TT&HĐ IV - 38/h

 

LSKH #4: Vũ trụ là Vô Hạn hay có Giới Hạn

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG VI (XXXVIII): BÍCH LẠC

“Một chân lý mới của khoa học thường thắng lợi không phải bằng cách những kẻ chống đối nó sẽ được thuyết phục và tuyên bố mình được dạy dỗ, mà đúng hơn bằng cách những kẻ chống đối dần dần chết hết và thế hệ mới ngay từ đầu được làm quen với nó”.

M. Planck.

“Nền văn minh của chúng ta chẳng qua là sự tích lũy của tất cả những niềm mơ ước đã được thể hiện trong thực tế qua hàng bao thế kỷ và nếu như loài người không ước mơ, quay lưng lại với sự kỳ diệu của Vũ Trụ, thì đó là dấu hiệu suy thoái của loài người”.

Clac

"Điều chủ yếu cản trở nhận thức chân lý không phải là sai lầm mà là chân lý như đúng như sai."
Lev Tolstoy (Nga)

 

"Người không yêu tự do và chân lý, có thể trở thành người mạnh mẽ nhất, nhưng tuyệt đối không thể trở thành người vĩ đại".
Voltaire (Pháp)

 

"Nghịch cảnh là một con đường đạt đến chân lý".
Byron (Anh)

"Không ai muốn chết cả, kể cả những người muốn lên thiên đường cũng không muốn chết để có thể tới được đó. Cái chết là điểm đến cuối cùng mà chúng ta gặp phải, không ai có thể thoát khỏi nó. Tuy nhiên, cái chết là điều phải đến, nó là phát minh tuyệt vời nhất sau sự sống. Cái chết hoàn thành những điều mà sự sống còn bỏ dở, nó dọn dẹp những thứ cũ để mở đường cho nhiều thứ mới hơn. Những thứ mới hơn này chính là các bạn, tất nhiên trong tương lai chúng ta sẽ đều già đi và dần bị loại bỏ. Xin lỗi nếu như điều này quá bất ngờ, nhưng nó là sự thật"
Steve Jobs

"Nhà khoa học phải tìm kiếm chân lý, phải quý trọng chân lý hơn những ước mơ hay những mối quan hệ của riêng của mình"

Khuyết danh

"Toán học là khoa học của lớp trẻ. Không thể khác được. Nghiên cứu toán học là thứ thể dục của trí tuệ, đòi hỏi phải có tính dẻo dai và bền bỉ của thanh niên".

Khuyết danh

 

 

(Tiếp theo)

Dù thời gian chuẩn bị chỉ còn eo hẹp nhưng Riman đã nỗ lực nghiên cứu và nhanh chóng triển khai để rồi cũng kịp hoàn tất “bài giảng thử” của mình. Ngày 10-6-1854, Riman đã trình bày công trình của mình trước Hội đồng khoa học ở Trường Đại học tổng hợp Gottinghen. Ngày hôm đó đã trở thành ngày “giảng thử” nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học và nó được đồng nghiệp của Riman ca ngợi như một công trình bậc thầy.

Tư tưởng và nội dung của công trình hình học đó của Riman đã dẫn đến những nhận thức mới hết sức sâu sắc trong toán học và cả trong vật lý học. Chẳng hạn nó đã dẫn tới một lý thuyết hoàn toàn mới là hình học vi phân. Lĩnh vực này đã được phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XIX và dường như đạt tới cực điểm vào năm 1979 bởi bài thuyết trình của nhà hình học cỡ hàng đầu thế giới lúc đó là S. S. Chern, tại trường Đại học Princeton nhân dịp kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Anhxtanh, dưới tiêu đề “Tương đối và hình học vi phân hậu Riman”. Hay sau này, Anhxtanh, người được tôn vinh là “nhà vật lý vĩ đại nhất thế kỷ XX”, đã tìm thấy ở công trình đó của Riman một công cụ toán học cực kỳ hữu hiệu để viết phương trình trường tổng quát trong thuyết tương đối rộng của ông…

Vài tháng sau buổi thuyết trình ấy, ông khổng lồ toán học Gauxơ, người có thể là duy nhất hiểu rõ được phát kiến thiên tài của Riman, qua đời mà chưa kịp công bố đánh giá gì về “bài giảng thử” sẽ đi vào bất tử đó.

Bài giảng thử còn tạo ra một thành công khác trong cuộc sống của Riman. Ông nhận được 8 sinh viên (diện phải đóng tiền) theo học thay vì chỉ 2 hoặc 3 người như thường lệ nên thu nhập của ông có khá hơn. Năm 1857, Riman trở thành phó giáo sư của Trường Đại học và chỉ hai năm sau, ông đã thay thế Dirichlet ngồi vào chiếc ghế đầy uy tín và tự hào của Gauxơ. Được lựa chọn vào vị trí của “Ông Hoàng toán học” tại Trường Đại học tổng hợp Gottinghen đã là sự biểu lộ cảm phục mà Riman nhận được từ đồng nghiệp ở trường đại học và hơn nữa, từ toàn thể các nhà toán học trên thế giới.

Vốn dĩ có thể tạng ốm yếu từ nhỏ, lại phải chịu áp lực nặng nề bởi sự hối thúc cấp bách trong công việc nghiên cứu, nên sức khỏe của Riman giảm sút nghiêm trọng. Ngay từ sau những ngày làm việc hết sức căng thẳng đối với những vấn đề cực kỳ khó khăn về lý thuyết hình học, vật lý toán, vật lý hàm… trong quá trình chuẩn bị cho bài giảng thử, ông đã bị đổ bệnh, Để hồi phục, ông đã thuê một căn nhà có vườn thoáng đãng và cố dành nghiều thời gian hơn cho sự nghỉ ngơi, dưỡng bệnh. Nhưng sức khỏe của ông không tiến triển được bao nhiêu. Năm 1862, Riman lại trở bệnh, phổi của ông có vấn đề. Nhà nước Đức đã trợ cấp cho ông du lịch đến vùng có khí hậu êm dịu ở nước Ý để an dưỡng. Ở đó sức khỏe của ông có phần được cải thiện nhưng khi trở về Gottinghen thì lại chuyển biến xấu. Trong vài năm, cứ thế, Riman đi đi về về giữa Gottinghen và Ý. Cảm thông tình trạng đó của ông, Trường Đại học Pisa đã đề nghị dành cho ông môt chức giáo sư ở đó, nhưng ông không thể nhận vì sức khỏe của ông đã suy sụp rất nhiều và trở nên tồi tệ không thể cứu vãn. Riman đã mất vì bệnh lao phổi tại một biệt thự ở Lago Maggiore thuộc miền Bắc nước Ý vào tháng 7-1866, hưởng dương 39 tuổi, để lại một sự nghiệp khoa học đang trên đà phát triển thần tốc và cực kỳ xuất sắc. Có thể nói rằng sự xâm nhập một cách xuất sắc của lý thuyết toán học vào lĩnh vực vật lý học ứng dụng bắt đầu từ Riman và sau đó được triển khai mở rộng vào cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX là một trong những trang chói lọi nhất của lịch sử toán học hiện đại.

Cho đến ngày nay, đối với chúng ta, những người không am tường toán học, thì việc nhận thức tầm vóc lớn lao về tư tưởng cũng như nội dung hàm chứa trong công trình sáng tạo “Bài giảng thử” của Riman thiên tài, dù chỉ ở mức khái lược thôi, cũng thật là khó khăn. Thế nhưng trong vai trò một người kể chuyện, chúng ta sẽ cố gắng lột tả cái tầm vóc lớn lao đó bằng cách tóm tắt các đánh giá của những người kể chuyện đi trước (mà chúng ta tin rằng trình độ toán học của họ vượt trội hơn chúng ta rất nhiều).

Như đã kể, Saccheri, dù là vô tình và cũng chưa thấy hết, nhưng đã là người đầu tiên phanh phui ra cái huyền bí của định đề 5 Ơclít, khi mưu toan chứng minh nó như một định lý bằng phương pháp phản chứng. Kết luận đầu tiên trong quá trình chứng minh này mà Saccheri rút ra được là nếu định đề 5, hay tương đương với nó: tổng các góc trong của một tam giác bằng 180^o, là một mệnh đề sai, thì để đảm bảo tính duy nhất của chân lý, mệnh đề: tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) 180^o phải đúng. Một cách tương đối dễ dàng và nhanh chóng, Sacchenri đã thành công trong việc bác bỏ tổng ba góc lớn hơn 180^o, vì nó mâu thuẫn với tất cả các định đề còn lại của Ơclít. Tuy nhiên, ông đã không tài nào phủ nhận được trường hợp tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180^o, hơn nữa còn rút ra được nhiều mệnh đề quan trọng trong quá trình lập luận mà không gặp bất cứ mâu thuẫn nào. Sống trong một thời đại còn bị trói buộc rất chặt bởi niềm tin tuyệt đối vào sự tồn tại duy nhất của cái không gian mà con người trực giác được và sự mô tả tính chất cũng như cấu trúc của nó - hình học Ơclít, được coi là chân lý bất di bất dịch một cách hiển nhiên, đã làm cho Saccheri phải đi đến một quyết định cực đoan là phủ định tính hợp lý “không chê vào đâu được” trong các lập luận của mnìh, rời bỏ con đường đã mở ra trước mắt ông một quang cảnh kỳ diệu mà thậm chí là ông đã quan chiêm được nhưng lại cho rằng đó là một ảo ảnh hoang đường. Saccheri đâu thể biết được rằng, nhìn ở góc độ nào đó thì một ảo ảnh hoang đường cũng là thực tại và hình học Ơclít lại cũng chỉ là một ảo ảnh hoang đường!.

Thời gian trôi đi, tư duy của loài người càng thêm nung nấu trước những đòi hỏi phải được giải quyết rốt ráo đối với những khúc mắc nan giải, phải đạp bằng những chướng ngại ngăn cản, xuất hiện trên bước đường đi nhận thức thực tại khách quan để tiếp tục tiến lên. Sự nung nấu ấy rồi cũng đạt đến độ chín muồi làm nảy sinh ra những bộ não kiệt xuất ở vị trí tiền duyên làm nhiệm vụ mở đột phá khẩu, đưa tư duy của loài người đến tầm cao mới về nhận thức. Lôbasépxki và J. Bôia đã là hai người được “sở hữu” hai bộ não như vậy trong công cuộc tháo dỡ ách tắc có tên gọi là định đề 5 của hình học.

Với việc loại bỏ định đề 5 Ơclít và thay vào đó giả thiết đóng vai trò mệnh đề là, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước có thể vẽ vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, hay phát biểu tương đương: tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180^o, mà không gây ra bất cứ mâu thuẫn nội tại nào, Lôbasépxki và J. Bôia đã hầu như cùng một lúc sáng tạo ra một hệ thống hình học mới tuy khác với hình học Ơclít nhưng cũng không “kém” tính chân lý hơn so với hình học Ơclít, thậm chí trong chừng mực nào đó còn huyền diệu hơn. Hệ thống hình học này về sau được gọi là “Hình học Lôbasépxki - Bôia” và thuộc về bộ phận hình học có tên gọi là “Hình học hyperbôlic”. Không gian của hình học hyperbôlic có một cấu trúc được xây dựng nên từ sự suy lý thuần túy phi mâu thuẫn và vì thế mà cũng thiếu hẳn tính cảm nhận trực quan. Vậy thì nó có tồn tại trong thế giới vật lý, hay hơn nữa, trong thực tại khách quan hay không? Chính Gauxơ đã làm một thực nghiệm để tìm hiểu xem: với quan điểm vật lý thì tổng các góc trong một tam giác sẽ như thế nào. Ông đã đo rất cẩn thận các góc của một tam giác được tạo thành bởi ba đỉnh núi cách xa nhau. Nếu kết quả là nhỏ hơn 180^o rõ rệt thì có thể suy ra hình học hyperbôlic mô tả không gian thực tại phù hợp hơn so với hình học Ơclít. Song, thực nghiệm đã không giải quyết được vấn đề gì, bởi vì đối với những tam giác lớn với các cạnh dài cỡ khoảng vài hải lý thì sự sai khác so với 180^o mà hình học hyperbôlic đã tiên đoán vẫn còn nhỏ đến nỗi các dụng cụ của Gauxơ không thể phát hiện ra được. Như vậy, thực nghiệm cũng chỉ ra rằng hình học Ơclít và hình học hyperbôlic là tiện dụng như nhau trong một không gian vật lý ở những khoảng cách tương đối nhỏ, và chúng chỉ khác nhau rõ rệt ở những khoảng cách không gian thực sự rộng lớn.

Hình học Lôbasépxki -  Bôia chỉ thay đổi nội dung của định đề 5 trong hệ thống các định đề của Ơclít, cho nên nó cũng mặc nhiên thừa nhận tính vô hạn của mọi đường thẳng. Tuy nhiên sau khi hình học Lôbasépxki - Bôia xuất hiện và đóng vai trò là sự mở đường cho việc xây dựng hình học một cách tự do thì một vấn đề tự nhiên được đặt ra là có thể nào xây dựng một hệ thống hình học mà trong đó tổng các góc trong một tam giác có thể lớn hơn 180^o, hay là không gian của hệ thống đó là “kín” và mọi đường thẳng đều hữu hạn? Bằng lập luận chặt chẽ, trước đây Saccheri đã ngay lập tức thẳng thừng bác bỏ một hệ thống hình học như thế vì nó vi phạm các định đề còn lại của Ơclít. Do đó nếu tồn tại một hệ thống hình học có không gian “kín” và mọi đường thẳng trong đó đều hữu hạn thì đương nhiên không những nó không được có mâu thuẫn nội tại, mà còn đối với nó, không chỉ riêng định đề 5 mà cả những định đề “dính líu” đến tính vô hạn của đường thẳng trong hệ định đề Ơclít cũng phải mất hiệu lực. Hơn nữa nếu có thể xây dựng hệ thống hình học đó thì nó phải thuộc về bộ phận hình học có những tính chất tương phản với bộ phận hình học hyperbôlic. Vậy thì có thể tồn tại một bộ phận hình học như thế không? Chính Riman đã trả lời một cách khẳng định.

Coi các định đề Ơclít và định đề Lôbasépxki - Bôia như những giả thuyết, Riman cũng đưa ra một định đề của mình là: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, không thể vẽ được bất cứ đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho. Từ giả thuyết này, Riman đã xây dựng nên một môn hình học được gọi là “Hình học Eliptic”. Hình học eliptic cũng hoàn mỹ như hình học Ơclít cũng như hình học hyperbôlic. Trong môn hình học này, hoàn toàn không có các đường song song, tổng các góc trong của một tam giác lớn hơn 180^o, các đường thẳng luôn cắt nhau, mọi đường thẳng đều là đường đóng kín… Do tính đóng kín của đường thẳng mà mặt phẳng và cả không gian của hình học này cũng đóng kín.

Có thể hình dung không gian của hình học eliptic như là một mặt cầu (không gian eliptic hai chiều), trong đó đường thẳng được qui ước là đường tròn lớn hay còn gọi là đường trắc địa của mặt cầu (đây chính là cách mô tả “thế giới” tự nhiên nhất của những người đi biển). Nếu trong hình học Ơclít, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm phân biệt là đoạn thẳng nối hai điểm đó thì tương tự, trong hình học eliptic (trên mặt cầu), khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là đoạn ngắn nhất thuộc đường trắc địa nối hai điểm đó. Điều hiển nhiên là trên mặt cầu, nếu có ba điểm không thuộc cùng một đường trắc địa (không “thẳng hàng”) thì luôn dựng được một tam giác và tổng ba góc trong của nó lớn hơn 180^o. Một điều cũng hiển nhiên nữa là các đường trắc địa là kín và luôn cắt lẫn nhau…

Do hình học eliptic có thể được hình dung và lý giải tương đối rõ ràng bằng hình học thông thường trên mặt cầu nên có thể nghĩ Riman đã lặp lại những phát kiến của Gauxơ. Trước đó, Gauxơ cũng có xây dựng được môn hình học có tính nội bộ của các mặt cong, trong đó bao gồm cả mặt cầu. Tuy nhiên, nếu như Gauxơ chỉ quan tâm một cách cục bộ đến những qui luật hình học của các mặt thì Riman lại hướng đến việc khám phá bí ẩn của không gian. Chính vì vậy mà Gauxơ đã phải ca ngợi hết lời. Cũng vì thế mà Riman đã có những bước tiến vượt bậc so với đương thời về nhận thức trong lĩnh vực hình học. Riman đã từng cho rằng, muốn hiểu rõ được bản chất của thực tại khách quan vật lý thì trước hết phải hiểu rõ được bản chất của không gian, và theo ông, không gian chính là hình học. Riman cũng thừa nhận điều mà Lôbasépxki đã đề xuất, rằng: mêtríc của không gian phụ thuộc vào tính chất của các lực tác dụng. Từ luận điểm này mà ông đã đi tới một tư tưởng cách mạng về hình học rằng là không gian vật lý, thậm chí là không gian thực tại mà con người đang chứng kiến, là có độ cong. Chỉ trong những phạm vi vô cùng nhỏ của nó thì mới có thể coi là không gian Ơclít. Riman cho rằng độ cong của một gian bất kỳ nào đó là thước đo mức độ khác biệt của nó so với không gian tuyến tính của Ơclít. Với khái niệm độ cong của không gian, có thể coi không gian Ơclít có độ cong bằng 0. Không gian của hình học hyperbôlic có độ cong âm, và không gian eliptic có độ cong dương.

Nhưng trong ba hệ thống hình học đều phi mâu thuẫn ấy thì hình học nào mô tả tốt nhất về không gian hiện thực? Rất có thể rằng, chính câu hỏi này đã tạo ra dấu ấn thiên tài toán học của Riman. Từ quan niệm về sự biến dạng mêtríc phụ thuộc vào lực tác dụng của không gian vật lý, Riman đi đến một kết luận cực kỳ quan trọng rằng, độ cong của không gian vật lý thay đổi từ điểm này qua điểm khác và nó cũng xác định luôn hình học nào trong ba môn hình học mô tả xác đáng đặc tính hình học ở vùng lân cận của một điểm nào đó. Nói cách khác, Riman cho rằng các hệ thống hình học Ơclít, hyperbôlic và eliptic với những độ cong không đổi, chỉ mang tính lý tưởng, có tính bộ phận, địa phương.

Quá trình suy lý hơn người đó của Riman đã đưa ông đến một ý tưởng trác tuyệt rằng có thể xây dựng được một lý thuyết hình học tổng quát có khả năng bao quát tất thảy mọi hệ thống hình học mà con người có thể nghĩ ra được, đồng thời cũng đóng vai trò là một công cụ đích thực trong công cuộc khảo sát không gian vật lý vì nó đã mô tả đúng đắn cấu trúc của không gian thực tại khách quan (theo “ngôn ngữ” của loài người).

Để xây dựng môn hình học tổng quát đó, Riman cho rằng không gian của nó có cấu trúc như mạng lưới gồm vô vàn các phần tử (các điểm). Trong không gian ấy, do những tác động vật lý mà xuất hiện các tập hợp gồm số lượng hữu hạn những phần tử lân cận, gần nhau hợp thành những không gian con và mang đặc tính của một loại hình học nào đó. Một không gian có cấu trúc mạng lưới như vậy thì được gọi là không gian mêtríc.

Trong hình học Ơclít, người ta định nghĩa: một tập hợp được gọi là “không gian mêtríc”, nếu như mỗi cặp phần tử của nó đặt tương ứng một số thực không âm gọi là “khoảng cách”. Trong không gian Ơclít phẳng, khoảng cách giữa hai điểm là đoạn thẳng nối hai điểm đó và nếu “đặt” đoạn thẳng đó trong tọa độ Đềcác 2 chiều (a,b) mà một trong hai điểm đó trùng với gốc tọa độ thì sẽ có biểu thức:

                 

                  Với: c là độ dài khoảng cách giữa hai điểm

                          a và b là hai tọa độ của điểm còn lại.

Riman tài giỏi ở chỗ thấy được yếu tố cơ bản đặc trưng cho hình học của một không gian nào đó chính là hình thái biểu hiện của khoảng cách. Đối với không gian phẳng Ơclít thì khoảng cách là một đoạn thẳng. Đối với không gian bất kỳ thì khoảng cách cũng phải thể hiện tính bất kỳ đó. Từ đó, Riman đã mở rộng khái niệm khoảng cách trong không gian Ơclít, tổng quát hóa để áp dụng được cho mọi không gian phi Ơclít. Và ông cũng đã xác định được một hàm tổng quát của phép “đo” khoảng cách giữa hai điểm, bất kể độ cong của không gian chứa hai điểm đó như thế nào, và thậm chí độ cong đó biến đổi từ điểm này tới điểm khác. Biểu thức bình phương khoảng cách Riman được viết như sau:

                 

Với i, j lấy các giá trị nguyên 1, 2 (không gian 2 chiều), hay 1, 2, 3 (trong không gian 3 chiều). Vế phải của biểu thức thực ra là một tổng, nhưng viết đơn giản theo qui ước đặt chỉ số của Anhxtanh, trong đó g_ij là những hàm nào đó của tọa độ không gian và được gọi là tenxơ mêtric, dxⁱ là hệ tọa độ. Có thể tạm hiểu “tenxơ” là những biểu diễn toán học mô tả mối quan hệ giữa hệ quan sát (hệ tọa độ) và các đại lượng vật lý cùng với những qui luật biến đổi của chúng.

Trên cơ sở hàm khoảng cách, Riman đã đưa ra khái niệm độ cong của đa tạp (hay của tập hợp). Mỗi đa tạp có một độ cong nhất định, cho nên không gian của Riman là một không gian có độ cong biến đổi và bao hàm tất cả các loại không gian Ơclít, hyperbolic, eliptic và những không gian có thể có khác.

Môn hình học tổng quát mà Riman muốn xây dựng và đã xây dựng thành công là như thế. Đó cũng là cốt lõi tư tưởng và nội dung của “Bài giảng thử” nổi tiếng. Sau này, người ta gọi hệ thống hình học đó là “Hình học đa tạp” (các tập hợp) của Riman”.

(Còn tiếp) 
______________________________________