Thứ Bảy, 31 tháng 1, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 39/a

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)
                         ĐẠI CHÚNG
--------------------------
MỤC LỤC TẬP 10, 11 VÀ 12



PHẦN IV:             BÁU VẬT



Chương I:                     Trống Đồng



Chương II:                    Ngọc Bích



Chương III:                  Kim Âu



Chương IV:                  Dị Thảo



Chương V:                   Kì Hoa



Chương VI:                  Bích Lạc



Chương VII:                 Toàn Bích


CHƯƠNG VI: BÍCH LẠC

“Một chân lý mới của khoa học thường thắng lợi không phải bằng cách những kẻ chống đối nó sẽ được thuyết phục và tuyên bố mình được dạy dỗ, mà đúng hơn bằng cách những kẻ chống đối dần dần chết hết và thế hệ mới ngay từ đầu được làm quen với nó”.
M. Planck.

“Nền văn minh của chúng ta chẳng qua là sự tích lũy của tất cả những niềm mơ ước đã được thể hiện trong thực tế qua hàng bao thế kỷ và nếu như loài người không ước mơ, quay lưng lại với sự kỳ diệu của Vũ Trụ, thì đó là dấu hiệu suy thoái của loài người”.
Clac.

Loài người chỉ có thể nhận thức được nhờ có quan sát trực giác và phải thông qua khái niệm. Lúc đầu là đặt tên gọi, “gắn nhãn mác” cho các sự vật - hiện tượng để phân biệt chúng, rồi thì phải định nghĩa chúng trên cơ sở những tính chất đặc thù nào đó của sự vật - hiện tượng mà họ quan sát thấy được để tiếp tục tìm hiểu chúng cũng như trong việc đúc kết kinh nghiệm tri thức để phổ biến và truyền thụ đời này qua đời khác. Chính cái biểu hiện nước đôi phân biệt được và không phân biệt được, vừa thế này và vừa thế kia của Thực Tại khách quan đã buộc loài người ngay từ đầu phải đặt ra những qui ước. Những qui ước ấy là sự “thỏa thuận có lý” giữa biểu hiện của khách quan và ý chí của chủ quan. Một cách tự nhiên, quá trình nhận thức của loài người sẽ làm cho hệ thống khái niệm và qui ước ngày một mở rộng và phong phú để có thể “tải” được những kiến thức mà họ đã gặt hái được. Nhờ có sự tác động trở lại của hệ thống khái niệm và qui ước đã được tăng cường đó mà đến lượt nhận thức của loài người tiếp tục phát triển lên trình độ cao hơn, sâu sắc hơn về Thực Tại khách quan. Lúc này trước mặt loài người không còn là Thực Tại khách quan “thiển cận” thuở ban đầu nữa mà là một Thực Tại khách quan ngày một rộng lớn và sâu xa hơn nhiều, không những chỉ là một Vũ Trụ thực ngày một trong sáng hơn mà còn cả một Vũ Trụ ảo đang chuyển hóa thành. Và cũng lúc này, quan sát trực giác của loài người không còn có tính đơn thuần nữa mà gồm hai bộ phận tương đối rõ ràng là quan sát trực giác thông thường và quan sát (tạm gọi là) suy tưởng. Có thể nói: quan sát suy tưởng là quan sát trực giác một Thực Tại ảo đã được hình thành nhờ nhận thức quá khứ và đã chuyển hóa thành như một Thực Tại khách quan mà quan sát trực giác thông thường khó lòng “nhìn thấy” được.
Chính nhận thức đã chắp đôi cánh thần kỳ cho quan sát ngày một bay cao, bay xa và thấy được những quang cảnh ngày một rộng lớn và thật là lạ kỳ, thậm chí là ngược đời đối với quan niệm “truyền thống” của nó. Không thể phủ nhận được quang cảnh kỳ dị đó vì nó rõ ràng là một hiện thực trước quan sát, nhưng nếu thừa nhận nó thì có nguy cơ sẽ phải xúc phạm “ghê gớm” đến tòa lâu đài kiến thức nguy nga, tráng lệ một cách kiệt tác mà nhận thức đã phải tốn biết bao nhiêu công phu mới tạo dựng nên được.
Cuối cùng thì tình hình đó cũng bắt buộc loài người phải đứng trước ba sự lựa chọn: một là lờ đi cái quang cảnh kỳ dị ở đâu đó tít xa vời để bảo tồn các định lý ngàn xưa đẹp đẽ nhưng đã lộ vẻ đơn điệu, hai là cải cách nửa vời để vẫn sử dụng tòa lâu đài cổ kính nhưng có trang hoàng thêm những sắc màu mới để “thỏa hiệp” với “hiện thực kỳ dị” vừa quan sát được, ba là phải bố trí, xây dựng lại từ nền móng, nâng các định lý cổ xưa lên tầm khái quát mới, tạo nên một công viên đủ hoa thơm cỏ lạ và đầy kỳ ảo mà tòa lâu đài cổ kính kia chỉ còn được bảo lưu như một bộ phận phục vụ của công viên và đằm thắm hoài niệm.
Thực ra, có thể lựa chọn mà cũng không thể lựa chọn. Cả lịch sử phát triển toán học lẫn lịch sử phát triển vật lý học đã chứng minh cho nhận định đó. Các nhà toán học cũng như vật lý học, trên bước đường đi khám phá bí ẩn của Tự Nhiên Tồn Tại, đã từng phải băn khoăn, trăn trở biết bao nhiêu khi “bắt gặp” những hiện tượng mới lạ, vượt tầm giải thích của nhận thức đương đại đã được “thực chứng” xác nhận như một chân lý bền vững, bất di bất dịch. Lúc đầu, chính niềm tin đã trở nên như một tín ngưỡng mù quáng vào những thành quả đạt được và cũng đã vượt qua thử thách trong quá khứ buộc họ tìm mọi cách bảo vệ chúng nhưng rồi đành phải chấp nhận thất bại. Sự thất bại lại buộc họ phải quay sang chọn phương án trung dung, nghĩa là sửa chữa, bổ sung một cách “chắp vá” để cố đạt được sự thỏa thuận giữa cái cũ và cái mới. Chưa kịp vui mừng bao lâu thì hàng loạt sự kiện lạ lùng lại xảy ra trên bước đường nghiên cứu chỉ ra sự khiên cưỡng và những thiếu sót không thể khắc phục được của sự thỏa hiệp nửa vời đó. Cuối cùng, sau những thất bại “liểng xiểng” và đứng trước nguy cơ của sự bế tắc, thì không còn một sự lựa chọn nào khác ngoài việc là phải thực hiện một cuộc cách mạng “long trời lở đất” về nhận thức Thực Tại khách quan. Như là qui luật, một trong những kết quả kỳ diệu nhất của những cuộc cách mạng khoa học chân chính là, học thuyết mới mà họ sáng tạo ra vừa mang tính kế thừa những học thuyết đã trở thành cổ điển, vừa là sự mở rộng những học thuyết ấy, và do đó, nói chung, nó không loại trừ những chân lý đã được nhân loại phát hiện trong quá khứ mà dung nạp chúng như một bộ phận đặc sắc, một trường hơp riêng của học thuyết mới. Chúng ta tin tưởng rằng quá trình nhận thức khoa học trước sau gì rồi cũng đi đến thừa nhận những quan niệm tương tự như của triết học duy tồn về Tự Nhiên Tồn Tại.
Lịch sử môn hình học chính là một trong những câu chuyện hùng hồn nhất kể về quá trình quan sát và nhận thức đầy bi tráng đó của loài người.
Có thể nói, sau thời Pitago khoảng hai thế kỷ, hình học với cấu trúc là một hệ thống chặt chẽ, với tư cách là một bộ môn chính qui có tính độc lập tương đối của toán học mới chính thức được hình thành. Công lao này thuộc về nhà toán học vĩ đại Ơclít (Euclid, 365 - 300 TCN). Trên cơ sở kế thừa, đúc kết những kiến thức hình học của các thời đại trước và đồng thời, ông đã sáng tạo ra một hệ thống lý thuyết hình học cực kỳ chặt chẽ về mặt lôgic.
Để có thể xây dựng nên hệ thống hình học đó, Ơclit đã tuân theo lẽ tự nhiên và duy nhất đúng là bắt đầu bằng việc đưa ra những qui ước sơ khai làm nền móng. Những qui ước đó chính là những định nghĩa, định đề, tiên đề và chúng đóng vai trò như những “công cụ” đầu tiên trên bước đường đi “khai thác” những chân lý hình học, đồng thời cũng đóng vai trò là những tiêu chuẩn tối thượng để xác nhận những chân lý đó. Cần phải thấy rằng những qui ước mà Ơclit đề ra không phải là một suy tư tùy tiện mà là những kết quả hun đúc được từ quan sát trực giác và nhận thức của các thế hệ những nhà thông thái trước đó và của bản thân ông. Nếu không có Ơclit thì một đứa con hay nhiều đứa con của nhân loại cũng sẽ lập nên hệ thống hình học Ơclít. Nhưng vào đúng thời điểm xa xưa đó thì chỉ có duy nhất bộ óc trác tuyệt của Ơclít làm được mà thôi. Chính vì vậy mà Ơclít trở nên vĩ đại.
Cuốn sách “cơ sở” (Elements) gồm 13 tập của Ơlít được coi là bộ giáo khoa phi thường nhất từ trước tới nay, đồng thời là một mẫu mực cho mọi chứng minh chặt chẽ trong toán học và vì thế mà nó, cũng đóng vai trò dẫn dắt sự nghiên cứu toán học trong suốt hơn 23 thế kỷ cho đến tận ngày nay. Trong cuốn sách này, lần đầu tiên, toàn bộ những hiểu biết về hình học của thời cổ đại được trình bày một cách có hệ thống và hết sức chặt chẽ về mặt lôgic. Hệ thống hình học đó minh xác đến nỗi sau này có những nhà triết học, chẳng hạn là Xpinôda, đã định ứng dụng hình thức của nó vào quá trình lập luận của họ.
Ngày nay, cách thức mà Ơclít đã chọn (một cách hoàn toàn hợp lý) để xây dựng nên hệ thống hình học của mình được gọi là “phương pháp tiên đề”. Vậy phương pháp tiên đề là gì?
Ngay từ xa xưa các nhà thông thái đã nhận thấy rằng không thể giải thích được cặn kẽ mọi sự trên đời. Chẳng hạn với câu hỏi “Con người là gì?”, có thể trả lời: “Là bộ phận của sinh vật!”. Thế thì: sinh vật là gì? Là bộ phận của vạn vật! Vạn vật là gì? Là tất cả những gì hiện hữu! Vậy, hiện hữu là gì? Là biểu hiện của tồn tại và là bộ phận của Tồn Tại! Tồn Tại là gì? Là cái Có, không sinh không diệt mà hằng cửu! Tại sao lại là Có? Tại vì… vốn dĩ thế! Vốn dĩ thế là gì? Chúng ta thấy câu hỏi cuối cùng này là không thể trả lời được vì nếu cố trả lời sẽ phải lặp lại, ví dụ như: vốn dĩ thế là tự nhiên như thế, là Tồn Tại. Do đó phải thừa nhận “vốn dĩ thế” là không thể giải thích được, và cũng buộc phải thừa nhận như một hiển nhiên. Chính nhà hiền triết Lão Tử cũng đã “vấp” phải vấn đề này và cuối cùng đành phải “tạm gọi là Đạo vậy”.
Tình trạng đó cũng tồn tại trong nhận thức khoa học. Các nhà thông thái cổ Hi Lạp đã biết rõ là không thể chứng minh được gì cả nếu muốn chứng minh tất cả. Chứng minh một định lý trong một hệ thống suy diễn nào đó, tức là xác nhận rằng định lý đó là hệ quả lôgic tất yếu của những định lý đã được chứng minh trên cơ sở những mệnh đề đã được chứng minh trước đó nữa… Cứ thế quá trình lập luận toán học này sẽ dẫn đến những mệnh đề đầu tiên không thể chứng minh được nhưng được kinh nghiệm rút ra từ quan sát trực quan, từ chiêm nghiệm, cảm giác của loài người trong một hay nhiều thời đại liên tiếp nhau, thừa nhận như là những sự thực hiển nhiên, phù hợp với thực tại khách quan. Những mệnh đề đầu tiên này (được xây dựng trên cơ sở các khái niệm có tính khởi thủy, được định nghĩa hoặc không được định nghĩa) bao gồm, như Ơclít gọi, những “định đề” và những “tiên đề”, mà sau này người ta gọi chung lại là “hệ tiên đề”.
Henri Poancarê (Henri Poincaré, 1854-1912), một nhà toán học có tiếng tăm, đã viết: “Trong lôgic, nếu không xuất phát từ một cái gì đó thì không thể chứng minh được một cái gì cả, trong mỗi một chứng minh, điều kết luận được rút ra từ những điều đã biết. Do đó, các nhà toán học phải dựa trên một số lượng nhất định các luận điểm không thể nào chứng minh được. Có thể đặt tên cho các luận điểm đó là các tiên đề, các giả thiết hoặc là các định đề… Song sự tồn tại của chúng là hiển nhiên”.
Chữ “tiên đề” (axiome) có nguồn gốc từ tiếng Hi Lạp, có nghĩa là “xứng đáng”, tức là xứng đáng được tin cậy. Còn “định đề” (postulat) có nghĩa là “điều buộc phải thỏa mãn”. Nói chung thì tiên đề hay định đề là những mệnh đề mà tính đúng đắn của chúng được cho là hiển nhiên, phải thừa nhận và không thể chứng minh. Tuy nhiên, Ơclít gọi những mệnh đề như vậy, có nội dung hình học, là định đề, còn tiên đề thì có các nội dung về mặt suy luận.
Nếu một hệ thống lý thuyết khoa học có một cấu trúc lôgic như đã nói ở trên, nghĩa là mỗi mệnh đề của nó đều được chứng minh dựa vào những mệnh đề khác đã được chứng minh và hệ tiên đề là cơ sở, nền tảng cuối cùng của tất cả những chứng minh đó, thì sự biểu hiện của nó là có “hình thức tiên đề”, hay còn gọi là “tiên đề hóa”. Và cách thức xây dựng nên một hệ thống lý thuyết khoa học như vậy gọi là “phương pháp tiên đề”.
Tiêu chuẩn để đánh giá tính đúng đắn của một hệ tiên đề là nó phải tương thích (phi mâu thuẫn), đầy đủ và độc lập. Tính phi mâu thuẫn có nghĩa là từ hệ tiên đề không thể suy ra hai mệnh đề mâu thuẫn nhau. Tính đầy đủ có nghĩa là mọi mệnh đề đúng trong lĩnh vực đang xét phải suy ra được từ hệ tiên đề. Tính độc lập có nghĩa là không thể có tiên đề nào là hệ quả lôgic của những tiên đề còn lại. Sau đây là một số định nghĩa tiêu biểu (trong số 23 định nghĩa), các định đề và tiên đề của hình học Ơclít:
I, Các định nghĩa:
1- Điểm là cái không có bộ phận
2- Đường là cái có chiều dài, không có chiều rộng
3- Các đầu mút của đường là những điểm
4- Đường thẳng là đường có sự phân bố giống nhau đối với tất cả các điểm nằm trên nó.
5- Mặt là cái chỉ có chiều dài và chiều rộng
6- Các biên của một mặt là những đường
7- Mặt phẳng là mặt có sự phân bố giống nhau đối với tất cả các đường thẳng nằm trên nó.
… … …
II, Các định đề:
1- Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác có thể vẽ được một đường thẳng.
2- Một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn.
3- Từ một điểm bất kỳ làm tâm với một bán kính tùy ý có thể vẽ một đường tròn.
4- Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.
5- Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo nên những góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông (180o), thì hai đường thẳng này kéo dài sẽ cắt nhau ở phía mà hai góc trong có tổng nhỏ hơn hai góc vuông đó.
III, Các tiên đề:
1- Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2- Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3- Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4- Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.
5- Toàn thể lớn hơn một phần.
Điều dễ dàng thấy được là bằng những định nghĩa liên quan đến điểm, đường, mặt,…, Ơclít đã trừu tượng hóa các khái niệm về không gian vật lý trên cơ sở các tiên đề, định đề mà xây dựng nên các định lý trong quá trình khảo sát cái không gian ít nhiều đã “thoát ly” thực tại mà con người thời cổ đại nghĩ rằng đó là không gian duy nhất. Theo quan niệm về Tồn Tại của triết học duy tồn (mà chưa cần nói đến quan niệm về một không gian đa tạp của nó) thì những định nghĩa đó là không chuẩn xác hoặc phải hiểu ngầm rằng nội tại của điểm, bề rộng của đường, độ dày của mặt là không đáng kể và có thể bỏ qua so với những biểu hiện “còn lại” của chúng. Như thế sự hiểu ngầm lại dẫn đến một gợi ý rằng sự mô tả không gian của hình học Ơclít có thể chỉ đúng trong một tầng nấc qui mô tương đối lớn nào đó của không gian thôi, và sẽ không còn đúng nữa ở tầng nấc qui mô mà nội tại của điểm không gian là không thể bỏ qua được. Chẳng hạn chúng ta có thể lập luận rằng một tờ giấy trắng để trên mặt bàn là tập hợp của vô số các phần tử giấy. Phần tử giấy là những đơn vị nhỏ nhất của tờ giấy còn được gọi là “giấy” và chúng ta gọi chúng là các điểm nhỏ tuyệt đối của tờ giấy. Vì các điểm đó là quá nhỏ, vượt tầm quan sát thông thường của con người nên không thể phân biệt được và như thế, bề mặt tờ giấy được thấy như một mặt phẳng màu trắng tĩnh tại một cách “hiền dịu”. Bản thân mặt phẳng này và việc có thể dễ dàng thực hiện làm xuất hiện điểm, đường, mặt bất kỳ nào trên nó đã “gợi ý” làm hình thành nên hệ thống các định nghĩa và tiên đề Ơclít và cũng đồng thời là những “thực chứng” không thể chối cãi được trước quan sát và sự cảm nhận trực giác về sự có lý hiển nhiên không chê vào đâu được của hệ thống các định nghĩa và tiên đề này. Có thể qua thí dụ này mà nói một cách vững tin rằng hình học Ơclít, dù đã phải trừu tượng hóa vài khái niệm cơ bản nhất, có tính khởi thủy như đã nói, thì nó vẫn mô tả đúng đắn và được cho là chính xác cái không gian thực tại có phạm vi mà con người còn nhận biết được bằng trực giác thông thường.
Điều đó giải thích vì sao mà hình học Ơclít đóng vai trò như một hệ thống lý thuyết mẫu mực có tính giáo khoa để truyền thụ kiến thức hình học xuyên suốt hàng ngàn năm đến tận ngày nay và chắc rằng trong tương lai, với những bổ sung cần thiết cho hoàn chỉnh hơn và phù hợp hơn với trình độ nhận thức khoa học của thời đại mới, nó vẫn là bộ phận kiến thức nhập môn, cơ sở cho quá trình dạy và học hình học. Dù về sau, đã có những phát hiện vài điểm trục trặc và thiếu sót trong hệ tiên đề của nó, thì hình học Ơclít vẫn là thành quả rực rỡ mang tính kỳ quan của loài người trong công cuộc nhận thức Tự Nhiên cũng như trong ứng dụng thực tiễn.
Tuy vậy, cần phải nhấn mạnh rằng, nếu quan sát được ở một tầng nấc vi mô mà các phần tử giấy trở nên hiện hữu, thì tính chất không gian “ở đó” có thể sẽ rất khác với kinh nghiệm cảm giác của con người. Chẳng hạn, do kiểu liên kết mạng của các phần tử giấy cũng như tính “biến động” của chúng mà bề mặt tờ giấy không còn có thể “phẳng” và “tĩnh” được nữa và như thế, nếu cố tình qui ước theo Ơclít thì sẽ không phù hợp với thực tại khách quan đó, hoặc chẳng hạn, không thể phát biểu được rằng, giữa hai điểm bất kỳ cho trước có thể “kẻ” được một đoạn thẳng, vì giữa chúng biết đâu không bao giờ tồn tại một tập hợp điểm được sắp xếp như vậy!…
Dưới một góc độ khác, chúng ta có thể thấy được trong lịch sử toán học vẫn còn nguyên những bằng chứng cho biết rằng hệ tiên đề Ơclít, ngay từ buổi đầu xuất hiện đã không có một ngày được “yên ổn”. Các nhà toán học đã luôn “soi mói”, khảo cứu nó suốt hơn hai ngàn năm và đã dần dần thấy được những khiếm khuyết và bất ổn của nó. Chẳng hạn, vào cuối thế kỷ XIX, họ đã phát hiện hệ tiên đề này thiếu hẳn tiên đề nói về tính liên tục. Vì thế mà không thể chứng minh được một đường thẳng đi qua tâm của một đường tròn thì cắt đường tròn tại hai điểm (hay tương tự, không chứng minh được một đường thẳng cắt một cạnh của tam giác tại một điểm không phải là đỉnh thì nó sẽ còn cắt một cạnh nữa của tam giác đó). Ơclít đã sử dụng kết quả đó như một điều hiển nhiên.
Vượt lên trên mọi khúc mắc của hệ tiên đề Ơclít đã từng được các nhà toán học nêu ra và tìm cách giải quyết, khắc phục ngay từ rất sớm là vấn đề đối với định đề thứ năm. Có thể nói vấn đề định đề 5 là cực kỳ tế nhị, cực kỳ hóc búa đối với rất nhiều thế hệ các nhà hình học. Chính quá trình đi công phá bí ẩn của định đề 5 đã dẫn đến một cuộc cách mạng vô tiền khoáng hậu làm hình thành nên hệ thống hình học hiện đại mà hệ thống hình học Ơclít chỉ còn là trường hợp riêng của nó.
Hình như ngay bản thân Ơclít cũng rất lưỡng lự khi đưa mệnh đề 5 vào hệ thống các tiên đề của ông. Có thể lúc đầu, Ơclít đã coi mệnh đề 5 chỉ là một định lý. Song trải qua một thời gian dài tìm mọi cách để chứng minh nó và đều dẫn đến thất bại nên ông bắt buộc phải chấp nhận nó là một trong số các định đề hình học. Bởi vì chúng ta thấy Ơclít đã có một biểu hiện phân xử khá lạ với định đề 5. Trước tiên, ông chỉ xét các định lý có thể chứng minh được không cần đến định đề 5. Phần này ngày nay được gọi là hình học tuyệt đối. Sau đó, ông trình bày đến các định lý mà việc chứng minh được chúng là nhờ có định đề 5. Phần này được gọi là hình học riêng của Ơclít.
Trong khi bốn định đề kia đều ngắn gọn, xúc tích và rõ ràng thì định đề 5 được phát biểu có phần dài dòng, lủng củng, gây ra sự ngờ vực về tính hiển nhiên đúng của nó. Hơn nữa, chính định đề 2 (một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn) đã làm cho định đề 5 không thể kiểm tra được bằng thực nghiệm hay còn có thể nói không thể thực chứng được bằng quan sát trực giác. Điều đó càng làm tăng sự cảnh giác của các nhà toán học. Proclus (410 - 485), một triết gia, nhà toán học và sử học người Hy Lạp đã viết: “Điểm này cần phải loại trừ ra khỏi các định đề, bởi vì đó là một mệnh đề còn có nhiều điều đáng hoài nghi. Nhưng có một số người với những quan điểm sai lầm vẫn nghĩ rằng cần phải coi nó là một định đề thực sự, bản thân nó làm người ta tin như vậy… Tất nhiên, hoàn toàn cần thiết phải thấy rằng các đường thẳng sẽ nghiêng dần vào nhau nếu như các góc vuông được thay bằng các góc nhọn. Nhưng nếu khẳng định rằng những đường thẳng nghiêng đó sẽ gặp nhau thì chưa chắc chắn, mà chỉ là điều có thể thôi, cho đến khi nào nó vẫn chưa được chứng minh một cách chặt chẽ. Vì rằng có vô số những đường nghiêng mà không bao giờ gặp nhau. Còn đối với những đường thẳng mà không có những tính chất như ở những đoạn thẳng khác thì sao?”
Lịch sử còn ghi lại, người đầu tiên bàn về định đề 5 là Ptolêmy I, vị vua của Vương quốc La Mã đầu tiên. Trong một cuốn sách, ông vua này đã tìm cách chứng minh định đề 5 dựa trên bốn định đề kia. Sau này, Proclus đã chỉ ra một cách xác đáng rằng chứng minh của Ptolemy I thực ra đã sử dụng một giả định khác tương đương với định đề 5, cụ thể là: qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, chỉ có thể kẻ được một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho (có nghĩa là chứng minh của Ptolemy I đã sai vì dựa vào một dạng khác của định đề 5 để chứng minh nó). Tuy nhiên đến lượt chứng minh của Proclus cũng sai.
Sau khi nền khoa học Hy Lạp cổ đại đã suy tàn, đồng thời châu Âu đang chìm đắm trong “đêm trường” Trung cổ, thì khoa học Ả Rập nở rộ. Bộ “Cơ sở” của Ơclít được nghiên cứu rộng rãi trong thế giới Ả Rập, dẫn tới những cuộc thảo luận sôi nổi về nội dung của nó, trong đó có tiên đề 5.
Nasir Eddin Al-Tusi (còn gọi là Nasiraddin, 1201-1274) là một nhà thiên văn, nhà toán học tài năng nổi trội và là cháu của Thành Cát Tư Hãn, đã biên soạn một dị bản các công trình của Ơclít bằng tiếng Ả Rập và một luận đề về các tiên đề Ơclít. Giống như các nhà toán học cổ điển tiền bối cũng như hai nhà toán học Ả Rập trước ông, ông cũng nghi ngờ định đề 5. Nasiraddin là nhà toán học đầu tiên nhận thấy tầm quan trọng của một định đề khác, tương đương với định đề 5, đó là: Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180o (hai vuông). Ông này cũng cố gắng chứng minh định đề 5 chỉ là hệ quả của bốn định đề còn lại nhưng cũng thất bại.
Trong những năm đầu tiên của thế kỷ XII, một nhà chu du người Anh tên là Adelhard of Bath (1075-1160) đã thực hiện một cuộc hành trình từ Tiểu Á đến Ai Cập và Bắc Phi. Ông học tiếng Ả Rập trên đường đi rồi sau đó cải trang như một người theo học đạo Hồi, vượt qua eo biển Gibralta đến Tây Ban Nha. Vào khoảng năm 1120, khi ông tới Cordava thì nhận được một bản sao cuốn “Cơ sở” bằng tiếng Ả Rập. Ông bí mật dịch nó sang tiếng Latinh và lén mang bản dịch đó qua dãy Pyrenees để vào châu Âu Thiên Chúa giáo. Từ đây bản dịch được sao chép, truyền tay đến các học giả, trí thức và chỉ đến lúc này, người châu Âu mới biết đến những nguyên lý nền tảng mà người Hy Lạp đã sáng tạo ra từ một thiên niên kỷ rưỡi trước đó. Khi kỹ thuật ấn loát ra đời, cuốn “Cơ sở” là một trong những cuốn sách đầu tiên được in dưới dạng chữ rập khuôn. Cuốn “Cơ sở” với hình thức là bản dịch ra tiếng Latinh từ tiếng Ả Rập này được công bố ở Venice vào năm 1482. Mãi tới năm 1505, cũng tại Venice, mới công bố một dị bản của cuốn “Cơ sở” được dịch từ văn bản Hi Lạp, do Theon thành Alexandria ghi chép từ thế kỷ IV.
Nền khoa học Ả Rập sau thời kỳ nở rộ thì bắt đầu có dấu hiệu chựng lại và tụt dốc. Lúc này châu Âu Trung cổ bắt đầu cựa mình thức giấc. Có thể bình minh của nền văn hóa Phục Hưng hé rạng đầu tiên ở nước Ý rồi hừng lên lan tỏa khắp châu Âu, báo hiệu và đồng thời cũng tạo tiền đề cho một thời kỳ phát triển khoa học - kỹ thuật phi thường nhất của nhân loại từ xưa cho đến tận ngày nay mà các nhà khoa học châu Âu chính là những người dương cao ngọn cờ đi tiên phong.
Năm 1663, John Wallis (1616-1703) ở trường Đại học Oxford đã đưa ra một chứng minh cho định đề 5 nhưng chứng minh của ông cũng phạm sai lầm. Đặc biệt, vào năm 1733, một quyển sách viết bằng chữ Latinh có tựa đề “Loại bỏ mọi thiếu sót trong hình học Ơclít” được xuất bản ở Milan. Tác giả của cuốn sách là một thầy tu dòng Jesuit tên là Girolamo Saccheri (1667-1733). Ông mất vào đúng năm cuốn sách được công bố.
Cuốn sách của Saccheri ẩn chứa một đột phá về tư duy nhận thức hình học nhưng tiếc thay thời đó chưa ai lĩnh hội được nên bị chìm khuất trong sự thờ ơ, quên lãng của người đời đến hơn một trăm năm sau, tức là vào năm 1889, nó mới được tình cờ phát hiện lại.
Trong cuốn sách đó, Saccheri đã cố gắng thực hiện việc chứng minh định đề 5. Ông đã quyết định lựa chọn phương pháp phản chứng (reducbio ad absurdum), phương pháp mà xưa kia chính Ơclít đã từng sử dụng, để chứng minh, nghĩa là bằng con đường gián tiếp với một giả thiết đối lập ban đầu rồi từ đó suy ra những hệ quả vô lý. Để làm điều đó, Saccheri giả sử định đề 5 không phải là kết quả của bốn định đề còn lại mà là một định đề sai và hy vọng tìm thấy mâu thuẫn. Nhưng thật bất ngờ, ông chẳng tìm thấy mâu thuẫn nào cả, mà ngược lại đã thu được một kết quả khác thường: có thể có hơn một đường thẳng đi qua một điểm cho trước song song với đường thẳng đã cho. Từ kết quả đó, ông đi đến ba kết luận khả dĩ được phát biểu tương đương với định đề 5 về tổng các góc trong một tam giác và đều phù hợp với bốn định đề còn lại của Ơclít, đó là:
1-Tổng ba góc trong của một tam giác bằng 180o.
2-Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o.
3-Tổng ba góc trong của một tam giác lớn hơn 180o.
Rõ ràng, ba phát biểu này đóng vai trò như ba định đề nói khác hẳn nhau về cùng một vấn đề và có thể thiết lập được ba hệ thống hình học trên cơ sở bốn định đề kia và một trong ba định đề đóng vai trò là định đề 5 nêu trên. Trong ba hệ thống đó có một hệ thống là hình học Ơclít “chính hiệu”, hai hệ thống còn lại có thể được cho là giả định. Saccheri cũng thu được một số kết quả quan trọng bên trong những hệ thống giả định này. Tuy nhiên, ông đã không thể ngờ rằng đó chính là những khám phá có tính nhảy vọt đối với hình học, và cũng không hề hay biết rằng việc chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản chứng mà ông tưởng là đã thất bại ấy lại hoàn toàn đúng vì những hệ thống hình học giả định đều hoàn toàn hợp lý về mặt lôgic toán học, không có mâu thuẫn nội tại. Có thể nói rằng Saccheri, bằng chứng minh của mình, đã là người đầu tiên làm hé lộ ra một chân trời bao la đến choáng ngợp và đầy sán lạn của Vũ trụ hình học.
Nhưng tại sao Saccheri lại không thể chấp nhận được cái kết quả hoàn toàn phi mâu thuẫn ấy? Phải chăng vì ông sống chưa đủ lâu? Chúng ta cho rằng chỉ có một câu trả lời xác đáng nhất, đó là trình độ “giác ngộ” ở thời đại đó chưa thoát khỏi những “xiềng xích” của những quan niệm truyền thống đã trở nên “hạn hẹp”, cho nên cũng chưa đạt đến độ chín muồi để sẵn sàng lĩnh hội được những phát biểu đột phá, khác thường, thậm chí là không sao tưởng tượng nổi? Vào thời đó, bất cứ một không gian hình học nào có tính chất không phù hợp với hình học Ơclít đều không thể tưởng tượng được và do đó mà trở thành một sự vô lý tất nhiên. Đến Kant, một nhà triết học có uy tín nhất thời bấy giờ, người trước đây chúng ta đã từng kể về ông, mà còn khẳng định rằng các tiên đề Ơclít không có gì khác là các hình thức tất yếu của tư duy con người và điều đó đã giải thích ý nghĩa khách quan của chúng đối với không gian “có thực”. Một trong những biểu hiện giáo điều của triết học Kant là ở chỗ ông tin vào các tiên đề Ơclít như là những chân lý bất di bất dịch, tồn tại trong phạm vi trực giác thuần túy.
Phải đợi tới thời đại xuất hiện hai nhân vật đặc biệt là J. Bôia và N. Lôbasepxki thì những đột phá của Saccheri mới được lặp lại, làm sâu sắc thêm và sau đó nữa mới được thừa nhận rộng rãi rằng trong Vũ trụ hình học, bên cạnh hệ thống hình học Ơclít còn tồn tại những hệ thống hình học khác nữa, gọi chung là "phi Ơclít".
¯¯¯
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước chỉ có thể vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Đó là cách phát biểu của nhà toán học Scôtlen tên là John Playfair (1748-1819) về định đề 5 (mà người đầu tiên nêu ra là Ptolemy I). Cách phát biểu này sau đó trở nên phổ biến và định đề 5 cũng thường được gọi là “tiên đề về đường song song”.
Vào cuối thế kỷ XVIII, một nhà toán học Đức tên là Cliugen, trong luận án tiến sĩ: “Tổng quan về những ý đồ chứng minh định lý về đường song song” của mình tại trường Đại học tổng hợp Gottinghen danh tiếng, đã viết:
“Mọi khoa học đều chứa đựng trong lòng nó những điều bí ẩn. Không có gì đáng ngạc nhiên cả khi trí tuệ của chúng ta nằm trong một giới hạn nhất định và vì thế, chưa thể khám phá được nguồn gốc và nguyên nhân của hàng bao nhiêu hiện tượng.
… Trong hình học, những điều có thể chứng minh được mà không cần đến định lý về các đường song song không nhiều lắm, nhưng những điều có thể sử dụng để chứng minh cho cái định lý đó còn ít hơn nữa. Do đó, nếu như không có sự hiểu biết rõ ràng về các đường thẳng và các đường cong thì chúng ta không thể nào chứng minh được điều đó dựa trên cơ sở định nghĩa chung. Với những điều kiện như vậy, không nên đổ lỗi cho môn hình học nếu như nó có đưa vào trong các cơ sở của nó một giả thiết mà tính hiển nhiên của giả thiết ấy lại không được xác lập bằng một lập luận rõ ràng, mà chỉ bằng sự nhận biết trực tiếp nhờ những khái niệm trực quan của chúng ta về các đường thẳng. Định đề 5 của Ơclít là như vậy đấy”.
Sau khi nghiên cứu gần 30 phương pháp chứng minh định đề 5 mà Chingen cho là khá nhất mà vẫn dẫn tới thất bại, ông kết luận: “Như vậy, nếu nhìn bao quát tất cả các ý đồ, thì rõ ràng việc Ơclít liệt cái giả thiết đó vào danh sách các tiên đề là hoàn toàn đúng”.
Thời còn là sinh viên khoa toán của trường Đại học Gottinghen, K. Gauxơ và F. Bôia (1775-1856) đã kết thành bạn thân với nhau. Cả hai người đều dành nhiều thời gian để thử chứng minh định đề 5 của Ơclít. Năm 1804, F. Bôia nghĩ rằng ông đã tìm ra một chứng minh và viết nó thành một bản thảo ngắn, gửi cho K. Gauxơ, bạn học cũ của mình. Tuy nhiên Gauxơ đã nhanh chóng tìm ra sai lầm trong chứng minh này. Không chịu khuất phục, F. Bôia tiếp tục những nỗ lực không mệt mỏi và vài năm sau lại gửi cho Gauxơ một chứng minh khác. Chứng minh này cũng phạm sai lầm nốt.
Ngày 15-12-1802, con trai của F. Bôia chào đời, đó là J. Bôia (Janos Bolyai, 1802-1860). Đầy phấn khởi, F. Bôia viết thư cho Gauxơ: “May thay, đây là một đứa bé khỏe mạnh và rất xinh xắn, với mái tóc và hàng lông mày đen nhánh, đôi mắt lanh lợi, xanh biếc như hai viên ngọc”.
J. Bôia lớn lên và được bố dạy toán từ rất sớm. Cũng rất sớm, J. Bôia đã bắt đầu làm quen với những khái niệm trừu tượng của toán học. F. Bôia viết thư khoe với Gauxơ: “Mới 5 tuổi, con tôi đã thuộc một cách dễ dàng các dạng hình học và biết phân biệt các chòm sao của thế giới thiên hà”.
Dần dà, J. Bôia nhận ra mối bận tâm sâu sắc của người bố về định đề 5 và sự khao khát chứng minh định đề ấy của người bố đã truyền sang người con. Khi J. Bôia bước sang tuổi 16 và đã học xong trung học, thì F. Bôia viết thư cho Gauxơ, người bạn thâm niên, lúc này đã là chủ nhiệm khoa toán - thiên văn của trường Đại học tổng hợp Gottinghen, để gửi gắm, nhờ đào tạo và bồi dưỡng cho con mình. Trong thư, ông thổ lộ nỗi lo con mình khi lần đầu tiên ra sống ở thành phố lớn mà không có người đỡ đầu. Tuy nhiên ông cũng nói rõ rằng mọi phí tổn cho J. Bôia trong thời gian ở nhà Gauxơ, ông nhận sẽ trả lại hoàn toàn. “Thời gian và sức lực cửa Janôs sẽ không bị hoài phí, tài năng và nhiệt tình say sưa của nó đối với toán học sẽ là sự đảm bảo cho điều đó”, đó là nguyên văn câu F. Bôia viết cho Gauxơ.
Thời gian lần lượt trôi đi hết tháng này sang tháng khác mà không thấy bức thư hồi âm của Gauxơ. Sau một năm khắc khoải thì cha con nhà Bôia hiểu rằng chờ đợi nữa cũng chỉ là vô vọng.
Biết rằng Gauxơ đã từ chối giúp đỡ, F. Bôia quyết định cho con mình một hướng khác. Năm 1817, J. Bôia thi đậu vào Học viện kỹ thuật hoàng gia ở Viên - thủ đô nước Áo. Để có thể cho con mình được học ở đó, phải cần có một số tiền gấp trăm lần tài sản của gia đình mình, nhưng vì tình yêu và hy vọng đối với người con, F. Bôia đã quyết định như vậy. Ông đã phải gõ cửa khắp các nhà giàu trong vùng để cậy nhờ sự giúp đỡ. Trong giới quý phái lúc bấy giờ thịnh hành một cái mốt là nhận trả tiền học cho những thanh niên học giỏi nhưng vì nghèo mà không thể tiếp tục con đường học vấn của mình. Sau khi tốt nghiệp những thanh niên này phải ở lại phục vụ cho nhà nước hoặc làm việc trong những gia đình đã đỡ đầu cho họ. Chính J. Bôia sau khi tốt nghiệp, đã buộc phải phục vụ nhiều năm trong quân đội là vì thế. Sau này J. Bôia có lần thổ lộ: “Sở dĩ bố tôi cho tôi đi học được là nhờ có tiền của một số nhà đại quý tộc. Số tiền này thật ra đối với họ chẳng đáng là bao, hàng ngàn lần ít hơn so với số tiền mà họ có thể phóng tay tiêu phí cho những canh bạc hoặc cho những sự xa hoa đài các của họ”.
Thế nhưng Học viện kỹ thuật hoàng gia Viên đã cung cấp cho J. Bôia một số kiến thức về toán rất hạn chế. Khoảng 40 năm sau, vào năm 1856, khi người bố thân yêu của mình qua đời, J. Bôia có tâm sự: “Với cái năng khiếu mà tôi thấy được ở mình, giá như bố cứ để tôi ở nhà và đích thân hướng dẫn thì sẽ tốt hơn bao nhiêu. Dù bất cứ trường hợp nào, nếu như tôi được may mắn có một đứa con như vậy, tôi nhất thiết không để nó đi đâu”.
Tại Viên, J. Bôia đã cống hiến rất nhiều thời gian theo đuổi niềm say đắm của bố mình truyền sang là chứng minh định đề 5. Thời gian đầu, khi chưa biết con mình đang chìm đắm trong vấn đề đó nên F. Bôia luôn động viên và tìm mọi cách khuyến khích lòng ham mê toán học của J. Bôia. Ông viết thư cho con: “Bố ngày càng tin tưởng rằng con có thể trở thành nhà toán học vĩ đại nếu biết đạt tới sự hoàn mỹ bằng sức lao động lâu dài và không mệt mỏi”. Nhưng đến khi biết được con trai mình đã bị thu hút bởi lý thuyết các đường song song thì ông tỏ ra hoảng sợ, liên tiếp gửi những bức thư khuyên can đến Viên. Một trong những bức thư đó có đoạn viết:
“Con không nên bỏ sức đi vào lý thuyết các đường song song. Bố đã biết cái con đường đó và đã đi qua đến tận cùng. Bố đã trải qua cái đêm dài vô tận đó và tất cả hy vọng, tất cả niềm tin của cuộc đời bố đã bị chôn vùi ở đó. Bố khẩn thiết yêu cầu con hãy gác lại cái lý thuyết về các đường song song sang một bên. Con nên khiếp sợ như là khiếp sợ sự ngu muội. Nó sẽ cướp hết sinh lực, sự yên tĩnh và thanh thản của con. Cái bóng tối dày đặc và sâu thẳm đó có thể làm mất hút hàng ngàn thiên tài như Niutơn…
Hãy học lấy bài học của bố: vì muốn đạt được lý thuyết các đường song song mà cuối cùng bố trở nên vô danh…”
Nhưng những lời khuyên can của người bố đã không ngăn cản được ý chí và niềm đam mê chứng minh định đề 5 của người con. J. Bôia vẫn cuồng nhiệt lao vào nghiên cứu điều bí ẩn lớn nhất của hình học Ơclít mà bố mình đã từng phải chịu thảm bại và thất vọng ê chề; mà ngay cả “Ông hoàng toán học” Gauxơ cũng phải bó tay.
Sau khi tốt nghiệp, mùa thu năm 1823, thiếu úy J. Bôia lên đường phục vụ tại một nơi đồn trú gần Chemexva. Tháng 11 năm 1823, J. Bôia viết thư về cho bố:
“Bố rất tốt và yêu quý của con! Con thấy cần phải kể nhiều về một khám phá mới của con… Hiện tại, con có một quyết tâm sắt đá trong việc xuất bản công trình về các đường song song… Dù chưa đến được mục tiêu nhưng con đã phát hiện được những điều rất trứ danh, đến nỗi bản thân con cũng vô cùng ngạc nhiên. Con sẽ ân hận suốt đời nếu như những khám phá này bị mất đi. Bố yêu quý của con, khi nào thấy công trình của con, bố nhất định phải công nhận nó… Tất cả những bản thảo mà con đã gửi cho bố từ trước tới giờ so với những cái này chẳng khác nào một ngôi nhà bằng các-tông đặt bên cạnh một cái tháp bằng đá…”
Nhiều sự kiện dẫn đến nhận định rằng ngay từ năm 1820, sự nghiền ngẫm suy tư của J. Bôia về lý thuyết các đường song song đã có một bước ngoặt lớn lao. Lấy tiên đề về đường song song làm xuất phát điểm, J. Bôia cũng áp dụng phương pháp phản chứng, đưa ra giả thiết rằng tiên đề này sai, nghĩa là phải xảy ra 2 trường hợp giả định, hoặc không có đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho, hoặc có nhiều hơn một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho (tại một điểm bên ngoài đường thẳng đó). Định đề 1 của Ơclít ngụ ý rằng qua một điểm bất kỳ có vô vàn đường thẳng đi qua nó. Do đó mà nếu điểm đó nằm ngoài một đường thẳng cho trước thì phải tìm được ít nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Điều này dẫn đến phải loại bỏ trường hợp giả định thứ nhất, chỉ còn trường hợp giả định thứ hai là một biến đổi khả dĩ đối với định đề 5. Hơn nữa, nếu qua một điểm bất kỳ không nằm trên một đường thẳng cho trước mà có ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho thì cũng sẽ có vô số đường thẳng như thế.
Rốt cuộc thì J. Bôia cũng đã đến được bến bờ mà Saccheri đã từng đến. Tuy nhiên sự khác biệt giữa hai người là trong khi Saccheri đành chịu bất lực vì chưa đủ sức vượt qua cái đại dương định kiến thời đại mình thì J. Bôia, do sự hối thúc của tình thế thời đại đã có nhiều biến đổi về định kiến trong ngót nghét 100 năm kể từ thời Saccheri, mà đã mạnh dạn làm một cuộc bứt phá để đến bờ bến mới. Có thể nói, sau ngót 100 năm với biết bao nhiêu những bàn luận sâu sắc, với biết bao nhiêu những ý tưởng táo bạo chợt lóe lên rồi tắt của nhiều nhà toán học về định đề 5, đã làm hình thành nên vào thời J. Bôia một hiệu ứng bức xúc cao độ và đang chín muồi, kích thích một bước nhảy vọt về tư duy nhận thức hình học nói riêng và khoa học nói chung. Nhờ có tài năng toán học nổi trội mà J. Bôia đã là một trong hai người được định mệnh chọn để thực hiện nhiệm vụ giải quyết ổn thỏa vấn đế của định đề 5, đồng thời qua đó mà tạo tiền đề cho một cuộc cách mạng vũ bão trong hình học.
Chứng minh bằng phản chứng mở ra trước mắt Saccheri một sai lạc dị thường thì lại mở ra trước mắt J. Bôia một cảnh sắc không gian kỳ diệu mà như chính J. Bôia đã gọi là “một khoa học tuyệt đối về không gian”, trong đó hình học Ơclít chỉ còn là một trường hợp đặc biệt. Năm 1823, J. Bôia đã gửi cho bố mình bức thư, trong đó có câu: “Con đã sáng tạo ra một vũ trụ mới, kỳ lạ từ con số 0”.
Có thể rằng sự dâng hiến hết những năm tháng của tuổi thanh xuân cho việc chứng minh tiên đề về các đường song song để rồi phải chuốc lấy những thất bại đắng cay đã làm F. Bôia không mấy tin vào những thông báo “đao to búa lớn” có vẻ cường điệu của con trai mình. Dù không mặn mà lắm tới những điều mà J. Bôia đã giãi bày có liên quan tới tiên đề song song, nhưng F. Bôia cũng biểu hiện sự ủng hộ bằng lời hứa sẽ cho công bố công trình khai phá của con mình khi nó được hoàn tất, dưới dạng một phụ lục trong cuốn sách có tựa đề “Tentamen” (Kinh nghiệm) mà ông đã soạn thảo trong suốt 20 năm và chuẩn bị xuất bản trong nay mai (thực tế, cuốn sách được xuất bản vào năm 1832).
Sự ủng hộ biểu lộ một cách không nhiệt thành và thiếu hẳn những động viên, khích lệ đó của F. Bôia là trái ngược với ý kiến chí lý mà ông đã từng bộc bạch ra để khuyên người con trai của mình:
“… Nếu thực sự con đã chứng minh thành công được điều gì đó, thì vấn đề quan trọng là phải kịp thời công bố. Bởi vì, thứ nhất là các ý đồ rất dễ truyền đạt từ người này sang người khác và có thể có ai đó sẽ công bố về chúng trước trên báo chí; thứ hai là có một số cái đã là mối bận tâm phổ biến, có tính thời sự, và việc chứng minh được chúng chỉ còn là vấn đề thời gian, cho nên nếu kết quả đó xuất hiện thì có thể sẽ xuất hiện cùng một lúc ở nhiều nơi, hoàn toàn giống như loài hoa tím vẫn thường nở rộ ở khắp mọi nơi vào đầu mùa xuân”.
Phải nói rằng ý kiến của F. Bôia thật xác đáng ít ra là đối với công cuộc đi tìm lời giải đáp cho sự tồn tại của định đề 5 - được coi là bài toán hóc búa nhất và có tầm quan trọng đặc biệt của hình học qua mọi thời đại. Hơn nữa ý kiến đó còn tạo cho chúng ta, khi kể câu chuyện lịch sử này, có cảm giác như là điềm báo của một linh cảm, vì gần như đồng thời với J. Bôia hoặc có thể sớm hơn một chút, ở một phương trời khác của châu Âu cũng có một con người ưu tú khác của toán học đang công phá bí ẩn của định đề 5 và cũng như J. Bôia, đã bắt đầu thấy được một cảnh sắc không gian dị thường, choáng ngợp những điều kỳ diệu. Đó là Nhicôlai Ivanôvich Lôbasépxki (1793-1856), nhà toán học trẻ người Nga, người mà nhờ những thành quả đạt được trong nghiên cứu của mình, đã được hậu thế vinh danh là “Côpecnic của hình học”.
Những phát kiến thiên tài không bao giờ từ trên trời rơi xuống, hay nói cách khác là không thể xuất hiện từ hư vô, mà phải từ sự kế thừa tri thức của quá khứ, tại một nấc thang của trình độ nhận thức nào đó và trong một tình thế đã được hun đúc lên đến độ gọi là bắt đầu chín muồi. Nói chung, phát kiến khoa học là một tất yếu khách quan có tính thời đại, bao gồm cả phát kiến thông thường và phát kiến thiên tài. Phát kiến thiên tài là một phát kiến khoa học nên nó cũng mang tính thời đại nhưng nhờ những tài năng thiên phú và xuất chúng mà nó xuất hiện rất sớm, thậm chí là quá sớm, vượt trội hơn hẳn bình độ nhận thức khoa học, hay có thể gọi là nền tảng nhận thức khoa học của đương thời, nên cũng có tính tiên phong, đi trước thời đại. Chính vì thế mà những phát kiến thiên tài, trong khoảng thời gian đầu xuất hiện, thường phải chịu nỗi cô đơn bởi sự ghẻ lạnh, lãng quên, thậm chí là ruồng bỏ, phỉ báng của người đời, mà trong nhiều trường hợp còn bị cho là sự biểu hiện của điên khùng, dị hợm. Tuy nhiên, nhờ được soi rọi bởi những tia sáng chói lọi của những phát kiến thiên tài đó mà thiên hạ dần dần thức tỉnh, nhận ra được những chân lý kỳ diệu ẩn chứa trong chúng, để rồi đến lượt chúng được thiên hạ tôn vinh, ca ngợi hết lời.
Có thể nói phát kiến thiên tài là sự gặp gỡ “định mệnh” (vừa tất yếu vừa ngẫu nhiên, hay nói cách khác là vừa cố ý vừa tình cờ) giữa một bên là một tình thế bức xúc căng thẳng đến độ chín, đòi hỏi phải xử lý, cũng như đã hé ra gợi ý về cách xử lý của khoa học, và một bên là một con người, tràn đầy nhiệt huyết, có tài năng thiên phú, siêu phàm.
Về khái niệm “thiên tài”, nhận định sau đây của Lôbasépxki gợi ra nhiều suy ngẫm:
“Có nhiều định nghĩa về tài năng, nhưng phần lớn những định nghĩa này không đạt, vì rằng bản thân những người viết ra những định nghĩa ấy không phải là thiên tài. Buphôn khẳng định rằng thiên tài chính là sự kiên nhẫn và chỉ có bằng lao động không ngừng, con người mới đạt được những kết quả mong muốn. Nhưng định nghĩa này không đúng. Về phần mình, tôi thấy định nghĩa sau đây của Laplaxơ đúng hơn: Thiên tài là sự nhạy cảm”.
Cũng như J. Bôia, N. Lôbasépxki xuất thân trong một gia đình không lấy gì làm sung túc, thậm chí là có phần túng thiếu. Cha của N. Lôbasépxki là một viên chức đạc điền (đo đạc ruộng đất) bình thường, tuy cũng thuộc dòng dõi quí tộc nhưng nghèo vì bị phá sản. Ông này mất sớm làm cho hoàn cảnh gia đình lâm vào tình thế khó khăn và ba đứa con còn nhỏ của ông, trong đó có N. Lôbasépxki có nguy cơ bị đình trệ học tập.
May thay, có một thầy giáo tốt bụng đã khuyên mẹ của anh em nhà Lôbasépxki là bà Praxcôvia Alêxanđrốpna Lôbaxepskaia rằng nên gửi các con vào học nội trú tại trường trung học hoàng gia Cadan mới thành lập được hai năm trước đó. Không những chỉ khuyên mà người giáo viên này còn viết giúp một bức thư thỉnh cầu đến hiệu trưởng và Hội đồng giáo viên của trường xin cho ba đứa trẻ được thi vào trường theo diện do nhà nước đài thọ toàn bộ chi phí ăn học. Những học sinh được nhà nước đài thọ mọi chi phí suốt quá trình ăn học, sau khi tốt nghiệp bắt buộc phải làm việc cho nhà nước. Lôbasépxki cha trước đây cũng đã từng là học sinh được đào tạo theo diện này. Nếu thi vào trường mà không đạt tiêu chuẩn thì gia đình phải tự trang trải mọi chi phí ăn học của con em mình cho nhà trường. Nếu phải tự túc thì bà Praxcôvia chỉ riêng tiền học phí và may sắm đồng phục cho các con đã phải cần đến một khoản tiền khoảng 500 rúp (tiền Nga) mỗi năm. Đó là một số tiền quá lớn đối với một gia đình luôn túng thiếu. Người thầy giáo tốt bụng kia, tin tưởng vào năng lực học tập của ba đứa trẻ, nhất là vào N. Lôbasépxki nên đã động viên, khích lệ bà Praxcôvia.
Năm 1802, bà Praxcôvia chuyển gia đình từ Nốpgôrốt đến Cadan và sau một thời gian ngắn chờ đợi thì nhận được quyết định của trường trung học Cadan:
“Theo quyết định của hội đồng giáo viên Trường trung học hoàng gia Cadan, ngày 5-10-1802, sau khi đã xem xét yêu cầu của bà Praxcôvia Alêxandrốpna, vợ ông Lôbasépxki về việc nhận ba đứa con là Alexandrơ 11 tuổi, Nhicôlai 9 tuổi và Alếchxây 7 tuổi, con của ông I. M. Lôbasépxki, nhà trường quyết định dạy và bảo dưỡng theo chế độ nhà nước đài thọ hoàn toàn việc ăn học…”
May mắn là N. Lôbasépxki sớm được một thầy giáo dạy toán giỏi và còn trẻ tên là G. I. Catasepxki phát hiện ra tài năng toán nổi bật và nhiệt tình kèm cặp.
Ngày 14-2-1805, Trường đại học tổng hợp Cadan được thành lập, ghép chung với Trường trung học hoàng gia Cadan. Ngày 9-1-1807, N. Lôbasépxki được chính thức công nhận là sinh viên năm thứ nhất của trường đại học này.
Có một sự kiện bi kịch suýt chút nữa làm thui chột một tài năng toán học và là niềm tự hào của nước Nga trong tương lai. Ngày 19-7-1807, Alexandrơ, anh trai của N. Lôbasépxki đi tắm sông và bị chết đuối. Sự tiếc thương người anh của mình đã làm cho N. Lôbasépxki suy sụp tinh thần. Với ý nghĩ ám ảnh rằng nếu y học giỏi giang hơn thì người anh trai đã có thể được cứu sống làm cho N. Lôbasépxki quyết định bỏ toán để theo học y khoa, với quyết tâm khám phá bí mật của sự sống và cái chết, của bệnh tật và tai họa… “Cái chết giống như một vực thẳm nuốt chửng mọi thứ chẳng biết lúc nào đầy. Đó là mối tai họa ập đến bất ngờ chẳng gì so sánh nổi. Thế nhưng tại sao cái chết cứ nhất thiết phải là đại họa?”, N. Lôbasépxki đã viết trong nhật ký những dòng như vậy.
Giữa lúc N. Lôbasépxki bắt đầu lao vào tìm hiểu y học và chuẩn bị tích cực để xin chuyển qua khoa y thì Trường đại học Cadan được đón nhà toán học Đức tên là Martin Crixchan Bartenx do Viện Hàn lâm khoa học Petecbua mời sang giảng dạy tại Cadan. Ông này đã từng là thầy dạy của “Ông hoàng toán học” Gauxơ tại Trường Đại học Cottinghen. Vì không biết tiếng Nga nên N. Lôbasépxki, người sinh viên giỏi toán nhất trường, được phân công làm phiên dịch kiêm trợ lý cho vị giáo sư này. Nhờ vậy mà tình yêu toán học lại trỗi dậy mãnh liệt trong tâm hồn nhà toán học kiệt xuất của tương lai.
Tháng 5-1811, N. Lôbasépxki tốt nghiệp và sau đó được giữ lại trường làm phụ giảng, bắt đầu bước vào giai đoạn hoạt động khoa học và giảng dạy.
N. Lôbasépxki sáng tạo ra cơ sở hình học của mình trong khoảng từ năm 1823 đến năm 1826, nhưng sự suy tư nghiền ngẫm đối với định đề 5 thì có lẽ được bắt đầu sớm hơn nhiều. Ông đã từng nghiên cứu các công trình nhằm chứng minh định đề 5 của các nhà toán học đi trước của thế giới và bản thân cũng đã từng xây dựng một chứng minh dài dằng dặc tưởng chừng như đã đạt tới thành công. Tuy nhiên, ngay sau đó, ông phát hiện chứng minh đó là lẩn quẩn và phạm sai lầm, để rồi dần dần hiểu rằng đi theo con đường của các bậc toán học tiền bối nhằm mưu toan chứng minh định đề 5 là khó lòng mà đạt được thành quả.
Tại Trường đại học Cadan, tất cả các giáo sư đều phải soạn riêng giáo trình giảng dạy cho sinh viên. N. Lôbasépxki, khi đã là giáo sư cũng phải làm như vậy. Ông đã dồn hết công sức vào việc xây dựng một hệ thống hình học theo quan niệm của mình để dùng giảng dạy. Đây là một giáo trình hình học không được xây dựng theo phương pháp tiên đề vì N. Lôbasépxki cho rằng hệ tiên đề của Ơclít là chỗ yếu nhất và dễ  bị tổn thương nhất. Theo ông thì hoàn toàn không cần phải dùng đến các tiên đề làm cơ sở cho môn hình học, không cần phải tạo ra ảo tưởng rằng hình học chỉ có thể xây dựng được nhờ phương pháp tiên đề. Ông đã xây dựng hệ thống hình học của mình theo quan điểm coi sự chuyển động, sự đặt chồng lên nhau làm phương tiện chủ yếu tạo thành các nguyên lý của hình học. Ông là người đầu tiên trong lịch sử đề xuất tư tưởng về sự phụ thuộc của hình học vào hình thức chuyển động của các vật thể vật chất.
Giáo trình hình học của N. Lôbasépxki ngay lập tức gây ra một cuộc tranh cãi dữ dội trong Trường đại học Cadan. Hầu hết các giáo sư toán học của trường đều tỏ ý nghi ngờ tính chân lý đối với những luận điểm của vị giáo sư trẻ Lôbasépxki, và ai cũng khẳng định rằng đem những điều kỳ dị đó giảng dạy cho sinh viên là điều không thể chấp nhận được, bởi vì ngay các giáo sư cũng chưa chắc đã hiểu những gì đề cập trong giáo trình đó. Không ai phủ nhận tài năng của N. Lôbasépxki, song giảng dạy những điều chưa bao giờ thấy trong lĩnh vực được coi là kinh điển như hình học thì quả thực khó mà chấp nhận. Ông hiệu trưởng của trường quyết định chuyển giáo trình hình học của N. Lôbasépxki lên quan Đốc học để xin ý kiến đánh giá. Ông này không phải nhà toán học nên chuyển tiếp nó cho viện sĩ toán học N. I. Fútxơ, học trò của nhà toán học thiên tài Ơle, thẩm định.
Viện sĩ Fútxơ đọc thấy ngỡ ngàng: tác giả bắt đầu trình bày môn hình học không phải bằng các khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng như truyền thống, mà lại bằng các khái niệm tiếp xúc và cắt nhau của các vật thể. Ngay ở những trang đầu đã thấy định lý của Ơle về sự phụ thuộc giữa số lượng của các mặt, các cạnh và các đỉnh của các hình đa diện. Điều lạ lùng nhất là tác giả đã áp dụng hệ thống mét để đo và chia một phần tư đường tròn thành 100 phần. Thế là viện sĩ Fútxơ không cần đắn đo, viết luôn lời thẩm định:
“Ai cũng biết là cách phân chia này được nghĩ ra vào thời Cách mạng Pháp, khi mà sự điên cuồng của cả một dân tộc đã hủy hoại tất thảy những gì được truyền bá từ trước, kể cả lịch và phép phân chia đường tròn. Nhưng cái mới mẻ đó chẳng được ở đâu thừa nhận và ngay tại nước Pháp, nó cũng đã bị gạt bỏ vì lý do bất tiện thấy rõ. Mặc dù tác giả của cuốn sách này đã gọi tác phẩm của anh ta là hình học, nhưng có lẽ ngay chính bản thân anh ta cũng khó lòng có thể nghĩ rằng, anh ta đã viết ra một cuốn sách giáo khoa về cái môn hình học đó”.
Giáo trình hình học của N. Lôbasépxki vì lời thẩm định đó, đã không được chấp thuận. Nó bị quẳng vào hồ sơ lưu của quan Đốc học và phải đợi sau khi tác giả của nó đã qua đời 42 năm mới được người ta tìm thấy.
Trong giáo trình hình học đó, N. Lôbasépxki chưa đề cập gì đến hình học phi Ơclít vì ông chỉ mới bắt đầu sáng tạo nó. Có lẽ xuất phát điểm của quá trình sáng tạo đó là lập luận sau đây của N. Lôbasépxki:
Công nhận định đề 5 là một tiên đề, sẽ không thỏa đáng. Trong một mặt phẳng, nếu qua một điểm ở ngoài một đường thẳng cho trước chỉ có một đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho thì tưởng tượng rằng cũng có một đường thẳng qua điểm đó và tạo thành với đường song song Ơclít của đường thẳng đã cho, một góc vô cùng nhỏ. Thử hỏi đường thẳng thứ hai này có cắt đường thẳng đã cho không và cắt ở đâu? Không thể quan sát được sự kiện xảy ra ở vô tận thì làm sao dám chắc rằng đường thẳng đã cho chỉ có duy nhất một đường thẳng qua điểm cho trước, song song với nó?
Đến đầu năm 1826 thì bản thân sáng tạo mới của N. Lôbasépxki hoàn tất. Đó là công trình hoàn chỉnh đầu tiên trong lịch sử toán học về hình học phi Ơclít. Ngoài bìa tập bản thảo, N. Lôbasépxki viết:
“Kính gửi bộ môn khoa học Toán - Lý
Tôi giữ công trình của mình với nhan đề “Trình bày ngắn gọn về cơ sở hình học với sự chứng minh chặt chẽ định lý về các đường song song.
Tôi muốn biết ý kiến của các nhà khoa học và những người đồng nghiệp của tôi về công trình này…”.
Ngày 11-2-1826, N. Lôbasépxki trình bày công trình sáng tạo của mình tại Trường Đại học Cadan, trước khi gửi nó lên Viện Hàn lâm khoa học Pêtécbua. Căn phòng không nhiều người dự lắm nhưng ngay cả những người không viện được lý do để phải có mặt cũng lơ đãng nghe đọc báo cáo. Ngay ngài hiệu trưởng khi giới thiệu diễn giả bước lên bục xong cũng phải lẩm bẩm “Xin Chúa tha thứ cho những lỗi lầm của chúng ta”. Không một ai biết được rằng ngày hôm đó chính là ngày khai sinh ra môn hình học phi Ơclít.
N. Lôbasépxki bước lên diễn đàn và nói những lời đầu tiên đại loại như thế này:
Tôi xin bắt đầu bản báo cáo của mình bằng lời kết luận chủ yếu mà tôi muốn quí vị chú ý tới là, tôi sẽ dựa trên sự giả định rằng có một sự phụ thuộc của các đường thẳng vào các góc để phải thừa nhận là có sự tồn tại một môn hình học khác, bao quát hơn cái môn hình học mà Ơclít lần đầu tiên đã cung cấp cho chúng ta. Tôi sẽ đặt tên cho cái môn hình học bao quát hơn ấy là “Hình học trừu tượng”, mà trường hợp riêng của nó chính là môn hình học mà chúng ta đang sử dụng với một sự hạn chế ở trong một luận đề tổng quát đáng lẽ phải được đo lường, kiểm chứng… Tôi không thay đổi điều gì trong cái gọi là “hình học tuyệt đối”, nhưng tôi đã thay cái định đề thứ năm của Ơclít bằng một phản định đề, rằng là qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ một tập hợp những đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho.
Ơclít coi hai khái niệm “các đường thẳng không cắt nhau” và “các đường thẳng song song” là tương đương. N. Lôbasépxki trái lại, lại phân biệt hai khái niệm ấy. Ông cho rằng trong số rất nhiều những đường thẳng không cắt một đường thẳng cho trước vẽ qua một điểm nằm ngoài nó thì chỉ có hai đường thẳng không cắt được gọi là song song với đường thẳng đã cho, còn tất cả những đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho mà nằm ngoài hai đường song song kia thì đều không phải là song song với đường thẳng đã cho. (Sau này người ta gọi các đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho này là những đường thẳng siêu song song).
Như thế, N. Lôbasépxki đã dùng thuật ngữ đường thẳng song song để gọi những đường thẳng phân tách những đường thẳng không cắt một đường thẳng cho trước và các đường thẳng cắt nó. Theo N. Lôbasépxki thì khoảng cách giữa đường thẳng đã cho và mỗi đường thẳng song song với nó không còn biến đổi nữa mà sẽ giảm về phía của sự song song và tăng về phía ngược lại. Các đường thẳng song song có thể tiến đến sát gần nhau nhưng không thể cắt nhau. Mặt phẳng mà trong đó tồn tại những đường song song như thế, sau này được gọi là mặt phẳng Lôbasépxki và mặt phẳng này hoàn toàn không “phẳng” theo nghĩa của hình học Ơclít. Trong mặt phẳng Ơclít thì góc của tính song song (góc hợp bởi đường vuông góc với đường đã cho và đường thẳng qua điểm cho trước, song song với đường thẳng đã cho) là bất biến và bằng 90o. Còn trong hình học Lôbasépxki thì góc đó có thể lấy mọi giá trị từ 0o cho đến 90o. Nghĩa là góc của tính song song có thể biến đổi và ở trường hợp đặc biệt (hình học Ơclít), nó bằng 90o.
Hơn nữa, N. Lôbasépxki còn chỉ ra rằng, độ lớn hình học của góc song song phụ thuộc vào chiều dài của đoạn thẳng vuông góc dựng trên đường thẳng đã cho. Nếu đoạn thẳng vuông góc này giảm thì góc song song kia tăng và tiến dần tới 90o. Như vậy là trong môn hình học mới mà N. Lôbasépxki đề xuất, có sự phụ thuộc qua lại giữa góc và đường thẳng. Khi góc song song bằng 90o thì sự phụ thuộc tương hỗ đó biến mất. Chính từ sự phụ thuộc tương hỗ này mà Lôbasépxki đưa ra một công thức cơ bản trong môn hình học mới của ông, trong đó có một đại lượng được gọi là “hằng số tuyến tính” mà ngày nay được hiểu là bán kính của độ cong không gian Lôbasépxki - một đại lượng phụ thuộc vào các điều kiện vật lý cụ thể trong phần không gian vũ trụ đã cho. Khi hằng số này có giá trị rất lớn thì độ cong của không gian trở nên rất nhỏ, có thể tới gần bằng 0 và phần không gian này được coi là phẳng - không gian Ơclít.
Vì hằng số tuyến tính có thể mang những giá trị khác nhau nên cũng có vô số “loại” không gian khác nhau ứng với chúng, nghĩa là có thể xây dựng từ đó vô số hệ thống hình học tương đối khác nhau.
Trong các không gian được sáng tạo ra bởi lý thuyết hình học có tính cách mạng của N. Lôbasépxki, tổng hợp các góc trong của một tam giác luôn nhỏ hơn 180o và càng tăng kích thước của tam giác lên thì tổng đó càng giảm tới 0, nghĩa là giữa các góc và các cạnh của tam giác có một sự phụ thuộc trực tiếp. Lôbasépxki đã nói về điều này như sau: “Nếu như lực phụ thuộc vào khoảng cách là đúng thì đường thẳng cũng phụ thuộc vào các góc. Sự khác nhau không phải ở khái niệm mà chính là ở chỗ chúng ta biết được mối quan hệ trên từ thực nghiệm, còn đối với mối quan hệ dưới thì vì thiếu sự quan sát, chúng ta phải giả thiết rằng nó tồn tại hoặc là ở ngoài giới hạn của thế giới nhìn thấy được hoặc là trong không gian bé nhỏ của thế giới phân tử. Điều đó không thể xảy ra trong hình học Ơclít. Trong môn hình học mới này, các hệ thức đối với đường tròn cũng sẽ khác so với trong hình học Ơclít. Một trong những hệ quả kỳ lạ rút ra được từ hình học Lôbasépxki là trong đó, mặt phẳng và không gian có độ cong…
N. Lôbasépxki trình bày giới thiệu xong về hệ thống hình học mới của mình và đề nghị các giáo sư có mặt tại phòng họp cho ý kiến. Tất cả đều im lặng.
Sau một thời gian tiếp tục sửa chữa, tu bổ công trình nghiên cứu khoa học của mình đến mức hoàn chỉnh, cuối cùng thì N. Lôbasépxki (lúc này ông đã 34 tuổi và giữ chức Hiệu trưởng Trường đại học tổng hợp Cadan) cũng hoàn thành xong tập kỷ yếu toán học có tựa đề “Bàn về các nguyên lý của hình học” và với sự giúp đỡ của Muxin-Puskin (trước đây từng là học trò rồi là bạn thân của N. Lôbasépxki, lúc này đã được Sa hoàng Nhicôlai I bổ nhiệm làm quan Đốc học vùng Cadan), tập kỷ yếu toán học đó cũng được gửi đến Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua.
Tập kỷ yếu đến tay viên thư ký của Viện Hàn lâm là P. N. Fútxơ, con trai của người đã từng thẳng tay bác bỏ công trình đầu tiên của Lôbasépxki. Viên thư ký này đã chuyển thẳng tập kỷ yếu đến cho nhà toán học được coi là giỏi bậc nhất nước Nga thời ấy, người đặt nền móng cho lĩnh vực cơ học giải tích, lừng danh là “con người kiệt xuất về cơ học và toán học”, cùng một lúc làm viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Pêtécbua, viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Hoa Kỳ, viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Pháp và viện sĩ Viện Hàn lâm khoa học Rôma. Người đó có tên là M. V. Ôxtrôgrátxki.
Đọc nhanh tập kỷ yếu của Lôbasépxki, nhà khoa học ưu tú của nước Nga chẳng hiểu gì cả và thậm chí còn cho rằng trong đó toàn những điều quái gở. Sau đó, không hề do dự, Ôxtrôgrátxki viết đánh giá về tập kỷ yếu như thế này:
“Tác giả Lôbasépxki này quả là một nhà toán học không tồi, có những lập luận sắc bén. Song hiển nhiên rằng tác giả đã nhằm mục đích là viết thế nào để cho không ai hiểu được anh ta viết cái gì. Tác giả quả là đã đạt được mục đích, bởi vì phần lớn quyển sách đối với tôi là hoàn toàn xa lạ đến mức dường như tôi chưa từng đọc nó lần nào…”.
Thật là đáng tiếc! Có thể coi đây là một trường hợp điển hình minh chứng cho nhận định rằng, để vượt lên khỏi nền tảng nhận thức khoa học đã “thâm căn cố đế” của thời đại và đón nhận những tư tưởng khoa học mới có tính cách mạng là khó khăn biết chừng nào!
Cuối cùng, chẳng còn việc gì làm với tập kỷ yếu của N. Lôbasépxki, ngài viện sĩ Ôxtrôgrátxki bèn gửi nó cho Ban biên tập tạp chí “Người con của Tổ quốc”, kèm theo những nhận xét chẳng tốt đẹp gì, thậm chí là còn chế giễu. Dưới tác động của ý kiến ngài viện sĩ đầy uy tín, tạp chí này trong số 41 (năm 1834) đã đăng một bài đánh giá do một tác giả giấu tên (và chắc chắn là có cái đầu thấp hơn ngài viện sĩ rất nhiều) viết đầy tính đả kích:
“Có những người khi đọc một quyển sách thường nói là sách viết quá đơn giản, quá tầm thường, chẳng có gì khiến ta phải suy nghĩ cả. Chúng tôi xin khuyên những người nghĩ như thế hãy đọc quyển kỷ yếu về hình học của Lôbasépxki. Đó là một quyển sách thực sự có cái gì đó để suy nghĩ. Nhiều người trong số những nhà toán học hàng đầu của chúng ta đã đọc quyển sách ấy, đã suy nghĩ và đã chẳng hiểu gì cả. Thậm chí thật khó lòng mà hiểu được, tại sao ông Lôbasépxki lại có thể làm cho cái lĩnh vực dễ nhất, sáng tỏ nhất trong toán học như môn hình học, trở thành một lý thuyết nặng nề, u tối và bí hiểm đến thế… Nhưng thử hỏi, để làm gì mà lại đi viết và còn đi in ra những điều tưởng tượng điên rồ như thế? Chúng tôi thừa nhận rằng rất khó trả lời câu hỏi này. Dù sao đi nữa thì cũng xin cho phép chúng tôi đề cập đến vấn đề nhân cách. Ông giáo sư thường kỳ Lôbasépxki có thể nghĩ như thế nào mà lại viết một cách nghiêm túc một quyển sách họa may đem lại được một chút vinh dự cho một thầy giáo xứ đạo hạng bét? Một thầy giáo nếu không uyên bác thì ít nhất cũng phải có lương tri, ấy thế mà ở trong môn hình học mới ấy, ngay đến lương tri cũng chẳng hề có. Căn cứ vào tất cả những điều đó, có thể kết luận một cách khẳng định rằng mục đích đích thực mà ông Lôbaxépski muốn nhằm tới khi viết và cho xuất bản môn hình học của ông ta chỉ đơn giản là một sự đùa cợt, hay đúng hơn là sự nhạo báng các nhà bác học toán học và có thể là nhạo báng các nhà bác học thời nay nói chung… Chúng ta khen ngợi ông Lôbaxépski đã thông qua công trình của mình mà làm sáng tỏ được cả sự gàn rỡ và trơ tráo của những nhà sáng chế giả mạo cũng như sự ngu dốt ngây ngô của những kẻ đẻ ra các sáng chế ấy.
… Tại sao thay vì tiêu đề “Bàn về những nguyên lý hình học”, ông ta lại không viết chẳng hạn là “châm biếm hình học”, “hài hước hình học” hay những cái tên tương tự như thế?...”
Để đáp lại bài báo có tính đả kích và đầy ác ý đó, N. Lôbaxépski đã viết bài trả lời gửi đến tạp chí “Người con của Tổ quốc” nhưng Ban biên tập không thèm cho đăng. Còn viện sĩ Ôxttôgrátxki, sau này, trong một cuốn sách giáo khoa do ông viết, tiếp tục đánh giá tập kỷ yếu toán học khác (Đại số học) của Lôbaxépski như sau:
“Có thể đạt được kết quả không ngờ và chấp nhận đọc một tập kỷ yếu biên tập kém, nếu sự hao tốn thời gian được đền bù bằng sự nhận thức những chân lý mới mẻ. Nhưng dù đọc một bản thảo không chứa đựng chân lý mới và khó đọc không phải do các tư tưởng quá cao, mà lại do kết cấu câu cú kỳ quặc, do những thiếu sót trong tiến trình lập luận và do những sự lạ lùng cố ý thì thật là nặng nề hơn nhiều. Bản thảo của ông Lôbaxépski có nét đặc trưng là luôn cố ý làm cho lạ so với những gì đã có. Tôi cho rằng kỷ yếu của ông Lôbaxépski về tính hội tụ của các chuỗi không đáng để Viện hàn lâm tán đồng”.
Dù có thế nào đi chăng nữa thì cũng phải cho rằng viện sĩ Ôxtrôgrátxki đã hoàn toàn tỏ thái độ không thiện chí đối với Lôbaxépski. Hơn nữa, phải chăng là sự khinh miệt, mất bình tĩnh dẫn đến đố kỵ khi ngài viện sĩ còn đưa ra lời bình luận đầy hằn học: “Con chuột đẻ ra quả núi!”?
Than ôi! Là bộ phận của lịch sử xã hội loài người nên trong lịch sử toán học cũng lưu lại những vết nhơ đáng xấu hổ như thế. Và con người thật là lạ lùng, bên cạnh những sáng suốt vượt bậc thường vẫn tồn tại những ngu muội tới mức “không chê vào đâu được”. Có biết bao nhiêu bậc tài giỏi, biết cách vượt qua mọi chướng ngại lớn lao một cách oai hùng để gặt hái những vinh quang bất diệt nhưng đồng thời lại không vượt qua được những cạm bẫy tầm thường nhất, những vũng lầy chỉ cỡ “lỗ chân trâu” nhưng đầy hổ thẹn mà người bình thường nhất cũng khó mà sa vào được.
Phải một năm sau khi tập kỷ yếu về hình học bị đả kích, N. Lôbaxépski mới có dịp đăng lời đáp trong một tài liệu xuất bản hàng năm của Trường đại học Cadan có tên là “Kỷ yếu khoa học của Trường đại học Cadan” với những lời thật chừng mực, thường có ở những con người cao thượng:
“Trong số 41 của tạp chí “Người con của Tổ quốc” năm 1834, có đăng bài phê bình lăng mạ tôi mà tôi cho rằng hoàn toàn không có căn cứ. Người phê bình đã đưa ra nhận xét như vậy là vì không hiểu lý thuyết của tôi và cho nó là sai lầm… Trong tháng 11 năm ngoái, tôi có gửi cho tòa soạn bài trả lời, nhưng không hiểu sao cho đến nay, đã năm tháng trôi qua mà nó vẫn chưa được đăng”.
Bất chấp những ghẻ lạnh, đố kỵ và dèm pha, N. Lôbaxépski vẫn tràn đầy niềm tin tưởng vào công trình sáng tạo toán học của mình. Sau khi tác phẩm “bàn về những nguyên lý hình học” xuất bản vào năm 1929, ông tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết đó. Ông không những xây dựng phần hình học cơ sở và phần lượng giác của không gian phi Ơclít như J. Bôia đã làm, mà còn đi xa hơn rất nhiều. Trong những công trình nghiên cứu đó, có cả hình học giải tích phi Ơclít và hình học vi phân phi Ơclít. Nhờ các công thức hình học mới của mình, N. Lôbaxépski đã tìm ra ý nghĩa một số tích phân mà trước đó đã được tính bằng những cách khác hoặc là vẫn chưa tính được. Việc giải các bài toán tích phân đó cũng là một cách kiểm tra lại tính đúng đắn của hệ thống hình học mới.
Một người học trò của N. Lôbaxépski tên là Mikhailốp có nói: “Lôbaxépski đã đi thẳng đến đích một cách cô độc, giống như một người khổng lồ đã đeo lá chắn và một bọn tí hon thi nhau bắn tên vào mà không chọc thủng được”.
Sự kiên định của Lôbaxépski vào hệ thống hình học mà ông đã sáng tạo còn biểu hiện ra ngay cả khi đã bắt đầu bị mù lòa, đớn đau và đứng trước ngưỡng cửa của cái chết. Lúc đó, ông đã “viết” cuốn sách bằng tiếng Pháp có tựa đề “Hình học tổng quát”, nhưng vì bị mù nên đã “viết” bằng cách đọc cho học trò của mình chép lại.
Ngày 17-10-1855, N. Lôbaxépski nhận được quyết định chính thức và dứt khoát của Bộ trưởng Nôrốp cho nghỉ hưu với đồng lương 800 rúp một năm, ngôi nhà đang ở phải trả lại cho nhà nước. Bị đẩy vào đường cùng, ngày 2-12-1855, nhà toán học thiên tài đã mù lòa phải buộc lòng làm một việc chưa từng làm trong suốt cuộc đời: gửi một bức thư cho bộ trưởng Nôrốp để trình bày hoàn cảnh khó khăn và cầu mong một sự giúp đỡ. Lời kêu cứu này trở thành nỗi tuyệt vọng vì chẳng bao giờ có hồi âm. Sự bỏ rơi một cách bội bạc và tàn nhẫn đó đã làm cho tâm hồn N. Lôbaxépski tan nát và là một cú hích mạnh “giúp” ông đến cái chết nhanh hơn. Ngày 12-2-1856, N. Lôbaxépski qua đời vì bị liệt phổi. Bốn năm sau, người đồng thời cũng làm một cuộc cách mạng về hình học tương tự như Lôbaxépski, nhà toán học có số phận bị bạc đãi J. Bôia cũng qua đời. Còn “Ông hoàng toán học” thì đã “đi trước" Lôbaxépski một năm.
(còn tiếp)
Xem tiếp...

TIẾU LÂM KIM CỔ 64

(ĐC sưu tầm trên NET)


Xem tiếp...