TT & HĐ II - 17/h

 

Những "Tuyệt Đại Quân Sư" Tài Giỏi Nhất Lịch Sử Trung Hoa Cổ Đại

 

PHẦN II: Nền tảng

" Triết học bắt đầu từ sự ngạc nhiên"

Arixtốt

“Chúng ta có thể mường tượng thế giới của thực tại như là một dòng nước ngầm; thế giới hiện tượng thì ở bề mặt; bên dưới nó chúng ta không nhìn thấy được. Các sự kiện ở tận đáy của dòng nước gây ra bọt và những xoáy nước ở bề mặt. Đó là những chuyển động bức xạ và năng lượng của cuộc sống chung của chúng ta, nó tác động tới các giác quan và do đó, kích thích trí óc chúng ta; ở bên dưới, dòng nước ngầm vẫn chảy”

(Sir James Jeans.)

“Triết học chân chính chỉ là triết học truyền đạt chính xác nhất tiếng nói của bản thân thế giới và được viết dưới những sự chỉ dẫn của thế giới” 

(Ph. Bêcơn)

“Tất cả mọi khoa học cần thiết hơn triết học, nhưng không một khoa học nào tốt hơn nó” 

(Arixtốt)

CHƯƠNG VI: QUI CĂN

"Hạnh phúc sinh ra trong đau khổ, đau khổ giấu mình trong hạnh phúc."

(Lão Tử)

"Phàm làm việc gì, làm điều gì, xử lý cái gì… cũng nên có giới hạn, vì “Vật cùng tắc biến”: đẩy sự vật đi đến đường cùng thì thế nào nó cũng biến hóa lại khác trước, có khi còn ngược lại với trước nữa. “Vật cực tắc phản”: đẩy sự việc đi đến cùng cực thì chắc chắn sẽ phản lại ngay. Quy luật là thế thôi."

(Lão Tử)

“Không có cái không phải là ta thì không có ta. Nhưng không có ta thì không thể hiện được sự biến hóa của tự nhiên. Như vậy, ta với tự nhiên thật mật thiết với nhau. Nhưng không ai biết được chủ tể của vũ trụ là gì”.

(Trang Tử)

“Cái mà thời trước người ta dùng thì có thể ngày nay bỏ đi; cái ngày nay bỏ đi thì có thể sau này sẽ dùng, dùng hay bỏ; điều đó không quyết định được là phải hay trái”.

(Liệt tử)

(Tiếp theo)


                                       ***

Với những tư liệu thu thập được, chúng ta thấy rằng:
Ý kiến cho rằng bàn tính xuất hiện ở đời Nguyên (1271-1368) hoặc sớm hơn, vào đời Tống (960-1279) là chính xác. Nhưng nếu cho khái niệm “xuất hiện” đồng nghĩa với khái niệm “ra đời” lại là không chính xác.

Lần ngược với tiến trình lịch sử, chúng ta bắt đầu từ đời Minh (1368-1644). Sách “Lỗ ban mộc kinh” được viết vào năm Vĩnh Lạc đã xác định qui cách, thước đo để chế tạo bàn tính. Hơn nữa, thời này người ta thấy xuất hiện những cuốn sách hướng dẫn sử dụng bàn tính như: “Toàn chân toán pháp” của Từ Tân Lỗ, “Trực chỉ toán pháp thống tổng” của Trình Đại Vệ. Chứng tỏ một điều chắc chắn rằng bàn tính đã rất thông dụng ở thời kỳ này.

Có thể bàn tính ra đời vào đời Nguyên chăng? Cuối đời Tống đầu đời Nguyên, trong sách “Tịnh mộc Tiên sinh văn tập” của Lưu Nhân có bốn câu thơ với tựa đề là “Bàn tính”. Ngoài ra trong cuốn “Tân biên tương đối tứ ngôn”, sách học vỡ lòng thời Nguyên, bàn tính đã là nội dung dạy vỡ lòng thì rõ ràng nó đã trở thành một vật bình thường. Như thế, bàn tính đã rất phổ cập ở đời Nguyên nên có lẽ nó được khai sinh ra, chí ít, là phải vào đời Tống.

Bàn tính đời Tống, về mặt hình thức đã mất nét vụng về thô ráp; đã tương đối thanh thoát và có phần trau chuốt gần như bàn tính ngày nay. Điều này được xác nhận bởi sự kiện: năm 1921, ở Hà Bắc, các nhà khảo cổ đã đào được một bàn tính bằng gỗ tại nơi đã từng ở của người đời Tống. Điều đó dẫn đến giả định rằng bàn tính cũng đã thịnh hành ở thời kỳ này. Điều giả định đó là có cơ sở. Bởi lẽ, trong một bức tranh nổi tiếng của thời Tống có tên là: “Thanh minh thượng hà đồ” có vẽ một hiệu thuốc, trên quầy của hiệu thuốc đó có vẽ một vật. Khi các chuyên gia Trung - Nhật chụp lại bức tranh và đem phóng to lên thì thấy vật trên quầy thuốc chính là một bàn tính và bàn tính đó giống hệt với bàn tính hiện đại. Từ những sự kiện đó, chúng ta cho rằng nếu bàn tính ra đời ở đời Tống thì chỉ có thể là vào giai đoạn đầu tiên của thời kỳ này. Nhưng có một băn khoăn.

Chúng ta biết rằng vào năm 755, An Lộc Sơn và Sử Tư Minh khởi binh chống nhà Đường (618 - 907), sử sách gọi là “Loạn An Sử”. Loạn An Sử làm cho nhà Đường bước vào giai đoạn suy vi, Trung Quốc loạn lạc, chiến tranh khốc liệt, nhân dân khốn khổ cùng cực. Tình trạng đó kéo dài liên miên đến tận thời kỳ đầu nhà Tống, còn gọi là triều Bắc Tống (960 - 1127); do Triệu Khuông Dẫn lập nên, đóng đô ở Biện Lương. Trong điều kiện mà nhân tài vật lực dốc vào các cuộc chiến tranh xâu xé nội bộ cũng như đấu đá với những thế lực bên ngoài, làm cho đất nước suy kiệt, điêu tàn như vậy thì sự phát triển khoa học kỹ thuật để phục vụ cho văn hóa và đời sống bị ngưng trệ là không thể tránh khỏi. Việc bàn tính ra đời ở thời kỳ này là ít có khả năng. Nhiều nhà toán học cho rằng sự ra đời của bàn tính là vào thời nhà Đường. Kể cũng có lý. Nhưng nếu thế thì có lý hơn cả là vào nửa đầu thời nhà Đường, cụ thể là trong suốt khoảng thời gian được sử Trung Quốc gọi là “nền thịnh trị thời Trinh Quán”, “nền thịnh trị thời Khai Nguyên” từ năm 627 đến 741. Lúc đó là lúc chính trị được ổn định, kinh tế nhanh chóng khôi phục và phát triển mạnh, cùng với sự gia tăng của lưu thông hàng hóa mà rất cần đến phương tiện tính toán mới, hiệu quả hơn. Nhờ thế mà bàn tính ra đời.

Có người còn đi xa hơn, quả quyết rằng những que tính đã sử dụng suốt hai ngàn năm, trong thời kỳ đó đã chuyển hóa thành bàn tính.

Thật là ly kỳ, và chúng ta, dù có được cho kẹo cũng không dám tin. Que tính nhắc đến ở đây có phải là que tính mà ngày xưa (lại ngày xưa!), khi tuổi còn thơ, chúng ta vót từ tre, nứa ra thành những que tròn nhỏ và ngắn hơn chiếc đũa một chút, được góp nhặt từ những cây kem đã ăn, mang đến lớp để cô giáo chỉ dạy cách cộng, trừ không? Nếu đúng là thế thì phép tính bằng que tính có vẻ như chỉ là cách cộng trừ trực giác (nhân, chia là cộng trừ nhiều lần liên tiếp), làm chúng ta nhớ tới buổi bình minh của nền văn minh Ai Cập cổ. Cũng ở tuổi thơ, chúng ta còn thấy mấy đứa con gái có một trò chơi với bó que (tính) và trái bóng nhỏ. Đó phải chăng là sự học đếm theo hệ cơ số 10 thông qua trò chơi. Trò chơi đó, nếu chúng ta nhớ không lầm, gọi là chơi “chuyền”. Mô tả cụ thể ra đây e rằng rườm rà vô ích và cũng vì quá lâu rồi, nhớ không được chính xác nữa.

Cách đếm và tính toán trực tiếp nhờ que tính thực ra, không theo hệ đếm nhất định nào cả vì đơn giản là không cần biết đến hệ đếm. Ở Nam bộ Việt Nam ngày nay, trong mua bán trao đổi dân gian, ở các chợ, chúng ta vẫn thường nghe đến từ “chục”: chục cam, chục quít, chục xoài… Tùy từng vùng, cũng là chục nhưng nội dung có thay đổi. Ai không quen, nhất là khách xa xứ đến sẽ rất ngạc nhiên. Có nơi, khi mua chục trứng gà, người ta chỉ đưa có 8 quả; có nơi mua chục xoài, người ta bán đến 12 trái… “Chục” ở đây đóng vai trò như từ “hệ cơ số” vậy. Nếu chúng ta nói: hệ cơ số 5, hệ cơ số 10 hay hệ cơ số 12 thì chưa chắc người dân ở đây đã hiểu, nhưng nếu chúng ta nói: chục 5, chục 10, chục 12 thì họ hiểu ngay lập tức.

Khi đếm trực giác bằng que tính (hay bất cứ bằng “hòn” gì cũng được!) có thể dùng cách đếm theo bất cứ chục nào, miễn là trên cơ sở qui ước số đếm là ở hệ cơ số 10 và hạn chế ở số lượng không lớn, vẫn có thể “đọc” được chính xác, không sợ lầm lẫn.

Tuy vậy, cần chú ý một điều: đến xứ lạ, nếu nghe rao: “Bánh chưng, ba trăm ngàn một chục…” thì chớ vội mua, coi chừng hớ; nếu là chục hai thì rất đắt vì giá đúng chỉ có một trăm ngàn một cặp thôi. Nhớ nhé!

Nhưng tại sao suốt hai ngàn năm ấy, người Trung Hoa cổ dùng que tính mà không dùng “hòn” tính (đại loại như hòn đất nung, hòn sỏi chẳng hạn)? Rất có thể là họ vẫn dùng cả hai cách nhưng dùng que thì dễ “mang vác” hơn, khó thất thoát hơn chăng?

“Ý nghĩ” dùng que tính làm đơn vị đếm là từ đâu ra? Nhớ rằng từ rất xa xưa, người Ai Cập cổ đã dùng que để biểu thị đơn vị. Tự nhiên nhất thì việc dùng que làm đơn vị của sự đếm là sự “bắt chước” từ việc dùng dấu vạch vẽ để làm đơn vị của một thời cổ xưa hơn nữa. Vạch là hành động đơn giản nhất để biểu thị số lượng. Nhưng tại sao không dùng dấu chấm? Hề, hề… làm sao lưu được dấu chấm trên một mặt cứng như đá chẳng hạn hoặc nếu có chấm được trên mặt đất sét thì làm sao thấy được để mà đếm cơ chứ?

Một điều đáng lưu ý là ít ra thì đến thời Đông Hán, trong các sách chuyên toán (có thể gọi là Toán hàn lâm vì đã có phần cách xa thực tiễn đời sống, chẳng hạn như việc nghiên cứu số pi hay tìm cách khai căn bậc hai; cũng giống như ngày nay: hình học vi phân đối với đại chúng vậy!) vẫn dùng dấu vạch để biểu diễn số lượng trong toán thuật. Hơn nữa nền toán học thời Đông Hán đã khá cao rồi thì việc dùng que tính để tính toán e rằng chỉ thông dụng trong đời sống dân gian thường ngày, nơi mà chỉ cần đến những “đo, đếm” đơn giản. Thậm chí có thể cho rằng ngay thời đó việc dùng que tính cũng chỉ bó hẹp trong việc biểu diễn số lượng hoặc trong việc dạy toán cho “con nít” tương tự như đời chúng ta mà thôi vì ở “chợ búa”, mọi người ai “nhẩm” cũng ra.

Nếu đúng rằng ở thời Đông Hán, cách tính toán bằng que tính đã lạc hậu rồi thì phải có một phương tiện tính toán nào đó thay thế nó và chính phương tiện này mới là tiền thân của bàn tính đời Đường chứ không phải nó.

Nhận định như vậy có võ đoán không? Vừa có vừa không; có là vì chúng ta chưa một lần tới Đông Hán (rất tiếc vì điều này); không là vì chúng ta đã từng “lang thang” khắp thời Xuân Thu - Chiến Quốc và đã từng nghe đến bài toán “Hàn Tín điểm binh” lừng danh!

Nói cho “khoái khẩu” thế thôi chứ thực ra chúng ta có lý do chính đáng.

“Cửu chương toán thuật” (Chín chương về cách tính toán) là bộ sách toán học kiệt xuất của Trung Quốc cổ đại. Đó là tác phẩm không phải của một người, của một thời đại mà là công lao của nhiều người tài năng về toán số (trong đó chắc là phải có Quỉ Cốc tiên sinh rồi!) ở các thời đại, được hiệu chỉnh, bổ sung qua từng thời đại và trở thành bộ sách đúc kết toàn bộ kiến thức toán học trước đó và đương thời, xuất hiện vào đời Đông Hán (25 - 220). Nó có ảnh hưởng rất lớn tới sự phát triển toán học của Trung Quốc và một số nước láng giềng cũng như trên thế giới.

Vì mục đích của mình, dưới đây, chúng ta giới thiệu một bài toán của bộ sách ấy:

“Nay phía trên có 3 bó kê

Ở giữa có 2 bó

Phía dưới có 1 bó

Tổng là 39 đấu

Trên có 2 bó

Giữa có 3 bó

Dưới có 1 bó

Tổng là 34 đấu

Trên có 1 bó

Giữa có 2 bó

Tổng là 26 đấu.

Hỏi số đấu của mỗi bó kê ở trên, giữa, dưới là bao nhiêu?”

Đối với chúng ta ngày nay thì đó là hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số. Nếu đặt số đấu của mỗi bó kê ở trên, giữa, dưới lần lượt là x, y, z thì ta có ngay:

                                    

Giải ra, ta sẽ có được kết quả.

Người Trung Hoa thời đó không biểu diễn như thế, họ biểu diễn như sau đây (nhớ là từ phải qua trái và “phương trình” được sắp xếp theo cột, từ trên xuống dưới:

               

Chúng ta không lưu tâm tới bất cứ điều gì khác mà chỉ lưu tâm tới cách biểu diễn các con số. Rõ ràng việc biểu diễn số lượng (hay còn gọi là các số) vẫn theo lối khắc, vạch. Thành quả của tổ tiên vẫn được lưu dụng đến thời kỳ đó! Hai vạch đứng hay nằm ngang đều biểu thị 2 đơn vị hay con số 2. Khi hai số đứng cạnh nhau thì số vạch của một số phải đứng hoặc nằm ngang so với số vạch của số kia để phân biệt. Nhìn ở hàng số đấu chúng ta thấy điều đặc biệt là dấu vạch ngang ở trên “số 1” và “số 4” chính là “số 5” hay vạch đó có giá trị bằng 5 đơn vị. Và cũng chính điều đặc biệt đó bắt chúng ta phải nhớ tới bàn tính. Không còn nghi ngờ gì nữa, cách biểu thị các số ở hàng “số đấu” là “bắt chước” cách biểu thị số trên bàn tính, nếu không thì ngược lại, “cách viết” số trên bàn tính phải bắt chước cách thể hiện con số ở “Cửu chương toán thuật”.

Chẳng hạn chúng ta có số 9216. Nếu “viết” số này trên bàn tính, sẽ là:

                                                      

Đổi ký hiệu bi sang ký hiệu vạch, và nhớ qui tắc viết phân biệt, chúng ta sẽ có cách viết theo “mã vạch” của “Cửu chương toán thuật”:

                                                     

Dùng cách viết mã vạch hay bàn tính, điều dễ nhận thấy là một số đơn (hay số đơn vị so với hàng trước đó) chỉ có thể biểu diễn đến chín đơn vị là hết. Vậy thì chúng là những con số đơn trong hệ cơ số 10 và có thể viết được các số theo những cách ký hiệu ấy tương ứng với các số hiện đại như sau:

             

Thế còn số 0? Viết trên bàn tính có thể là thế này: …. Còn trong “Cửu chương toán thuật”? Chịu, chúng ta chưa từng đọc trực tiếp nó mà chỉ đọc “lóm”, được chăng hay chớ từ những sách khác. Có thể là nó vẫn dùng ký hiệu “…”để chỉ số 0 chăng?

Chẳng hạn viết số 1080 theo cách khắc vạch ở trên, sẽ là:

                           

Điều suy luận trên có vẻ không đúng vì theo các nhà khảo cứu thì Trung quốc cổ đại chưa có ký hiệu để chỉ số 0. Tại vị trí có số 0, người ta bỏ trống. Nhưng nếu ở vị trí cuối cùng (đơn vị) là số 0 thì không lẽ cũng bỏ trống? Khi bàn luận đến lịch pháp, sách “Cửu Đường thư” và “Tống lịch” đều dùng chữ “Không” để biểu diễn chỗ trống của số liệu thiên văn. Thời Nam Tống, trong “Luật Lã tân thư” thấy tại những chỗ trống đã có ký hiệu “□”, đó có thể là ký hiệu số 0 sớm nhất.

Toán học thời Hán phát triển như trên đã nói mà không có ký hiệu nào cho số 0 ở hàng cuối cùng (hàng đơn vị) thì thật lạ lùng, khó hiểu. Vả lại chính bàn tính đã gợi ra ý niệm về số 0 rất rõ. Có thể nói thời nào sử dụng bàn tính (kiểu minh họa ở hình 18) thì thời đó phải biết được giá trị và công dụng của số 0: “không” có nghĩa là không có gì nhưng cũng không hẳn là không có gì (cái “không” của Phật giáo xuất phát từ ý niệm toán học này chăng?).

Quay lại câu hỏi: cách viết số trên bàn tính và cách viết số kiểu “mã vạch”, cái nào bắt chước cái nào?

Tại sao vị trí các vạch trong số “mã vạch” lại được qui định như thế chứ không như thế khác, chẳng hạn như chữ số La Mã? Từ cách qui ước “vạch” biểu diễn số của người La Mã cổ đại có thể “chế tạo” ra một bàn tính nào đó khả dĩ tính được bốn phép tính như bàn tính Trung Hoa không?

Chúng ta cho rằng bàn tính Trung Hoa với nguyên lý hoạt động tuyệt hay như thế, không thể được sáng tạo ra từ sự qui ước biểu diễn số “mã vạch” được mà phải ngược lại. Vậy thì ít ra là ở thời đầu Hán, bàn tính “kiểu Đường” đã phải xuất hiện rồi.

“Hàn Tín điểm binh” đã đưa đến một định lý số học nổi tiếng thế giới gọi là “định lý dư Trung Hoa” mà mãi đến hơn 1300 năm sau, K. F. Gauxơ (Gauss, 1777 - 1855), nhà toán học lừng lẫy người Đức, mới tìm ra. Không cần sai người đi đếm, Hàn Tín vẫn biết được số quân nhờ hiểu được nguyên lý đồng dư (đồng dư thức). Nhưng có thể Hàn Tín sẽ phải bó tay nếu không có… bàn tính.

Chính Mai Khả Kiến, nhà đại số học đời Thanh đưa ra nhận định rằng bàn tính đã xuất hiện ở thời Hán. Nhận định này căn cứ vào sự kiện: nhà toán học thời Đông Hán là Từ Nhạc đã viết cuốn “Số thuật ký dị”, trong đó có ghi chép lại 14 cách tính gọi là “cách tính bàn tính”. Người ta đã căn cứ vào ghi chép ở cuốn đó với mục đích phục vụ việc chế tác bàn tính, để vẽ mô phỏng lại. Đó là một khay làm bằng gỗ, phần trên tạo ra các rãnh để bi có thể lăn trong đó, là phần dùng để thao tác tính toán như bàn tính thông thường; phần dưới là để đựng bi. Hình 21 là hình vẽ lại từ hình mô phỏng bàn tính (gọi là bàn tính bi lăn), được cho là có từ thời Hán.

Quan sát bàn tính này, chúng ta thấy các rãnh trên cùng, mỗi rãnh vừa đủ chỗ cho 2 bi; các rãnh dưới, mỗi rãnh chứa vừa đủ 9 bi. Trên bàn tính bi lăn, có thể thao tác tính toán theo nguyên tắc bàn tính đời Đường, bằng cách bốc vào, bỏ ra bi ở hàng rãnh trên và cho lăn bi “lên, xuống” ở hàng rãnh dưới (thay cho “trượt”).

Hình 21: Bàn tính bi lăn, một trong những công cụ

tính toán của Trung Quốc cổ đại

Nhưng thực sự thì cách tính trên bàn tính bi lăn có giống như nguyên tắc của cách tính trên bàn tính đời Đường (hình 18) hay không? Nếu là giống nhau thì việc gì phải làm các rãnh dưới chứa 9 bi; trong khi chỉ cần chứa được 5 bi và dùng động tác bốc ra, bỏ vô là đã thỏa mãn sự tính toán rồi? Và tại sao ở bàn tính bi lăn có những 9 hàng (dọc) trong khi ở bàn tính “đời Đường” chỉ có 6 hàng thôi? Việc nhiều hàng hay ít hàng có lẽ chẳng có gì đặc biệt cả, vì càng nhiều hàng thì càng có khả năng tính được đối với những số lớn và có thêm hay bớt hàng thì bản chất của bàn tính vẫn không thay đổi. Chỉ có điều vì sao lại là 9; có liên quan gì đến quan niệm “Cửu trùng” không?

Nếu “ăn không ngồi rồi” để suy diễn thì chúng ta suy diễn ra rất nhiều điều trên bàn tính bi lăn, nào là nó được dùng để đếm và tính toán theo chục 20, 30, thậm chí là 60; nào là nó được dùng để biểu thị cả phân số, số bình phương… Có những suy diễn ấy là vì sự liên tưởng đến trình độ toán học đã rất dễ nể của thời đó (“Cửu chương toán thuật” thời Đông Hán và trước đó là “Chu Bễ toán kinh” thời Tây Hán).

(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------