Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (A)

(ĐC sưu tầm trên NET)

Sách là ngọn đuốc soi rọi chân lý, là chiếc khăn thấm đẫm máu, nước mắt và lòng nhân ái của loài người!
--------------------------------------------------------------------
"Nguồn Thuvienvatly.com"

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 1)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ bảy, 06 Tháng 7 2013 11:20

Sau quyển "Những câu hỏi và bài tập vật lí phổ thông" (L. Tarasov & A. Tarasova), tiếp tục với phong cách trình bày kiểu Hỏi-Đáp, TVVL giới thiệu với các bạn bản dịch của quyển sách “Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử” (A.L. Audichya); bản dịch dựa trên bản in phát hành năm 2008 ở Ấn Độ.

LỜI NÓI ĐẦU

1. Mục đích của quyển sách này là gì?

Để truyền tải đến độc giả mức độ nhận thức toán học cao nhất và giới thiệu những thành tựu toán học xuất sắc.

2. Những thành tựu toán học vừa nói là những thành tựu nào?

Trước hết là sự đa dạng hóa của toán học, tức là trước đây chúng ta có hình học, nay chúng ta có các loại hình học, và các loại đại số thay cho đại số. và các hệ thống số thay cho hệ thống số.

Một số thành tựu khác bao gồm:

Lí thuyết phương trình đại số của Galois;

Định lí không hoàn hảo của Godel;

Chuỗi Fourier và những tập hợp vô hạn;

Lí thuyết nhóm; ma trận; giải tích số phức;

Topo học; giải tích hàm;

Vân vân.

3. Quyển sách này nhắm tới đối tượng độc giả nào?

Nó dành cho những người không chuyên hiếu kì muốn tìm kiếm những câu hỏi nhanh đáp gọn và không muốn sa vào nghiên cứu chi tiết các khái niệm và quan điểm toán học.

4. Nó có yêu cầu gì đối với độc giả trẻ tuổi hay không?

Có. Ở đây, độc giả trẻ cần có một chút cái nhìn toán học vượt ngoài cái họ đã học ở trường.

5. Có phải quyển sách này dự định thay thế cho sách giáo khoa không?

Không hề. Mục tiêu là rất khiêm tốn. Đó là thôi thúc độc giả tiếp tục tìm hiểu những vấn đề được trình bày ở đây.

6. Quyển sách này có sức hút đối với nhà toán học hay không?

Một nhà toán học thường bị trói buộc với một lĩnh vực riêng và hạn chế. Quyển sách này sẽ cung cấp cho anh ta một cái nhìn tổng quát của toán học.

Quyển sách này cũng sẽ hỗ trợ anh ta tìm kiếm câu trả lời cho những mơ hồ triết lí trong toán học. Nhân thể, mỗi môn học luôn có những mơ hồ như thế.

7. Quyển sách chia làm ba phần chính. Có cần đọc chúng theo thứ tự hay không?

Không cần thiết. Muốn đọc phần nào trước cũng được.

Cũng không cần thiết đọc tuần tự từng câu hỏi trừ khi chúng thu hút người đọc. Nếu có cái gì đó kém hấp dẫn hoặc không thu hút thì bạn có thể bỏ qua.

Bạn có thể lật lại đọc câu hỏi cũ nếu bạn thấy nó còn hấp dẫn.

8. Tại sao tác giả lại chọn kiểu trình bày hỏi-đáp?

Bởi vì trình bày dài dòng sẽ khiến độc giả phổ thông mau chán, còn dạng hỏi-đáp sẽ giữ được sự chú ý của anh ta.

9. Các câu hỏi tuần tự nhau theo khuôn mẫu gì?

Trong chừng mực logic có thể thôi, nghĩa là một câu hỏi hoặc được đề xuất hoặc phát sinh từ câu hỏi trước đó, hoặc có thể chẳng có liên quan gì.

10. Phong cách trình bày theo kiểu gì?

Các câu trả lời đơn giản, minh bạch và dùng ngôn ngữ dễ hiểu, và càng ngắn gọn càng tốt.

11. Nhưng nếu thỉnh thoảng có những câu trả lời chi tiết không thể tránh khỏi thì sao?

Trong những trường hợp như thế, câu trả lời được chia thành những đoạn nhỏ mà độc giả có thể đọc hết hay không tùy theo khẩu vị và cảm xúc.

12. Yêu cầu căn bản khi đọc quyển sách này là gì?

Yêu thích toán học và những cái liên quan đến toán học.

13. Cần có căn bản toán học gì khi đọc quyển sách này?

Không nhiều. Có kiến thức toán học sơ cấp là đủ.

14. Những chủ đề chính trong chương Hình học là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Hình học Euclid và những khái niệm có liên quan.

(ii)                Hình học Lobachewski và hình học Riemann.

(iii)               Hình dạng của Trái đất, không gian và các hạt sơ cấp.

(iv)              Hình chiếu.

(v)                Hình học tọa độ 2, 3, 4 và n chiều.

(vi)              Hình học của không gian màu.

(vii)             Hình học hữu hạn.

(viii)           Topo học.

(ix)              Bài toán Cầu nối Koenigsberg.

(x)                Bài toán bốn màu.

(xi)              Phương pháp tiên đề trong hình học.

(xii)             Chủ nghĩa hình thức Hilbert.

(xiii)           Khám phá của Godel.

15. Những chủ đề chính trong chương Đại số là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Số học trừu tượng.

(ii)                Số học lí thuyết số.

(iii)               Mở rộng hệ thống số.

(iv)              Lí thuyết phương trình đại số.

(v)                Lí thuyết phương trình của Galois.

(vi)              Các phương trình Diophantine.

(vii)             Đại số trừu tượng.

(viii)           Lí thuyết nhóm và những vấn đề có liên quan.

(ix)              Vành, vector, ma trận, miền nguyên, trường, không gian vector, đại số tuyến tính.

(x)                Không gian Hilbert, không gian Banach.

(xi)              Đại số Boole.

(xii)             Câu nói năm 1901 của Russel.

(xiii)           Tập hợp đếm được và tập hợp không đếm được.

(xiv)           Giả thiết liên tục.

(xv)            Nghịch lí Barber.

(xvi)           Nghịch lí Russel.

16. Những chủ đề chính trong chương Giải tích là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Giải tích và những khái niệm cơ bản của nó.

(ii)                Giới hạn của thương, giới hạn của tổng, và giới hạn của chuỗi vô hạn.

(iii)               Nghịch lí Zeno về Achilles và con rùa.

(iv)              Chuỗi Fibonacci.

(v)                Vi phân và đạo hàm.

(vi)              Các ứng dụng hằng ngày của cực đại và cực tiểu.

(vii)             Bài toán tia sáng của Heron.

(viii)           Tổ ong và sai sót của Koenig.

(ix)              Đường cong lấp đầy-không gian.

(x)                Đạo hàm riêng và điểm yên ngựa.

(xi)              Tích phân và các ứng dụng của nó.

(xii)             Tích phân Riemann.

(xiii)           Tích phân Lebesgue.

(xiv)           Chuỗi Fourier.

(xv)            Hệ phương trình vi phân.

(xvi)           Hệ phương trình Laplace.

(xvii)         Hệ phương trình Maxwell.

(xviii)        Hệ phương trình tích phân.

(xix)           Các hàm biến phức.

(xx)            Các hàm giải tích và dòng chất lưu.

(xxi)           Khám phá của Zukovskii.

(xxii)         Hàm zeta của Riemann.

(xxiii)        Giải tích nhiều biến.

(xxiv)       Lí thuyết phân bố.

(xxv)         Giải tích thực.

(xxvi)       Giải tích hàm.

(xxvii)      Gần đúng của các hàm.

(xxviii)    Toán rời rạc.

(xxix)       Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng.

(xxx)         Giải tích hiện đại.

17. Nên đọc quyển sách như thế nào?

Trước tiên hãy đọc câu hỏi. Nếu bạn nghĩ bạn không biết câu trả lời thì cứ đọc tiếp. Nhưng nếu bạn nghĩ mình có câu trả lời hợp lí thì hãy tạm dừng một chút và đoán xem câu trả lời là gì. Tiếp theo hãy đọc câu trả lời và kiểm tra xem dự đoán của bạn có đúng không. Nếu bạn đúng thì bạn sẽ có một niềm vui nho nhỏ và niềm tin nữa, còn nếu không thì bạn có câu trả lời trong tay rồi.

18. Nội dung quyển sách có xuất xứ từ đâu?

Trong một quyển sách như thế này, thật không thể nào nhớ nổi một quan điểm hay một khái niệm lần đầu tiên tác giả bắt gặp là nằm ở đâu. Tác giả vay mượn các ý tưởng từ nhiều người và nhiều tác giả khác.

19. Tác giả có muốn cảm ơn ai không?

Quyển sách này được xuất bản là nhờ sự quan tâm liên tục của con gái tôi, Kiran Bhatt, và sự cố gắng bền bỉ, không mệt mỏi của tiến sĩ Latika Jha. Họ đáng được cảm tạ đặc biệt. Nhưng tôi không muốn cảm ơn họ. Tôi dành cho họ chỗ đề tặng của bản in lần thứ nhất này của quyển sách.

Tôi đặc biệt cảm tạ đội ngũ biên tập và xuất bản của nhà xuất bản Messrs. ABD, đặc biệt là Shri Gopal vì sự sắc sảo và hợp tác trong khâu thiết kế và in ấn quyển sách.

20. Còn những góp ý cải tiến quyển sách thì sao?

Các phê bình và góp ý cải tiến quyển sách luôn được hoan nghênh.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 2)

Viết bởi Trần Nghiêm Chủ nhật, 07 Tháng 7 2013 17:32

1

Hình học và các loại hình học

1. Có bao nhiêu loại hình học?

Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.

2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?

Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.

3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau à?

Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng 180^o, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180^o, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180^o.

4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!

Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.

5. Hinh học Euclid là gì?

Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid.

Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.

6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?

Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”.

Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.

7. Một cấu trúc logic là gì?

Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.

Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.

8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?

Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.

Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.

9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?

Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng. Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.

Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.

10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?

Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.

Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.

Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.

11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?

Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.

Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.

12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?

Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.

Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 3)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ ba, 09 Tháng 7 2013 19:58

13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?

Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.

Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.

14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?

Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.

Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.

15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?

Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.

16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?

Các giả thiết của Euclid như sau:

1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

17. Các tiên đề của hình học Euclid là gì?

Các tiên đề của Euclid như sau:

1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.

18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?

Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.

19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?

Chỉ sử dụng vài giả thiết căn bản này, Euclid đã chứng minh hàng trăm định lí, nhiều trong số chúng nổi tiếng, và đi đến xếp thứ tự các định lí.

Khái niệm chứng minh, cái cấu thành tinh thần căn bản của toán học, do Euclid nêu ra.

Vì các chứng minh phải được thực hiện hoàn toàn trong khuôn khổ các giả thiết, cho nên sự chọn lựa những giả thiết căn bản của Euclid thật sự là đáng nể và là thành tựu của thiên tài.

20. Định đề hai đường song song là gì?

Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.

Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 4)

Viết bởi Trần Nghiêm Chủ nhật, 14 Tháng 7 2013 08:08

21. Hình học Lobachewsky là gì?

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.

Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.

Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.

22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.

23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!

Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!

24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.

25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.

Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.

Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.

26. Hình học Riemann là gì?

Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.

Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.

Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.

27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?

Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi. Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba bộ môn hình học:

(i)                  Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

(ii)                Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.

28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?

So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.

Trong hình học Euclid:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.

(iii)               Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng p.

Trong hình học Lobachewsky:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180^o, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.

(iii)               Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn p, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.

Trong hình học Riemann:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180^o.

(ii)                Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.

(iii)               Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.

(iv)              Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn p, và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.

29. Bộ môn hình học nào đúng?

Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.

Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.

Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.

Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:

Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy.

Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:

Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 5)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ hai, 15 Tháng 7 2013 19:37

30. Vì một môn hình học được sáng tạo chỉ dựa trên hệ thống tiên đề của nó, vậy đâu là khả năng phụ thuộc của nó vào thế giới vật chất?

Đặc điểm của không gian vật lí của chúng ta được xác định chính xác bởi hình học Euclid nên trong hơn 2000 năm áp dụng nó luôn được xem là chân lí tuyệt đối về không gian vật lí.

Chỉ đến khi khám phá ra các môn hình học phi Euclid người ta mới nhận ra rằng hình học không phải là chân lí về không gian vật lí. Nó chỉ là một nghiên cứu của những không gian có thể có.

Những môn hình học khác nhau, được xác định bởi những hệ tiên đề khác nhau, do đó, không phải là những mô tả của thực tại.

Chúng đơn thuần là những mô hình mà thôi.

Từ quan điểm này, một cái khá may mắn là mô hình Euclid mô tả thực tại khá đầy đủ.

31. Vậy một định lí toán học thì có ý nghĩa gì?

Một định lí toán học về căn bản là một xác nhận có điều kiện.

Nó chỉ đúng nếu tập hợp các giả thiết từ đó suy ra nó là đúng.

Nhưng còn chuyện tập hợp các giả thiết đó là đúng hay sai thì định lí không xác nhận.

32. Tại sao? Nguyên nhân là gì?

Nguyên nhân là vì các giả thiết được lập theo các khái niệm, nói đại khái chúng không có ý nghĩa đặc biệt nào, cho nên các giả thiết là đúng hay sai không thể xác nhận được.

33. Phải chăng hình học Euclid không mâu thuẫn với các hình học phi Euclid?

Đúng vậy. Vì một mặt phẳng có độ cong bằng không, nên nếu thay số không vào giá trị của độ cong trong các công thức của các hình học phi Euclid, thì các công thức thu được giống hệt với các công thức của hình học Euclid.

Vì vậy, hình học Euclid có thể xem là một trường hợp đặc biệt của các hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát hơn.

34. Một đường thẳng có ý nghĩa gì?

Một cái hiện ra ngay trong đầu là các đường thẳng trên một mặt cầu hay mặt giả cầu thật ra là bị cong và có vẻ không thích hợp gọi chúng là thẳng.

Nhưng tất cả tùy thuộc vào cách chúng ta định nghĩa một đường thẳng.

Một cách định nghĩa một đường thẳng là nhận ra nó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

35. Định nghĩa này làm đơn giản vấn đề như thế nào?

Bây giờ khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của một hình cầu không phải là một đường thẳng mà là một đoạn của đường tròn nằm trên bề mặt của hình cầu đó.

Một đường tròn như vậy được gọi là “đường tròn lớn” và tâm của nó nằm tại tâm của hình cầu.^*

^* Nếu hai điểm nằm trên bề mặt của hình cầu được nối lại với sự hỗ trợ của một cái thước đâm xuyên qua hình cầu, thì đường thẳng thu được sẽ không còn nằm trên bề mặt của hình cầu nữa.

Nhưng vì đường thẳng đó phải nằm trên bề mặt, nên nó phải đi theo “đường tròn lớn”.

Một đường tròn lớn chia hình cầu thành hai phần bằng nhau. Đường xích đạo là một đường tròn lớn, nhưng các đường vĩ tuyến thì không phải. Một đường kinh tuyến là nửa đường tròn lớn.

Khái quát hóa khái niệm này, đường cong nằm trên một bề mặt và là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt đó được gọi là “đường trắc đạc” trên bề mặt đó.

Trên mặt phẳng thì đường trắc đạc là đường thẳng.

36. Đường trắc đạc trên những mặt khác nhau có khác nhau không?

Vâng, đường trắc đạc khác nhau tùy theo mặt nhất định.

Đường trắc đạc trên mặt phẳng thì hướng theo đường thẳng. Hai đường trắc đạc bất kì trên một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm, nhưng nếu chúng song song thì chúng không bao giờ cắt nhau.

Đường trắc đạc trên mặt cầu thì hướng theo đường tròn lớn. Trên một mặt cầu, hai đường trắc đạc, cho dù chúng có vẻ song song nhau, luôn luôn cắt nhau tại hai điểm.

Trong trường hợp Trái đất của chúng ta, toàn bộ các đường kinh tuyến là đường trắc đạc. Tại xích đạo, tất cả các kinh tuyến trông song song nhau, nhưng chúng đều cắt nhau tại hai cực.

Các đường trắc đạc trên mặt giả cầu tiến đến càng sát nhau càng tốt, nhưng chúng không bao giờ cắt nhau.

37. Cái gì xác định bản chất của đường trắc đạc?

Bản chất của đường trắc đạc trên một mặt phụ thuộc vào độ cong của mặt đó.

Một mặt phẳng có độ cong bằng không.

Một mặt cầu có độ cong dương không đổi tại mỗi điểm trên mặt của nó.

Bề mặt của một quả trứng có độ cong dương nhưng nó biến thiên từ điểm này sang điểm khác.

Một mặt giả cầu có độ cong âm không đổi.

Một mặt giống như mặt yên ngựa có độ cong âm.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 6)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ tư, 17 Tháng 7 2013 18:58

38. Có phải một “đường thẳng” phải kéo dài vô hạn ở cả hai phía không?

Các đường song song trong hình học Euclid không cắt nhau và cho dù kéo dài bao xa về mỗi phía thì chúng vẫn luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi. Một đường thẳng, do đó, được cho là kéo dài vô hạn ở cả hai phía.

Riemann đề xuất rằng không có nhu cầu logic nào cho một khái niệm như thế và mọi đường thẳng nếu kéo dài đủ mức có thể quay trở lại trên chúng và có cùng chiều dài giống như các đường kinh tuyến trên bề mặt Trái đất.

Trong trường hợp một hình cầu giống như Trái đất, mỗi kinh tuyến giao cắt với kinh tuyến khác ở hai điểm, đó là cực Bắc và cực Nam, nên mỗi cặp “đường thẳng” luôn luôn cắt nhau và khép kín một diện tích, và không có hai “đường thẳng” nào có thể song song nhau.

39. Nhưng làm thế nào một đường thẳng có thể tuân theo hình học Euclid lẫn hình học Riemann?

Giả thiết ngầm của Euclid ngụ ý rằng một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn. Theo Riemann, một đường thẳng, nếu kéo dài đủ mức, có thể quay trở lại trên chính nó.

Mâu thuẫn rõ ràng mà Riemann nêu ra là sự khác biệt quan trọng giữa vô hạn và khép kín.

Một đường thẳng có thể khép kín và không vô hạn giống như bề mặt của một quả cầu khép kín nhưng không vô hạn. Một đường thẳng không thỏa mãn yêu cầu nhất quán như thế khớp hoàn toàn với hình học Euclid và hình học Riemann.

40. Cái nào là hình học của Trái đất?

Đối với đa số mục đích thông thường, bề mặt của Trái đất hành xử như thể nó là phẳng. Do đó, để xây dựng nhà cửa, cầu đường, sân chơi thể thao, vân vân, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường thẳng và tổng số đo ba góc của một tam giác là 180^o, và hình học có thể áp dụng là hình học Euclid.

41. Còn khi xét những khoảng cách lớn trên Trái đất thì sao?

Xét một tam giác lớn trên bề mặt của Trái đất được tạo bởi một cung xích đạo và hai đoạn kinh tuyến, tức là hai đường tròn lớn vẽ từ cực Bắc và kết thúc trên cung này. Xem hình bên dưới:

Hai góc đáy mỗi góc bằng 90^o nên tổng ba góc của tam giác cộng lại sẽ lớn hơn 180^o.

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì không còn là một đường thẳng mà là một đoạn cung kinh tuyến, cho nên hình học Euclid không còn áp dụng được.

Thật vậy, ngay cả khi hai điểm trên bề mặt Trái đất chỉ cách nhau vài trăm mét, thì việc công nhận độ cong của Trái đất sẽ xác định khoảng cách chính xác giữa chúng.

42. Trái đất phẳng bao nhiêu hay cong bao nhiêu?

Một đường thẳng trong một mặt phẳng được nói là thẳng và không có độ cong, còn trong trường hợp đường tròn thì đường tròn càng nhỏ độ cong của nó càng lớn.

Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính 1 foot là có độ cong đơn vị, thì độ cong của một đường tròn bán kính 1 yard sẽ bằng một phần ba đơn vị; và với tỉ lệ này thì độ cong của đường tròn lớn trên bề mặt Trái đất sẽ vào khoảng một phần 21 triệu. Độ cong này là quá nhỏ nên một cung của một đường tròn như vậy trên thực tế không thể phân biệt với một đoạn thẳng.

Vì thế, hình học của Trái đất là hình học Euclid đối với những chiều dài hay khoảng cách nhỏ, và là hình học phi Euclid đối với những khoảng cách lớn.

43. Hình học của không gian mà chúng ta đang sống là hình học nào?

Gauss, “ông hoàng toán học”, đã chọn ba đỉnh núi ở xa nhau tạo nên một tam giác và tìm thấy tổng số đo ba góc của tam giác được tạo ra đó là bằng 180^o trong giới hạn của sai số thực nghiệm.

Thí nghiệm tỏ ra không thuyết phục bởi vì tam giác mà ông sử dụng là đủ lớn so với hình vẽ trên giấy, nhưng vẫn quá nhỏ so với kích cỡ của vũ trụ.

Nếu thay cho ba ngọn núi ở xa, chúng ta chọn ba ngôi sao ở xa, thì thí nghiệm vẫn không thuyết phục, mặc dù lần này là vì những lí do hoàn toàn khác.

44. Những lí do này là gì?

Vì trong trường hợp này, phép đo góc sẽ phải theo phương tiện tia sáng, và trong hành trình xuyên không gian của chúng, những tia sáng này bị bẻ cong theo độ lớn của trường hấp dẫn mà chúng đi qua, cho nên kết quả của phép đo sẽ cho chúng ta biết về các định luật truyền ánh sáng nhiều hơn là về bản chất của không gian, dù là Euclid hay không.

45. Không gian có ý nghĩa chính xác là gì?

Một quan điểm có thể là không gian hoàn toàn trống rỗng, một khoảng không không có vết tích của vật chất, nhưng trong một không gian như vậy không có cái gì để phân biệt một vị trí hay một phương hướng, cho nên không có vị trí, không có phương hướng và, vì thế, không gian hoàn toàn trống rỗng chẳng gì hơn là một sự trừu tượng.

46. Quan điểm khác thì sao?

Quan điểm khác cho rằng “không gian là hình thức tồn tại của vật chất”, cho nên tính chất của không gian thật sự là tính chất của những liên hệ nhất định của các vật thể, ví dụ, kích cỡ của chúng, vị trí tương hỗ, vân vân.

Theo quan điểm này, không gian thật sự không thể chia tách với vật chất. Vật chất xác định hình học và hình học giải thích cho hiện tượng trước đây quy cho lực hấp dẫn.

Không những vậy, như Einstein chứng minh, không gian không thể tách rời với thời gian, và chúng cùng nhau tạo nên một hình thức tồn tại của vật chất, đó là không-thời gian.

47. Nếu không gian và thời gian được xem như những thực thể riêng biệt thì sao?

Cấu trúc của không-thời gian là phức tạp và không gian không thể tách rời với thời gian ngoại trừ dưới những giả thiết nhất định, trong trường hợp đó không gian hóa ra là Euclid trong những vùng nhỏ so với kích cỡ vũ trụ, nhưng trong những vùng lớn có chứa khối lượng lớn vật chất, thì sự sai lệch khỏi hình học Euclid trở nên rõ nét.

48. Hình học gần đúng của vũ trụ là hình học nào?

Nhiều giả thuyết đã được đặt ra về cấu trúc của vũ trụ xem như một tổng thể, giả sử sự phân bố khối lượng là đồng đều và vũ trụ không tĩnh tại.

Những giả thuyết này đã làm đơn giản hóa vấn đề và cho phép chúng ta có một khái niệm gần đúng của khuôn khổ thật sự của vạn vật.

Dưới những giả thuyết như vậy, một lí thuyết đã được đề xuất bởi nhà vật lí Liên Xô Friedmann cho thấy hình học của vũ trụ trên tổng thể là hình học Lobachewsky.

49. Hình học nào áp dụng cho các hạt sơ cấp?

Giống như trường hợp hình học Euclid không áp dụng được cho những khoảng cách lớn trong vũ trụ, nó cũng không áp dụng được cho những khoảng cách cực nhỏ.

Hình học phi Euclid có thể áp dụng cho những khoảng cách bên trong và giữa các nguyên tử, phân tử, hạt sơ cấp, vân vân.

50. Chỉ có ba môn hình học thôi sao?

Rõ ràng là có thể có vô số môn hình học, bởi vì bắt đầu với những tiên đề bất kì người ta có thể xây dựng nên một môn hình học mới, miễn sao các tiên đề đó không dẫn tới mâu thuẫn.

Một bề mặt mới có thể được tìm thấy là nơi áp dụng cho lí thuyết hình học mới.

Tuy nhiên, một bề mặt càng phức tạp, thì bộ môn hình học xây dựng thích hợp cho nó cũng thật kì cục.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 7)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ hai, 29 Tháng 7 2013 12:36

51. Hình học xạ ảnh là gì?

Xét một người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà anh ta muốn vẽ lại. Ta có thể hình dung cái khung vẽ của anh ta là một màn kính trong suốt xen giữa quang cảnh và mắt của anh ta. Hình vẽ trên khung vẽ hóa ra là hình chiếu của quang cảnh trên màn kính với tâm chiếu nằm tại mắt của người họa sĩ.

Vì khung vẽ thật sự thì không trong suốt và quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ có thể chỉ nằm trong trí tưởng tượng của anh ta, nên người họa sĩ cần một khuôn khổ toán học để cho phép anh ta miêu tả thế giới thực ba chiều trên một khung vẽ hai chiều.

Hình học xạ ảnh cung cấp một khuôn khổ như thế. Nó nghiên cứu tính chất hình học của những hình vẽ vẫn bất biến dưới những phép chiếu như vậy.

52. Đó là những phép chiếu nào?

Ví dụ quen thuộc nhất của một phép chiếu như vậy là cái bóng do một nguồn sáng điểm tạo ra.

Cái bóng của một hình tròn do một nguồn sáng điểm tạo ra không phải lúc nào cũng tròn. Chúng là những hình elip dẹt ít hoặc dẹt nhiều.

Bóng của một hình vuông có thể là hình bình hành, hoặc là một tứ giác nào đó.

Bóng của một tam giác vuông không phải lúc nào cũng là tam giác vuông.

Những viên gạch lát hình vuông dưới sàn nhà thì trong tranh không được vẽ là hình vuông. Nhưng ấn tượng để lại trong mắt người nhìn vẫn giống như những viên gạch thật.

53. Hình chiếu khác với hình gốc ở những chỗ nào?

Trong hình chiếu do một nguồn điểm gây ra, kích cỡ của các góc, các diện tích và các đoạn thẳng bị biến dạng, nhưng có một số tính chất không bị thay đổi sao cho cấu trúc của hình gốc thường có thể được nhận ra trên khung vẽ.

54. Đó là những tính chất nào?

Đó là những tính chất khá đơn giản:

Hình chiếu của một điểm là một điểm và hình chiếu của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, tức là một đoạn thẳng thì sẽ không bị cong. Như vậy, hình chiếu của một tam giác sẽ luôn luôn là một tam giác, và hình chiếu của một tứ giác sẽ luôn vẫn là tứ giác.

Ba tính chất quan trọng được rút ra từ những tính chất đơn giản này:

(i)                  Nếu một điểm nằm trên một đoạn thẳng thì sau phép chiếu điểm tương ứng sẽ nằm trên đoạn thẳng tương ứng. Tính chất này gọi là tính rơi.

(ii)                Nếu ba điểm trở lên cùng nằm trên một đoạn thẳng, thì hình chiếu tương ứng của chúng cũng sẽ nằm trên một đoạn thẳng. Tính chất này gọi là cộng tuyến.

(iii)               Nếu ba đoạn thẳng trở lên cùng cắt qua một điểm, thì hình chiếu của chúng sẽ cắt qua một điểm. Tính chất này gọi là đồng quy.

55. Hình học xạ ảnh được áp dụng ở đâu?

Hình học xạ ảnh có ứng dụng trong lĩnh vực nhiếp ảnh trên không, kiến trúc và trong các bài tập phối cảnh mà các họa sĩ thường nghiên cứu.

56. Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid ở chỗ nào?

Các định lí của hình học Euclid xét độ lớn của các chiều dài, các góc và các diện tích theo các khái niệm liên quan tương đẳng và đồng dạng.

Đây là những tính chất đo đạc. Chúng xử lí các độ lớn và bất biến dưới những chuyển động nào đó.

Hình học xạ ảnh xét các tính chất chiếu hay các tính chất bất biến dưới phép chiếu, tức là tính tính rơi, cộng tuyến và đồng quy.

57. Có cần thiết phân biệt giữa các tính chất chiếu và tính chất đo đạc hay không?

Sự phân biệt giữa các tính chất đo đạc và tính chất chiếu của các hình đã được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Cayley. Ông xét toàn bộ vấn đề trên phương diện đại số và đã thống nhất cả hai.

Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 8)

Viết bởi Trần Nghiêm Thứ bảy, 03 Tháng 8 2013 10:14

58. Hình học tọa độ là gì?

Hình học tọa độ^* là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.

Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa các số thực và các điểm trong không gian.

Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.

Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách x₁ đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y₁ đến đường nằm ngang Ox. Cặp số thực theo trật tự (x₁, y₁) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của nó.

Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tôn vinh người phát minh ra nó, Rene Descartes.

59. Phải chăng hình học tọa độ là một công cụ mạnh hơn hình học bình thường?

Sức mạnh của hình học tọa độ nằm ở thực tế nó nghiên cứu các đối tượng hình học bằng phương pháp đại số.

Khái niệm tọa độ biến những bài toán hình học thành những bài tính toán theo các đại lượng đại số.

Và các phép tính đại số thì dễ làm hơn là các chứng minh hình học liên quan rất nhiều đến trực giác và kinh nghiệm với các hình vẽ và sơ đồ!

Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng được tôn vinh là đã “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”.

60. Làm thế nào giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ?

Bằng phương pháp tọa độ, các phương trình đại số đơn giản bậc nhất theo hai biến x và y có được ý nghĩa trực quan và chúng biểu diễn cho những đường thẳng sao cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học gọi là đường thẳng được thực hiện thông qua việc nghiên cứu những phương trình như thế. Phương pháp này dễ làm hơn và đáng làm hơn!

Phương trình 2x + 3y = 6, hoặc tương đương là x/3 + y/2 = 1, thu được bằng cách chia hai vế phương trình cho 6, được biểu diễn trực quan bởi đường thẳng AB.

Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng như sau

ax + by + c = 0

Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x và y biểu diễn các đường cong trong một mặt phẳng.

61. Đó là những đường cong nào?

Quen thuộc nhất trong những đường cong như thế là đường tròn, đường parabol, đường elip và đường hyperbol. Một biểu diễn hình học của mỗi đường cong cùng với phương trình của nó được cho bên dưới.

62. Các đường conic là gì?

Giao tuyến của một hình nón với những mặt phẳng khác nhau được gọi là các đường conic.

Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là một đường tròn.

Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.

Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường parabol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.

____

*Hình học tọa độ chủ yếu được phát triển bởi Rene Decartes, một nhà toán học người Pháp. Ông xuất bản tác phẩm của mình vào năm 1637.

 

-- A.L. Audichya

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
Trần Nghiêm dịch