Thứ Bảy, 10 tháng 7, 2021
TT&HĐ IV - 34/e
Lịch Sử Toán Học - Nền Tảng Của Mọi Môn Khoa Học Khác
PHẦN IV: BÁU VẬT
"Dọc
đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm
trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt
lên, đánh bóng..."
NTT
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.”
Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi
tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả
những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư
sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu
với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương
hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng
niềm hạnh phúc này.
D. Henziut
D. Henziut
Những
người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao
thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự
trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc
Ngạn ngữ Trung Quốc
Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua.
Rene Descartes
Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. Voltaire
Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả
mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai
nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết
hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách.
Plato
“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.”
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi
CHƯƠNG II: Ngọc Bích
“Bằng
cách ở mỗi hiện tượng tự nhiên của cái riêng lẻ, cái qui ước, và ngẫu
nhiên, chúng ta hướng mắt tới cái phổ quát, cái khách quan và tất yếu,
thì chúng ta tìm cái độc lập đằng sau cái lệ thuộc, cái tuyệt đối đằng
sau cái tương đối, cái vĩnh cửu đằng sau cái vô thường. Và như tôi nhìn
thấy, cái khuynh hướng này biểu lộ không những trong vật lý học, mà còn
trong mỗi ngành khoa học, vâng không chỉ trên lĩnh vực khoa học, mà còn
trên lĩnh vực của cái thiện và cái mỹ”.
Max Planck
"Mọi phát kiến của nhân loại đều có bàn tay hướng dẫn của Toán học, bởi vì chúng ta không thể có một người chỉ đường nào khác".
Charles Darwin
"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein
"Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm".
Gottfried Wilhelm Leibniz
"Toán học là kết quả của lao động sáng tạo, được phát sinh từ cố gắng nhận thức tự nhiên vì cuộc sống. Nó được xây dựng nên từ sự khám phá những biểu hiện có tính qui luật của sự vận động và biến hóa của vật chất. Nhưng con người đã không ngờ rằng họ đồng thời cũng xây dựng nên một khối hoa cương toán học mà ở dạng thuần túy, nghĩa là vô vật chất hóa, nó còn nói về sự chuyển hóa không gian, tức là nói về vận động của Tự Nhiên Tồn Tại."
NTT
(Tiếp theo)
***
Có
thể nói bước đầu tiên của nhận thức toán học (định tính kèm theo định
lượng) là số học, là cân, đong, đo, đếm... Khi đã có công cụ số học (dù là ở trình độ thêm
bớt, chia chác sơ khai) và trước sự gợi ý trực quan của đa dạng hình tượng vạn vật
trong thiên nhiên mà nhận thức thế giới “một cách” hình học (định tính,
định lượng đi đôi với định dạng) ra đời. Từ đó số học và hình học sơ cấp, cùng
với sự phát triển của chúng đã đóng vai trò như hai thể cơ sở lưỡng phân
mà cũng lưỡng hợp, hòa quyện vào nhau, như hồn và xác để tác thành nên
một khối ngọc bích là Toán học ứng dụng ngày nay, trong sáng hết mực, toàn vẹn hết mực mà cũng
huyền ảo, kỳ bí hết mực.
Điều lạ lùng nhất đối với toán học là ở chỗ nó vừa hoàn hảo vừa đầy khiếm khuyết và quyết không thể vắng được trên con đường tìm hiểu thế giới khách quan và sáng tạo của nhân loại. Có thể nói, Toán học là bộ phận đầu tiên của nhận thức lý tính, đồng thời là công cụ vô giá của nhận biết rõ ràng khoa học tự nhiên. Nếu cho rằng vật lý học là nền tảng của các ngành khoa học - kỹ thuật thì toán học là “nền tảng của nền tảng” trong nhận thức khoa học. Không có toán học dẫn đường, loài người không thể nhận thức định lượng thế giới khách quan, nghĩa là không có vật lý học. Nhờ có toán học mà vật lý học trở thành khoa học đầu ngành, sánh đôi cùng triết học (nhận thức Vũ Trụ thuần túy bằng suy luận phán đoán định tính) mở đường cho loài người đi nhận thức và có khả năng nhận thức được thực tại khách quan một cách chắc chắn (nói về sự vận động và chuyển hóa chung nhất của các sự vật - hiện tượng trong Vũ Trụ một cách định lượng).
Xuất hiện từ rất sớm nhưng cho tới thời điểm cách đây hơn 2500 năm thì
các quy luật toán học xung quanh vấn đề các khối đa diện đều Platon mới
lần đầu tiên được đề cập tới và nghiên cứu sâu rộng. Và cho tới khi nhà
triết học, nhà thiên văn học và cũng là nhà hình học nổi tiếng Hy Lạp –
Platon (khoảng 427 – 347 TCN) tìm ra rằng chỉ có 5 khối đa diện đều thì
chúng được mới biết đến 5 đa diện đều tetrahedron, hexahedron (lập
phương), octahedron, dodecahedron và icosahedron. với tên là Các khối
Platon. Hơn thế nữa một điều khá thú vị là theo Plato 5 đa diện đều này
còn là đại diện cho các yếu tố cơ bản trong vũ trụ:
Và cơ sở để chúng ta có thể chứng minh rằng chỉ tồn tại duy nhất 5 đa diện đều Platon đó chính là một định lý cổ điển của Leonhard Euler (1707 – 1783) - một nhà toán học và cũng là một nhà vật lý học người Thụy Sĩ. Ông được xem như là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất trong thế kỉ 18 với những đóng góp quan trọng trong vật lý và toán học.
Điều lạ lùng nhất đối với toán học là ở chỗ nó vừa hoàn hảo vừa đầy khiếm khuyết và quyết không thể vắng được trên con đường tìm hiểu thế giới khách quan và sáng tạo của nhân loại. Có thể nói, Toán học là bộ phận đầu tiên của nhận thức lý tính, đồng thời là công cụ vô giá của nhận biết rõ ràng khoa học tự nhiên. Nếu cho rằng vật lý học là nền tảng của các ngành khoa học - kỹ thuật thì toán học là “nền tảng của nền tảng” trong nhận thức khoa học. Không có toán học dẫn đường, loài người không thể nhận thức định lượng thế giới khách quan, nghĩa là không có vật lý học. Nhờ có toán học mà vật lý học trở thành khoa học đầu ngành, sánh đôi cùng triết học (nhận thức Vũ Trụ thuần túy bằng suy luận phán đoán định tính) mở đường cho loài người đi nhận thức và có khả năng nhận thức được thực tại khách quan một cách chắc chắn (nói về sự vận động và chuyển hóa chung nhất của các sự vật - hiện tượng trong Vũ Trụ một cách định lượng).
Platon (khoảng 427 – 347 TCN)
| Năm khối đa diện đều | ||||
|---|---|---|---|---|
| Tứ diện đều | Khối lập phương | Khối bát diện đều | Khối mười hai mặt đều | Khối hai mươi mặt đều |
 (Xem hình quay) |
 (Xem hình quay) |
 (Xem hình quay) |
 (Xem hình quay) |
 (Xem hình quay) |
| Yếu tố | Platonic solid |
|---|---|
| Lửa | Tetrahedron |
| Nước | Icosahedron |
| Không khí | Octahedron |
| Trái đất | Hexahedron |
| Vũ trụ | Dodecahedron |
Và cơ sở để chúng ta có thể chứng minh rằng chỉ tồn tại duy nhất 5 đa diện đều Platon đó chính là một định lý cổ điển của Leonhard Euler (1707 – 1783) - một nhà toán học và cũng là một nhà vật lý học người Thụy Sĩ. Ông được xem như là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất trong thế kỉ 18 với những đóng góp quan trọng trong vật lý và toán học.
| Leonhard Euler | |
|---|---|
Chân dung do Johann Georg Brucker vẽ
|
|
| Sinh | 15 tháng 4, 1707 Basel, Thụy Sĩ |
| Mất | 18 tháng 9 [cũ 7 tháng 9] năm 1783 Sankt-Peterburg, Đế quốc Nga |
| Nơi cư trú | Vương quốc Phổ Đế quốc Nga Thụy Sĩ |
Tại
sao toán học vừa hoàn hảo vừa không hoàn hảo? Nó hoàn hảo có lẽ vì với
bản chất lôgíc “kiên quyết và đầy ý chí” của nó, sự tồn tại của các biểu
thức, phương trình… cùng với kết quả tính toán của chúng là phù hợp với
chân lý khách quan, khó lòng mà phản bác được. Một thêm một nữa là hai,
hai lần hai phải là bốn, đó là những kết quả phù hợp với thực tại theo
trực giác của con người và đơn giản đến độ không công nhận chúng là điều quá ư
phi lý không ai có thể chịu đựng nổi. Ấy vậy mà cũng chính vì thế nên
toán học cũng không hoàn hảo. Trong cái thế giới khách quan mà con người
có thể quan sát hay cảm nhận được, không bao giờ xuất hiện ra các con
số thuần túy cả (chúng chỉ có thể tồn tại trong thế giới ảo!). Khi trong
thực tại đó đã không thể có số 1 thì cũng không thể xuất hiện số 2, do
vậy mà 1 thêm 1 bằng 2 là không phù hợp với thực tại. Thêm một thí dụ nữa là chúng ta không bao giờ quan sát thấy các loại không gian toán học trong thực tại vì chúng chỉ là trừu tượng! Rõ ràng trong thực tại không thể thấy được không gian véctơ n chiều. Hãy ngẫm nghĩ kỹ
lại mà xem!
Chắc sẽ có nhiều người cười mỉa mai rằng: các con số dù sao cũng có nội
dung nhưng vì nội dung đó là ẩn dấu nên không thấy được (sự vô cực!?).
Rất đúng! Như chúng ta quan niệm thì trong Vũ Trụ không có gì ngoài
Không Gian, tất cả các sự vật - hiện tượng chỉ là sự biểu hiện khác nhau
của Không Gian trước quan sát, nhận thức và đều có thể qui về Không
Gian. Vì vậy, ở một góc độ nào đó 1 KG thêm 1 KG bằng 2 KG là có lý, phù hợp với thực tại và có thể cảm nhận được một cách trực giác! Dù có là như thế chăng nữa thì toán học vẫn
phiến diện vì đã bộc lộ ra tính không tổng quát hoàn toàn của nó trong
việc mô tả thực tại...
Con
người chỉ có thể nhận thức thực tại khách quan bằng con đường thông qua
khái niệm. Nhưng khi thực tại khách quan đã thông qua khái niệm ngôn
ngữ rồi thì nó không còn “đúng là” Thực Tại Khách Quan đích thực nữa và
có thể gọi nó là thực tại khách quan của nhận thức, hay có thể gọi vui
là “thực tại hạng hai”. Thực tại hạng hai luôn mang tính siêu hình và
không đầy đủ. Toán học là một bộ phận ngôn ngữ (hay chữ viết?) đặc thù
của con người dùng để mô tả thực tại khách quan, nên dù có xuất sắc đến
mấy thì thực tại khách quan “của nó”, do nó mô tả dĩ nhiên là đã bị biến
dạng và thiếu sót hoặc phần nào dư thừa.
Mặt khác, điểm yếu của tư duy trừu tượng và cũng chính của toán học là đã hình dung ra, đã suy lý ra, đã tưởng tượng ra những thứ, những hiện tượng mà thực tại khách quan không có, ngoài tầm của quan sát thực tại, nhưng cứ cho rằng đó là thực tại mười mươi, để rồi xây dựng nên những lý thuyết vô cùng huyễn hoặc. Thí dụ quan niệm cho rằng, hai đường thẳng song song gặp nhau ở vô tận. Sao chúng ta giả dụ được như thế, mặc dù không quan sát được? Sao chúng ta không lập luận rằng, ở vị trí chúng ta cũng là cõi vô tận so với cõi vô tận và hai đường thẳng song song rõ ràng là không gặp nhau và như vậy, tiên đề 5 hiển nhiên đúng đắn? Thêm thí dụ nữa, trong không gian Ơclít, ở cõi vô cùng nhỏ, điểm là một thực thể nhỏ vô tận (đến nỗi không có thể tích!), nghĩa là ở đó không gian vẫn tuân theo các định lý của Ơclít. Thế nhưng chú ta có đến được đó đâu để khẳng định điều đó? Có lẽ, toán học chỉ chắc chắn trong phạm vi thực tiễn ứng dụng, ngoài phạm vi đó, nhất là khi đóng vai trò như một triết học đi giải thích Vũ Trụ, thì nó không còn chắc chắn nữa.
Cái thiếu sót nghiêm trọng nhất của mô hình thực tại và sự biến hóa của mô hình đó do toán học xây dựng nên là chỉ thể hiện ra được mặt Không Gian của Thực Tại đích thực một cách thuần túy mà không thể hiện được mặt Thời Gian của nó. Chúng ta đều biết Thời Gian, dù có phần huyễn hoặc hơn Không Gian, nhưng sự hiển hiện của nó trước nhận thức, trong cảm giác là đương nhiên, không thể chối bỏ được. Nếu thực tại không biểu hiện được tính thời gian ra trước nhận thức thì đó là thực tại hư vô (không phải Hư Vô!), hoặc toàn bộ sự vật - hiện tượng của thực tại đó, kể cả con người đang quan sát và nhận thức, đều phải bất động, do đó mà cũng chẳng có quá trình nào cả, kể cả sự suy tư toán học. Nói cách khác, một thực tại đầy biến động mà không tồn tại Thời Gian là không thể hình dung được. Không Gian và Thời Gian là 2 biểu hiện của sự đối ứng tương phản, lưỡng phân nhưng cũng hòa quyện nhau thành một thống nhất của: tồn tại và không tồn tại, thực và ảo, thường hằng và biến đổi, vĩnh cửu và tức thời… trước nhận thức. Nhà khoa học Minkowski có nói: “Từ giờ phút này trở đi, không gian xét riêng và thời gian xét riêng chỉ còn là cái bóng, và chỉ có một thể liên kết của cả hai mới giữ vững được tính độc lập”. Minkowski nói đúng, nhưng chúng ta không hiểu theo ý ông cũng như theo ý các nhà vật lý học ngày nay mà hiểu rằng: nói đến Tự Nhiên Tồn Tại thì phải nói đến không gian, nhất cử nhất động của không gian phải có mặt thời gian. Nếu không gian là thể xác thì thời gian là linh hồn. Tuy nhiên chúng không thể hòa quyện vào nhau, chuyển hóa lẫn lộn nhau, chúng vẫn được phân biệt rạch ròi, như hình với bóng. Rõ ràng không có thời gian thì không có Vũ Trụ, nhưng có thời gian thì Vũ Trụ trở nên rắm rối làm sao! Vậy thời gian là gì? Thật đơn giản, thời gian là biểu hiện của vận động.
Mặt khác, điểm yếu của tư duy trừu tượng và cũng chính của toán học là đã hình dung ra, đã suy lý ra, đã tưởng tượng ra những thứ, những hiện tượng mà thực tại khách quan không có, ngoài tầm của quan sát thực tại, nhưng cứ cho rằng đó là thực tại mười mươi, để rồi xây dựng nên những lý thuyết vô cùng huyễn hoặc. Thí dụ quan niệm cho rằng, hai đường thẳng song song gặp nhau ở vô tận. Sao chúng ta giả dụ được như thế, mặc dù không quan sát được? Sao chúng ta không lập luận rằng, ở vị trí chúng ta cũng là cõi vô tận so với cõi vô tận và hai đường thẳng song song rõ ràng là không gặp nhau và như vậy, tiên đề 5 hiển nhiên đúng đắn? Thêm thí dụ nữa, trong không gian Ơclít, ở cõi vô cùng nhỏ, điểm là một thực thể nhỏ vô tận (đến nỗi không có thể tích!), nghĩa là ở đó không gian vẫn tuân theo các định lý của Ơclít. Thế nhưng chú ta có đến được đó đâu để khẳng định điều đó? Có lẽ, toán học chỉ chắc chắn trong phạm vi thực tiễn ứng dụng, ngoài phạm vi đó, nhất là khi đóng vai trò như một triết học đi giải thích Vũ Trụ, thì nó không còn chắc chắn nữa.
Cái thiếu sót nghiêm trọng nhất của mô hình thực tại và sự biến hóa của mô hình đó do toán học xây dựng nên là chỉ thể hiện ra được mặt Không Gian của Thực Tại đích thực một cách thuần túy mà không thể hiện được mặt Thời Gian của nó. Chúng ta đều biết Thời Gian, dù có phần huyễn hoặc hơn Không Gian, nhưng sự hiển hiện của nó trước nhận thức, trong cảm giác là đương nhiên, không thể chối bỏ được. Nếu thực tại không biểu hiện được tính thời gian ra trước nhận thức thì đó là thực tại hư vô (không phải Hư Vô!), hoặc toàn bộ sự vật - hiện tượng của thực tại đó, kể cả con người đang quan sát và nhận thức, đều phải bất động, do đó mà cũng chẳng có quá trình nào cả, kể cả sự suy tư toán học. Nói cách khác, một thực tại đầy biến động mà không tồn tại Thời Gian là không thể hình dung được. Không Gian và Thời Gian là 2 biểu hiện của sự đối ứng tương phản, lưỡng phân nhưng cũng hòa quyện nhau thành một thống nhất của: tồn tại và không tồn tại, thực và ảo, thường hằng và biến đổi, vĩnh cửu và tức thời… trước nhận thức. Nhà khoa học Minkowski có nói: “Từ giờ phút này trở đi, không gian xét riêng và thời gian xét riêng chỉ còn là cái bóng, và chỉ có một thể liên kết của cả hai mới giữ vững được tính độc lập”. Minkowski nói đúng, nhưng chúng ta không hiểu theo ý ông cũng như theo ý các nhà vật lý học ngày nay mà hiểu rằng: nói đến Tự Nhiên Tồn Tại thì phải nói đến không gian, nhất cử nhất động của không gian phải có mặt thời gian. Nếu không gian là thể xác thì thời gian là linh hồn. Tuy nhiên chúng không thể hòa quyện vào nhau, chuyển hóa lẫn lộn nhau, chúng vẫn được phân biệt rạch ròi, như hình với bóng. Rõ ràng không có thời gian thì không có Vũ Trụ, nhưng có thời gian thì Vũ Trụ trở nên rắm rối làm sao! Vậy thời gian là gì? Thật đơn giản, thời gian là biểu hiện của vận động.
Đã
có lần, kể cũng lâu lắm rồi, chúng ta từng mường tượng ra mối quan hệ
mật thiết giữa thể tích Không Gian (lượng KG) và một thứ gọi là Năng
Lượng (có thể gọi là lượng Vận Động?), cùng với một biểu thức thể hiện
sự chuyển hóa qua lại giữa chúng. Chúng ta viết lại biểu thức đó:
Đến
tận bây giờ đây, chúng ta vẫn linh cảm điều suy tưởng đó là đúng đắn.
Có hay không có quan sát và nhận thức (kiểu con người) thì Tự Nhiên vẫn
cứ Tồn Tại và Tồn Tại vẫn cứ Tự Nhiên. Có thể rằng khi không có quan sát
và nhận thức thì cũng coi như không có Thời Gian và Thực Tại ứng xử
tương tự như toán học đã mô tả (nghĩa là thuần túy Không Gian) và trước
quan sát, nhận thức thì lại ứng xử tương tự như vật lý học đã mô tả
(nghĩa là giống như Không Gian và Thời Gian hòa quyện vào nhau cùng thi triển).
Biểu thức vừa viết lại ở trên còn có thể được viết dưới dạng:
và
chúng ta đi đến một phát biểu “nổi da gà”: Vật lý học là toán học đã
được thời gian hóa; hay: khi thổi hồn thời gian vào toán học, nó sẽ
chuyển hóa thành vật lý học.
Trong “Lời xin lỗi của một nhà toán học”, G. H. Hardy đã viết có phần ảm đạm:
“Tôi
sẽ chỉ nói rằng nếu một bài toán chơi cờ, nói theo nghĩa thô thiển, là
“vô dụng”, thì tương tự điều đó cũng đúng với phần lớn những lĩnh vực
toán học đẹp nhất… Tôi chưa bao giờ làm được bất kỳ cái gì “có ích” cả.
Chẳng có khám phá nào của tôi, dù trực tiếp hay gián tiếp, đã làm hoặc
có thể sẽ làm thay đổi một mảy may nào theo hướng tốt hoặc xấu những thú
vui ở thế gian. Đánh giá theo tất cả những tiêu chuẩn thực tiễn, thì
giá trị cuộc đời toán học của tôi là số 0 và dẫu sao thì bên ngoài toán
học nó cũng là tầm thường. Tôi chỉ có một cơ hội để tránh khỏi bị phán
xét là vô dụng, nếu người ta thấy rằng tôi đã tạo ra một điều đáng được
sáng tạo. Việc tôi đã sáng tạo ra được một cái gì đó là điều không thể
phủ nhận, vấn đề chỉ là giá trị của nó mà thôi”.
| Godfrey Harold Hardy | |
|---|---|
|
|
| Sinh | 7 tháng 2 năm 1877 Cranleigh, Surrey, Anh |
| Mất | 1 tháng 12, 1947 (70 tuổi) Cambridge, Cambridgeshire, Anh |
| Ngành | Toán học |
| Nơi công tác |
|
Hay nhà toán học E. C. Tithmarsch có lần nói: “Có thể việc biết số Pi 
là số vô tỷ chẳng có ứng dụng gì trong thực tiễn, nhưng nếu chúng ta có
thể biết được điều đó mà chúng ta lại không biết thì đó là điều không
thể dung thứ được”.
là số vô tỷ chẳng có ứng dụng gì trong thực tiễn, nhưng nếu chúng ta có
thể biết được điều đó mà chúng ta lại không biết thì đó là điều không
thể dung thứ được”.
Theo
chúng ta thì toán học không đến nỗi “bi thảm” như thế. Vì bắt đầu là sự
đếm, toán học luôn có ý nghĩa thực dụng lớn lao, khi vút lên tầng cao
suy lý, nó hóa thành truyền thuyết, huyền thoại mang tính triết học về
sự lung linh biến ảo của Tự Nhiên Tồn Tại. Tính ứng dụng của toán học,
đã từng như ngọn lửa thiêng liêng soi sáng lòng người thời cổ đại và mãi
mãi tỏa sáng, soi đường cho loài người tiếp tục đi khám phá thực tại,
thấy được tất cả những vùng thâm sơn cùng cốc của Tự Nhiên, đến được,
quan chiêm trực diện được cả những vùng xa xôi nhất của Vũ Trụ: Cõi Vô
Tận.
Phải
nói rằng tương tự như vai trò của dưỡng khí, nước uống, lương thực đối
với đời sống, nhận thức sẽ chết ngạt nếu không có tư duy, sẽ chết khát
nếu không có toán học và sẽ chết đói nếu không có vật lý học. Ngày nay,
mấy ai tin được cơ sở đầu tiên để so sánh định ước thẩm mỹ chính là toán
học. Tại sao một bức tranh được cho là kiệt tác? Vì trước hết nó có
khuôn khổ hợp lý, các đường nét, mảng màu trong đó được triển khai hợp
lý làm bật lên sự sống động thiêng liêng của tạo vật. Tại sao một kiến
trúc được cho là đẹp đẽ? Vì trước hết các hình khối bộ phận đã cân xứng
với tổng thể và toàn bộ đã tuân theo những tỷ lệ kích thước làm nên sự
hài hòa “hợp nhãn”. Tại sao một người mẫu nữ được cho là tuyệt thế giai
nhân? Vì trước hết cơ thể cũng như khuôn mặt của người đó đã thỏa mãn
những chỉ tiêu (đã được nghiệm chứng) về số đo, dáng vóc và đường nét.
Quan niệm thẩm mỹ sẽ mù quáng, rối loạn và trở nên bí hiểm nếu không
được toán học đo đạc, đánh giá. Toán học chính là khuôn vàng thước ngọc
của thẩm mỹ. Và nếu khuôn vàng - thước ngọc còn mang cả nghĩa là số học -
hình học thì một cách thiên vị, chúng ta sẽ “đọc” trại đi thành: KIM ÂU
- BÍCH LẠC.
Toán
học đã làm say đắm biết bao nhiêu cuộc đời, biết bao nhiêu thế hệ và
chúng ta cũng không phải là những kẻ ngoại lệ. Bởi vậy chúng ta sẽ còn
tiếp tục “huyên thuyên” về nó
Bảo tàng Louvre trưng bày tượng thần Vệ Nữ Milo cụt cả hai tay.
***
Nhà
lý thuyết số kiệt xuất André Weil từng nói: “Chúa tồn tại là vì toán
học là phi mâu thuẫn, và Quỷ tồn tại vì chúng ta không thể chứng minh
được điều đó”.
Chắc
chắn rồi sẽ có một ngày, ai đó sẽ dựng được một Cây Nêu toán học và Quỉ
sẽ phải chạy trốn vào biển Đông. Nhưng đồng thời lúc đó, Chúa cũng bị
phát vãng đến đâu đó khỏi địa bàn toán học. Chỉ còn mặt trời chói lọi
chân lý: Tự Nhiên Tồn Tại đã biểu hiện ra trước nhận thức con người cái
bản chất nước đôi của Nó, làm cho cái thực tại hạng hai cũng phải “ỡm ờ”
như thế, do đó trong toán học (cũng như trong toàn bộ khoa học tự nhiên
và triết học) phải chấp nhận hiện tượng vừa mâu thuẫn vừa phi mâu thuẫn
nếu muốn không còn mâu thuẫn, và trước tiên là phải đừng “bực tức” đối
với câu nói… đầy mâu thuẫn này.
Giải thưởng: Giải Wolf về Toán học, Giải Leroy P. Steele,
 |
 André Weil (1906-1998) |
André Weil
Nhà toán học
Sinh: 6 tháng 5, 1906, Paris, Pháp
Mất: 6 tháng 8, 1998, Princeton, New Jersey, Hoa Kỳ
Học vấn: Đại học Paris (1928), Trường Sư phạm Paris, Đại học Hồi giáo Aligarh
Toán
học là một bộ phận của nhận thức Tự Nhiên. Nó bắt đầu từ sự đếm, hình
thành và phát triển trên cơ sở qui ước và thông qua khái niệm. Khi con
người biết đếm thì cũng là khi họ đã biết làm phép toán đầu tiên, đơn
giản nhất, đó là thêm vào (cộng vào), lần lượt, liên tiếp từng đơn vị
một. Sau khi đã biết đếm “xuôi” là sự cộng vào từng đơn vị một thì rồi
con người cũng biết đếm “ngược” là trừ đi từng đơn vị một. Các phép tính
cộng và trừ sẽ gợi ra các phép tính nhân và chia. Đó là bốn phép tính
cơ sở, hợp thành mầm mống làm hình thành nên tất cả các phép toán cũng
như cây đại thụ toán học ngày nay.
Không
ai có thể chỉ ra được thời điểm ra đời của toán học, nhưng như khảo cổ
học cho thấy thì ở tất cả các nền văn minh cổ đại, con người đã biết
cân, đong, đo, đếm, nghĩa là đã biết làm toán. Nếu qui ước phải là sự
nghiên cứu chuyên biệt có tính hệ thống và lý luận thuần túy về những
con số và mối quan hệ nội tại của chúng mới được gọi là toán học, thì có
lẽ phải cho rằng Pitago (Pythagore, 571 - 497 TCN) chính là ông tổ của
môn khoa học đó. Cho đến nay, cuộc đời và sự nghiệp của Pitago với nhiều
điều còn bí ẩn đã bị che phủ bởi bức màn huyền thoại. Tuy nhiên có điều
chắc chắn ông là người đầu tiên có ý tưởng về lôgíc số và cũng là người
đầu tiên của phương Tây giảng giải Vũ Trụ bằng những con số, dựng nên
một trường phái triết học nhận thức tự nhiên trên nền tảng những con số.
Ông cho rằng muốn hiểu được bí mật của thế giới thì phải khám phá bí
mật của những con số. Ông tin tưởng rằng cơ sở ban đầu của thế giới là
con số và đã để lại cho đời sau lời phát biểu trứ danh: “Bản chất của sự
vật là những con số!”. Pitago có thể là ông tổ của toán học, nhưng
không phải là người “nghĩ ra nó”.
(Pythagore, 571 - 497 TCN)
(Pythagore, 571 - 497 TCN)
 |
|
| Thời đại | Triết học tiền Socrates |
|---|---|
| Lĩnh vực | Triết học Phương Tây |
| Trường phái | Học thuyết Pythagoras |
| Sở thích | Triết lý toán học |
Người
ta kể rằng lúc trẻ Pitago là người rất hiếu học, ham thích đi đó đi đây
để tìm hiểu, học hỏi. Ông đã bỏ ra khoảng 20 năm cuộc đời để chu du
khắp thế giới cổ đại, đến Babilon, đến Ai Cập, đến tận Ấn Độ… Qua cuộc
hành trình đó, Pitago đã lĩnh hội được biết bao nhiêu tri thức toán học
quí báu thời bấy giờ, nhất là từ người Ai Cập và người Babilon. Cả hai
dân tộc cổ xưa này lúc đó đã có những hiểu biết toán học vượt xa sự đo,
đếm giản đơn, thuần túy; đã biết giải những bài toán số học khá phức
tạp, đã thiết lập được một số qui tắc hình học và dùng chúng xác định
lại được ranh giới ruộng đất thường bị xóa sạch bởi lũ lụt hàng năm do
sông Nil gây ra (bản thân chữ “geométry (hình học) có nghĩa ban đầu là
“đạc điền” - đo ruộng)…
Toán
học, ngay từ đầu và cả ngày nay cũng vậy, được coi là một ngành khoa
học chính xác và có tính lôgíc chặt chẽ đến cao độ. Tuy nhiên, điều đó
chỉ đúng khi toán học đóng vai trò ứng dụng thực tiễn, là công cụ tính
toán trong khoa học - kỹ thuật cũng như trong đời sống kinh tế - xã hội.
Một khi toán học đóng vai trò thứ hai - vai trò mang tính chất triết
học, nảy sinh ra trên bước đường phát triển của nó nhằm giải mã những bí
ẩn của Tự Nhiên cũng như nhằm mô tả Tự Nhiên theo cách đặc thù của nó,
thì toán học trở nên hoàn toàn không chính xác nữa. Toán học chính xác
nhờ nhận thức và cũng vì nhận thức mà trở nên mất chính xác. Nó đã vấp
phải tính “lập lờ”, bất ổn của những qui ước, khái niệm vốn dĩ không thể
loại trừ được, mà nó sử dụng để hình thành và phát triển, kể cả những
tiên đề - những điều mà đã từng có thời nó cho là chắc chắn, bất di bất
dịch.
Sự
mâu thuẫn lớn nhất làm cho toán học lâm vào trạng thái hoang mang là
toán học luôn tự coi mình là một cơ thể được cấu thành nên từ sự chính
xác, luôn là tiêu chuẩn của sự chính xác cao độ, nhưng lại phát hiện ra
sự thực phũ phàng rằng nó còn là một cơ thể mất chính xác ghê gớm. Tệ
hại hơn nữa là toán học càng cố tìm cách khỏa lấp mâu thuẫn đó thì nó
càng bộc lộ ra rõ ràng hơn để rồi cuối cùng phải đành thở dài bất lực,
chấp nhận cùng Chúa sống chung một cách hòa thuận với Quỉ Sứ.
Toán
học ngày nay hình như vẫn còn rất hoang mang vì đâu biết được nó vẫn
hiểu nhiều điều chưa đúng và đồng thời cũng chưa hiểu hết Tự Nhiên Tồn
Tại.
Sự
bành trướng của toán học thời Hi Lạp cổ đại đến thế kỷ XIX đã làm cho
nó trở thành gã khổng lồ luộm thuộm. Người ta có cảm tưởng mọi thứ trong
đó được sắp xếp có vẻ bề bộn, liên hệ với nhau một cách lỏng lẻo. Tình
hình đó đòi hỏi phải có một sự khái quát hóa, sắp xếp lại, đưa tất cả về
một mối nhằm làm cho toán học thành một khối thống nhất, một thành trì
vững chắc về mặt lôgíc. Những thành quả đạt được của chính toán học đã
tạo tiền đề và thời cơ chín muồi để thực hiện yêu cầu đó. Nhà toán học
kiệt xuất người Đức tên là G. Cantor (1845-1918) đã hoàn thành sứ mạng
qui toán học về một mối khi ông xây dựng thành công lý thuyết tập hợp
vào những năm cuối của thế kỷ XIX. Sự xuất hiện lý thuyết tập hợp đã làm
cho toàn bộ toán học được đặt trên một nền tảng có vẻ như cực kỳ vững
vàng; thành một khối minh bạch, chắc nịch và như một pháo đài kiên cố,
bất khả xâm phạm. Nhà toán học lừng danh người Pháp là Henri Poincaré (1854-1912) đã hể hả tuyên bố: “Từ đây, tất cả đều có thể biểu diễn bằng
các số nguyên, các hệ thống số nguyên hữu hạn và vô hạn, liên kết với
nhau qua các đẳng thức và bất đẳng thức”.
Tuy
nhiên, sự thể lại không diễn tiến tốt đẹp như Poincaré tin tưởng. Có
thể là do nỗi ám ảnh về sự khủng hoảng tiên đề 5 của hình học Ơlít mà
các nhà lôgíc toán học từ lâu đã áy náy rằng trong số những định lý,
chân lý toán học đã tích lũy, biết đâu chừng vẫn có cơ sở để một số
trong chúng là những thứ không xác đáng, lọt vào toán học. Có nhiều chân
lý chưa ai biết chắc chúng đã được chứng minh cặn kẽ đến mức nào nếu
quả thực chúng đã được chứng minh. Do đó họ quyết định soi xét lại tất
cả các định lý xuất phát từ một số ít nguyên lý ban đầu. Thường thì một
định lý được xây dựng nên từ một số định lý có trước. Các định lý có
trước này, đến lượt nó, được xây dựng nên từ những định lý có trước nữa,
căn bản hơn. Cứ thế tiếp tục, cuối cùng các nhà lôgíc toán học sẽ đạt
tới một số ít mệnh đề có tính cơ sở đến nỗi không thể chứng minh được
nữa, trở thành hiển nhiên và được coi là những tiên đề tạo thành nền
tảng của toán học.
Cũng
vào thế kỷ XIX, nhiều nhà toán học lừng danh mà tiêu biểu là Bettrand,
Russell, David Hilbert… đã xem xét lại nền tảng toán học nhằm giải quyết
một số vấn đề cơ bản nhất về các con số. Họ muốn xây dựng lại tất cả
một cách chặt chẽ từ những nguyên lý đầu tiên, nhằm mục đích tái đảm bảo
cho chính họ rằng những nguyên lý đầu tiên đó là có thể tin cậy được.
Nhà
toán học Đức là Hermann Weyl đã tóm tắt không khí thời đó như sau:
“Lôgíc là vệ sinh học mà các nhà toán học đã thực hành để giữ cho những ý
tưởng của họ được khỏe mạnh và chắc chắn”.
N = NP ?
Alan Turing (1912-1954), nhà toán học người Anh
William Hodge (1903-1975), nhà toán học người Anh
Bernhard Riemann (1826-1866) nhà toán học Đức.
Giả thuyết Riemann do ông đưa ra năm 1850 là một bài toán
có vai trò cực kỳ quan trọng đến cả lý thuyết số lẫn toán học hiện đại
| Georg Cantor | |
|---|---|
|
|
|
| Sinh | 3 tháng 3, 1845 Sankt-Peterburg, Nga |
| Mất | 6 tháng 1, 1918 (72 tuổi) Halle, Sachsen, Đức |
| Nơi cư trú | Nga (1845–1856), Đức (1856–1918) |
| Henri Poincaré | |
|---|---|
Jules Henri Poincaré (1854–1912)
|
|
| Sinh | 29 tháng 4, 1854 Nancy, Meurthe-et-Moselle |
| Mất | 17 tháng 7, 1912 (58 tuổi) Paris |
| Nơi cư trú | Pháp |
Trên
TG vẫn còn tồn tại vô số những bí ẩn mà với vốn kiến thức hữu hạn hiện
nay, con người vẫn chưa tìm ra câu trả lời. Ví dụ thật sự có sự sống
ngoài trái đất hay không, ma quỉ là sản phẩm của trí tưởng tượng hay có
thật, khi chết đi chúng ta có được sống ở nơi gọi là "kiếp sau" hay
không... ? Toán học, một trong những môn học góp phần tạo nên nền tảng
của khoa học hiện đại ngày nay cũng còn tồn tại những vấn đề cực kì gai
góc, điển hình nhất là 7 bài toán thiên niên kỉ, mà thế giới đã treo
phần thưởng 1 triệu $ cho bất cứ ai có thể giải quyết một trong số 7 bài
toán đó.
Giả thuyết Poincaré
Lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một.
Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái phao, là một bề mặt liên thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu.
Vào năm 1904, nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.
Lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một.
Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái phao, là một bề mặt liên thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu.
Vào năm 1904, nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.
Henri Poincare (1854-1912), nhà vật lý học và toán học người Pháp,
một trong những nhà toán học lớn nhất thế kỷ 19.
Giả thuyết Poincaré do ông đưa ra năm 1904
là một trong những thách thức lớn nhất của toán học thế kỷ 20
một trong những nhà toán học lớn nhất thế kỷ 19.
Giả thuyết Poincaré do ông đưa ra năm 1904
là một trong những thách thức lớn nhất của toán học thế kỷ 20
Vấn đề P khác NP (P # NP)
Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ "thằn lắn" dễ hơn, hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ.
Những các nhà toán học lại không chắc chắn như thế. Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên, vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán học”. Sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc tìm ra số chia của 13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó.
"Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai" – Stephen Cook báo trước. "Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet". Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề lôgic nhỏ bé và cơ bản này!
Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ "thằn lắn" dễ hơn, hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ.
Những các nhà toán học lại không chắc chắn như thế. Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên, vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán học”. Sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc tìm ra số chia của 13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó.
"Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai" – Stephen Cook báo trước. "Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet". Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề lôgic nhỏ bé và cơ bản này!
N = NP ?
Alan Turing (1912-1954), nhà toán học người Anh
Các phương trình của Yang-Mills
Các nhà toán học thường chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.
Được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills, các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thế giới lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ có các nhà vật lý sử dụng chúng…
Giả thuyết Hodge
Euclide (Ơ-clíc) sẽ cảm thấy rất khó khăn để hiểu được hình học hiện đại. Trong thế kỷ 20, các đường thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn. Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của "tính đồng đẳng". Chúng ta đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất hình học dần dần biến mất trong toán học. Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…
Các nhà toán học thường chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.
Được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills, các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thế giới lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ có các nhà vật lý sử dụng chúng…
Giả thuyết Hodge
Euclide (Ơ-clíc) sẽ cảm thấy rất khó khăn để hiểu được hình học hiện đại. Trong thế kỷ 20, các đường thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn. Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của "tính đồng đẳng". Chúng ta đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất hình học dần dần biến mất trong toán học. Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…
William Hodge (1903-1975), nhà toán học người Anh
Giả thuyết Riemann
2, 3, 5, 7, …, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học. Dù sự phân chia các số này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số do thiên tài Thụy Sĩ Leonard Euler đưa ra vào thế kỷ 18. Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên, nhưng vẫn không sao chứng minh được. "Đối với nhiều nhà toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản" – Enrico Bombieri, giáo sư trường Đại học Princeton cho biết.
2, 3, 5, 7, …, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học. Dù sự phân chia các số này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số do thiên tài Thụy Sĩ Leonard Euler đưa ra vào thế kỷ 18. Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên, nhưng vẫn không sao chứng minh được. "Đối với nhiều nhà toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản" – Enrico Bombieri, giáo sư trường Đại học Princeton cho biết.
Bernhard Riemann (1826-1866) nhà toán học Đức.
Giả thuyết Riemann do ông đưa ra năm 1850 là một bài toán
có vai trò cực kỳ quan trọng đến cả lý thuyết số lẫn toán học hiện đại
Các phương trình của Navier-Stokes
Chúng mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ. Chúng được Henri Navier và George Stokes đưa ra cách đây hơn 150 năm. Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí. Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của toán học: người ta vẫn chưa thể giải hay xác định chính xác số nghiệm của phương trình này. "Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không" – nhà toán học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – "Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi".
Chúng mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ. Chúng được Henri Navier và George Stokes đưa ra cách đây hơn 150 năm. Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí. Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của toán học: người ta vẫn chưa thể giải hay xác định chính xác số nghiệm của phương trình này. "Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không" – nhà toán học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – "Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi".
Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x^2 + y^2 = z^2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như 3^2 + 4^2 = 5^2. Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. Hiển nhiên vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là nếu f(1)= 0), thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x^2 + y^2 = z^2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như 3^2 + 4^2 = 5^2. Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. Hiển nhiên vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là nếu f(1)= 0), thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
PS: Giả thuyết Poincaré đã được chứng minh bởi Tiến sĩ Grigori Perelman
 | |||||
| Friedrich Ludwig Gottlob Frege | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Sinh | 8 tháng 11 năm 1848 Wismar, Mecklenburg-Schwerin, Đức |
|---|---|
| Mất | 26 tháng 7, 1925 (76 tuổi) Bad Kleinen, Mecklenburg-Schwerin, Germany |
| Thời đại | Triết học thế kỷ 19 triết học thế kỷ 20 |
Chương
trình này được lãnh đạo bởi David Hilbert. Theo quan điểm của ông, toán
học phải dứt khoát trả lời được mọi câu hỏi riêng biệt, phải thoát khỏi
những mâu thuẫn và toán học có thể và cần phải được chứng minh dựa trên
hệ tiên đề cơ sở. Ông tin rằng chỉ với hệ tiên đề cơ sở, sẽ có thể trả
lời bất cứ một câu hỏi toán học nào được tưởng tượng ra mà không sợ bị
mâu thuẫn.
Ngày
8-8-1900, Hilbert đã đọc một bản báo cáo thể hiện tinh thần đó tại Hội
nghị toán học quốc tế tổ chức ở Pari, thủ đô nước Pháp. Hilbert muốn
khích lệ cộng đồng toán học đồng thuận với ông trong việc xây dựng một
hệ thống toán học thoát khỏi mọi sự ngờ vực và mâu thuẫn.
Mặc
dù đôi khi là đối thủ gay gắt của Hilbert, nhưng Gotlob Frege lại là
một trong những người tiên phong trong chương trình của Hilbert. Suốt
hơn một thập kỷ, Frege đã tận tụy rút ra hàng trăm định lý phức tạp từ
những tiên đề đơn giản và những thành công đã dẫn ông tới chỗ tin rằng
ông đã sắp hoàn tất một phần quan trọng giấc mơ của Hilbert.
(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------------------
(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------------------
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét