TT&HĐ V - 42/a

   

Giới Hạn và Đạo hàm

Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

 

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

"Quá trình đi đến thực tại Vũ Trụ hiện nay là duy nhất. Nhưng vì Vũ Trụ mang tính đầy đủ nên có nhiều cách, từ đơn giản đến phức tạp, từ thô sơ đến trừu tượng, để giải thích sự tồi tại Vũ Trụ. Chính vì vậy mà vật lý học được hình thành và các lý thuyết toán học mới có khả năng triển khai"

NTT

    

 

Khó mà hình dung nổi trong Vật lý học ngày nay lại vắng mặt phép tính vi – tích phân.

Có thể nghĩ rằng giả sử như không có vật lý học thì trước sau gì phép tính vi – tích phân cũng được toán học sáng tạo ra do đòi hỏi về nhận thức của bản thân nó. Tuy nhiên trong thực tế lịch sử thì chính nhờ có sự đòi hỏi bức thiết của vật lý học mà phép tính vi – tích phân ra đời. Đây cũng chính là sự biểu hiện quá trình tác động ngược trở lại của vật lý học phải mượn những kiến thức “có sẵn” của toán học để biểu diễn định lượng những định luật, quy luật tự nhiên mà nó khám phá được. Dần dần, quá trình đi “khai hóa” tự nhiên của vật lý học gặp phải những hiện tượng có thể lý giải định tính một cách “mông lung” được nhưng không thể đúc kết một cách tổng quát và định lượng được bằng những kiến thức toán học đang có. Điều đó buộc toán học phải đi tìm giải pháp mới, lý thuyết mới nhằm đáp ứng đòi hỏi của vật lý học, giúp cho vật lý học tiếp tục tiến lên, đồng thời toán học cũng nhờ thế mà tự bổ sung, hoàn thiện mình. Toán học không thể không hành động như thế, bởi vì mục đích tối hậu của toán học và vật lý học là cùng nhau phục vụ vô điều kiện cho nhận thức thế giới khách quan của con người. Nhưng trước một nhiệm vụ nào đó đại loại như thế, toán học có bao giờ chịu thất bại không? Không! Không bao giờ, vì một khi vật lý học phát hiện ra một hiện tượng dù lạ lùng đến mấy thì lời giải toán học đã tiềm ẩn trong bản chất của hiện tượng đó rồi và chỉ còn chờ đợi toán học “tóm cổ lôi ra” mà thôi.

Vì tầm quan trọng đặc biệt của phép tính vi – tích phân đối với vật lý học mà chúng ta lại đang kể câu chuyện về vật lý học, cho nên chúng ta đành phải cố gắng kể về phép tính ấy, dù chỉ là qua loa.

Thật lòng, trên bước đường đi tìm “cái gì đó”, chúng ta không bao giờ muốn “dính líu” đến những thứ quá phức tạp, quá cao siêu của toán học và vật lý học. Một phần là do chúng ta tin tưởng rằng nhờ có nguyên lý tương tự mà có thể “mổ xẻ” để tìm hiểu Tự nhiên Tồn tại bằng những công cụ toán – lý đơn giản, thô sơ mang tính Đại Chúng. Phần nữa là do chúng ta dốt quá, không đủ trình độ tiếp thu nổi những kiến thức quá đỗi siêu đẳng  hình thành nhờ vô vàn những bộ não cực kỳ phi thường. Nếu ai đó nói rằng muốn chiêm ngưỡng được dung nhan của Tự nhiên Tồn tại, hoặc muốn diện kiến được Đấng tạo Hóa thiêng liêng, trước tiên, phải “nuốt” cho hết những kiến thức ấy đã, thì đối với chúng ta… thà chết còn sướng hơn!

Cũng vì sự “khó quá” như thế cho nên chúng ta chỉ dám nói qua loa về phép tính vi – tích phân được thôi và phải dựa vào sự trợ giúp đắc lực của cuốn “Toán học là gì?” mà tác giả của nó là R. Courant và H. Robbins (“Toán học là gì?” là một tác phẩm rất lý thú, giúp người đọc hiểu sâu một cách giản dị những vấn đề khá trừu tượng của toán. Cách viết cố gắng đạt đến độ trực giác có thể nhẹ nhàng mà lưu loát rất phù hợp với những người bình thường… Vì vậy, nhiều khi chúng ta “mượn” nguyên văn không có một “báo hiệu” nào, như vẫn thường làm từ trước đến nay đối với nhiều tác phẩm khác mà chúng ta dùng làm tham khảo. Không biết hành động như vậy có xấu xa gì không nhỉ?)

Trước hết, chúng ta nói về… cái Duy Tồn đầy biến ảo, bất ổn và mông lung.

Không Gian Vũ Trụ là một khối vừa thống nhất và vừa không thống nhất. Tính không thống nhất của Nó thể hiện ở chỗ: tương phản, rời rạc. độc lập… tương đối của vạn vật - hiện tượng. Tính thống nhất của Nó thể hiện ở chỗ: đồng nhất, liên tục, không thể phân định… tuyệt đối được. Có như thế vì Tự nhiên Tồn tại là vốn dĩ thế chứ không thể khác, là cái gì đó bất di bất dịch, duy nhất, vô thủy vô chung, mà trước quan sát thì thể hiện ra như một sự thực tuyệt đối, vô cùng sinh động và biến ảo đến tuyệt cùng. Một Duy Nhất bất di bất dịch, biến ảo đến tuyệt cùng nhưng vẫn luôn là chính nó (nghĩa là vừa là nó lại vừa không phải nó!) một cách vốn dĩ như thế, được (hay bắt buộc?) quan sát và tư duy đặt cho một cái tên, tạm gọi là Tự nhiên Tồn tại với hàm ý rằng Tự nhiên là “vốn dĩ”, Tồn Tại là “như thế”, và hiểu rằng Tự nhiên Tồn tại vừa có nghĩa như một nguyên lý tiền đề duy nhất, vừa có nghĩa như một thực trạng tối hậu. Hay cũng có thể nói, để thể hiện tính vốn dĩ trước quan sát thì Tồn Tại phải sinh động, muốn sinh động thì phải tự thân biến hóa, nhưng dù biến hóa cỡ nào đi chăng nữa thì Tồn Tại vẫn cứ là Tồn Tại, nghĩa là sự biến hóa của Tồn Tại dù tự thân thì cũng buộc phải thỏa mãn, phải tuân thủ tuyệt đối cái yêu cầu của chính Tồn Tại là bảo đảm Tồn Tại, duy trì Tồn Tại. Cái yêu cầu đó được quan sát thấy như là một nguyên lý có tính tiên đề, là nguyên lý cội nguồn của mọi nguyên lý, gọi là nguyên lý Tự Nhiên. Có thể phát biểu (thử lần thứ mấy rồi?): Tồn Tại phải biến hóa để thể hiện sự vốn dĩ của nó, nhưng sự biến hóa đó không thể tùy tiện mà phải theo cách sao cho Tồn Tại là bất diệt!

Thể chất của Tự nhiên Tồn tại là Không Gian, hiện thực của Tự nhiên Tồn tại là Vũ Trụ vận động. Vũ Trụ vận động, do bản chất tự thân của nó, do phải phục tùng để nguyên lý tự Nhiên được...tự nhiên, nên có tính không ngừng nghỉ, muôn màu muôn vẻ và đầy đủ mà xét về mặt toàn thể thì: cân bằng tuyệt đối, bảo toàn tuyệt đối, bất di bất dịch, xét về mặt bộ phận thì bị mất cân bằng tương đối, bất bảo toàn tương đối và chuyển dời tương đối. Chính vì vậy mà toàn bộ vạn vật - hiện tượng thấy được và không thấy được đều trực tiếp hay gián tiếp có liên quan đến nhau, trực tiếp hay gián tiếp tác động nhau, tồn tại phụ thuộc lẫn nhau.

Vũ Trụ vận động có thể có vô vàn trạng thái, song vẫn là Tồn Tại vốn dĩ như “thuở nào”, cho nên thể chất của nó - lực lượng Không Gian là không thể thêm hay bớt mà luôn được bảo toàn. Dù là bảo toàn nhưng tuân theo nguyên lý Tự Nhiên, Không Gian phải tự chuyển hóa, và muốn thế, nó phải phân lập thành những lực lượng Không Gian có tính đặc thù tương đối khác nhau, tương tác nhau, chuyển hóa lẫn nhau. Tình hình đó dẫn đến toàn thể lực lượng Không Gian là bảo toàn nhưng những bộ phận Không Gian đặc thù lại không được bảo toàn, có thêm có bớt, có sinh có diệt.

Vũ Trụ vận động đại loại là như thế cho nên cũng xuất hiện vô vàn các quá trình tồn tại, hiện hữu, chuyển hóa, vận động, hủy diệt, tạo dựng và những quá trình ấy rõ ràng là dù gián tiếp hay trực tiếp đều có quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, là nguyên nhân và kết quả của nhau, “bù trừ” nhau, theo cách sao cho nếu trong cùng một thời điểm mà “tổng hợp” chúng lại thì về mặt thể chất sẽ có kết quả là bằng tổng lượng Không Gian bất biến và về mặt vận động thì sẽ có kết quả bằng 0. Chúng ta nói Vũ Trụ luôn cân bằng trong vận động hay Vũ Trụ là một hệ thống cân bằng động vĩ đại là vì thế.

Cần phải thấy rằng cân bằng và duy trì cân bằng là một trong những nguyên lý cơ bản và phổ quát của Vũ Trụ. Xét trên góc độ này thì mọi thực thể tồn tại trong Vũ Trụ luôn ở trạng thái cân bằng nhưng luôn bị đe dọa làm mất cân bằng nên luôn phải vận động để duy trì cân bằng vốn có của nó. Khi một vật thể phải luôn vận động để duy trì cân bằng cho nó thì đồng thời nó cũng đe dọa làm cho (những) vật thể liên quan trực tiếp tới nó bị mất cân bằng. Tình hình đó làm cho toàn thể vật chất trong Vũ Trụ đều vận động và vận động không ngừng, tuân theo nguyên lý nhân - quả. Khi một vật thể ngừng vận động thì nó cũng chất dứt tồn tại nghĩa là nó không còn là nó nữa, và vì Không Gian là bảo toàn nên thay vào đó là sự tồn tại của một hay nhiều thực thể mới, có tổng lượng thể chất Không Gian và vận động sao cho không xâm phạm đến sự bảo toàn Không Gian và vận động của Vũ Trụ.

Ngoài nguyên lý cân bằng Vũ Trụ vận động còn bộc lộ ra một nguyên lý cơ bản và có tính phổ quát nữa là nguyên lý nhân - quả. Xét về mặt toàn thể thì Vũ Trụ vận động là tự thân (tự nhiên như thế, vốn dĩ như thế), không có nguyên nhân nên cũng không có kết quả, hoặc có thể nói Vũ Trụ vận động là nguyên nhân và kết quả của chính Nó. Xét về mặt bộ phận thì trong Vũ Trụ, mọi thực thể vận động, mọi quá trình chuyển hóa đều có thể được sinh ra, tồn tại và mất đi một cách tự nhiên, nhưng “tự nhiên” ở đây phải được hiểu theo nghĩa là “có nguyên nhân”. Bất cứ một tồn tại nào hay không tồn tại nào (không phải không Tồn Tại!) đều là sự “hun đúc” nên của một hay nhiều tồn tại và không tồn tại khác, là kết quả của một hay nhiều nguyên nhân mà đầu tiên là có tính khách quan và sau đó có thêm tính chủ quan. Hơn nữa, cách thức tồn tại của kết quả như thế nào, biểu hiện ra sao là do (những) nguyên nhân sinh ra kết quả ấy quyết định.

Khi chúng ta nói vạn vật - hiện tượng trong Vũ Trụ đều có mối quan hệ ràng buộc, phụ thuộc lẫn nhau, đều là nguyên nhân và kết quả của nhau, thì đó chỉ là cách nói khái lược, tương đối, không nên hiểu một cách máy móc cực đoan. Chẳng hạn, không nên hiểu một thực thể tồn tại và vận động đang trong vai trò là nguyên nhân thì đồng thời cũng đóng vai trò là kết quả của một thực thể tồn tại và vận động khác, theo kiểu: “Mẹ tôi sinh ra tôi thì đồng thời mẹ tôi cũng được tôi sinh ra”! Không có nguyên nhân thì không có kết quả, do đó, nguyên nhân bao giờ cũng là cái có trước để tạo ra kết quả chứ không thể ngược lại, và trình tự đó là luật bất biến (cũng chính là nguyên nhân sinh ra khái niệm thời gian). Chỉ có thể nói, một sự vật là kết quả của sự vật này và đồng thời là nguyên nhân của sự vật khác. Có một hiện tượng đơn giản, thường thấy trong thực tế, nhưng nếu suy nghĩ không kỹ dễ dẫn chúng ta đến quan niệm sai lầm về mối quan hệ nhân - quả. Giả dụ rằng có quả cầu chuyển động đến tác động vào quả cầu đang đứng yên làm cho quả cầu này chuyển sang trạng thái chuyển động. Vậy nguyên nhân làm cho quả cầu chuyển từ đứng yên sang chuyển động là do quả cầu tác động. Tuy nhiên khi bị tác động, quả cầu phản ứng trở lại, làm cho quả cầu cũng bị biến đổi trạng thái chuyển động, thậm chí là từ chuyển động chuyển sang trạng thái đứng yên. Rõ ràng sự tác động trở lại của quả cầu đã là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động của quả cầu . Hay có thể cho rằng sự tác động của quả cầu vào quả cầu là nguyên nhân làm quả cầu biến đổi từ đứng yên sang chuyển động và đồng thời cũng là nguyên nhân (sâu xa) làm cho chính quả cần biến đổi trạng thái chuyển động. Phải chăng như thế là quả cầu tự tạo ra nguyên nhân làm biến đổi chuyển động của bản thân nó, và phải chăng sự chuyển động của quả cầu vừa là kết quả, vừa là nguyên nhân của sự biến đổi chuyển động của quả cầu ? Trong một chừng mực nào đó thì câu trả lời là khẳng định. Nhưng muốn khẳng định được thì phải có qui ước. Giả dụ, chúng ta phải qui ước rằng, một vật luôn vẫn là nó cho dù có bị biến dạng, biến màu, thay đổi trạng thái chuyển động… Với qui ước như vậy thì quả cầu và quả cầu trong suốt quá trình trước va chạm, va chạm và sau va chạm, vẫn luôn là chúng chứ không bị biến đổi thành những cái khác cho dù trạng thái chuyển động của chúng đã biến đổi. Cần thấy rằng qui ước đó không phải được đặt ra một cách tùy tiện, mà có nguồn gốc từ trực giác và được trực giác xác nhận như một sự thật hiển nhiên. Có thể gọi những qui ước kiểu như thế là loại qui ước tự phát, “có sẵn”, “ngấm ngầm” được mặc định. Một con gà dù đứng hay đang bươi đất thì lúc nào cũng là chính nó chứ không thể là con gà khác được, và đó là một hiển nhiên.

Tuy nhiên còn có một hiển nhiên khác nữa là một khi còn phân biệt được con gà đó lúc nó đứng yên và lúc nó bươi đất, thì một cách tuyệt đối, không thể nói con gà bươi đất cũng chính là con gà đứng yên được. Thậm chí con gà đứng yên ở thời điểm này không thể là chính nó ở thời điểm “vừa qua” được nếu xét trên bình diện tuyệt đối.

Quay lại trường hợp hai quả cầu va chạm. Chúng ta qui ước rằng một quả cầu luôn là chính nó khi trạng thái chuyển động của nó không đổi. Khi quả cầu đến va chạm với quả cầu thì quả cầu biến đổi từ trạng thái đứng yên (gọi là trạng thái chuyển động đặc biệt, có vận tốc bằng 0)sang trạng thái chuyển động (có vận tốc khác 0). Lúc này, theo qui ước, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu khác giống nó và tạm gọi là ’. Sự va chạm cũng làm cho quả cầu biến đổi trạng thái chuyển động và do đó sau va chạm, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu mới giống nó (nhưng khác trạng thái chuyển động) gọi là ’. Có thể nói quá trình biến đổi từ sang ’ là kết quả và đồng thời cũng là nguyên nhân của quá trình biến đổi từ sang ’ được không? Có thể lắm chứ! Và đó cũng là sự biểu hiện đặc tính tương đối của chuyển động trước một hệ quan sát: Cùng một chuyển động, trước những hệ quan sát khác nhau, có thể được thấy khác nhau. Vì thế, nếu nói quả cầu va chạm vào quả cầu thì cũng có thể nói quả cầu va chạm vào quả cầu , tùy theo nhận định chủ quan của hệ quan sát. Mà sự lũng đoạn của chủ quan đến nhận định của hệ quan sát là có tính bản chất, không thể khắc phục tuyệt đối được.

Một trong những nguyên lý cơ bản của tự nhiên là nguyên lý tác động - phản ứng: có tác động thì phải có phản ứng, không có tác động thì không có phản ứng, trong đó, tác động là cái chủ động, cái có trước, cái nguyên nhân gây ra phản ứng. Không có ánh sáng chiếu vào (chủ động, nguyên nhân) tấm gương thì tấm gương không phát sáng (thụ động, kết quả) được. Dù ở bất cứ hệ quan sát nào thì con người chúng ta cũng khó lòng nói được tấm gương chủ động chuyển động với vận tốc c đến đập vào luồng ánh sáng để gây ra hiện tượng phản xạ của luồng ánh sáng, nghĩa là sự lũng đoạn của tính chủ quan trong nhận định của hệ quan sát cũng có mức độ giới hạn, và đó cũng chính là sự “may mắn” đối với nhận thức. Đối với thí nghiệm “vừa xảy ra”, chúng ta, những người cùng trong một hệ quan sát, thì phải nhất trí rằng chính quả cầu đã chủ động đến va chạm vào quả cầu , làm cho quả cầu phản ứng trở lại, dẫn đến kết quả cả và đều chấm dứt tồn tại, đồng thời xuất hiện hai quả cầu mới là ’ và ’. Quá trình đó khiến chúng ta nhận định” quả cầu chuyển động đến va chạm vào quả cầu là nguyên nhân của mọi nguyên nhân, là nguyên nhân đầu tiên, chủ động làm nên quá trình biến đổi. Có thể lý giải: gây ra va chạm dẫn đến kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình ’; quá trình ’ (chứ không phải ) lại đóng vai trò là nguyên nhân gây ra kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình ’, và hậu quả là thay cho có ’, thay cho có ’.

Trong thực tế, hai quá trình ’ và ’ được thấy là xảy ra đồng thời nên lý giải như trên có phần không thỏa đáng. Hơn nữa, cùng quan sát thí nghiệm đó, có thể có hệ quan sát lại thấy rằng không phải quả cầu chuyển động mà nó đang đứng yên, và chính quả cầu mới chuyển động gây ra va chạm (hoặc cũng có thể cả hai quả cầu cùng chuyển động “đâm sầm” vào nhau). Nghĩa là đối với quan sát của hệ quan sát đó, phải khẳng định rằng chính chuyển động của quả cầu mới là nguyên nhân đầu tiên của hiện tượng biến đổi cơ học, và quá trình ’ cũng như ’ là hai quá trình xảy ra đồng thời. Vậy hợp lý hơn cả thì phải phát biểu rằng hai quá trình đó vừa là nguyên nhân, vừa là kết quả của nhau. Và phát biểu như vậy thì cũng phải thừa nhận nghịch lý “Mẹ tôi sinh ra tôi thì đồng thời mẹ tôi cũng được tôi sinh ra” là… có lý. Có thể phát biểu nghịch lý ấy một cách bạo lực hơn: “Mày đấm tao thì cũng coi như đấm mày!”.

Dù rằng có lý thì nghịch lý vẫn cứ… phi lý! Đối với trường hợp va chạm thí có thể rất khó thấy sự phi lý của nghịch lý nói trên, nhưng đối với trường hợp “ Mẹ tôi sinh ra tôi…” thì bất cứ hệ quan sát nào cũng phải thấy đúng một quá trình duy nhất: “Tôi từ lòng mẹ mà ra đời”, và đối với trường hợp “Mày đấm tao…” thì cũng chỉ thấy một quá trình duy nhất: “Thằng này vung tay ra đấm thằng kia” (và nếu “thằng kia” bị “nốc ao” (knock out) thì cũng chẳng có gì đáng ngạc nhiên cả!).

Đến đây thì sự bất ổn của quan sát dẫn đến sự bất định trong nhận thức đã làm cho chúng ta hoang mang tột độ. Khi mà sự hoang mang đã đạt đến tột độ rồi thì nó phải… bùng nổ để mở đột phá khẩu cho nhận thức tiếp tục tiến lên.

(Còn tiếp)

--------------------------------------------------------------------------