TT&HĐ IV - 36/e

                                                 Miền đất toán học diệu kì - Tập  5 - 6

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 
 

 

 

(Tiếp theo)

***

Fecma (Pierrre Fermat) sinh ngày 20-8-1601 tại Beaumont - de - Lonmagne, thuộc vùng Tây Nam nước Pháp. Cha ông là môt nhà buôn bán da giàu có nên có đủ khả năng cho ông được hưởng một nền giáo dục ưu đãi tại tu viện dòng Francisco ở Grandselve, rồi sau đó chuyển qua học tại trường Đại học tổng hợp Toulouse.

Áp lực gia đình đã hướng Fecma vào làm việc ở các cơ quan hành chính và vào năm 1631, ông được bổ nhiệm vào Pháp viện Toulouse. Fecma thăng tiến rất nhanh trên con đường công danh và trở thành một thành viên của giới thượng lưu. Sự thăng quan tiến chức này không phải là do tham vọng mà có thể là do ông đã thực hiện phận sự của mình một cách chu đáo và cũng do vấn đề sức khỏe. Hồi đó có một nạn dịch hoành hành khắp Châu Âu và những người sống sót đều được thăng chức để thay thế cho những người bị chết.

                     Đài tưởng niệm Fermat ở Beaumont de Lomagne.

Không có những tham vọng chính trị lớn, cũng không muốn dính líu đến những lôi thôi, xáo trộn ở Pháp viện, Fecma chỉ cố gắng làm tròn phận sự và không muốn ai chú ý đến mình. Ngoài công việc hành chính, toàn bộ thời gian rảnh rỗi ông đều giành cho sở thích của mình là nguyên cứu toán học. Đối với Fecma nghiên cứu toán học chỉ đóng vai trò như một “nghề” nghiệp dư, chỉ nhằm thỏa mãn niềm đam mê và thích thú của riêng ông. Nhưng sau này, nhân loại đã phải bái phục những thành quả mà ông đã đem lại cho toán học. Chính vì điều này mà E.T. Bell gọi Fecma là “Ông hoàng Nghiệp dư”. Còn Julian Coolidge, khi viết cuốn “Toán học của các nghiệp dư vĩ đại”, đã loại Fecma ra với lý do Fecma “thực sự vĩ đại, nên phải xem ông là một người chuyên nghiệp”.

Vào đầu thế kỷ XVII, toán học mới bắt đầu phục hồi sau “đêm trường trung cổ” và vẫn chưa được coi trọng. Đa số các nhà toán học đều phải tự tổ chức lấy việc tìm tòi nghiên cứu của mình. Ví dụ, Galilê không thể nghiên cứu toán học tại Đại học Pisa và buộc phải tìm kiếm công việc dạy tư. Thực tế hồi đó ở Châu Âu chỉ có Đại học Oxford là nơi có sự khuyến khích toán học. Chính trường đại học này đã lập ra một chức vị giáo sư về hình học vào năm 1619. Có thể nói không ngoa rằng phần lớn các nhà toán học thế kỷ XVII đều là nghiệp dư, nhưng Fecma lại là một trường hợp đặc biệt. Sống ở xa Pari, ông hòan tòan cách biệt với cộng đồng các nhà toán học và có lẽ đầu mối tiếp xúc duy nhất với họ là thông qua một người mang tên Marin Mersenne.

Mersenne chỉ có đóng góp nhỏ cho lý thuyết số, nhưng vai trò của ông trong toán học thế kỷ XVII lại quan trọng hơn rất nhiều bất kỳ một đồng nghiệp được đánh giá cao nào. Sau khi gia nhập dòng thánh Minim vào năm 1611, cha Mersenne đã nghiên cứu toán học và dạy lại môn học này cho các tu sĩ khác tại tu viện Minim ở Nevers. Tám năm sau ông chuyển tới Pari, ở gần Palace Royal, một nơi tập trung giới trí thức thời đó. Ông đã gặp gỡ các nhà toán học ở Pari và cảm thấy rất buồn vì họ đã từ chối nói chuyện chuyên môn với ông và với nhau.

Bản tính ưa giữ bí mật của các nhà toán học Pari đã có truyền thống từ thế kỷ XVI và sau đó còn được duy trì đến tận cuối thế kỷ XIX, thậm chí là ở thế kỷ XX vẫn có những nhà toán học làm việc trong bí mật.

Khi linh mục Mersenne tới Pari, ông đã quyết định đấu tranh chống lại bản tính thích giữ bí mật và cố gắng khuyến khích các nhà toán học trao đổi những ý tưởng của họ với nhau và sử dụng các công trình của nhau. Ông đã tổ chức các cuộc gặp gỡ thường kỳ và nhóm của ông sau này chính là nòng cốt của Viện hàn lâm Pháp.

Những cuộc chu du khắp nước Pháp và xa hơn nữa đã giúp cho Mersenne phổ biến rộng rãi những tin tức về các phát kiến mới nhất. Trong những chuyến đi như thế, ông thường hẹn gặp Fecma. Ảnh hưởng của Mersenne đối với Ông Hoàng Nghiệp dư chắc chỉ đứng sau cuốn “Số học” (Arithmetica), một chuyên luận toán học được truyền tay từ thời cổ Hi Lạp và là “vật bất li thân” của Fecma.

Mặc dù có sự động viên của vị linh mục, Fecma vẫn nhất định không chịu tiết lộ những chứng minh của mình. Đôi khi ông liên lạc bằng thư từ với các nhà toán học khác, phát biểu những phát kiến, những định lý mới nhất của mình nhưng không gửi kèm theo chứng minh, rồi thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Ông làm vậy chỉ cốt trêu chọc họ mà thôi. Việc Fecma không bao giờ tiết lộ những chứng minh của mình đã làm cho nhiều người rất bực mình. René Descartes đã gọi Fecma là “thằng cha khoác lác”, còn John Wallis thì gọi ông là “gã người Pháp chết tiệt”. Khi Blaise Pascal ép ông công bố một số công trình, Fecma đáp: “Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó”

Những cuộc trao đổi thư từ với Pascal, một cơ hội duy nhất để Fecma thảo luận những ý tưởng của mình với một ai đó ngoài Mersenne, có liên quan đến sự sáng tạo ra cả một lĩnh vực mới của toán học - đó là lý thuyết xác suất. Thực ra đề tài này là do Pascal giới thiệu với Ông hoàng nghiệp dư ưa giữ bí mật, nên mặc dù muốn biệt lập, Fecma cũng cảm thấy có nghĩa vụ phải duy trì đối thoại. Fecma và Pascal đã tìm ra những chứng minh đầu tiên và những điều tuyệt đối chắc chắn trong lý thuyết xác suất, một lĩnh vực vốn mang tính bất định.

		René Descartes
Thời đại	Triết học thế kỷ XVII
Lĩnh vực	Triết học phương Tây
Trường phái	Chủ nghĩa Descartes, Chủ nghĩa duy lý lục địa
Sở thích	Siêu hình học, Nhận thức luận, Khoa học tự nhiên, Toán học
Ý tưởng nổi trội	Tôi tư duy, nên tôi tồn tại, Phương pháp nghi ngờ, Hệ tọa độ Descartes, Thuyết nhị nguyên Descartes, Luận cứ bản thể học về sự tồn tại của Chúa trời; Được xem là người đặt nền móng cho Triết học hiện đại

		Blaise Pascal
Sinh	19 tháng 6, 1623 Clermont-Ferrand, Auvergne, Pháp
Mất	19 tháng 8, 1662 (39 tuổi) Paris, Pháp
Cư trú	Pháp
Quốc tịch	Pháp
Thời đại	Triết học thế kỷ 17
Lĩnh vực	Triết học phương Tây
Tôn giáo	Công giáo Rô-ma
Trường phái	Thần học Jansen
Sở thích	Thần học Toán học Triết học Vật lý
Ý tưởng nổi trội	Đặt theo tên Pascal Tam giác Pascal Định luật Pascal Định lý Pascal

Ngoài việc cùng chia sẻ với Pascal quyền là cha đẻ của lý thuyết xác suất, Fecma còn tham gia rất sâu vào việc xây dựng nên một lĩnh vực khác của toán học, đó là toán giải tích. Toán giải tích cho phép chúng ta tính được tốc độ biến thiên, được biết như đạo hàm của đại lượng này đối với một đại lượng khác. Ví dụ, tốc độ biến thiên của quãng đường đối với thời gian, chính là vận tốc chuyển động.

Trong một thời gian dài, Isaác Newton được xem là người đã phát minh ra giải tích toán học một cách độc lập. Nhưng vào năm 1934, Louis Trenchard Moore đã phát hiện được một bản ghi chép, qua đó xác nhận một cách chắc chắn công lao của Fecma và trả lại cho ông vinh dự mà ông xứng đáng được hưởng. Trong bản ghi chép đó, Newton đã viết rằng ông phát triển giải tích toán của mình dựa vào “phương pháp vẽ tiếp tuyến của ông Fecma”.

Riêng những thành quả toán học về lý thuyết xác suất và giải tích toán học thôi, Fecma cũng đã có một vị trí xứng đáng trong ngôi đền tôn vinh các nhà toán học. Tuy nhiên, thành tựu lớn nhất của ông trong toán học lại ở lĩnh vực lý thuyết số - lĩnh vực có dạng thuần túy, cổ xưa nhất và có vẻ vô dụng nhất của toán học, được truyền lại từ thời Pitago. Fecma đã bị ám ảnh bởi mối liên hệ kỳ ảo giữa các con số và đã dành tình yêu say đắm nhất cho nó.

Sir Isaac Newton
Isaac Newton 46 tuổi Bức vẽ của Godfrey Kneller năm 1689
Sinh	4 tháng 1, 1643 [OS: 25 tháng 12 1642] Lincolnshire, Anh
Mất	31 tháng 3, 1727 (84 tuổi) [OS: 20 March 1727] Kensington, Luân Đôn, Anh
Nơi cư trú	Anh
Ngành	Tôn giáo Vật lý Toán học Thiên văn học Triết học tự nhiên Giả kim thuật
Nơi công tác	Đại học Cambridge Hội Hoàng gia
Nổi tiếng vì	Cơ học Newton Vạn vật hấp dẫn Vi phân Quang học Định lý nhị thức
Giải thưởng	FRS (1672)
Chữ ký

Sau khi Pitago qua đời, khái niệm chứng minh toán học đã được truyền bá rộng rãi, và hai thế kỷ sau khi trường học của ông bị đốt cháy thành bình địa thì trung tâm nghiên cứu toán học đã chuyển từ Croton tới thành phố Alexandria. Năm 332TCN, sau khi đã chinh phục được Hy Lạp, Tiểu Á và Ai Cập, Alexander Đại đế đã quyết định xây dựng nơi đây thành một kinh đô tráng lệ nhất thế giới.

Khi Alexander qua đời thì Ptolêmy, một người thân tín của ông ta lên ngôi ở Ai Cập và Alexandria lúc này mới có trường Đại học tổng hợp đầu tiên trên thế giới. Các nhà toán học và các nhà trí thức khác kéo đến thành phố chắc hẳn là bởi sự nổi tiếng của trường Đại học thu hút, nhưng sự thu hút lớn hơn lại là Thư viện Alexandria. Thư viện được thành lập theo ý tưởng của Demetrius Phalareus, một nhà hùng biện không mấy nổi tiếng. Có thời kỳ thư viện này tàng trữ được tới 600.000 cuốn sách. Các nhà toán học tới Alexandria có thể nghiên cứu và học hỏi mọi thứ từ những học giả nổi tiếng nhất. Người đầu tiên đứng đầu khoa toán ở Alexandria, không ai khác, chính là Ơclít.

Hai bộ sách làm nên vinh quang bất diệt cho nền toán học thời cổ đại là bộ gồm 13 tập có tên “Cơ sở” (hay còn được dịch là “Những nguyên lý”) của Ơclít và bộ cũng gồm 13 tập có tên “Số học” của Diophantus. Mặc dù Diophantus là một nhà toán học xuất chúng nhưng người ta vẫn không biết gì về thân thế ông mà chỉ ước đoán rằng ông sống vào khoảng năm 250.

Toàn bộ sự nghiệp của Diophantus ở Alexandra là dành cho việc thu thập những bài toán đã biết và sáng tạo thêm những bài toán mới, rồi sau đó biên soạn thành một bộ sách chuyên luận mang tên “Số học”. Trong số 13 tập làm nên bộ sách đó, chỉ còn 6 tập sống sót được qua những biến loạn thời Trung cổ và tiếp tục truyền cảm hứng cho các nhà toán học thời Phục hưng, trong đó có Fecma. Bảy tập khác bị thất lạc trong một loạt những sự kiện bi thảm đưa toán học trở về thời đại Babilon.

                                                                       Thư Viện Alexandria cổ đại.

Euclid
Chân dung Euclid của Justus van Ghent vào thế kỉ 15. Không có tranh tượng hoặc miêu tả nào về bề ngoài của Euclid từ thời ông còn lại đến nay
Sinh	khoảng 330 TCN
Nơi cư trú	Alexandria, Ai Cập
Ngành	Toán học
Nổi tiếng vì	Hình học Euclid Cơ sở

Trang tiêu đề của bản in cuốn Số học của Diofantos năm 1621, do Claude Gaspard Bachet de Méziriac dịch sang tiếng La tinh.

Diofantos

Nhà toán học

Diofantus xứ Alexandria, đôi khi được mệnh danh là "cha đẻ của ngành đại số", là nhà toán học xứ Alexandria và là tác giả của loạt sách có tên gọi Arithmetica. Wikipedia

Trong suốt nhiều thế kỷ, Alexandra luôn đóng vai trò là kinh đô trí tuệ của thế giới. Trong khoảng thời gian đó có một lần Thư viện Alexandria bị xâm hại. Năm 47 TCN, Julius Caesar định lật đổ Cleopatra, đã tấn công thành phố, phóng hỏa thiêu hủy hạm đội Alexandria. Do ở gần cảng nên thư viện cũng bị cháy và hàng trăm ngàn cuốn sách đã bị thiêu rụi. Cleopatra là người rất coi trọng tri thức nên đã quyết định phục hồi Thư viện trở lại sự huy hoàng vốn có của nó. Mark Antony muốn làm vui lòng bà Nữ hoàng xinh đep, bèn lập tức hành quân tới thành phố Peramum, nơi đây đang xây dựng một thư viện lớn, chuyển toàn bộ số sách thu thập được ở đây về Ai Cập, để duy trì vị trí số 1 của Thư viện Alexandria.

Tuy nhiên, tới năm 389, Thư viện đó bị giáng đòn đầu tiên trong số hai đòn chí tử mà cả hai đều do sự cuồng tín tôn giáo. Hoàng đế theo đạo Thiên chúa là Theodosins đã ra lệnh cho Theophilus, tổng giám mục ở Alexandria, phá hủy tất cả các tượng đài phiếm thần giáo. Thật không may, trong thời gian Cleopatra cho phục hồi và sắp xếp lại kho sách Thư viện, bà đã quyết định cho chuyển sách vào đền Serapis và vì vậy mà trở thành đối tượng phải bị phá hủy. Những học giả phiếm thần giáo định cứu kho kiến thức vô giá của gần sáu thế kỷ đó nhưng không được vì ngay bản thân họ cũng bị băm nát bởi đám đông tín đồ Thiên chúa giáo. Bóng tối của “đêm trường trung cổ” bắt đầu phủ xuống.

Một số ít bản sao quí giá của những cuốn sách quan trọng nhất vẫn còn sót lại sau tai họa đó, cho nên các học giả vẫn tiếp tục tới Alexandria để tìm kiếm kiến thức. Nhưng vào năm 642, một cuộc tấn công của người Hồi giáo đã làm nốt phần còn lại mà người Thiên chúa giào chưa làm được. Khi được hỏi phải giải quyết thế nào đối với Thư viện, lãnh tụ Hồi giáo là Omar đắc thắng ra lệnh rằng những sách trái với kinh Coran đều phải bị tiêu hủy, còn những sách phù hợp với kinh Coran thì do quá dư thừa nên cũng phải tiêu hủy nốt. Thế là tất cả sách đều bị mang đi dùng vào việc đốt các lò sưởi ấm các nhà tắm công cộng. Sáu tập của bộ “Số học” còn lưu lại được sau những thảm kịch ở Alexandria, phải được cho là điều kỳ diệu.

Trong một thiên nhiên kỷ tiếp theo, toán học ở phương Tây gần như trong cảnh hoang tàn.

Bước ngoặt quan trọng đối với nền toán học phương Tây đã xảy ra vào năm 1453, khi mà người Thổ Nhĩ Kỳ tàn phá thành Constantinople. Trong những năm tháng trước đó, nhiều bản sách may mắn thoát được thảm họa bị tiêu hủy ở Alexandria đã được tập hợp về thành phố này. Trước mối đe dọa bị tiêu hủy một lần nữa, các nhà thông thái Byzantine bèn chạy trốn sang phương Tây và mang theo tất cả những gì mà họ còn giữ được. Những tập còn lại của bộ sách “Số học” quí giá nhờ thế mà cuối cùng cũng đã tới được Châu Âu.

Chỉ với phần còn lại của bộ “Số học” thôi, Diophatus cũng đã giới thiệu cho Fecma những kiến thức toán học của cả một ngàn năm trước đó. Fecma đã có thể tìm thấy trong đó toàn bộ kiến thức về các con số mà Pitago và Ơclit cùng với những người như họ xây dựng nên.

Có thể nói chính tác phẩm “Số học” đã khích lệ, truyền cảm hứng cho Fecma và dẫn dắt ông đi vào con đường say mê toán học. Nhưng thực ra tác phẩm đó không phải là bản gốc mà là bản dịch ra tiếng Latinh của Claude Gaspar Bachet de Méziriac, một người nổi tiếng là thông thái nhất nước Pháp hồi đó. Bachet đã cho xuất bản bản dịch đó vào năm 1621 và với nghĩa cử đó, ông đã góp phần tạo nên thời hoàng kim thứ hai của toán học.

Cuốn “Số học” này chứa 100 bài toán và mỗi bài toán đều được Diophatus đưa ra lời giải chi tiết. Việc nghiên cứu các bài toán và lời giải của Diophatus đã gợi ý cho Fecma suy nghĩ và giải các bài toán khác có liên quan và tinh tế hơn. Fecma thường ghi vắn tắt những gì mà ông thấy cần thiết, đủ để tin rằng ông đã nhìn thấy lời giải, thế thôi, chứ không bận tâm viết hết ra phần còn lại của chứng minh. Thường thì những ghi chép đó ông vứt vào sọt rác, rồi sau đó lại vội vã chuyển sang nghiên cứu bài toán khác. Thật may mắn đối với đời sau là bản dịch tác phẩm “Số học” được chừa lề rất hào phóng, nên đôi khi Fecma có thể viết vội những suy luật hoặc lời bình luận của mình ở ngay đó. Đối với nhiều thế hệ các nhà toán học, những ghi chép bên lề này, mặc dù khá hiếm hoi, nhưng là bản lưu vô giá những tính toán xuất sắc nhất của Fecma.

Julius Caesar
Chân dung Tusculum, có lẽ là tác phẩm điêu khắc duy nhất còn sót lại của Caesar được tạo ra khi ông còn sống.
Chức vụ
Nhà độc tài của Cộng hoà La Mã

Cleopatra VII
Nữ vương Ai Cập
Tại vị	51 TCN - 12 tháng 8, 30 TCN Ptolemy XIII (51 TCN - 47 TCN) Ptolemy XIV (47 TCN-44 TCN) Caesarion (44 TCN - 30 TCN)
Tiền nhiệm	Ptolemy XII
Kế nhiệm	Ai Cập trở thành Tỉnh La Mã

Khi nghiên cứu quyển II của bộ “Số học”, Fecma đi tới một loạt nhận xét, một loạt bài toán và lời giải có liên quan tới định lý Pitago và bộ ba các số Pitago. Trong quá trình tìm hiểu định lý Pitago và nghiên cứu sâu hơn với ý định thử xem mình có thể phát hiện ra điều gì đó mà người Hi Lạp còn bỏ sót hay không, và trong một khoảnh khắc bất chợt lóe sáng của thiên tài, khoảnh khắc đã làm cho Ông hoàng Nghiệp dư trở thành bất tử, Fecma đã tạo ra một phương trình mặc dù về hình thức chỉ như là một sự sửa đổi nhỏ nhặt phương trình Pitago, nhưng lại hoàn toàn vô nghiệm. Nghĩa là thay vì xét phương trình:

x² + y² = z²

Fecma đã tạo ra một biến thể của nó:

x³ + y³ = z³

Rồi sau đó Fecma còn tiếp tục thay đổi số mũ bằng những số lớn hơn 3 và phát hiện ra rằng việc tìm nghiệm của chúng là vô cùng khó khăn và theo ông thì dường như không có ba số nguyên nào thỏa mãn phương trình:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, trong đó n = 3, 4, 5…

Thế rồi, bên lề, cạnh bài toán thứ 8 của cuốn “Số học”, Fecma đã ghi lại nhận xét của mình:

“Một số lập phương không được viết dưới dạng tổng của hai lập phương hoặc một lũy thừa bậc bốn không thể viết dưới dạng tổng của hai lũy thừa bậc bốn hay tổng quát, một số bất kỳ là lũy thừa bậc lớn hơn hai không thể viết dưới dạng tổng của hai lũy thừa cùng bậc”.

Như thế Fecma đã khẳng định rằng trong vũ trụ vô tận của các con số, không ở đâu có “bộ ba số Fecma”.

Điều đặc biệt là ngay sau đó, Fecma còn viết tiếp một câu nữa và chính nó đã làm “điên đầu” nhiều thế hệ các nhà toán học và ngay cả đối với những nhà toán học lỗi lạc, kiệt xuất nhất: “Tôi đã có một chứng minh thực sự tuyệt vời mệnh đề này, nhưng do lề quá hẹp nên không thể viết hết ra được”.

Phát kiến mà sau này trở nên cực kỳ lừng lẫy trong suốt hơn 350 năm đó đã xảy ra vào đầu sự nghiệp toán học của Fecma, tức vào khoảng năm 1637. Chừng 30 năm sau, trong khi đang thực thi công vụ ở thị trấn Castres, Fecma lâm bệnh nặng và qua đời vào ngày 12-1-1665. Do vẫn xa lánh trường phái toán học ở Pari nên những phát hiện toán học của ông có nguy cơ vĩnh viễn bị rơi vào quên lãng. Rất may là Clement Samuel, con trai đầu của Fecma, người đã đánh giá được ý nghĩa những nghiên cứu toán học nghiệp dư của cha mình, đã quyết định không để những kết quả nghiên cứu đó bị thất lạc. Ông này đã bỏ ra 5 năm trời để thu thập những ghi chép, những ghi chú vội vàng trên lề cuốn “Số học”, cũng như những thư từ của người cha và cho công bố chúng vào năm 1670.

Khi những ghi chép của Fecma đến với công chúng, người ta mới thấy rõ rằng, những bức thư mà ông gửi cho các đồng nghiệp của mình chỉ đơn thuần là những mẩu vụn vặt so với kho tàng những phát minh của ông. Những ghi chép riêng tư của ông chứa đựng cả một loạt những định lý, những đột phá xuất sắc trong lý thuyết số mà trong đó, nổi tiếng nhất là “Định lý lớn Fecma”. Nhưng định lý này hoặc không kèm theo một lời giải thích nào cả, hoặc chỉ có sự gợi ý khá mơ hồ về chứng minh ở phía sau nó. Hầu như Fecma chỉ để lại những đường nét sơ lược của quá trình suy luận đủ để các nhà toán học tin rằng quả thực là ông đã có những chứng minh, thế thôi.

Fecma từng tuyên bố rằng ông đã có trong tay những chứng minh cho mỗi nhận xét của mình và vì vậy đối với ông, chúng đều là những định lý. Tuy nhiên, chừng nào các nhà toán học còn chưa phát hiện lại được những chứng minh đó thì những nhận xét của Fecma vẫn chỉ được coi như những giả thuyết, do đó Định lý lớn Fecma, khi chưa được công nhận là đã được chứng minh, phải được gọi chính xác hơn với cái tên Giả thuyết lớn Fecma.

Hàng thế kỷ trôi qua, tất cả những nhận xét khác của Fecma đều đã được lần lượt chứng minh, duy chỉ còn Giả thuyết lớn Fecma là còn đứng đó như một khối kim cương cứng rắn, chưa ai công phá được. Cũng vì vậy mà giả thuyết này còn được gọi với cái tên “Định lý cuối cùng của Fecma” hay “Vấn đề cuối cùng của Fecma”.

Xét trên bình diện nào đó thì yêu cầu chứng minh được Giả thuyết lớn của Fecma không phải vì sẽ dẫn tới điều gì sâu sắc lắm, cũng như không giúp gì cho việc chứng minh các giả thuyết khác. Giả thuyết đã trở nên nổi tiếng và thu hút biết bao nhiêu trí tuệ và sức lực của nhiều thế hệ các nhà toán học đi tìm cách chứng minh nó chỉ bởi vì sau cái hình thức có vẻ đơn giản và rõ ràng của nó là cả một câu thách đố thuộc dạng hóc búa ghê gớm, khó giải nhất của toán học.

***

Ơle (Leonhard Euler, 1707 - 1783), được tôn vinh là một thiên tài toán học ở thế kỷ XVIII. Ông có một trực giác ghê gớm và một trí nhớ siêu phàm tới mức người ta nói rằng, ông có thể thực hiện những khối lượng tính toán rất lớn trong đầu mà không cần đặt bút viết ra giấy. Khắp châu Âu mọi người đều gọi ông là “sự hiện thân của giải tích”. Viện sĩ Viện hàn lâm Pháp tên là Francois Arago từng nói: “Ơle tính toán như là người ta thở, không hề nặng nhọc gì, hoặc như những con chim ưng nương theo gió vậy”.

Ơle sinh năm 1707 ở Basle, là con trai của một mục sư đạo Calvin có tên là Panl Euler. Mặc dù Ơle tỏ ra có tài năng thiên bẩm về toán học, nhưng cha của ông quyết định rằng ông phải học thần học để theo đuổi sự nghiệp một cha đạo. Ơle đã tuân theo, học thần học và tiếng Do Thái tại trường đại học Basle.

Thật may mắn cho Ơle, Basle lại là thành phố quê hương của dòng họ Bernoulli nổi tiếng. Đây là dòng họ có truyền thống toán học vì chỉ trong ba thế hệ đã sản sinh ra tám bộ óc thuộc hàng xuất sắc nhất châu Âu. Daniel Bernoulli và Nikolaus Bernoulli đều là bạn thân của Ơle. Hai người này đã nhận thấy trước mắt họ là một tài năng toán học đang dần biến thành nhà thần học tầm thường và họ đã van nài Paul Euler để cho Ơle thay chiếc áo thầy tu bằng những con số. Cha của Ơle đã từng là học trò của Bernoulli cha, tức Jakob Bernoulli, và rất kính trọng gia đình này, nên cuối cùng đã miễn cưỡng đồng ý cho Ơle, con trai ông dấn thân vào toán học thay vì đi giảng đạo.

Chẳng bao lâu sau, Ơle đã rời Thụy Sĩ để đến St. Peterburg, kinh đô của nước Nga Sa hoàng và bắt đầu sự nghiệp toán học lừng lẫy của mình ở đây. Thời gian tiếp theo, Ơle được Frederik Đại đế của nước Phổ mời tới làm việc tại Viện hàn lâm Berlin. Rồi ông lại quay về nước Nga dưới sự trị vì của Nữ hoàng Catherine, sống và làm việc trong những năm tháng cuối cùng của cuộc đời mình.

Một trong những thành tựu vĩ đại nhất của Ơle là sự phát triển phương pháp thuật giải. Mục đích của phương pháp này là nhằm giải các bài toán dường như là không giải được. Trong số đó là bài toán tiên đoán các pha của Mặt Trăng trong tương lai xa với độ chính xác cao.

Người ta có thể thiết lập các phương trình để xác định tác động tương hỗ giữa hai vật bất kỳ (thường gọi là “bài toán 2 vật”), nhưng không sao làm được điều đó nếu hiện diện một vật thứ ba (thường gọi là “bài toán ba vật” và cho đến nay, người ta vẫn chưa thể giải được chính xác bài toán này!). Trường hợp Mặt Trăng cũng chính là phải giải bài toán ba vật, vì ngoài tác động tương hỗ giữa Trái Đất và Mặt Trăng, còn xuất hiện tác động tương hỗ của Mặt Trời lên cả “hai vật” đó, gây ra hiện tượng nhiễu loạn đến quĩ đạo tương đối giữa các thiên thể đó.

Ơle nhận thấy rằng đối với thủy thủ đi biển thì không cần thiết phải biết pha của Mặt Trăng một cách tuyệt đối chính xác, mà chỉ cần với mức độ chính xác đủ để xác định vị trí của bản thân họ với sai số trong khoảng vài hải lý là được. Do vậy, Ơle đã phát triển các bước giải để tìm ra nghiệm tuy không thật hoàn hảo nhưng đủ độ chính xác theo yêu cầu thực tiễn. Các bước đó được gọi là thuật giải. Nó vận hành trước hết là nhận được một nghiệm thô, sau đó lại đưa nghiệm thô này trở lại thuật giải để nhận được một nghiệm tinh hơn nữa, cứ thế cho đến  khi có nghiệm thỏa mãn mức độ chính xác theo yêu cầu của thực tiễn. Ông đã trao thuật giải này cho Bộ Hàng hải Anh Quốc và nhận được giải thưởng trị giá 300 bảng (đơn vị tiền tệ nước Anh). Đó là một khoản tiền có giá trị lớn thời bấy giờ.

Tài năng và thành tựu toán học của Ơle đã làm cho ông nổi danh khắp châu Âu như là người có thể giải được bất kỳ bài toán nào được đặt ra. Tuy nhiên, tinh thần say mê toán học và làm việc bền bỉ, không mệt mỏi ngay cả trong những hoàn cảnh éo le nhất của cuộc đời Ơle mới thực sự làm cho đời sau cảm phục, ngưỡng mộ.

Năm 1735, Viện Hàn Lâm Pari đặt ra giải thưởng dành cho ai giải được một bài toán thiên văn. Bài toán này hóc búa tới mức cộng đồng các nhà toán học đã đề nghị Viện Hàn Lâm cho phép họ kéo dài thêm vài tháng. Nhưng đối với Ơle thì sự kéo dài thời gian đó là không cần thiết. Ông đã nghiên cứu và giải bài toán đó liên tục trong ba ngày và đã dành được giải thưởng một cách xứng đáng. Tuy nhiên do điều kiện làm việc thiếu thốn và đầy căng thẳng nên Ơle đã phải trả giá là mù một mắt khi chưa đầy 30 tuổi.

Mất đi một con mắt, Ơle có nói vui rằng: “Bây giờ tôi sẽ ít bị phân tán tư tưởng hơn!”. Bốn mươi năm sau, con mắy còn lại của Ơle bị đục thủy tinh thể. Ông đã quyết định nhắm mắt tập viết nhằm hoàn thiện kỹ năng này trước khi bóng tối sập xuống, bao trùm lấy ông. Tuy nhiên, mấy tháng sau khi bị mù hoàn toàn, nét chữ của Ơle đã trở nên không thể đọc được nữa và Albert, con trai ông, đã phải làm thư ký cho ông.

Sau khi bị mù, Ơle vẫn tiếp tục sáng tạo toán học trong suốt 17 năm tiếp theo với năng suất thậm chí còn hơn cả trước đó. Các đồng nghiệp của ông cho rằng việc mất đi thị giác càng làm cho trí tưởng tượng của ông thêm mở rộng.

Năm 1776, một ca mổ đã được thực hiện và trong ít ngày, thị giác của Ơle dường như được phục hồi. Nhưng rồi do nhiễm trùng, ông lại bị bóng tối bao phủ trở lại. Không hề nản lòng, ông tiếp tục làm việc miệt mài thêm 7 năm nữa. Ngày 18-9-1783, một cơn đột quỵ đã cướp đi sinh mạng của Ơle.

Leonhard Euler
Chân dung do Johann Georg Brucker vẽ (khoảng 1756)
Sinh	15 tháng 4, 1707 Basel, Thụy Sĩ
Mất	18 tháng 9 [cũ 7 tháng 9] năm 1783 Sankt-Peterburg, Đế quốc Nga
Nơi cư trú	Vương quốc Phổ Đế quốc Nga Thụy Sĩ
Tôn giáo	Thuyết Calvin
Ngành	Toán học, vật lý học
Nơi công tác	Viện Khoa học Đế quốc Nga Viện Berlin
Alma mater	Đại học Basel
Người hướng dẫn luận án tiến sĩ	Johann Bernoulli

Nổi tiếng vì	Số Euler, Đẳng thức Euler, Phương pháp Euler (sai phân)
Chữ ký

Nhà toán học kiêm triết học, Huân tước Concordcet nói: “Ơle đã ngừng sống và ngừng tính toán”.

Có thể nói Ơle cũng là người đầu tiên tìm cách chứng minh Định lý cuối cùng của Fecma.

Chúng ta biết rằng phương trình Fecma chỉ viết đơn giản là:

xⁿ +yⁿ = zⁿ, trong đó n là số nguyên bất kỳ lớn hơn 2.

Nhưng thực ra phương trình đó biểu diễn một tập hợp vô số các phương trình:

x³ + y³ = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵

…

Lúc đầu, có lẽ Ơle đã băn khoăn tự hỏi liệu có thể chứng minh rằng một trong số các phương trình trên không có nghiệm nguyên rồi loại suy ra kết quả cho những phương trình còn lại hay không.

Với vấn đề nêu ra đó, Ơle đã gặp một sự khởi đầu thuận lợi khi ông phát hiện một đầu mối ẩn giấu trong những ghi chú nguệch ngoạc của Fecma. Mặc dù Fecma không viết ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma, nhưng ông lại phác thảo lời giải đối với trường hợp n = 4 ở đâu đó trong cuốn “Số học” và gộp nó vào chứng minh của một bài toán hoàn toàn khác. Đó là một tính toán có phần đầy đủ nhất mà Fecma đã viết ra nhưng cũng rất mơ hồ. Dù sao thì nó cũng cho Ơle biết được đó là dạng đặc biệt của sự chứng minh bằng phản chứng, được gọi là “Phương pháp giảm vô hạn”.

Để chứng minh phương trình x⁴ + y⁴ = z⁴ vô nghiệm, Fecma bắt đầu với giả thuyết rằng nó có một nghiệm là:

x = X₁; y = Y₁; z = Z₁.

Sau khi khảo sát các tính chất của X₁, Y₁, Z₁, Fecma có thể chứng minh được rằng nếu nghiệm giả định này tồn tại thì sẽ phải có một nghiệm nhỏ hơn là X₂, Y₂, Z₂. Sau đó, bằng cách xem xét nghiệm mới này, Fecma lại chứng minh được rằng phải có một nghiệm mới nhỏ hơn nữa là X₃, Y₃, Z₃, và cứ như vậy mãi. Tuy nhiên các số x, y, z là các số tự nhiên nên lại không thể “xuống thang” như thế đến vô tận được, nghĩa là phải có một nghiệm nhỏ nhất. Sự mâu thuẫn này chứng tỏ giả thuyết ban đầu là sai. Vậy, phương trình x⁴ + y⁴ = z⁴ là vô nghiệm.

Ơle đã thử dùng kết quả này như một điểm xuất phát để xây dựng chứng minh tổng quát cho tất cả các phương trình khác. Trước hết ông quyết định xây dựng chứng minh cho trường hợp n = 3.

Để mở rộng chứng minh của Fecma trong trường hợp n = 4 sang n = 3, Ơle đã phải sử dụng đến số ảo (số i, với i² = -1). Số ảo ra đời vào thế kỷ XVI, khi nhà toán học người Ý tên là Rafacllo Bombelli đã vấp phải câu hỏi khó lòng trả lời được là:  bằng bao nhiêu, và ông đã chọn giải pháp là tạo ra một số mới. Nhà toán học người Đức ở thế kỷ XVII là Gottfried Leibniz đã mô tả bản chất của số ảo như sau: “Số ảo là một sự trợ giúp tuyệt đẹp và kỳ diệu của Chúa. Nó là loài lưỡng cư giữa tồn tại và không tồn tại!”.

Số ảo ra đời là một tất yếu toán học nhằm đảm bảo tính đầy đủ của Vũ trụ số. Nhờ có nó mà nhiều bài toán trước đó không thể công phá nổi đã được giải quyết.

Thực ra trong quá khứ, nhiều nhà toán học đã thử áp dụng phương pháp giảm vô hạn cho trường hợp n = 4 để chứng minh tổng quát Định lý lớn Fecma, nhưng mọi ý định mở rộng phép chứng minh đó đều dẫn tới lỗ hổng lôgíc. Bằng cách đưa số ảo vào chứng minh của mình, Ơle đã thành công đối với trường hợp n = 3. Ngày 4-8-1753, trong một bức thư gửi cho nhà toán học Gônbách, Ơle thông báo rằng ông đã áp dụng phương pháp giảm vô hạn của Fecma và đã hoàn tất chứng minh trong trường hợp n = 3. Thế là sau 100 năm, công cuộc chứng minh Định lý lớn Fecma đã tiến được một bước.

Tuy nhiên, chứng minh của Ơle lại không lặp lại được đối với các trường hợp khác. Mọi nỗ lực của ông nhằm làm cho hệ thống lập luận của mình áp dụng được đến vô hạn đều kết thúc thất bại. Vậy là người đã sáng tạo ra tri thức toán học nhiều hơn bất kỳ ai khác trong lịch sử, dù đã làm được một bước đột phá quan trọng, thì cũng đành bất lực trước thách thức của Fecma.

Mặc dù mới chứng minh được cho trường hợp n = 3 và n = 4 thì coi như các nhà toán học đã chứng minh được hàng loạt các trường hợp có n = 8, 12, 16, 20… hay n = 6, 9, 12, 15… vì lẽ đơn giản là một số lũy thừa bậc tám (hoặc bậc sáu) thì cũng coi như một số bình phương có lũy thừa bậc bốn (hoặc bậc ba). Thí dụ:

2⁸ = (2²)⁴ = 4⁴

Chứng minh cho trường hợp n = 3 có tầm quan trọng đặc biệt vì 3 là số nguyên tố. Các số nguyên tố là những viên gạch số hay cũng có thể được coi là những nguyên tử của số hợp, bởi vì tất cả các số khác đều được tạo dựng bằng tích của các số nguyên tố. Các nhà toán học đã xác định rằng để chứng minh Định lý lớn Fecma đối với mọi giá trị n, chỉ cần chứng minh  nó đối với các trường hợp n là số nguyên tố.

Nhưng than ôi, Ơclít đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn!...

Gottfried Wilhelm Leibniz
Sinh	1 tháng 7 (21 tháng 6 Old Style) năm 1646 Leipzig, Electorate of Saxony
Mất	14 tháng 11, 1716 Hannover, Hannover
Ngành	Nhà toán học và Triết gia tự nhiên
Nơi công tác	Đại học Leipzig
Alma mater	Đại học Altdorf
Người hướng dẫn luận án tiến sĩ	Erhard Weigel
Các sinh viên nổi tiếng	Jacob Bernoulli
Nổi tiếng vì	Vi tích phân Giải tích Monad Theodicy Optimism
Ảnh hưởng bởi	Plato, Aristotle, Thomas Aquinas, Francisco Suárez, René Descartes, Baruch Spinoza, Ramon Llull
Ảnh hưởng tới	Nhiều nhà toán học, Christian Wolff, Immanuel Kant, Bertrand Russell, Martin Heidegger
Chữ ký

(Còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------------