TT&HĐ IV - 37/i

 

Kurt Gödel - Nhà Logic Học Vĩ Đại Đã Chứng Minh Toán Học Không Hoàn Hảo

                                       

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.

A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.

J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.

...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)

Quá trình nghiên cứu các biến đổi hình học đã chỉ ra rằng có những phép biến đổi hoàn toàn không làm mất đi các tính chất ban đầu của hình hình học sau khi biến đổi. Hai hình được gọi là “toàn đẳng” nếu chúng tương đương nhau, nghĩa là có thể biến đổi hình nọ thành hình kia qua dời hình - các biến đổi chỉ thay đổi vị trí của hình mà không làm thay đổi số đo của các đại lượng như độ dài cạnh, góc, diện tích… có liên quan với hình đó. Nhưng cũng có những phép biến đổi làm mất đi một số tính chất đặc thù của một hình sau khi đã biến dạng sang một hình khác và hình này, ngoài những tính chất đặc thù mới xuất hiện, vẫn còn bảo tồn được những tính chất nào đó của hình ban đầu (có tính chất “phổ biến” cho cả hai hình đó). Một hiện tượng có vẻ độc đáo nhưng cùng hoàn toàn tự nhiên là có một số tính chất của hình học ẩn sâu (hay phổ quát) đến nỗi luôn bất biến cho dù hình ban đầu phải chịu những biến dạng mạnh mẽ và hoàn toàn tùy ý.

Có một loại phép biến đổi “mạnh hơn” phép dời hình nhưng “nhẹ hơn” phép biến đổi gần như tùy ý, được các nhà toán học nghiên cứu từ lâu và gọi là môn “Hình học xạ ảnh”.

Bài toán “phối cảnh” đã được các họa sĩ thời phục hưng ở Châu Âu mà tiêu biểu là Lêonard đơ Vanhxi và Albert Đuyne đề cập đến và đã gợi ý cho các nhà toán học thời đó nghiên cứu. Hình vẽ do họa sĩ vẽ ra được xem như hình chiếu của vật mẫu trên mặt phẳng mà tâm chiếu là mắt của họa sĩ. Trong phép chiếu, tùy thuộc vào các vị trí khác nhau của các sự vật cần vẽ, mà độ dài đoạn thẳng và các góc không thể tránh được một sự thay đổi nhất định. Tuy nhiên, thường thì vẫn nhận ra được cấu trúc hình học của vật mẫu thông qua hình vẽ một cách dễ dàng. Hình ảnh được chụp qua máy ảnh là một dẫn chứng tuyệt vời về tính tự nhiên của phép chiếu xạ ảnh này. Điều có thể nhận thấy rõ ràng trong lĩnh vực hình học này là nó không đề cập đến sự bằng nhau của các hình mà lại chú trọng nhiều đến tỷ lệ của chúng.

Leonardo da Vinci
Chân dung tự họa khoảng 1512-1515
Sinh	Leonardo di ser Piero da Vinci 15 tháng 4, 1452 Vinci, Cộng hòa Fiorentina (Ý ngày nay)
Mất	2 tháng 5, 1519 (67 tuổi) Amboise, Pháp
Quốc gia	Ý
Nổi tiếng vì	Nhiều lĩnh vực khoa học và nghệ thuật
Tác phẩm nổi bật	Mona Lisa Bữa ăn tối cuối cùng Người Vitruvius Lady with an Ermine
Loại	Phục Hưng
Chữ ký

Những sự kiện rời rạc trong toán học có liên quan đến các tính chất xạ ảnh đã được biết đến từ thế kỷ XVIII (cũng có một vài đề cập xuất hiện từ rất xa xưa như “định lý Menelaux” chẳng hạn). Song mãi đến cuối thế kỷ XVIII, khi trường bách khoa nổi tiếng ở Pari củng cố lại tình hình nghiên cứu toán học, nhất là hình học thì mới làm xuất hiện những công trình nghiên cứu có tính hệ thống thực sự trong lĩnh vực hình học xạ ảnh. Trường học này được các nhà cách mạng Pháp sử dụng để đào tạo ra một số lớn sĩ quan phục vụ xuất sắc cho nước cộng hòa của họ. Trong số đó có Jăng Victor Pôngxơliê (1788 - 1867), người đã viết bản “Luận văn về các tính chất xạ ảnh của các hình” khi bị bắt làm tù binh ở nước Nga.

Đến thế kỷ XIX, hình học xạ ảnh đã trở thành một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều trong toán học do ảnh hưởng của Stâyner, Stauat, Salơ và một số nhà toán học khác. Tính phổ cập của môn hình học này, một phần khác là do khả năng soi sáng khoa học hình học nói chung và có những liên hệ bên trong sâu sắc với hình học phi Ơclit cũng như với đại số học.

Để hiểu được sơ bộ khái niệm “biến đổi xạ ảnh”, chúng ta giả sử rằng, cho trước hai mặt phẳng và trong không gian, song song hoặc không song song với nhau. Sau đó, chúng ta thực hiện một “phép chiếu xuyên tâm” lên với tâm O (tâm chiếu) cho trước không nằm trên và để ứng với mỗi điểm P trên  là một điểm P’ trên , sao cho P và P’ nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O. Tương tự, chúng ta cũng có thể thực hiện được “phép chiếu song song” nếu các đường thẳng chiếu không xuất phát từ tâm O mà song song với nhau. Như vậy, chúng ta có thể dùng phép chiếu xuyên tâm hay song song chiếu bất cứ hình nào trên lên để có được một hình mới và hình đó được gọi là ảnh xạ. Mọi ánh xạ của một hình lên một mặt phẳng để thu được một ảnh xạ qua một phép chiếu song song hay xuyên tâm, hoặc qua một dãy hữu hạn các phép chiếu như vậy gọi là biến đổi xạ ảnh (Nếu hai hình chỉ liên hệ với nhau bằng duy nhất một phép chiếu thì người ta nói rằng chúng “phối cảnh” nhau. Hình học xạ ảnh của mặt phẳng gồm một hệ thống các định lý hình học được bảo toàn trong các biến đổi xạ ảnh bất kỳ các hình tương ứng. Nó khác hẳn với “hình học mêtric” là một hình học bao gồm hệ thống các định lý xác lập mối quan giữa các đại lượng trong các hình được xét chỉ là bất biến đối với lớp (hay dãy) các phép dời hình. Có thể nêu ra vài tính chất xạ ảnh:

- Một điểm được chiếu thành một điểm.

- Một đường thẳng được chiếu thành đường thẳng.

- Tính hiện thực của một điểm và một đường thẳng là bất biến đối với nhóm các biến đổi xạ ảnh.

- Nếu ba điểm là cộng tuyến, tức là liên thuộc với cùng một đường thẳng thì các ảnh xạ của chúng cũng cộng tuyến.

- Nếu ba đường thẳng đồng qui, tức là liên thuộc với cùng một điểm thì ảnh xạ của chúng cũng là những đường thẳng đồng qui.

Quá trình nghiên cứu, xem xét các tính chất hình học trong hình học xạ ảnh đã cho các nhà toán học thấy rằng trong nhiều trường hợp, những luận cứ đưa ra sẽ mất hiệu lực nếu những giao điểm phải dựng của những đường thẳng nào đó lại song song với nhau. Do các đường thẳng song song không có điểm chung nên trong các lập luận, buộc phải phân biệt và giải thích ra hai trường hợp chiếu xuyên tâm và chiếu song song. Nếu không thoát ra khỏi tình trạng đó thì hình học xạ ảnh sẽ trở nên cực kỳ phức tạp do phải nghiên cứu một cách chi tiết các ngoại lệ và trường hợp riêng. Yêu cầu phải khái quát hóa các khái niệm cơ bản để “tinh giản” lý thuyết hình học xạ ảnh, do đó mà cũng được đặt ra một cách hoàn toàn tự nhiên trước các nhà toán học.

Để giải quyết vấn đề đó, có lẽ cũng tự nhiên không kém, một suy nghĩ đã bật ra trong đầu các nhà toán học là có thể nào gộp hai phép chiếu xuyên tâm và song song vào một phép chiếu duy nhất? Muốn thế, phải biện giải được phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm, khi tâm chiếu ở xa vô tận. Nhưng có thể sự gợi ý mạnh mẽ cho suy nghĩ này bắt nguồn từ hiện tượng biến đổi nghịch đảo qua đường tròn, khi ảnh của tâm O được cho là điểm ở xa vô tận, và sự minh họa trực giác của các hình vẽ phối cảnh, trong đó có các đường thẳng song song có vẻ như gặp nhau ở xa vô tận và nhiều cặp đường thẳng song song gặp nhau ở xa vô tận tạo nên một tập hợp điểm làm hình thành nên một đường thẳng song song gặp nhau ở xa vô tận gọi là “đường chân trời”. Đường chân trời trong hình học phối cảnh là đường có thể thấy được nhưng không tiếp cận được.

Quan niệm về các đường song song cắt nhau ở điểm xa vô tận, tưởng chừng như nghịch lý ấy, hóa ra là hết sức hợp lý vì các nhà toán học đã phát hiện ra rằng sự tồn tại của các điểm xa vô tận đó và những yếu tố mới nảy sinh kèm theo có mối quan hệ tương hỗ giữa chúng với nhau và với các điểm “thông thường” là hoàn toàn rõ ràng và không gây ra bất cứ mâu thuẫn nào. Từ đó, các nhà toán học đã đưa ra qui ước rằng một đường thẳng bất kỳ, ngoài các điểm thông thường còn có một điểm nữa ở xa vô tận và được gọi là “điểm lý tưởng”. Điểm lý tưởng là điểm chung của tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Các nhà toán học còn quy ước bổ sung thêm vào tập hợp các đường thẳng một đường thẳng nữa gọi là “đường thẳng ở xa vô tận” và cho rằng đường thẳng ở xa vô tận là tập hợp các điểm lý tưởng.

Với những quy ước nêu trên thì tiên đề “qua hai điểm cho trước chỉ dựng được duy nhất một đường thẳng” vẫn được bảo toàn và một định lý được mở rộng là “bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau tại một điểm”. Thật vậy, qua hai điểm lý tưởng bất kỳ, chỉ có thể vẽ được một đường thẳng duy nhất là đường thẳng ở xa vô tận hay còn gọi là đường thẳng lý tưởng, bởi vì theo qui ước mỗi đường thẳng thông thường chỉ có một điểm lý tưởng. Đường thẳng lý tưởng phải “chứa” toàn bộ các điểm lý tưởng và không chứa bất kỳ một điểm thông thường nào. Giả sử đường thẳng lý tưởng chứa một điểm thông thường thôi thì vì qua một điểm lý tưởng và một điểm thông thường tất yếu phải dựng được một đường thẳng thông thường mà đường thẳng thông thường lại chỉ được phép chứa một điểm lý tưởng thôi nên điều giả sử là cực kỳ phi lý. Ở đây chúng ta thấy, với những suy lý bởi tư duy trừu tượng vô tiền khoáng hậu của trí não con người bên cạnh khả năng quan sát thực tại bị hạn chế, con người đã làm cho vũ trụ hình học trở thành ảo hóa. Sao không giả sử rằng, chỗ chúng ta mới là cõi vô tận so với "ở đó", và như thế làm gì có điểm lý tưởng và hai đường song song rõ ràng là không bao giờ cắt nhau?

Nhờ những qui ước bổ sung đó, hình học xạ ảnh đã giải quyết được mỹ mãn nhiều vấn đề nan giải nảy sinh của nó. Chẳng hạn việc đưa vào các điểm xa vô tận và đường thẳng xa vô tận trên mặt phẳng giúp các nhà toán học xem xét phép chiếu của mặt phẳng này trên mặt phẳng khác một cách đầy đủ hơn.

Quá trình nghiên cứu những biến đổi hình học đã dẫn các nhà toán học đạt được hết thành tựu này đến thành tựu khác để xây dựng nên những lý thuyết tương đối chuyên biệt ngày một sâu sắc và kỳ thú. Lý thuyết Tôpô là một trong những số đó.

Hiện tượng biến đổi hình học được gọi là Tôpô chính thức được phát hiện vào khoảng đầu thế kỷ XIX, làm phát sinh một trào lưu mới trong nghiên cứu hình học, và sau này trở thành một trong những động lực chính của toán học hiện đại. Phép biến đổi Tôpô rất mạnh, nó làm mất tất cả các tính chất mêtric và xạ ảnh của các hình hình học.

Một trong những người đi tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết Tôpô là A. F. Miôbiux (1790-1868). Ông là nhà thiên văn học, làm việc trong một đài thiên văn hạng xoàng ở Đức, do tính quá khiêm nhường và cũng có thể là rụt rè mà không đạt được may mắn trên con đường công danh - khoa học. Mãi đến năm 68 tuổi, Miôbiux mới trình lên viện Hàn lâm Pari tập hồi ký về các mặt “một phía”, ghi lại những sự kiện tuyệt vời nhất trong lĩnh vực hình học mới này. Cũng như nhiều công trình khoa học quan trọng khác, bản thảo của ông đã bị vứt lăn lóc nhiều năm trên giá sách của Viện Hàn lâm cho đến khi nó được bản thân tác giả công bố.

Độc lập với Miôbiux, nhà thiên văn ở Gơttingen là I. Lixting (1808-1882) cũng đã có những phát minh tương tự và nhờ sự giúp đỡ của Gaux, năm 1847 ông cho xuất bản cuốn sách nhỏ có tựa đề “Khảo cứu đầu tiên về Tôpô”.

Khi Bergard Riman (1826-1866) đến Gơttingen học đại học ở đó thì không khí ở đó đã tràn đầy sự hiếu kỳ đối với hiện tượng hình học mới lạ và nó đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến nhà toán học kiệt xuất trong tương lai không xa này. Những đóng góp lớn lao của Riman đối với lý thuyết Tôpô là không thể phủ nhận được.

Tuy hiện tượng Tôpô được phát hiện một cách chính thức vào thế kỷ XIX và trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh vào thế kỷ XX, nhưng cần phải nói rằng từ rất sớm, đã có những phát minh toán học gần gũi với Tôpô. Trong số đó, nổi lên hàng đầu là việc xác lập công thức liên hệ số đỉnh, số cạnh và số mặt của một khối đa diện đơn giản: nó đã được Đềcác phát hiện năm 1640, được Ơle phát hiện lại và sử dụng năm 1752. Những nét đặc trưng của khẳng định Tôpô trong công thức này đã trở nên rất hiển nhiên khi mà về sau này, Poancarê nhận ra một trong những định lý trung tâm của Tôpô ở trong công thức Ơle và những công thức mở rộng của nó.

Có thể hiểu khối đa diện là một vật thể không gian gồm một số hữu hạn các mặt có hình đa giác. Trong các khối đa diện đều thì mọi đa giác đều bằng nhau và mọi góc phẳng ở đỉnh đều bằng nhau. Khối đa diện gọi là đơn giản nếu nó không có “những lỗ thủng”, để cho sau một biến dạng liên tục thì mặt của nó có thể biến đổi thành mặt cầu. Tuy rằng trong hình học cổ xưa, việc nghiên cứu các khối đa diện chiếm vị trí trung tâm, nhưng chỉ có Đềcác và Ơle mới phát hiện được mệnh đề sau đây: nếu gọi V là số đỉnh, E là số cạnh, F là số mặt của một khối đa diện đơn giản thì .

Một ứng dụng hết sức thú vị của công thức Ơle là nhờ nó, có thể chứng minh được sự tồn tại của không quá 5 loại đa diện đều. Sơ lược của chứng minh đó như sau:

Giả sử một khối đa diện đều có thể có mặt mà mỗi mặt là một đa giác đều có n cạnh và mỗi đỉnh có r cạnh, nếu tính số cạnh của đa giác ấy theo các mặt thì có:

                 

Còn nếu tính theo các đỉnh, thì có:

                 

Từ đó suy ra:

                 

Áp dụng công thức Ơle thì được:

                 

Vì số cạnh của một đa giác không thể nhỏ hơn 3 nên và đỉnh của một đa diện không thể hiện hữu với số mặt ít hơn 3 (có số cạnh nhỏ hơn 3) nên . Mặt khác n và r không thể đồng thời lớn hơn 3 vì nếu xảy ra như thế thì số cạnh E sẽ mang dấu âm, trái với quan sát thông thường, do đó cũng không thể hình dung được. (Tuy nhiên sự hoang tưởng tự do của chúng ta mách bảo rằng, biết đâu chừng trong tương lai, một nhà toán học nghiệp dư “điên rồ” nào đó lại khăng khăng về sự tồn tại của một số E âm và “kích hoạt” một ngành hình học mới ra đời!). Như vậy, chỉ còn phải làm sáng tỏ xem có thể thừa nhận những giá trị nào của r nếu n=3 và những giá trị nào của n nếu r=3, là thỏa mãn đẳng thức trên.

Khi n=3, đẳng thức trên có dạng:

                 

Và suy ra r có thể bằng 3, 4 hoặc 5 (r không thể lớn hơn 5 vì như đã nói ở trên, E phải là một số nguyên dương). Nghĩa là chỉ có khả năng tồn tại các đa diện đều 4 mặt, 8 mặt và 20 mặt.

Tương tự, khi r=3, đẳng thức được viết:

                 

Suy ra n bằng 3, 4 hoặc 5 và do đó trong trường hợp này cũng chỉ có khả năng tồn tại các khối đa diện đều: 4 mặt, 6 mặt và 12 mặt.

Tổng kết cả 2 trường hợp, chúng ta thấy rằng chỉ có thể tồn tại được các khối đa diện đều là:

                  Khối 4 mặt (còn gọi là khối tứ diện tam giác đều)

                  Khối 6 mặt (còn gọi là khối lập phương)

                  Khối 8 mặt

                  Khối 12 mặt

                  Khối 20 mặt.

Cột số trên có 2 tính chất kể ra cũng khá ngạc nhiên là:

                 

Nhưng tại sao Vũ Trụ hình học lại chỉ cho phép dựng được vỏn vẹn có năm khối đa diện đều? Thật khó lòng hiểu nổi?!

Chúng ta biết rằng luôn luôn có thể dựng được khối cầu ngoại tiếp “khít khao” năm khối đa diện đều và bằng cách nào đó, có thể chuyển hóa năm khối ấy thành khối cầu mà chúng nội tiếp. Điều đó dẫn đến ý niệm rằng trên mặt một khối cầu chỉ có thể chia điều hòa và đều đặn theo năm cách để có thể có được 4, 6, 8, 12 hoặc 20 phần diện tích bằng nhau.

Có thể nào mở rộng khái niệm “khối đa diện” và qua đó là cả khái niệm “khối đa diện đều” để làm cho khối đa diện đều trở nên vô kể về “chủng loại” được không?

Kinh nghiệm trực giác đã đưa toán học đến việc phải qui ước n và r không được nhỏ hơn 3 và đồng thời không được lớn hơn 5. Rõ ràng là không thể hình dung được một khối đa diện đều nào lại không tuân thủ qui ước ấy. Tuy nhiên, biết đâu chừng vẫn có thể tồn tại những khối đa diện như vậy ở đâu đó mà do tính đa tạp của cấu trúc không gian, chúng đã bị biến dạng đi hoặc còn có thể là do nhận thức của chúng ta còn chưa “rốt ráo” nên đã không thấy được chúng hoặc liệt kê chúng thành một loại khác. Chúng ta hãy xem thử tình hình ra sao nếu chỉ qui ước rằng n, r và E phải nguyên dương và thỏa mãn đẳng thức:

Ngoài ra, không còn qui ước nào khác.

Một cách trực quan thì khối tứ diện là có số mặt ít nhất (4 mặt) trong các khối đa diện. Tuy nhiên, chúng ta “ngoan cố”, cứ cho rằng vẫn có thể tồn tại khối đa diện có số mặt ít hơn 4. Giả sử có khối đa diện đều mà số cạnh của nó là . Lúc này có thể viết:

Suy ra ở vế trái hoặc n = 2 và r = 3, hoặc n = 3 và r = 2. Ở trường hợp đầu, chúng ta có:

Nghĩa là chúng ta sẽ có một khối đa diện đều với số cạnh là 3, số đỉnh là 2 và số mặt là 3. Có thể hình dung được đây là một khối “tam diện đều”, có ba cạnh cùng độ cong và bằng nhau về độ dài, có hai đỉnh đối nhau tạm gọi là “hai cực” của khối.

Ở trường hợp thứ hai, thì .

Một khối đa diện đều mà chỉ có số cạnh là 3, số đỉnh là 3, số mặt là 2 thì kể cũng kỳ dị! Tuy nhiên, nếu kết hợp với “thông tin” số cạnh đa giác của nó bằng 3 và số cạnh ở mỗi đỉnh là 2 thì “hầu như” chỉ là… tam giác đều. Đã là tam giác đều thì làm sao có hai mặt và hơn nữa lại gọi là “khối” được? Thế mà có thể đấy! Chúng ta đã quan niệm rằng không tồn tại Hư Vô vì Hư Vô cũng phải là Tồn Tại, do đó không có mặt (phẳng) nào lại được tạo dựng từ Hư Vô cả mà phải từ ít ra là các hạt KG và có “độ dày” ít ra cũng bằng “bề dày” của hạt KG. Vì lẽ đó mà bất cứ mặt (phẳng) nào cũng có hai mặt tạm gọi là trái và phải hay bên này và bên kia. Tam giác đều là một mặt phẳng nên nó cũng phải có hai mặt và thành một khối là điều hiển nhiên.

Nếu tam giác đều được coi là một khối nhị diện đều thì tất cả các đa giác đều đều phải được coi là các nhị diện đều cùng chung một tính chất .

Có khối “nhất diện” (một mặt) không? Chúng ta cho rằng có, vì khi thì . Lúc này, vì:

Suy ra có thể:

Vì r không thể lớn hơn E nên có thể biện luận được: và r = 1 là trường hợp duy nhất để thỏa mãn đẳng thức. Do đó:

Như vậy, chúng ta có được kết quả:

Một khối “nhất diện” có 2 đỉnh, 1 cạnh, 1 mặt, số cạnh đa giác là 1, số cạnh tại mỗi đỉnh là 1 chỉ có thể là một đoạn thẳng mà 2 đầu mút của nó chính là 2 đỉnh. Ở phía nào “nhìn vào” cũng chỉ thấy một mặt duy nhất và là mặt đã từng thấy ở những phía khác. Đó là hiện tượng tạm gọi là “mặt mọi phía” và là “tiền thân” của mặt một phía (được nhà thiên văn học kiêm toán học Miobiux phát hiện vào buổi đầu của lý thuyết Tôpô).

Đó chính là khối nhị diện trên mặt phẳng có hai cạnh là 2 cung cùng độ cong và cùng độ dài gặp nhau tại 2 điểm (đóng vai trò là hai đỉnh của khối). Trường hợp đặc biệt của khối này là “khối” hình tròn. Hình tròn cũng là giới hạn của các khối nhị diện. Khi số cạnh của chúng tăng lên vô hạn (hay tới hạn) thì chúng biến thành “khối tròn phẳng”

Còn một khối đều cơ bản nhất mà chúng ta chưa nhắc tới, đó là khối cầu.

Có thể quan niệm (và cũng chính là qui ước) rằng khối cầu là một khối nhất diện đều vì sự “tròn quay”của nó và vì nó chỉ có một mặt gọi là mặt “mọi phía” (mặt trái ở bên trong nội tại nó, vì bị cách ly khỏi “thế giới bên ngoài” nên chỉ có thể được coi là mặt của nội tại và, không đồng nhất với mặt bên ngoài của nó).

Vì chỉ có duy nhất một mặt mọi phía nên khối cầu không có cạnh. Tuy nhiên vì mặt của nó là tập hợp của vô số điểm KG “bình đẳng” nhau nên có thể chọn bất cứ điểm KG nào làm “chuẩn mốc” khảo sát mặt cầu và chúng ta gọi đó là đỉnh của khối cầu. Khối cầu chỉ có một đỉnh duy nhất.

Chúng ta quan niệm như thế để cho thỏa mãn:

Nghĩa là số cạnh tại đỉnh là không có.

 
nghĩa là chỉ có điểm KG thôi chứ chẳng có đa giác nào cả.

Nếu để làm thỏa mãn biểu thức:

thì cũng có thể chọn . Thế nhưng chọn như thế thì trở lại trường hợp “khối” là một đoạn thẳng.

Xét ở khía cạnh khác, thì điểm KG cũng phải là một “khối” không gian cho nên khi chúng liên kết với nhau để tạo nên mặt cầu thì mỗi một phần bề mặt của một điểm KG cũng phải được coi như một “đa giác” làm nên mặt cầu. Vậy những “đa giác” đó là loại đa giác nào và chúng có giống nhau không để mà có thể gọi khối cầu do chúng hợp thành cũng được gọi là khối đa diện đều?

Dù có hoang tưởng giỏi đến mấy thì chúng ta cũng không sao mường tượng ra được cảnh ngộ đó để có thể trả lời câu hỏi trên. Rất có thể rằng, ở tầng qui mô như thực tại mà chúng ta đang thấy sự hiện hữu của các khối đa diện đều với những kiểu dáng “mày râu nhẵn nhụi” và “quắc thước” là hiển nhiên, nhưng ở tầng sâu vi mô, bức tranh thực tại sẽ hoàn toàn khác và có thể những khối đa diện đều đó bị tuyệt đối cấm không được tồn tại. Thậm chí là trong khoảng không bao la của Vũ trụ mà con người còn quan sát được, cũng chẳng thấy 5 khối đa diện đều “có quyền” được tồn tại nói trên xuất hiện. Cấu trúc hình thể của tất cả các vì sao, các thiên hà, hình như đều “chê” năm cái hình hài đều đặn và sắc sảo đến mức “khô cứng”, đầy vẻ giả tạo ấy. Ngay cả con người, dù có thể “đẽo tạc” dễ dàng ra chúng thì ngoài khối lập phương ra (dùng làm hộp đựng), người ta hầu như chẳng thèm tạo ra chúng và chẳng biết dùng vào việc gì.

Ấy thế mà ở khoảng giữa hai tầng vĩ mô và vi mô, có một tầng gọi là tầng “phân tử”, sự hiện diện các hình khối đa diện đều hay cân xứng, đóng vai trò là những khối mạng liên kết giữa các phân tử với nhau lại trở nên phổ biến lạ thường. Loài người sẽ không xuất hiện được nếu không hiện hữu những hình thể hình học ấy. Phải chăng Tự Nhiên đã sinh ra chúng và giành riêng cho chúng “một cõi” ấy?

Chen vào vài ý kiến có phần phản biện và vài thắc mắc ngây ngô như thế để vui vẻ chút thôi. Bây giờ, chúng ta lại quay về lý thuyết Tôpô.

Đối tượng của công thức Ơle là những khối đa diện đơn giản. Nhưng công thức ấy vẫn không mất ý nghĩa khi áp dụng cho những trường hợp tổng quát hơn nhiều, chẳng hạn là cho các “khối đa diện” đơn giản có mặt là mặt cong, có cạnh là cạnh cong… Có như thế, một phần là vì công thức Ơle chỉ đề cập đến số lượng đỉnh, mặt, cạnh của khối hình học. Ở đây, độ dài, diện tích, độ cong… cũng như các khái niệm khác của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh không có vai trò gì cả. Có thể hình dung bề mặt của một khối đa diện hoặc hình cầu được làm bằng một lớp cao su mỏng và bị làm biến dạng bằng mọi cách như uốn, nén, giãn… miễn không làm rách lớp cao su, thì công thức Ơle vẫn được bảo toàn.

Phép biến đổi tôpô mang tính tổng quát cao độ mà các phép dời hình và biến đổi xạ ảnh chỉ là những trường hợp rất đặc biệt của nó. Biến đổi tôpô từ một hình hình học A thành hình hình học A’, được định nghĩa như là một tương ứng bất kỳ giữa các điểm p của hình A và các điểm p’ của hình A’, thỏa mãn 2 điều kiện:

- Điều kiện “một - một” (đơn trị hai chiều): nghĩa là mỗi điểm p của hình A được cho tương ứng với một và chỉ một điểm p’ của hình A’ và ngược lại.

- Điều kiện “liên tục hai phía”: nghĩa là, nếu lấy hai điểm p và q của A và “di dời” p sao cho khoảng cách giữa p và q giảm dần vô hạn thì khoảng cách giữa các điểm p’ và q’ của hình A’ cũng giảm dần vô hạn, và ngược lại.

Những tính chất nào của hình A, sau khi chịu một biến đổi tôpô, vẫn còn được bảo toàn thì người ta gọi chúng là những tính chất tôpô của hình A. Chẳng hạn, bề mặt của một khối đa diện đều, sau một biến đổi tôpô, bị chịu những biến dạng như: các góc sai lệch, các cạnh bị uốn cong và độ dài thay đổi, diện tích thay đổi…, nhưng nếu số lượng các cạnh, các đỉnh… không thay đổi thì người ta gọi những tính chất vẫn còn được bảo lưu trên hình đã biến dạng ấy là những tính chất tôpô. Qua biến đổi tôpô, tam giác có thể biến dạng thành tam giác khác, cũng có khi thành một hình tròn hay elip. Vì thế các hình nói trên có những tính chất tôpô giống nhau. Thế nhưng không phải hình nào cũng thế: không thể biến dạng hình tròn thành đoạn thẳng hoặc làm biến dạng mặt cầu thành mặt xung quanh của hình trụ.

Biến đổi tôpô không chỉ có làm biến dạng. Phép biến dạng chỉ là một bộ phận của phép biến đổi tôpô.

Khi nói đến quan sát, chúng ta thường nghĩ ngay đến đôi mắt với cái nhìn trực giác. Quả thật, quan sát thực tại bằng mắt để rồi suy tư trên những điều đã thấy được, là một phương thức chủ yếu, có tính “truyền thống” (và có tính bản năng) từ xưa tới nay. Nhưng quan sát đâu phải chỉ có vậy. Lắng tai nghe rõ ràng cũng là một dạng quan sát, cảm giác bằng xúc giác cũng là quan sát. Tuy nhiên, trên nền tảng ấy, có một phương thức quan sát tối quan trọng mà nếu không có nó thì nhiều “viễn cảnh” sẽ không thể nhìn thấy được, dù tai, mắt có tinh tường tới đâu chăng nữa. Phương thức quan sát ấy được gọi là “cái nhìn của sự suy tư”. Chẳng hạn, nếu không có cái nhìn của hồi ức đi tiên phong thì dứt khoát cái nhìn bằng mắt và cả bằng tai sẽ chẳng bao giờ “thấy” được những hoạt cảnh sống động của một thời quá khứ xa vời nào đó (dù rằng chỉ là sự dàn dựng lại!), khi chưa có phát minh về phim ảnh. Đa phần những hình hình học trong hình học tôpô sau những biến đổi tôpô mạnh mẽ chỉ có thể tồn tại trong thực tại của Vũ trụ hình học (thực tại ảo). Nhưng tồn tại là một chuyện còn hiện hữu lại là chuyện khác. Chỉ bằng cái nhìn suy tưởng chăm chú trên một trình độ nhận thức nhất định, các nhà toán học mới “nhìn thấy” chúng và cố gắng minh họa ra trang giấy để cho cái nhìn bằng mắt được chiêm quan một cách khó nhọc và ít khi mà tỏ tường được. Bởi vì rằng nhiều hình tượng mà sự suy tưởng quan sát được, chỉ tồn tại thực trong một thế giới đa tạp nào đó khác với thế giới cảm giác thông thường của chúng ta, ở tầng vĩ mô, cũng như ở tầng sâu thẳm vi mô. Nói như thế đồng thời chúng ta cũng muốn nói lên ý này: Cấu trúc hình học của Vũ trụ quả thật là đa tạp và sự đa tạp ấy quả thực đã được Vũ trụ hình học phản ánh và một trong những phản ánh ấy chính là hình học tôpô. Các nhà toán học đã đi xa được biết bao nhiêu trên con đường nhận thức Tự Nhiên Tồn Tại!

Có một đề tài nảy sinh trong quá trình xây dựng nên lý thuyết tôpô và đã từng một thời nổi tiếng lẫy lừng trong giới toán học. Đề tài này về mặt trực giác có vẻ rất đơn giản, dễ chứng minh, song cho đến nay, toán học vẫn còn lấn cấn, chưa trả lời dứt khoát được. Đó là “bài toán 4 màu”.

Nội dung của Bài toán 4 màu có thể được phát biểu đơn giản như sau. Người ta dùng cách tô màu để phân biệt giữa các nước trên một tấm bản đồ với nhau, giữa đất liền và biển. Vậy phải cần đến tối thiểu là bao nhiêu màu đối với một tấm bản đồ bất kỳ vẽ trên mặt phẳng? (Bản đồ được vẽ trên một mặt cầu là trường hợp tương đương với trường hợp vẽ trên mặt phẳng).

Vấn đề của Bài toán 4 màu được Miôbiux nêu lên lần đầu tiên vào năm 1840. Tháng 10-1852, một người thợ tô màu bản đồ tên là Francis Guthrie, người Anh, đã phỏng đoán: tất cả bản đồ đều chỉ cần dùng 4 màu là đủ. Sau đó, anh trai của người thợ này đã đến hỏi thầy giáo của mình là nhà toán học nổi tiếng August de Mogan (1806-1871), cũng người Anh. Mogan đã nghiên cứu nghiêm túc vấn đề nhưng không chứng minh được mà cũng chỉ tin rằng phỏng đoán đó là đúng. Ngày 23-10-1852, Mogan viết thư cho người bạn thân là nhà toán học cũng nổi tiếng không kém tên là W. R. Halmilton, nhưng ông này cho là vấn đề đơn giản nên không quan tâm.

Ngày 13-6-1878, nhà toán học người Anh là Arthur Cayley (1821-1895) đã nêu lại vấn đề 4 màu tại Hội nghị toán học ở London và năm 1879, người ta đã trưng cầu lời giải cho bài toán 4 màu. Sau đó, A. B. Kempe đã chứng minh được mệnh đề có tính chất mấu chốt: trong một bản đồ bất kỳ, nếu số vùng n>6 thì phải có số biên giới của mỗi vùng không vượt quá 5. Cũng năm đó, ông này đã đăng bài “Tô bản đồ bằng 4 màu như thế nào?” trên Tạp chí “Tự Nhiên”, và vấn đề 4 màu xem như được giải quyết vào ngày 17-7-1879.

Thế nhưng, năm 1890, P. J. Hint (1861-1955), người Anh, đã chỉ ra những sai lầm trong chứng minh của Kempe. Hint cũng là người đã chứng minh được rằng: bất cứ bản đồ nào cũng đều có thể chỉ cần dùng tối đa là 5 màu để tô.

Năm 1922, Franklin chứng minh được nếu bản đồ có không quá 25 vùng thì có thể dùng 4 màu. Tương tự, năm 1926, Renotr chứng minh được, nếu số vùng không quá 27 thì cũng chỉ cần 4 màu để tô. Tiếp tục, năm 1938, Franklin chứng minh số vùng tối đa có thể tô 4 màu là 32, rồi đến năm 1940, Wim chứng minh số vùng tối đa là 35. Năm 1969, một người NaUy tên là O. Ore chứng minh số vùng tối đa để có thể tô được chỉ với 4 màu là 45. Năm 1975, người ta nâng số vùng lên được 52.

Nhờ máy tính, năm 1974, Kele công bố đã chứng minh được định lý 4 màu (nghĩa là bài toán 4 màu được giải quyết về mặt lý thuyết). Tháng 9-1976, ba nhà toán học dạy ở Trường đại học Ilinoi (Mỹ) là K. I. Appel, A. W. Haken và J. Kock đã xây dựng cách giải và dùng 3 máy tính có tốc độ tính toán 4 triệu phép tính trong 1 giây và tính trong 1200 giờ để giải xong bài toán 4 màu. Lúc đó, công trình này được coi như một kỳ tích chưa từng có trong lịch sử toán học và hôm tuyên bố giải được bài toán 4 màu, bưu cục của Trường đại học Ilinoi đã đóng dấu bốn chữ đầy tự hào: “Bốn màu kết thúc!” (“Four Cloro Suffice”!). Năm 1977,     F. Allairic cũng công bố kết quả của bài toán 4 màu bằng máy tính.

Dù sao thì vẫn còn nhiều nhà toán học nghi ngờ đối với cách giải bài toán 4 màu bằng máy tính và càng nghi ngờ cách giải này hơn nữa khi vào năm 1981, một nhà toán học người Mỹ tên là Smith đã kiểm tra lại 40% trình tự tính toán của nhóm ba nhà toán học của Trường đại học Ilinoi nói trên, và đã phát hiện 14 chỗ sai nhỏ 1 chỗ sai lớn. Điều này làm cho các nhà toán học mong muốn tìm được một chứng minh cho vấn đề 4 màu theo cách lý giải thông thường. Cần nói thêm rằng toán học cận đại đã đánh giá Bài toán 4 màu là một trong ba bài toán khó tiêu biểu. Hai bài toán kia, như chúng ta đã biết, là “Bài toán Gônbách” và “Bài toán Fecma”.

Thực sự là có thể giải được bài toán 4 màu theo lối thông thường không? Dù không đủ năng lực để tìm ra lời giải ấy nhưng với quan niệm triết học về Tự nhiên Tồn Tại đã “bị” tiêm nhiễm bởi NTT và cảm thức hồn nhiên của mình, chúng ta cho rằng lời giải ấy tồn tại và không những chỉ “thông thường” mà có khi còn giản dị đến bất ngờ nữa. Hơn nữa, cũng dựa hoàn toàn vào cảm thức mà chúng ta thấy hình như, lời giải “thông thường và giản dị” của bài toán 4 màu, nếu tồn tại, phải bắt đầu từ “điểm tựa” là định lý Jordan.

Kamil Jordan (1830-1922) là người đầu tiên phát biểu định lý này và nội dung của nó như sau: Một đường cong kín c (không tự cắt nó) trên mặt phẳng sẽ chia mặt phẳng ra đúng hai miền gọi là miền trong và miền ngoài. Có thể mở rộng định lý áp dụng cho một mặt cong kín trong không gian, không tự cắt nó, chia không gian thành “phía” trong và “phía” ngoài!).

Thoạt nhìn, định lý Jordan có vẻ hoàn toàn hiển nhiên. Ấy vậy mà do sự đòi hỏi phải chặt chẽ của toán học về mặt lôgíc, việc chứng minh định lý này không phải dễ dàng. Chứng minh của Jordan không hề ngắn gọn và chưa hoàn tất, cần phải điều chỉnh bổ sung nhiều nữa mới khắc phục được những thiếu sót của nó. Những chứng minh chặt chẽ đầu tiên của định lý Jordan là rất phức tạp và khó hiểu ngay cả đối với những người có trình độ toán học tốt. Những chứng minh tương đối đơn giản sau này mới được tìm ra.

(Còn tiếp) 
----------------------------------------------------------