TT&HĐ IV - 36/a

 

Top 10 nhà toán học nổi tiếng nhất thế giới | Toplist.vn

 

 

Toán học Ai Cập cổ đại | Math Channel

                                         

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 


 

Quá trình hình thành và phát triển “vượt lên chính mình” của số học còn lưu lại trong lịch sử toán học biết bao nhiêu câu chuyện kỳ thú, cũng như biết bao nhiêu câu đố hóc búa cho đến tận ngày nay vẫn chưa ai giải được.

Cứ mỗi lần giải được một câu thách đố của những thế hệ các nhà toán học đi trước để lại, phần lớn là do bất lực hoặc cũng đôi khi là do muốn… đố thật, toán học coi như tiến được một bước dài hể hả để rồi lại đụng phải những câu thách đố mới không giải được, tiếp tục “nhường” lại cho đời sau. Toán học làm say mê lòng người phải chăng là như thế và tìm đến chân lý được là nhờ cách như thế?

Chúng ta, vì chỉ là những kẻ lông bông đi tìm “cái gì đó”, và cũng vì trình độ toán học có giới hạn ở tầm cao rất… thấp, nên không muốn và cũng không thể đối đầu, giải quyết  được những “cối xay gió” ấy. Tuy nhiên, những câu chuyện lịch sử số học có liên quan đến chúng và ít nhiều đã pha màu truyền thuyết, giai thoại lúc nào cũng làm cho chúng ta đắm đuối, say sưa. Chúng ta cho rằng một con người cầu tiến sẽ thấy được ở những câu chuyện đó rất nhiều những bài học quí báu về tư duy nhận thức. Tự nhận mình là những kẻ thích lông bông nhưng cũng ham hầu chuyện, chúng ta xin được kể vài câu chuyện trong lịch sử số học đã từng “mắt thấy tai nghe” theo kiểu “nhớ đâu kể đấy” và như thế chắc rằng không thoát được cảnh “không đầu không đuôi” y hệt như… Vũ Trụ vậy. A, ha, ha!... Kể hay hay không hay thì câu nệ làm gì nhỉ? Chúng ta chợt nhớ mình đang ở đâu và hiểu rằng chỉ có thể kể cho nhau nghe và cho thinh không nghe mà thôi. Muốn kể chuyện thì phải biết chuyện. Muốn biết chuyện thì chỉ có cách đã từng hóng, nghe lóm, đọc lóm chuyện ở đâu đó. Như vậy, có thể cho là chúng ta kể chuyện bằng cách ăn cắp tác quyền được chưa?...

Nhớ lại hồi đó, khi chưa lạc chân vào dặm trường thiên lý, chúng ta thường là luẩn quẩn trong một xó nhà ở thành phố Sài Gòn, ngày qua ngày trầm tư mặc tưởng với nỗi buồn cô quạnh, không biết thổ lộ nỗi lòng cùng ai. Thế rồi có một hôm lòng tự ái vì bị thiên hạ bỏ rơi kẻ lánh đời nổi lên ầm ầm, chúng ta đã tức cảnh sinh tình được bài thơ nghe rất… anh ách. Anh ách đến nỗi bây giờ còn nhớ và trước khi tiếp tục kể chuyện, chúng ta ngâm lên cho đỡ nhớ nhà:

Hoài cổ

                              Mời ghé thăm chơi, bạn thập phương

                              Nhà tôn lấp ló mặt tiền đường

                              Sáng nắng, trưa râm, chiều lộng gió

                              Trầm tư mặc tưởng giữa phố phường

                              Tán lá tươi xanh xếp mấy tầng

                              Hai mùa hoa trái đủ đưa hương

                              Đoàn chó vẫy đuôi mừng khách đến

                              Ghế đá trong sân mát lạ thường

                              Nhà không lộng lẫy chỉ hữu tình

                              Chùm khế đong đưa nhuốm ánh vàng

                              Cạnh ông Long nhãn già cổ thụ

                              Là bà Sứ trắng đã còng lưng

                              Thêm anh Nguyệt quế ngạo tóc bồng

                              Nàng Mai chiếu thủy dịu dàng thơm

                              Nghiêng dáng bên hồ làm cá quẫy

                              Đôi rùa ngơ ngáo ở hòn non

                              Hãy ghé khề khà bạn thập phương

                              Rượu quê nhấm nháp độ sương sương

                              Nghe ông gia chủ ham hầu chuyện

                              Chuyện tình, chuyện mộng, chuyện âm - dương

                              Ghé mà thăm lại thuở yêu thương

                              Lời vâng, tiếng dạ, tục hiền lương

                              Cà kê thuần phác nền lễ cũ

                              Ha hả, quên đời, mặc đế vương

                              Ghé vội mà thăm kẻo nhiễu nhương

                              Giải tỏa tràn qua loạn vũ trường

                              Gia chủ sững sờ, buồn, đi mất

                              Thất lạc muôn đời cảnh cố hương…

Ngâm xong bài thơ, lòng chúng ta trở nên sảng khoái lạ thường. Cái gánh nặng về sự lạc lõng, cô đơn ở chốn bao la tĩnh lặng này đã hầu như được vứt bỏ. Chúng ta vặn người, vươn vai, hít một hơi dài đến căng cứng lồng ngực để đầu óc thêm tỉnh táo và cũng để lấy thêm khí thế mà tiếp tục… hoang tưởng. Ở độ cao choáng ngợp như thế này mà có thể hít thở “no nê” dưỡng khí thì chẳng ai mà tin được, và ai cũng nghĩ chúng ta là một lũ “bịa”. Nhưng có bất cứ ai trải nghiệm như chúng ta đâu? Làm sao lại là “bịa” khi chúng ta đang “sờ sờ” ở đây huyên thuyên về số học? Đó chỉ có thể coi là một nghịch lý và nếu có là nghịch lý đi nữa thì chúng ta cũng không thèm quan tâm tới khi vẫn thấy mình khỏe mạnh, tràn trề sức sống và… thèm kể chuyện.

***

Năm 1858, một nhà khảo cổ tên là Lanth, người Scotland, đã may tay mua được một cuốn sách cổ bằng “giấy cỏ sậy” tại chợ đồ cổ Lucsur ở Ai Cập. Giấy cỏ sậy được làm ra từ cây papyrus giống lau, sậy. Người dân sông Nil đem nó về phơi khô, tách ra và ép phẳng thành một loại giấy viết.

Trong cuốn sách đó viết dày đặc các ký hiệu mà sau này, khi được giải mã, người ta mới biết đó là một cuốn sách toán học của thời Ai Cập cổ đại xuất hiện vào khoảng 2000 năm TCN, tác giả là một người có tên Amos. Trong sách có 85 bài toán thực dụng và cách giải. Người ta gọi cuốn sách đó là “Sách giấy cỏ sậy Amos” hay “Sách giấy cỏ sậy Lanth”. Hiện nay, nó vẫn được lưu giữ trong Bảo tàng London (nước Anh).

Cuốn sách nói trên là một trong những tài liệu ghi chép toán học cổ xưa nhất có các ký hiệu thể hiện các phân số mà ngày nay người ta phát hiện được. Đặc biệt, trong đó, các ký hiệu thể hiện các phân số có tử số là 1 xuất hiện một cách có hệ thống.

Các phân số có tử số bằng 1 được gọi là “phân số có tử số đơn” hay ngắn gọn hơn là “phân số đơn” và vì lần đầu tiên nó được phát hiện trong cuốn sách của Amos nên còn được gọi là “phân số Ai Cập”. Cũng trong cuốn sách này, người ta thấy có những bảng đối chiếu giữa các phân số có tử số lớn hơn 1 với tổng các phân số đơn, mà theo ký số hiện đại thì như thế này:

Hiện nay, người ta vẫn chưa biết được là bằng cách nào mà người Ai Cập cổ đại đã lập ra các bảng đối chiếu đó. Theo chúng ta thì nhiều khả năng họ đã dùng cách phân chia một đoạn thẳng hình học tượng trưng. Chẳng hạn, để thiết lập được:

người Ai Cập cổ đã vẽ một đoạn thẳng rồi chia 3 đoạn thẳng đó, lấy 2 phần đoạn thẳng đó đem chia thành 4 đoạn. Rõ ràng là một phần tư cộng ba phần tư của đoạn thẳng sau chính bằng đoạn thẳng đó và cũng bằng một phần sáu cộng một phần sáu đoạn thẳng ban đầu (xem minh họa dưới đây):

Tuy nhiên các nhà toán học thấy rằng không phải cách đối chiếu như trong bảng của người Ai Cập cổ đại là duy nhất, vì thí dụ như ngoài cách biểu diễn:

Còn có các cách:

Có thể thấy rằng khi đem chia 2 vế của đẳng thức:

cho 2, sẽ có:

, nghĩa là một phân số đơn bằng tổng hai phân số đơn. Vậy thì liệu một cách tổng quát, có thể biểu diễn một phân số đơn bất kỳ thành tổng của hai phân số đơn được không?

Để tiện theo dõi, chúng ta cho rằng một phân số đích thực là một phép chia không thực hiện triệt để được trong thế giới số nguyên. Hơn nữa, nếu có:

thì cũng có: ,

nên chúng ta có thể coi phân số là những phép chia không giải quyết được trong thế giới số tự nhiên (không âm, không dương) trong quá trình tìm lời đáp cho câu hỏi vừa nêu mà không làm giảm đi tính tổng quát.

Giả sử chúng ta có một phân số không phải là phân số đơn (gọi là “tạp”):

thì bao giờ cũng có thể viết được:

Và nếu như thế thì cũng viết được:

Nếu  và  là giải quyết được trong Thế giới N thì chúng phải là những số tự nhiên, tạm gọi là và :

Hơn nữa là:

Đặt lại:  thì viết được:

Câu hỏi đã được giải đáp!

Thí dụ:

1/ Có   Trong trường hợp y và z bằng nhau thì nghiệm duy nhất của bài toán là:

Tuy nhiên chúng ta có thể nhìn bài toán dưới dạng tổng quát hơn. Vì một phân số còn có thể viết dưới những dạng gọi là chưa được ước lược (giản lược) của nó nên trong trường hợp này có thể viết:

với b là một số tự nhiên bất kỳ. Nếu có hai số (tự nhiên) y và z sao cho:

và  cũng như  là những số nguyên thì:

Khi , thì cũng có nghĩa là chúng bằng b cho nên:

Trong trường hợp , để cho:

chia hết được thì y và z phải là những số hàm chứa tích của một số tự nhiên với số 3 hoặc bằng 1. Giả sử rằng:

Chúng ta thấy tốc độ tăng của z nhanh hơn của 3b, cho nên từ b'=7 trở xuống, 3b không bao giờ chia hết cho z nữa.

Nếu p=2 thì b ít ra cũng phải bằng 4, và lúc này:

Đó thực ra là trường hợp

Có b=6 khi p=2 không? Có, nhưng… vô nghiệm.

Đến đây, có thể kết luận rằng:

   

Có thể cho rằng  luôn bằng b mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán và nghiệm duy nhất của nó là:

hoặc:         

Có thể kiểm chứng lại:

2/ Có . Phân tích ra được:

Rõ ràng là nó không thể phân tích được thành tổng hai phân số đơn. Tuy nhiên có thể biểu diễn nó thành tổng của ba phân số đơn là:

và do đó cũng có:

Có một câu hỏi đặt ra là có thể chọn hai số tự nhiên a, x với a > x và các số tự nhiên b, c, d để thiết lập đẳng thức:

được không?

Trường hợp x = 4 thì được rồi. Trường hợp x = 2 thì:

Nghĩa là cũng được. Còn trường hợp x = 3 thì cũng được luôn vì có:

Thế còn khi x > 4?

Chúng ta biết rằng có thể viết:

Nếu xn viết được thành tổng các số y, z, k mà an đều chia hết cho các số ấy thì có thể biểu diễn được  thành tổng của ba phân số đơn. Chẳng hạn có:

Tuy nhiên khi x > 4 thì có làm được như thế không?

Vấn đề tưởng đơn giản, nhưng đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để?

Năm 1950, nhà toán học người Hungari tên là Palel Erdôs (1913-1997) đưa ra phỏng đoán rằng khi  thì chắc chắn có nghiệm.

Nhà toán học Straus đã chứng minh được khi  thì phỏng đoán đó đúng.

Vào năm 1964, nhà toán học Kha Triệu, người Trung Quốc, đã chứng minh rằng khi thì phỏng đoán của Erdôs cũng đúng.

Đến năm 1978, nhà toán học Fransissain chứng minh được rằng khi thì điều phỏng đoán đó vẫn đúng.

Chưa ai biết được tình hình sẽ như thế nào khi x là một số bất kỳ!

Chúng ta cho rằng dù x và a là bất kỳ thì với điều kiện , luôn có:

Vì sao vậy?

Vì rằng có thể nhân tử số và mẫu số của phân số  cho một số tự nhiên q nào đó, sao cho:

Như thế sẽ có:

và có thể nhóm gọn vế phải lại:

Khi N là số tự nhiên vô hạn thì cũng làm cho N! vô hạn, thành số lớn nhất có thể chia hết cho mọi số, kể cả bản thân nó. Vì vậy:

Và đó có thể chỉ là cách viết tổng quát của cách viết với những bộ ba số b, c và d khác nhau:

Có một vấn đề nữa là:

Vì  cho nên có thể phân tích 1 thành tổng vô hạn của những phân số đơn giống nhau:

Thế thì có thể phân tích  khi  thành một tổng như thế không? Xem phần trên cũng biết là không bao giờ làm được điều đó. Tuy nhiên, nếu chỉ là tổng của những phân số đơn không nhất thiết phải khác nhau thì có thể làm được.
(còn tiếp) 
--------------------------------------------------------------