TT&HĐ IV - 39/e

 

[Hình học 12] C3 - Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG VII (XXXIX): TOÀN BÍCH

“Khi công việc là thú vui thì cuộc sống là sự hưởng thụ bất tận. Còn nếu công việc là nghĩa vụ thì lúc đó cuộc sống sẽ là nô dịch khổ sai”.

M. Gorki.

“Cuộc sống bắt chước Nghệ thuật nhiều hơn là Nghệ thuật bắt chước Cuộc sống. Có như thế không phải chỉ vì bản năng mô phỏng của Cuộc sống mà còn vì thực tế rằng, mục đích tự giác của Cuộc sống chính là tìm cách để thể hiện, và rằng Nghệ thuật cung cấp cho Cuộc sống vài hình thức đẹp đẽ để Cuộc sống có thể biến năng lực ấy thành hiện thực…”.

Oscar Wilde.

"Chỉ cần là khoa học thì sẽ không có sự lừa dối người khác, người bị lừa dối là người không biết khoa học."

Cervantes (Tây Ban Nha)

 

"Tất cả các môn khoa học trừu tượng đều không là gì khác ngoài việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các biểu tượng."  

Denis Diderot

 

"Khoa học cho chúng ta tri thức, nhưng chỉ triết học mới có thể cho chúng ta sự thông thái".  

Will Durant 

 

"Công lý, sức mạnh. – Rất đúng rằng điều gì công bằng cần phải được tuân theo; rất cần thiết rằng điều gì mạnh nhất cần phải được phục tùng. Công lý không có sức mạnh là bất lực; sức mạnh không có công lý là bạo ngược. Công lý không có sức mạnh bị chống đối, bởi luôn luôn có kẻ vi phạm; sức mạnh không có công lý bị lên án. Vì vậy chúng ta cần kết hợp công lý và sức mạnh, và để đạt được điều này, hãy khiến điều công bằng trở nên mạnh mẽ, và điều mạnh cần đảm bảo công bằng".

Blaise Pascal

 

 

  (Tiếp theo)

Hãy cứ hy vọng rằng, dù là điên rồ thì chúng ta cũng đã tư duy đúng hướng: Dù sự mô tả của chúng ta về điểm KG và lực lượng nội tại của nó chưa chuẩn xác, thậm chí là còn lầm lạc mặt này mặt kia, nhưng nói chung là hợp lý. Chúng ta tin rằng trong Không Gian Vũ Trụ, thực sự tồn tại ba loại điểm KG cơ bản, đó là điểm KG thông thường và hai điểm KG có trạng thái bị kích thích tột độ trái chiều nhau mà hạt KG thông thường đóng vai trò “cột mốc” của sự tương phản ấy. 
Do đặc tính cân bằng của không gian mà số lượng của mỗi loại điểm KG kích thích là bằng nhau tuyệt đối và nhằm đảm bảo nguyên lý bảo toàn không gian mà tổng tuyệt đối gồm hai số lượng ấy là bất biến, nghĩa là tỷ lệ giữa tổng lực lượng các điểm KG kích thích và tổng các điểm KG thông thường là một hằng số. Trong môi trường truyền dẫn của “đại dương” điểm KG thông thường, do hai điểm KG kích thích trái chiều nhau thể hiện ra như là sự “thừa của điểm này là thiếu của điểm kia” nên chúng có xu hướng tìm đến nhau để cùng nhau giải quyết “nỗi bức xúc” nội tại của mình. 
Khi hai điểm KG kích thích tiến về phía nhau (thực ra là lan truyền trạng thái kích thích), nếu quãng đường giữa chúng là tập hợp số lẻ điểm KG thông thường, thì do chúng không tiếp xúc được (do còn “vướng” một điểm KG thông thường) nên chúng quay quanh nhau một cách mãnh liệt, lập thành một hệ thống hay là một thực thể trung tính. Có thể cho rằng, đó là thực thể đầu tiên, là đơn vị tuyệt đối của vật chất Vũ Trụ. Trong trường hợp quãng đường giữa chúng là tập hợp số chẵn điểm KG thông thường, thì chúng sẽ tiếp xúc được với nhau, chuyển hóa nhau (trao đổi cho nhau) làm triệt tiêu kích thích nội tại để trở về thành hai điểm KG thông thường. Chúng ta gọi quá trình này là “sự hủy cặp” của hai điểm KG kích thích trái chiều. Khi bắt đầu xuất hiện một sự hủy cặp nào đó thì tức thời cũng xuất hiện ở đâu đó trong không gian hai quá trình tương đối độc lập và cách xa nhau, làm nảy sinh ra hai điểm KG kích thích trái chiều khác để đảm bảo tổng số lượng các điểm KG kích thích là không đổi.

Có thể nói nhờ điểm KG có nội tại và vận động nội tại dẫn đến sự tồn tại của ba loại điểm KG, rồi nhờ có phương thức lan truyền trạng thái kích thích dẫn đến hiện tượng kết hợp thành hệ thống điểm KG vận động, dẫn đến hiện tượng hủy cặp đồng thời với nảy sinh làm tiền đề mà chúng ta mới có thể cảm nhận được sự tồn tại của Không Gian Vũ Trụ ở tầng sâu thẳm vi mô và vạn vật - hiện tượng mới hiện hữu được một cách đa dạng, phong phú và sinh động tột bậc mà chúng ta đã quan sát thấy trong không gian vĩ mô nói riêng và Không Gian Vũ Trụ nói chung.

Trong không gian vi mô, do không tồn tại đường thẳng nên sự lan truyền tìm đến nhau của hai điểm KG kích thích trái chiều, có thể được thực hiện theo hai hay nói chung là nhiều tuyến đường mà về mặt nào đó được cho là tương đương nhau. Có thể nói hiện tượng này là biểu hiện đặc tính bất định phương chiều của sự lan truyền kích thích trong không gian vi mô.

Hệ thống bốn phương chiều của điểm KG có tính cục bộ, không thể dùng nó để xác định vị trí của bất cứ điểm KG nào. Tuy nhiên nếu loại bỏ qui ước đường thẳng là tập hợp nối tiếp của điểm và giữ lại qui ước đường thẳng là đường không thay đổi phương trên suốt chiều dài của nó thì trong không gian vi mô cũng được coi là tồn tại đường thẳng ảo (mà khoảng cách giữa 2 điểm KG là độ dài đoạn thẳng ảo nối hai điểm đó) và như vậy, ở mức độ ứng dụng nhất định, có thể áp dụng hình học Ơclít trong nghiên cứu và khảo sát không gian vi mô, nhờ vào nguyên lý “tương tự”. Nói cách khác, tính thẳng, phẳng Ơclít là một tồn tại ảo trong không gian vi mô và nếu bỏ qua hình dạng sóng của đường, nghĩa là coi đường trơn tru (có tiết diện đều suốt chiều dài của nó…) đồng thời cũng không xét đến tiết diện ấy (bỏ qua nội tại điểm), thì một cách hình thức, chúng ta vẫn có thể nhận thức được phần nào những qui luật vận động của không gian ấy và cũng thu được những tính toán gần đúng. Hơn nữa, chúng ta cũng có thể sử dụng hệ tọa độ vuông góc ba chiều truyền thống và thông dụng (do Đềcác khởi xướng nên còn gọi là tọa độ Đềcác) để xác định vị trí của các điểm KG cũng như kết hợp với lý thuyết không gian véctơ để tìm hiểu sự lan truyền của một hay nhiều điểm KG nào đó.

Chúng ta cho rằng nhờ có toán học mà những nghiên cứu vật lý về một không gian thực tại sinh động mới trở nên sán lạn và ngược lại, chính vật lý học đứng trước yêu cầu phải gặt hái cho được những thành tựu mới đã thôi thúc toán học phải sáng tạo ra những “công cụ” lý thuyết mới để đáp ứng yêu cầu đó. Vì vậy mà sự xuất hiện lý thuyết về một không gian véc tơ trong hình học là bước đi tất yếu. Nhưng nên nhớ, không gian véc tơ chỉ là ảo, không thực.

Đưa ra khái niệm véc tơ và làm xuất hiện một không gian véc tơ, dù rằng nặng tính siêu hình, thì hình học cũng đã trở nên huyền hoặc, sống động hơn rất nhiều và không gian hình học đã có một bước tiến rất dài, đến gần hơn với không gian vật lý (cũng ảo tưởng nốt!). Tuy nhiên, có thể thấy mục tiêu của hình học chủ yếu là nghiên cứu để tìm hiểu những biểu hiện của một không gian tĩnh tại với đối tượng của nó chính là không gian “đơn thuần” (hay “thuần túy”) thôi cho nên trước sau gì nó cũng bị bế tắc hoàn toàn trong việc nhận thức toàn diện Không Gian Vũ Trụ (cũng có thể nói sẽ đến thời điểm hình học hoàn thành sứ mạng lịch sử thiêng liêng của mình!). Chúng ta đoán rằng cái chướng ngại làm cho nghiên cứu hình học không vượt qua nổi và phải chịu dừng lại, không xuất hiện ở đâu khác mà ngay trong lòng của hình học vi mô. Quá trình nghiên cứu hình học đối với không gian vi mô sẽ đến cái quyết định lựa chọn cuối cùng: hoặc là phải dừng lại và coi như đã hoàn thành sứ mạng, hoặc là muốn tiếp tục tiến lên thì phải chấp nhận sự tồn tại thực sự của thời gian trong không gian, nghĩa là phải mở rộng nghiên cứu đến cả những vấn đề như năng lượng, vận tốc, truyền tương tác… Nhưng khi phải chấp nhận như thế để tiếp tục tiến lên thì hình học đã không còn là hình học của toán học nữa rồi mà biến tướng thành hình học của… vật lý học.

Chúng ta quay lại tiếp tục nói thêm về hệ tọa độ Đềcác. Có thể thấy rằng trong không gian Ơclít, với 3 phương chiều (còn gọi là 3 trục tọa độ với ký hiệu x, y, z) của một hệ tọa độ Đềcác nào đó là hoàn toàn đầy đủ để xác định vị trí của bất cứ điểm nào trong không gian ấy. Hệ tọa độ Đềcác 3 chiều và 2 chiều (áp dụng cho mặt phẳng) được trình bày ở hình 7/a và 7/b.

Hình 7: Tọa độ Đề các ba chiều và hai chiều

Các trục của một hệ tọa độ Đề các được qui ước là vuông góc với nhau, nhận O là điểm chung và gọi là gốc của hệ tọa độ. Giả sử có một điểm A trong không gian, để xác định “chắc chắn” vị trí của nó, người ta dùng hệ tọa độ Đềcác 3 chiều (số lượng 3 chiều là cần và đủ). Việc chọn gốc tọa độ và phương chiều của 3 trục hoàn toàn là do qui ước. Trên hình 7/a, từ điểm A, chiếu vuông góc “xuống” 3 trục x, y, z để được các giá trị X, Y, Z. Chúng ta gọi (X, Y, Z) là tọa độ của điểm A đối với hệ tọa độ đó và viết A (X; Y; Z). Như vậy vị trí của A đã hoàn toàn được xác định trong không gian đối với hệ tọa độ Đềcác đã cho. Hơn nữa có thể tính được khoảng cách từ gốc tọa độ (điểm O) đến A là:

Tương tự, có một điểm B trên mặt phẳng nào đó, chúng ta cũng hoàn toàn có thể chọn được bất kỳ một hệ tọa độ Đềcác 2 chiều nào đó (vì chỉ cần 2 chiều là đủ đối với việc xác định vị trí trên mặt phẳng) để các định vị trí của điểm đó. Trên hình 7/b, có thể thấy tọa độ của điểm B là (X, Y) và khoảng cách của nó tới gốc tọa độ O là:

Khi tọa độ được sáng tạo ra thì cũng là lúc mối tình thủy chung giữa hình học và số học được tác thành một khối duyên nợ hòa quyện và bền chặt không thể làm ly tán được nữa, và cùng với sự “chào đời” của Không gian véctơ, chúng đã trở thành “thế lực” mạnh mẽ trong khảo cứu toán học có tên gọi là “Hình học giải tích”. Hình học giải tích là một trong những công cụ toán học phục vụ đắc lực nhất của vật lý học. Tuy nhiên, ngoài thành quả vượt bậc đó, việc sáng tạo ra tọa độ để ứng dụng nó trong Toán - Lý còn có một ý nghĩa cực kỳ lớn lao, đó là, lần đầu tiên trong nghiên cứu khoa học, con người đã diễn tả, mô phỏng, định hình, định lượng được một cách tường minh về những biểu hiện sinh động, hiển nhiên mà cũng trừu tượng của Tự Nhiên Tồn Tại, chẳng hạn như: sự phân định và mối quan hệ có thực giữa chủ thể quan sát (hệ tọa độ) và đối tượng (khảo cứu) của nó là khách thể được quan sát, hoặc như việc xác minh được một cách rành mạch giữa những biểu hiện có tính khả biến và những biểu hiện có tính bất biến (gọi là qui luật khách quan) của khách thể được quan sát trước các chủ thể quan sát (có cùng năng lực) ở những vị trí khác nhau và cách qui ước tương đối khác nhau (“trước” những tọa độ được lựa chọn tùy ý vị trí đặt điểm gốc cũng như phương chiều của chúng).

Dù sau này, trong quá trình phát triển của toán lý, do nhu cầu khảo cứu đòi hỏi mà còn xuất hiện những kiểu tọa độ khác nữa, thì tọa độ Đềcác vẫn luôn giữ vai trò tiên phong, cơ bản và là cái gốc sinh thành cũng như qui chiếu về của mọi loại tọa độ khác.

Ngày nay hệ tọa độ Đềcác, nhất là tọa độ 2 chiều, vẫn còn rất thông dụng và trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khoa học, công dụng của nó khó lòng mà thay thế được, nhất là khi dùng nó để biểu diễn dưới dạng hình học, sự biến thiên của một đại lượng phụ thuộc vào sự biến đổi của đại lượng khác trong mối quan hệ nhân quả của chúng. Thế nhưng, theo ý kiến của chúng ta thì trên vai trò như là một hệ được chủ thể quan sát qui ước chọn làm cơ sở để xác định một các định tính cũng như định lượng mối tương quan giữa các vị trí, giữa những đường, mặt, khối, cũng như sự biến đổi của chúng trong không gian, hệ tọa độ Đềcác đã bộc lộ ra vài nhược điểm mà trong đó có ít ra là một khiếm khuyết không thể khắc phục được.

Giả sử có điểm C trên tọa độ hình 7/b. Độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn trên trục x và y chính là tọa độ của điểm C, và chúng ta viết C (X’, Y’). Nếu không chú ý tới chiều của hai trục tọa độ thì chúng ta sẽ lầm lẫn, không phân biệt được vị trí của điểm C với vị trí của điểm C’ trong trường hợp tọa độ của chúng là những trị số cụ thể và không trực tiếp thấy chúng. Chẳng hạn cho X’ = 2 và Y’ = 4 thì vì X’’ cũng bằng 2 nên:

Để cho C và C’ phân biệt được thì buộc phải chú ý tới chiều của 2 trục tọa độ (phải chăng gợi ý làm xuất hiện khái niệm véctơ bắt đầu từ đây?). Khi đoạn thẳng theo chiều từ O đến X" được cho là có độ dài dương thì đoạn thẳng theo chiều từ O đến X', vì có chiều trái ngược với nên đương nhiên phải mang giá trị âm. Đến đây thì vị trí điểm C và vị trí điểm C’ là chắc chắn phân biệt được cho dù không trực tiếp nhìn thấy chúng, vì tọa độ của chúng là khác nhau:

Tuy nhiên, hiện tượng phân định trục tọa độ thành hai chiều trái ngược nhau qua gốc O lại hoàn toàn là do qui ước chủ quan vì mặt phẳng “chứa” tọa độ 7/b, ít ra là trước khi qui ước chiều cho hai trục tọa độ, là đồng nhất vì cả quan sát trực giác lẫn suy lý đều chẳng thấy một biểu hiện trái ngược “kiểu” âm - dương nào cả. Cũng vì qui ước phương chiều cho hai trục tọa độ hoàn toàn chủ quan như thế nên tọa độ điểm C, trong đó có một giá trị âm, chỉ đúng cho hệ tọa độ 7/b thôi chứ không đúng cho bất kỳ hệ tọa độ nào khác với những qui ước phương chiều khác. Hơn nữa theo quan niệm các lực lượng trái ngược nhau đều bình đẳng thì có thể gọi hệ tọa độ Đề các 3 chiều là  hệ tọa độ 6 chiều và hệ tọa độ Đề các 2 chiều là hệ tọa độ 4 chiều.

Một trong vài nhược điểm nữa của hệ tọa độ Đề các là tự thân nó, khi đóng vai trò làm cơ sở để khảo sát không gian thì cái không gian đó hầu như là không gian phi thời gian, hay còn gọi là không gian hình học tĩnh tại. Nói cách khác, với ba phương chiều được phân bố một cách bất bình đẳng trong không gian, hệ tọa độ Đề các đó không “đủ sức” để đóng vai trò làm cơ sở qui chiếu trong việc khảo cứu một không gian biến động, sao cho chí ít là về nguyên tắc, phù hợp với không gian thực tại.

Có lẽ vì thế cho nên khi nhận thức vật lý đã đạt đến trình độ phải coi không gian và thời gian là hai tồn tại không thể tách biệt được có mối quan hệ khăng khít với nhau đến độ bàn luận những vấn đề của không gian mà không nói đến thời gian là hoàn toàn siêu hình, phi thực tại, thì đòi hỏi phải “cải tiến”, bổ sung cho hệ tọa độ Đề các tất yếu phải bộc lộ ra. Khái niệm về không gian 4 chiều do Mincôvxki đề xướng là nhằm thỏa mãn đòi hỏi đó. Từ khái niệm không gian 4 chiều (trong đó hàm chứa một chiều thời gian), buộc phải dẫn đến xây dựng một hệ tọa độ 4 chiều, vì chỉ như thế mới có thể xác định được vị trí của một điểm nào đó trong không gian và thời gian.

Hệ tọa độ 4 chiều trong không - thời gian Ơclít được hình dung như là một hệ tọa độ Đề các 3 chiều được “gắn” thêm một chiều biểu hiện thời gian. Nói một cách vắn tắt và có phần thô thiển thì dựa vào sự gợi ý của phép biến đổi Lôrenxơ (Lorentz) và của biểu thức tình khoảng cách từ một điểm đến gốc của hệ tọa độ Đề các 3 chiều:

                 

các nhà vật lý đã đặt  (với C là vận tốc ánh sáng có tính bất biến, t là thời gian) và đi đến khái niệm về không gian 4 chiều. Một đặc tính hết sức quan trọng của không gian 4 chiều là một hệ tọa độ muốn biến đổi thành một hệ tọa độ khác một cách đúng đắn thì phải thỏa mãn:

                 

Hình dung ra như thế kể cũng dễ dàng và có phần hợp lý, nhưng chúng ta cũng thấy ngay rằng, vô cùng khó khăn khi muốn biểu diễn hệ tọa độ 4 chiều trong thực tiễn nghiên cứu không gian vật lý vì không biết “gắn” cái phương chiều thứ tư vào “chỗ” nào trong hệ tọa độ Đề các 3 chiều. Nếu cố tình “vẽ vời” thêm chiều thứ tư cho hệ tọa độ Đề các 3 chiều cho “đủ bộ” mà không dựa vào cơ sở nào cả thì đó là một hành động… tùy tiện, duy ý chí.

Với quan niệm “thời gian từ không gian mà ra và vì không gian mà phục vụ”, thì mô hình không gian 4 chiều và hình dung về một hệ tọa độ 4 chiều của Vật lý học ngày nay, dù có ít nhiều hợp lý, nói chung là khiên cưỡng, gượng ép.

Vậy, có thể xây dựng được mô hình tọa độ nào đó để khắc phục những khiếm khuyết của hệ tọa độ Đềcác 3 chiều như đã nêu không?

Chúng ta “yếu” quá nên không dám “đụng” đến câu hỏi đó! Tuy nhiên chúng ta sẽ mạnh dạn đề xướng ra một hệ tọa độ mới mà chúng ta cho là “hay” hơn hệ tọa độ Đềcác trong vai trò làm cơ sở qui chiếu để xác định vị trí các điểm cũng như sự thay đổi vị trí của chúng theo thời gian.

(Còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------