TT & HĐ II - 17/e

 

Số "0" - Phát Minh Vĩ Đại Của Nhân Loại Và Những Điều Kỳ Diệu Của “Sự Không Có Gì”

PHẦN II: Nền tảng

" Triết học bắt đầu từ sự ngạc nhiên"

Arixtốt

“Chúng ta có thể mường tượng thế giới của thực tại như là một dòng nước ngầm; thế giới hiện tượng thì ở bề mặt; bên dưới nó chúng ta không nhìn thấy được. Các sự kiện ở tận đáy của dòng nước gây ra bọt và những xoáy nước ở bề mặt. Đó là những chuyển động bức xạ và năng lượng của cuộc sống chung của chúng ta, nó tác động tới các giác quan và do đó, kích thích trí óc chúng ta; ở bên dưới, dòng nước ngầm vẫn chảy”

(Sir James Jeans.)

“Triết học chân chính chỉ là triết học truyền đạt chính xác nhất tiếng nói của bản thân thế giới và được viết dưới những sự chỉ dẫn của thế giới” 

(Ph. Bêcơn)

“Tất cả mọi khoa học cần thiết hơn triết học, nhưng không một khoa học nào tốt hơn nó” 

(Arixtốt)

CHƯƠNG VI: QUI CĂN

"Hạnh phúc sinh ra trong đau khổ, đau khổ giấu mình trong hạnh phúc."

(Lão Tử)

"Phàm làm việc gì, làm điều gì, xử lý cái gì… cũng nên có giới hạn, vì “Vật cùng tắc biến”: đẩy sự vật đi đến đường cùng thì thế nào nó cũng biến hóa lại khác trước, có khi còn ngược lại với trước nữa. “Vật cực tắc phản”: đẩy sự việc đi đến cùng cực thì chắc chắn sẽ phản lại ngay. Quy luật là thế thôi."

(Lão Tử)

“Không có cái không phải là ta thì không có ta. Nhưng không có ta thì không thể hiện được sự biến hóa của tự nhiên. Như vậy, ta với tự nhiên thật mật thiết với nhau. Nhưng không ai biết được chủ tể của vũ trụ là gì”.

(Trang Tử)

“Cái mà thời trước người ta dùng thì có thể ngày nay bỏ đi; cái ngày nay bỏ đi thì có thể sau này sẽ dùng, dùng hay bỏ; điều đó không quyết định được là phải hay trái”.

(Liệt tử)





(Tiếp theo)
 

***

Sự cân, đo, đong, đếm không thể không xuất hiện trong tiến trình tìm kiếm và phân chia thức ăn của bầy đàn người nguyên thủy. Từ cân, đo, đong, đếm trực giác đi đến cân, đo, đong, đếm trừu tượng (chúng ta gọi như thế đối với hiện tượng dùng những vật như đá, sỏi, cây que hoặc sự khắc, vạch để tượng trưng cho số lượng con thú, hoa quả hoặc thành phẩm và dùng chúng để phân chia số lượng thức ăn đã có, sẽ có hay có ở đâu đó mà không hoặc chưa hiện diện) không biết phải tốn bao nhiêu thời gian và ở vào giai đoạn nào của lịch sử văn minh loài người, nhưng có thể cho rằng hai cách thức đó, nếu cách thức trước là “lời nói đầu” của vật lý học thì cách thức sau là lời nói đầu của toán học và sự chuyển hóa giữa chúng là sự biểu hiện đầu tiên về mối quan hệ keo sơn, “chung thủy” Toán - Lý.

Bốn hình thức xác định lực lượng (số lượng, chất lượng?) nói trên suy cho cùng cũng chỉ là sự đếm. Chính tính đa dạng về kích cỡ, chủng loại thức ăn và nhu cầu cần giải quyết trong việc xác định để phân chia, trao đổi lương thực, thực phẩm hoặc các sản xuất khác đã phân định sự đếm ra thành bốn hình thức cụ thể, có vẻ độc lập tương đối so với nhau.

Nhu cầu về cân, đong, đo, đếm đặc biệt bức thiết khi phương thức kiếm ăn bằng trồng trọt - chăn nuôi trở nên chính yếu, khi đã có sự tích lũy về gia súc và lương thực thực phẩm hoặc trao đổi các thành phẩm khác chủng loại.

Chúng ta nói “đếm” là cơ sở hình thành nên bốn hình thức cân, đong, đo, đếm không có nghĩa cho rằng ở những thời kỳ đầu tiên, bầy người nguyên thủy đã biết đến số đếm và đếm được một cách rành mạch theo một hệ cơ số đếm nào đó. Trong cuốn “Tỷ lệ vàng” do Nguyễn Minh Hoàng biên dịch (NXB Trẻ, năm 2007), chúng ta đọc thấy thế này:

“Không ai biết chắc từ bao giờ loài người bắt đầu đếm, nghĩa là bắt đầu đo đạc số nhiều bằng cách định lượng. Thực tế chúng ta còn không biết chắc chắn liệu các con số như “một”, “hai”, “ba” (số đếm) đã có trước “thứ nhất”, “thứ nhì”, “thứ ba” (số thứ tự) hay ngược lại (…).

(…)

Rõ ràng là từ việc đếm đơn giản từng đồ vật, lên đến mức độ hiểu những con số như là một lượng trừu tượng, con người đã phải thực hiện bước nhảy vọt rất xa về mặt trí tuệ. Vì vậy trong khi những ý niệm ban đầu về con số có thể liên quan trước hết đến sự tương phản, việc đối chiếu, và việc đối chiếu đó biết đâu lại gắn liền với việc sống còn - ngoài kia có một con sói hay cả bầy sói? - thì việc hiểu biết rằng hai tay và hai đêm đều là sự biểu thị của con số 2, có lẽ phải mất nhiều thế kỷ mới hình thành. Tiến trình đó phải đi qua việc nhận biết những nét tương tự (trái lại với nét tương phản) và tương ứng. Nhiều ngôn ngữ trên thế giới vẫn còn lưu vết tích của sự chia lìa nguyên sơ giữa hành động đếm đơn giản và ý niệm trừu tượng về con số. Chẳng hạn ở quần đảo Fiji, mười trái dừa được gọi là “Koro”, trong khi mười chiếc thuyền là “boro”. Tương tự, người Tauade ở New Guinea sử dụng nhiều từ khác nhau để nói về một cặp đàn ông, một cặp đàn bà, và một cặp nam nữ. Ngay cả trong tiếng Anh, với cùng một quần thể, nhưng người ta lại dùng nhiều tên gọi khác nhau. Với một bầy bò, người ta gọi là “a yoke of oxen”, nhưng lại không gọi bầy chó là “yoke of dogs”.

Chắc chắn rằng việc có số bàn tay bằng số bàn chân, số vú, và mắt, đã góp phần thúc đẩy việc hiểu biết con số 2. Tuy nhiên, ngay cả tại điểm đó, phải mất nhiều thời gian thì con người mới liên hệ được với những vật thể giống nhau, chẳng hạn như việc bầu trời có hai ánh sáng chủ chốt là Mặt Trời và Mặt Trăng. Chắc chắn rằng con người phải phân biệt giữa một với hai trước khi phân biệt một với “nhiều”. Kết luận này căn cứ trên kết quả các nghiên cứu được tiến hành vào thế kỷ XIX, mà đối tượng là những cộng đồng dân cư ít chịu ảnh hưởng của văn minh chủ đạo, và căn cứ trên những điểm dị biệt về ngôn ngữ trong cách dùng từ để chỉ những con số khác nhau cả vào thời xưa lẫn thời nay.

(…)

(…)

Ngay cả trước khi các hệ đếm thực sự phát triển, loài người phải biết cách ghi nhận số lượng. Các di tích khảo cổ lâu đời nhất được xem là có liên quan đến việc tính đếm là những mẩu xương mang nhiều vết khắc cách khoảng đều nhau. Di tích cổ xưa nhất, vào khoảng 35.000 năm TCN, là mẩu xương đùi khỉ được phát hiện trong một hang động vùng núi Lembedo ở châu Phi. Mẩu xương này có 29 vết khắc. Một di tích “kế toán” nữa là mẩu xương chó sói với 55 vết khắc (một dãy 25 vết chia thành nhóm 5 vết, dãy kia 30 vết) do nhà khảo cổ Karel Absolon tìm thấy vào năm 1937 tại Dolné Vestonice nước Tiệp. Mẩu xương này được định tuổi khoảng 30.000 năm, nghĩa là vào kỷ nguyên Aurignae. Việc những vết khắc được nhóm thành 5 khiến ta nghĩ đến một “cơ sở” tính đếm. Mặc dù không biết chắc mục đích những vết khắc đó là gì, song ta đoán rằng chúng có thể ghi nhận về số con mồi mà thợ săn đã giết được. Việc phân thành từng nhóm như thế có thể giúp thợ săn nắm được số lượng mà không cần phải đếm đi đếm lại từng vạch. Những mẩu xương tương tự, từ kỷ nguyên Magdalena (cách nay khoảng 15.000 năm), cũng được tìm thấy tại Pháp và hang động Fekarna ở Tiệp.

(…)

Vùng Trung Đông còn một hệ ghi thú vị nữa, có từ giữa thiên niên kỷ thứ chín và thứ hai trước Công Nguyên. Rải rác khắp các vùng phía Bắc từ Anatolia sang Sudan ở phía Nam, giới khảo cổ đã phát hiện nhiều kho chứa những vật trông tựa đồ chơi bằng đất sét. Chúng có nhiều hình dạng khác nhau như hình đĩa, hình nón, trụ, chóp, hình thú vật và nhiều hình thù khác. Nhà khảo cổ Denise, Schmandt - Besserat thuộc đại học Texas nghiên cứu những món đồ đó trong thập niên 1970 và đưa ra một lý thuyết hấp dẫn. Bà tin rằng những đồ vật đất sét đó là biểu tượng tượng hình dùng ngoài chợ, tượng trưng cho những đồ vật được tính đếm. Như vậy một hòn đất sét tròn nhỏ có thể thay thế cho một lượng ngũ cốc nhất định, còn một hình trụ tượng trưng cho một con bò, vân vân. Do đó theo giả thuyết của Schmandt - Besserat, giới thương buôn vùng Trung Đông thời kỳ tiền sử có thể thống kê việc mua bán chỉ đơn giản bằng cách sắp hàng các đồ vật tượng trưng kể trên.

Cho dù có dùng loại biểu trưng nào cho những con số khác nhau - khắc vào xương, đồ vật đất sét, thắt gút dây, hoặc đơn giản là đếm ngón tay - thì vào một thời điểm nào đó của lịch sử, loài người đã phải đối diện với thách thức là phải có khả năng hình dung và thao tác những con số lớn. Vì nhiều lý do thực tiễn, những hệ thống tượng trưng có tên gọi riêng biệt hoặc có vật biểu trưng riêng biệt đều không thể tồn tại lâu dài. Chúng ta biết rằng những mẫu tự trong bảng chữ cái, nhìn theo góc độ nào đó, là tượng trưng cho số lượng tối thiểu các ký tự mà nhờ đó ta có thể biểu lộ toàn bộ từ vựng và mọi tri thức đã được ghi ra. Với các con số cũng vậy, phải đề ra một tập hợp nhỏ nhất có khả năng biểu diễn mọi số lượng. Nhu cầu này dẫn đến khái niệm về một tập hợp cơ sở hay cơ số - cái ý niệm rằng các con số có thể được sắp xếp theo thứ tự lớn nhỏ, tùy vào một vài đơn vị nhất định. Vì quá quen với cách tính đếm cơ số 10 thường ngày, chúng ta khó tưởng tượng rằng loài người có thể chọn dùng những cơ số khác nữa.”

Tiếp theo, tham khảo một số sách khác nữa, chúng ta còn biết thêm được nhiều điều thú vị về lịch sử sự đếm và số đếm.

Ai Cập là quê hương của một trong những nền văn minh xuất hiện sớm nhất trong lịch sử xã hội loài người. Đầu thiên niên kỷ IV TCN, ở đó đã bắt đầu quá trình hình thành xã hội có giai cấp và nhà nước. Cũng khoảng thời gian đó người Ai Cập cổ đại qua quan sát bầu trời đã làm ra được lịch và như vậy, họ cũng đã biết đếm thành thạo và ngay từ đầu đã dùng phép đếm lấy 10 làm cơ sở (thập tiến vị). Họ dùng chữ tượng hình biểu thị các số và vì chưa biết đến số 0 nên cách viết của họ còn tương đối phức tạp, chẳng hạn:

      đơn vị: hình cái que

      chục: hình một đoạn dây thừng

      trăm: hình một vòng dây thừng

      ngàn: hình cây sậy

      10 ngàn: hình ngón tay

      100 ngàn: hình con nòng nọc

       …

Hơn bốn ngàn năm trước, ở Ai Cập đã tồn tại những trường dạy phương pháp tính toán, trước đó người Ai Cập cổ đại chỉ mới biết tính cộng và trừ. Muốn nhân và chia như chúng ta bây giờ, họ phải dùng phương pháp cộng và trừ liên tiếp. Tuy nhiên, đến thời kỳ này, mầm mống của đại số học đã xuất hiện và người ta cũng đã biết đến cấp số cộng và có thể là cả cấp số nhân.

Vùng Lưỡng Hà cổ đại (bình nguyên giữa hai con sông Tigrơ và Ơphơrát) cũng xuất hiện rất sớm một nền văn minh gọi là Văn minh Lưỡng Hà. Thành tựu toán học đầu tiên của nền văn minh cổ này là phép đếm độc đáo của họ. Từ thời Xume (Xume là tên gọi một tộc người, họ được coi là cư dân xưa nhất xây dựng nên nền văn minh tối cổ của lưu vực Lưỡng Hà - khoảng thiên niên kỷ IV TCN), đã xuất hiện phép đếm lấy số 5 làm cơ sở. Việc đó bắt nguồn từ cách đếm số ngón tay của một bàn tay. Về sau lại xuất hiện phép đếm lấy 60 làm cơ sở mà dấu vết còn lưu đến ngày nay, như chia vòng tròn thành 360 độ, 1 độ thành 60 phút, 1 phút thành 60 giây. Đồng thời phép đếm lấy 10 làm đơn vị cũng được sử dụng. Người Lưỡng Hà cổ đại đã biết cách làm bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia; biết đến phân số, lũy thừa, giải phương trình ba ẩn số…

Nói đến sự phát triển toán học trong nền văn minh Lưỡng Hà cổ đại thì phải nói đến Babilon. Có thể mạnh dạn cho rằng Babilon là trung tâm toán học của văn minh Lưỡng Hà cổ.

Babilon là một thành phố do người Amôrit thành lập ở trung tâm Lưỡng Hà. Đến nửa đầu thế kỷ XVIII TCN, Babilon trở nên hùng mạnh, lần lượt đánh bại các thành bang chung quanh, thống nhất được hầu hết vùng Lưỡng Hà.

Cách viết số của người Babilon đã ra đời gần bốn ngàn năm về trước và đã tồn tại trong một ngàn rưỡi năm, từ thế kỷ XVIII TCN đến đầu Công nguyên và được sử dụng rộng rãi ở Cận Đông. Cách viết số đó được các nhà nghiên cứu sau này gọi là cách viết số theo vị trí. Vậy thì cách viết số của người Babilon như thế nào? Họ dùng hai ký hiệu  để biểu thị các số từ 1 đến 9:

            

Đối với số 10, họ dùng ký hiệu . Ký hiệu này kết hợp với các ký hiệu số trên, họ biểu thị được một loạt số nữa:

              

Để thể hiện số 37 và 54, họ viết:

           

Nhớ rằng hệ đếm của họ là hệ cơ số 60 nên khi họ viết:

                     

Chúng ta phải hiểu rằng đó là số 4995 trong hệ đếm cơ số 10 (1.60²+23.60+15). Nghĩa là ký hiệu lúc này không đóng vai trò số 1 nữa mà là số 3600 (60²). Kể ra thì cũng bất tiện thật!

Thế người Babilon biểu thị số “không” như thế nào? Trong suốt mấy trăm năm, họ hoàn toàn để trống. Để chỉ số 65 họ viết:

                 

để chỉ số 3605 họ viết

                 

tức là đặt cách ra xa. Cũng rất bất tiện, dễ lầm lẫn. Mãi về sau họ mới dùng ký hiệu để chỉ sự “không có gì” và lúc này số 605 mới được viết:
              

và không sợ lầm lẫn nữa.

Tuy nhiên người Babilon vẫn chưa biết đặt ký hiệu ở cuối số, chẳng hạn là không nghĩ ra cách viết số 60 như

                 

Cách viết số theo vị trí đã truyền từ người Babilon sang người Ấn Độ. Ba ngàn năm về trước, người Ấn Độ cổ đại đã biết dùng thông thạo cách viết số này. Sau khi đã học được cách viết phân theo vị trí, họ đã lấy hệ cơ số 10 thay cho hệ cơ số 60 và sử dụng số “không” một cách đúng đắn hơn để sau này được nhà toán học người Pháp tên là Laplaxơ (Laplace, 1749 - 1827) hết lời ca ngợi.

Vào thế kỷ VIII, người Ả rập trong khi dịch một tác phẩm về thiên văn học của Ấn Độ viết từ thế kỷ V TCN, đã học được cách đếm theo hệ thập phân phân theo vị trí này và khi xâm chiếm Tây Ban Nha đã truyền nó vào châu Âu (vì thế mới có tên: chữ số Ả rập).

Trải qua 1000 năm, sau nhiều lần biến đổi, tập hợp các chữ số mới có được hình dạng như ngày nay. Chúng ta có thể thấy điều đó dưới đây:

Lại vẫn cứ lan man, lạc đề. Lạ lùng thay!

(còn tiếp)