TT&HĐ IV - 36/b

                                                Miền đất toán học diệu kì - Tập 1+2

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 
 

 

 

(Tiếp theo)

Biết rằng:

Nếu  có thể phân tích thành một tổng vô hạn các phân số đơn thì điều chúng ta nói là đúng. Có một cách phân tích thành tổng vô hạn của những phân số đơn giống nhau là nhân cả tử số và mẫu số cho N!:

                 

Vì N! là số tự nhiên  vô hạn nên vế phải là một tổng vô hạn phân số đơn

Nếu thấy như thế là “khó coi” quá thì còn một cách nữa và lần này sẽ bằng tổng vô hạn của những phân số đơn không giống nhau:

                  với n là số vô hạn

Còn một câu chuyện vui về phân số đơn nữa.

Ngày xưa, một người đàn ông nọ làm lụng quần quật cả đời mới gầy dựng được đàn bò 17 con. Một lần, ông bị ốm nặng, biết không qua khỏi bèn làm di chúc cho ba người con trai. Tờ di chúc dặn rằng sẽ chia 17 con bò ấy cho ba đứa con theo cách: con cả được một phần hai đàn bò, con thứ hai được một phần ba đàn bò, còn đứa con út chỉ được một phần chín đàn bò; cứ theo thế mà chia, không được cãi cọ, tranh giành và nhất là tuyệt đối không được xả thịt con bò nào. Sau khi người đàn ông qua đời, ba người con của ông ta họp lại và chia:

                

Vì không được xả thịt để chia nên ba anh em không biết phải làm sao, bèn đi vời một ông giáo làng đến phân xử giúp.

Ông giáo đến, nghe kể sự tình xong, tủm tỉm nói:

- Với 17 con bò thì chẳng thể chia chác gì được cả nếu không xả làm đôi một con bò. Vậy hãy chọn ra một con để…

Người anh cả cướp lời:

- Không! Không được đâu! Cha chúng tôi di chúc lại là không được xả thịt dù là một con bò…

- Tôi có bảo chọn ra một con để xả đôi nó đâu, mà là để tạm gọi nó là … 2 con bò - Ông giáo nói nhẹ nhàng và tỉnh rụi.

Ba anh em nhà kia trố mắt nhìn chăm chăm ông giáo làm ông này bật cười thành tiếng:

- Không có chuyện chọc tiết bò ở đây đâu. Đừng lo quá thế! Mà đáng lẽ phải vui lên chứ. Ban nãy các anh chỉ có 17 con bò, bây giờ coi như có thêm 1 con nữa thành ra 18 con. Và tôi chia giúp các anh thế này:

                 

Tính ra 9+6+2=17 con bò, chả mất chả dư con nào. Mấy anh chịu như thế không?

Ba anh chàng quê mùa cục mịch đã trố mắt, đến lúc này lại còn há hốc cả mồm ra, cứ như ông giáo là người ngoài hành tinh không bằng. Dù sao thì trạng thái “cứng đờ” ấy cũng chỉ tồn tại trong chốc lát. Rồi cả ba anh em cùng buột miệng ra như đồng thanh:

- Chúng tôi xin chịu ơn thầy ạ!

Người anh cả nói thêm:

- Xin phép mời thầy thư thư nán lại dùng bữa cơm hậu tạ của chúng tôi. Dạ, dưới bếp đã làm gà, lợn và sắp xong rồi ạ!...

- Cảm ơn các anh đã có lòng, nhưng cho tôi xin kiếu  vì còn bận chút việc riêng không thể chậm trễ được. Thôi, tôi về đây! Lần khác gặp lại nhé!...

Ông giáo cáo từ ra về mà lòng rất vui vì ông biết mình đã làm được một việc nghĩa trọng đại. Nếu không có ông giúp, chắc chắn rằng ba anh em nhà kia không bao giờ chia cho nhau được đàn bò theo lời cha dặn bởi vì họ đã “vấp phải” vấn đề mà toán học cũng “chịu chết”: chia hết một số nguyên tố cho một số khác nó và 1 trong thế giới Z, hơn nữa, không thể đoán được tình hình đó diễn tiến theo hướng nghiêm trọng đến cỡ nào.

Ba người anh em nọ không hài lòng sao được đối với cách chia của ông giáo khi không những không phải xả thịt con bò nào mà còn ai cũng như được chia nhiều hơn. Người anh cả được 9 con bò thay vì con như cách chia lúc đầu, anh thứ hai được 6 con thay vì con, và anh út được 2 con nguyên thay vì chỉ là  con thôi.

Có thể là ba anh chàng không hiểu được vì sao lại như thế, nhưng ông giáo thì biết tỏng. Dù trong di chúc, người cha có cho phép xẻ thịt một con bò để chia như lúc đầu thì cả ba anh em đều “thiệt hại” vì tổng số bò sau khi đã chia chỉ là:

Còn những  con bò (nghĩa là gần một con bò) không biết “biến đi đâu mất”, hoặc bị “dư” ra và nếu có muốn chia tiếp cho đúng lời cha dặn thì cũng làm sao mà chia cho xong được? Tuy nhiên, nếu chỉ cộng số lượng con bò “nguyên” sau khi chia thì rõ ràng chỉ có:

nghĩa là còn 3 con bò “nguyên” chưa chia. Nếu chia tiếp 3 con bò này theo tỷ lệ như cha dặn  (và được xẻ thịt một con bò) thì:

      

Chia theo cách này “bất công” quá mà lại phải xẻ thịt con bò nên tốt nhất là chia bình đẳng 3 con bò còn lại cho mỗi người một con là vẹn cả mọi bề.

Chia theo cách này cũng cho kết quả như cách chia của ông giáo, nhưng cách chia của ông giáo hay hơn vì “kín đáo” hơn và có phần huyền bí hơn.

***

Nếu chúng ta nhìn Vũ Trụ ở góc độ “cực kỳ” rời rạc và hữu hạn thì sẽ thấy Nó như là một tổng thể đơn vị:.

                 

Vì các hạt KG giống nhau i xì nên muốn phân biệt chúng, chúng ta phải đánh dấu. Để cho không hạt nào giống hạt nào thì chúng ta phải có N ký hiệu mới đủ. Nhưng làm thế nào để nghĩ ra được N ký hiệu khác nhau ấy và ghi nhớ chúng được? Điều bức bách ấy tất yếu dẫn con người đến cách ký hiệu theo hệ thống tuần hoàn không lặp lại. Chẳng hạn là hệ thống ký hiệu có 10 ký hiệu cơ sở là:

a, b, c, đ, e, f, g, h, i, k

Từ đó có thể tiếp tục ký hiệu là:

ka, kb, …, kk

rồi:

kka, kkb, …, kkk

Cuối cùng phải có một ký hiệu mà giành cả cuộc đời cũng khó lòng viết ra được vì nhiều “k” quá là:

kkk……k

Và đối với những ký hiệu mà quá nhiều ký tự “k” khác nhau sẽ hầu như không còn khả năng phân biệt chúng với nhau nữa.

Vậy có cách nào giải quyết được “nan đề” trên không?

Chúng ta thấy rằng khi tìm cách đánh dấu các hạt KG thì hành động đó đã hàm chứa việc sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, đồng nghĩa với sự đếm và xác định tổng số N.

Đối với con người thì sự xác định số lượng của một tập hợp các vật nào đó là một yêu cầu tất yếu khách quan. Cho nên nếu chúng ta đi làm cái công việc đánh dấu hạt KG để theo dõi hành tung của chúng thì cũng đồng thời phục vụ cho việc đếm chúng.

Có thể cho rằng việc đếm số lượng con bò, con gà… là điều bắt buộc đối với con người trong quá trình mưu sinh, nhưng tại sao lại có những người “rỗi hơi” đi đếm sao trên trời và “khùng” hơn nữa là đi đếm từng hạt KG để rồi chỉ gặt hái được toàn những thứ viển vông, thậm chí là cả những dằn vặt, đau khổ? Tại sao toán học cứ cắm đầu cắm cổ, “lao tâm khổ trí” lặn hụp trong mông lung để mò mẫm nắm bắt hết “chân lý sáng ngời” này đến “chân lý sáng ngời” khác nhưng hoàn toàn vô tích sự đối với cuộc sống thực dụng của con người, hay nói rõ hơn là không thể dùng những “chân lý sáng ngời” ấy để làm no cái bụng đói được?

Nào có phải vậy đâu! Cạnh tranh sinh tồn sẽ làm xuất hiện ra bộ não biết tư duy. Mục đích của tư duy là nhận thức thế giới để tăng cường khả năng sinh tồn. Có thể nói cách khác là đối với bộ não tư duy thì thích nghi để sống còn là động lực của nhận thức và ngược lại, mục đích cuối cùng của nhận thức là tăng cường thích nghi để sống còn. Một trong những phương diện của nhận thức là tìm cách xác định được lực lượng vạn vật - hiện tượng trong thực tại khách quan và như vậy sự đếm số lượng là một nảy sinh tất yếu trong tư duy. Từ đó mà cũng thấy, phương châm hoàn toàn tự nhiên của tư duy nhận thức là nhận biết hoàn toàn, đến tận cùng Thực tại khách quan và vì thế mà sự nhận thức chỉ thỏa mãn khi đã biết tỏng tòng tong Vũ Trụ và cân đo đong đếm được toàn thể Vũ Trụ. Có thể nói, nếu triết học là những ông thầy đồ mù ngồi đoán voi thì toán học là lực lượng đi tiên phong của nhận thức. Chính vì vậy mà công việc đi đếm các hạt KG để xác định N là bao nhiêu cũng phục vụ cho mục đích cuối cùng của nhận thức. Những “chân lý sáng ngời” nhưng (tưởng rằng) vô bổ hôm nay của toán học sẽ vô cùng có ích cho sự thích nghi sống còn của con người trong tương lai.

Như vậy, hệ thống ký hiệu theo nguyên tắc tuần hoàn, vừa có vẻ lặp lại vừa không lặp lại để đánh dấu hạt KG, sớm muộn gì cũng phải chuyển hóa thành cơ số đếm.

Có thể có vô vàn hệ cơ số đếm và chúng hoàn toàn bình đẳng nhau, nhưng ngày nay, loài người đã ưu tiên lựa chọn hệ đếm cơ số 10 làm hệ đếm cơ bản cho mình.

Bây giờ để đánh dấu tất cả các hạt KG, chúng ta chỉ việc thay các ký hiệu a, b, c… bằng 1, 2, 3... và đem các ký số (lượng) ấy “dán” lên các hạt KG là “xong việc”. Nhờ có sự đánh dấu các hạt KG bằng con số mà chúng ta có thể phân biệt được một cách rạch ròi và dễ dàng chúng với nhau dù là giữa hai hạt KG “đứng kề nhau ở xa tít tắp”, chẳng hạn nếu một hạt KG mang số n thì hạt KG “đứng” kề trước nó là n – 1.

Khi chúng ta đã đếm hết N hạt KG rồi thì chúng ta cũng biết lực lượng KG của Vũ Trụ là N. Nếu số hạt KG của Vũ Trụ thực ra là vô hạn hoặc hữu hạn (chỉ có N hạt thôi) nhưng muốn “đếm đi đếm lại” thì… cứ thế mà đếm:

(N + 1), (N + 2), …

đến … vĩnh viễn cũng được.

Có thể nói, biểu hiện dưới góc độ rời rạc của Vũ Trụ đã làm cho tư duy nhận thức của con người xây dựng được một dãy các số đếm (theo hệ cơ số 10) dài đến vô hạn. Dãy số đếm này, vì thuộc về khái niệm nên nó là ảo. Tuy nhiên, giờ đây, khi nhìn vào Vũ Trụ, ngoài vạn vật - hiện tượng, chúng ta còn thấy được đầy ắp những biểu tượng của những con số lúc ẩn lúc hiện nữa. Nghĩa là trước mắt chúng ta đã hiện hữu (dù là ảo) một thế giới số đếm (số tự nhiên).

Trong thực tế, cuộc mưu sinh đã đưa con người đến phương thức sống cùng làm, cùng ăn. Quá trình đồng tâm hiệp lực khi làm việc rồi xác định thành quả để san sẻ chia chác lúc hưởng thụ đã buộc con người phải đếm và tính toán. Khi trước mắt con người có tư duy nhận thức đã hiện hữu một thế giới số nguyên rồi thì do cái bản tính cố hữu là quá ư tò mò và năng động không ngừng sáng tạo mà thế giới số đếm dần dần chuyển hóa thành thế giới số phức hợp với đủ mọi loại số và đủ mọi phép toán có thể có của Tự Nhiên Tồn Tại, ẩn chứa trong sự vận động của Vũ Trụ.

Thế giới số, do được hình thành từ sự “gợi ý” của Thực tại khách quan nên nó cũng kỳ ảo và chứa chấp vô vàn bí ẩn đòi hỏi con người phải tiếp tục nhận thức một cách… thật là vẩt vả. Có thể nói vui rằng loài người đã được Tạo hóa thụ tinh, đẻ ra toán học để tự làm khổ mình.

Để nhận thức được sâu rộng thế giới số, loài người đã phải mổ xẻ, phân chia nó, tăng cường qui ước để phân biệt các loại số, để lập “vành”, phân “nhóm”, tạo “trường”, xác định “tập hợp”,… và xem xét mối quan hệ, sự tác động qua lại, cách thức chuyển hóa lẫn nhau giữa chúng một cách “toán học”

Trong quá trình nhận thức thế giới số, toán học đã phát hiện ra rất nhiều các loại số khác nhau mà mối quan hệ giữa chúng có tính riêng nào đó và có thể tập hợp chúng lại thành những thế giới số có tính đặc thù như: thế giới số lũy thừa, trong đó có thể bao hàm thế giới số bình phương, thế giới số lập phương…, hay thế giới số chẵn, thế giới số lẻ… Cho nên để không lầm lẫn thế giới số nói chung với những thế giới từng loại số, chúng ta từ nay sẽ gọi nó là Vũ Trụ số.

Trong Vũ Trụ số, có rất nhiều hiện tượng kỳ lạ về con số. Chẳng hạn như số 0. Số 0 là số chia cho bất kỳ số nào thì cũng bằng chính nó (hay có thể nói tất cả các số đều là ước của nó). Tùy theo qui ước mà khi nó có nghĩa là sự trống rỗng thì mọi số chia cho nó đều bằng chính số ấy và khi nó không phải trống rỗng thì nó là số vô định mà mọi số, không thể chia được cho nó. Có một số có tính chất tương tự như thế là số vô cùng lớn (VCL). Khi nó là xác định được thì nó là vô cùng nhỏ bị chặn bởi số 0 (thỏa mãn nguyên lý nước đôi!). Lúc này, nó chia được cho mọi số và bằng chính nó. Khi nó không xác định được thì nó là số lớn vô hạn , lúc này không có số nào chia được cho nó (vì kết quả là vô định).

Con số 1 tưởng giản dị là thế mà cũng ly kỳ. Nó có thể chia cho bất kỳ số nào để tạo ra số nghịch đảo hoàn toàn của chính số ấy. tất cả mọi số đều có thể chia cho nó và có kết quả bằng chính số đem chia.

Trong thế giới số tự nhiên, nếu không chú ý tới số 0 và số 1, thì tất cả các số còn lại đều có thể viết dưới dạng một tích gồm tối thiểu là 2 con số trở lên. Người ta gọi những số có thể viết thành tích của ít nhất là 2 số khác nó là “hợp số”; còn những số chỉ có thể viết thành tích của số 1 và chính nó là “số nguyên tố” (có thể mở rộng định nghĩa có số nguyên số âm và số nguyên tố dương nhưng ở đây chúng ta không xét đến).

Số nguyên tố được nhà toán học lừng danh Ơclít (Euclide, 330 - 275 TCN, sinh ra ở Athens, nhưng sống và làm việc chủ yếu ở Ai Cập) phát hiện từ thế kỷ III TCN.

Trong thế giới các số nguyên tố thì số 2 và số 5 có tính đặc biệt. Số 2 là số chẵn duy nhất trong thế giới số nguyên tố. Số 5 là số có tận tùng là 5 duy nhất trong thế giới ấy. Còn lại, tất cả các số nguyên tố đều lẻ và chỉ có những số có tận cùng 1, 3, 7, 9 mới có khả năng là số nguyên tố.

Nhưng không phải bất cứ số nào có tận cùng là 1, 3, 7, 9 đều là số nguyên tố. Hơn nữa, đến tận ngày nay, các nhà toán học vẫn chưa tìm ra được qui luật tổng quát về sự phân bố của các số nguyên tố trong dãy số đếm. Phải chăng sự sắp xếp các số nguyên tố trong dãy số đếm là hoàn toàn  ngẫu nhiên, phi qui luật? Nếu thế thì cũng không có gì đáng ngạc nhiên, thậm chí là như thế mới hợp lý, mới thỏa mãn nguyên lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại: Có những biểu hiện triệt để tuân theo qui luật thì cũng phải có những biểu hiện có vẻ không tuân theo luật.

Tuy nhiên, cần hiểu thế nào về những hiện tượng không tuân theo qui luật trong khi chúng ta quan niệm rằng vạn vật - hiện tượng vận động và chuyển hóa phải tuân theo những qui luật (hay nguyên lý) đặc thù của chúng mà nguyên lý gốc cội của mọi qui luật, mọi nguyên lý đặc thù là nguyên lý Tự Nhiên? Thực ra, nói không tuân theo qui luật thì nên hiểu một cách tương đối và có thể rằng nguyên nhân chủ yếu của hiện tượng ấy lại là do cái nhìn phiến diện, cực đoan của quan sát và nhận thức gây ra, làm cho thực tại khách quan méo mó đi khi bị tính chủ quan lũng đoạn. Chúng ta có thể nên vài thí dụ về vấn đề này:

- Một vật rơi từ độ cao h nào đó xuống mặt đất (mực 0) thì nó sẽ “cho” một “công” (năng lượng). Nhưng quá trình đó không thể xảy ra được nếu không có quá trình ban đầu (gọi là quá trình thuận): “ai đó” phải nâng nó lên đến độ cao ấy chứ bản thân nó không tự “bay lên” độ cao đó. Còn nếu không nâng vật đó lên mà “cố tình” cho nó sinh công thì phải đào bên cạnh nó một cái hố và “mở đường” cho nó rơi xuống cái hố đó. Tuy nhiên công nhận được từ vật đó khi nó rơi xuống hố có một giá trị bất thường: công âm.

- Tương tự như trên thì trong toán học, nếu không có số hữu tỷ lũy thừa thì không có số hữu tỷ khai căn để ra số hữu tỷ. Nhưng cứ cố tình khai căn số hữu tỷ chưa lũy thừa thì sự xuất hiện số vô tỷ là hiển nhiên. Chẳng hạn số 2 không phải là một số chính phương, do đó thế giới số hữu tỷ “cấm” khai căn nó. Nếu chúng ta cứ cố tình khai căn thì “phải chịu”:

- Chúng ta viết ra dãy số đếm:

                  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …

Rõ ràng, sự sắp xếp đó là có qui luật (số sau lớn hơn số trước 1 đơn vị).

Nếu ta chỉ chọn số chẵn hay lẻ thôi thì 2 dãy mới cũng được sắp xếp theo qui luật. Chẳng hạn ta viết dãy số lẻ:

                  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

Dãy số này phát triển theo qui luật là số sau hơn số trước kề nó là 2 đơn vị.

Tuy nhiên nếu chúng ta cố tình tiếp tục “chia đàn xẻ nghé” dãy ra thành 2 dãy: số nguyên tố và hợp số thì ngay lập tức, chúng ta vấp phải nhiều hiện tượng kỳ quái là:

Thứ nhất: dãy số nguyên tố là không đầy đủ vì thiếu mất số 2 (thuộc về dãy số chẵn) và do đó nó không phải là bộ phận thực thụ của thế giới số lẻ.

Thứ hai: khi phân dãy số lẻ thành 2 dãy số như vậy thì số 1 - vị chúa tể của Vũ Trụ, sẽ phải thốt lên lời ai oán: “Thế thì cho trẫm ở đất nào?”. Số 1 là lẻ nên chắc chắn phải thuộc thế giới số lẻ. Nó không phải là một hợp số nên không thể đứng vào dãy những hợp số. Theo qui ước thì nó cũng không phải là số nguyên tố nên cũng không được đứng vào dãy ấy. Vậy thì phải cho nó đứng một mình trong thế giới số lẻ? Một vị chúa tể mà để “côi cút” như thế e khó coi quá! Mặt khác, cần thấy rằng số 1 là một số đặc biệt, nó là một số lẻ, vừa thỏa mãn phần nào điều kiện của một hợp số (vì 1 x 1 x 1 = 1³; tương tự như a x a x a = a³), vừa thỏa mãn nhu cầu để được gọi là số nguyên tố (vì nó cũng chỉ chia hết cho chính nó và đơn vị, chỉ có điều đơn vị lại trùng với nó). Vậy thì có thể xếp số 1 (trong ngoặc đơn) vào cả hai dãy số.

Để cho đầy đủ thì buộc phải đưa số 2 vào dãy số nguyên tố, nhưng cho nó trong ngoặc đơn để nhằm hiểu rằng bất cứ số nào chia hết cho 2 đều là số chẵn, số 2 chia hết cho 2 nên nó cũng là số chẵn, tuy vậy, vì nó là số chẵn nhỏ nhất nên chỉ chia hết cho chính nó và số 1, phù hợp yêu cầu của một số nguyên tố nên nó cũng bị ép buộc là một số nguyên tố, nghĩa là số 2 có lưỡng tính.

Thứ ba: chúng ta viết ra dãy số nguyên tố:

(1), (2), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

và dãy số hợp số:

(1), 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39…

Thấy rằng: Nếu sự sắp xếp các số nguyên tố trong dãy số đếm là phi qui luật thì dãy số nguyên tố và kéo theo dãy số hợp số cũng biến thiên tăng dần một cách phi qui luật.

Nếu bây giờ chúng ta bỏ các dấu phẩy và ngoặc đơn ở hai dãy số đó đi và viết lại:

1 2 3 5 7 11 13 17 19…

và:

1 9 15 21 25 27 33 35 39…

thì chúng ta sẽ làm xuất hiện hai số tự nhiên không tuần hoàn, có thể là vô hạn mà cũng có thể là hữu hạn.

Nếu số N là hữu hạn thì 2 số đó phải hữu hạn và chúng là những số như thế nào, nguyên tố hay hợp số?

Trong trường hợp chúng là những số tự nhiên vô hạn thì có thể thêm số 0 và dấu phẩy đằng trước để biến chúng thành hai số vô tỷ. Vậy hai số vô tỷ này có thể là kết quả của hai bài toán có phép nhân nào đó không hay có thể là kết quả của một quá trình khai căn nào đó không?

Chúng ta nêu thí dụ, đặt ra các câu hỏi để rồi không đủ năng lực trả lời. Cho nên cũng chẳng cần nấn ná lại làm gì nơi đã hết niềm vui thú. Chúng ta sẽ chơi bời ở chỗ khác!

Vì số nguyên tố xuất hiện không theo một qui luật phân bố nào cả và hiện hữu dưới dạng không có biểu hiện đặc thù nên việc nhận biết một số lẻ có phải là số nguyên tố hay không, nhất là đối với các số lớn, là một công việc vô cùng khó khăn.

Trước hết, cần phải biết được số lượng số nguyên tố là hữu hạn hay vô hạn. Chính Ơclít đã chứng minh được có vô số kể số nguyên tố như sau:

Giả sử số lượng số nguyên tố là hữu hạn, gồm số:

Sẽ có một số tự nhiên là . Theo một định lý khác đã được chứng minh, a ắt có một ước số là số nguyên tố lớn hơn 1, gọi là P_j. Số P_j cũng phải thuộc dãy số nguyên tố nói trên (bằng P_i chẳng hạn) và rõ ràng phải là ước số của số . Vì là ước của a nên phải chia hết cho P_j để cho ra kết quả là một số tự nhiên. Điều này phi lý vì:

Nghĩa là P_j>1 phải là ước của 1! Vậy thì P_j phải là số nguyên tố không thuộc dãy

Sau này, nhà toán học thiên tài Ơle (L. Euler, 1707 - 1783), theo một con đường khác, đã chứng minh được một cách xác đáng hơn tính vô hạn của dãy số nguyên tố. Dù có phức tạp hơn nhưng đây là một chứng minh nhận được rất nhiều kết quả toán học khác.

Ngay từ khi số nguyên tố được phát hiện, các nhà toán học đã chú tâm đến việc xác định chúng. Người đầu tiên tìm số nguyên tố một cách có phương pháp là nhà toán học Ơratôxten (Eratosthenes, 276 - 194 TCN), người Hy Lạp. Phương pháp của ông được gọi là “phương pháp sàng” vì nó gợi nhớ tới hiện tượng sàng lọc đá sỏi trong cát. Nhờ phương pháp này mà ông đã “sàng” được 1.000 số nguyên tố đầu tiên để lập thành bảng và bảng này được gọi là “bảng sàng Ơratôxten”. Ơratôxten đã tiến hành như sau:

Ông viết các số lên tấm giấy cỏ sậy căng trên một cái khung, rồi chọc thủng những số nào là hợp số, kể cả số 1. Thế là được “cái sàng Ơratôxten”, tất cả số 1 và các hợp số đều bị “lọt” khỏi bởi những lỗ thủng, chỉ còn lại các số nguyên tố (các số không bị đâm thủng).

Ngay từ thế kỳ XVII, nhà toán học Katandi đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 760, rồi Shuten vào năm 1657 đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 10.000. Vào những năm cuối của thế kỷ XIX, Pơvuxin đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 10 triệu. Ông này đã giành hơn 40 năm cuộc đời mình để có được bảng số lớn nhất thời bấy giờ, viết trong 750 tờ giấy đầy chữ viết nhỏ.

Năm 1959, Bucơ và Grunbơgiơ đã lập ra bảng 6 triệu số nguyên tố đầu tiên. Số nguyên tố thứ 6 triệu là: 104.395.301. Bảng này được lưu giữ bằng micrôphim.

Cuối năm 2001, số nguyên tố lớn nhất mà người ta biết được là: 2^13466971-1

Khi viết tường minh ra, nó gồm 4.053.946 chữ số trong hệ thập phân.

Ngày nay, nhờ công nghệ máy tính phát triển, chắc chắn những số nguyên tố ngày một vĩ đại sẽ kế tiếp nhau xuất hiện.

Đáng khâm phục là vào năm 1934, một học sinh người Ấn Độ tên là Sundaram đã đưa ra một phương pháp sàng để tìm số nguyên tố khác với phương pháp sàng của Ơratôxten.

Tuy nhiên, việc dò tìm số nguyên tố bằng phương pháp sàng dù sao cũng chỉ là cách làm thủ công, có tính mò mẫm, có vẻ như không thỏa mãn đối với “tinh thần toán học”. Do đó mà từ rất lâu, ao ước khám phá ra một công thức tổng quát để xác định một số là nguyên tố đã là của nhiều thế hệ các nhà toán học. Cho đến nay công cuộc tìm kiếm công thức tổng quát đó vẫn chưa đạt kết quả cuối cùng (và có thể nào là không hề tồn tại một công thức như thế?) nhưng cũng đã gặt hái được rất nhiều thành tích đáng nể phục.

Ngày 18-10-1640, nhà toán học người Pháp tên là Fecma đã gửi thư cho B. F. de Bessy (1602 - 1672), nêu ra định lý sau: “Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n^p - n chia hết cho p”.

Ông chứng minh: biến đổi nhị thức:

n^p – n = n (n^{p – 1} – 1)

Nếu n là bội số của P thì định lý được khẳng định. Trong trường hợp n không chia hết cho p thì sẽ chứng minh được n và p là những số nguyên tố cùng nhau. Vì p là số nguyên tố, nên chỉ có bội số của p mới có thừa số chung với nó mà thôi. Khi n, p là các số nguyên tố cùng nhau thì phải có:

n^{p – 1} chia hết cho p

Định lý trên đã được Fecma phát biểu dưới dạng thứ hai: “Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n^{p – 1} – 1 chia hết cho p”.

Và trong số học hiện đại, người ta gọi đó là “định lý nhỏ Fecma”.

Fecma còn đưa ra điều phỏng đoán: “Khi p là số tự nhiên thì các số dạng chắc chắn là số nguyên tố”. Sau này người ta gọi các số như vậy là số Fecma, ký hiệu là . Tuy nhiên điều phỏng đoán này là sai lầm.

Năm 1736, Ơle (người Pháp gốc Thụy Sĩ nhưng sống và làm việc ở Nga 31 năm, ở Đức 25 năm) đã khẳng định định lý nhỏ Fecma là trường hợp riêng của định lý Ơle, bằng cách dùng định lý Trung Hoa để chứng minh. Theo Ơle thì:

“Nếu p là số nguyên tố thì ”.

(Muốn hiểu được lời phát biểu định lý đó thì phải có khái niệm về đồng dư thức. Đồng dư thức nghĩa là: nếu có 2 số tự nhiên a và b chia hết cho số tự nhiên cho ra cùng số dư thì có thể nói: “a đồng dư với b theo modul m” và viết:

Từ đó mà có định lý dư Trung Hoa:

“Hai số a và b đồng dư với nhau theo mod m khi và chỉ khi a – b chia hết cho m”.

Chẳng hạn có:

thì: )

Theo định lý nhỏ Fecma, khi p là số nguyên tố, n là số nguyên dương, thì sẽ phải có:

n^{p – 1} – 1 chia hết cho p

Nhưng điều ngược lại: nếu n^{p – 1} – 1 chia hết cho p thì p có phải là số nguyên tố không? Tưởng rằng câu trả lời khẳng định là hiển nhiên nhưng nào ngờ, vào năm 1830, có một người Đức tìm ra 2³⁴⁰ – 1 chia hết cho 341 nhưng 341 không phải là số nguyên tố mà là số hợp:

Người ta gọi các số loại này là “số nguyên tố giả”.

Nhà toán học người Pháp tên là Mecxen (Marin Merssenne, 1588 - 1648) đã viết trong lời tựa cuốn “Nghiên cứu vật lý - toán học” rằng trong tổng số 55 số nguyên tố không vượt quá 257 thì chỉ có 11 số p là 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 và 257 là cho 2^{p – 1} trở thành số nguyên tố. Về sau, 2^{p – 1} được gọi là số Mecxen và ký hiệu là Mp.

Người ta đã chứng minh được rằng nếu Mp là số nguyên tố thì p chắc chắn là số nguyên tố. Tuy nhiên, điều ngược lại, nếu p là số nguyên tố thì Mp là số nguyên tố, hóa ra chưa chắc đã đúng. Chẳng hạn, khi p = 11 (số nguyên tố) thì:

Mp = 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 x 89 là một hợp số.

Nhà toán học người Đức là Gônbach (Christian Goldbach, 1690 - 1764) phỏng đoán dù sao thì cũng tồn tại vô số số nguyên tố Mp. Điều phỏng đoán này vẫn chưa ai chứng minh hay bác bỏ được.Từ việc nghiên cứu số Fp và Mp, người ta đưa ra điều khẳng định: dù không phải bất cứ số nào có dạng cũng đều là số nguyên tố, nhưng bất cứ số nguyên tố nào cũng viết ra được một trong hai dạng đó và chúng là vô hạn. Đối với dạng 4n – 1 thì đã được nhà toán học Đức là Diriclet (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 1859) chứng minh trọn vẹn. Còn dạng 4n + 1 thì chưa.

Còn rất nhiều những khám phá và phỏng đoán toán học về số nguyên tố mà chúng ta không thể kể ra hết được ở đây. Và chắc rằng sẽ còn nhiều khám phá và phỏng đoán nữa tiếp tục xuất hiện vì cuộc hành trình đi tìm công thức tổng quát xác định được chắc chắn một số tự nhiên nào đó là số nguyên tố, có lẽ được bắt đầu từ “cái sàng Êratôsten”, vẫn chưa kết thúc.

Nhắc đến “cái sàng Êratôsten”, có lẽ chúng ta phải kể đôi điều lý thú nữa về sự “đau đầu” của toán học khi đụng chạm tới số nguyên tố. Khi quan sát cái sàng đó, chúng ta sẽ thấy có hiện tượng các cặp số lẻ đứng liền nhau (cách nhau một số hợp) cũng đồng thời là số nguyên tố. Hiện tượng đó được các nhà toán học gọi là sự xuất hiện “các số nguyên tố sinh đôi”. Thí dụ, các số 5 và 7, các số 11 và 13…

Người ta đã tìm được cặp số sinh đôi là:

Thế nhưng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là hữu hạn hay vô hạn? Rất nhiều người đã chú tâm nghiên cứu nhưng chưa ai có thể trả lời được câu hỏi này. Đây là một trong hai bài toán được cho là quan trọng nhất của toán học mà D. Hilbert đã trình ra tại Hội nghị toán học thế giới tổ chức tại Pari vào năm 1900. Ngày nay toán học thậm chí chỉ việc xác định được con đường nào là “chân chính” dẫn tới lời giải đáp cũng còn chịu bất lực.

Các nhà toán học cho rằng vấn đề quan trọng nhất có liên quan đến các số nguyên tố là khả năng phân tích một số nguyên bất kỳ ra thành các thừa số nguyên tố. Người ta đã chứng minh được khả năng đó là có thực và trong lý thuyết số, thường gọi nó là “định lý cơ bản của số học”. Nội dung của định lý này là: “Bất kỳ một số tự nhiên nào cũng được phân tích ra thành các thừa số nguyên tố theo một cách duy nhất”. Sau đây là phần chứng minh:

Cho một số tự nhiên N bất kỳ. Nếu nó là số nguyên tố thì định lý được chứng minh một cách hiển nhiên, bởi vì chính bản thân nó có thể được xem là một thừa số duy nhất. Nếu nó là hợp số thì nó phải chia hết cho một số nguyên tố p nào đó nhỏ hơn nó. Lúc này sẽ viết được:

Nếu là số nguyên tố thì định lý cũng được chứng minh. Nếu nó là hợp số thì lại viết được:

Tương tự, chúng ta sẽ đạt được kết quả cuối cùng là:

Giả sử có cách thứ hai dẫn tới kết quả:

(với tất cả các q là số nguyên tố)

Như vậy thì có thể viết:

Vì các số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho chính nó và cho 1, nên nếu vế trái chia hết lần lượt cho thì vế phải cũng phải chia hết lần lượt cho những số nguyên tố ấy và nếu hai vế đều sắp xếp các thừa số theo trật tự tăng dần thì phải có:

     

Định lý đã được chứng minh trọn vẹn!

Nếu một số tự nhiên bất kỳ có thể được viết dưới dạng một tích nhiều số nguyên tố thì thử hỏi nó có thể được biểu thị dưới dạng một tổng của nhiều số nguyên tố không?

(còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------