TT&HĐ IV - 35/h

                                            Các hệ đếm trong tin học và cách chuyển đổi

                          HỌC TOÁN QUA THƠ - CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA CÁC PHÂN SỐ

PHẦN IV:     BÁU VẬT 
 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."

NTT 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

 

Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng niềm hạnh phúc này.
D. Henziut

 

Những người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc 

 

Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua. 

Rene Descartes

Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. 

 Voltaire 

 

Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách. 

 Plato 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.

 Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG III (XXXV): KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.

D. Gilbert

“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”

 Galileo Galilei

“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”

Gottfried Leibniz

"Đấu tranh sinh tồn hun đúc nên tư duy trừu tượng. Tư duy trừu tượng đẻ ra triết học. Khi nhận thức triết học được định lượng và định dạng thì toán học ra đời. Không có toán học trong thực tại, loài người vĩnh viễn mù lòa, nhưng khi toán học bay lạc ra ngoài thực tại, loài người trở nên bất định, hoang mang, phạm sai lầm trong nhận thức Vũ Trụ".
 NTT

 

 

(Tiếp theo) 

Trong quá trình đi tìm bằng chứng hiển nhiên cho cái quan niệm “vừa hữu hạn, vừa vô hạn”, chúng ta đã phát hiện ra một hiện tượng “không chê vào đâu được” và qua hiện tượng này, sự hoang mang và choáng ngợp trước cái vô hạn của chúng ta đã được xoa dịu đến hầu như là… thản nhiên. Hiện tượng đó là như thế này:

Trước hết chúng ta viết lại:

                 

Đó là sự chia hai số nguyên (dương) hữu hạn cho ra kết quả là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Chúng ta sẽ chuyển đổi hai số nguyên đó sang cơ số khác, theo ký số thập phân. Chẳng hạn chúng ta cho số 11 là “chục” (hệ cơ số 11), thì số 13 phải viết là 12. Xong đâu đó, chúng ta thực hiện phép chia (sử dụng trong hệ cơ số 10):

                 

Kết quả là một số hữu hạn!

Nếu đổi vị trí tử số và mẫu số cho nhau thì phép chia lại có kết quả là một số thập phân vô hạn tuần hoàn trong hệ cơ số 11:

                 

Tuy nhiên kết quả này sẽ lại hữu hạn trong cơ số 13 vì:

                 

Lấy thêm một thí dụ khác, có:

                 

Đổi sang hệ cơ số 9 sẽ có:

                 

Vậy: một số hữu tỷ thể hiện như một số thập phân vô hạn tuần hoàn ở hệ cơ số này có thể lại là một số hữu hạn ở hệ cơ số khác, và ngược lại. Hóa ra sự thể hiện ra vô hạn hay hữu hạn là chẳng đáng tin tý nào! Hay có thể nói vô hạn thì cũng bình thường như… hữu hạn, và cả hai cái đó đều phù phiếm như nhau.

Sự ngạc nhiên thú vị làm chúng ta quá phởn chí và bật ra một câu hỏi khác: trong thế giới Q có số thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn không?

Đó là một câu hỏi hóc búa và cần đến có thể là nhiều thời gian để tìm câu trả lời. Chúng ta thì lại quá bận rộn nên… thôi, chắc là phải bỏ qua…

- Nói là dốt mẹ nó đi cho rồi!

Ai văng tục thế nhỉ? A! Thầy Cãi! Lão này đáo để thật, té ra là từ nãy giờ vẫn lảng vảng quanh đây! Chúng ta đang mộng mơ ở lưng chừng núi Tu Di huyền thoại mà lão cũng mò tới quấy rầy được thì kể cũng… đại tài.

- Cứ cho là chúng tôi dốt thì ông trả lời đi! - Chúng ta vặc lại.

Thầy Cãi trợn mắt… cãi:

- Nếu không có ai trả lời trước thì tôi hơi sức đâu phải trả lời? Tôi chỉ thích trả lời trong khi… cãi thôi!

- Được!... Nếu chỉ là phán đoán thì chúng tôi tin tưởng sắt đá rằng trong Thế giới Q không thể có số thập phân vô hạn không tuần hoàn…

- Có nhẽ đâu lại thế được! Khi chúng ta coi Thế giới Q là vô hạn, thì có thể “nhặt” từ đó ra vô hạn số đếm và sắp xếp chúng một cách vô hạn nhưng không tuần hoàn để không những làm xuất hiện số thập phân vô hạn không tuần hoàn mà cả số nguyên vô hạn không tuần hoàn.

Thầy Cãi nói xong hếch mũi của lão lên làm mũi chúng ta nóng rực:

- Làm sao mà ông thò được cái mũi hếch của ông vào Thế giới ấy để đánh hơi chứ chưa cần nói là thò tay vào đó mà bốc hốt các con số? Hơn nữa ông làm sao có đủ thời gian để sắp xếp vô hạn số? Xin nói cho ông biết thế này: Cứ cho ông là thánh đi và có đủ thời gian sắp xếp, nhưng một khi ông xác định được số đó là vô hạn thì đồng thời nó cũng trở nên hữu hạn mất rồi…

- Ôi dào ơi! Đừng hiểu kiểu… thực dụng và máy móc như thế chứ!... Trí tưởng tượng có thể thực hiện sự sắp xếp đó một cách hoàn hảo. Một Thế giới Q vô hạn sẽ tạo ra được một số hữu tỷ vô hạn, hiểu chưa mấy cha?!...

- Chúng con hiểu rồi, thưa cha! - chúng ta cười nhạo - Nhưng cha thì chưa hiểu Thế giới Q, cha ạ! Thế giới Q được xây dựng nên từ Thế giới Z với qui ước độc lập cho phép chia, và số thập phân vô hạn được sinh ra từ phép chia ấy chứ không thể từ sự sắp đặt khiên cưỡng được…

- Ái chà! Ha, ha, ha… - Thầy Cãi cười vang - Cũng lôgíc ghê gớm đấy chứ nhỉ?... Để thỏa mãn yêu cầu đó của các anh thật chẳng khó khăn gì. Luật đầy đủ không những cho phép mà còn bắt buộc phải có những số vô hạn không tuần hoàn, chỉ cần “phẩy” đâu đó trước một số thành phần nào đó của nó (nghĩa là chia nó cho 10ⁿ nào đó) thì sẽ làm xuất hiện ngay một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Chúng ta đớ họng và ngượng nghịu thực sự vì dù sao thì Thầy Cãi cũng có lý. Tuy nhiên, chúng ta cố vớt vát với một nụ cười gượng gạo:

- Cứ cho rằng có những số nguyên vô hạn không tuần hoàn như thế nhưng đó chỉ là sự sắp xếp nhân tạo, giả tạo vì Thế giới Q không thể tự sắp xếp được một cách tự nhiên ra như thế. Vì vậy mà những số thập phân vô hạn sinh ra từ chúng không được coi là số hữu tỷ… Cũng có thể cho rằng sự xuất hiện số thập phân vô hạn không tuần hoàn là trường hợp đặc biệt, vừa có tính chất của số hữu tỷ vừa có tính chất khác số vô tỷ. Để phân biệt thì phải đặt tên mới cho loại số này và coi như là sự mở rộng Thế giới Q…

- Lập luận như thế thì thật là… “lỏng lẻo”. Đuối lý rồi phải không?... Dù sao thì các anh đã phải thừa nhận sự tồn tại của những số không phải hữu tỷ, được sinh ra từ hữu tỷ… Thế cũng đã là quá đủ!... Thôi nhé, tôi về đây. Các anh cứ ở lại mà “leo núi”. Sự “công cốc” vĩ đại đang chờ các anh ở chót vót ấy đấy…

Thầy Cãi bỏ đi với cái mũi hếch cao hơn bao giờ hết vì nghĩ rằng đã có được một cuộc “thọc gậy bánh xe” thắng lợi.

Sau khi ông ta đi khỏi, chúng ta bần thần rất lâu mới trấn tĩnh lại được. Ngẫm nghĩ kĩ lại cuộc “cãi nhau” vừa qua, chúng ta vẫn thấy có một cái gì đó rất không tự nhiên trong lý lẽ của Thầy Cãi. Ừ nhỉ, có thể rằng theo nguyên lý về sự đầy đủ, cần phải tồn tại những số hữu tỷ vô hạn không tuần hoàn, nhưng chúng ta không làm sao xác định được nó một cách chắc chắn khi sự hiện hữu của nó là không trọn vẹn. Chúng ta không thể biết được những thành phần số của nó ở những nơi “xa xôi” nào đó mà quan sát không “với tới” được, chẳng hạn như ở vùng “lân cận” của vô hạn, gồm những con số gì và được sắp xếp như thế nào. Trái lại đối với các số hữu tỷ, dù là vô hạn thì nhờ vào tính tuần hoàn của chúng (tính bất biến) mà chúng ta phán đoán, xác định được điều đó một cách chắc chắn, và như vậy thì số hữu tỷ coi như có thể hiện hữu một cách hoàn toàn trước quan sát. Vậy thì số hữu tỷ là có tính xác định. Dù là ở dạng vô hạn thì nhờ vào tính tuần hoàn mà một số thập phân hữu tỷ đều có thể viết được dưới dạng một phân số hữu hạn. Còn đối với số gọi là thập phân vô hạn không tuần hoàn thì trái lại, vì không thể xác định được nên cũng không thể biểu diễn nó dưới dạng một phân số hữu hạn nào đó được.

Như vậy, sự khác biệt cơ bản giữa số hữu tỷ và số vô hạn không tuần hoàn là ở tính xác định được hay không của chúng: Và từ nay, chúng ta gọi những số không xác định được là số “vô tỷ” (không nên lầm lẫn giữa hai khái niệm “số không xác định được” và “ẩn số”!). Số vô tỷ cũng có thể tồn tại dưới dạng nguyên, âm, dương và thập phân.

Có một điều đặc biệt đối với số vô tỷ là: vì chúng bất định nên không thể chuyển đổi qua lại giữa các hệ số đếm để làm mất sự biểu hiện về tính vô hạn của chúng. Điều này được thấy rõ nhất ở số thập phân vô tỷ: vì chúng không thể được định dạng bằng một phân số hữu hạn nên không thể dùng cách chuyển đổi hệ cơ số để xuất hiện dưới dạng số hữu hạn (nghĩa là biến thành số hữu tỷ!?).

Sự xuất hiện số vô tỷ đã buộc chúng ta mở rộng nội hàm của Thế giới Q, làm cho thế giới ấy chuyển hóa thành một thế giới khác, rộng mở hơn, gọi là Thế giới số thực (ký hiệu của số thực là R, và dù có “thực” thì cũng ở trong Thực tại ảo).

Thực ra sự hình thành nên Thế giới R là một tất yếu khách quan trong Thực tại ảo, nghĩa là sự tồn tại số vô tỷ là hiển nhiên, là biểu hiện của nguyên lý về tính đầy đủ, nguyên lý về tính nước đôi, về tính tương phản của Tự Nhiên Tồn Tại. Không thể hình dung nổi một thế giới hoàn hảo lại phiến diện. Đã hoàn hảo thì phải gồm cả không hoàn hảo, đã có âm thì phải có dương, đã có nguyên thì phải có không nguyên, đã có hữu hạn thì phải có vô hạn, đã có tuần hoàn thì phải có không tuần hoàn, đã có hữu tỷ thì phải có vô tỷ… Một khi quan sát còn chưa thấy được một Thế giới biểu hiện ra như vậy thì sự nhận thức vẫn chưa thể đạt tới “đại ngộ”.

Có thể nói nguyên nhân sâu xa làm cho sự nhận thức toán học khám phá ra Thế giới R là sự kiện nó công nhận quyền được tồn tại độc lập đối với các phép tính khác của phép toán khai căn. Chúng ta biết rằng Thế giới Q xuất hiện ra được là do bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia trở nên độc lập tương đối so với nhau. Trong số bốn phép toán đó, phép cộng là phép toán khởi thủy, cho nên nó có tính độc lập một cách “không thể bàn cãi” trong tất cả các thế giới số. Phép nhân là trường hợp riêng, là bộ phận của phép cộng cho nên đương nhiên nó cũng mang đặc tính ấy của phép cộng. Và phép lũy thừa, vì là trường hợp riêng, là bộ phận của phép nhân, nên đến lượt nó, cũng mang đặc tính độc lập đương nhiên của phép cộng. Trong Thế giới số N, phép trừ là được suy ra từ phép cộng cho nên nó mang tính lệ thuộc. Khi phép trừ “trưởng thành” đòi quyền độc lập trước phép cộng, và chắc chắn nó sẽ giành được độc lập, thì Thế giới N sẽ phải chuyển hóa thành Thế giới Z. Tương tự như vậy, khi phép chia giành được độc lập trước phép nhân thì Thế giới Z chuyển hóa thành Thế giới Q. Cũng tương tự như vậy nữa, khi phép khai căn giành được độc lập trước phép lũy thừa thì Thế giới Q sẽ phải chuyển hóa thành Thế giới R.

Trong Thế giới Q, phép khai căn vẫn còn hoàn toàn lệ thuộc vào phép lũy thừa, nghĩa là nếu có 3 số hữu tỷ a; b; c mà:

c = a^b

(c được gọi là số chính phương bậc b của a; a^b được gọi là số lũy thừa bậc b của a);

thì phép khai căn bậc b đối với c mới được thực hiện một cách có kết quả là một số hữu tỷ. Chúng ta có thể viết:

(Để tỏ rõ phép lũy thừa là trường hợp riêng của phép nhân, chúng ta cũng có thể viết quá trình toán học trên dưới dạng:

Khi c là một số hữu tỷ không phải là chính phương bậc b của bất cứ số hữu tỷ nào, nghĩa là:

thì khai căn bậc b của c là không thực hiện được, hay:

Khi phép khai căn “giành được quyền sống” độc lập thì bài toán khai căn nêu trên sẽ có nghiệm. Tuy nhiên nghiệm đó không phải là một số hữu tỷ và vì vậy, chúng ta gọi nó là số vô tỷ. Lúc này, thế giới Q chuyển hóa thành Thế giới R (bao gồm số hữu tỷ và vô tỷ).

¯¯¯

Bắt đầu từ sự đếm, chúng ta đã hình dung ra Thế giới N. Rồi từ Thế giới N, sự tò mò như một định mệnh không thể cưỡng nổi đã “dắt mũi” chúng ta hình dung ra hết thế giới này đến thế giới số khác, cuối cùng là Thế giới R.

Mỗi lần hình dung ra một thế giới số mới, chúng ta vẫn thường quen miệng nói: đó là sự mở rộng của thế giới trước, chẳng hạn, chúng ta nói: Thế giới Q là sự mở rộng của Thế giới Z.

Nói như vậy, trong một chừng mực nào đó là không sai, nhưng cũng không đúng hẳn. Chúng ta cho rằng thực tại ảo là thực tại chủ quan của nhận thức quá khứ phản ánh những biểu hiện của một Thực tại khách quan duy nhất, vừa vô cùng đa dạng, phong phú, vừa cực cùng biến ảo. Do đó mà về qui mô, Thực tại ảo với danh nghĩa là bộ phận của Tự Nhiên Tồn Tại thì nó phải luôn “nhỏ hơn” Thực tại khách quan, nhưng với chức năng phản ánh hiện thực thì nó không hề “thua kém” Thực tại khách quan. Tuy nhiên, do năng lực nhận thức quá khứ còn hạn chế mà Thực tại ảo hiện ra một cách thiếu sót, không đầy đủ và thậm chí là sai lệch nhiều (so với Thực tại khách quan một cách vừa tất nhiên, vừa ngẫu nhiên), trước nhận thức lại của thế hệ sau. Hiện tượng đó chỉ nói lên rằng nhận thức quá khứ đã chưa thể quan sát thấy, chưa “lôi ra được trước ánh sáng ban ngày” biết bao nhiêu thứ, biết bao nhiêu điều còn lẩn khuất, lặn chìm trong cái nền tảng mênh mông và được gọi là hư vô của Thực tại ảo, nghĩa là nhận thức quá khứ đã bó hẹp sự hiện hữu trong Thực tại ảo chứ không phải thu nhỏ qui mô của Thực tại ảo.

Khi nhận thức chỉ quan tâm tới số lượng và những vấn đề của số lượng, thì Thực tại ảo biến tướng thành Thế giới số. Với quan niệm như đã trình bày ở trên thì có thể thấy Thế giới số cũng có qui mô bằng Thực tại ảo. Lúc đầu, trước nhận thức còn thấp, nông cạn thì trong Thế giới số chỉ hiện hữu loại số N. Trình độ nhận thức ngày một cao sâu đã làm xuất đầu lộ diện những loại số khác để rồi cuối cùng thì tất cả các loại số đều bị phát hiện và được gọi một cái tên chung là số R.

Như vậy, chúng ta thấy rằng nếu hiểu một cách chắc chắn sự phát triển từ Thế giới N đến Thế giới R là một quá trình liên tục mở rộng, thì e rằng rất dễ dẫn đến những suy nghĩ lầm lạc đáng tiếc. Dù có thể nói là “mở rộng” thì cũng nên quan niệm rằng qui mô của Thế giới số luôn luôn không đổi, nó chỉ hiện ra ngày một đầy đủ trước quan sát và nhận thức ngày một thâm hậu mà thôi.

Vậy có thể hỏi Thế giới R đã hoàn toàn đầy đủ chưa? Hỏi thế mà cũng hỏi! Đối với chính nó thì nó còn thiếu cái gì nữa?!... Có lẽ nên hỏi thế này: R đã hàm chứa được tất cả các loại số mà thế giới số có thể có chưa?

Sự xuất hiện và hiện hữu một cách rời rạc của vạn vật, hiện tượng trong thiên nhiên đã gây ấn tượng làm hình thành nên khái niệm “số lượng” ở con người. Những khái niệm về số lượng ra đời lần đầu tiên vào thời sơ khai của loài người có thể là “một cái”, “ít”, “nhiều”. Sự đòi hỏi phải xác định rõ rằng được “ít” hay “nhiều” là “bao nhiêu” “cái một” đã làm hình thành nên việc đọc tên những số lượng nhiều hơn “một”. Từ đó, sự đếm giản đơn ra đời và nhờ có 10 ngón tay mà hệ đếm cơ số 10 chiếm thượng phong, trở nên phổ biến và được duy trì đến ngày nay.

Sự đếm, cùng với quá trình hoàn thiện đã dẫn đến một cách đếm tối ưu, phù hợp với khả năng nhớ của trí não con người, qua đó mà cũng phù hợp với tự nhiên và vì thế mà bản thân sự đếm cũng hàm chứa một cấu trúc phổ quát của tự nhiên là tính tầng nấc, lớp lang: cũng như, một cách thức vận động phổ quát của tự nhiên là tính phát triển từ ít đến nhiều, từ thấp lên cao, có trước có sau, trình tự tăng trưởng theo luật tuần hoàn…

Có thể nói con người đã sáng tạo ra những con số nhưng là do sự mách bảo, gợi ý và thúc ép của thiên nhiên. Sự đếm cùng với 10 ký hiệu số đã giúp con người có một khả năng kỳ diệu là có thể đếm được tất cả các số lượng có thể có trong tự nhiên (nếu bỏ qua thời gian!) và cũng có thể viết ra một cách tường minh bất cứ một số lượng nào có thể có của tự nhiên (nếu thời gian cho phép!).

Điều không thể chối cãi được là trong Thế giới R, nếu không chú ý đến ký hiệu âm - dương và dấu phẩy, thì tất cả các loại số, đều được viết ra bằng cách sử dụng các ký số của 10 ký số đã biết và không có một số lượng xác định nào lại không thể viết ra được bằng những ký số đó.

Tính tối ưu của sự đếm theo hệ cơ số (ở đây là cơ số 10), qua những biểu hiện kỳ diệu nói ở trên thôi cũng là đủ để thấy rằng không cần và cũng không thể tìm kiếm một cách đếm tối ưu hơn nữa. Đây phải chăng là nguyên nhân sâu xa dẫn đến việc cho phép chúng ta nhận định rằng: không có một số nào là không có nguồn gốc từ tự nhiên; là không thể biểu diễn được với chỉ bằng những con số cơ sở của hệ đếm?

Nhờ có những biểu hiện rời rạc của Thực Tại Khách Quan mà con người mới có thể xây dựng được Thế giới N và nhờ biết suy diễn ra từ những biểu hiện ấy (có thể là bằng con đường gián tiếp, thông qua Thế giới N), từ những lần vấp váp, bế tắc của quá trình tiếp tục nhận thức không mệt mỏi mà con người đã xây dựng được một thế giới số có tầm khái quát cao, đó là Thế giới R. Có một điều rất đáng chú ý là quá trình chuyển hóa từ thế giới số hạn hẹp hơn thành thế giới số có tầm bao quát hơn chính là vì các phép toán bị lệ thuộc là trừ, chia, khai căn lần lượt được “giải thoát”. Nếu phép trừ không có được sự tự do (tự do thì cũng tương tự như độc lập, ở đây chúng ta qui ước như vậy vì về mặt chính trị - xã hội chưa hẳn đã như vậy: một con dân độc lập thì chưa hẳn đã có tự do nhưng một con dân tự do thì trước tiên phải có độc lập, và một đất nước độc lập đã chắc gì bầu không khí trong nó tỏa ra hương thơm  tự do - dân chủ (?)) thì không thể có Thế giới Z (với sự xuất hiện của số âm, số dương và đặc biệt là số 0 một cách tất yếu). (Nói thêm: việc “nhét” số 0 vào Thế giới N để mở rộng thế giới đó ra là một khiên cưỡng… Nhưng số 0 xuất hiện trong Thế giới Z lại là một sự đương nhiên. Vì khi phép trừ đã được tự do trong Thế giới Z thì: 1 - 1 phải có nghĩa, và nghĩa là gì nếu không phải là “0”?).

Tuy nhiên, đối với Thế giới R, vì 6 phép toán cơ bản đều đã độc lập - tự do nên, nếu theo cách thức “thông thường” nói trên, nó không còn khả năng chuyển hóa để thành một thế giới số nào đó bao quát hơn.

Thế thì còn phương thức nào khác, hay còn phép toán lệ thuộc nào khác mà chúng ta chưa phát hiện ra có thể tạo điều kiện cho Thế giới R tiếp tục chuyển hóa không? Đây cũng lại là một câu hỏi hóc búa nhưng rất dễ trả lời nên chúng ta… không trả lời! (Lạy trời! Thầy Cãi ở đâu thì cứ ở đó, đừng “phi” tới đây!).

Khó lòng mà bịa thêm một phép toán nào nữa để có phép toán lệ thuộc mà giải thoát cho nó đối với thế giới số. Nhưng còn hay không còn một phép toán như thế, là điều chúng ta mù tịt, không thể quyết định được. Tuy nhiên, có một con đường đầy tính suy lý hình thức, vừa ngây thơ vừa nực cười, dẫn dắt chúng ta đến kết luận: Thế giới R chưa phải là thế giới số bao quát nhất.

Dựa vào nguyên lý đầy đủ và nguyên lý thể hiện tương phản của Tự Nhiên chúng ta nói nôm na thế này:

Lúc đầu là Thế giới N, nhưng đã có số tự nhiên thì phải có số phi tự nhiên, do đó mà Thế giới Z xuất hiện. Thế giới Z xuất hiện nghĩa là xuất hiện số nguyên. Nhưng đã có số nguyên thì phải có số không nguyên, do đó mà xuất hiện Thế giới Q. Xuất hiện Thế giới Q có nghĩa là có số hữu tỷ. Nhưng có số hữu tỷ thì phải có số vô tỷ và làm cho Thế giới R xuất hiện. Thế giới R xuất hiện có nghĩa là có số thực. Nếu đã có số thực thì làm sao lại không có số không thực, còn gọi là số ảo, được? Khi đã tồn tại số ảo thì nó sẽ cùng với số thực tác thành nên một thế giới mới được gọi theo tên mà toán học đã đặt cho từ lâu, đó là Thế giới số “phức hợp”, ký hiệu là C.

Tiện đà, chúng ta làm tới: nếu đã có số phức thì đương nhiên phải có số không phức chứ? Đương nhiên là thế! Nhưng số không phức là gì nếu không phải là số phức? Trên đời này không còn số nào khác ngoài số thực và thể tương phản của nó là số ảo. Nếu Tự Nhiên “muốn” tạo ra một loại số “lạ”, có tính đặc thù một chút thì chỉ có thể là tập hợp hai số thực và ảo lại mà thôi cho nên số không phức là số thực hoặc số ảo chứ không thể là một loại số nào khác nữa. Tính “qui căn”, “phản phục” có đi thì phải có về của Tự Nhiên chỉ có thể phởn chí đến Thế giới C là hết. Thế giới C thực sự là thế giới số bao quát nhất, hàm chứa tất cả các thế giới số có thể có trong Thực tại ảo.

Có thể quan chiêm quá trình hình thành số phức trong toán học. Đó là lựa chọn của những người khôn ngoan. Vì chúng ta không muốn bị gọi là khờ khạo nên cũng đã làm điều đó (nhờ thế mà chúng ta mới có được cái tên “số phức” để đặt cho Thế giới số mà chúng ta mới “tìm ra”!). Tuy nhiên “sự hoang tưởng không biết dừng lại” vẫn không thỏa mãn và “lôi kéo” chúng ta “đi bước nữa” trên con đường khác.
(Còn tiếp) 
----------------------------------------------------------