TT&HĐ IV - 37/a

                                                                      hình học ơclít

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

Định lý Pitago phát biểu rằng: “Đối với một tam giác vuông thì tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền”.

Định lý này tuy gắn liền với tên tuổi nhà toán học Pitago nhưng đã được người Babylon cổ và người Trung Hoa cổ sử dụng hơn 1000 năm trước đó. Chúng ta còn cho rằng người Việt cổ thời Hùng Vương cũng đã biết nó từ lâu.

Để chứng minh định lý này, chúng ta hãy xem hình 1 với những ký hiệu các cạnh dưới đây:

Hình1: Minh họa chứng minh Định lý Pitago

Có thể tính diện tích hình vuông lớn bằng hai cách là:

                 

Với S₁ và S₂ đều là diện tích hình vuông lớn nên:

                 

Do đó:       

Trong Vũ Trụ số, chúng ta thấy rằng biểu thức trên không phải bao giờ cũng đúng đối với số tự nhiên, nhưng ở đây, trong Vũ Trụ hình học, thì biểu thức đúng với tất cả mọi tam giác vuông được xác định chắc chắn bằng thước kẻ và compa.

Có thể rằng người châu Á cổ đại đã đụng chạm đến số vô tỷ nhưng chưa đủ năng lực trí tuệ để nhận thức nên đã “tránh xa” và không “dám” nhắc tới nó. Do đó mà mãi đến thế kỷ V TCN, nó mới chính thức được phát hiện bởi nhà toán học Hy Lạp tên là Hippasus. Trước sự phát hiện này, các đồ đệ của trường phái Pitago đã vô cùng sửng sốt và khiếp đảm, bởi vì nó đe dọa một sự phá hoại ghê gớm đến quan niệm về một thế giới được xây dựng trên nền tảng của những con số nguyên cùng với những mối quan hệ tỷ lệ nào đó giữa chúng. Họ đã không thể nào “nuốt trôi” được sự hiện diện của số vô tỷ nên đã giấu nhẹm sự phát hiện ra nó, hoàn toàn giữ bí mật và cho rằng đó chỉ là một thứ hỏng hóc của Vũ Trụ.

Sự phát hiện ra số vô tỷ dẫn đến sự khám phá ra tính vô ước (tính không có ước số chung, tính không so sánh được với nhau giữa các đoạn thẳng). Vào khoảng năm 300, nhà triết học kiêm sử học Iamblichus đã mô tả sự phản ứng dữ dội trong trường phái Pitago đối với khám phá này: “Họ bảo rằng người đầu tiên hé mở về tính thông ước và tính vô ước cho những ai không xứng đáng để sẻ chia lý thuyết ấy, người đó sẽ bị ghét bỏ đến nỗi không chỉ bị trục xuất khỏi hội đoàn mà thậm chí nấm mồ của hắn ta cũng bị dựng lên như thể kẻ đó đã bị tách khỏi cuộc sống giữa loài người”.

Điều kỳ diệu nhất là không làm sao viết ra một số vô tỷ cho chính xác và minh bạch được thì trong khi đó có thể biểu thị  số vô tỷ đó dưới dạng đoạn thẳng hình học một cách hoàn toàn xác đáng và trực quan “không chê vào đâu được”. Đường chéo của một hình vuông bao giờ cũng hàm chứa số vô tỷ là , song phải cho rằng nó hoàn toàn hữu hạn và xác định, vì nếu không, sẽ không dựng được nó bằng thước kẻ và compa, thậm chí là bằng bất cứ phương tiện nào. Tuy nhiên điều kỳ dị đó sẽ bị “lu mờ” đi nếu chúng ta đã “thấm nhuần” sự biểu hiện nước đôi của Tự nhiên Tồn tại: sự hàm chứa tính vô hạn trong cái hữu hạn và sự hàm chứa tính hữu hạn trong cái vô hạn.

Ở buổi bình minh của tư duy nhận thức, đi liền với cảm giác về tính rời rạc là cảm giác về tính khác biệt hình dạng cũng như kích cỡ to, nhỏ so với nhau của vạn vật - hiện tượng. Đòi hỏi khách quan của cuộc sống đã yêu cầu nhận thức phải định lượng, định hình, định vị toàn bộ các sự vật - hiện tượng mà nó quan sát được. Nguyên nhân ra đời của số học và hình học có nguồn gốc như vậy. Có thể nói số học và hình học là hai góc độ quan sát và nhận thức khác nhau về cùng một thực tại khách quan. Từ hai góc độ quan sát và nhận thức đó, con người đã xây dựng được hai thực tại ảo là Vũ Trụ số học và Vũ Trụ hình học. Hai Vũ Trụ đó cũng chính là hai hình ảnh khiếm khuyết và méo mó của Thực tại khách quan, do không thể loại bỏ được cơ sở của tư duy nhận thức là hệ thống các khái niệm và qui ước đầy tính chủ quan, bị động, phiến diện và siêu hình. Do không thể cùng một lúc quan sát được hai hay nhiều sự vật - hiện tượng trong Thực tại khách quan một cách trung thực và cũng do còn thiếu thốn những quan sát hồi ức trong buổi đầu nhận thức của con người mà hai Vũ Trụ ảo đó tồn tại một cách độc lập tương đối so với nhau là một tất yếu.

Trong khi Vũ Trụ số chủ yếu quan tâm tới số lượng và sự chuyển hóa giữa các số lượng của vạn vật - hiện tượng thì Vũ Trụ hình lại chủ yếu quan tâm tới hình dạng, phương vị và sự chuyển hóa giữa các hình dạng - phương vị của vạn vật - hiện tượng. Quá trình khảo sát và nghiên cứu đó đã ngày một tích lũy được nhiều kinh nghiệm cũng như tri thức làm cho đối tượng của quan sát hồi ức ngày càng được mở rộng và phong phú, làm điểm tựa kích thích, tạo khả năng cho nhận thức phát triển không ngừng. Sự nâng cao của nhận thức đã dẫn đến động thái hoàn toàn tự nhiên: đào sâu và mở rộng nhận thức về Vũ Trụ hình và ngược lại, bằng cách xâm nhập Vũ Trụ số và Vũ Trụ hình. Nhận thức không thể không làm điều đó nếu muốn tìm hiểu triệt để Thực tại ảo và thông qua đó là Thực tại Khách quan, và có thể làm được điều đó vì Vũ Trụ số và Vũ Trụ hình, dù là hai hình ảnh có những nét đặc thù do góc độ quan sát khác nhau mang lại thì thực ra đều là sự mô tả về một Thực tại có bản chất duy nhất, làm cho những qui luật, những nguyên lý chung nhất, có tính nền tảng của hai Vũ Trụ ảo đó, khi “bị lột bỏ bộ cánh ngụy trang là đặc thù” đi, sẽ trở nên đồng nhất.

Có thể tạm nói rằng Vũ Trụ hình học, khi chưa được “thổi hồn” Vũ Trụ số vào, thì chỉ là một Vũ Trụ đơn thuần của cảm giác lý tính, hay nói cách khác, là một Vũ Trụ ảo câm nín. Khi được “lồng” Vũ Trụ số vào, Vũ Trụ hình trở nên bừng sáng, lung linh và ngân lên hết cung bậc huyền ảo của nó. Nhờ có Vũ Trụ hình - số học mà nhận thức của con người đã có những hiểu biết lớn lao và ngày càng sắc sảo hơn về bản chất đích thực của Không gian, thứ duy nhất làm nên Vũ Trụ Khách quan.

Khi đã được trang bị “kỹ thuật số”, thì Vũ Trụ hình cũng thể hiện tương tự như Vũ Trụ số, theo cách đặc trưng của nó, nghĩa là nó cũng bao gồm Thế giới (hình) tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ, thực… và nguyên nhân xuất hiện ra các thế giới ấy, sự chuyển hóa giữa các thế giới ấy thông qua các phép toán cũng tương tự như có tính minh họa trực quan và minh tường hơn Vũ Trụ số. Có những biểu hiện của Thực tại khách quan mà dù có muốn thì Vũ Trụ số cũng khó lòng lột tả được, trong khi Vũ Trụ hình lại làm được điều đó một cách dễ dàng.

Bây giờ chúng ta đi xem xét một vài vấn đề sơ đẳng của Vũ Trụ hình.

Chúng ta biết rằng không một Vũ Trụ nào có thể được xây dựng nên từ Hư Vô tuyệt đối và Vũ Trụ nào cũng thể hiện đồng thời hai mặt tương phản của nó là cái nền tảng chìm khuất và cái hiện hữu nổi trội. Nền tảng của Vũ Trụ hình học là Không Gian. Không Gian có cấu tạo như một khối mạng từ vô vàn điểm Không Gian. Điểm KG là đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của Vũ Trụ hình học và lấp đầy Vũ Trụ ấy. Trong cái Vũ Trụ hình học vừa ảo vừa siêu hình thì do “tác động” từ bên ngoài (và “ông chủ” của những tác động ấy chính là con người tư duy nhận thức!), mà các điểm (tương đối), đường, mặt, khối xuất hiện, tạo nên bộ phận hiện hữu trên cái nền tảng Không Gian của nó. Chúng ta nói rằng, dù có mô tả tốt đến mấy bản chất Không gian của Vũ Trụ khách quan thì Vũ Trụ hình học vẫn là một cơ thể siêu hình ghê gớm và vẫn không bao giờ “đủ sức” mô phỏng được “linh hồn” của Không Gian vì nó vẫn còn thiếu một biểu hiện cơ bản của Thực Tại Khách Quan là Thời Gian.

Giả sử rằng trong Vũ Trụ hình học, chúng ta thấy một đường thẳng a (xem hình 2). Đường thẳng a chính là tập hợp của vô vàn điểm KG dã được làm cho hiện hữu và được sắp xếp theo một phương xác định nào đó.

Sau khi quan sát thấy thế thì rồi sớm muộn gì chúng ta cũng phải hồn nhiên tự hỏi: có bao nhiêu điểm KG làm nên đường thẳng a? Hỏi nhưng không bao giờ trả lời được vì hai đầu mút của a đã vượt ra ngoài tầm quan sát của chúng ta và có vẻ như mỗi đầu mút đi về hai phía ngược nhau và ở đâu đó tại “hai đầu nỗi nhớ” của sự vô tận.

Thực ra, vì điểm KG tuyệt đối là vô cùng nhỏ so với năng lực cảm nhận của con người nên nó luôn ở ngoài tầm quan sát của chúng ta và chìm khuất - rất “sâu” đến có vẻ như vô tận. Chúng ta thấy được đường thẳng a vì nó là tập hợp của những thực thể tạm gọi là “điểm KG tương đối”. Điểm KG tương đối là tập hợp một số lượng nào đó những điểm KG tuyệt đối, và chúng ta từ nay gọi nó một cách gọn lại là “điểm”.

Hình 2: Đôi điều về Vũ Trụ hình học

Dù chúng ta không thể đếm hết được điểm của đường thẳng a thì vẫn có thể đếm được n điểm trong một khoảng nào đó của a. Khoảng đó được gọi là “đoạn thẳng”. Giả sử chúng ta có đoạn thẳng OA (gồm n điểm) của đường thẳng a hiện hữu ở hình 2. Rõ ràng, đơn vị nhỏ nhất làm nên đoạn thẳng ấy là “bề dày” của điểm. Có thể nói, bề dày của điểm trên a (hay OA) cũng chính là khoảng cách hoặc đoạn thẳng nhỏ nhất tự nhiên (không theo qui ước) của a (hay OA). Vậy thì khoảng cách giữa điểm O và A là bao nhiêu? Nếu qui ước tính luôn cả bản thân hai điểm ấy thì nó là:
 

Nếu chúng ta chọn thứ nguyên nào đó cho thì còn được gọi là “đơn vị đo khoảng cách (hay độ dài) tự nhiên” của đường thẳng a. Vậy cũng là độ dài của đoạn thẳng . Tuy nhiên trong thực tế, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, khảo sát và tính toán, người ta thường chọn một đoạn thẳng nhất định nào đó làm đơn vị độ dài và gọi là “đơn vị đo độ dài theo qui ước”. Chẳng hạn trên hình 2, chúng ta đã chọn đơn vị độ dài của đường thẳng a là và như vậy, độ dài của đoạn thẳng OA là bằng 7 đơn vị.

Hiển nhiên là khi đã có được đơn vị độ dài rồi thì chúng ta có thể xác lập được mọi đoạn thẳng có độ dài ngắn khác nhau để xây dựng nên một dãy các đoạn thẳng có độ dài tương đương với dãy số đếm tự nhiên trong Vũ trụ số.

Vì Vũ trụ hình học có tính vô tận nên cũng có vô vàn các đường thẳng cùng phương với đường thẳng a để xây dựng được vô vàn dãy các đoạn thẳng tự nhiên. Vô vàn những đường thẳng đồng phương với a còn được gọi là những đường thẳng song song với nó và với nhau. (Thực ra, khái niệm “đồng phương” là rất “bấp bênh”. Ở đây, chúng ta tạm hiểu: các đường thẳng đồng phương là các đường thẳng song song với nhau; mặt phẳng đồng phương chỉ chứa các đường thẳng song song và nếu 2 tập hợp đường thẳng của 2 mặt phẳng đồng phương cũng song song với nhau thì 2 mặt phẳng đó đồng phương với nhau). Vô vàn những đường thẳng đồng phương sẽ tạo lập được vô vàn những mặt phẳng đồng phương và từ đó mà cũng hình thành nên một không gian đồng phương. Trong không gian đồng phương, tất cả các đoạn thẳng đều đồng phương và chỉ có các đoạn thẳng đồng phương mới thuộc về nó. Trong không gian đó, nếu các phép toán được thực hiện tự do thì chúng ta sẽ có đủ các lực lượng đoạn thẳng: tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ và phức hợp. Có thể nói không gian đồng phương là “hình ảnh trực quan” của Vũ trụ số và tương đương với Vũ trụ số về mặt lực lượng.

Trong không gian đồng phương, khi đã xuất hiện những đoạn thẳng nguyên thì coi như bản thân nó cũng phân thành hai chiều tương phản âm - dương. Lúc này, các đoạn thẳng được gọi là các “véc tơ” và những véc tơ cùng chiều được gọi là “những véc tơ cùng phương chiều” hay “những véc tơ đồng hướng”. Chúng ta cho rằng không gian đồng phương chỉ có hai chiều tương phản âm - dương.
(Còn tiếp)
--------------------------------------------------------------