TT&HĐ IV - 36/i

 

  Tư duy phản biện

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 
 

 

 

 (Tiếp theo)

Trong khi Taylor xem xét lại các phương pháp thay thế khác thì Wiles quyết định dùng trọn tháng 9 để nhìn lại một lần nữa cấu trúc của phương pháp Kolyvagin-Flach để thử chỉ ra một cách chính xác tại sao nó lại không vận hành như ông mong muốn. Wiles vẫn còn nhớ rất rõ ngày định mệnh đó: “Một buổi sáng thứ hai, ngày 19 tháng 9, tôi đang ngồi bên bàn làm việc, kiểm tra lại phương pháp Kolyvagin-Flach. Mặc dù không còn tin nó có thể vận hành tốt nữa, nhưng tôi nghĩ rằng ít ra tôi cũng phải biết được tại sao lại như vậy. Tất nhiên, tôi biết việc này cũng chẳng khác gì mò kim đáy bể, nhưng tôi muốn lấy lại sự tự tin cho mình. Và rồi đột nhiên, hoàn toàn bất ngờ, tôi đã có được sự phát hiện huyền diệu đó. Tôi chợt nhận ra rằng, mặc dù phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành không tốt một cách hoàn chỉnh, nhưng đó là những gì tôi cần để làm cho lý thuyết Iwasawa mà tôi thử dùng 3 năm về trước, giờ đây trở nên áp dụng được. Như vậy là từ đống tro tàn của phương pháp Kolyvagin-Flach đã xuất hiện câu trả lời đích thực cho bài toán”.

Lý thuyết Iwasawa là một phương pháp phân tích các phương trình eliptic. Riêng bản thân nó cũng như riêng bản thân phương pháp Kolyvagin-Flach thôi thì không đủ. Kết hợp lại, chúng sẽ bổ sung tuyệt vời cho nhau. Sự phát hiện này đã làm cho Wiles vô cùng hứng khởi: “Nó đẹp đến mức không sao mô tả nổi, mà lại đơn giản và tao nhã nữa. Tôi không hiểu tại sao mà trước kia tôi lại không nhìn ra. Tôi chằm chằm nhìn vào nó trong hơn 20 phút mà vẫn tưởng mình mơ…”.

Lần này thì không ai có thể nghi ngờ gì về chứng minh của Wiles được nữa. Hai bài báo, cả thảy gồm 130 trang, là những bản thảo toán học được săm soi kỹ lưỡng nhất trong lịch sử và cuối cùng đã được công bố trên tạp chí Annals of Mathematics vào tháng 5-1995.

Ngày 27-6-1997, Andrew Wiles đã được trao Giải thưởng Wolfskehl với giá trị khoảng 50 ngàn đôla Mỹ.

Chứng minh của Wiles là một tuyệt phẩm của toán học hiện đại. Nó đồng thời đáp ứng được một cách mỹ mãn đòi hỏi cấp bách của nền toán học đương đại và khát vọng cháy bỏng đầy cảm tính của con người.

Rốt cuộc thì rồi Định lý lớn Fecma cũng đã được chứng minh dù rằng bằng một con đường có vẻ kỳ quặc, ít ai có thể ngờ tới. Thế nhưng đó cũng có thể là một minh chứng tốt cho tính thống nhất, liền lạc, không thể tách rời được của một Vũ trụ số rời rạc, có thể phân loại, tạo nhóm được.

Tuy nhiên, câu chuyện về Định lý lớn Fecma có thể vẫn chưa kết thúc vì chứng minh nó là một chuyện còn đi tìm chứng minh mà Fecma cố tình làm cho thất lạc lại là chuyện khác.

Không thể chối cãi được rằng về mặt kỹ thuật, chứng minh của Wiles, dựa trên những phát kiến toán học mà nền toán học của thế kỷ XX có được, không thể tương đồng với chứng minh của Fecma, chỉ dựa trên nền tảng toán học “lạc hậu” của thế kỷ XVII.

Thế nhưng, vì chẳng thấy hồn vía chứng minh của Fecma ở đâu cả nên cũng có thể đặt câu hỏi: phải chăng thực sự Fecma đã chứng minh được nó hay là đã có một chứng minh nhưng hoàn toàn sai lầm mà ông không biết? Và sau 350 năm vật lộn với Định lý lớn Fecma, đám hậu bối dù đã chiến thắng nó thì vẫn làm cho rất nhiều người còn băn khoăn. Phải chăng đó cũng là một biểu hiện thiên tài của Ông hoàng nghiệp dư?

***

Có thể nói Vũ trụ số là hình ảnh toán học của Vũ Trụ khách quan. Vũ Trụ khách quan là một thực thể không phải thực thể và biến đổi tận chân tơ kẽ tóc một cách diệu kỳ đến bất tận nhưng hóa ra cũng bất biến. Vì vậy mà Vũ Trụ số cũng chính là một Modular vĩ đại?

Chúng ta đã định kể xong Định lý lớn Fecma thì sẽ hướng bộ não đầy hoang tưởng của mình đến những vấn đề khác với những câu chuyện hay ho khác. Thế nhưng chính nội dung câu chuyện này đã để lại dư âm quá đỗi ồn ào khiến chúng ta vẫn không thể từ bỏ được Vũ Trụ số, và còn thôi thúc chúng ta phải ngoái lại để nhìn ngắm nó một lần nữa.

Nền tảng của Vũ Trụ số, biểu hiện ra một cách rời rạc, là tập hợp những con số 1 và chúng ta có thể biểu diễn thành một dãy những con số đó:

1, 1, 1, …

Khi quan sát một số lượng như thế thì yêu cầu tự nhiên của nhận thức là phải định lượng nó, nghĩa là phải đếm, phải tổng kết:

1 + 1 + 1 + …

Nếu Vũ Trụ số là vô hạn thì nó gồm có vô hạn () số 1. Nếu Vũ Trụ số là hữu hạn thì nó chỉ gồm N số 1 (với N là số tự nhiên cực đại). Khi nhận thức đã tạo được ra số N thì có nghĩa là trước đó nó đã tạo được ra dãy số đếm. Cũng vì xuất hiện dãy số đếm mà từ cách viết:

có thể chuyển sang cách viết:

1 + 1 + 1 + … + 1 = N

và cách viết:

Nếu những số 1 ở trên là đơn vị tuyệt đối của Vũ trụ số thì khoảng cách giữa hai số đếm liên tiếp là số 1 tuyệt đối. Nếu những số 1 đó là tương đối thôi thì khoảng cách đó cũng là số 1 tương đối và bằng một tổng nào đó của số 1 tuyệt đối. Tổng đó sẽ vô hạn độ nếu Vũ trụ số là vô hạn.

Biểu hiện của Vũ trụ khách quan có tính nước đôi nên hình ảnh toán học của nó là Vũ trụ số cũng có tính nước đôi. Một trong những biểu hiện về tính nước đôi của Vũ trụ số là lúc thì thấy nó hữu hạn, lúc lại thấy nó vô hạn, lúc thì hữu hạn trong vô hạn, lúc thì vô hạn trong hữu hạn... Chính vì vậy mà dãy tổng các số đếm dù có thể là kết thúc bằng số đếm n nào đó thì vẫn cứ hàm chứa sự vô hạn. Cũng chính vì thế mà dù n là số đếm cực đại thì vẫn tồn tại một số tự nhiên N > n không thuộc dãy tổng các số đếm nhưng đồng thời cũng là số đếm.

Có thể biện luận để từ dãy các số đếm, với số 1 chỉ là đơn vị tương đối, qua sự biến đổi nào đó bằng các phép toán cơ bản, xuất hiện một dãy gồm tất cả các loại số thực. Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ nói về các số tự nhiên và số nguyên.

Từ đẳng thức , thông qua 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia, chúng ta có thể viết:

với  là một số nguyên nào đó.

Vì Vũ trụ số có hằng hà sa số các dãy số đếm nên có thể viết:

Chúng ta cho rằng là dạng thức nguyên thủy, sơ khai nhất và cũng tổng quát nhất của tất cả các đa thức, các phương trình đa thức được tạo dựng nên một cách tự nhiên (hợp lý!).

Viết được thì cũng sẽ viết được:

với A, B là số nguyên.

Vế trái của được biết với một cái tên nổi tiếng là “Nhị thức Niutơn” và có thể khai triển:

                 

Có thể biểu diễn các thừa số k_i theo qui ước của toán tổ hợp:

                 

                  với p = 1, 2, …, n+1

Và viết lại:

                 

Nếu đặt A (hoặc B) bằng X (ẩn số), còn các số còn lại coi như đã biết và đặt lại ký hiệu các thừa số thì chúng ta sẽ có phương trình đa thức tổng quát của tự nhiên:

                 

                  với k_n = Bⁿ - Nⁿ

Nếu chúng ta tùy tiện thay đổi trị số của các thừa số k_i thì sẽ được vô số kể các phương trình đa thức của tự nhiên lẫn nhân tạo mà trong đó chỉ có những phương trình thỏa mãn k hoặc l mới có nghiệm nguyên hoặc có thể nói những phương trình có nghiệm nguyên là những phương trình có thể đưa được về dạng tổng lũy thừa của 2 số nguyên bằng một số nguyên có lũy thừa cùng bậc

Thí dụ:

1- Có phương trình bậc 2: . Có thể phân tích thành:

                 

Do đó xuất hiện:

                 

Nghiệm của nó là 1 số nguyên, x = 2. Điều này chỉ đúng trong Thế giới số hữu tỷ (vì xuất hiện số thập phân) chứ không đúng trong Thế giới số nguyên. Tuy nhiên, nếu nhân 2 vế của phương trình lên 4 lần thì nghiệm x = 2 lại đúng trong thế giới số nguyên:

                 

2- Từ phương trình bậc 2: , có:

                 

                  Thí dụ này ủng hộ cho nhận định trên!

3- Từ phương trình , chúng ta cũng thiết lập được:

                

Vì 24 không phải là một số chính phương nên không thỏa mãn và do đó mà:

                    là một số không nguyên

Hay có thể nói trong Thế giới số nguyên, bài toán này không có nghiệm.

Ở đa thức , nếu chúng ta đặt:

                 

thì ngay lập tức chúng ta biết được rằng M ắt hẳn phải là số nguyên.

Trước hết chúng ta viết lại theo ký hiệu mới:

                 

Nếu x, k, z là những số chẵn thì chúng ta có thể chia 2 vế của (bây giờ gọi là) phương trình cho . Và nếu vẫn còn hiện tượng 3 số đều chẵn thì tiếp tục thực hiện việc ước lược như thế cho đến khi đạt kết quả  cuối cùng là lũy thừa của tổng một số lẻ và một số chẵn bằng một số lẻ có lũy thừa cùng bậc. Không thể có trường hợp cả ba số cùng lẻ vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn.

Triển khai và đưa ký hiệu vào, chúng ta được

                 

Nhìn lại chúng ta thấy: luôn luôn chọn được một số D để cho: 

Do đó có thể viết lại:

                 

Chúng ta thấy rằng vì M luôn là một số chẵn nên M + 1 phải là số lẻ. Do tính chất của phép cộng số chẳn lẻ mà dãy khoảng cách của một dãy lũy thừa bất kỳ, luôn là dãy số lẻ, và khi viết như thì rõ ràng M + 1 chính là khoảng cách của hai số lũy thừa liên tiếp xⁿ, zⁿ (với z = x + 1) trong dãy số lũy thừa n.

Một câu hỏi lớn đặt ra là có khi nào tồn tại:

                 

để nghiệm đúng được:

                 

Đó cũng chính là thách đố của Fecma!

Khi n=0 thì tồn tại, khi n ≥ 1 thì luôn tồn tại (nhưng chưa chắc là có nghiệm nguyên). Khi n = 2 thì:

                 

và phương trình này luôn có nghiệm khi khoảng cách giữa hai số bình phương là một số lẻ bình phương, hay có thể nói khi n = 2 thì phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Khi n = 3:

                 

Giải phương trình này, đối với trình độ toán học còn ở thời cổ đại của chúng ta, là một công việc quá kinh khủng, cho nên cần phải tìm một con đường khác, có thể là “xấu xí” và thực dụng hơn, nhưng may ra còn có thể vớ được chút gì đó. Đi đâu đây? Hình như các nhà toán học đã xục xạo mọi nơi trong Vũ trụ số rồi. Thôi thì cứ quay lại con đường mà chúng ta đã đi và cho rằng con đường đó chưa bị “cày nát” bởi các nhà toán học cổ kim. Chúng ta hãy viết lại dãy số đếm lập phương cùng với các dãy số khoảng cách của nó để ngắm nghía lại và “dò dẫm” nó:

     

Chúng ta gọi b là khoảng cách của 2 số lập phương liên tiếp x³ và z³, thì:

x³ + b = z³

Nếu chứng minh được có một số lẻ y nào đó để cho b = y³ thì phương trình Fecma với n = 3 sẽ có nghiệm nguyên.

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng nếu tồn tại một số b = y³, với ràng buộc z = x + 1 thì nó phải nhỏ hơn x³, nghĩa là nó phải là một số lập phương lẻ nằm đâu đó trước x³ trong dãy số đếm lập phương.

Ở dãy số đếm bình phương, dãy số khoảng cách của nó là dãy số lẻ cơ bản, nên dãy này cũng chứa chấp toàn bộ các loại số lẻ lũy thừa các cấp và riêng các số lẻ bình phương thì đều có mặt trong dãy số bình phương nên không những có thể viết:

x² + y² = z²

mà còn viết được:

x² + y^m = z², với m = 1, 2, 3, …

để cho ra vô số bộ nghiệm nguyên

Với ràng buộc z = x + 1 thì y^m < x² cũng là một tất yếu. Nói thêm, khi n = 2, nếu có bộ ba số x’, y’. z’ với x’ chẵn và z’ x + 1 là nghiệm đúng của phương trình thì cũng có bộ ba số x, y, z với z = x + 1 là nghiệm đúng của nó và ngược lại, nếu x, y, z với z = x + 1 là nghiệm đúng của phương trình Fecma thì cũng có ít nhất một bộ số x’, y’, z’ với z’ x + 1 và x’ + y’ = z, là nghiệm đúng của nó. Điều đó đúng luôn khi n > 2.

Có thể lấy một thí dụ cho n = 2:

- Cho y² = 2x + 1 = 13², suy ra x = 84 và z = 84 + 1 = 85. Vậy có ba số x = 84, y = 13, z = 85 là nghiệm đúng của phương trình Fecma khi n = 2.

84² + 13² = 85²

Vì có nghiệm là bộ ba số như trên (với điều kiện z = x + 1) nên cũng sẽ có bộ 3 số khác (với z’ 85 và x’ + y’ = 85) là nghiệm đúng của phương trình Fecma khi n = 2, và chúng ta đã dò dẫm được:

60² + 25² = 65²

- Nếu có: 20² + 21² = 29², thì vì:

(40 + 1)² = 41²

nên cũng có:

402 + 2 x 40 + 1 = 40² + 9² = 41²

Qua quan sát trực quan, chúng ta còn thấy điều nữa là trong khi dãy khoảng cách của dãy số đếm bình phương là dãy số lẻ tăng dần đều (cấp số cộng) với số lượng (công sai) là 2 đơn vị, thì dãy khoảng cách của dãy số đếm lập phương là dãy số lẻ tăng dần một cách có “gia tốc” (nhanh dần).

Như chúng ta đã biết, trong vật lý học, vận tốc của một chuyển động nhanh dần đều được tính theo công thức:

v_t = v_o + at

với: v_o là vận tốc ban đầu

       v_t là vận tốc sau khoảng thời gian t

       a là gia tốc

Ở đây, chúng ta cho rằng:

v_o là số trị khoảng cách ban đầu và bằng 1

v_t là số trị khoảng cách nào đó cần tìm

a là bằng 6

t là tổng số thứ tự nào đó để có v_t;

thì có thể áp dụng công thức vật lý trên để tính ra bất kỳ số hạng nào trong dãy khoảng cách của dãy số đếm lập phương.

Chẳng hạn với t₂ = 1 (tổng số thứ tự là 1) thì số hạng thứ hai của dãy khoảng cách là:

V₂ = v_o + at = 1 + 6 x1 = 7

Trong trường hợp t₂ = 3 (tổng số thứ tự là 1 + 2) thì:

V₂ = vo + at = 1 + 6 x 3 = 19

Trong trường hợp t₃ = 1 + 2 + 3 = 6, thì:

V₃ = vo + at = 1 + 6 x 6 = 37

…

v_t chính là số trị b của một khoảng cách nào đó giữa hai số lập phương liên tiếp x³ và z³ (với z = x + 1) mà x³ + b = z³.

Chúng ta cho rằng nguyên nhân sâu xa gây ra sự không có nghiệm nguyên đối với phương trình Fecma khi n > 2 là hiện tượng phát triển có gia tốc trong nội tại dãy khoảng cách của dãy số đếm lũy thừa. Nếu chứng minh được phương trình Fecma với n = 3 vô nghiệm (nguyên) thì những phương trình Fecma với n > 3 “càng” vô nghiệm.

Từ phương trình: y³ = 3x² + 3x + 1, có thể viết thành:

y³ = (x + 1)² + x(x + 1) + x²

Vì z =  x + 1, nên chúng ta có phương trình bậc hai đối với ẩn số z:

z² + xz +x² – y³ = 0

Nghiệm của phương trình này là:

Muốn có nghiệm nguyên thì trước hết  phải cho kết quả là một số nguyên chẵn t nào đó, và có thể viết:

       (Đây chính là một dạng của phương trình eliptic).

Cộng và trừ vế trái cho 3x² thì có:

                 

Suy ra:

                 

Vì x là một số chẵn nên x² không thể thuộc dãy khoảng cách của bất cứ dãy số đếm lũy thừa nào và trong trường hợp đã qui ước ở đây, nó phải là thành viên của dãy số đếm bình phương.

Vì y³ là một số lẻ nên nó luôn thuộc về dãy khoảng cách của dãy số đếm bình phương (dù cũng có thể có mặt trong dãy khoảng cách của nhiều dãy số đếm lũy thừa khác). Nếu biểu thức:

                 

tồn tại một cách chân lý thì z’ phải là một số lẻ e² nào đó thuộc dãy các số đếm bình phương. Lúc này, có thể viết:

                 

Muốn thế, vế trái phải viết được:

                 

Từ đó:

                 

    

Một số lẻ sẽ không bằng một số chẵn được nên kết quả vừa xuất hiện là một “kỳ quái”. vậy thì z’ không bao giờ hiện hữu được trong dãy các số đếm bình phương.

Nhưng z’ có hiện hữu được trong dãy số đếm lập phương không? Rất có thể! Tuy nhiên phải cho rằng vì lúc này nó thỏa mãn biểu thức:

                 

cho nên nó vẫn “chính thức” đang là thành viên thực sự của thế giới số đếm bình phương. Sự xuất hiện của nó trong dãy số đếm lập phương chỉ được coi như một sự “tình cờ thú vị”.

Muốn khẳng định z’ là thành viên chính thức, “không chê vào đâu được” trong dãy số đếm lập phương thì cả biểu thức

cũng phải thuộc về thế giới số lập phương, nghĩa là x² phải chuyển biến thành x³, và vì thế:

                       

để có:              

Vì  là điều kiện tiên quyết của bài toán nên nó phải được ưu tiên thỏa mãn và cũng vì:

                 

Và:            

không thể cùng đồng thời tồn tại một cách chân lý, cho nên biểu thức: là sai, phải bị loại trừ.

Vậy, phương trình Fecma với n = 3 vô nghiệm. Hơn nữa, tất cả các phương trình Fecma với n > 3, do bị chi phối bởi hiện tượng “gia tốc” trong dãy khoảng cách của chúng, nên cũng đều không có nghiệm nguyên.

Sự biện giải một cách “nhanh nhảu” ở trên có làm cho chúng ta trở thành một nhà toán học có chút tài của thế kỷ XXI không? Chắc là không thể hy vọng vào điều đó được rồi vì khi xem lại, chúng ta đã thấy toàn ngù ngờ, mù mờ và một lỗ hổng kiến thức quá lớn phơi bày ra rành rành, không có cách gì “lấp liếm” nổi.

Thôi, “ba mươi sáu chước, chước chuồn là hơn cả” (tam thập lục kế, dĩ đào thượng sách), chúng ta nên rời khỏi đây để… thò mũi vào chuyện khác.

 (Hết chương XXXVI)
---------------------------------------------------------------