nhất, và nếu có một vài bậc tài giỏi đi tiên phong có ý kiến cảm tính về những hiện tượng đại loại như thế thì lại chẳng có ai tin được. Loài người tất yếu phải đi trên một con đường vòng gập ghềnh, chông gai, đầy gian khổ để nhận thức thực tại khách quan và chỉ khi đạt đến trình độ nào đó thì mới phát hiện ra được một chân lý nào đó. Chỉ đến lúc đó, ngoái nhìn lại quá khứ, họ mới “té ngửa” ra rằng cái chân lý mà họ vừa phát hiện với biết bao nhiêu mồ hôi nước mắt, hóa ra đã xuất đầu lộ diện từ lâu lắm rồi, có khi ở tận buổi đầu tiên của tư duy nhận thức khoa học.

Hiện tượng có tính hy hữu nhưng tất yếu ở lục giác đều nội tiếp đường tròn làm cho chúng ta có linh cảm rằng hình như đó là một sự gợi mở của Tạo Hóa, hay nói cách khác, đó là một mắt xích dễ tháo gỡ nhất của một rào cản để tiếp cận những bí ẩn vẫn còn bị che dấu trong nền tảng của Tự Nhiên Tồn Tại. Thế thì cần phải “đột kích” ngay cái mắt xích này!.

Cái gốc của lục giác đều nội tiếp đường tròn là tam giác đều. Khi đã dựng được tam giác đều nội tiếp đường tròn có chu vi là , thì cũng có thể dựng được loại đa giác đều có độ dài một cạnh là a_2n cũng nội tiếp đường tròn ấy, và chu vi của đa giác này là: (với là số cạnh của nó). Có thể thiết lập được mối quan hệ sau:

                 

Tuy nhiên, theo góc độ quan sát (hoang tưởng tới mức nhiều người cho là điên loạn!) của chúng ta thì n không thể tiến đến vô hạn độ mà chỉ có thể đạt đến trạng thái tạm gọi là “tới hạn”, và đường tròn là biểu hiện của trạng thái tới hạn đó. Theo như quan niệm (có thể là hơi lếu láo) mà chúng ta đã trình bày ở phía trên, khi n đạt đến tới hạn thì đa giác đều cạnh đã “dừng sự tăng trưởng” số cạnh ở trước tới hạn một “khoảng” xác định nào đó mà nếu “nhảy” qua khoảng đó, nó không còn là đa giác nữa mà biến thành chính đường tròn mà nó nội tiếp. Cái đa giác đều cuối cùng này được gọi là “đa giác tới hạn”.

Ở trạng thái tới hạn, a_2n là đoạn thẳng nhỏ nhất, đóng vai trò là đơn vị độ dài làm nên hệ thống các đa giác đều hình thành trên cơ sở tam giác đều, nên có thể chọn a_2n=1. Vì a_2n có mối quan hệ “sống còn” với cạnh của tam giác đều, mà cạnh của tam giác đều lại có mối quan hệ “ruột thịt” với D, cho nên giữa 3.2ⁿ.a_2n và  cũng phải có mối quan hệ “keo sơn” và liên thông. Khi đa giác đều phát triển đến trạng thái tới hạn của nó thì nó đã rất gần với đường tròn ngoại tiếp nên viết được:

                 

Chúng ta phán đoán theo cảm tính rằng nếu 3 là độ dài ba đơn vị của một đoạn thẳng trên đường thẳng thì tương ứng với nó, là độ dài ba đơn vị của một đoạn cong trên đường tròn có mối quan hệ gắn bó nào đó với đường thẳng đó. Lúc này phải có tương ứng với D, nghĩa là D có thể được phân tích thành:

                 

với a_D3 là đơn vị độ dài nhỏ nhất của đường kính D, và a_D3 phải nhỏ hơn 1 sao cho:

                 

Suy ra:

                 

Vì 3 là nguyên, a_D3 so với 3 không thể vô tỷ, nên  phải hữu tỷ.

Đến đây thì trái tim chúng ta bỗng đập loạn xạ và điên cuồng như muốn phá tan lồng ngực. Hình như sự hoang tưởng của chúng ta cũng đã đạt đến trạng thái tới hạn. Không biết trong tâm hồn chúng ta đang ngự trị điều gì trong lúc này: sự mãn nguyện hoàn toàn hay sự hoang mang tột độ? Có thể là cả hai chăng?

Dù là trong Thực tại ảo thì toán học cũng vĩnh viễn không bao giờ tính ra được một số hữu tỷ bằng con đường truyền thống. Trong thực tiễn, khi chúng ta dùng compa vẽ lên mặt phẳng một đường tròn thì chưa chắc đường tròn đó là tròn thực sự, vì chúng ta đang sống trong một tầng nấc qui mô có không gian không phải thuần Ơclít hay thuần cong mà là đa tạp. Ngay cả một đoạn thẳng Ơclít cũng khó lòng nếu không muốn nói là không thể hiện hữu trong hiện thực khách quan mà con người đang sống. Chính vì vậy mà không thể tìm thấy số  hữu tỷ (một cách tự nhiên) và cũng không thể ứng dụng nó trong đời sống…

Bình tĩnh lại, chúng ta vẫn cứ tin rằng số hữu tỷ tồn tại. Nhưng vì không thể tìm thấy trong hiện thực của con người nên cần phải tìm nó ở thế giới hoang đường. Chúng ta cho rằng thế giới hoang đường vẫn có thể là thực tại khách quan, thậm chí là mức độ khách quan của nó còn hơn hẳn mức độ khách quan của Thực tại khách quan mà con người quan sát được. Nó mang tên Hoang đường bởi vì con người đã không thể tiếp cận nó nên chối bỏ nó. Một sự tư duy lôgíc chặt chẽ đến cứng đờ sẽ giết chết những vận hội lớn lao. Trong khi chờ đợi cho tâm thần bớt rối loạn để đi tìm số hữu tỷ, chúng ta ngâm lên một bài thơ mà hồi còn ở nhà, trong một lần chơi trò xếp chữ cho đỡ buồn, chúng ta đã có được:

NGƯỜI CON GÁI TÊN PI

                              Em có thật không, hỡi cô gái tên Pi

                              Mà nhan sắc nổi ghen Thần Vệ Nữ

                              Mãi trinh nguyên cho lòng người ái mộ

                              Nâng niu tên em trong tiềm thức của mình

                              Em hiện ra từ chân lý khách quan

                              Ngực nở, eo thon, hông tròn mạnh khỏe

                              Sao mái tóc em lại lê thê vô tỷ?

                              Ngồ ngộ làm sao, bối rối cả Nhân gian

                              Cứ mỗi lần chăm chú ngắm nhìn em

                              Lại ngờ ngợ Tạo Hóa nào muốn thế

                              Đã kỳ quan thì đâu cần diêm dúa

                              Tuyệt mỹ rồi thì hằng số làm gì!

                              Em là ai, hỡi cô gái tên Pi

                              Mà huyền diệu như vòng tròn Thái Cực

                              Và kỳ ảo trong cõi đời rất thực

                              Hay từ Hoang Đường hắt xuống bóng em thôi?

                              Đúng không Pi, ở nơi ấy xa vời

                              Em xinh đẹp trong gọn gàng bình dị

                              Em duyên dáng bởi vì em hữu tỷ

                              Có quê hương là Thế giới N?

                              Em tên là Pi, có tiên tổ là 3?!

Tại sao lại nói: tổ tiên của số là số 3? Vì trong Vũ Trụ số; không có số nào không có gốc tự nhiên. Mọi con số đều có nguồn cội là số tự nhiên, cho nên vì gần 3 hơn cả nên chúng ta cho rằng số “ra đời” từ số 3. Đơn giản vậy thôi!

Để tìm , chúng ta viết lại:

                 

Muốn hữu tỷ thì a_D3 phải hữu tỷ. Vì không thể tính toán trực tiếp ra được (sẽ gặp số vô tỷ) nên chỉ có thể tìm và chọn nó. Muốn tìm nó thì trước hết phải tìm và chọn a_D3. Do đó, cần phải viết lại biểu thức trên thành:

                 

Tìm a_D3 bằng cách nào? Bằng cách áp dụng lại một phương pháp cổ xưa mà có lần chúng ta đã nhắc tới khi kể về số nguyên tố, đó là “phương pháp sàng” của Ơratôxten.

Đầu tiên, chúng ta chia 3 cho số vô tỷ:

                 

Vì số hữu tỷ cũng phải lớn hơn 3 và nó chỉ có thể quanh quẩn đâu đó gần số vô tỷ nên a_D3 cũng có thể quanh quẩn đâu đó gần số 0,9549… Vậy, chúng ta sẽ tạm thời “sàng” các số từ 0,950 đến 0,961 xem sao. Cách “sàng” ở đây là lấy số 3 chia cho các số từ 0,950 đến 0,961 để tìm ra một số hữu tỷ nhất chọn làm số và đồng thời là số a_D3. Chúng ta bắt đầu:

                 

Công việc sàng lọc đã xong và kết quả cho chúng ta thấy ngay một hy hữu lạ lùng: nếu cái sàng chỉ giữ lại số hữu tỷ “tròn trịa” nhất thôi thì duy nhất chỉ có một số ở lại, đó là số 3,125. Chẳng còn gì để nói nữa, chúng ta “đành phải” chọn số đó làm số hữu tỷ và số 0,96 cho a_D3.

Từ nay chúng ta ký hiệu số Pi hữu tỷ là , gọi là số “Pi vàng”, và có được mối liên hệ tuyệt đẹp của sự bình dị:

                 

Nếu  là một chân lý đích thực thì nó đã từng xuất hiện trước mắt con người từ thời cổ đại, mà công đầu theo sách vở ngày nay đã xác nhận, là thuộc về các nhà thông thái babylon. Không biết bằng cách nào mà họ đã đề xuất được:

                 

Nói đến người ta, lại chợt nhớ đến mình. Chúng ta vẫn canh cánh bên lòng về cái vành tròn mô tả lần lượt 6 con chim, đến 10 con hươu, rồi tiếp tục đến 8 con chim và cuối cùng trở lại 10 con hươu, trên trống đồng Ngọc Lũ của người việt cổ thời Hùng Vương. Đành rằng, như chúng ta đã kể trong dân gian Việt Nam còn lưu truyền cách tính số và trị của nó là bằng 3,2, nhưng đó là quan niệm sau này hoặc rất có thể là hậu thế đã hiều lầm bậc tiền bối. Về mặt toán học thì cái vành trên trống đồng Ngọc Lũ đó thể hiện bộ 4 số lần lượt là: 6, 10, 8, 10. Nếu cho đó là những độ dài của những đoạn thẳng thì khi dựng hình lần lượt theo những đoạn thẳng đó, chúng ta sẽ có được một hình thang cân ABCD trên hình 15 (vẽ minh họa ước lệ chứ không đúng tỷ lệ!)

Hình 15: Dựng hình thang cân theo bộ 4 số của người Việt cổ

Gọi là bộ 4 số nhưng thực ra chỉ có 3 số khác nhau hợp thành bộ 3 số Pitago là 6, 8, 10… Việc người Việt cổ liệt kê thêm một số 10 nữa đã gợi chúng ta về một hình thang cân mà cạnh đáy nhỏ là 6, đáy lớn là 8, và hai cạnh bên là 10.

Nhưng nếu thực sự người Việt cổ đã từng dựng hình thang đó thì họ dựng với mục đích gì? Phải chăng là để tính số ? Khó lòng mà tin vào điều đó được. Tuy nhiên, với kiến thức ngày nay, chúng ta thấy có nhiều điều thú vị đối với hình thang này. Nếu kéo dài hai cạnh bên của hình thang là AB và DC, chúng sẽ cắt nhau tại O. O chính là tâm của đường tròn đi qua hai điềm A và D của hình thang cân.

Dựa vào tính chất của 2 tam giác đồng dạng, có thể tính được ra bán kính của đường tròn tâm O là 40, hay nếu gọi đường kính của nó là D thì D = 80 và như vậy, chu vi của đường tròn là:

                 

Nhưng nếu dùng số Pi vàng thì:

                 

Tỷ số  làm cho trong thực tiễn, nhất là vào thời cổ đại khó phân biệt được là dùng số nào thì đúng.

Giả sử rằng chúng ta có nhiều hình tam giác cân y hệt tam giác AOD và sắp xếp chúng nằm kề nhau sao cho đỉnh nhìn cạnh đáy của chúng trùng nhau tại điểm O. Hỏi, kết quả của việc sắp xếp ấy có vừa vặn khít khao (không dư, không hụt) để tạo được một đa giác đều nội tiếp đường tròn 0 hay không?

Ở hình 15 chúng ta thấy đoạn thẳng AD chặn trên đường tròn 0 một cung AD. Nếu biết độ dài cung ấy thì chỉ cần lấy chu vi đường tròn chia cho cung ấy là sẽ trả lời được câu hỏi trên. Vì không có cách nào tính được ra cung ấy nên chúng ta phải lụy đến lượng giác. Góc được tính là:

                 

Tra bảng sẽ có

Vậy số hình tam giác AOD có thể xếp được trong đường tròn tâm O là:

                  360 : 11,47834… = 31,36342…

Nghĩa là gồm 31 hình nguyên và một phần (vô tỷ!) của hình nguyên.

Cũng chỉ giả sử thôi, nếu người Việt cổ thời Hùng Vương đã từng xếp các hình tam giác nói trên để tìm cách tính chu vi đường tròn thì có thể do mức độ chính xác của đo đạc thời bấy giờ mà họ biết được số hình tam giác xếp vừa khít trong vòng tròn tâm O giao động từ 31 đến khoảng 31,5 hình, và nếu lấy trung bình thì khoảng 31,25 hình.

Nếu lấy số hình đó nhân với 8 (AD), chia cho 80 (D) thì sẽ nhận được số Pi vàng:

                 

Có thể người xưa làm cách khác. Họ nhân 31 với 8 để có 248. Còn 0,25 (có nghĩa là hình) thì họ đơn giản lấy 8 chia cho 4 để được 2. Cộng hai kết quả ấy được 250 và họ cho rằng đó là chu vi đường tròn O. Lấy 250 chia cho 80 (đường kính D) cũng sẽ nhận được số Pi vàng:

                 

Chúng ta biết đa giác đều 30 cạnh có đặc tính rất hay là nếu đặt chúng “chồng lên” một cách thích hợp trên một hình lục giác nội tiếp chung trong một đường tròn thì cứ 5 cạnh liên tiếp của đa giác đều 30 cạnh nằm lọt vừa vặn “trong” một cạnh của lục giác đều.

Nếu chúng ta muốn xếp chỉ với 30 hình tam giác “kiểu” AOD nhưng vừa khít trong vòng tròn 0, thì cần phải tăng độ dài đoạn thẳng , đồng nghĩa với việc tăng độ dài cung . Và chính xác là phải tăng lên:

                 

Thú vị là, nếu muốn tìm lại độ dài đoạn AD ban đầu, thì lấy ()’ nhân với 0,96:

Trước đây không lâu, trong một lần giới thiệu sơ lược lịch sử tìm tòi trị số đúng của , chúng ta có dẫn ra từ một cuốn sách rằng trong dân gian Việt Nam còn lưu truyền cách xác định đường kính khi biết chu vi đường tròn của nó là: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị” và mô tả:

Nghĩ lại, thấy thật bất cập. Trong thực tế cuộc sống, thông thường vẫn là tính chu vi đường tròn, hay vẽ đường tròn khi đã biết đường kính. Khi đã biết chu vi đường tròn và biết thì đơn giản là chỉ việc lấy chu vi chia cho là có ngay độ dài của đường kính, việc gì phải dùng câu trên chi cho rườm rà. Con số quan trọng nhất có liên quan tới mọi đường tròn, từ chu vi cho đến đường kính và không được quên, đó là số . Vậy thì theo chúng ta, câu truyền khẩu dân gian trên phải là câu ghi nhớ nằm lòng chỉ cách tính ra số  có thể mô tả lại như sau:

Và phát biểu: “(Lấy 10) chia 8 phần, bỏ 3 phần, lấy 5 phần rồi chia cho 2”.

Bàn luận như thế về ông cha mình không biết là đúng hay sai nhưng bất luận là gì đi chăng nữa thì trong tâm tưởng, chúng ta tin tưởng sâu sắc rằng, tổ tiên chúng ta thật vô cùng tài giỏi.

Thôi, chúng ta hãy quay lại công việc chính!

Chúng ta viết lại mối quan hệ hoang đường mà nhờ nó, chúng ta đã “sàng” được số Pi Vàng và số 0,96 (từ nay chúng ta tặng cho nó cái tên: “Số qui đổi vàng”; vì hầu hết các số thập phân vô hạn tuần hoàn một chữ số khi nhân với nó đều phải chấm dứt sự vô hạn, và còn vì nhiều điều khác nữa).

Mối quan hệ đó là đặc trưng cho đa giác 3 cạnh đều. Để cho “công bằng” thì phải cho rằng mọi đa giác đều đều có mối quan hệ dạng đó, nghĩa là phải có:

Từ đó chúng ta có được một dãy số có quan hệ mật thiết với là: …, và viết dưới dạng con số là:

       

Qui luật tăng trưởng của dãy này là muốn biết số hạng tại vị trí nào đó thì chỉ việc lấy số thứ tự của nó nhân với số hạng đầu tiên (tức số 0,32). Một hệ quả suy ra từ qui luật này là tổng của hai số hạng bất kỳ trong dãy bằng số hạng có số thứ tự bằng tổng số thứ tự của hai số hạng đó. Chẳng hạn cho hai số trong dãy là 0,96 và 1,28. Tổng của chúng là:

0,96 + 1,28 = 2,24

Đó là số hạng có số thứ tự bằng:

3 + 4 = 7

Chúng ta đề xuất dãy số đó ra chỉ vì cảm giác thấy nó đẹp chứ không biết nó có ích lợi gì không nữa. Dù sao thì chúng ta cũng cứ đặt tên cho nó là “Dãy số của Pi Vàng”.

Đã là vàng thì phải quí báu. Đã gọi là số Pi Vàng mà từ nãy giờ chẳng thấy nó quí báu ở chỗ nào có cả. Sự hữu tỷ của nó kể cũng đẹp đấy. Nhưng thiên hạ ngày nay đã quen tôn vinh sự vô tỷ mất rồi nên chẳng ai còn cần tới nó. Công lao của nó đến nay là cho ra đời một dãy số hữu tỷ mà chưa ai kiểm chứng được và chúng ta cũng chưa biết dùng vào việc gì.

Nói vui thế thôi, chứ thực ra khi đặt cho con số 3,125 cái tên là Pi Vàng, chúng ta đã nhìn thấy ở nó một điều kỳ diệu. Không ai có thể tin nổi số Pi vàng lại là kết quả tác thành từ một số được mệnh danh là “vô tỷ nhất trong các số vô tỷ”. Nhưng rồi mọi người sẽ phải tin thôi khi thấy đẳng thức sau đây:

Chính mối quan hệ này, một mối quan hệ mà ngay cả thần thánh lẫn Thượng Đế cũng không thể sáng tạo ra được, đã củng cố niềm tin của chúng ta rằng số Pi vô tỷ chỉ là cái bóng của số Pi Vàng, hay có thể nói: số Pi Vàng mới đích thị là chân lý tuyệt đối khách quan và khi “bị” quan sát lẫn nhận thức “lũng đoạn”, nó chỉ còn biểu hiện ra như một chân lý tương đối là số Pi vô tỷ.

Với quan niệm trên, vậy thì phải chăng số vô tỷ cũng chỉ là cái bóng của một số hữu tỷ nào đó? Chúng ta không phản bội lại niềm tin của mình nên dõng dạc trả lời: “Vâng, thưa quí ngài, phải có một con số như thế!”.

(Còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------------