Thứ Hai, 19 tháng 7, 2021

TT&HĐ IV - 35/e

                                                           DÃY SỐ TỰ NHIÊN


PHẦN IV:     BÁU VẬT 
 
"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."
NTT 
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 
 
Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng niềm hạnh phúc này.
D. Henziut
 
Những người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc 
 

Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua. 

Rene Descartes

Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. 
 Voltaire 
 
Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách. 
 Plato 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 
 
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
 Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
  
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG III (XXXV): KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.
D. Gilbert

“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”
 Galileo Galilei
“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”
Gottfried Leibniz
"Đấu tranh sinh tồn hun đúc nên tư duy trừu tượng. Tư duy trừu tượng đẻ ra triết học. Khi nhận thức triết học được định lượng và định dạng thì toán học ra đời. Không có toán học trong thực tại, loài người vĩnh viễn mù lòa, nhưng khi toán học bay lạc ra ngoài thực tại, loài người trở nên bất định, hoang mang, phạm sai lầm trong nhận thức Vũ Trụ".
 NTT

 

 

(Tiếp theo) 

Trong quá trình khảo sát Thế giới N, có những khi chúng ta chỉ quan tâm đến một phần (hoặc là toàn bộ) số lượng “vạn vật” trong Thế giới ấy mà không cần quan tâm tới số lượng cụ thể của một vật là bao nhiêu. Điều đó dẫn đến việc phải đếm các vật và các vật đó dù to nhỏ, ít nhiều có thể khác nhau thì cũng đều được coi là những đơn vị đếm. Các đơn vị đếm được coi là bình đẳng với nhau, cho nên có thể “sắp xếp” chúng theo thứ tự nào để đếm cũng được, không nhất thiết phải đặt đơn vị đếm theo cách tăng dần (hoặc giảm dần) số lượng nội tại của chúng.
Giả sử chúng ta quan sát được:
1 vật, 1 vật, 1 vật, …
và đếm:
1      , 2      , 3     , …
rồi gọi tên các vật đó là:
vật thứ nhất, vật thứ nhì, vật thứ ba, …
hay tiện lợi, đơn giản hơn:
vật 1, vật 2, vật 3, …
Như vậy, ta cũng sẽ lập được những phép cộng, chẳng hạn như:
1 (vật) + 3 (vật) = 4 (vật)
và:                    4 (vật) – 3 (vật) = 1 (vật)
Thật là chí lý! Những qui ước toán học vẫn được tuân thủ làm chúng ta hài lòng.
Đang định “xếp bút nghiên” lên đường… đi nhậu (để tự tưởng thưởng cho mình), thì NTT bỗng hiện ra, cười mỉm:
- Đừng có vội sướng nhé! Nếu viết được như thế thì cũng phải viết được:
(vật) 1 + (vật) 3 = vật (4);
Nghe thế, chúng ta bật cười hô hố. Lần đầu tiên chúng ta có cảm nhận rằng NTT, người mà xưa nay chúng ta tôn thờ, nhận làm thầy, lúc này đây, thật là ngoan cố và dốt nát, và cũng là lần đầu tiên, chúng ta có cảm nhận rằng quan hệ thầy - trò giữa chúng ta và NTT đã đổi ngôi. Vì thế mà chúng ta nghếch mũi lên, “dạy” NTT rằng:
- Ôi dào! Viết kiểu gì mà không được! Viết kiểu gì thì kiểu, kết quả toán học vẫn hiển nhiên:
1 + 3 = 4   và   4 – 3 = 1
Thưa NTT, có thể ngài là một nhà am tường trên lĩnh vực triết học, đã khôn ngoan nhặt nhạnh được những “đơn vị” tinh túy nhất trong các học thuyết triết học từ cổ chí kim để tạo nên một thế giới mới về quan niệm, dù chỉ như là bình mới chứa (nhiều và đủ loại)… rượu cũ, nhưng phải cho rằng cũng khá hay ho. Tuy nhiên trong lĩnh vực toán học, hình như ngài còn “ngơ ngác” quá. Có lẽ ngài đã là một chứng minh hùng hồn rằng: đã là nhà triết học thì đừng nên nói chuyện toán học, còn muốn nói chuyện toán học một cách nghiêm túc, có độ chính xác cao thì nên rời bỏ con đường triết học duy tồn, đầy mông lung đi. Chúng tôi có suy nghĩ này, không biết ngài có thừa nhận không: trong thế giới triết học, ngài giống như HTB (Hoàng Tử Bé), trong thế giới lịch sử, ngài giống như BĐ (Ba Đá - Đá cá lăn dưa), trong thế giới toán học, ngài giống như TC (Thầy Cãi - chỉ chăm chăm chờ cơ hội để “thọc gậy bánh xe”).
Trước thái độ và lời nói “trẻ người non dạ” đó (mà sau này chúng ta nhận ra là quá ư xấc xược để rồi xấu hổ và ân hận vô cùng!). NTT, ngạc nhiên thay, chẳng nổi đóa như thường tình, mà trái lại, cứ nhe răng ra cười lặng lẽ, nhìn ra đâu đó xa xôi. Một lúc sau, ông mới ôn tồn bảo:
- Chúng ta, ai cũng vậy, trên bước đường nhận thức khoa học, luôn có quyền được tự cho mình đúng, có quyền hoài nghi và phản biện, vì chính “cái tôi” cũng đòi hỏi như thế. Nhưng dù có tự tin, xác quyết rằng mình đúng đến mấy chăng nữa thì cũng đừng vội “chắc như đinh đóng cột” rằng kẻ khác đã sai. Vì xử sự như thế sẽ dẫn đến những nguy hại khó lường, chẳng hạn trong một cuộc cãi vã đúng - sai xùi bọt mép đến cao độ mà không giải quyết được vấn đề (luôn luôn xảy ra như thế trong đời thường!), có thể do bức xúc quá độ mà những kẻ bị chúng ta “bắt phải sai” nổi điên, nện cho chúng ta một trận “hội đồng” đến tan tác hoa lá cành. Nhưng nguy hại nhất là nếu xử sự như thế, chúng ta sẽ làm cho Tự Nhiên Tồn Tại nổi giận, đá văng chúng ta ra khỏi con đường nhận thức hướng về chân lý đích thực, để rồi không lưu lạc trong cuồng tín dị đoan thì cũng “ngủ” mê man trong “Thái bình Thiên quốc” (nhà thương điên Biên Hòa). Đừng bao giờ cho rằng mình đã thấy hết bầu trời vì rất có thể mình đang ngồi ở đáy giếng nào đó như một… con ếch! Đối với vấn đề cụ thể vừa rồi, ta nói thế không phải vì ta khoe mình giỏi toán mà vì với thói quen bới móc, tìm nhặt những viên ngọc ẩn dấu đâu đó hoặc cũng có thể là những “đơn vị còn xài được” nhưng đã bị lãng quên trong lịch sử, ta đã thấy chính các anh tự làm khó mình khi đưa ra những lập luận kiểu hết sức… trời ơi đất hỡi. Ta chỉ muốn nói thế thôi! Còn các anh có tin hay không tin thì tùy!... Xin chào tạm biệt các nhà toán học “lôm ca lôm côm”! Ta đi đây!...
NTT vụt biến mất, làm chúng ta chưng hửng.
Dù sao thì cũng phải coi kỹ lại mới được. Ở đâu thì cũng có thể đùa được, nhưng không nên đùa với những vấn đề thuộc nền tảng!
Xem xét đi, xem xét lại một hồi, chúng ta bất chợt: “À! Ra thế đấy!”. NTT nói đúng, chúng ta đã tự đưa mình vào một nan đề.
Cả 2 cách viết (của chúng ta và của NTT) đều đúng và chỉ đúng trong phạm vi tính toán số lượng vạn vật của Thế giới N. Còn nếu cùng lúc, chúng ta cũng quan tâm đến số lượng nội tại của mỗi vật và dùng luôn sự tính toán đó để xác định số lượng nội tại của vạn vật, thì cả 2 cách viết đó đều sai. Tuy nhiên, cách viết của NTT sai “ít hơn” cách viết của chúng ta. Cụ thể hơn, chúng ta viết lại cách viết của NTT và phân tích nó:
                              (vật) 1 + (vật) 3 = (vật) 4
Để tiện lợi hơn cho công việc, chúng ta sửa một chút:
                              (vật) 1 + (vật) 2 = (vật) 3
Dễ thấy là cách viết trên xác định rõ ràng những “vật” nào được tham gia vào phép toán (chúng đã được định vị thông qua sự đếm bằng tên gọi: thứ nhất, thứ nhì, thứ ba…)
Theo nguyên tắc: đếm là cộng đơn vị nên chúng ta phải có (về mặt số lượng):
                              (vật) 2 = 2 x (vật) 1
                              (vật) 3 = 3 x (vật) 1
Tuy nhiên, lúc đầu chưa quan tâm tới số lượng nội tại của 3 vật đó (để đơn giản, chúng ta qui ước lúc này: số lượng nội tại là tuyệt đối, nghĩa là bằng tổng của số ) thì như thế là đúng cả, không có vấn đề gì, còn bây giờ, khi chúng ta quan tâm tới cả số lượng nội tại của từng vật nữa thì thấy viết như thế có vẻ là sai. Giả sử rằng trong thực tế, số lượng nội tại của các vật 1, 2, 3 lần lượt là 2, 5, 3 thì thấy:
                      
Điều đó dẫn chúng ta đến nhận định rằng trước khi đếm số lượng vạn vật, chúng ta đã “sắp xếp” sai vị trí cho chúng. Vậy muốn cho phép toán tìm số lượng vạn vật nào đấy cũng được ứng dụng được trong việc xác định cả số lượng nội tại của chúng thì phải “sắp xếp” lại (qui ước lại tên gọi các vị trí trong Thế giới N) sao cho thỏa mãn điều kiện nếu vật ở vị trí thứ k (gọi là x) bằng:
                              X = k x a
Khi chỉ đếm một bộ phận vạn vật nào đó thì có thể sẽ có hiện tượng thiếu vắng vật tương ứng với vị trí thứ tự nào đó. Chúng ta trước hết cứ sắp xếp theo trình tự các vật có số lượng nội tại từ ít đến nhiều. Xong đâu đó, chẳng còn cách nào khác, chúng ta phải qui ước lại số lượng đơn vị nội tại (không còn tuyệt đối nữa) của các vật cho phù hợp với điều kiện nêu trên.
Bây giờ đến lượt cách viết của chúng ta. Có thể viết lại là:
                              1 (vật) + 2 (vật) = 3 (vật)
Cách  viết này, nhìn kỹ, thật “vô ý, vô tứ”. Nó chỉ quan tâm tới số lượng vật nên tự do chọn bất cứ vật nào trong thế giới N để làm đơn vị đếm, biểu diễn bài toán mà không vi phạm luật. Chẳng hạn, chúng ta chọn vật đầu của vế trái có số lượng nội tại là 2 đơn vị, các số lượng nội tại của 2 vật kế tiếp lần lượt là 2 và 3 đơn vị, 3 vật vế phải mỗi vật  đều có số lượng nội tại là 1 đơn vị. Nếu thể hiện đẳng thức trên bằng số lượng nội tại của các vật đã chọn thì nó không còn đúng nữa:
                              2 (đơn vị) + 5 (đơn vị) 3 (đơn vị)
Trong thực tiễn, nghịch lý trên không phải là không phổ biến. Trong thế giới loài vật, chúng ta có thể viết:
                              1 (con vật) + 1 (con vật) = 2 (con vật)
Vì con vịt, con gà, con chó… cũng là con vật nên cũng viết được, dù hơi gượng ép:
                              1 (con vịt) + 1 (con chó) = 2 (con gà)
Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm tới chân của chúng thôi và chúng ta viết:
                              2 (chân) + 4 (chân) = 4 (chân)
thì thật là… buồn cười
Thí dụ vừa rồi thô thiển quá. Chúng ta đưa ra thí dụ khác tinh tế hơn:
Có bài toán (quen thuộc rồi!):
                              1 con gà + 1 con gà = ? con gà
Biết rồi, khổ lắm, nói mãi!... Bằng 2 con gà chứ mấy nữa! Và chúng ta viết:
                              1 con gà + 1 con gà = 2 con gà
Nhưng 4 con gà mang ra làm minh họa cho lời giải bài toán là số kg (Kilôgam – đơn vị khối lượng) khác nhau và nếu biểu diễn lời giải bài toán bằng kg thì có thể chẳng hạn là:
                              2 kg + 3 kg = 1 kg + 1 kg = 2 kg
và hoàn toàn sai
Tất cả những điều trình bày “nhảm nhí” ở trên chỉ muốn nói lên rằng cấu trúc tầng nấc, phân định qui mô từ nhỏ đến lớn, từ hẹp tới rộng, từ thấp đến cao… cũng là một đặc tính của Tồn Tại. Vì lẽ đó mà phép toán cộng vừa có tính phổ quát vừa có tính đặc thù. Một phép cộng cho kết quả đúng đối với những đối tượng nào đó ở tầng nấc thể hiện này thì dưới một quan sát ở góc độ khác, ở tầng nấc qui mô khác, cùng với những đối tượng ấy, sẽ cho ra kết quả khác. Từ đó cũng thấy rằng: quan niệm về sự tồn tại những đơn vị tương đối và tuyệt đối trong Thực Tại khách quan là có thể chấp nhận được. Đơn vị tuyệt đối của một thế giới là đơn vị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất), không thể phân chia của thế giới ấy, là lực lượng làm nên thế giới ấy. Thế giới tuyệt đối của mọi thế giới chính là Tự Nhiên Tồn Tại , cho nên đơn vị tuyệt đối của mọi đơn vị là hạt điểm KG (và cũng chính xác là Vũ Trụ - một trong hai thể hiện của nó!).
Quan niệm trên đã cho thấy rằng đến ngay cả phép toán hiển nhiên nhất, đóng vai trò như tiên đề của mọi tiên đề toán học là:
                              0 + 1 = 1    1 – 1 = 0
cũng không thể chắc chắn được nếu không có qui ước ràng buộc nó. Đứng trước một hiện tượng “hai mang” nào đó, người dân Nam Bộ - Việt Nam thường nói: “Coi dzậy chớ hổng phải dzậy”, nghe… “thiệt đã”!
Từ đẳng thức:
                              1 – 1 = 0,
nếu số 0 lúc này mang ý nghĩa là “không có gì” thì phải hiểu hiện tượng đó là như thế nào trong thế giới N (mở rộng)? Hai hiện hữu tương tác với nhau và cùng biến mất, để lại một sự trống không!
Hiện tượng trên được Triết học duy tồn giảng giải rằng: khi hai lực lượng giống hệt nhau nhưng tương phản nhau (trái nghịch nhau), tác động đối kháng nhau thì tính tương phản giữa chúng bị triệt tiêu. Chúng được cho là lặn đi, “hòa nhập vào nền tảng (không ai chú ý tới, thậm chí là thấy chúng nữa) trong cái thế giới mà hiện hữu (sự nổi trội) được qui ước là sự thể hiện của tính tương phản. Hai chiếc bong bóng xà phòng “đâm sầm” vào nhau và cùng biến mất, nếu có “gửi gắm” lại được điều gì thì có thể may ra là sự ngơ ngác mang chút tiếc nuối những sắc màu lung linh dưới ánh đèn sân khấu trong lòng những khán giả thơ ngây.
Toán học giải thích khác: trong một khu vực nào đó của thế giới N đang được “đặt dưới” sự quan sát, nếu có một đơn vị (hiện hữu) mà bị (trừ) bớt đi một đơn vị thì có nghĩa là đem đơn vị đó ra khỏi khu vực quan sát, và khi đó quan sát chỉ còn thấy một khu vực trống rỗng (số 0)
Biểu diễn hiện tượng “biến mất” của một lực lượng là điều không hề dễ dàng chút nào. Tóan học đã phải trăn trở trong một thời gian dài đằng đẵng, hết cả thời văn minh cổ đại hoặc lâu hơn nữa, mới nhìn thấy được biểu tượng của sự rỗng rang ở ký hiệu “0”. Có thể rằng, một trong những bài toán nan giải nhất của nhân loại đã là:
                              1 – 1 = ?
Sự “so kè” nhau trong chia chác miếng ăn (và quyền lợi) sẽ làm xuất hiện khái niệm “bằng” (nhau) để rồi sau đó là ký hiệu về sự bằng nhau ấy, gọi là “dấu bằng” và ngày nay được viết thống nhất là “=”. Nếu có 2 đơn vị bằng nhau thì biểu diễn toán học là:
                              1 = 1
Viết như thế là đã phân định hai đơn vị ấy thành đối ứng tương phản nhau qua dấu bằng, thuộc về hai “cõi” trái nghịch nhau gọi là âm - dương cách trở. Nếu hai đơn vị ấy là một đôi nam nữ yêu nhau tha thiết thì đó là mối tình tuyệt vọng và bất hạnh vì họ chẳng bao giờ đoàn tụ hạnh phúc được. Họ đã bị ông Trời đày ải bằng cách phải chia lìa đôi lứa, mỗi kẻ một bờ của hai bờ thương nhớ, đứng đó nhìn nhau mà đau xót vì không thể đến với nhau được, dù giữa hai bờ vẫn có đó một chiếc cầu (dấu =) nối liền. Sự liên tưởng làm chúng ta ngậm ngùi nhớ lại mối tình đẫm lệ nhất trong truyền thuyết - mối tình Ngưu Lang - Chức Nữ.
Yêu nhau tha thiết đến cùng cực mà không được phép đoàn tụ. Hàng năm, chỉ vào dịp tháng 7 (âm lịch) họ mới được ngắm nhìn nhau ở cầu Ô Thước, được “gần nhau trong tấc gang, mà đất - trời cách biệt”. Và cứ mỗi độ như thế, tủi hờn cho số phận mình, hai người vừa nhìn nhau vừa khóc lóc tơi bời (dai dẳng hơn nhiều so với cuộc khóc của Biện Hòa trong chuyện “Hòa thị bích”!). Nước mắt của họ tuôn xối xuống trần gian thành những trận mưa dầm dề mà dân gian gọi là mưa Ngâu.
Xưa kia, chúng ta cứ thắc mắc hoài vì sao sông Ngân đã có cầu Ô Thước bắc qua mà ông Trời lại cấm cản, không cho Ngưu Lang - Chức Nữ được hưởng cái quyền thiêng liêng mà trong Tuyên ngôn của nước Mỹ cũng có ghi là “…được mưu cầu hạnh phúc”. Hồi đó, chúng ta đã viết vào nhật ký thế này:
                              “Lạ thay Chức Nữ - Ngưu Lang
                              Muôn năm khóc mãi dở dang vuông tròn
                              Đố ai ngăn được nguồn cơn
                              Cho Thu ráo hoảnh không còn mưa Ngâu”
Còn bây giờ, nhờ đẳng thức 1 = 1 mà chúng ta đã thấu tỏ được nỗi tuyệt vọng khôn cùng của đôi vợ chồng Ngâu ấy.
Khi chưa có cầu Ô Thước, Ngưu Lang và Chức Nữ đâu phải chịu cảnh chia lìa. Khi cầu Ô Thước đã được một công ty “vô trách nhiệm, vô hạn” nào đó cho “hợp long”, nối hai bờ sông Ngâu, thì cũng là lúc nó (tưởng là làm cho giao thông thuận tiện hơn, nhưng té ra lại) phân tách hai bờ thành hai cõi âm, dương cách biệt, làm cho Chức Nữ và Ngưu Lang vĩnh viễn ai ở cõi nấy, chỉ còn có thể ngóng trông nhau “ở hai đầu nỗi nhớ” và… khóc sướt mướt.
Thật vậy, khi không có dấu bằng thì hai số 1 trong đẳng thức nói trên là cùng một xứ sở và có thể mô tả:
1    1
Nếu cộng chúng với nhau, sẽ cho ra kết quả là 2:
1 + 1 = 2
Khi giữa chúng xuất hiện dấu bằng thì chúng không còn ở chung một xứ sở nữa mà ở hai thế giới trái nghịch, gọi là âm, dương của nhau:
1 = 1
Nếu cố tình đưa số 1 ở bất cứ bên nào sang phía bên kia dấu bằng thì lập tức số 1 ấy phải xuất hiện thêm một dấu hiệu nào đó biểu thị sự trái nghịch đối với số 1 (đang) ở xứ sở của nó. Người ta ký hiệu sự trái nghịch đó bằng dấu “-” và gọi là “âm” (cũng gọi là trừ, bớt đi), và nếu cộng chúng lại, rồi diễn tả một cách toán học thì:
1 + (-1) = 0
(Rõ ràng là cả hai số 1 lúc đầu, đến đây lập tức biến mất!)
Có thể phát biểu: khi 1 đơn vị cộng với 1 đơn vị thì sẽ có 2 đơn vị; khi 1 đơn vị cộng với 1 đơn vị âm thì sẽ có 0 đơn vị (số 0), đã có đơn vị âm thì đương nhiên cũng phải có số âm.
Để thấy rõ hơn nữa sự xuất hiện số âm trong quá trình tính toán là điều hiển nhiên, chúng ta nói thêm:
Từ 1=1 mà có 1+(-1)=0 (hay 1-1=0) và nếu làm được như thế thì từ 1-1=0 cũng có thể viết được -1=-1. Số -1 đứng một cách độc lập như thế thì chỉ có thể quan niệm là… số âm.
Nhưng nếu viết như thế thì sao không viết được +1, với ý nghĩa là đối lập, là thể tương phản của -1 mà thực tại vật lý đã xác nhận là thực sự có hiện tượng 2 yếu tố đối nghịch của 2 vật nào đó tác động (tương tác) nhau thì cả 2 yếu tố đó cùng bị triệt tiêu? Nếu thế, cũng phải có diễn tả toán học:
+1 – 1 = 0
Với qui ước +1 là thể tương phản đối kháng của -1 và gọi thể ấy là “dương” (ký hiệu là: “+”).
Có thể ký hiệu âm, dương bằng cách khác để phân biệt với cộng và trừ, nhưng chúng ta tuân theo… tập quán cổ truyền.
Vậy +1 có khác 1 không khi: 1-1 cũng bằng 0.
Toán học truyền thống cho rằng không khác và có thể viết:
+1 = 1
Còn chúng ta, như đã từng “thổ lộ” trước đây, cho rằng giữa chúng là có sự khác biệt. Khi Thế giới N được mở rộng bằng việc thêm cho nó số 0, thì Thế giới ấy sẽ tiếp tục được mở rộng vì nó đương nhiên có thêm số âm rồi số dương. Lúc này, trong Thế giới N cùng tồn tại số tự nhiên, số không, số âm và số dương. Sự xuất hiện số âm, dương đã làm cho Thế giới N mở rộng biến đổi “ghê gớm” so với Thế giới N thuở ban đầu, cho nên để dễ dàng hơn trong quá trình nghiên cứu toán học, cần phải đặt cho nó một cái tên khác, hay có thể nói là gắn cho nó một nhãn mác mới nhằm mục đích phân biệt với Thế giới N nguyên thủy. Chúng ta gọi Thế giới N mở rộng, có thêm số âm, dương là Thế giới số nguyên (ký hiệu là Z).
Khi chúng ta viết 2 – 1 = 1 thì có nghĩa rằng chúng ta đang “nói về” Thế giới N; khi chúng ta viết +2 – 1 = +1 thì có nghĩa rằng chúng ta đang nói về Thế giới số nguyên.
Thực ra số âm hay số dương đều là số tự nhiên. Thực tại khách quan đã trình hiện ra trước quan sát tính phân lập tương phản của nó. Vì vậy mà trong thực tại ảo cũng phải “tiếp thu” tính chất ấy. Điều đó dẫn đến việc: dưới “cái nhìn” của nhận thức, số tự nhiên cũng phải bị phân lập ra thành 3 lực lượng số âm, số dương và số tự nhiên (3 lực lượng này là bằng nhau về số lượng khi N được cho là vô hạn). Lúc này lực lượng số tự nhiên được cho là vừa dương vừa âm, hay không dương không âm, đứng giữa hai lực lượng âm và dương, “ở đó” cho sự phân biệt âm, dương có khả năng.
Với cách nhìn như thế thì các số âm, dương và số tự nhiên là có thể phân biệt được một cách tương đối. Để biểu diễn sự khác biệt đó chúng ta ký hiệu:
Giả sử a là một số tự nhiên trong Thế giới N thì:

trong Thế giới Z. Tuy nhiên vì Thế giới N vừa là bộ phận vừa là nền tảng làm nên Thế giới Z cho nên a và ao có bản chất như nhau. Khi chỉ nói vế thế giới Z thôi thì dùng ký hiệu a để biểu thị là một số tự nhiên cũng được.
Khi quan sát của nhận thức chỉ chú tâm tới số âm và số dương thôi ngoài ra không còn thấy cái gì khác nữa thì tính âm, dương trở nên nổi trội, hiện hữu. Lúc đó các số tự nhiên (không âm, không dương) lặn vào nền tảng cùng với các số 0 của chúng trong Thế giới N: Chẳng hạn, nếu có 2 đơn vị tương phản cộng với nhau, chúng ta sẽ có kết quả là 0, và có thể biểu diễn điều đó bằng toán học:
Thực ra, không phải hai đơn vị tương phản đó khi cộng với nhau sẽ bị triệt tiêu hoàn toàn, làm xuất hiện Hư Vô, mà chúng chỉ mất tính tương phản (âm, dương), tính nổi trội, do đó mà không còn hiện hữu nữa, biến thành hai đơn vị tự nhiên bình thường, “lặn xuống” nền tảng. Vậy, để biểu diễn quá trình đó cho tường minh, chúng ta có thể viết:

Thế giới Z cũng nhận phép cộng làm phép toán tiên đề cho nó và như vậy các phép toán có thể có của Thế giới Z cũng nhận hệ thống 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia làm cơ sở cho chúng. Tương tự như đối với Thế giới N, một bài giải toán đúng của Thế giới Z phải cho ra kết quả nguyên và bài toán phải có tính thuận nghịch.
Có thể thấy các phép toán trong Thế giới N là trường hợp riêng của các phép toán trong Thế giới Z.
Giả sử có số 1 trong Thế giới Z, thì đó là số tổng quát, nó có thể là số . Do vậy, khi chúng ta viết 1 + 0 = 1 thì có thể có 3 trường hợp xảy ra là:

Nếu có hai số 1, thì chúng ta cũng đặt ra được những “lời giải” toán từ “lời giải” tổng quát: 1 + 1 = 2, chẳng hạn:

Ở đây có một biểu hiện rất đáng chú ý là vì có quyền được ưu tiên lựa chọn thực - ảo mà có thể qui ước số dương (hoặc số âm) cũng là số tự nhiên và có thể xóa hai ký hiệu dương (+) (hoặc ký hiệu âm (-)) và tự nhiên (0) trên đầu các con số đi mà không làm suy suyển các kết quả bài toán. Do toán học đã chọn số dương cũng là số tự nhiên nên mới có cách viết tương đương với +2 – 2 = 0 là 2 – 2 = 0. Dù rằng chúng là những bài toán khác nhau về bản chất, vì:
        
và (hoặc không triệt tiêu hoặc không xác định được (!), hoặc cũng sẽ bằng 0 nếu là sự mô tả hiện tượng là có một số 2 (tự nhiên) trong khu vực đang quan sát và mang nó ra khỏi vùng quan sát đó.
Bài toán 2 – 3 = ? là vô nghiệm trong Thế giới N (vì nó không có quá trình thuận). Nhưng bài toán đó sẽ giải được trong Thế giới Z vì nó chính là bài toán thuận:
           
Và quá trình nghịch của nó là:
          
hoặc: (số  đứng “một mình ên” thì tương phản với “ai” nữa (?), cho nên nó cũng chính là 2 (!).Đùa thế thôi chứ chúng ta đã qui ước ngầm trong bài toán là 2 = ).
Chúng ta tiếp tục nói đến phép nhân và chia (và cả lũy thừa, khai căn) trong Thế giới Z.
Bài toán tổng quát: 1 x 1 = 1 sẽ làm xuất hiện các bài toán cụ thể sau:

 
 Để có thể trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy nghĩ đến trường hợp:
1 (con gà) x 1 (con gà) = ?
Và chúng ta đã thấy rằng phép toán đó biểu diễn hai hiện tượng khác nhau về bản chất, do đó cho ra hai kết quả là:
- 12 con gà (là số đếm về con gà chứ không phải là con gà!).
- 12 (con gà)2 (là một đơn vị mới được tích hợp từ hai con gà!).
Ở góc độ khác, trong một thế giới toàn dương, sẽ không nhìn thấy sự tương phản nữa, do đó những đơn vị nguyên dương hiện nguyên hình là số tự nhiên và kết quả phép tính chính là . Chỉ khi so sánh nó với số âm, kết quả đó mới trở về là một số dương ().
Tương tự, đối với phép tính x , cũng không thể phân biệt được sự tương phản nên kết quả của nó có thể được coi là  và chỉ khi so sánh nói với số dương, mới thấy được tính âm của nó ().
Từ suy nghĩ đó chúng ta thấy rằng hai bài toán vừa nêu, mỗi bài đều phải có 2 kết quả, tùy điều kiện thể hiện mà kết quả nào đó được lựa chọn cho phù hợp:
Toán học ngày nay không đồng ý như vậy mà vẫn khăng khăng là:
              
Một câu hỏi vô cùng “ác hiểm” được đặt ra: chúng ta có dám đối đầu với một nền toán học hùng vĩ, được xây dựng nên từ những bậc trưởng lão danh bất hư truyền như Ơle, Gauxơ, Canto, Côhen… không?
 
(Còn tiếp)
vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)