Thứ Tư, 4 tháng 8, 2021

TT&HĐ IV - 36/h

Top 6 đứa trẻ phi thường nhất thế giới

Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp -

PHẦN IV: BÁU VẬT

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."
NTT

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.”

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.”

Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

Lê Quý Đôn

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál

"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá

(Tiếp theo)

Vào cuối những năm 60 của thế kỷ XX, cả một đội quân các nhà toán học tiến hành kiểm tra một cách có hệ thống giả thuyết Taniyama - Shimura. Rất nhiều bằng chứng nữa xuất hiện và đều củng cố thêm cho giả thuyết này. Tuy nhiên điều đó không có nghĩa là giả thuyết đã được chứng minh. Chừng nào chưa có ai chứng minh được một cách chặt chẽ về mặt logic thì sự khẳng định về mối quan hệ khăng khít và nhất quán giữa các dạng modular và các phương trình eliptic vẫn chỉ đơn thuần là một giả thuyết.

Vào những năm 1970, mặc dù vẫn chưa được chứng minh nhưng giả thuyết Taniyama - Shimura đã được nhắc tới trong hàng trăm bài báo khoa học bàn về những điều gì sẽ xảy ra nếu như nó được chứng minh. Những bài báo này thường bắt đầu với dòng chữ: “Giả sử rằng giả thuyết Taniyama - Shimura là đúng…”, và sau đó tiếp tục là sự trình bày lời giải của một bài toán vẫn chưa giải được nào đó. Kết quả thu được, dựa trên cơ sở một giả thuyết, cũng chỉ mang tính giả thuyết. Đến lượt những kết quả mới thu được đó lại là cơ sở cho những kết quả mới khác nữa. Vô hình dung, giả thuyết Taniyama - Shimura trở thành nền tảng của một tòa lâu đài mới của toán học và tòa lâu đài này có nguy cơ sụp đổ bất cứ lúc nào một khi giả thuyết nền tảng bị chứng thực là sai.

Andrew Wiles khi đó còn đang là nghiên cứu sinh của trường đại học Cambridge và sau này ông vẫn còn nhớ rõ nỗi lo lắng đè nặng lên cộng đồng các nhà toán học: “Chúng tôi ngày càng xây dựng nhiều giả thuyết cứ trải dần mãi vào tương lai, nhưng tất cả chúng sẽ trở nên lố bịch nếu như giả thuyết Taniyama-Shimura không đúng. Vì vậy, chúng tôi cần phải chứng minh được giả thuyết đó để chứng tỏ rằng toàn bộ thiết kế mà chúng tôi hoạch định một cách đầy hy vọng cho tương lai là hoàn toàn đúng đắn”.

Mùa thu năm 1984, một nhóm chọn lọc các nhà lý thuyết số tổ chức một hội nghị tại một thị trấn ở giữa “Khu đồng đen” của nước Đức để bàn luận về những đột phá mới trong việc nghiên cứu các phương trình eliptic và chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Một trong số những báo cáo tham luận là của Gerhard Frey. Mặc dù Frey không đưa ra được một ý tưởng mới nào giúp chứng minh giả thuyết, nhưng đã nêu một khẳng định rất đáng chú ý. Khẳng định này nói rằng nếu ai chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura thì người đó cũng ngay lập tức chứng minh được Định lý lớn Fecma.

Theo sự trình bày của Frey thì ông đã giả định rằng phương trình:

xⁿ + yⁿ +zⁿ, trong đó n > 2

Có ít nhất một nghiệm là A, B, C và viết được đẳng thức:

A^N + B^N = C^N

Sau đó Frey tiến hành một quá trình biến đổi phương trình một cách hết sức chặt chẽ về mặt toán học và đạt được một hình thức biểu hiện mới của phương trình gốc:

y² = x³ + (A^N – B^N)x² – A^NB^N

Điều này có nghĩa: nếu phương trình Fecma có nghiệm (Định lý lớn Fecma là sai) thì phương trình trên phải tồn tại.

Nếu đặt:

a = A^N – B^N

b = 0

c = -A^N.B^N

Thì phương trình trên cũng là một phương trình eliptic.

Bằng cách biến phương trình Fecma thành một phương trình eliptic, Frey đã kết nối được Định lý lớn Fecma với giả thuyết Taniyama-Shimura.

Tiếp theo Frey chỉ ra rằng phương trình eliptic mà ông xây dựng nên từ nghiệm giả định của phương trình Fecma là rất kỳ quặc, đến nỗi nó không thể chấp nhận giả thuyết Taniyama-Shimura và nếu giả thuyết này được chứng minh thì phương trình không thể tồn tại (nghĩa là Định lý lớn Fecma cũng được chứng minh).

Có một sai lầm sơ đẳng trong logic của Frey. Sai lầm đó nhỏ thôi nhưng vẫn làm cho công trình xuất sắc của Frey chưa hoàn chỉnh, chưa đủ kỳ quặc để không thể là một dạng modular.

Sau hội nghị, các nhà toán học đã hối hả tìm cách sửa sai sót đó của Frey. Nhưng một tuần, một tháng rồi thời gian cứ thế trôi qua mà chẳng có động tĩnh gì. Sai lầm dường như sơ đẳng của Frey đã thực sự làm bối rối các nhà toán học. Fecma vẫn còn chọc tức, hành hạ đám hậu thế.

Một trong những người lao tâm khổ trí để chứng minh phương trình của Frey quá ư kỳ quặc, tới mức không thể là modular, là nhà toán học Ken Ribet, giáo sư trường Đại học California ở Berkeley. Sau 18 tháng nỗ lực, ông vẫn chưa đi đến đâu cả. Vào mùa hè năm 1986, một đồng nghiệp của Ribet là giáo sư Barry Mazur tới Berkeley để tham dự một hội nghị toán học quốc tế. Hai người bạn gặp nhau bên ly cà phê. Chuyện phiếm qua lại rồi họ cũng quay sang bàn luận về những vấn đề toán học nóng hổi nhất. Ribet nhớ lại: “Tôi ngồi xuống cạnh Barry và kể cho ông nghe về cái mà tôi đang làm. Tôi nói rằng tôi đã chứng minh được một trường hợp rất đặc biệt nhưng chưa biết tổng quát hóa nó như thế nào để nhận được chứng minh hoàn chỉnh”.

Giáo sư Mazur ngồi nhấm nháp cà phê và lắng nghe Ribet trình bày ý tưởng của mình. Đột nhiên Mazur nhìn chằm chằm Ribet một cách ngạc nhiên: “Lẽ nào anh không thấy sao? Thì chính anh đã làm được rồi đó! Tất cả công việc mà anh còn phải làm bây giờ chỉ là thêm một không điểm gamma của cấu trúc M trong chứng minh của anh là xong. Nó sẽ cho anh mọi thứ anh cần”.

Ribet hết nhìn Mazur rồi nhìn lại ly cà phê của ông với vẻ kinh ngạc. Đó là thời điểm quan trọng nhất trong sự nghiệp của Ribet. Sau này ông nói: “Tôi đã hết sức kinh ngạc bởi vì tôi chưa bao giờ nảy ra trong đầu ý định thêm vào một không điểm gamma nữa của cấu trúc M, một điểm xem ra quá ư đơn giản.”, và: “Đó là một mắt xích rất quan trọng mà tôi còn thiếu, mặc dù nó sờ sờ ở ngay trước mắt tôi. Tôi lâng lâng như đi trên mây trở về căn hộ của mình, lòng vẫn băn khoăn tự hỏi: lạy Chúa, liệu điều này có thực đúng như thế không? Tôi hoàn toàn như mê, ngồi vào bàn và bắt đầu tính toán. Sau một hai giờ gì đấy tôi đã viết tất cả ra giấy và xác nhận được rằng tôi đã biết tất cả những bước then chốt và tất cả đều ăn khớp với nhau. Tôi đã kiểm tra lại toàn bộ chứng minh và thấy rằng mọi chuyện đều ổn cả…”.

Cũng cần lưu ý rằng việc thêm vào một không điểm gamma của cấu trúc M, nghe tưởng đơn giản thế nhưng chỉ đơn giản đối với Ribet thôi, chứ đây là cả một bước lôgic rất phức tạp mà chỉ một số ít nhà toán học trên thế giới mới có thể hình dung được bên ly cà phê.

Như vậy, Định lý lớn Fecma giờ đã gắn liền không thể tách rời khỏi giả thuyết Taniyama-Shimura. Trong hơn ba thế kỷ Định lý lớn Fecma chỉ là một bài toán biệt lập, một câu đố lạ lùng và “cô đơn” trong toán học. Nhưng giờ đây, nhờ Gerhard Frey truyền cảm hứng mà Ken Ribet đã đưa nó về vị trí trung tâm. Bài toán hóc búa nhất ra đời từ thế kỷ XVII giờ đây đã gắn kết với một bài toán có tầm quan trọng bậc nhất của thế kỷ XX.

Nhưng làm sao chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura khi sau 30 năm làm việc cật lực của các nhà toán học, nó vẫn chưa được chứng minh và tình hình có vẻ vẫn dậm chân tại chỗ, hơn nữa lịch sử đã để lại bài học rằng bất kỳ cái gì có thể dẫn tới lời giải của bài toán Fecma đều là không thể làm được?

***

Sau khi hoàn thành luận án tiến sĩ, Andrew Wiles trở thành giáo sư của trường Đại học Princeton ở Mỹ.

Khi tình cờ nghe được tin Ribet đã chứng minh được mối liên hệ giữa giả thuyết Taniyama-Shimura và Định lý lớn Fecma, Wiles đã như bị điện giật: “Tôi biết rằng từ thời điểm này dòng đời của tôi sẽ thay đổi, bởi vì để chứng minh được Định lý cuối cùng của Fecma thì tất cả những gì cần làm là phải chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura. Những điều này có nghĩa là ước mơ thời thơ ấu của tôi giờ đây đã là một điều hết sức nghiêm túc mà tôi phải thực sự làm”.

Wiles đã ý thức được rằng ông có rất ít cơ may để thành công. Ông nói: “Tất nhiên, giả thuyết Taniyama-Shimura đã để mở nhiều năm. Chưa ai có một ý niệm gì về cách tiếp cận nó, nhưng ít nhất nó cũng thuộc dòng chính của toán học. Bởi vậy, tôi cứ thử chứng minh những kết quả mà ngay cả khi không nhận được chứng minh tổng thể, thì những kết quả ấy cũng quí giá về mặt toán học. Tôi không hề cảm thấy mình tiêu phí thời gian. Và như vậy là bản tình ca của Fecma vốn đã ám ảnh tôi suốt cả cuộc đời, nay lại được kết hợp với một bài toán có thể chấp nhận được về mặt nghề nghiệp”.

Từ thời điểm bắt tay vào chứng minh, Wiles đã quyết định là sẽ làm việc đơn độc và bí mật hoàn toàn. Wiles giải thích rằng một phần nguyên nhân dẫn đến quyết định đó là do ông không muốn bị phân tán tư tưởng, “tôi nhận thấy rằng bất cứ điều gì có liên quan đến Định lý cuối cùng của Fecma đều gây ra rất nhiều sự chú ý”. Nhưng một động cơ khác khiến ông quyết định như vậy có lẽ là niềm khao khát vinh quang.

Trong những năm tiếp sau, Wiles sẽ phải làm một loạt những phát minh xuất sắc, nhưng không có cái nào được đưa ra thảo luận hoặc công bố trước khi chứng minh được hoàn tất. Ngay cả những đồng nghiệp gần gũi của Wiles cũng không hề hay biết về các nghiên cứu của ông. Người duy nhất được biết về bí mật của Wiles là bà Nada, vợ ông.

Sau một năm nghiền ngẫm, Wiles quyết định chọn chiến lược là dùng phép qui nạp làm cơ sở cho những chứng minh của mình. Chứng minh bằng qui nạp toán học về cơ bản là chứng minh đối với một trường hợp được cho là đơn giản đã chọn; rồi sau đó lập luận rằng nếu trường hợp đầu là đúng thì trường hợp thứ hai cũng đúng và suy ra trường hợp bất kỳ cũng đúng.

Thách thức đối với Wiles là phải xây dựng được lập luận qui nạp chứng tỏ được rằng, mỗi phương trình eliptic trong số vô hạn các phương trình đó phải tương ứng với một dạng modular (cũng có số lượng vô hạn). Rồi bằng cách nào đó, ông phải phân ra các trường hợp và tiến hành chứng minh trường hợp đầu tiên. Khi trường hợp đầu tiên bị đánh đổ thì các trường hợp tiếp theo cũng sẽ đổ một cách dây chuyền giống như những quân cờ đôminô. Quá trình tư duy toán học rốt cuộc đã đưa Wiles đến sự phát hiện bước đột kích đầu tiên trong phép chứng minh bằng qui nạp của mình đang ẩn giấu trong công trình của một thiên tài toán học có cuộc đời rất ngắn ngủi nhưng đầy bi kịch của nước Pháp ở thể kỷ XIX.

Galoa (Evariste Galois) sinh tại Bourg-la-Reine, một làng nhỏ ở phía nam Pari, vào ngày 25-10-1811. Năm 12 tuổi, Galoa vào học tại trường trung học Louis-le-Grand, một trường rất có uy tín nhưng kỷ luật cũng rất khắc nghiệt. Ban đầu chưa được học toán, thành tích học tập của ông cũng cao, nhưng không thật xuất sắc. Chỉ đến năm 16 tuổi, Galoa mới ghi danh theo học lớp toán đầu tiên. Dưới con mắt của các thầy giáo thì chính lớp toán này đã biến Galoa từ một học sinh rất có ý thức thành một học sinh vô kỷ luật. Galoa bỏ bê tất cả những môn khác, chỉ tập trung vào toán học, môn học đã làm bộc phát nên niềm đam mê mãnh liệt trong ông. Nhận xét của nhà trường còn ghi lại: “Học sinh này chỉ học những lĩnh vực cao cấp nhất của toán học. Sự điên rồ toán học đã chiếm lĩnh hoàn toàn cậu bé này. Theo tôi, tốt nhất là bố mẹ cậu bé nên cho phép nó không phải học gì khác ngoài môn toán. Nếu không chỉ làm phí thời gian của nó ở đây và nó sẽ chẳng làm được điều gì khác ngoài việc tra tấn các thầy giáo và làm khổ mình vì những hình phạt”.

Sự khao khát toán học của Galoa chẳng bao lâu đã vượt ra ngoài khả năng đáp ứng của các thầy giáo nên ông phải học trực tiếp từ những cuốn sách mới nhất do các bậc thầy của thời đại đó viết ra. Mới 17 tuổi, ông đã có công trình công bố trên tạp chí Annales de Gergone. Con đường phía trước tưởng như rộng mở đối với cậu bé thần đồng này, nhưng oái oăm thay, chính sự xuất sắc kỳ lạ của Galoa lại là trở ngại lớn nhất cho sự tiến bộ của ông. Mặc dù các kiến thức về toán của Galoa thừa sức để vượt qua các kỳ thi ở trường Louis-le-Grand, nhưng các lời giải của ông thường là mới mẻ và tinh xảo tới mức các vị giám khảo không đánh giá hết được giá trị của chúng. Tình hình còn tồi tệ hơn nữa vì Galoa thường thực hiện quá nhiều những tính toán trong đầu, nên ông không bận tâm tới việc phải trình bày rõ ràng những lập luận của mình trên giấy, làm cho các vị giám khảo lúng túng và thậm chí là thất vọng. Ngoài ra, tính khí nóng nảy và hấp tấp của thiên tài trẻ tuổi này đã làm cho ông không được lòng các thầy giáo cũng như bất kỳ ai đã từng có quan hệ với ông.

Khi Galoa nộp đơn thi vào trường Đại học Bách khoa Pari, một trường có uy tín nhất nước Pháp thời bấy giờ, những câu trả lời ngắn ngủn, thiếu giải thích rõ ràng trong kỳ thi vấn đáp của Galoa đã khiến ông không được nhận vào trường. Galoa khao khát vào được trường Đại học Bách khoa không phải chỉ bởi vì danh tiếng của nó mà còn bởi vì niềm say mê toán học của ông nữa. Một năm sau, Galoa lại nộp đơn thi lại, nhưng lần này, cũng vẫn những suy luận được trả lời kiểu nhảy cóc của ông đã làm cho vị giám khảo tên là Dinét phải bối rối. Khi cảm thấy mình chắc chắn bị rớt lần thứ hai, do bản tính nóng nảy cộng thêm nỗi uất ức và tuyệt vọng, Galoa đã mất hết bình tĩnh, cầm chiếc giẻ lau bảng ném thẳng vào mặt Dinét. Từ đó, Galoa vĩnh viễn không bao giờ trở lại những căn phòng đầy tôn kính của trường Đại học Bách khoa Pari nữa. Ông hướng tới trường Sư phạm, một trường có uy tín chỉ kém trường Đại học Bách khoa đôi chút, và trở thành sinh viên ở đó.

Évariste Galois
Galois khi 15 tuổi, hình vẽ của một người bạn học
Sinh	25 tháng 10, 1811 Bourg-la-Reine, Pháp
Mất	31 tháng 5, 1832 (20 tuổi) Paris, Pháp
Tôn giáo	Roman Catholic
Ngành	Toán học
Nổi tiếng vì	lý thuyết phương trình và tích phân Abel
Chữ ký

Vào thời Galoa, người ta đã tìm được công thức tính nghiệm của các phương trình đa thức bậc 1, 2, 3, 4, và các nhà toán học đang đua nhau đi tìm công thức để tính nghiệm cho phương trình đa thức bậc 5 mà dạng tổng quát của nó là:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

(Thực ra dạng nguyên thủy của nó là:

(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄)(x – x₅) = 0

với x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ là những biến số độc lập, và “ông tổ” của nó là phương trình đa thức tổng quát bậc n!).

Đây là một thách thức rất lớn của các nhà toán học thời đó và nó đã ám ảnh Galoa để vào tuổi 17, ông đã gửi hai bài báo nghiên cứu cho Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Cauchy, người được chỉ định làm phản biện hai bài báo đã đánh giá rất cao về công trình của Galoa và xem nó đáng được tham gia cuộc thi giành Giải thưởng lớn về toán học của Viện Hàn lâm. Để qua được vòng loại, hai bài báo của Galoa phải được viết và trình bày dưới dạng một tiểu luận, vì vậy Cauchy đã gửi trả lại cho Galoa và chờ ông nộp lại.

Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Sinh	21 tháng 8, 1789 Paris, Pháp
Mất	23 tháng 5, 1857 (67 tuổi) Sceaux, Pháp
Nơi cư trú	Pháp

Nổi tiếng vì Tích phân Cauchy

Đến đây thì một sự kiện xảy ra vừa là bi kịch, vừa là một trong những nguyên nhân chủ yếu gây nên những bi kịch sau này của Galoa. Vào tháng 7-1829, một linh mục mới thuộc dòng Jesuit đã tới làng Bourg-le-Reine, nơi mà cha của Galoa đang làm thị trưởng. Bực tức trước sự cảm tình của những người có tư tưởng cộng hòa đối với ngài thị trưởng, viên linh mục này ngấm ngầm mở chiến dịch tung tin đồn bôi nhọ uy tín ngài thị trưởng nhằm làm mất chức ông. Đặc biệt, linh mục hèn hạ này đã viết một loạt những bài thơ thô tục, chế nhạo các thành viên của cộng đồng và tất cả đều ký tên ngài thị trưởng. Cha của Galoa đã không thể chịu nổi sự xấu hổ và đã tự sát. Galoa về chịu tang cha, đã tận mắt chứng kiến cảnh chia rẽ trong làng do gã linh mục gây ra và có thể cũng đã biết chính xác nguyên nhân cha của ông tự sát. Việc chứng kiến cảnh hệ thống nhà thờ đã hạ nhục và hủy hoại cha mình đã củng cố thêm tinh thần ủng hộ nhiệt thành của Galoa với sự nghiệp của những người cộng hòa mà ông vốn đã có cảm tình.

Trở lại Pari, Galoa đã viết gộp hai bài báo thành một tiểu luận và gửi đi trước thời hạn khá lâu. Joseph Fourier, thư ký của Viện Hàn lâm, đã nhận được bài tiểu luận này và cũng đã chuyển nó cho ban giám khảo. Ý tưởng xuất sắc của bài tiểu luận được nhiều nhà toán học và cả Cauchy cho rằng nó đáng nhận được giải thưởng. Nhưng điều oái oăm lạ lùng nhất đã xảy ra. Fourier qua đời một ít tuần trước khi xét giải, và mặc dù chồng các tiểu luận dự thi đã được chuyển cho Hội đồng, nhưng trong đó lại không có tiểu luận của Galoa. Bài tiểu luận này đã không bao giờ được tìm thấy nữa. Một nhà báo Pháp đã ghi lại: “Bài tiểu luận này lẽ ra đã tham gia cuộc thi giành Giải thưởng lớn về toán học. Nó xứng đáng được giải vì đã giải quyết được một số khó khăn mà nhà toán học Lagrange đã không làm được. Ông Cauchy đã có những đánh giá rất cao về tác giả của tiểu luận này. Nhưng điều gì đã xảy ra? Bản tiểu luận bị mất và giải thưởng cũng đã được trao mà không có sự tham gia của nhà toán học trẻ tuổi”.

Galoa cảm giác rằng bài tiểu luận của ông bị thủ tiêu vì sự thiên kiến về chính trị. Cảm giác này càng được củng cố khi năm sau, Viện Hàn lâm lại từ chối một bản thảo tiếp theo của ông với khẳng định rằng “những lập luận của ông không đủ rõ ràng cũng như chưa được phát triển đầy đủ để cho phép chúng tôi có thể đánh giá được sự chặt chẽ của nó”.

Joseph Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier
Sinh	21 tháng 3, 1768 Auxerre, Yonne, Pháp
Mất	16 tháng 5, 1830 (62 tuổi) Paris, Pháp
Nơi cư trú	France

Nổi tiếng vì Biến đổi Fourier

Joseph Lagrange
Joseph Louis Lagrange
Sinh	25 tháng 1 năm 1736 Torino, Ý
Mất	10 tháng 4 năm 1813 Paris, Pháp
Nơi cư trú	Ý Pháp Phổ

Nổi tiếng vì Cơ học giải tích
Cơ học thiên thể
Giải tích toán học
Lý thuyết số

Sự kiện đó đã làm cho Galoa phẫn uất, cộng với tính khí nóng nảy và có phần bộp chộp của tuổi trẻ, ông đã bỏ bê, sao lãng việc nghiên cứu toán học, quay sang giành thời gian và sức lực làm những việc kích động mà ông cho là ủng hộ và phục vụ phái cộng hòa. Sự quá khích đó đã làm cho Galoa bị đuổi khỏi trường Sư phạm, phải ra tòa nhưng được xử trắng án, để rồi lại bị bắt giam một tháng vì bị buộc tội đe dọa tính mạng nhà vua, và rồi lại bị kết tội 6 tháng tù giam vì những hành vi chống đối.

Nhà nữ toán học Sophia Germain lúc đó đã nói với một người bạn: “Quả thật là có sự bất hạnh liên quan tới tất cả những gì có dính líu đến toán học. Cái chết của Fourier đã là đòn kết thúc giáng xuống chàng sinh viên Galoa này, người mà mặc dù tính tình rất bướng bỉnh, nhưng đã tỏ ra là có tài năng thực sự. Cậu ấy đã bị đuổi khỏi trường Sư phạm và hiện trong túi không có một xu. Mẹ cậu ấy rất nghèo, vì vậy cậu ấy hiện vẫn đang tiếp tục thói quen hay xúc phạm của mình. Người ta nói rằng cậu ấy sắp điên đến nơi. Tôi sợ rằng điều đó sẽ là sự thật”.

Tháng 3-1832, một nạn dịch tả bùng phát ở Pari và các tù nhân ở Sainte-Pélagic đều được thả, trong đó có Galoa. Điều gì đã xảy ra đối với Galoa trong những tuần tiếp theo thì cho đến nay vẫn còn chưa rõ ràng. Không ai biết chắc chắn mối quan hệ giữa Galoa và Stéphanie, cô con gái của một bác sĩ đáng kính ở Pari, là một thiên tình sử thực sự hay chỉ là một cái bẫy tình đối với Galoa. Theo dư luận công khai thì Stéphanie trước đó đã có hứa hôn với Herbinville, một xạ thủ cừ khôi vào loại nhất nhì nước Pháp. Phát hiện vợ chưa cưới không chung tình, người đàn ông này đã thách Galoa đấu súng.

Trong buổi tối trước ngày ra đấu trường, ông đã viết thư cho bạn bè giải thích hoàn cảnh của mình: “Tôi đề nghị những người yêu nước, các bạn bè của tôi, đừng nên trách móc tôi vì đã chết không phải cho Tổ quốc. Tôi chết vì là nạn nhân của một mụ đàn bà bỉ ổi và hai cú lừa của nó. Tôi đã kết liễu cuộc đời mình trong một trò vu cáo khốn nạn. Trời ơi! Tại sao tôi phải chết vì một thứ vớ vẩn và ghê tởm thế này? Cầu trời chứng giám cho là tôi phải chấp nhận khiêu khích chẳng qua chỉ là do sự thúc ép, một sự khiêu khích mà tôi đã cố gắng lảng tránh bằng mọi cách”.

Cũng trong đêm định mệnh đó, Galoa đã hối hả làm việc suốt đêm, viết lại các định lý mà ông tin là đã giải thích đầy đủ câu đố về các phương trình bậc 5, những ý tưởng mà ông đã gửi cho Cauchy. Vào lúc tàn đêm thì những ghi chép toán học của Galoa hoàn tất, ông vội viết tiếp một bức thư cho bạn mình để gửi gắm:

“Bạn thân mến.

Tôi đã có một số phát minh mới trong giải tích. Phát minh đầu tiên có liên quan tới lý thuyết các phương trình bậc 5 và những phát minh khác có liên quan tới các hàm tích phân.

Trong lý thuyết các phương trình, tôi đã nghiên cứu những điều kiện khả giải bằng căn thức. Điều đó đã cho phép tôi đào sâu lý thuyết này và mô tả tất cả những phép biến đổi khả dĩ trên một phương trình ngay cả khi nó không giải được bằng căn thức. Tất cả đều có thể tìm thấy ở đây trong ba tiểu luận…

Trong đời tôi, tôi thường mạnh dạn đưa ra những mệnh đề mà tôi chưa thật tin chắc lắm. Nhưng tất cả những gì tôi viết ra ở đây đều hết sức rõ ràng trong đầu tôi hơn một năm nay. Vì lợi ích của mình, tôi không muốn để lại một mối nghi ngờ nào cho rằng tôi phát biểu các định lý mà lại không có một chứng minh hoàn chỉnh.

Hãy yêu cầu một cách công khai các ông Jacobi hoặc Gauxơ cho ý kiến của họ, không phải chuyện đúng sai, mà là về tầm quan trọng của các định lý đó. Sau hết, tôi hy vọng một số người sẽ tìm thấy trong mớ lộn xộn này những điều hữu ích cho mình.

E. Galoa”

Bình minh sáng hôm sau, ngày 30-5-1832, trên một cánh đồng vắng vẻ, Galoa và tay thiện xạ đứng đối diện cách nhau 25 bước chân. Tay thiện xạ đi với người làm chứng còn Galoa thì đi một mình. Ông không hề cho ai hay biết trước về cuộc đấu súng này.

Hai khẩu súng phát hỏa. Galoa bị bắn trúng bụng, ngã xuống đất. Tay thiện xạ không hề hấn gì đã cùng người làm chứng bình thản bỏ đi. Vài giờ sau, nghe được hung tin, anh trai của Galoa là Alfred vội lao tới hiện trường và đưa em mình tới bệnh viện Cochin. Nhưng đã quá muộn, màng bụng Galoa đã bị viêm. Ngày hôm sau thì Galoa qua đời.

Mặc dù người bạn của Galoa đã làm tròn bổn phận mà ông gửi gắm là gửi các bản thảo toán học mà ông đã ghi chép cho Jacobi, Gauxơ và nhiều người khác, nhưng hơn mười năm sau. Công trình của Galoa vẫn không được công nhận. Mãi tới năm 1846, khi bản thảo đó rơi vào tay Joseph Liouvilie thì ông này mới hiểu ra được những phát kiến toán học có tính cách mạng của một thiên tài, bèn bỏ ra nhiều tháng để cố gắng giải thích hết ý nghĩa của nó, rồi biên soạn lại và cho công bố trên tạp chí “Toán học thuần túy và ứng dụng” rất có uy tín của ông. Tuy nhiên, phải đợi đến năm 1870, công trình của Galoa mới được giải thích đầy đủ trong tác phẩm “Nghiên cứu các phép thế” của nhà toán học xuất chúng C. Jordan (1838-1922).

Công lao của Galoa đóng góp cho toán học là rất lớn lao. Kể từ thời Phục Hưng, đã hình thành một trào lưu các nhà toán học xuyên qua nhiều thế kỷ đi tìm công thức tính nghiệm phương trình bậc 5. Đến những năm đầu thế kỷ XIX, hầu như cùng lúc định mệnh đã làm xuất hiện hai thiên tài toán học trẻ tuổi nhưng yểu mệnh là Galoa và N. Abel (1802-1829). Bằng hai hướng tiếp cận khác nhau, cả hai ông đều đạt tới kết luận: không thể tìm được công thức tính nghiệm cho các phương trình đa thức tổng quát có bậc lớn hơn 4.

Thành quả của Galoa là xây dựng được một lý thuyết nhằm xác định được:

- Khi nào thì một phương trình đa thức tổng quát giải được bằng căn thức.

- Phương thức tìm nghiệm của phương trình giải được.

- Xác định những bài toán dựng hình được bằng thước kẻ và compa.

Trung tâm lý thuyết Galoa là lý thuyết nhóm, công trình tạo dựng nên những cấu trúc mà ông gọi là “Nhóm các phép thế”.

Chúng ta có thể hiểu “loáng thoáng” cách lập luận để xác định một phương trình đa thức tổng quát là không giải được như thế này: Từ một trường E cho trước, qua một số hữu hạn phép khai căn, cộng, trừ, nhân, chia, tạo ra một trường mới F, rồi chỉ ra cấu trúc nhóm Galoa của các nghiệm của phương trình đa thức tổng quát trên E khác với cấu trúc nhóm Galoa của F. Đây là một dấu hiệu phân biệt vô cùng độc đáo.

Camille Jordan

Sinh	5 tháng 1 năm 1838 Lyon, Pháp
Mất	22 tháng 1, 1922 (84 tuổi) Paris, Pháp
Ngành	Toán học

Nổi tiếng vì

Định lý đường cong Jordan
Định lý Jordan về đa giác đơn

Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel (1802-1829)
Sinh	5 tháng 8, 1802 Nedstrand, Na Uy
Mất	6 tháng 4, 1829 Froland, Na Uy
Nơi cư trú	Na Uy

Nổi tiếng vì hàm số Abelian
nhóm Abelian
định lý Abel

Lý thuyết nhóm của Galoa là một kỳ tích trong lịch sử toán học. Chính vì vậy mà ông đã được mệnh danh là người sáng lập ra Đại số hiện đại. Vì phát kiến của Galoa đi trước thời đại quá xa, cùng với việc ông từ bỏ thế giới này quá sớm nên những nhà toán học thời kỳ đó chưa cảm nhận được tư tưởng toán học thiên tài của ông.

Một tính chất quan trọng trong định nghĩa của Nhóm là: khi hai phần tử của một nhóm tổ hợp với nhau thông qua phép toán thì kết quả là một phần tử cũng thuộc nhóm đó và nhóm được gọi là “đóng” đối với phép toán đó. Chẳng hạn có thể nói “Tập hợp các số nguyên là đóng đối với phép cộng”, vì tổng của 2 hay nhiều số nguyên bao giờ cũng là một số nguyên.

Một thế kỷ rưỡi sau, Wiles đã dùng công trình của Galoa làm nền tảng cho chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura của ông.

Bước đầu tiên, Wiles đã đạt được khi ông nhận thấy sức mạnh của các nhóm Galoa. Một số các nghiệm của mỗi phương trình eliptic có thể được dùng để tạo nên một nhóm. Sau nhiều tháng phân tích, Wiles đã chứng minh được rằng nhóm này dẫn tới một kết luận không thể phủ nhận được: phần tử đầu tiên của mỗi dãy E đều thực sự kết đôi với phần tử đầu tiên của mỗi dãy M.

Đó là một đột phá toán học xuất sắc, nhưng để đạt được điều đó, Wiles đã phải mất đứt hai năm rưỡi.

Ngày 8-3-1988, Wiles đã điếng người khi đọc thấy những hàng tít lớn trên trang nhất các báo loan tin rằng Định lý lớn Fecma đã được chứng minh, và giải được bài toán hóc búa này là một người Nhật tên là Yoichi Miyaoka. Tuy nhiên vào thời điểm đó Miyaoka còn chưa công bố chứng minh của mình, mà mới chỉ mô tả những đường nét chính của nó. Đó là cách tiếp cận bài toán một cách hoàn toàn mới: Hình học vi phân.

Hai tuần sau khi mô tả đường nét chính, Miyaoka đã chính thức công bố 5 trang tính toán đại số trình bày chi tiết chứng minh của ông. Sự săm soi của các nhà lý thuyết số và hình học vi phân bắt đầu và chỉ sau ít ngày, một số nhà toán học đã tìm ra mâu thuẫn trong chứng minh.

Một đội quân các nhà lý thuyết số đã ra sức giúp nhà hình học vi phân sửa lại sai sót, nhưng mọi nỗ lực của họ đều dẫn đến thất bại.

Cũng như một số chứng minh khác đã thất bại trong quá khứ, chứng minh của Miyaoka đã cho nhiều kết quả toán học mới và lý thú. Một số đoạn riêng rẽ trong chứng minh đó vẫn được công nhận và được xem là những ứng dụng của hình học vi phân trong lý thuyết số, và nhiều năm sau, dựa trên kết quả đó, các nhà toán học đã chứng minh được những định lý khác.

Sự xôn xao quanh Fecma rồi cũng lắng xuống. Wiles cũng thở phào nhẹ nhõm và lại tiếp tục cuộc chiến đấu của mình.

Sau 3 năm nỗ lực không ngơi nghỉ, Wiles đã có được một loạt các đột phá mới.

Năm 1990, Wiles có cảm giác như mình đang ở trong một căn phòng tối tăm nhất. Ông nhớ lại: “Tôi thực sự tin rằng tôi đã đi đúng hướng, nhưng điều đó không có nghĩa là tôi nhất thiết sẽ đạt được mục đích. Rất có thể những phương pháp cần thiết để giải bài toán này còn là điều bí ẩn đối với toán học hiện tại. Có thể 100 năm nữa những phương pháp mà tôi cần để hoàn chỉnh chứng minh cũng còn chưa được phát minh ra. Vì vậy, ngay cả khi tôi đã đi đúng hướng, tôi vẫn có thể rơi vào cảnh sống nhầm thế kỷ”

Vào năm 1991, trước sự bế tắc, Wiles đã tiến hành một cuộc săn lùng rộng khắp trên các sách báo khoa học để may ra tìm được một kỹ thuật nào đó có thể giúp ông thực hiện một cú đột phá mà ông cần, nhưng chẳng được gì. Sau suốt 5 năm ròng miệt mài làm việc một cách biệt lập, lúc này, ông thấy cần phải quay trở lại cuộc sống với cộng đồng các nhà toán học để có thể nắm bắt được những thông tin mới nhất, vì biết đâu chừng có người đã tìm ra một kỹ thuật mới mà vì một nguyên nhân nào đó chưa công bố. Có một cuộc hội nghị lớn về các phương trình eliptic mở ra ở Boston, và Wiles đã tới đó dự.

Wiles đã được các đồng nghiệp trên khắp thế giới chào đón. Họ rất vui mừng được gặp lại ông sau một thời gian dài ông vắng mặt ở hầu hết các hội nghị. Nhưng họ vẫn không hề hay biết tí gì về điều ông đang nung nấu khi ông hỏi những thông tin mới nhất có liên quan đến các phương trình eliptic. Trong số các thông tin đó, không có thông nào làm ông quan tâm. Cuộc gặp gỡ của Wiles với người thầy cũ của mình là giáo sư Coates có lẽ đã là một tình cờ mang tính định mệnh. Wiles kể: “Coates có nhắc với tôi rằng một nghiên cứu sinh của ông là Matheus Flach đang viết một bài báo rất hay, trong đó có phân tích về các phương trình eliptic. Flach dựa trên một phương pháp mới do Kolyvagin đề xuất và có vẻ như phương pháp của anh ta đã “dọn đường” sẵn cho vấn đề của tôi. Dường như đó chính là cái tôi đang cần, mặc dù tôi biết rằng sẽ còn phải phát triển hơn nữa phương pháp Kolyvagin-Flach đó. Tôi đã vứt bỏ hoàn toàn cách tiếp cận cũ và giành nhiều ngày đêm để mở rộng phương pháp này”.

Wiles trở lại Princeton và giành hẳn vài tháng để làm quen với kỹ thuật mà ông vừa mới phát hiện, rồi sau đó bắt tay vào một nhiệm vụ khổng lồ là áp dụng và thực hiện nó. Chẳng bao lâu sau, ông đã thực hiện được chứng minh bằng qui nạp đối với một phương trình eliptic. Thật không may là phương pháp Kolyvagin-Flach chỉ áp dụng đúng đối phương trình eliptic đó chứ không đúng với phương trình eliptic khác. Cuối cùng Wiles nhận thấy rằng các phương trình eliptic có thể phân loại thành những họ khác nhau. Một khi đã được sửa đổi để đúng với phương trình này thì phương pháp cũng đúng với phương trình khác trong cùng một họ. Thách thức ở đây là phải cải tiến sao cho phương pháp đó luôn đúng đối với tất cả các họ.

Sau 6 năm nỗ lực không mệt mỏi, Wiles tin rằng mình đã nhìn thấy đích. Tuần nào ông cũng tiến bộ hơn. Ông đã chứng minh được rằng những họ phương trình eliptic mới và lớn hơn đều phải là modular, và việc ông chinh phục được những phương trình eliptic còn lại chỉ là vấn đề thời gian. Trong giai đoạn chứng minh cuối cùng này, Wiles chợt nhận ra rằng phương pháp Kolyvagin-Flach mà ông sử dụng là chưa được kiểm tra chặt chẽ. Điều đó làm ông rất lo lắng: “Trong năm đó tôi đã làm việc cực kỳ căng thẳng, cố để làm cho phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành được. Nhưng phương pháp này lại liên quan đến cả một bộ máy rất tinh xảo mà tôi thực sự chưa thông thạo lắm. Có rất nhiều vấn đề đại số rất khó, đòi hỏi tôi phải học thêm nhiều kiến thức toán học mới. Sau đó, vào khoảng tháng 1-1993, tôi quyết định phải tiết lộ với một ai đó là chuyên gia của những kỹ thuật hình học mà tôi đang sử dụng. Tôi muốn chọn một cách cẩn thận người mà tôi sẽ tiết lộ bởi vì người đó phải giữ bí mật mọi chuyện. Và tôi đã chọn sẽ nói với Nick Katz”. Giáo sư Katz cũng làm việc ở khoa toán trường Đại học Princeton và quen biết Wiles đã vài ba năm.

Vậy là sau 6 năm làm việc độc lập hoàn toàn, Wiles đã đành phải tiết lộ bí mật của mình. Bây giờ công việc của Kátz là phải đào bới trong cả núi những tính toán đồ sộ dựa trên phương pháp Kolyvagin-Flach. Thực sự, tất cả những điều mà Wiles đã làm được đều có tính cách mạng và Kátz đã phải suy nghĩ rất lâu để tìm cách kiểm tra tốt nhất: “Cái mà Andrew cần phải giải thích là rất lớn và dài, do vậy không thể thông qua những cuộc nói chuyện không chính thức trong phòng làm việc của anh ấy được. Đối với một cái gì đó lớn lao như vậy cần phải có một chuyên đề giảng dạy chính thức, có lịch làm việc hẳn hoi mỗi tuần, nếu không, mọi chuyện không thể thành công được. Điều này giải thích tại sao chúng tôi đã quyết định lập một lớp chuyên đề”.

Thế là họ thông báo mở một lớp chuyên đề cho các nghiên cứu sinh trong khoa. Wiles sẽ giảng và Kátz ngồi nghe chung với sinh viên. Lớp chuyên đề thực chất là đề cập tới phần chứng minh cần phải kiểm tra, nhưng các sinh viên tới nghe sẽ không biết gì về chuyện đó. Cách ngụy trang như thế cũng sẽ không gây một chút nghi ngờ nào trong khoa.

Kátz đã xác nhận rằng phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành tốt.

Sau khi kết thúc lớp chuyên đề, Wiles tập trung tất cả sức lực để hoàn tất chứng minh. Vào tháng 5-1993, Wiles tin chắc rằng ông đã có một chứng minh trọn vẹn Định lý lớn Fecma trong tay.

Cuối tháng 6 năm ấy một hội nghị toán học được tổ chức tại Viện Isaac Newton, ở thành phố Cambridge, quê hương của Wiles. Tại hội nghị này Wiles đã đọc 3 báo cáo về công trình chứng minh đồ sộ của mình.

Coates nhớ lại: “Ngày 23-6-1993, Andrew bắt đầu bản báo cáo thứ ba và cũng là cuối cùng. Điều thú vị là tất cả những người đã có đóng góp cho những ý tưởng nằm sau chứng minh này đều có mặt trong phòng hội nghị: “Mazur, Ribet, Kolyvagin và nhiều, nhiều người khác nữa”. Còn Ken Ribet thì nói: “Tôi tới tương đối sớm và ngồi ngay hàng ghế trước với Mazur. Tôi có mang theo cả camera để ghi lại thời điểm lịch sử này. Có một không khí náo nức, mọi người rất hồi hộp chờ đợi. Chắc chắn chúng tôi đều có cảm giác rằng mình đang được tham gia vào một thời điểm lịch sử…”. Mặc dù đã có bản photocopy chứng minh của Wiles trong tay, nhưng Mazur lúc đó vẫn cảm thấy ngạc nhiên: “Tôi chưa bao giờ được chứng kiến một báo cáo vẻ vang như vậy, một bản báo cáo đầy những ý tưởng tuyệt vời…”.

Sau 7 năm nỗ lực và căng thẳng, Wiles đã thông báo chứng minh của ông cho toàn thế giới. Sau này Wiles không nhớ được chi tiết những thời điểm cuối cùng của buổi báo cáo mà chỉ nhớ bầu không khí lúc đó: “… Nhưng có rất nhiều người trong phòng hội nghị mang theo máy ảnh và họ đã chụp tới tấp vào lúc gần kết thúc… Có một sự im lặng đầy trang trọng khi tôi đọc chứng minh và khi tôi viết lên bảng phát biểu Định lý cuối cùng của Fecma. Đoạn tôi nói: “Có lẽ, tôi xin phép dừng ở đây” và sau đó là những tràng vỗ tay không ngớt”.

Câu chuyện về Định lý lớn Fecma đến đây tưởng đã hết, nào ngờ (mấy ai thuộc được chữ ngờ?) vẫn… chưa hết.

Cũng như với bất cứ một bộ môn khoa học nào khác, mỗi một công trình toán học đều phải được kiểm tra một cách kỹ lưỡng trước khi được công nhận là chính xác. Thủ tục học thuật đòi hỏi rằng bất kỳ một nhà toán học nào gửi bản thảo hoàn chỉnh tới một tạp chí có uy tín, thì biên tập viên của tạp chí đó phải gửi nó cho một nhóm những người phản biện để kiểm tra kỹ lưỡng từng dòng một. Chứng minh của Wiles cũng phải đưa cho phản biện kiểm tra một cách gắt gao. Ông đã phải trải qua một mùa hè chờ đợi đầy lo âu với hy vọng cuối cùng ông cũng sẽ nhận được sự tán đồng của họ.

Wiles đã gửi bản thảo cho tạp chí Inventions Mathematicae. Biên tập viên của tạp chí đó là Barry Mazur bắt đầu chọn lọc, tổ chức nhóm phản biện. Theo thông lệ thì chỉ cần chọn hai hoặc ba phản biện, nhưng lần này Mazur quyết định chọn sáu phản biện. Bản chứng minh của Wiles gồm 200 trang, chia ra làm 6 phần, mỗi phản biện chịu trách nhiệm một phần.

Phản biện chương III của bản chứng minh là Kátz, người đã tiến hành kiểm tra phần này cùng với Wiles một năm trước.

Thật bất ngờ, trong phần chứng minh mà Kátz chịu trách nhiệm phản biện xuất hiện một lỗi mà lúc đầu ông nghĩ chỉ là một vấn đề nhỏ và thông tin cho Wiles biết để sớm sửa chữa. Wiles cũng nghĩ như vậy nhưng khi xem xét lại một cách nghiêm túc thì: “Tôi không thể trả lời được ngay lập tức cái câu hỏi có vẻ đơn giản này. Một thời gian tôi nghĩ nó cũng đại loại như những câu hỏi khác thôi. Nhưng rồi đến tháng 9, tôi bắt đầu nhận ra rằng nó không chỉ là một khó khăn tầm thường, mà còn là một lỗi rất cơ bản. Đó là một sai lầm trong phần quan trọng của hệ thống suy diễn có liên quan tới phương pháp Kolyvagin-Flach, nhưng do nó khá tinh tế nên tôi không nhận ra…”.

Khi Kátz nhận ra tầm quan trọng của sai sót mà ông phát hiện ra, ông đã tự trách móc mình là tại sao vào hồi mùa xuân, khi Wiles giảng cho lớp chuyên đề với mục đích duy nhất là nhằm phát hiện ra những sai sót, thế mà ông đã để lọt qua.

Chỉ mới ít tuần trước, báo chí trên toàn cầu còn ca ngợi Wiles như một nhà toán học xuất sắc nhất thế giới, nhưng lúc này, Wiles đang đối mặt với sự nhục nhã, và sự thừa nhận sai lầm. Không chấp nhận ê chề, lại một lần nữa Wiles tập trung mọi nỗ lực để vá lại vết thủng đó: “Tôi không thể đầu hàng được. Tôi đã bị ám ảnh bởi bài toán này và tôi vẫn còn tin rằng phương pháp Kolyvagin-Flach chỉ cần một sửa đổi nhỏ là nó sẽ lại vận hành tốt”.

Wiles hy vọng rằng có thể sửa chữa được sai lầm trước khi cộng đồng các nhà toán học ý thức được rằng đã có sai lầm. Đối với Kátz, đó cũng là một thời kỳ rất căng thẳng: “Vào tháng 10, về nguyên tắc, chỉ có tôi, Illusie (phó phản biện của Kátz) những người phản biện các chương khác của Andrew, là tất cả những ai biết về sai sót này”.

Việc chờ đợi sự công bố bản thảo chứng minh của Wiles khá lâu khiến cho tình hình dư luận ngày một căng thẳng, nhiều tin đồn, nhiều nghi vấn theo hướng bất lợi cho Wiles dần được tung ra. Người ta nhớ lại thất bại của Miyaoka năm 1988 và nghĩ rằng lịch sử có thể đã lặp lại… Tuy nhiên cũng có rất nhiều nhà lý thuyết số trên khắp thế giới rất thông cảm với tình thế của Wiles.

Vào giữa mùa đông, những hy vọng về một đột phá mới đã tàn dần, và ngày càng có nhiều nhà toán học lý sự rằng Wiles phải có trách nhiệm công khai hóa bản thảo. Những tin đồn thổi vẫn tiếp tục và có một bài báo thậm chí còn khẳng định rằng Wiles đã đầu hàng và chứng minh của ông đã sụp đổ không thể cứu vãn nổi. Chính Wiles cũng đã thừa nhận với người bạn thân và cũng là đồng nghiệp tên là Peter Sanark rằng tình hình đang ngày một tuyệt vọng và ông sắp đến lúc phải chấp nhận thất bại. Sanark gợi ý rằng Wiles hãy tìm một người tin cẩn để thử khắc phục sai sót một lần nữa xem sao. Cân nhắc khá lâu, Wiles đã quyết định mời Richard Taylor, giảng viên thuộc trường Đại học Cambridge, tới Princeton để cùng làm việc với mình.

Vào tháng giêng, với sự trợ giúp của Taylor, Wiles một lần nữa lại xông vào khám phá phương pháp Kolyvagin-Flach, cố gắng tìm ra con đường để đưa bài toán ra khỏi bế tắc.

Mùa hè đó, Wiles và Taylor không tiến bộ được một chút nào. Sau 8 tháng nỗ lực và bị ám ảnh liên tục, Wiles lại chuẩn bị chấp nhận đầu hàng. Vì Taylor đã có kế hoạch ở Princeton cho đến hết tháng 9, nên anh đề nghị Wiles hãy cố thêm một tháng nữa. Dù rất thất vọng, Wiles cũng đồng ý.