TT&HĐ IV - 37/h

                                                                   Định lý Talet

 

Phép Biến Hình Và Phép Tịnh Tiến - Phần Lý Thuyết

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)

Niềm tin và tính hoài nghi đều có mặt xấu và tốt của chúng. Có thể rằng, niềm tin làm cho cuộc đời yên ổn hơn nhưng vì bảo thủ nên cũng đơn điệu hơn; hoài nghi làm cho cuộc đời bấp bênh hơn nhưng vì linh động hơn nên cũng phong phú hơn. Nếu niềm tin là sự bảo tồn thì hoài nghi là sự phát triển. Hãy giữ vững niềm tin nhưng phải biết hoài nghi, đó mới là tư duy đúng. Một khi niềm tin chối bỏ hoài nghi thì nó trở thành tín ngưỡng mù quáng, ngược lại, một khi hoài nghi chối bỏ niềm tin thì nó trở thành đa nghi cực đoan. Cả hai tính cách ấy đều xấu như nhau đối với một tư duy sáng suốt. Thực ra tín ngưỡng mù quáng và đa nghi cực đoan chỉ là “hai trong một”, vì tin rằng tất cả đều đáng ngờ và chẳng tin gì ngoài một thứ duy nhất được tin cậy thì có khác gì nhau đâu?

Nếu Tỷ lệ vàng được ký hiệu là thì số Phi hữu tỷ được chúng ta ký hiệu là (đọc là “Phi sao”). Vì số đã được gọi là Tỷ lệ vàng rồi nên được chúng ta gọi là “Tỷ lệ vàng sao”.

Cũng tương tự như khi lựa chọn số , chúng ta cần tìm kiếm một số hữu tỷ gần với số nhất, thể hiện được tính hy hữu và cũng phải mang được phần lớn những biểu hiện “dị thường” của số . Vậy thì chúng ta có thể chọn số là 1,618 được không? Đã là tự do lựa chọn thì điều đó có thể được và vì gần số 2 nhất nên có thể cho rằng tổ tông nó là số 2 và:

Tuy nhiên, nghịch đảo của nó là một số hữu tỷ dài lê thê gợi nhớ về sự vô tỷ nên chẳng hy hữu tý nào.

Lấy một thí dụ như thế để thấy dù có quyền tự do lựa chọn thì cũng không thể lựa chọn tự do rồi gán cho đối tượng lựa chọn đó nhãn mác chân lý được. Muốn lựa chọn đúng thì không những cần phải trăn trở suy tư mà còn phải biết linh cảm nữa, hay nói cách khác là sự lựa chọn đó phải có… duyên. Thực ra ngay từ đầu, khi tình cờ phát hiện ra mối liên quan gần như không tưởng giữa và , trong thâm tâm, chúng ta đã lựa chọn con số 1,6 để đóng vai trò là số “Tỷ lệ vàng sao” rồi. Vậy chúng ta hãy mạnh dạn viết:

Nếu tổ tông (và cũng chắc rằng tổ tông) của nó là số 2 thì:

Đó là một biểu hiện giản dị đến mức hơi tầm thường. Thế nhưng, như chúng ta thường “rêu rao”: trong cái tầm thường nhiều khi lại hàm chứa cái sáng ngời chân lý. Ở đây cũng vậy, nếu chúng ta nghịch đảo vế trái, nhân nó lên 10 lần và chia cho 2, sẽ được một sự ngạc nhiên thú vị:

Có thể thấy:

Đó chính là công thức tính  được lưu truyền trong dân gian Việt Nam.

Hơn nữa, suy ra từ trên, có thể viết:

Vậy chính là số hạng nằm ở vị trí thứ 5 trong dãy số của Pi Vàng.

Chưa hết, trong dãy của , nằm ở vị trí các số thứ tự liên tiếp 3, 4, 5 là các số hạng: 0,96; 1,28; 1,6. Ai cũng biết rằng ba số 3, 4, 5 là bộ ba số Pitago làm nên tam giác vuông nguyên nhỏ nhất, thỏa mãn:

3² + 4² = 5²

Ba số hữu tỷ ở ba vị trí liên tiếp nhau theo thứ tự 3, 4, 5 nêu trên cũng thỏa mãn:

0,96² + 1,28² = 1,6²,

và vì vậy, bộ ba số hữu tỷ đó cũng làm nên một tam giác vuông hữu tỷ và có thể là nhỏ nhất. Chúng ta biết rằng chắc chắn là chứng minh được, nên có thể phát biểu một cách tổng quát: Có bao nhiêu bộ ba số Pitago để thiết lập nên tam giác vuông nguyên thì cũng có bấy nhiêu bộ ba số hữu tỷ tương ứng để thiết lập nên tam giác vuông hữu tỷ.

Từng đó sự kiện đã đủ cho hy hữu chưa? Nếu chưa thì chúng ta dẫn ra thêm một hiện tượng nữa và có thể là hy hữu không chê vào đâu được. Từ cách tính của ông bà tổ tiên chúng ta là:

Có thể suy ra được:

       

Vì cùng có mối quan hệ mật thiết với nên chúng ta ngờ rằng giữa và có một mối quan hệ liên thông sâu xa nào đó và đó cũng là lý do để chúng ta phán đoán rằng số là chân lý khách quan đích thực còn số là hình ảnh đã bị biến dạng của nó. Điều lạ lùng nhất là ở sờ sờ đó ngay trước “mũi” con người hàng ngàn năm nay nhưng chẳng ai “thấy” được nét đẹp tuyệt vời của nó để mà đi tung hô, hết lời ca ngợi cái bóng của nó. Biết làm sao được khi mà, nói một cách ví von,  như một viên ngọc nằm ở đáy một hồ nước trong veo, con người ở trên mặt hồ không thể thấy đích thực nó mà do ánh sáng bị chiết xuất và sự lay động của nước, chỉ có thể nhìn thấy được ảo ảnh của nó và ở một vị trí khác, đó chính là . Tệ hại hơn nữa, khi con người vì tò mò lại “nhúng cả mũi” vào hồ nước để nhìn cho rõ thì chỉ làm cho nước lay động mạnh hơn và lại càng khó lòng xác định hình hài cũng như vị trí của  hơn. Muốn “nắm bắt” được nó, con người phải “xả thân” vào trong hồ nước, sống im ắng và trầm tư mặc tưởng trong đó để mà ngộ ra được sự lầm lẫn bấy lâu của mình. Tuy nhiên, vì  hiện hữu ở tầng quá sâu và chỉ “sống được” trong môi trường nước thôi nên con người chỉ có thể ngắm nghía nó để làm cho nhận thức tự nhiên của mình thêm sâu sắc chứ không thể “lôi” nó lên thế giới trên cạn để “xài” nó được.

Do có tính đặc thù nên , cái ảnh ảo của nó, cũng có tính đặc thù tương tự và vì thế mà có thể viết được một đồng nhất thức hy hữu:

                 

(với vế trái là sự tham gia của các số hữu tỷ và vế phải ngoài các số hữu tỷ, còn xuất hiện một số vô tỷ nhất trong các số vô tỷ).

Từ đồng nhất thức trên, có thể ước lược, hạ lũy thừa và triển khai để có được:

    

Chúng ta đã làm xuất hiện số 0,96 và còn gọi tôn vinh là “Số qui đổi vàng”. Ở phần phía trên khi đặt vấn đề để tìm số chúng ta đã quan niệm rằng 0,96 là đơn vị độ dài đường kính D của đường tròn tâm O so với độ dài tuyệt đối a_2n=1 của đa giác đều loại 3.2ⁿ cạnh, nội tiếp trong đường tròn đó. Giờ đây, chúng ta cũng cho rằng ở một góc độ (hoặc thời điểm) quan sát nhất định, đơn vị độ dài tuyệt đối của đoạn thẳng OA có điểm B nằm ở vị trí tích trung bằng tích ngoại.

Từ biểu thức:

                 

có thể viết:

                 

Như vậy 0,6 là nghịch đảo của qua mốc 0,96. Nếu quan niệm 0,96 là đơn vị độ dài nào đấy thì nghịch đảo qua 0,96 là tương đương với nghịch đảo qua 1 và chúng ta đồ rằng 1,6 và -0,6 là hai nghiệm của phương trình bậc hai giống với phương trình có nghiệm là và

Chúng ta nhớ lại, về hiện tượng tích trung bằng tích ngoại, nhà toán học, thiên văn học Kepler đã đưa ra một định lý, mà vào năm 1579, ông đã viết cho một người thầy cũ của mình: “Trên một đường thẳng được chia theo trung ngoại tỷ, nếu ta dựng một tam giác vuông, sao cho đỉnh góc vuông nằm ngay trên đường thẳng góc được vạch từ điểm cắt, thì cạnh nhỏ của tam giác sẽ bằng đoạn dài hơn của đường thẳng bị cắt”

Chúng ta minh họa điều Kepler phát biểu trên hình 16.

Hình 16: Minh họa định lý của Kepler

Ý của Kepler nói rằng nếu có một đoạn thẳng OA mà điểm B cắt đoạn thẳng thỏa mãn tích trung bằng tích ngoại, thì sẽ có một tam giác vuông OCA, sao cho:

Dựa vào tính chất của 2 tam giác đồng dạng, dễ dàng chứng minh định lý của Kepler, với qui ước:

BA = 1

Nếu đưa hình 16 vào Thế giới hoang đường, nghĩa là cho:

thì               BC = 1,28

Lúc này, rõ ràng tam giác vuông BAC sẽ biến thành tam giác vuông có 3 cạnh hữu tỷ nhỏ nhất (nếu quan niệm 0,96 đóng vai trò là đơn vị độ dài nhỏ nhất tuyệt đối).

(Trong Thế giới hoang đường, tam giác OCA vẫn được cho là vuông. Và vì thế điểm C vẫn nằm trên đường tròn đường kính OA. Nhưng đường kính OA không phải bằng 2,56 mà bằng 2,6 vì lúc này BA lại được thấy là bằng 1. Thế mới tài! Trong “hiện thực”, điều đó không thể xảy ra vì muốn cho vuông, C phải nằm trên đường tròn có O’A nào đó với:

BA = 0,96

O’B = 1,70666…

Và              O’B + BA = O’A = 2,6666…

Từ đó        

Nghĩa là tam giác vuông O’CA cũng có 3 cạnh hữu tỷ. Hơn nữa, có thể thấy:

Đó phải chăng chỉ là một biểu hiện tầm thường hay chính là điều kỳ diệu?!)

Bây giờ, giả sử chúng ta chưa biết trị số của và cần phải tìm nó. Chúng ta gọi là ẩn số x. Đối với , chúng ta biết nó có tính chất:

Tương tự, đối với , chúng ta cũng có:

Suy ra phương trình:

Đó là phương trình có dạng giống với dạng của phương trình tính ra mà chúng ta đã áp dụng. Nhưng để cho giống hơn nữa, chúng ta nhân hai vế của nó với 0,96 và có:

Giải phương trình này ra, được:

Chúng ta liệt kê những tính chất đã biết của số :

Nhìn lên hình 16, một cách trực quan, chúng ta viết được tỷ lệ thức thể hiện điều kiện tích trung bằng tích ngoại:

Và… hoàn toàn sai lầm. Bởi vì trong thực tại của chúng ta, số 0,96 chỉ là… 0,96 thôi chứ không phải là số qui đổi vàng của Thế giới Hoang Đường.

Điều kiện tích trung bằng tích ngoại trong thế giới hoang đường phải được viết khác đi. Từ phương trình tính  ở trên, chúng ta có:

Cuối cùng thì tỷ lệ thức về tích trung bằng tích ngoại trong Thế giới Hoang Đường là:

Có lẽ cũng cần nói thêm một chút về nghiệm âm của phương trình tính . Khi  thì có thể có hai trường hợp xảy ra. Nếu đoạn thẳng OA nằm trong miền âm của thế giới tương phản âm dương và chúng ta ở trong miền dương của thế giới ấy quan sát nó thì tỷ lệ thức phải được viết là:

Xét ra thì bản chất của mối quan hệ tỷ lệ ấy cũng không có gì bị biến đổi cả, vì khi chúng ta “vào” trong thế giới âm để quan sát nó thì về mặt tương phản, chúng ta và cái tỷ lệ thức ấy “cùng một giuộc” nên nó lại trở về với dạng thức “không âm không dương” ban đầu.

Trường hợp thứ hai là chỉ “một mình” x là âm thôi thì theo tỷ lệ thức, đoạn OA sẽ bằng:

Xét theo trị số tuyệt đối thì làm sao mà đoạn OA lại nhỏ hơn hai đoạn thẳng thành phần của nó được?

Trước khi trả lời câu hỏi đó, cần phải trả lời câu hỏi này: Vậy thì hiện tượng nêu trên có tồn tại không? Chúng ta cho rằng nghiệm âm của phương trình cũng là kết quả của một quá trình tính toán thực sự khách quan (dù là trong thực tại ảo) và không phạm bất cứ sai lầm nào nên nó cũng có quyền được tồn tại một cách bình đẳng đối với nghiệm dương. Do nhận thức về Tự Nhiên Tồn Tại chưa thấu đáo và do cái tạm gọi là “tư duy trực giác” có được từ thuở hình thành nên sự suy nghĩ (và cũng chính là bộ phận nền tảng của tư duy trừu tượng) của nhân loại cũng như vào thuở bình minh của cuộc hành trình khám phá khoa học đã trở thành “truyền thống” tạo nên mặt trái bảo thủ của tư duy sáng tạo, cho nên thứ gì không phù hợp với trực giác, với năng lực (trình độ) cảm thức của con người thì đều thường bị ý chí của họ “truất quyền” tồn tại. Vai trò của thực chứng là tối quan trọng trong công cuộc đi khám phá chân lý cũng như kiểm nghiệm chân lý. Tuy nhiên, cần phải thấy rằng thực tiễn không phải là tiêu chuẩn duy nhất để xác nhận chân lý, thậm chí không phải lúc nào hay bất cứ đâu nó cũng đủ “năng lực” để đảm đương được vai trò ấy. Khi con người cứ khăng khăng lấy trình độ cảm thức trực giác hay là khả năng quan sát thực tại của mình làm thước đo duy nhất của chân lý thì cũng là lúc niềm tin của họ vào thực chứng trở thành tín ngưỡng mù quáng với tên gọi là “chủ nghĩa thực chứng”.

Chúng ta gọi thứ trái ngược với Chủ nghĩa thực chứng là “Chủ nghĩa phi thực” (coi thực tại mà con người trực giác được chỉ là “giả hợp”, không thực; cho rằng không thể nhận thức đúng được bản chất sự vật thông qua khái niệm, mà phải loại bỏ khái niệm hay còn gọi là vượt lên trên khái niệm bằng con đường thực hành “thiền”, để qua đó đạt đến trình độ cảm ngộ thực tại đích thực, nghĩa là muốn tiếp cận được chân lý tối hậu thì chỉ có cách thông qua chiêm nghiệm tâm linh)

Chủ nghĩa thực chứng cực đoan bao nhiêu thì chủ nghĩa phi thực cực đoan bấy nhiêu. Chỉ khi dung hòa được hai thứ chủ nghĩa ấy một cách tự nhiên thì lúc đó mới có được một sự tư duy bản lĩnh, kiên định mà cũng linh động sáng tạo. Người lớn chỉ nhìn thấy hình vẽ của Exupery là một cái mũ phớt và tưởng rằng đó là sự thực không thể chối cãi! Nhưng đó lại là bức hình con trăn nuốt con voi trong bụng và Hoàng Tử Bé đã nhìn thấy!

Đối với hiện tượng nêu trên, chúng ta tin chắc rằng Hoàng tử Bé sẽ giải trình như thế này:

Khi x = -0,6 thì có nghĩa rằng đoạn thẳng OA đã “nằm trong” một thế giới tương phản âm - dương và đã bị phân định nội tại thành hai bộ phận âm và dương mà nếu biểu diễn tương tự như số phức (kiểu của riêng chúng ta!) thì là:

                 

(1,54 là độ dài được gọi là tuyệt đối của đoạn thẳng OA khi x = -0,6; nó không âm không dương và cũng không nguyên!)

Trong thế giới tương phản âm - dương, không thể quan sát thấy được trọn vẹn độ dài đó của đoạn thẳng OA, vì các bộ phận trong nội tại đã phân định âm - dương của nó “tương tác”, kết hợp theo cách đã làm cho phần lớn độ dài của OA (bằng 1,2) trở nên trung tính (không âm không dương), do đó cũng không hiện hữu được và lặn xuống, chìm khuất. Bộ phận ít hơn, còn lại của đoạn thẳng OA vì mang tính dương nên vẫn nổi trội, hiện hữu và được quan sát “nhìn thấy”. Bộ phận này là “đại diện” của đoạn OA trước quan sát và cũng mang một đặc tính của đoạn OA là tích trung bằng tích ngoại. Do đó có thể viết:

                 

Hai vế của tỷ lệ thức là “cùng phe” trong phân định tương phản âm - dương nên có thể viêt nó dưới dạng trung tính là:

                 

Điều lạ lùng nhất ở đây là độ dài của một đoạn thẳng lại nhỏ hơn bộ phận làm nên nó (0,36 < 0,6). Vì sao lại xảy ra hiện tượng như vậy?

Thực ra một đoạn thẳng luôn lớn hơn bộ phận của nó và đó là một chân lý tuyệt đối. Chỉ tại chúng ta nhìn “gà hóa cuốc” ra thế thôi. Trong mối tương phản nghịch đảo, bao giờ cũng tồn tại hai vế với một vế gồm các số hạng nhỏ hơn trị số làm mốc nghịch đảo và vế còn lại gồm các số hạng lớn hơn trị số đó. Ở vế gồm các số nhỏ hơn trị số làm mốc nghịch đảo thì tích của bất cứ hai (hay nhiều) số hạng nào cũng cho kết quả là một số có trị số nhỏ hơn hai (hay nhiều) con số tham gia phép nhân ấy. Đối với mối tương phản nghịch đảo hoàn toàn (tương phản qua 1 trong thực tại và qua 0,96 - được coi là đơn vị nhỏ nhất trong Thế giới Hoang đường) thì tích của các số hạng ở vế nhỏ hơn 1 có xu hướng tiến về phía vô cùng nhỏ.

Trong Vũ Trụ tương phản ảo - thực, chúng ta luôn coi mình hiện hữu trong thế giới thực. Cụ thể là trong Vũ Trụ tương phản nghịch đảo, chúng ta luôn ở trong thế giới mà mốc nghịch đảo được coi là đơn vị nhỏ nhất cấu thành nên nó và tất cả những lực lượng nhỏ hơn 1 (tuyệt đối) đều thuộc về thế giới tương phản nghịch đảo với thế giới mà chúng ta đang tồn tại. Vì đặc tính của sự tương phản là trái ngược nhau nên hai hiện tượng y hệt nhau về bản chất nhưng xảy ra ở hai thế giới tương phản nhau sẽ thấy như trái ngược nhau.

Khi x = -0,6 thì coi như đoạn thẳng OA và chúng ta không còn ở chung một thế giới nữa mà nó đã bị đặt sang thế giới nghịch đảo với thế giới mà chúng ta đang sống. Chính vì vậy, chúng ta mới thấy hiện tượng lạ đời: đoạn thẳng OA ngắn hơn thành phần x của nó. Tuy nhiên, nếu chúng ta “bước sang” thế giới nghịch đảo ấy thì lại thấy đó cũng là thực tại mà chúng ta đang sống và đoạn OA luôn lớn hơn thành phần x của nó vì tích của hai số hạng lớn hơn 1 bao giờ cũng lớn hơn các số tham gia phép nhân.

***

Có thể thấy Vũ Trụ hình học là minh họa trực quan của Vũ Trụ số và là một bước tiến tất yếu của toán học đến gần hơn với thực tại khách quan.

Tương tự như Vũ Trụ số, Vũ Trụ hình học cũng có hiện tượng chồng chập của các thế giới: tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ… Nhưng Vũ Trụ hình học ưu việt hơn Vũ Trụ số ở chỗ là nó đã diễn tả được nhiều điều hết sức trừu tượng xảy ra trong Vũ Trụ số, hơn nữa, còn lột tả được nhiều hiện tượng biến đổi, chuyển hóa không gian rất gần với Thực tại khách quan, giúp cho nhận thức của con người về Tự Nhiên Tồn Tại ngày một thêm sâu sắc.

Dù rằng Vũ Trụ số cũng diễn tả được đặc tính tương phản của thực tại khách quan, song nói chung vẫn ở mức độ hời hợt hoặc siêu hình. Phải nói rằng trong Vũ Trụ hình học, tuy sự siêu hình vẫn không thể bị loại bỏ, nhưng đặc tính tương phản của Thực tại khách quan đã được biểu hiện sinh động hơn, phong phú hơn và sát thực hơn. Ngoài hai mặt tương phản được cho là cơ bản của Vũ Trụ số là âm - dương và nghịch đảo, trong Vũ Trụ hình học còn xuất hiện một hình thức tương phản cực kỳ quan trọng, có thể là có vai trò cốt lõi trong sự tồn tại và chuyển hóa không gian, đó là tương phản cong - thẳng. Nếu không có tương phản cong - thẳng và sự chuyển hóa qua lại giữa cong và thẳng thì không thể có Vũ Trụ hình học vì ngay cả Tự Nhiên Tồn Tại cũng không có.

Trong một thế giới đồng phương, chỉ có thể tồn tại một tập hợp rời rạc đường thằng đồng phương không liên hệ gì với nhau. Các đoạn thẳng xuất hiện trên tập hợp này chỉ có thể liên hệ được với nhau nếu chúng tương phản vì trong nó xuất hiện hai chiều trái ngược nhau được gọi là âm và dương. Chúng ta có thể đặt tên cho thế giới này là Không gian véctơ hai chiều.

Do có hiện tượng chồng chập các Không gian hai chiều làm xuất hiện Không gian nhiều chiều. Lúc này các điểm của một Không gian hai chiều có thể trùng với (hay đồng thời là) các điểm của những Không gian hai chiều khác nên các không gian hai chiều chồng chập nhau thì cũng có một không gian véctơ liên thông gồm 2n chiều.

Có thể tưởng tượng ra rằng trên một mặt phẳng luôn tồn tại n đường thẳng khác phương chiều và như vậy cũng tồn tại những tập hợp gồm n điểm đại diện cho n đường thẳng đó. Trong số những tập hợp n điểm kể trên, sẽ phải có những tập hợp tạo thành đường tròn gọi là liên thông của các đường thẳng khác phương chiều và trong trường hợp đối với không gian liên thông là những hình cầu liên thông. Chúng ta cho rằng, nhờ có đặc tính này mà trong không gian liên thông mới xuất hiện mối tương phản giữa thẳng và tròn. Sự hiện hữu đa dạng và phong phú các đường cong như đường xoắn ốc, sóng, cônic… là những kết quả chuyển hóa qua lại giữa thẳng và tròn thông qua số  và số qui đổi vàng 0,96.

Nếu trong Vũ Trụ số, chúng ta có một quan niệm riêng về số phức thì trong Vũ Trụ hình, chúng ta cũng có một quan niệm riêng về đoạn thẳng phức. Một trong những biểu hiện của một đoạn thẳng phức là trường hợp đoạn thẳng OA có một trong hai đoạn thẳng thành phần của nó là đoạn thẳng âm x = -0,6. Trong không gian véctơ liên thông nếu qui ước tương phản âm - dương theo một phương chiều nào đó thì các đoạn thẳng “nằm ngoài” phương chiều ấy được coi là những đoạn thẳng phức đối với phương chiều được qui ước âm - dương.

Đặc tính tương phản của Thực tại khách quan còn được phản ánh ở nhiều hiện tượng khác nữa trong Vũ Trụ hình học. Chẳng hạn đối xứng trục hay đối xứng gương… là những biểu diễn tương phản về vị trí và “tư thế” của hai hình hình học nào đó. Nói chung, bằng cách tịnh tiến và quay thích hợp, chúng ta có thể biến đổi một hình nào đó thành thể tương phản hoàn toàn với nó qua một trục hoặc một điểm.

Trong quá trình nghiên cứu “các biến đổi hình học” cũng như khám phá và xây dựng nên các phép biến đổi (ánh xạ), các nhà toán học đã phát hiện ra một hiện tượng đặc sắc là sự tương phản nghịch đảo của mặt phẳng đối với một đường tròn, và cách thức biến đổi làm xuất hiện hiện tượng đó được họ gọi là phép nghịch đảo đối với các đường tròn (hay còn gọi là các phép đối xứng tròn, do có sự giống nhau của phép biến đổi này với sự phản xạ trong phương cầu).

Giả sử trong mặt phẳng cố định, cho trước một đường tròn tâm O (các nhà toán học gọi là tâm hay cực của phép nghịch đảo), có bán kính r (xem hình 17). Ảnh của điểm P là P’ nằm trên đường thẳng chứa OP, ở cùng phía của P đối với O sao cho:

                 

Hình 17: Tương phản nghịch đảo qua đường tròn.

Đây là tương phản nghịch đảo qua mốc r² của hai đoạn thẳng. Nếu r² = 1 thì là tương phản nghịch đảo qua gốc 1. Có thể gọi P là ảnh của P’ hoặc ngược lại, P’ là ảnh của P trong phép biến đổi đó, và người ta còn gọi P, P’ là nghịch đảo của nhau qua đường tròn tâm O. Phép nghịch đảo này đã biến đổi miền bên trong đường tròn (nội tiếp vòng tròn) thành miền ngoài và ngược lại. Điều dễ thấy là để tồn tại biểu thức trên, đoạn OP phải luôn lớn hơn O, và khi P tiến đến tâm O thì P’ cũng dần tiến ra xa vô tận. Vì lý do đó mà người ta nói rằng trong phép nghịch đảo của một điểm đối với đường tròn (hình 17/a) thì ảnh của tâm O là điểm xa vô tận.

Tính chất quan trọng nhất của phép nghịch đảo vừa trình bày là nó biến đổi những đường thẳng và đường tròn thành những đường thẳng và đường tròn mà cụ thể là toán học đã chứng minh được các kết luận sau đây:

a. Một đường thẳng đi qua tâm O biến thành một đường thẳng cũng qua tâm O.

b. Một đường thẳng không đi qua tâm O biến thành một đường tròn đi qua tâm O (hình 17/b)

c. Một đường tròn đi qua tâm O biến thành một đường thẳng không đi qua tâm O.

d. Một đường tròn không đi qua tâm O biến thành một đường tròn cũng không đi qua tâm O.

Điều quan tâm đặc biệt của chúng ta đối với hiện tượng hình học này là có thể dùng nó để minh chứng cho quan niệm triết học: nội tại hạt không gian cũng lớn bằng Vũ Trụ. Sở dĩ trước mắt chúng ta hạt KG trở nên vô cùng nhỏ bé đến mức không thể nhận diện được là vì nội tại của nó là ở thể ảo, thể nghịch đảo nhỏ hơn đơn vị tuyệt đối của cái Vũ Trụ thực tại mà chúng ta đang sống và quan sát thấy. Cũng có thể suy ra rằng nội tại của hạt KG cũng vô tận như Vũ Trụ và sự vô tận của Vũ Trụ cũng hữu hạn như nội tại hạt KG!

Nói thêm, tuy phép nghịch đảo qua đường tròn là một biến đổi làm thay đổi khá rõ hình dạng của các hình hình học nhưng các hình thu được vẫn còn bảo lưu một số tính chất của các hình ban đầu. Những tính chất không bị mất đi sau một quá trình biến đổi được gọi là các tính chất bất biến. Một trong những bất biến sau khi thực hiện phép nghịch đảo qua đường tròn là góc giữa hai đường thẳng hoặc đường cong không thay đổi về độ lớn dù hướng của góc có thể thay đổi.

Một trong những hệ quả về tính bất biến của góc trong phép nghịch đảo qua đường tròn là hai đường tròn hoặc đường thẳng trực giao (nghĩa là cắt nhau theo góc vuông) sẽ giữ nguyên tính chất này sau khi bị nghịch đảo và nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì các đường tròn tiếp xúc với chúng cũng tiếp xúc nhau.

Một hệ quả khác là giả sử cho trước một tập hợp đường tròn đi qua tâm nghịch đảo và có một tiếp tuyến chung tại điểm đó thì sau phép biến đổi nghịch đảo, sẽ làm xuất hiện một họ các đường thẳng song song.
(Còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------------