Chủ Nhật, 10 tháng 6, 2018

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (C)

(ĐC sưu tầm trên NET)

Sách là ngọn đuốc soi rọi chân lý, là chiếc khăn thấm đẫm máu, nước mắt và lòng nhân ái của loài người!
--------------------------------------------------------------------
"Nguồn Thuvienvatly.com"

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 14)

Viết bởi Thứ hai, 26 Tháng 8 2013 19:51
122. Bài toán bốn màu là gì?
Khi tô màu bản đồ, những nước có chung đường biên giới được tô màu khác nhau để phân biệt chúng với nhau.
Kinh nghiệm thông thường là bốn màu là đủ để tô màu bản đồ, cho dù bản đồ đó gồm bao nhiêu nước và đường biên giới của chúng phức tạp như thế nào chăng nữa.
Nhưng để chứng minh thực tế bốn màu là đủ để tô màu bất kì bản đồ nào trên một mặt phẳng hay một mặt cầu là chuyện không đơn giản, và được gọi là bài toán bốn màu.
123. Ba màu là không đủ hay sao?
Thực tế dưới bốn màu là không đủ cho mọi trường hợp sẽ được làm rõ từ bản đồ gồm bốn nước dưới đây, trong đó mỗi nước đều tiếp giáp với ba nước kia.
Bài toán bốn màu
Một điều cũng đúng là không ai có thể tạo ra một bản đồ có yêu cầu tô nhiều hơn bốn màu.
124. Bài toán bốn màu đã được nêu ra như thế nào?
Nó lần đầu tiên được Mobius nêu ra dưới dạng một bài toán vào năm 1840. Một vài nhà toán học đã bắt tay vào giải, nhưng trong hơn một thế kỉ lời giải vẫn còn tránh né họ!
125. Cuối cùng thì ai chứng minh được nó?
Mãi đến năm 1976 thì Wolf Gang Haken và Kenneth Appel mới có thể chứng minh khẳng định trên, nhưng máy vi tính là một công cụ đắc lực trong chứng minh đó.
Chứng minh tốn vài trang giấy và hết sức khó.
126. Còn những bản đồ vẽ trên mặt vòng xuyến, tức là ống trụ phồng bên trong, thì sao?
Người ta chứng minh được rằng cần bảy màu để tô màu cho bất kì bản đồ nào vẽ trên một mặt vòng xuyến.
Điều này hàm ý rằng trên một mặt như thế, người ta có thể xây dựng các bản đồ gồm bảy vùng trong đó mỗi vùng tiếp giáp với sáu vùng kia!
127. Làm thế nào những khái niệm hình học lại có khả năng áp dụng cho những tình huống đa dạng như thế?
Toán học có được sức mạnh sáng tạo của nó từ trực giác, trong đó hình học là một nguồn phong phú – điều đó lí giải tại sao các khái niệm hình học có khả năng áp dụng cho nhiều tình huống đa dạng.
Ngoài ra, các phương pháp và khái niệm hình học vẫn giữ được lợi thế của chúng thậm chí ở dạng thức trừu tượng.
Hình học cung cấp các mô hình không chỉ của không gian vật lí mà còn của bất kì cấu trúc nào có khái niệm và đặc điểm khớp với khuôn khổ hình học.
128. Trở lại với Euclid! Tại sao Euclid lại tiên đề hóa hình học?
Trước Euclid, hình học chỉ là một tập hợp gồm những kết quả rời rạc không có liên quan gì với nhau.
Mục tiêu của Euclid vì thế là chọn một số lượng nhỏ những giả thiết ban đầu hay tiên đề từ cái mà lĩnh vực hình học đã biết cho đến thời đại của ông cũng như những sự thật hình học chưa được khám phá có thể được suy luận ra từ chúng.
Ông đã tiên đề hóa hình học để hoàn thành nhiệm vụ để đời này.
129. Tác phẩm của Euclid có hoàn hảo logic không?
Trong hơn hai nghìn năm trời, bộ “Cơ sở” của Euclid được xem là thành tựu toán học có địa vị cao nhất, nhưng vào thế kỉ mười chín thì tiêu chuẩn nghiêm khắc trong tư duy toán học đã phát triển lên trình độ cao hơn, và người ta bắt đầu tìm thấy những chỗ hỏng logic trong tác phẩm của Euclid.
Có nhiều chỗ trong đó các kết luận mà Euclid rút ra từ những giả thiết của ông không tuân theo riêng các quy luật logic.
130. Vì sao những chỗ hỏng logic này không được để ý tới trước đó?
Lí do những chỗ hỏng này đã không được các nhà toán học để ý thấy trong suốt một thời gian rất dài là vì các định lí của Euclid luôn có những hình vẽ đi kèm khiến các khẳng định là quá sức hiển nhiên nên chẳng có ai nghi ngờ và kiểm tra để xác nhận. Chính các hình vẽ đã lấp mất những chỗ hỏng logic đó.
Do đó, về sau người ta cảm thấy nên xây dựng hình học trên một hình thức chặt chẽ hơn, trong đó các chứng minh chỉ có giá trị ở dạng logic của chúng, tức là không liên hệ với cách hiểu bình thường của các khái niệm hình học nữa.
131. Phải làm gì để đạt được kết cục này?
Nhà toán học vĩ đại người Đức Hilbert đã tiến hành một khảo sát tiên đề hiện đại như thế của hình học Euclid.
Ông chỉ sử dụng ba thuật ngữ không được định nghĩa – điểm, đường thẳng và mặt phẳng, và sáu quan hệ không được định nghĩa – trên, trong, giữa, đồng dạng, song song và liên tục, và hai mươi mốt tiên đề.
Ông đã định nghĩa toàn bộ những khái niệm khác của hình học, ví dụ như góc, tam giác, đường tròn, vân vân, theo những thuật ngữ nguyên bản hay những khái niệm cơ bản này.
132. Phương pháp tiên đề Hilbert có phải là giải pháp duy nhất cho hình học Euclid không?
Không, có nhiều và có thể có nhiều phương pháp khác nữa. Ví dụ, sau Hilbert vài năm, Oswald Veblen đã đưa ra một cách tiên đề hóa khác chỉ sử dụng các thuật ngữ ‘điểm’, ‘ở giữa’ và ‘đồng dạng’ với một tập hợp các tiên đề hơi khác với của Hilbert.
Có một cách tiên đề hóa khác nữa của E.V. Huntington, ông chỉ sử dụng hai thuật ngữ ‘hình cầu’ và “bao gồm’ cùng với một tập hợp gồm những tiên để hiển nhiên là khác nữa.
133. Phương pháp tiên đề có thích hợp cho các nghiên cứu khác ngoài hình học hay không?
Tác động của phương pháp tiên đề của Euclid đối với các thế hệ nghiên cứu sau đó lớn đến mức nó đã trở thành một kiểu mẫu cho mọi chứng minh chặt chẽ trong toán học.
Vì thế, vào thế kỉ mười chín và đầu thế kỉ hai mươi, nhiều lĩnh vực nghiên cứu đã được phát triển theo hướng ít nhiều mang tính trực giác dựa trên cơ sở tiên đề.
134. Phương pháp tiên đề có thúc đẩy tư duy toán học hay không?
Không, phương pháp tiên đề có thể xem là một hoạt động toán học dựa trên những quan niệm tiền nhận thức, còn toán học là một hoạt động sáng tạo được phát triển độc lập với những quan niệm như thế, do đó phương pháp tiên đề không thể bộc lộ bản chất của tư duy toán học.
135. Vậy đâu là động cơ thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác?
Động cơ mạnh nhất thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác của toán học là khát vọng muốn thiết lập một số lượng nhỏ nhưng vừa đủ những giả thiết ban đầu từ đó tất cả những phát biểu đúng trong những lĩnh vực đó được suy luận ra.
Phương pháp tiên đề này ngày nay được chấp nhận triệt để đến mức một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học thế kỉ hai mươi là sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu toán học.
136. Kết quả của sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề hóa này của toán học là gì?
Sự vận dụng rộng rãi này của sự trừu tượng của toán học đã mang lại một khó khăn lớn, đó là vấn đề nhất quán!
Vì một phương pháp tiên đề phải là nhất quán, nên phải có một cách khẳng định rằng một tập hợp những giả thiết đã cho làm cơ sở của hệ thống mới là nội nhất quán để cho không có định lí mâu thuẫn tương hỗ nào có thể được suy luận ra từ tập hợp đó.
Nếu các giả thiết nói về một miền đối tượng quen thuộc nào đó, thì luôn luôn có thể kiểm tra xem chúng có đúng hay không, nhưng trong trường hợp các giả thiết nói về một miền đối tượng mới mẻ và không quen thuộc, thì dường như chẳng có cách nào kiểm tra được tính nhất quán của chúng.
Để làm rõ, các hình học phi Euclid lúc chúng đang được phát triển đã từng bị xem là không biểu diễn bất kì sự thật nào cả.
Có vẻ chẳng có cách nào trả lời cho câu hỏi: Tập hợp các giả thiết Riemann có nhất quán không hay liệu nó sẽ không dẫn tới những định lí mâu thuẫn chứ?
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 15)

Viết bởi Chủ nhật, 01 Tháng 9 2013 10:10
137. Vấn đề nhất quán còn phát sinh ở đâu nữa?
Vấn đề nhất quán còn phát sinh hễ khi một mô hình phi hữu hạn được xét đến vì các mục đích lí giải.
Trong trường hợp các mô hình hữu hạn, tính nhất quán của tập hợp có thể được xác định bằng cách khảo biện hoặc liệt kê nhưng trong trường hợp các mô hình phi hữu hạn thì điều này là không thể.
Và đa số các hệ giả thiết cấu thành nền tảng của những ngành toán học quan trọng chỉ có thể được thỏa mãn bởi các mô hình phi hữu hạn.
138. Hilbert có thành công trong việc xác lập tính nhất quán của các giả thiết Euclid hay không?
Hilbert chọn cách lí giải các giả thiết Euclid theo kiểu được thông qua trong hình học tọa độ Descartes để chúng được biến đổi thành những chân lí đại số. Tính nhất quán của các giả thiết Euclid, do đó, được xác lập bằng cách chứng minh rằng chúng được thỏa mãn bởi một mô hình đại số.
Nhưng phương pháp xác lập tính nhất quán như thế này cho thấy nếu đại số là nhất quán, thì hệ thống hình học của Hilbert cũng nhất quán. Vì thế, chứng minh một hệ nào đó nhất quán chỉ là tương đối chứ không phải một chứng minh tuyệt đối.
139. Nên làm gì tiếp theo để tránh những chứng minh tương đối đó?
Để tránh những chứng minh tương đối của tính nhất quán, Hilbert đề xuất một phương pháp được gọi là siêu toán học. Phương pháp này trang bị tốt cho việc nghiên cứu tính nhất quán lẫn tính hoàn chỉnh.
Vì thế, Hilbert và những nhà toán học khác nuôi hi vọng phát triển mỗi ngành toán học bằng phương pháp tiên đề theo kiểu sao cho nó vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.
Và chương trình tối hậu là phát triển một khuôn khổ thống nhất cho toàn bộ toán học vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.
Chương trình này được gọi là “Chương trình Hilbert”.
140. Chương trình Hilbert đã thành công đến đâu?
Luận giải siêu toán học đã được triển khai thành công để xác lập tính nhất quán và hoàn thiện của những hệ bao quát hơn. Ví dụ, một chứng minh tuyệt đối của sự nhất quán đã tiến hành cho một hệ số học cho phép cộng các con số, nhưng không cho phép nhân.
Một vài nỗ lực như thế là tìm cách xây dựng một chứng minh cho phép nhân các con số, nhưng thật bất ngờ, toàn bộ những nỗ lực như thế đều thất bại.
Cuối cùng vào năm 1931, nhà toán học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh rằng những nỗ lực như thế nhất thiết phải thất bại.
141. Gödel đã chứng minh điều gì?
hay Những hạn chế của phương pháp tiên đề là gì?
Gödel chứng minh rằng phương pháp tiên đề có những hạn chế cố hữu nhất định về tính nhất quán và tính hoàn chỉnh.
Ông chứng minh rằng tính nhất quán không thể được xác lập trong một hệ gồm toàn số học.
Ông còn chứng minh rằng phương pháp tiên đề có một hạn chế cố hữu nữa, đó là không hoàn chỉnh. Cho trước một tập hợp nhất quán bất kì gồm những tiên đề số học, có những mệnh đề số học đúng không thể được suy luận ra từ tập hợp đó.
142. Có ví dụ nào minh họa cho kết luận này không?
Một ví dụ đơn giản, giả thiết Goldbach, minh họa cho điều vừa nói.
Giả thiết phát biểu rằng mọi con số chẵn (ngoại trừ 2, bản thân nó là số nguyên tố rồi) đều có thể được biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố.
Như vậy,              4 = 2 + 2,              6 = 3 + 3,              8 = 3 + 5
                                10 = 5 + 5,            12 = 5 + 7,            14 = 7 + 7
                                16 = 5 + 11,          18 = 5 + 13,          20 = 7 + 13,
Tương tự,            50 = 19 + 31,       100 = 3 + 97,       200 = 3 + 197,...
Mặc dù người ta chẳng tìm thấy con số chẵn nào không bằng tổng của hai số nguyên tố, nhưng chưa có ai tìm ra cách chứng minh đúng cho mọi con số chẵn.
Giả thiết trên có vẻ là một mệnh đề đúng nhưng không thể được suy luận ra từ các tiên đề của số học.
143. Liệu một tập hợp tiên đề khác không giải quyết được sao?
Có lẽ nên đề xuất cải tiến hoặc mở rộng các tiên đề để cho định lí này và những định lí có liên quan khác có thể được suy luận ra. Nhưng cho dù chúng ta có bổ sung bất kì số lượng hữu hạn nào của các tiên đề số học, thì hệ thống đã mở rộng đó vẫn không đủ để mang lại mọi chân lí số học.
Sẽ luôn luôn có những chân lí số học khác nữa sẽ không được suy luận ra từ tập hợp đã mở rộng đó. Như vậy, phương pháp tiên đề căn bản là không hoàn chỉnh.
Gödel còn chứng minh rằng đối với những hệ thuộc loại quan trọng nhất, tính nhất quán là không tương thích với tính hoàn chỉnh. Những hệ như thế, nếu nhất quán, thì nhất thiết phải không hoàn chỉnh.
Đồng thời, nếu một hệ là hoàn chỉnh (ví dụ, một hệ chỉ cho phép cộng mà không nhân các con số), nó có thể được chứng minh là không nhất quán.
144. Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là gì?
Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là không có hệ thống logic nào vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh có thể được người ta nghĩ ra.
Trước khi có khám phá này, các nhà toán học đã ấp ủ hi vọng phát triển một cơ sở toán học nhất quán được bao gộp trọn vẹn trong một hệ thống tiên đề.
Khám phá của Gödel đã đặt dấu chấm hết cho một hi vọng như thế.
Như vậy, cái Gödel đã làm với logic học vào năm 1931 chính là cái Heisenberg* đã làm với vật lí học bởi nguyên lí bất định nổi tiếng của ông trước đó bốn năm, vào năm 1927.
145. Hàm ý của khám phá trên là gì?
Hàm ý là sự mất bình yên bởi vì khám phá trên làm suy yếu niềm tin rằng chân lí toán học là chính xác và hoàn hảo.
Đây là vì chân lí toán học có được sức mạnh của nó từ sự tương tác của các tiên đề gọi là các chứng minh, nhưng khi bản thân phương pháp tiên đề, cái trụ cột cho những chứng minh như thế, chịu sự thẩm tra và ngờ vực, thì bức tranh rõ ràng chuyển sang sắc thái kém tin cậy và ảm đạm.
-----
*Nguyên lí bất định của Heisenberg hàm ý rằng tác dụng quan sát trên một hạ sơ cấp làm nhiễu loạn nó theo một kiểu không dự đoán được. Nguyên lí này thiết lập giới hạn cho sức mạnh của phương pháp thực nghiệm.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 16)

Viết bởi Chủ nhật, 01 Tháng 9 2013 17:16
146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?
Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.
Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.
147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?
Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.
148. Những câu hỏi đó là gì?
Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:
Các con số là gì?
Các con số có tồn tại không?
Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?
Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.
Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.
149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?
Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.
Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.
Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.
Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.
150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?
Không.
Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.
Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.
Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.
151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?
Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.
Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.
Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.
152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?
Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.
Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.
153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?
Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.
Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.
154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?
Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.
Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.
Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.
Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.
155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?
Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.
Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.
156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?
Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.
Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.
Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.
Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.
Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.
157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?
Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:
1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.
2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.
3. Tồn tại một số 0 có tính chất a + 0 = a.
4. Với mỗi số a, tồn tại một số x sao cho a + x = 0.
5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là a + b = b + a.
6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là a + (b + c) = (a + b) + c.
7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là ab = ba.
8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là a(bc) = (ab)c.
9. Phép nhân có tính phân phối, tức là a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.
10. Với mỗi số a và b khác không, tồn tại một số x duy nhất sao cho bx = a.
Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.
Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.
Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.
Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.
158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?
Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.
Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.
Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.
Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.
Hết Chương 1
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)