Thứ Tư, 20 tháng 1, 2016

BÍ ẨN ĐƯỜNG ĐỜI 54

-Mọi người đều mù quáng đi trên con đường đời của mình! Vì đố ai thấy chính xác con đường ấy!
-Và đời ta, ta không thể đánh giá đúng được mà phải để đời sau đánh giá!
-Công và tội là hai giá trị tùy thuộc vào nhận thức nên rất dễ chuyển hóa thành nhau. Tuy nhiên chân lý tuyệt đối chỉ có một!

-----------------------------------------------------

(Trích "THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 39/b")
                            Ảnh số 1 3 nhà toán học G.Bôia, N.Lôbasepxki, K.Gauxơ - Tủ sách danh nhân thế giới

                          DANH LỢI

(...)
Ngay từ thời còn là sinh viên, F. Bôia đã gọi vui K. Gauxơ, người bạn thân của mình là “Cuốn sách im lặng chưa có tên tuổi”. Và F. Bôia đã không lầm: K. Gauxơ sau này đã trở thành nhà toán học hàng đầu của Châu Âu và được vinh danh là “Ông Hoàng toán học” của thời đại mình. Sự vinh danh ấy không phải là quá đáng nếu nhìn vào những thành tựu toán học mà Gauxơ đã gặt hái được cho khoa học. Chúng ta có thể tóm lược vài kết quả toán học tiêu biểu của ông.
Vào tháng 7-1796, trên một số báo được xuất bản ở Rên, có đăng bài “Phát minh mới” được ký tên K. Gauxơ, một sinh viên của Trường Đại học tổng hợp Gottinghen. Đây là một phát minh mới lạ mà lúc ấy ít người để ý đến. Trong bài báo đó, Gauxơ viết:
“Mọi nhà hình học đều biết rằng có thể bằng phương pháp hình học (tức bằng thước kẻ và compa) dựng được các hình đa giác đều, cụ thể là tam giác, ngũ giác 15 cạnh và các đa giác có số cạnh gấp đôi chúng. Điều đó người ta có thể biết từ thời Ơclít và hình như từ ấy đến nay, mọi người đều cho rằng lĩnh vực hình học sơ cấp không thể mở rộng thêm, hoặc ít ra là tôi chưa biết một sự thành công nào trong việc mở rộng về hướng này. Do đó tôi cho rằng đáng chú ý đến phát minh: ngoài những đa giác đều trên, có thể bằng phương pháp hình học dựng nhiều đa giác đều khác, ví dụ như đa giác đều 17 cạnh. Phát minh đó thực ra chỉ là hệ quả của một lý thuyết lớn chưa được kết thúc hoàn toàn. Sau khi lý thuyết ấy được hoàn thành, nó sẽ được giới thiệu với độc giả”.

                                                     
                                                      Carl Friedrich Gauss
Năm năm sau, lúc chỉ mới 24 tuổi, Gauxơ đã cho xuất bản tác phẩm “Những nghiên cứu số học” mà chương cuối của nó là một lý thuyết hoàn chỉnh về chia đều đường tròn (cũng tức là dựng đa giác đều). Bản thân Gauxơ đã coi lý thuyết này là một thành tựu lớn của mình.
Cả cuộc đời Gauxơ là một quá trình sáng tạo không ngừng nghỉ. Ông đưa mắt về đâu là hầu như phát hiện ra ở đấy những điều mà trước đó người khác không nhìn thấy. Khi chú ý đến vấn đề nào, ông cũng thường biết rút ra được từ đó những nhận xét quan trọng và mới mẻ. Sự chú ý của ông tập trung vào hầu hết các vấn đề chưa được giải quyết của tất cả các ngành khoa học chính xác. Gauxơ rất giỏi trong việc giải quyết những bài toán đặc biệt có tính ứng dụng, để rồi chúng đều được biến thành những nghiên cứu sâu sắc và toàn diện.
 (...)
Gauxơ đã hiến dâng cho thiên văn học 20 năm làm việc nhiệt tình của đời mình và đã giải quyết được nhiều vấn đề thuần túy toán học nảy sinh trong khi nghiên cứu thiên văn.
Tiếp theo thiên văn học là địa chất học. Ở lĩnh vực này, Gauxơ cũng mang lại cho khoa học những thành quả kỳ diệu. Phải thừa nhận rằng Gauxơ đã sáng tạo ra môn địa chất cao cấp - môn học mà trước đó chưa từng có. Ông xây dựng lý thuyết mặt sâu sắc đến nỗi vượt trước sự phát triển của ngành toán học đến hàng trăm năm. Những phương pháp mà ông sáng tạo, về sau được các nhà toán học khác ứng dụng rộng rãi.
 (...)
Những người đương thời với Gauxơ đã nể phục ông về sự toàn diện và sâu sắc trong tư duy toán học, có khả năng không những đi sát với thời đại mà còn vượt lên trước thời đại, đặt ra cho khoa học hết vấn đề này đến vấn đề khác.
Không thể kể hết được những công trình sáng tạo kiệt xuất của Gauxơ từ số học, đại số học, hình học, thiên văn học, đến trắc địa học, vật lý học… Ngoài một số lượng khổng lồ các công trình đã được công bố lúc Gauxơ còn sống, người ta còn thu thập được một khối lượng đồ sộ các bản thảo chưa công bố của Gauxơ, nhiều đến mức để tránh nhầm lẫn và sai sót vô tình, người ta đã phải thành lập hẳn một tổ chức làm công việc chuyên sưu tầm, biên tập suốt từ khi ông tạ thế vào năm 1855 cho đến tận trước ngày xảy ra cuộc chiến tranh thế giới thứ hai mới gọi là hoàn tất để trao cho Hội khoa học Gottinghen lần lượt xuất bản thành 12 tập sách di cảo của ông.
Qua việc sưu tập di cảo chưa được công bố của Gauxơ, người ta phát hiện ra rằng bản thân “Ông Hoàng toán học” cũng đã từng rất quan tâm tới việc xây dựng môn hình học mới gọi là phi Ơclít (tên gọi “phi Ơclít” là do Gauxơ khởi xướng) và cũng đi đến nhiều kết luận giống như Lôbasépxki, cũng như các kết luận về lĩnh vực hình học này mà nhà toán học trẻ và bất hạnh người Hungari là J. Bôia đã đạt tới.
Nhưng thực hư là thế nào? Phải chăng là “Ông Hoàng toán học” Gauxơ cũng đã xây dựng được một hệ thống hình học phi Ơclít đồng thời với N. Lôbasépxki và J. Bôia? Hoàn toàn không! Có thể Gauxơ dù là rất sớm đã suy tư về định đề 5 của Ơclít nhưng vẫn chưa xác định được hướng đi và chỉ nhờ vào những “tâm sự chân thành” của những nhà toán học trăn trở trên vấn đề này, gửi gắm cho ông vì tôn sùng “Ông Hoàng toán học” mà ông đã có những ý niệm ngày càng rõ ràng về một hệ thống hình học được chính ông đã gọi là “phi Ơclít”. Chúng ta cho rằng, Gauxơ có thể là nhà toán học thiên tài, xứng đáng là “Ông Hoàng toán học” của thời đại ông, nhưng không xứng đáng là người có công đứng ngang hàng với N. Lôbasépxki và J. Bôia trong công cuộc mở đầu có tính cách mạng, định hình nên hệ thống hình học mới gọi là phi Ơclít.
Con người ta, khi đã được tung hô là vĩ nhân phi thường, luôn quên rằng mình cũng chỉ là một kẻ còn khiếm khuyết, vì thế mà luôn cố gắng giữ gìn cái “vinh quang bất diệt” đó và cũng từ đó mà đã ứng xử một cách “kỳ lạ” trước những phát kiến khoa học mà mình đã không hoặc chưa kịp phát hiện ra được. Một tài năng vĩ đại chắc gì đã có một tâm hồn vĩ đại? Câu hỏi đó thực ra là một câu trả lời, và do đó không nên trách móc làm gì mà có lẽ nên thương cảm nhiều hơn, bởi vì con người ta, ai cũng vậy, sống, lao động gian khổ và chấp nhận những hy sinh với mục đích tối hậu là danh lợi. Dù cố biện minh cỡ nào đi chăng nữa thì nhiều ứng xử của “Ông Hoàng toán học” Gauxơ đã thiếu vắng hẳn tình người và thậm chí là tàn nhẫn (chỉ vì đơn giản là bị ám ảnh bởi nỗi lo ánh hào quang của mình giảm sút đi, hoặc cũng có thể chỉ là biểu hiện của một ẩn ý rất sâu: không ai qua mặt được “vua” và “vua” thì bao giờ cũng vượt trội trong bất cứ lĩnh vực toán học nào một khi đã để mắt tới?).
J. Bôia chính thức bắt tay vào và hoàn thành trong vòng 5 năm công trình lý thuyết về hình học của mình mà ông gọi là “Học thuyết đúng tuyệt đối về không gian”, hay gọi tắt là “Appenđixơ”. Công trình này được công bố vào năm 1832, dưới dạng là phần phụ lục của quyển sách có tựa đề “Tentamen” mà tác giả là Bôia cha, tức là sau ba năm kể từ khi “Bàn về các nguyên lý hình học” của N. Lôbasépxki đã được công bố trên tờ “Thông báo Cadan”.
Sau khi đắn đo, cha con nhà Bôia quyết định xin ý kiến đánh giá công trình của người con từ thần tượng toán học của họ ở Gottinghen, ngài Gauxơ.
Mở đầu bức thư gửi cho Gauxơ, F. Bôia viết: “Gauxơ vô cùng quí mến! Hãy thứ lỗi cho mình vì mình đã làm sao lãng cuộc hành trình của bạn. Hãy tạm dừng lại và dành cho tình bạn một đôi chút.”
Sau khi thông báo ngắn gọn về các công việc của bản thân và của con trai, F. Bôia viết tiếp: “Theo yêu cầu của Janôs, mình gửi đến cho bạn một bản luận văn nhỏ của nó. Với cặp mắt sắc bén và tinh tường, bạn hãy làm ơn xem hộ nó và cho nó một lời kết luận thật khắt khe và không thương tiếc như là mình đang nóng lòng chờ đợi… Con trai của mình coi sự đánh giá của bạn còn cao hơn cả sự đánh giá của toàn châu Âu.”
Sau khi đọc xong “Appenđixơ”, “cặp mắt sắc bén và tinh tường” của vị thần tượng ở Gottinghen thấy ngay ra tất cả. Ông liền viết thư cho một người học trò và cũng là bạn, tên là Gơling đang sống ở Menbuốc:
“Hôm nay tôi nhận được một luận văn không lớn lắm nói về hình học phi Ơclít gửi từ Hungari đến. Ở đây, tôi nhận thấy tư tưởng và kết quả của tôi được phát triển một cách tuyệt vời, mặc dù cách trình bày quá vắn tắt đã làm cho nó trở nên rất khó hiểu đối với ai chưa quen biết lĩnh vực này. Tác giả của nó là một sĩ quan Áo rất trẻ. Anh ta là con trai người bạn thời thanh niên của tôi, người mà hồi năm 1798 vẫn thường cùng tôi bàn luận về vấn đề đó, mặc dù lúc bấy giờ các ý đồ của tôi hãy còn rất xa mới được hoàn thiện và chín muồi như trong công trình độc lập của người thanh niên này. Tôi cho rằng nhà hình học trẻ J. Bôia là một người có tài thiên bẩm bậc nhất.”
Dù rằng đó là những lời khen ngợi thật nhất, bộc phát ra từ trạng thái phấn khích của sự khâm phục rõ ràng, thì Gauxơ, cũng kín đáo lồng vào một ẩn ý là chính ông chứ không phải J. Bôia mới là người có tư tưởng tiên phong đối với vấn đề mà bản luận văn của J.Bôia đề cập đến.
Nhận xét như thế về Gauxơ không phải là vô lý nếu đọc những dòng sau đây của Gauxơ gửi cho F. Bôia:
“… Bây giờ có vài lời về cái công trình của con trai bạn. Nếu như mình xuất phát từ chỗ thấy không cần thiết phải khen ngợi công trình đó, thì lập tức bạn sẽ thấy ngạc nhiên. Nhưng không thể làm khác được vì nếu mình khen ngợi nó thì tức là khen ngợi chính bản thân mình. Nội dung của công trình đó, con đường mà con bạn đi qua và các kết quả mà con bạn đã nhận được đều hầu như trùng với những cái mà mình đã nhận được từng phần trong 30 - 35 năm về trước. Và điều đó làm cho mình hết sức ngạc nhiên.
Mình dự định trong đời sẽ không bao giờ công bố điều gì về một công trình riêng của mình mà hiện tại còn đang nằm trên giấy… Nhưng dù sao mình cũng có ý định ghi lại tất cả vào giấy để cho những ý nghĩ đó ít ra cũng không bị chết theo cùng với bản thân mình.
Chính vì vậy mà mình rất đỗi ngạc nhiên về sự trùng lặp đó và nó làm cho mình thấy cái dự định trên không còn cần thiết nữa. Mình rất vui mừng rằng chính công trình của con trai bạn đã làm cho mình khâm phục vô cùng”.
Thế là thế nào? “Không cần thiết phải khen ngợi” thì sao lại “khâm phục vô cùng” được? Có đúng là Gauxơ đã suy nghĩ về khả năng xây dựng một hệ thống hình học mới, khác với Ơclít từ nhiều năm trước và cũng đã đặt được một nền móng cơ bản và đúng đắn cho nó không, hay vẫn chỉ là những ý tưởng dù có thể có vài ý thực sự xuất sắc nhưng rời rạc, chưa có manh mối để kết nối chúng lại và vẫn chưa từng được viết ra giấy?
Cần nhớ lại rằng, khoảng cuối năm 1804, trong bức thư gửi cho F. Bôia, Gauxơ còn thảo luận về đường lối chứng minh định đề 5 của Ơclít và vẫn còn tin tưởng rằng có thể chứng minh được:
“Phương pháp của anh làm tôi không thích lắm. Tôi muốn tưởng tượng một cách rõ ràng các hòn đá kỳ quái mà tôi tìm được trong phương pháp đó (và nó cũng thuộc loại hòn đá ngầm đã làm vỡ tan các cố gắng của tôi). Tuy nhiên, tôi vẫn tiếp tục hy vọng rằng một lúc nào đó trước khi nhắm mắt, tôi có thể vượt qua được hòn đá đó.”
Thế rồi sau 2 năm, sau 4 năm, 8 năm, 14 năm (tức khoảng năm 1818), Gauxơ còn nói: “Trong lý thuyết các đường song song, đến bây giờ vẫn chưa ai vượt qua được Ơclít”, hay “Chúng ta vẫn chưa nhích khỏi được chỗ đứng của Ơclít cách đây 2.000 năm”. Rõ ràng là đến tận lúc này, ý tưởng về một hình học phi Ơclít chưa mảy may xuất hiện trong đầu của Gauxơ.
Trong những năm 1812 đến hết năm 1816, giáo sư Xvâycát dạy luật ở Trường tổng hợp Kháccốp, nhưng ông lại đam mê lý thuyết về các đường song song. Ngay từ năm 1807, ông đã công bố một phương án chứng minh định đề 5, nhưng chẳng bao lâu sau ông đã thấy ra là mình sai lầm. Cuối cùng ông đã đi đến khẳng định rằng có thể tồn tại, ngoài hình học Ơclít hay còn gọi là “hình học với ý nghĩa hẹp” ra, còn có một hình học khác gọi là “hình học của các vì sao” hay “hình học mở rộng”.
Năm 1817, Xvâycát đến nước Đức. Ở đây ông đã kết bạn với giáo sư Gơling. Như đã kể, Gơling vừa từng là học trò, vừa là bạn của Gauxơ và thường xuyên trao đổi thư từ với Gauxơ. Qua Gơling, Xvâycát biết được Gauxơ cũng rất bận tâm nghiên cứu vấn đề các đường song song. Xvâycát vui mừng quyết định gửi cho “Ông Hoàng toán học” một thông báo nhỏ của mình về “hình học mở rộng”.
Gauxơ thực sự sửng sốt. Ông viết ngay thư cho Gơling: “Thông báo của giáo sư Xvâycát làm cho tôi vô cùng hài lòng và tôi yêu cầu anh chuyển đến ông ta mọi ý nghĩ tốt lành của tôi về vấn đề này. Tất cả mọi cái đó hình như đã in sâu vào tâm khảm tôi”.
Tiếp theo, Gauxơ với trình độ toán học rất sắc sảo và nhạy bén của mình, đã dẫn ra một số luận điểm xuất phát của “hình học mở rộng” mà rõ ràng là Xvâycát đã không thể rút ra được vì không hiểu sâu về toán học. Tuy vậy Gauxơ lại không những không khuyến khích Xvâycát tiếp tục nghiên cứu vấn đề đó mà còn không nhắc nhở gì đến việc công bố cái thông báo khoa học mà Xvâycát đã gửi cho Gauxơ.
Tại sao Gauxơ đã xử sự với Xvâycát như vậy? Cũng có nhiều người gọi Gauxơ là “Ông khổng lồ ở Gottinghen”. Nhưng tại sao “Ông khổng lồ” lại không muốn cho một giáo sư luật là người đầu tiên nói về một “thứ” hình học được gọi là “mở rộng”, bao trùm cả hình học Ơclít? Phải chăng thông báo của Xvâycát đã lần đầu tiên gợi ra ý tưởng về một hệ thống hình học phi Ơclít đối với bộ não mẫn cảm của nhà toán học thiên tài Gauxơ?
Hậu thế có thể không bao giờ trả lời được câu hỏi đó nhưng không thể không biết một chuyện khác đau buồn hơn nhiều.
Tarinuxơ là cháu gọi Gauxơ bằng chú. Cũng như Xvâycát, Tarinuxơ nguyên là một luật sư và đến năm 34 tuổi thì đột nhiên nổi hứng say mê toán học, nhất là hình học với thách đố định đề 5 của Ơclít, và cũng cố gắng tìm cách chứng minh định đề ấy.
Trong quá trình nghiên cứu, Tarinuxơ đã một lần mạnh dạn đưa ra giả thiết rằng, tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, và từ đó đã rút ra hàng loạt những định lý quan trọng. Năm 1824, ông gửi công trình của mình cho Gauxơ nhận xét.
Gauxơ đã viết thư trả lời. Nội dung bức thư rất hay, tỏ rõ một tư duy lý luận trác tuyệt nhưng có phần “vơ vào” của “Ông Hoàng toán học”:
“Cái giả thuyết về tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o, đã dẫn đến một môn hình học độc đáo, khác hẳn với môn hình học của chúng ta. Môn hình học đó hoàn toàn nhất quán và với dụng ý của mình, tôi đã phát triển nó đến mức độ khá đầy đủ. Tôi có thể giải quyết bất kỳ bài toán nào của môn hình học này, trừ việc xác định một hằng số mà giá trị của nó càng không thể xác định được. Nếu cho hằng số đó nhận giá trị càng lớn thì chúng ta càng tiệm cận tới hình học Ơclít, và giá trị lớn vô cùng của nó sẽ làm cho cả hai hệ hình học trùng với nhau. Các giả thiết của môn hình học này có phần nghịch lý và thậm chí còn tỏ ra sai đối với những ai chưa quen, song nếu như suy nghĩ một cách bình tĩnh và nghiêm túc thì thấy chúng không bao hàm điều gì là không thể. Ví dụ, bằng cách lấy các cạnh đủ lớn, có thể làm cho cả ba góc trong tam giác bé tùy ý. Nhưng chính diện tích tam giác lại không thể vì thế mà tăng lên, thậm chí nó cũng không đạt đến một giới hạn nào, dù cho các cạnh của nó lớn đến bao nhiêu chăng nữa. Mọi cố gắng của tôi là phát hiện sự mâu thuẫn và tính chất không nhất quán của môn hình học phi Ơclít. Dù chưa đạt kết quả thì có một điều duy nhất không phù hợp với lý trí chúng ta là, nếu như hệ thống hình học đó đúng, thì trong không gian nhất định phải tồn tại một đại lượng tuyến tính xác định nào đó (mặc dù đại lượng đó ta chưa biết). Nhưng tôi cảm thấy chúng ta hiểu rất ít, hoặc là không hiểu tí gì về bản chất của không gian. Chúng ta không thể trộn lẫn cái mà chúng ta cảm thấy không hiển nhiên với một cái tuyệt đối không thể xảy ra.
Nếu như hình học phi Ơclít mà có thật và hằng số nói trên phụ thuộc vào các đại lượng phù hợp với sự đo đạc của chúng ta ở trên bầu trời hoặc trên trái đất, thì hằng số đó có thể xác định được bằng thực nghiệm. Chính vì vậy, với ý bông đùa, đôi khi tôi mong muốn hình học Ơclít đừng có thật để chúng ta sẽ có một độ đo chiều dài càng tuyệt đối hơn”.
Với một suy luận như thế (tuy rất sâu sắc) thì trong thời gian thảo bức thư này, “Ông Hoàng toán học” vẫn còn rất lưỡng lự, hoang mang trước sự tồn tại hay không tồn tại một hệ thống hình học mà sau này được gọi chính thức là phi Ơclít.
Cuối thư, Gauxơ viết tiếp:
“Đối với những người đã có khả năng lĩnh hội toán học một cách sâu sắc, tôi không sợ họ hiểu sai những điều đã trình bày ở trên, nhưng dù sao, anh cũng coi đây là một sự thông báo riêng mà hoàn toàn không cần phải công bố”.
Rất phấn khởi vì được Gauxơ cho in hai tiểu luận trình bày lời giải của một số bài toán trong lĩnh vực hình học mới, nhưng Tarinuxơ cũng công nhận rằng ông chỉ mới có khả năng đề cập được một phần nhỏ nào thôi về một phát kiến lớn lao đang còn ở phía trước.
Nhớ lời dặn của Gauxơ ở cuối thư, trong lời nói đầu của một trong các tiểu luận, Tarinuxơ chỉ bày tỏ một cách thận trọng và kín đáo rằng, thật là thú vị biết bao giá như được nhìn thấy có một sự công bố nào đó từ nhà toán học lớn nhất châu Âu (tức Gauxơ) về vấn đề đang đề cập.
Tuy nhiên, khi đọc được những lời đó, Gauxơ đã cáu giận ghê gớm, cắt đứt mọi quan hệ với Tarinuxơ. Bị sự ruồng bỏ của người chú và cũng là nhà toán học mà mình tuyệt đối tin tưởng, Tarinuxơ trở nên điên loạn. Trong một lần lên cơn, ông đã đốt tất cả các tiểu luận của mình. Thật là bi kịch!
Cần nhắc lại rằng Lôbasépxki từng cố gắng chứng minh hình học phi Ơclít của mình không có mâu thuẫn nội tại, nhưng chưa thực hiện được. J. Boia cố gắng một cách kiên nhẫn hơn Lôbasépxki nhưng cũng chưa thành công. Còn Gauxơ thì thậm chí chưa thể bắt tay vào làm việc đó. Mãi đến gần nửa thế kỷ sau, nhà toán học người Đức tên là Hilbert mới đạt được bước quyết định trong việc chứng minh sự phi mâu thuẫn của hình học phi Ơclít.
Trong khi giới toán học ở nước Nga vẫn còn giữ thái độ lạnh nhạt, ruồng rẫy phát kiến thiên tài về hình học của vị Hiệu trưởng Trường đại học Cadan thì nó đã vượt biên giới tới nước Đức, được đăng dưới tiêu đề: “Các công trình nghiên cứu hình học” ở Beclin. Với cặp mắt lão luyện, “Ông khổng lồ” Gauxơ đã lập tức thấy ngay ra tầm vóc phi thường của nó, cũng như tài năng toán học kiệt xuất của tác giả sáng tạo ra chúng.
Trước đó, Gauxơ đã từng học sơ qua tiếng Nga trong một lần có dự định sang Nga nghiên cứu và làm việc (đơn thuần là vì sinh kế). Nhưng bây giờ thì sự nỗ lực học tiếng Nga của ông tăng lên gấp bội, vì ông muốn nhanh chóng tự mình tìm hiểu nguyên bản các công trình nghiên cứu của Lôbasépxki.
Vào tháng 2-1841, Gauxơ viết thư cho một học trò của mình, nhà thiên văn học Ônke: “Tôi bắt đầu học được tiếng Nga ở mức độ tương đối nhanh và tìm thấy ở đó một sự hài lòng lớn lao. Krôme đã gửi cho tôi một công trình nhỏ viết bằng tiếng Nga của Lôbasépxki, và qua đó, cũng như qua một công trình không lớn lắm về các đường song song được viết bằng tiếng Đức, tôi trở nên có tham vọng được đọc nhiều hơn về các tác phẩm của nhà toán học thông thái này. Theo lời của Krôme nói với tôi thì trong tập san “Kỷ yếu khoa học của Trường đại học Cadan” bằng tiếng Nga có đăng rất nhiều các công trình của ông ta.”
Sau đó, vào năm 1846, ông lại viết cho bạn mình là nhà thiên văn học Sumakhơ:
“Gần đây, tôi có dịp xem lại quyển sách “Những công trình nghiên cứu hình học” của Lôbasépxki. Nó chứa đựng những nền tảng của một môn hình học mà đáng lẽ phải có một chỗ đứng và đồng thời hoàn toàn nhất quán nếu như môn hình học Ơclít không phải là chân lý. Hình như Xvâycát gọi môn hình học đó là hình học các vì sao, còn Lôbasépxki gọi nó là hình học trừu tượng. Anh biết rằng đã 50 năm qua (từ 1792), tôi cũng có những khẳng định như vậy (về sau tôi có mở rộng thêm một ít, song tôi chưa muốn dừng ở đấy). Qua các tài liệu, công trình của Lôbasépxki không có gì mới đối với tôi, nhưng tác giả đã phát triển theo một con đường khác, hoàn toàn không giống tôi. Lôbasépxki đã hoàn thành công trình đó với một nghệ thuật tinh xảo, với một nội dung hình học thực sự. Tôi thấy có trách nhiệm lưu ý cho anh quyển sách đầy thú vị này.”
Lần này, dù vẫn còn thói quen “tự kỷ ám thị” thì Gauxơ cũng đã bày tỏ sự khâm phục đối với tài năng của nhà toán học người Nga và trong công khai, ông còn đề nghị bầu Lôbasépxki “với tư cách là nhà toán học xuất sắc nhất nước Nga” làm một hội viên thông tấn của Hội khoa học hoàng gia Gottinghen (tương đương với viện sĩ thông tấn của Viện hàn lâm khoa học), do chính ông làm giám đốc. Tuy nhiên có điều lạ lùng là dù coi trọng Lôbasépxki như thế thì chưa một lần nào Gauxơ trao đổi thư từ với Lôbasépxki và ngay cả trong các lý do bầu Lôbasépxki vào Hội khoa học hoàng gia Gottinghen cũng không có một dòng nào nhắc đến Công trình sáng tạo ra “hình học trừu tượng” của ông.
Một lần, vào mùa hè năm 1844, trên một tờ báo ở Hungari xuất hiện bài viết của nhà toán học Mentôvich. Ông này đã kể lại về cuộc gặp gỡ và đàm thoại của ông với Gauxơ. Gauxơ đã hỏi han khá nhiều về người bạn già F. Bôia và con trai ông ta, rồi sau đó đưa cho Mentôvich quyển “Các công trình nghiên cứu toán học” của Lôbasépxki đồng thời nói bóng gió, đại ý rằng:
Sự trùng hợp đáng ngạc nhiên giữa các tư tưởng, quan điểm của Lôbasépxki và của J. Bôia là một điều hết sức kỳ lạ; và vì tất cả các công trình của Lôbasépxki đều được in bằng tiếng Nga nên người Hungari tất phải đọc được (Gauxơ lầm rằng tiếng Hungari cũng là thứ tiếng có nguồn gốc Slavơ như tiếng Nga).
Phải bốn năm sau cha con nhà Bôia mới tình cờ đọc được bài báo này. Nội dung bài báo đã thúc giục J. Bôia tìm đọc cho được nội dung của quyển sách mà tác giả là một nhà toán học người Nga nào đó có tư tưởng hình học trùng lặp với tư tưởng của ông. Cuối cùng thì J. Bôia cũng có quyển sách đó trong tay.
Đọc xong cuốn sách, tâm trạng J. Bôia trở nên phấn khích pha lẫn bấn loạn:
“Nếu như trong tác phẩm nổi tiếng này, tác giả đã đi bằng những con đường hoàn toàn khác thì tinh thần và các kết quả của nó lại trùng với “Appenđixơ” đã được công bố vào năm 1832 của tôi. Theo lời của Gauxơ thì ông đã ngạc nhiên vô cùng về sự trùng lặp thú vị giữa công trình của nhà toán học Hungari và công trình của nhà toán học Nga. Thành thực, điều đó cũng làm tôi không kém phần ngạc nhiên.
Lẽ tất nhiên, bản chất của sự thật trăm phần trăm dù ở Hungari, ở Camsátca (quê của Lôbasépxki) hay thậm chí là ở cả trên mặt trăng, hoặc trên cả thế giới này chăng nữa thì cũng đều như nhau. Cái gì mà đã được một người nào đó phát hiện ra thì cái đó tất nhiên một người khác cũng có thể phát hiện ra. Thêm vào đó, sự ra đời của các công trình trí tuệ, cũng giống như các sản phẩm của thiên nhiên theo quá trình phát triển của loài người, đều mang tính thời đại!... Và cuối cùng, ngay cả lý thuyết về các đường song song cũng không có gì đặc biệt khó và huyền bí cả. Nếu như thấy rằng, trước đây thậm chí trong số các nhà toán học ưu tú biết suy nghĩ sâu sắc, có rất ít người nhận thấy được cái lỗ hổng này trong môn hình học để ra sức bổ sung cho nó; nếu như có thể thấy rằng, qua một thời gian dài dằng dặc bắt đầu từ Ơclít, mặc dù đã có những công trình nghiên cứu đặc biệt sâu sắc trong lĩnh vực này mà vẫn chưa thấy xuất hiện điều gì đáng kể, dù chỉ là trên báo chí thôi; và nếu như lưu ý tất cả những điều đó, thì thử hỏi vị tất dựa vào điều gì để có thể giả thiết được rằng, có hai hoặc ba người hoàn toàn không biết gì về nhau lại hầu như cùng một lúc, và mặc dù bằng những cách khác nhau, có thể cùng hoàn toàn giải quyết trọn vẹn vấn đề?...”
Cay đắng và bấn loạn đã làm cho J. Bôia mất sáng suốt, đi đến những suy diễn hoàn toàn cảm tính để rồi nghi ngờ hết người này đến người khác đã âm mưu chiếm đoạt thành quả của mình và cuối cùng thì chĩa hẳn mũi dùi về phía con người đã từng một lần từ chối cưu mang ông, một lần gây cho ông một vết thương lòng nặng nề: “Nhưng cũng có thể là thần tượng Gottinghen vì không thể để cho một người khác vượt mình trong lĩnh vực này, nhưng vì không thể cản được người đó cho nên ông đã ra tay gia cố lại cái lý thuyết đó dưới cái tên Lôbasépxki…”
Tuy nhiên, khi đã trở nên bình tĩnh và suy xét lại thì chính bản thân J. Bôia cũng đã thấy ra sự phi lý của các mối nghi ngờ đó. Vốn dĩ là một con người trung thực và cao thượng, sau này, J. Bôia có viết trong hồi ký của mình:
“Tôi vô cùng vui mừng khi thấy có khá nhiều người quan tâm đến vấn đề này, thậm chí giả sử họ đi bằng những con đường hơi khác. Với tình cảm anh em, tôi chìa tay chúc mừng tác giả, con người mà tôi đã cảm thấy gắn bó về mặt tư tưởng, và vì lẽ đó, tôi xin nhận lỗi về sự nghi ngờ sai lầm và thiếu cơ sở của mình…
… Và tôi đặc biệt chúc mừng cho hạnh phúc của đất nước đã sản sinh ra một thiên tài lỗi lạc như vậy, đất nước mà khắp mọi nơi là thô bạo và khắc nghiệt, đất nước mà những tư tưởng tự do và tiên tiến đều bị chặt cánh và bị trói buộc trong gông xiềng hoặc cạm bẫy, làm cho chúng không thể nào phát triển được…”
Chỉ qua những trao đổi thư từ có tính cách riêng tư đối với bạn bè và đồng nghiệp của Gauxơ đã trích dẫn ở trên thôi, chúng ta cũng phần nào đoán nhận ra được là dù cho sau này Gauxơ đã từ bỏ niềm tin chứng minh được định đề 5, dù ông rồi cũng nhận thấy khả năng tồn tại một cách có lý của một hệ thống hình học khác với hình học Ơclít, và có thể cũng âm thầm nghiên cứu nó, thì cho đến tận khi đã đọc công trình của Lôbaxépxki, ông vẫn không tài nào giũ bỏ được ý nghĩ cho rằng một hệ thống hình học nào đó được sáng tạo bởi con người, (dựa trên một giả thiết phù hợp lôgic nhưng tính trực giác thì lại “yếu hơn” định đề 5 của Ơclít rất nhiều) khác với hình học Ơclít lại có thể thay thế được hình học Ơclít trong việc mô tả minh bạch mà trực giác cũng thừa nhận là xác đáng (ít ra là trong phạm vi nhìn thấy được) đối với không gian thực tại. Phải chăng Gauxơ đã là đại diện xuất sắc nhất và cuối cùng của các nhà toán học tạm gọi là có lối “tư duy thực chứng” và vì thế mà Gauxơ chỉ vĩ đại với tư cách là nhà toán học ứng dụng thiên tài?
 (...)
Sự dị thường trong cách đối xử của “Ông Hoàng toán học” đối với những người đi những bước đột phá trong vấn đề liên quan đến định đề 5 của hình học Ơclít, cùng với những lời đánh giá, khen - chê những công trình của họ, một cách lập lờ nước đôi rõ ràng là có chủ ý nếu không phải đen tối thì cũng không mã thượng, được nhiều người đời sau giải thích rằng “Ông Hoàng toán học” làm như vậy là bởi cái bản tính thận trọng, sợ ảnh hưởng xấu đến cái uy tín đã được dát vàng và đang lừng lẫy của ông. Chúng ta cho rằng, giải thích như thế là chưa đầy đủ. Có một sự thật không thể chối cãi được, biểu hiện ra từ những ứng xử của “Ông Hoàng toán học”, đối với những “thần dân” đi khám phá những bí ẩn của hình học có nguồn gốc từ sự thiếu hiển nhiên của định đề 5, đó là hầu như không có sự khích lệ, động viên nào của “ông vua” đối với những người đó, mà trái lại còn cố ý “bình thường hóa” những phát kiến của họ theo hướng ngụ ý rằng: những cái mà “các ngươi” đã và đang làm được, có thể là mới lạ đối với ai thôi chứ “đức vua” thì đã biết tỏng từ lâu. Tài năng toán học lỗi lạc của Gauxơ cùng với sự nỗ lực không mệt mỏi của ông trong nghiên cứu khoa học đã đem đến cho ông những thành tựu phi thường để từ đó mà bản thân ông được đương thời (và cả hậu thế) hết mực tôn vinh, kính trọng đặt vào vị trí quyền uy và danh vọng cao nhất mà trong thể chế phong kiến khó lòng mơ ước được: Thiên tử; mà trong việc so sánh tài năng là “Nhà toán học bậc nhất Châu Âu”, hay: “Ông khổng lồ ở Gottinghen”, và ông hoàn toàn xứng đáng được hưởng thụ những “danh bất hư truyền” ấy, cũng như được quyền chìm đắm trong một vầng thái dương hào nhoáng của “vinh quang đời đời”. Tuy nhiên, phải chăng cũng chính vì như thế mà trong sâu thẳng tâm hồn của Gauxơ đã âm thầm nảy sinh ra sự ngạo mạn và khi tâm hồn đã bị sự ngạo mạn chế ngự thì dù có cố khiêm tốn đến mấy cũng không thể che lấp được biểu hiện tổng hòa của những: đố kỵ, vị kỷ… và sẽ phải dẫn đến kết quả cuối cùng là sự nhẫn tâm vô tình.
Chúng ta vẫn còn nhớ được hai trường hợp nói năng, ứng xử của Gauxơ cũng đại loại như thế mà không liên quan gì đến những phát kiến mới trong hình học.
Đây là trường hợp thứ nhất. Trong khi vấn đề chứng minh Định lý cuối cùng của Fecma nổi lên như một sự kiện có tính thời sự ở Châu Âu thì Gauxơ chẳng có một biểu hiện công khai nào về nó. Hơn nữa, trong một bức thư, thậm chí Gauxơ còn bộc lộ sự khinh bỉ đối với bài toán đang được nhiều người đặc biệt quan tâm và bàn luận sôi nổi đó. Thật là lạ lùng! Có thể nào trong thầm kín, ông đã từng đối đầu với nó và phải chịu bất lực tương tự như bài toán chứng minh định đề 5 của Ơclít? Bạn ông, nhà thiên văn người Đức tên là Heinrich Olbers đã viết thư động viên ông: “Gauxơ thân mến, mình nghĩ rằng bạn nên để tâm về chuyện đó”. Hai tuần sau, Gauxơ trả lời: “Tôi rất cảm ơn anh đã cho tôi biết tin về giải thưởng ở Pari. Nhưng tôi buộc phải thú nhận rằng Định lý cuối cùng của Fecma với tư cách chỉ là một mệnh đề cô lập ít có sự thu hút đối với tôi, vì bản thân tôi cũng có thể đặt ra rất nhiều những mệnh đề như vậy mà người ta không thể chứng minh hoặc bác bỏ được”.
Khi viết ra những dòng như thế, không biết “Ông Hoàng toán học” có nhớ tới cái vinh danh cũng thật lẫy lừng của Fecma là “Ông Hoàng nghiệp dư” hay không? Hơn nữa, định lý lớn Fecma chắc gì đã cô lập hơn định đề 5 Ơclít?
Tiếp theo là trường hợp thức hai. Aben là nhà toán học trẻ kiệt xuất người Nauy, tác giả của lý thuyết hàm số eliptic và đồng thời với Galoa nhưng theo một con đường khác đã chứng minh tính không giải được bằng căn thức đối với phương trình bậc năm. Trước những phát kiến toán học tuyệt vời của Aben, Gauxơ đã viết thư sang Pháp rằng:
“Những công việc khác đã cản trở tôi trong việc sửa chữa lại các nghiên cứu trước đây. Aben đã lặp lại hầu như đến ba công trình của tôi. Anh ta đã đi theo con đường mà tôi đã đi từ năm 1798. Vì thế, tôi không ngạc nhiên khi thấy anh ta đã thu được những kết quả giống như tôi. Tuy nhiên, vì trong quá trình tính toán, anh ta đã tỏ ra có nhiều tài năng và khéo léo, đến mức làm tôi thấy không phải sửa chữa lại các kết quả của mình”.
Bức thư đó đã làm cho các nhà toán học Pháp rất bất bình. Đến nỗi nhà toán học Lêgiandrơ nói toạc ra rằng:
“Không thể tồn tại một phát minh nào mà anh có thể cho là của mình nếu như phát minh ấy đã được tìm ra từ nhiều năm trước nhưng nếu không chứng minh được nó đã công bố ở đâu, ở tạp chí nào mà cứ tự nhận thì điều đó không thể chấp nhận được và chỉ làm cho tác giả thực sự của phát minh bị uất ức. Trong toán học thường thấy có người tìm được những vấn đề mà người khác đã tìm ra và mọi người đã biết, điều tương tự cũng đã xảy ra đối với tôi nhiều lần. Nhưng tôi không bao giờ kể đến chúng và không bao giờ gọi chúng là “Những nguyên lý của tôi” nếu như chúng đã được công bố trước các công trình của tôi”.
Có lẽ chỉ trừ những kẻ mất trí, còn tất cả ai cũng luôn hành động vì mục đích danh lợi (về vật chất cũng như tinh thần và có thể là cho cá nhân mình hoặc cho cả cộng đồng). Bản chất của con người là vậy. Và cũng vì vậy mà có thể lấy đặc tính này làm cơ sở xuất phát để giải thích mọi biểu hiện về tâm hồn, mọi hành động, ứng xử dù lạ lùng và thậm chí là kỳ quặc của một con người.
Cuộc đời của Gauxơ đã thể hiện: ông vĩ đại khi là nhà toán học có công lao to lớn đối với nhân loại và ông tầm thường khi là con người bị sự ngạo mạn khuynh đảo.
Cũng nên kể thêm rằng, phải khá lâu sau khi đọc phần phụ lục trong cuốn sách của F. Bôia, Gauxơ mới giãi bày cho người bạn thân và luôn tôn trọng mình thế này:
“Tha thứ cho tôi nhé, Farkas! Từ mấy năm trước tôi đã thầm mong anh tha thứ cho tôi vì tôi đã không đáp ứng thư anh. Tôi không biết phải khuyên bảo con trai anh thế nào khi biết rằng anh đã đau khổ một đời vì bài toán đường thẳng song song. Tôi cũng như anh và như nhiều nhà toán học lớn khác đều rút ra kết luận rằng không thể chứng minh được định đề thứ năm như một định lý. Tôi cũng giống như con trai anh đã sớm hiểu rằng, do nó là một định đề kém hiển nhiên cho nên hoàn toàn có thể xây dựng một định đề khác thay cho nó. Song, điều mà con trai anh đã làm cũng như bây giờ một anh chàng Lôbasépxki nào đó ở nước Nga xa xôi đã làm một cách công khai, thì tiếc thay tôi lại không thể nào làm được. Cái vinh dự dù có là hão huyền đem đến cho tôi trên cương vị một người cầm cân nảy mực trong toán học không thể cho phép tôi hấp tấp đưa ra một lời đánh giá…”
Dù là muộn màng thì Gauxơ cũng đã có lời xin lỗi chân thành đến người bạn thâm niên của mình. Không thể không nghĩ rằng chính sự áy náy không thể giũ bỏ được trong tâm hồn suốt một thời gian dài và “nổi cộm” lên khi xuất hiện “niềm tự hào toán học của nước Nga” trên đất Đức đã thúc giục Gauxơ thốt ra những lời trần tình đó. Gauxơ đã nhận lỗi, tuy nhiên, theo chính ông biện bạch thì nguyên nhân dẫn đến lỗi lầm đó là do tình thế khách quan đòi hỏi, vì sự trong sáng của toán học. Về vấn đề này, J. Bôia có đưa ra lời nhận xét:
“Theo ý tôi và tôi tin tưởng một cách chắc chắn rằng theo ý kiến của bất kỳ một người hãy còn tỉnh táo nào cũng thế, các nguyên cớ mà Gauxơ đưa ra để giải thích cho việc suốt đời ông ta không hề muốn công bố một điều gì thuộc các công trình riêng của ông về vấn đề này (tức về hình học phi Ơclít - NV) là hoàn toàn không đứng vững và không đáng phải để ý. Vì lẽ, trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng ngày, mục tiêu chính là phải làm sao ra sức giải thích và làm rõ nét những điều có tính chất cấp thiết và hữu ích chung, đặc biệt là những điều còn chưa được rõ ràng lắm, và đồng thời cố gắng thức tỉnh những nhận thức còn mơ hồ về sự thật. Chính đó mới là những điều cần làm để khẳng định và phát triển lên. Rất tiếc rằng, vốn dĩ bẩm sinh không phải ai cũng lĩnh hội được toán học, nhưng đó đâu phải là cơ sở và lý do làm cho Gauxơ cứ giữ kín một phần các công trình có giá trị của mình. Đành rằng, đáng tiếc là trong giới toán học vẫn còn có những người thậm chí nổi tiếng mà lại tỏ ra nông cạn, song đó không phải là lý do cứ để cho hậu thế lướt qua trong khi khoa học vẫn giữ nguyên tình trạng mơ màng của nó như là nó đã tiếp thu được từ quá khứ. Chính vì lẽ đó mà người ta cảm thấy vô cùng khó chịu khi đáng lẽ ra phải thành thật và thẳng thắn công nhận giá trị lớn lao của “Appenđixơ” và cả “Tentamen”, đồng thời cần biểu lộ lòng hân hoan và sự suy nghĩ của mình một cách rộng rãi, thì Gauxơ lại cố lảng tránh những vấn đề đó, đồng thời vội vàng bộc lộ những ý nguyện cực đoan và tự trách cứ, vin vào cái lý do là con người còn chưa đủ khả năng nhận thức. Tất nhiên, cuộc đời hoạt động và công lao… của một nhà khoa học đâu phải ở chỗ ấy.”
                                               
                                              ***
(...)



Lịch sử: tiên đè thứ năm và hình học phi Euclide (ơclit)

 
544997_439148652771586_1606948852_n
Đây la một trong những bài toán khó nhất trong lịch sử nhân loại và lời giải của nó thuộc loại bất ngờ nhất. Câu chuyện của nó là cách đây hơn 2000 năm (thế kỉ 3 TCN). Euclide đưa ra bộ sách có tên “Nguyên Lý” trong đó phần hình học có tiên đề: qua một điểm ngoài một đường thẳng có một đường thẳng song song với đường thẳng kia và chỉ một mà thôi. Trong các sách giáo khoa hay gọi cái này là tiên đề euclide. Các nhà toán học cảm thấy rằng tiên đề này có vấn đề nó không rõ ràng cho lắm, nó giống một định lý hơn là một tiên đề và đã là định lý thì cần được chứng minh. Tuy nhiên mọi nỗ lực chứng minh tiên đề này đều thành công cốc cho tới thế kỉ 19 cha con nhà Bolyai, Gauss và Lobachevski nhận ra một điều là tiên đề này không thể chứng minh. Nó là một tiên đề độc lập nhưng có thể thay bằng một tiên đề khác để ta xây dựng được một hệ thống hình học khác (hình học phi Euclide- Lobachevkski). Sau này Riemann đã tổng quát hóa và xây dựng thêm 1 thứ hình học phi Euclide khác nữa (hình học Riemann). Hình học Riemann là cơ sở cho lý thuyết tương đối rộng (GR) của Einstein sau này

Đôi điều về hình học phi Euclide (Ơclit)

anos Bolyai
Truyện kể rằng, vào năm 1823 Farkas Bolyai (1775-1858) đã viết thư cho người con trai là Janos Bolyai (15.12.1802-27.1.1860) người Hungary rằng: "Con đừng đi vào con đường mà bố đã đi, đừng nhảy vào "hang không đáy" đã nuốt hết trí tuệ, tinh lực và tâm huyết của bố".

Định đề 5 của Euclid được phát biểu trong cuốn "Nguyên lý" như sau:
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó
Đây là lời khuyên từ đáy lòng, từ trách nhiệm của người bố đã suốt cả cuộc đời nghiên cứu định đề 5 của Euclid mà không thành công. Khi biết con mình yêu thích nghiên cứu "lý thuyết các đường song song", thì F. Bolyai đã rất sợ hãi và đã viết cho con mình (trong một bức thư khác) như sau: "Con sẽ không thể nào chiến thắng được lý thuyết các đường song song bằng con đường ấy. Bố đã đi đến cuối con đường ấy và đã lạc vào một đêm đen dày đặc, một tia sáng của ngọn nến cũng không có và đã chôn vùi ở đó bao niềm hạnh phúc của đời mình. Khi lao vào các học thuyết cô quạnh về các đường song song, con sẽ chẳng còn gì cả. Con hãy lẩn tránh nó như lẩn tránh những dục vọng thấp hèn, nó sẽ làm hao mòn sức lực của con, cướp đi sự an nhàn, quấy đảo sự yên tĩnh và sẽ giết chết những niềm vui của cuộc sống. Bóng tối mịt mùng sẽ nuốt chửng cả những chòi tháp khổng lồ và sẽ chẳng có lóe sáng trên trái đất tối tăm. Chẳng bao giờ con người có thể đạt tới một sự thực hoàn mĩ ngay chính trong hình học. Chúa trời hãy cứu vớt con khỏi những ham mê con ôm ấp..."

Nhưng F. Bolyai không ngờ rằng câu nói của chính ông trước đây đã làm J. Bolyai bị thu hút vào vấn đề này (câu nói đó có nội dung như sau: " Ai chứng minh được tiên đề vaề các đường thẳng song song, người đó sẽ sáng ngời như một viên kim cương to bằng trái đất"). Và chàng J. Bolyai trẻ tuổi đã đã không vì những lời cảnh báo của bố mình mà lùi bước. Tránh những thất bạo của những người đi trước, J. Bolyai đã đi theo con đường của riêng mình. Ông đã không tìm cách chứng minh định đề 5 của Euclid, mà đã xét nó như một tiên đề độc lập. Và khi phủ định định đề 5 của Euclid, J. Bolyai đã xây dựng được một hệ thống hình học mới (mà về sau còn được gọi là hình học phi Ơclit). Các kết quả về hình học này của ông cũng phong phú và những chứng minh của ông rất hoàn thiện.

J. Bolyai là một nhà toán học thiên tài, nhưng bị đố kị, chê bai và bị cả những điều đơm đặt về ông. Cuộc sống của J. Bolyai luôn bị bọn quý tộc chèn ép, bao vây cả về tinh thần lẫn vật chất. Người bố chính là một nhà toán học đầy tâm huyết và rất thương con, nhưng từ bài học sai lầm rút ra từ chính cuộc đời nghiên cứu toán học của mình, F.Bolyai đã vo tình trở thành vật cản của con trên con đường tìm tòi, sáng tạo.
Năm 1831, J. Bolyai đã công bố công trình của mình dưới dạng phụ lục ở mỗi cuốn sách của bố mình. Phụ lục trình bày "Học thuyết tuyệt đối đúng về không gian". F. Bolyai đã viết thư cho Carl Friedrick Gauss ( 30.4.1777-23.2.1855) đề nghị Gauss cho nhận xét về công trình nghiên cứu của J.Bolyai.

Trong thư trả lời, Gauss đã nói rằng ông không thể ngợi khen công trình đó, vì như thế tức là tự khen mình. Ông nói rằng tư tưởng của J. Bolyai trong phụ lục chính là tư tưởng của ông trong nhiều năm trước đây. Sau đó Gauss đã viết thư cho Goling với ý cho rằng nhà toán học trẻ tuổi J. Bolyai là một thiên tài.

Phải nói rằng lời đánh giá trên đây của nhà toán học lỗi lạc Gauss là hoàn toàn chân thực. Thật vậy, từ năm 1824, trong thư gửi cho người bạn là Tolinos, Gauss đã viết " Tổng ba góc trong một tam giác phẳng phải nhỏ hơn 180°, giả định này sẽ dẫn đến những đặc thù khác hoàn toàn với hình học của chúgn ta. Tôi phát triển nó và thu được những kết quả hoàn toàn khiến ta hài lòng". Và bức thư nổi tiếng mà Gauss đã gửi Frants Adonf Taurinus cũng chứng tỏ rằng, Gauss đã nắm được các ý niệm quan trọng của hình học phi Euclid. Nhưng đó mới chỉ là những đoạn rời rạc, những phát kiến mặc dù đã rất sâu sắc. tuy nhiên lúc bấy giờ Gauss đã không công bố những kết quả nghiên cứu này của mình.

Thư trả lời của Gauss đã làm cho J. Bolyai có những hiểu lầm lớn. J. bolyai nghĩ rằng Gauss đã dùng uy danh của mình để cướp đi quyền phát minh về hệ thống hình học mới của ông. Vì thế J. Bolyai rất đau lòng và đã thề rằng sẽ vứt bỏ mọi nghiên cứu toán học. Tháng 10 - 1848, J. Bolyai đã được bố mình gửi cho luận văn "Nghiên cứu về lý thuyết các đường song song" của N.I. Lobachevskii, xuất bản bằng tiếng Đức năm 1840. J. Bolyai đã ngạc nhiên, vì thấy rằng N.I. Lobachevskii ccũng đã đi đến những kết quả giống như mình, và j. Bolyai cũng rất khâm phục tài năng của N.I. Lobachevskii.
Lobachevski
Cùng thời với J.Bolyai, ở Cadan( Thủ đô của nước cộng hòa tự trị Tacta thuộc Liên Bang Nga ), đã xuất hiện một ngôi sao sáng, đó là nhà toán học thiên tài Nicolai Ivanovich Lobachevskii ( 1.12.1792-24.2.1856) . N.I.Lobachevskii đã từng là giáo sư xuất xắc, hiệu trưởng của trường đại học tổng hợp Cadan. Ông đã tìm cách chứng minh rằng, từ các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển, không thể suy ra định đề 5.

Để chứng minh điều đó, ông đã giữ nguyên các định đề và tiên đề khác của hình học Ơclit cổ điển và thay thế định đề 5 bằng một tiên đề phủ định của tiên đề Ơclit, và do đó cũng là phủ định của định đề 5. Ngày nay, tiên đề này được gọi là tiên đề Lobachevskii. Tiên đề này có nội dung như sau: "Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có ít nhất hai đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho". Rồi từ đó Lobachevski đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có mâu thuẫn. Những kết quả của hình học mới này "trái mắt", trái với trực quan hàng ngày của chúng ta, trái với hình học Ơclit quen thuộc.

Ngày 11-2-1826, Lobachevski đã công bố kết quả của mình về hình học phi Ơclit trên diễn đàn vật lý - ssó học của trường đại học tổng hợp Cadan. Sau đó, công trình nghiên cức về hình học phi Ơclit của Lobachevski với tiêu đề "Về các cơ sở hình học", đã được đăng ở tờ báo "Thông báo Cadan" xuất bản năm 1829. Còn công trình của J.Bolyain về hình học phi Ơclit được công bố vào năm 1831 ( độc lập với Lobachevski ). Ngày nay, chúng ta gọi hình học phi Ơclit (do Lobachevski và J.Bolyai đã độc lập với nhau và đồng thời tìm ra ) là hình học Lobachevski hoặc hình học Lobachevski-Bolyai. Ngày 11.2.1826 được thế giới gọi là ngày ra đời của hình học này.

Trong thời đại của Lobachevski, hầu như không ai hiểu được tư tưởng của ông, nhiều người đã chế nhạo ông. Nhưng Lobachevski đã dũng cảm và tin tưởng phát triển hình học mới của mình. Ông đã kiên trì nghiên cứu và công bố công trình nghiên cứu của mình ngày càng chi tiét hơn, đầy đủ hơn. Một năm trước khi qua đời, Lobachevski đã bị mù. Khi đó ông còn đọc cho học trò của mình chép một công trình sáng tạo mới mang tên "Hình học phẳng", trong đó ông đã chỉ rõ hình học Ơclit chỉ là trường hợp giới hạn của hình học phi Ơclit của ông. Lobachevski đã gửi công trình cuôí cùng này cho trường đại học tổng hợp Cadan - nơi cả cuộc đời sáng tạo của ông đã trôi qua ở đó.

Ngày 24-2-1856. Lobachevski đã qua đời, vài chục năm sau người ta mới công nhận toàn bộ những tư tưởng của ông.

Công trình nghiên cứu của Lobachevski và J.Bolyai về hình học phi Ơlit là một thành tựu vĩ đại của khoa học, đã mở ra một kỷ nghiên mới của toán học, của vật lý và của nhiều ngành khoa học khác có liên quan.
Poincare
Vào năm 1882, nhà toán học H.J.Poincare đã xây dựng được một mô hình (gọi là mô hình Poincare) của hình học Lobachevskii phẳng, khi sử dụng các "vật liệu" lấy từ hình học Ơclit phẳng.

Trong mặt phẳng Ơclit, lấy một đường thẳng x nằm ngang, chia mặt phẳng thành hai miền, mà ta gọi là "nửa trên" và "nửa dưới". Ta có các quy ước sau đây về các khái niệm cơ bản của hình học Lobachevski phẳng: "Điểm" là điểm Ơclit thông thường thuộc "nửa trên" và không thuộc x; "Đường thẳng" là nửa đường tròn thông thường thuộc "nửa trên" và có tâm thuộc x, hoặc tà tia thông thường thuộc nửa trên, có gốc thuộc x và vuông góc với x.
Tiếp tục, trong mô hình này, xác định rõ ý nghĩa của các khái niệm cơ bản khác, mà cụ thể là các tương quan cơ bản sau đây: "thuộc", "ở giữa", "bằng nhau" ( còn gọi là "toàn đẳng") , trong đó "thuộc" và "ở giữa" được hiểu như thông thường.

Người ta đã kiểm nghiệm tất cả các tiên đề của hình học Lobachevskii đối với mô hình nêu trên, và thấy rằng mô hình đã thỏa mãn tất cả các tiên đề đó.

Thêm vào những điều ở trên, ta có định lý sau đây của hình học Lobachevskii: "Tổng ba góc trong của một tam giác nhỏ hơn hai góc vuông".
Việc xây dựng thành công mô hình của hình học Lobachevskii đã chứng minh:
a) Hình học Lobachevskii là phi mâu thuẫn.
b. Từ các tiên đề khác của hình học Ơclit không thể suy ra được tiên đề Ơclit.

Hình học Lobachevskii không phải là hình học phi Ơclit duy nhất. Hình học Riemann theo nghĩa hẹp của Georg Friedrich Bernhard Rienmann (1826-1866) người Đức cũng là hình học phi Ơclit. Để có được hệ tiên đề của hình học Riemann nghĩa hẹp, phải thay đổi hệ tiên đề của hình học Ơclit nhiều hơn là những thay đổi mà Lobachevskii đã thực hiện.
Ngoài các hình học vừa nêu, còn nhiều hình học khác, trong đó có hình học fractal. Thuật ngữ fractal do nhà toán học Benoit Mandtelbrot người Pháp, gốc Balan, đề nghị từ những năm 1970. Tuy mới ra đời nhưng hình học này đã phát triển nhanh chóng, gắn kiền với đồ họa vi tính, có nhiều ứng dụng trong phân tích và tổng hợp hình, trong việc xây dựng mô hình của các quá trình địa lý, quá trình sinh học (hoạt động của tim người, phát triển của cây trồng)...
vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)