TT&HĐ IV - 36/f

                                                    Miền đất toán học diệu kì - Tập 7

 

Hypatia - Nhà Nữ Toán Học Đầu Tiên Và Cái Chết Bi Thương

                                                   

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 

 

 

 (Tiếp theo)

***

Vào đầu thế kỷ XIX, Định lý lớn Fecma đã tự khẳng định chắc nịch là bài toán nổi tiếng hóc búa nhất trong lý thuyết số, kể từ khi có đột phá đầu tiên của Ơle đến lúc đó, hầu như không còn bước tiến nào nữa trong việc chứng minh nó.

Trong tình hình đó, có một người phụ nữ đã lên tiếng và làm trỗi dậy niềm say mê theo đuổi tìm kiếm chứng minh được coi như đã mất của Fecma. Người phụ nữ đó có tên là Sophie Germain. Sống trong một thời đại vẫn còn định kiến trọng nam khinh nữ, để có thể tiến hành nghiên cứu, bà đã buộc phải cải trang thành nam giới, phải học tập trong những điều kiện tồi tệ và làm việc trong sự cô lập về trí tuệ.

Ngưỡng mộ 5 nhà toán học nữ nổi tiếng trong lịch sử thế giới

Tạp chí danh tiếng Smithsonian (Mỹ) từng bình chọn 5 nhà nữ toán học nổi tiếng ...

Hypatia (370 - 415), người Ai Cập

Hypatia sinh ra tại Alexandria, Ai Cập và được xem là nhà toán học nữ đầu tiên trên thế giới. Được giáo dục ở cấp cao nhất và nghiên cứu về toán, thiên văn dưới sự hướng dẫn tận tình của cha, bà cùng cha nghiên cứu các bài bình luận về những công trình toán học cổ điển. Đồng thời, bà cũng thực hiện các bài bình luận của riêng mình và giảng dạy cho nhiều sinh viên tại nhà.

Tài năng là thế nhưng Hypatia lại được biết đến với cái chết vô cùng thảm thương. Bà bị giết bởi đám đông tín đồ Thiên Chúa cuồng tín và trở thành vật tế thần linh.

Sophie Germain (1776 - 1831), người Pháp

Germain sinh tại Paris, là con gái của một gia đình khá giả. Sau khi biết về cái chết của Archimedes qua lần tình cờ đọc được trong cuốn lịch sử toán học, bà bắt đầu nghiên cứu về toán và hình học. Không thể học tại ngôi trường danh giá École Polytechnique vì là nữ, Germain dùng tên giả trình bày một số nghiên cứu của mình và gửi cho Joseph Lagrange - giảng viên tại trường. Ông trở thành cố vấn cho bà và giới thiệu bà với những nhà toán học nổi tiếng khác thời đó.

Bà trở thành người phụ nữ đầu tiên giành được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp cho công trình về thuyết đàn hồi và chứng minh Định lý lớn Fermat. Dù không thành công, nó được sử dụng như một nền tảng cho các công trình toán học ở thế kỷ XX sau này.

Ada Lovelace (1815 - 1852), người Anh

Ada Lovelace được mẹ khuyến khích nghiên cứu về toán và khoa học vì không muốn cô ủy mị như người cha của mình. Khi trưởng thành, Lovelace có cơ hội gặp gỡ nhà phát minh Charles Babbage. Ông đề nghị bà dịch cuốn hồi ký của một nhà toán học người Ý phân tích về máy Analytical Engine do chính Babbage chế tạo. Đây là một loại máy có thể thực hiện các phép tính đơn giản, được lập trình với thẻ đục lỗ và được coi là một trong những chiếc máy tính đầu tiên.

Lovelace còn viết thêm nhiều ghi chú về cỗ máy, thậm chí gồm phương pháp tính toán một chuỗi các số Bernoulli. Phương pháp này được coi là chương trình dành cho máy tính đầu tiên trên thế giới.

Sofia Kovalevskaya (1850 - 1891), người Nga

Dù không được học đại học, Kovalevskaya đã tham dự các buổi học tư và cuối cùng nhận được học vị tiến sĩ sau khi viết luận về phương trình vi phân riêng phần, tích phân Abel và vành đai Sao Thổ.

Sau cái chết của chồng, Kovalevskaya được bổ nhiệm làm giảng viên toán tại Đại học Stockholm (Thụy Điển) và trở thành người phụ nữ đầu tiên ở châu Âu được phong giáo sư.

Sau đó, bà tiếp tục có những bước tiến lớn trong lĩnh vực toán học, giành được giải Prix Bordin của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp năm 1888 và giải thưởng của của Viện Hàn lâm Thụy Điển vào năm sau đó.

Emmy Noether (1882 - 1935), người Đức

Noether đã vượt qua nhiều khó khăn trước khi được cộng tác với nhà vật lý nổi tiếng Einstein. Sau khi nhận bằng tiến sĩ ngành đại số trừu tượng, bà không thể vào làm việc ở các trường đại học trong nhiều năm liền. Cuối cùng, Noether được nhận danh hiệu "phó giáo sư không chính thức" tại Đại học Göttingen (Đức). 

Sau đó, Noether chuyển đến Mỹ và trở thành giảng viên, nhà nghiên cứu tại Đại học Bryn Mawr và Viện nghiên cứu Cao cấp ở Princeton, New Jersey. Bà đã tạo ra nhiều cơ sở toán học cho lý thuyết tổng quát của Einstein về thuyết tương đối và có những bước tiến đáng kể trong lĩnh vực đại số.

Trong nhiều thế kỷ, phụ nữ không được khuyến khích nghiên cứu toán học. Mặc dù vậy, nhiều phụ nữ vẫn dấn thân vào con đường toán học, chống lại thói tục đó và vĩnh viễn được khắc ghi tên tuổi của mình vào biên niên sử toán học.

Nhà toán học nữ đầu tiên mà thế giới còn biết đến là Theano ở thế kỷ VI TCN. Bà lúc đầu là học trò của Pitago rồi sau đó là một trong số những môn đệ gần gũi nhất và cuối cùng đã trở thành vợ ông. Pitago nổi tiếng là một “triết gia luôn đấu tranh cho phụ nữ”, bởi vì ông thực sự khuyến khích các học giả là nữ. Theano chỉ là một trong số 28 người nữ trong Hội ái hữu.

Tới thế kỷ IV TCN, con gái của giáo sư toán học ở Đại học Alexandria, tên là Hypatia đã trở thành nhà toán học nổi tiếng với những bài giảng cho công chúng rộng rãi nhất và cũng vì bà thuộc số những người giải toán kiệt xuất nhất thời đó. Những nhà toán học bị bế tắc hàng tháng trước một bài toán cụ thể nào đó đều viết thư cho bà để tìm kiếm lời giải và bà rất hiếm khi làm cho những người khâm phục bà phải thất vọng. Bà cũng là nhà nữ toán học đầu tiên lập trường học riêng có ảnh hưởng của mình. Bà đam mê toán học và các quá trình chứng minh lôgíc tới mức khi được hỏi vì sao không lấy chồng, bà đã trả lời rằng bà đã kết hôn với chân lý. Cuối cùng, sự hiến dâng hoàn toàn cho sự nghiệp duy lý của Hypatia đã đưa bà đến một cái chết thật bi thảm trong cuộc đàn áp của Cyril, Đức giám mục xứ Alexandria đối với các nhà toán học, triết học và khoa học khác mà ông ta coi là dị giáo. Nhà lịch sử học Edward Gibbon đã mô tả cảnh tượng Hypatia bị giết chết như sau:

“Trong một ngày định mệnh, vào Mùa Chay, Hypatia bị kéo ra khỏi chiếc xe của bà, bị lột trần truồng, kéo lê đến nhà thờ và bị hành quyết dã man bởi gã đọc kinh Pierre và một lũ cuồng tín man rợ, tàn nhẫn. Chúng dùng những vỏ sò sắc nhọn để róc thịt bà và tung những cẳng tay cẳng chân còn run rẩy của bà vào ngọn lửa”.

Mãi tới thời Phục hưng mới xuất hiện một người phụ nữ khác làm cho tên tuổi của mình nổi lên trên danh nghĩa là nhà toán học. Đó là Maria Agnesi, sinh năm 1718 ở Milan, nước Ý. Cũng như Hypatia, bà cũng là con gái của một nhà toán học. Agnesi được thừa nhận là một trong số những nhà toán học tinh tế nhất châu Âu và đặc biệt, bà nổi tiếng là nhờ công trình về tiếp tuyến của các đường cong. Mặc dù mọi người đều thừa nhận tài năng của Agnesi, nhưng nhiều cơ quan học thuật, nhất là Viện Hàn lâm Pháp, đều từ chối không dành cho bà một vị trí nghiên cứu chính thức nào. Sự phân biệt chống lại phụ nữ đã được thể chế hóa này vẫn tiếp tục duy trì cho tới tận thế kỷ XX, khi mà bà Emmy Noether, người đã được Anhxtanh (Einstein) mô tả là “một thiên tài toán học sáng tạo quan trọng nhất đã được sản sinh ra cho tới nay kể từ khi nền giáo dục cao cấp bắt đầu dành cho phụ nữ”, đã bị từ chối chức phó giáo sư ở Đại học Gottingen.

Trong số tất cả các nước châu Âu thì Pháp là nước có thái độ phân biệt đối xử nặng nề nhất đối với phụ nữ có học vấn, trong suốt phần lớn thế kỷ XVIII và XIX. Tuy vậy, vẫn có một người phụ nữ dám vượt qua khỏi những ràng buộc bất công này của xã hội Pháp để vươn lên xác lập cho mình một vị trí vững vàng trong hàng ngũ những nhà lý thuyết số cự phách. Đó chính là nhà toán học Sophia Germain. Bà đã tạo ra một cuộc cách mạng trong việc nghiên cứu Định lý lớn Fecma.

Sophia Germain sinh ngày 1-4-1776 và là con gái một thương gia thành đạt về mặt tài chính nhưng không thuộc giới quí tộc. Sự kiện làm thay đổi hẳn cuộc đời bà đã xảy ra vào một ngày khi bà đang duyệt qua thư viện của người cha và tình cờ bắt gặp cuốn “Lịch sử toán học” của Jean-Etienne Montuela. Chương sách đã hút hồn bà là một tiểu luận của Montuela về cuộc đời của Ácximét (Archimedes) và gây ấn tượng đặc biệt cho bà là câu chuyện xung quanh cái chết của Ácximét.

Ácximét suốt đời sống ở Syracuse và nghiên cứu toán học trong một bối cảnh tương đối thanh bình. Nhưng vào những năm cuối ở tuổi thất tuần thì sự bình yên ấy bị phá vỡ bởi sự xâm lăng của Đế quốc La Mã. Truyền thuyết kể rằng khi chỗ của Ácximét đã bị xâm chiếm thì ông vẫn không hay biết và do đang quá mải mê nghiên cứu các khối hình học vẽ trên cát nên ông đã không trả lời câu hỏi của một tên lính La Mã và bị tên này rút kiếm đâm chết.

Germain nghĩ rằng nếu có ai đó đã say mê hình học đến mức bị đâm chết thì toán học hẳn phải hấp dẫn nhất trên đời. Thế là bà bèn ngay lập tức tiến hành tự học cơ sở của lý thuyết số và giải tích toán. Chẳng bao lâu sau, Germain đã phải thức rất khuya để nghiên cứu các công trình của Ơle và Niutơn.

Niềm say mê toán học lạ lùng ở người con gái làm cha mẹ của bà hết sức lo lắng. Nghe theo lời khuyên của một người bạn, cha của Germain đã tịch thu nến, dẹp bỏ lò sưởi để mong làm nản chí học toán của bà. Bà đã đối phó lại bằng cách bí mật cất giấu nến, quấn khăn trải giường quanh mình để chống rét và tiếp tục nghiên cứu. Tinh thần say mê nghiên cứu toán học của Germain rốt cục cũng đã khuất phục được cha mẹ của bà. Họ đành chiều theo ý con gái, để cho bà tiếp tục theo đuổi điều mình yêu thích. Sau này, Germain không lấy chồng và người cha đã cung phụng hoàn toàn cho bà trên bước đường hiến dâng đời mình cho toán học.

Trong nhiều năm, Germain phải tiếp tục nghiên cứu trong sự đơn độc hoàn toàn, vì trong gia đình không có ai là nhà toán học để có thể giới thiệu với bà những ý tưởng mới nhất, còn các ông thầy toán thì từ chối, không muốn hướng dẫn bà một cách nghiêm túc.

Vào năm 1794, trường Đại học Bách khoa được mở ở Pari nhằm mục đích đào tạo các nhà toán học và khoa học xuất sắc cho quốc gia. Tuy nhiên trường này chỉ dành cho nam giới. Để vào học được trường này, Germain đã quyết định mạo danh một cựu học sinh là Antoine - August Le Blanc. Phòng hành chính của nhà trường không hề hay biết rằng Le Blanc thực đã rời khỏi Pari nên vẫn tiếp tục gửi giáo trình và bài tập cho anh ta. Germain đã phải xoay sở để nhận được những thứ đó và mỗi tuần lại phải gửi lời giải đáp các bài tập dưới cái tên Le Blanc. Mọi thứ đều diễn ra suông sẻ cho tới vài tháng sau, khi giáo sư Joseph - Louis Lagrange không thể không nhận thấy sự xuất sắc trong các lời giải của anh chàng Le Blanc. Đó là những lời giải không chỉ tỏ ra cực kỳ thông minh mà còn chứng tỏ sự tiến bộ ghê gớm của một sinh viên trước đó vốn nổi tiếng là dốt. Lagrange, một trong số những đỉnh cao toán học của thế kỷ XIX, đã yêu cầu được gặp cậu sinh viên có nhiều tiến bộ này và Germain buộc phải tiết lộ nhân thân của mình. Lagrange kinh ngạc nhưng hài lòng khi gặp người phụ nữ trẻ, rồi sau đó ông trở thành thầy hướng dẫn và là bạn của bà.

Germain ngày càng tự tin hơn, từ việc giải các bài toán trong sách bài tập, bà đã chuyển sang nghiên cứu những lĩnh vực còn chưa được khám phá của toán học. Điều quan trọng nhất là Germain bắt đầu quan tâm sâu hơn đối với lý thuyết số và tất nhiên là không thể không chú ý tới Định lý lớn của Fecma. Bà đã làm việc với bài toán hóc búa này trong suốt vài ba năm và cuối cùng đã đạt đến giai đoạn mà bà tin rằng mình đã tạo được một bước đột phá quan trọng. Lúc này Germain rất cần thảo luận những ý tưởng của mình với một đồng nghiệp nào đó giỏi thực sự về lý thuyết số và bà, vốn dĩ là người có tính quyết đoán, quyết định phải đi thẳng tới đỉnh cao, xin ý kiến của nhà lý thuyết số vĩ đại nhất thế giới. Đó chính là nhà toán học người Đức, có tên là Gauxơ (Card Friedrich Gauss), được thừa nhận là một trong số những nhà toán học xuất sắc nhất đã từng sống trên đời; và được gọi là “Ông hoàng toán học”.

Khi Germain viết thư cho Gauxơ thì bà vẫn đang ở độ tuổi 20 và mặc dù đã có tiếng tăm ở Pari thì bà vẫn e ngại người đàn ông vĩ đại đó coi thường phận đàn bà của mình, cho nên lại một lần nữa bà lại mạo danh Le Blanc khi ký tên dưới những bức thư gửi cho Gauxơ.

Đối với việc tìm kiếm chứng minh Định lý lớn Fecma, Germain đã áp dụng một chiến lược mới và bà đã mô tả cho Gauxơ cách tiếp cận tổng quát bài toán. Nói một cách khác, mục đích trước mắt của Germain không phải là chứng minh một trường hợp cụ thể nào đó mà là nói được một điều gì đó về nhiều trường hợp ngay một lúc. Trong những bức thư gửi cho Gauxơ, Germain đã phác thảo những tính toán tập trung vào số nguyên tố p đặc biệt sao cho 2p + 1 cũng là một số nguyên tố. Bảng liệt kê các số nguyên tố này có chứa số 5 vì 11 = 2 x 5 + 1 cũng là một số nguyên tố, nhưng nó không chứa số 13 vì 27 = 2 x 13 + 1 không phải là số nguyên tố.

Tiếp theo đó, Germain đã dùng lập luận để chứng tỏ rằng, đối với các giá trị của n là các số nguyên tố mà bà đã liệt kê bằng cách như trên, rất có thể không tồn tại nghiệm của phương trình xⁿ+yⁿ=xⁿ, vì nếu có nghiệm thì các số x, y, z sẽ phải là bội số của n và điều này đặt ra một hạn chế rất ngặt nghèo đối với bất cứ một nghiệm nào. Nhiều đồng nghiệp của Germain đã xem xét kỹ lưỡng từng số một trong bảng liệt kê các số nguyên tố của bà nhằm chứng minh rằng x, y, z không thể là bội số của n và do đó mà chứng minh được với những giá trị cụ thể đó, phương trình Fecma vô nghiệm.

Năm 1825, phương pháp của Germain nhận được thành công đầu tiên nhờ hai nhà toán học Dirichlet và Legendre độc lập nhau, cùng chứng minh được cho trường hợp n = 5 là không có nghiệm.

Mười bốn năm sau, một nhà toán học Pháp khác tên là Gabriel Lamé đã có những bổ sung tài tình cho phương pháp của Germain và đã chứng minh được trường hợp n = 7, phương trình Fecma cũng vô nghiệm.

Mặc dù không có những đóng góp thêm nữa cho việc chứng minh Định lý lớn Fecma, nhưng Germain lại nổi lên như một khuôn mặt xuất sắc trong lĩnh vực toán - lý. Đóng góp quan trọng nhất của bà trong lĩnh vực này là “Luận về dao động của các tấm đàn hồi”. Đóng góp đó đã đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi hiện đại.

Lejeune Dirichlet
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sinh	13 tháng 2 năm 1805 Düren, Đế quốc Pháp
Mất	5 tháng 5 năm 1859 Göttingen, Hanover
Nơi cư trú	Đức
Ngành	Toán học

 Nổi tiếng vì Hàm Dirichlet, Hàm eta Dirichlet

Adrien-Marie Legendre
Adrien-Marie Legendre
Sinh	18 tháng 9 1752 Paris, Pháp
Mất	10 tháng 1 1833 Paris, Pháp
Nơi cư trú	Pháp
Ngành	Toán học

 Nổi tiếng vì biến đổi Legendre và hàm số elliptic

Do công trình nói trên và công trình về Định lý lớn Fecma, Germain đã được Viện Pháp quốc trao huy chương và là người phụ nữ đầu tiên được dự nghe giảng tại Viện Hàn Lâm khoa học Pháp mà không phải với tư cách là vợ của một viện sĩ.

Vào những năm tháng cuối đời, bà có nối lại mối quan hệ với Gauxơ, lúc này ông đã là giáo sư thiên văn học tại trường Đại học Gottingen, Gauxơ đã thuyết phục được trường Đại học này tặng cho bà bằng danh dự nhưng đáng tiếc là chưa kịp nhận vinh dự đó thì bà đã qua đời vì ung thư vú.

Sau đột phá của Sophia Germain, Viện hàn lâm khoa học Pháp đã đặt ra một loạt giải thưởng bao gồm huy chương vàng và 30.000 franc (tiền tệ Pháp) cho nhà toán học nào đi được đến cùng trong việc khám phá bí mật của Định lý lớn Fecma. Thế rồi vào ngày 1-3-1847, Viện Hàn lâm Pháp đã tổ chức một cuôc họp liên quan tới giải thưởng này mang đầy kịch tính nhất mà người ta từng biết.

Đầu tiên là Gabriel Lamé, người chứng minh được cho trường hợp n = 7 trước đây, đã bước lên diễn đàn trước các nhà toán học xuất sắc nhất thời đó và tuyên bố rằng ông đã sắp sửa chứng minh xong Định lý lớn Fecma. Ông thừa nhận rằng chứng minh đó còn chưa hoàn tất, nhưng ông đã vạch ra được những nét chính và lạc quan tiên đoán rằng chỉ trong vài tuần tới sẽ công bố chứng minh hoàn chỉnh của mình trong tạp chí của Viện Hàn Lâm.

Toàn bộ cử tọa chưa hết sững sờ thì ngay khi Lamé rời diễn đàn, một nhà toán học xuất sắc khác của Pari hồi đó là Augustin Louis Cauchy, đã lên tuyên bố rằng ông cũng đang tiến hành nghiên cứu theo đường hướng tương tự như Lamé và cũng sắp sửa công bố một chứng minh hoàn chỉnh.

Augustin Louis Cauchy
Augustin Louis Cauchy
Sinh	21 tháng 8, 1789 Paris, Pháp
Mất	23 tháng 5, 1857 (67 tuổi) Sceaux, Pháp
Nơi cư trú	Pháp

Chỉ ba tuần sau khi tuyên bố tại cuộc họp của Viện hàn Lâm, cả hai nhà toán học đã nộp cho Viện Hàn Lâm hai phong bì gắn xi kín mít. Thông lệ hồi đó là như vậy, để nếu sau này nếu xảy ra tranh chấp về nguồn gốc của những ý tưởng ban đầu thì nội dung trong những phong bì này sẽ là bằng chứng để xác định ai là người đưa ra trước.

Mọi người thấp thỏm chờ đợi suốt tháng tư và rồi cuối cùng thì cả Cauchy và Lamé cũng công bố những chi tiết chứng minh nhưng còn nhiều úp mở và mơ hồ trong kỷ yếu của Viện Hàn Lâm khoa học Pháp.

Nhưng sau đó, ngày 24-5, thật bất ngờ là người trình bày trước Viện Hàn Lâm lần này không phải là Cauchy, cũng không phải là Lamé, mà là Joseph Liouvilie, và Liouvillie đã làm cho cử tọa choáng váng khi đọc nội dung bức thư của nhà toán học người Đức tên là Ernst Kummer.

Kummer là nhà lý thuyết số thuộc đẳng cấp cao nhất. Câu chuyện đang xảy ra ở Viện Hàn lâm Pháp lúc đó được ông biết rất rõ, đọc rất kỹ tập kỷ yếu của Viện này và phân tích những chi tiết ít ỏi mà Cauchy và Lamé đã tiết lộ. Qua đó Kummer đã hiểu rằng hai nhà toán học Pháp chắc chắn đang tiến vào một ngõ cụt về lôgic và ông đã trình bày những lý lẽ của mình trong bức thư gửi cho Liouville.

                                         Hermann Amandus Schwarz

Theo Kummer, vấn đề căn bản ở đây là chứng minh của Lamé và Cauchuy đều dựa trên việc dùng một tính chất của các số nguyên có tên là “Phân tích tiêu chuẩn” (đây chính là Định lý cơ bản của số học mà chúng ta đã đề cập tới trong trường hợp số tự nhiên; Ơclít đã phát hiện và chứng minh nó từ thế kỷ IV TCN).

Việc dựa vào phân tích tiêu chuẩn có nghĩa là coi sự phân tích một số nguyên thành tích của các số nguyên tố nào đó là duy nhất. Chẳng hạn có số 12 thì chỉ có một dạng phân tích duy nhất là:

                

Mặc dù phân tích tiêu chuẩn là đúng đối với số nguyên thực nhưng Kummer chỉ ra rằng, không nhất thiết nó cũng đúng khi có sự góp mặt của số nguyên ảo. Vì khi đó dựa trên hằng đẳng thức  mà số 12 còn được phân tích thành:

Nghĩa là tính duy nhất của phân tích tiêu chuẩn bị phá vỡ.

Vì có liên quan đến số ảo nên chứng minh của Cauchy lẫn Lamé đã bị sự đổ vỡ của phân tích tiêu chuẩn làm hư hại nghiêm trọng. Cái sai chết người trong chứng minh của hai nhà toán học Pháp là ở chỗ đó.

Bức thư của Kummer đã tác động ghê gớm tới Lamé. Lamé đã nhận thức được sai lầm của mình một cách có phần ngượng ngùng. Ông đã viết thư cho Dirichlét, một đồng nghiệp của ông ở Beclin: “Nếu chỉ cần anh ở Pari hoặc là tôi ở Beclin thì tất cả những chuyện này đã không xảy ra”.

Còn Cauchy thì vẫn chưa chịu thất bại ngay. Trong một vài tuần tiếp theo, ông vẫn tiếp tục công bố những bài báo về đề tài này. Tuy nhiên, đến cuối mùa hè thì Cauchy cũng im hơi tắt tiếng luôn.

Hơn nữa, Kummer đã chứng tỏ được rằng, một chứng minh hoàn chỉnh Định lý lớn Fecma là nằm ngoài mọi cách tiếp cận toán học hiện có. Đây là một công trình xuất sắc về lôgic toán, đồng thời lại cũng là một đòn nặng nề giáng xuống đầu cả một thế hệ các nhà toán học đang nuôi hy vọng giải quyết được bài toán hóc búa nhất thế giới.

Sau công trình của Kummer, niềm hy vọng tìm ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma trở nên… thất vọng hơn bao giờ hết. Dù bài toán này vẫn chiếm một vị trí đặc biệt trong trái tim các nhà lý thuyết số, song dường như họ đã nhìn nhận nó như sự thách đố “giả kim thuật” trong lĩnh vực hóa học đã để lại trong quá khứ biết bao nhiêu khát vọng cuồng nhiệt mà cũng có phần điên rồ.

Nhưng đến năm 1908, một nhà công nghiệp trẻ người Đức tên là Paul Wolfskehl, trong một trường hợp lạ lùng, đã vô tình thắp lại ngọn nến hy vọng cho việc tìm câu trả lời cho thách đố cuối cùng của Fecma. Paul đã học toán tại trường đại học và tuy dành hầu hết thời gian cho việc xây dựng đế chế buôn bán giàu có của gia đình, ông vẫn duy trì quan hệ với các nhà toán học chuyên nghiệp. Đặc biệt, dù không có năng khiếu thiên bẩm về toán học nhưng Paul vẫn say mê lý thuyết số và tìm hiểu sâu những công trình có liên quan đến Định lý lớn Fecma.

Câu chuyện bắt đầu từ việc một người đàn bà mà danh tính cho đến nay vẫn chưa ai biết đã từ chối tình yêu của Paul. Quá thất vọng vì bị phụ tình, Paul quyết định tự tử. Là một người đàn ông say đắm nhưng không nông nổi, Paul đã trù định kế hoạch kỹ lưỡng cho cái chết của mình, Paul giải quyết tất cả những công việc kinh doanh còn tồn đọng, chọn ngày để tự sát. Vào ngày đó, ông quyết định viết chúc thư, soạn thảo thư từ cho gia đình và tất cả bạn bè thân thiết, chọn đúng thời điểm là 12 giờ đêm sẽ dùng súng tự bắn vào đầu mình.

Tuy nhiên sau khi đã giải quyết mỹ mãn mọi việc trong ngày thì khoảng thời gian từ đó đến nửa đêm vẫn còn dài. Trong lúc chờ đợi thời gian trôi qua, Paul lục lọi tủ sách và xem lại các tài liệu toán học. Một lúc sau, Paul bị cuốn hút vào công trình kinh điển của Kummer giải thích sai lầm của Cauchy và Lamé. Ông lần theo từng dòng một trong tính toán của Kummer và đột nhiên phát hiện thấy một chỗ có vẻ như thiếu lôgíc, có vẻ như Kummer đã đưa ra một giả thuyết và đã phạm sai lầm trong một bước lập luận. Paul vô cùng băn khoăn không biết là ông đã khám phá ra được một sai lầm nghiêm trọng trong công trình của Kummer hay Kummer vẫn đúng. Và lòng say mê toán học đã làm ông ngồi xuống, xem xét kỹ lại đoạn chứng minh hình như chưa thỏa đáng, đắm chìm vào việc phát triển một chứng minh phụ. Chứng minh phụ này hoặc sẽ cứu vãn công trình của Kummer hoặc làm cho công trình đó trở nên vô giá trị. Công việc chứng minh của Paul hoàn thành xong thì trời cũng đã hừng sáng: thời điểm được chọn để tự sát của ông đã qua từ lúc nào rồi.

Paul xé những lá thư vĩnh biệt, viết lại di chúc dưới ánh sáng của những gì đã diễn ra vào đêm hôm trước.

Như vậy là từ Paul, một thông tin vừa buồn vừa vui và dù xấu hay tốt thì cũng chứa chan một hy vọng: chứng minh của Kummer đã phạm phải một sai lầm và vì thế việc tìm ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma vẫn còn khả năng.

Sau đó Paul mất (cũng trong năm 1908). Khi mở chúc thư của Paul, gia đình của ông đã bị sốc khi biết rằng ông đã để lại một phần lớn tài sản, gồm 100.000 mác (tiền tệ Đức, ngày nay tương đương khoảng gần 2 triệu đôla, lớn hơn cả giá trị giải Nobel) làm giải thưởng trao tặng cho ai có thể chứng minh được Định lý cuối cùng của Fecma. Người ta đã đặt tên cho giải thưởng là “Giải thưởng Wolfskehl”.

Giải thưởng này bắt đầu có hiệu lực từ ngày 27-6-1908 và được qui định hạn chót dự thi là ngày 13-9-2007, tức là có thời hạn đến 100 năm!

Giải thưởng Wolfskehl nhanh chóng được thông báo trên tất cả các tạp chí toán học và tin tức về cuộc thi cũng nhanh chóng lan khắp châu Âu. Dù giải thưởng này đã không tạo được sự quan tâm đặc biệt của các nhà toán học nghiêm túc (vì đa số họ đã coi trả lời thách đố của Fecma là điều vô vọng, chẳng dại gì mà lãng phí sự nghiệp vào đó), nhưng đã thành công trong việc giới thiệu bài toán đến rộng lớn công chúng yêu thích toán học.

Trong vài tuần lễ đầu khi thông báo giải thưởng đó, cả một dòng thác các bài dự thi đổ về Đại học Gottingen. Chẳng có gì ngạc nhiên là tất cả những chứng minh đó đều sai và sai… đủ kiểu: ngây thơ, ngớ ngẩn, mắc bẫy, ngộ nhận… Các nhà toán học không chuyên trước một bài toán có hình thức tưởng đơn giản và một giá trị giải thưởng lớn lao, đều mơ ước rằng họ sẽ có thể may mắn tìm ra một ý tưởng giải mã dung dị không ngờ nào đó mà các giáo sư toán học cỡ lớn của quá khứ đã vô tình chưa phát hiện được.

Thế là việc chứng minh Định lý lớn Fecma lại một lần nữa trở thành bài toán không những nổi tiếng nhất châu Âu mà cả toàn thế giới. Thách đố của Ông hoàng nghiệp dư vang lên từ năm 1670, đã làm “điên cái đầu” biết bao nhiêu các thế hệ toán học, đã làm thúc thủ biết bao nhiêu nhà toán học tiếng tăm lừng lẫy một thời, đã làm cho ngay cả Ông hoàng toán học Gauxơ dù bề ngoài tỏ ra không đếm xỉa đến nó nhưng chắc rằng đã từng “quyết đấu” với nó một cách không công khai và đã phải chào thua, đã làm cho cả một nền toán học dù đã có được nền nhận thức vượt trội hơn rất nhiều so với nền toán học của thế kỷ XVII đã lùi xa vào quá khứ đến hơn 300 năm, cũng chịu bất lực. Cho đến tận những thập niên cuối của thế kỷ XX, thách đố ấy vẫn kiêu hãnh như một bí ẩn lớn nhất của lý thuyết số.

***

Andrew Wiles sinh ra và lớn lên ở thành phố Cambridge, nước Anh. Năm 1963, lúc mới lên 10 tuổi, Wiles đã rất mê toán.

Một lần trên đường từ trường về nhà, Wiles quyết định ghé vào thư viện thành phố nằm trên phố Milton Road và vớ phải cuốn sách chỉ có một bài toán nhưng lại thiếu lời giải. Đó là cuốn sách có tựa đề “Bài toán cuối cùng” của tác giả Eric Temple Bell. Ba mươi năm sau lần đầu tiên đọc cuốn sách của Bell, Wiles đã kể lại cảm giác của ông lúc đó: “Nó nhìn khá đơn giản, thế mà tất cả các nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đều không giải được. Đây là một bài toán mà tôi, một cậu bé 10 tuổi còn hiểu được, và tôi biết rằng từ thời điểm đó tôi sẽ không để cho nó xổng mất. Tôi sẽ phải giải được nó”.

Andrew John Wiles
Andrew John Wiles
Sinh	11 tháng 4, 1953 (64 tuổi) Cambridge, Anh
Nơi cư trú	Anh, Hoa Kỳ
Ngành	Toán học
Nơi công tác	Đại học Princeton
Alma mater	Đại học Merton, Oxford, Đại học Clare, Cambridge
Người hướng dẫn luận án tiến sĩ	John Coates
Các sinh viên nổi tiếng	Manjul Bhargava Brian Conrad Karl Rubin Chris Skinner Richard Taylor
Nổi tiếng vì	Chứng minh Định lý lớn Fermat
Giải thưởng	Giải thưởng Fermat (1995) Giải thưởng Wolf (1995/6) Huy chương Hoàng gia (1996) Đĩa bạc IMU (1998) Giải thưởng Shaw (2005) Giải Abel (2016)

Năm 1975, Wiles bắt đầu sự nghiệp của mình với tư cách một nghiên cứu sinh tại trường Đại học Cambridge. Ba năm tiếp theo ông tập trung làm luận án tiến sĩ. Mỗi nghiên cứu sinh đều được dìu dắt bởi một người thầy hướng dẫn. Dìu dắt Wiles là nhà toán học John Coates, người Úc.

Coates còn nhớ rõ: “Tôi nhớ một cộng sự nói với tôi rằng, ông ta có một sinh viên rất giỏi vừa mới thi xong phần cuối cùng về toán, và ông ta hối thúc tôi tiếp nhận cậu ta làm nghiên cứu sinh. Tôi đã rất may mắn có được một nghiên cứu sinh như Andrew. Ngay từ khi còn là một nghiên cứu sinh, Andrew đã có những ý tưởng rất sâu sắc và rõ ràng rằng anh ta là một nhà toán học sẽ làm nên những công trình lớn. Tất nhiên, ở giai đoạn đó không có chuyện một người nghiên cứu sinh sẽ làm việc ngay với Định lý cuối cùng của Fecma vì nó quá khó ngay cả với một nhà toán học đã có kinh nghiệm lão luyện”.

Dù nung nấu từ thuở thiếu thời và tâm huyết hướng tới chuẩn bị cho bản thân đón nhận thách thức của Fecma, nhưng lúc đó, khi đã gia nhập hàng ngũ các nhà toán học chuyên nghiệp, Wiles phải tạm thời từ bỏ ước mơ của mình. Ông nhớ lại: “Khi đến Cambridge, tôi thực sự phải gác Fecma sang một bên. Không phải là để quên nó - vì nó luôn ở bên tôi - mà là do tôi nhận thấy rằng những kỹ thuật mà chúng ta dùng để thử chứng minh nó thực ra đã có khoảng 130 năm nay rồi. Điều đó rõ ràng là, những kỹ thuật này dường như không cho phép thực sự đi đến được tận cội rễ của bài toán. Vấn đề là ở chỗ, khi làm việc với Định lý Fecma đó, bạn có thể sẽ phải tiêu tốn hàng năm trời mà không đi đến đâu cả. Được làm việc với bài toán mà mình yêu thích là điều tuyệt vời, chừng nào trên con đường đó, bạn còn tạo ra được những kết quả toán học hay, mặc dù rốt cuộc bạn vẫn không thể giải được nó. Một bài toán hay được định nghĩa là ở cái toán học mà nó tạo ra, chứ không phải ở bản thân bài toán đó”.

Trách nhiệm của John là phải tìm một bài toán hấp dẫn mới, làm đối tượng nghiên cứu cho Wiles ít nhất là trong 3 năm tiếp theo. Coates nói: “Tôi nghĩ, tất cả những gì mà một người hướng dẫn có thể làm đối với một nghiên cứu sinh của mình là thử cho anh ta một cú hích theo hướng đúng. Tất nhiên, không ai có thể biết trước một cách chắc chắn hướng nghiên cứu nào sẽ có kết quả, nhưng một nhà toán học già dặn có thể sử dụng sự nhạy cảm cùng với trực giác của mình để lựa chọn lĩnh vực nghiên cứu hay, còn chuyện nghiên cứu sinh đó có thể đi được bao xa trên con đường ấy là tùy thuộc vào bản thân anh ta”. Cuối cùng, Coates quyết định Wiles nên nghiên cứu một lĩnh vực toán học được gọi là “những đường cong eliptic”. Quyết định đó đã tạo ra một bước ngoặt trong sự nghiệp của Wiles. Nó đã mang lại cho ông những kỹ năng toán học cần thiết để có thể xây dựng nên một cách tiếp cận mới đối với Định lý Fecma.

(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------------------