Thứ Ba, 13 tháng 7, 2021

TT&HĐ IV - 35/a

 
                                                      Pythagoras - Thiên tài toán học
 
Thales – Triết Gia Lừng Danh Thời Hy Lạp Cổ Đại, “Cha Đẻ” Của Định Lý Ta-Lét
                                                                 
PHẦN IV:     BÁU VẬT 
 
"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."
NTT 
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 
 
Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng niềm hạnh phúc này.
D. Henziut
 
Những người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc 
 

Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua. 

Rene Descartes

Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. 
 Voltaire 
 
Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách. 
 Plato 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 
 
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
 Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
  
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG III (XXXV): KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.
D. Gilbert

“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”
 Galileo Galilei
“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”
Gottfried Leibniz
"Đấu tranh sinh tồn hun đúc nên tư duy trừu tượng. Tư duy trừu tượng đẻ ra triết học. Khi nhận thức triết học được định lượng và định dạng thì toán học ra đời. Không có toán học trong thực tại, loài người vĩnh viễn mù lòa, nhưng khi toán học bay lạc ra ngoài thực tại, loài người trở nên bất định, hoang mang, phạm sai lầm trong nhận thức Vũ Trụ".
 NTT
 
Như đã nói, số học và hình học là hai bộ phận hợp thành toán học cơ sở. Chúng là hai thể đối ứng tương phản nên độc lập tương đối so với nhau. Nói như thế không có nghĩa là chúng đối lập hoàn toàn với nhau mà thực ra vì cùng xuất thân từ quá trình nhận thức Thực Tại và có chung một nền tảng về quan sát của tư duy trừu tượng nên dù có thể phân biệt được, dù “lưỡng phân” thì trong cái này có cái kia và ngược lại (trong âm có dương và trong dương có âm), hay có thể nói một trong những công cụ của số học là hình học và đồng thời một trong những công cụ của hình học là số học. Nói đến lưỡng phân thì phải nói đến lưỡng hợp, nói đến phân biệt được thì phải nói đến không phân biệt được, đó là đặc tính của Tồn Tại. Do vậy số học và hình học phải hòa hợp với nhau (như đại số tuyến tính, hình học giải tích…) mà thành một thực thể toán học thống nhất, sinh động và biến ảo như mọi sự vật - hiện tượng khác trong cái Thực Tại đích thực lẫn Thực Tại hạng hai (mà từ nay chúng ta có thể đặt tên lại cho chúng là Thực Tại thực và Thực Tại ảo), hay có lẽ, để cho đúng hơn, phải nói là trong Thực Tại hòa quyện cả thực lẫn ảo (vì việc phân ra một cách siêu hình Thực - Ảo là không phù hợp với Thực Tại và chúng ta tạm chấp nhận thế để khỏi xuất hiện… mâu thuẫn).

 Trong chương này chúng ta sẽ nói về số học (và chỉ có thể nói một cách ngây ngô và thô lậu mà thôi).
Số học bắt đầu từ đâu?
Trả lời một cách chính xác nhất mà cũng mù tịt nhất là: số học có nguồn gốc từ thực tại. Câu trả lời bớt mông lung hơn nhưng cũng kém chính xác hơn là: số học bắt đầu từ sự “giống như” đếm, với sự sắp xếp những hiện vật biểu tượng cho số. Câu trả lời dễ hình dung nhất và kém chính xác nhất là: số học ra đời khi xuất hiện các con số và sự đếm. Còn muốn hoàn toàn rành mạch và hoàn toàn dễ hiểu thì có thể trả lời thế này: Pitago là ông tổ của số học.
Để còn có thể tiếp tục tiến lên phía trước (theo kiểu đi thụt lùi cũng được, hay muốn nói đi lùi về tương lai cũng không sao, miễn là “tiến”!), chúng ta cứ thừa nhận rằng số học bắt nguồn từ nhu cầu đếm số lượng.
Còn sự đếm bắt đầu từ đâu? Không biết! Sao không biết khi số học là cái khó hơn còn biết trả lời? Vì trả lời kiểu như thế thì “nước đôi” quá, một lần cho vui thôi chứ lặp lại e… không tiện. Sao lại không tiện? Vì là, vì là, vì là… chưa… chưa có, có… qui ước, thì, thì không thể… thể… quyết định được.
Ngay cả một mệnh đề toán học, nếu các ký hiệu văn tự trước đó chưa được giải nghĩa (chưa hàm chứa khái niệm), thì cũng “câm nín”, cũng là  “đồ bỏ đi”; ngay cả một tiên đề nếu không không nằm trong những qui ước trước đó, thì cũng trở nên phi lý. Nói to tát ra: toán học chỉ chính xác khi nằm trong qui ước nhưng cũng chỉ chính xác trong một phạm vi nhất định, vì bản chất của Thực Tại là nước đôi. Một đoạn thẳng, lúc này có số đo hữu tỷ, thì lúc khác, trong hoàn cảnh khác, số đo độ dài của nó trở thành vô tỷ.
Thực tại trước quan sát đơn thuần là thực tại bất định. Chỉ khi nằm trong sự qui ước của chúng ta, nó mới thành thực tại xác định. Vì không có qui ước nên không thể trả lời chính xác được là sự đếm bắt đầu từ đâu. Ngày nay nhiều biểu hiện ở những động vật bậc cao được nuôi dạy hoặc cả trong thiên nhiên hoang dã mà người ta đoán rằng chúng biết đếm. Nhận định đó có thể đúng mà cũng có thể sai và để gọi thế nào là đúng, thế nào là sai thì trước tiên phải qui ước: đếm là gì. Một con chó sủa 1 tiếng khi người dạy nó giơ 1 ngón tay, sủa 3 tiếng khi giơ 3 ngón tay và khi viết lên bảng 3+1 thì nó sủa 4 tiếng. Vậy con chó đó có biết đếm và làm toán cộng (+) chưa? Đó là một câu hỏi không thể trả lời dứt khoát được, hay nói một cách toán học là không thể quyết định được… Tuy nhiên nếu “hỏi” con chó: “Số 3 là gì?” thì nó sẽ chỉ sủa; “3 là 3” và không thể biết được: 3 là 1+1+1 hoặc là 1+2.
Nói dông dài cho vui thế thôi chứ NTT đã có lần dạy chúng ta rằng: sự đếm và những con số tất yếu phải nảy sinh trong thực tiễn hoạt động sống và mưu sinh của con người thời hồng hoang, tối cổ, và là một kết quả của quá trình quan sát, tìm hiểu thiên nhiên để học hỏi, bắt chước thiên nhiên, dựa vào thiên nhiên mà sáng tạo.
NTT dạy chúng ta thế và chúng ta hãy cứ biết thế. Đừng có “này nọ” với NTT làm gì đâm to chuyện! NTT chúa là gàn rở và hay “cáu tiết”. Chúng ta đã có nhiều kỷ niệm “đau thương” với NTT. Xin kể ra đây một kỷ niệm trong số đó:
Xưa kia, có lần chúng ta hỏi NTT (một cách rụt rè):
- Thưa NTT, “sáng tạo” là gì ạ?
- Là làm ra cái mà trước đó thiên nhiên chưa có.
- Thế thì thưa ông, đám mây đang lơ lửng trên bầu trời kia, với hình dạng mà cả tỷ năm trước không có đám mây nào giống thế, thì nó có phải là được sáng tạo không ạ?
NTT cười ruồi:
- Không, không phải. Đó là sự tạo dựng
- Tạo dựng khác sáng tạo ở chỗ nào ạ?
- Tạo dựng là mù quáng, thụ động và không có mục đích. Sáng tạo là có lý trí, chủ động và có mục đích. Tạo dựng không biết tạo dựng để làm gì còn sáng tạo biết sáng tạo để làm gì. Hiểu chưa?
- Vâng, hiểu rồi ạ! Nhưng xin ông cho hỏi thêm câu nữa: Ngày xưa, Lang Liêu làm ra cái bánh chưng đầu tiên, rõ ràng đó là sáng tạo, vậy thì ngày nay người ta làm ra những cái bánh chưng giống hệt như thế có được gọi là sáng tạo không ạ?
- Không, không thể gọi như thế mà phải gọi là tạo dựng. Hãy nên nhớ rằng những sự lặp lại không thể hiện tý khôn ngoan nào đều không thể được gọi là sáng tạo. Mà này, nói cho cùng ra thì Lang Liêu củng chỉ tạo dựng ra bánh chưng mà thôi và chính vị nữ thần kia mới là kẻ sáng tạo, vì bà là người đã nghĩ ra và chỉ cho Lang Liêu làm… Con người không thể làm ra được điều gì hay ho nếu không biết học hỏi, bắt chước, dựa vào thiên nhiên… Các anh hãy học thuộc điều ấy, nhớ chưa lũ ưa bắt bẻ? - NTT bắt đầu đỏ mặt tía tai.
Trong chúng ta có một đứa vô ý vô tứ cười ré lên:
- Thế thì con người cũng chỉ tạo dựng thôi chứ làm gì có sáng tạo? Và chính sự tạo dựng mù quáng mới là sáng tạo vì nó… không bắt chước cái gì cả, hơn nữa, tạo dựng cũng có tính mục đích, mục đích của nó là tồn tại!
- Cái thằng ngố này, biết một mà không biết hai. Tạo dựng dù không biết bắt chước, dù có mục đích là tồn tại đi chăng nữa thì nó vẫn cứ chỉ là một quá trình tạo dựng vô tình, thụ động và muốn ra sao thì ra. Sáng tạo cần phải học hỏi bắt chước vì sáng tạo trước hết là phải biết tạo dựng một quá trình cố ý để có được kết quả mới mẻ cho ra ngô ra khoai theo ý muốn. Có thể nói sáng tạo là tạo dựng ra cái mới của con người nhằm phục vụ cho danh lợi của mình, là…
- Nhưng thưa, thế nào gọi là “mới mẻ” ạ?
- Ta đang giảng giải cho mà sáng mắt ra, thế mà anh nào lại mở mồm ra nữa thế?... Thật không biết phép tắc lịch sự là gì!... Và cả sự ngớ nga ngớ ngẩn của đám các anh nữa, không biết đến đâu mà lường. Thôi thì ta nói nhanh gọn thế này: sáng tạo thì cũng là bộ phận của tạo dựng nên cứ thoải mái cho rằng trên đời này chỉ toàn là tạo dựng mà thôi, muốn chọn ra thứ nào theo qui ước nhất định rồi gọi đó là sáng tạo cũng được…
- Nhưng Kim Tự Tháp vẫn mãi mãi là niềm tự hào sáng tạo của loài người, không thể phản bác được!
Câu nói đã làm NTT mất bình tĩnh ghê gớm:
- Không có qui ước nào cả mà dám khẳng định thế hả, bọn nhãi ranh?! Kim Tự Tháp là kết quả tạo dựng của nhân dân Ai Cập cổ đại và chỉ có họ mới có quyền tự hào (trong đau thương) về nó. Cố lắm thì cũng chỉ nói vậy được thôi. Biết bao nhiêu sinh linh đã uổng mạng vì Kim Tự Tháp, biết bao nhiêu tội ác còn ẩn chứa trong đó, có biết không hả bọn khốn kia?! Đối với thế hệ loài người ngày nay Kim Tự Tháp, dù là nhân tạo, thì cũng đã thuộc về thiên nhiên, là bộ phận của thiên nhiên rồi, chứ nào phải là sáng tạo của họ đâu mà tự hào? Hơn nữa loài người, xét cho cùng cũng chỉ là tạo vật của Thiên nhiên và nói theo quan điểm của thiên nhiên thì: “Chả có sáng tạo nào ở đây cả!”. Rõ chưa hả những thằng “vô ước”?! Thôi, cút đi cho khuất mắt ta!...
Chúng ta không đi mà… chạy như bị ma đuổi. Từ lần đó, chúng ta đã đại ngộ một điều rằng: đừng bao giờ “chắc như đinh đóng cột” khi chưa có qui ước và...cả khi đã có qui ước!
Phải nói rằng nhờ tò mò tọc mạch, lại hay hỏi những câu vặt vãnh mà chúng ta đã học được biết bao nhiêu điều mới lạ (còn đúng hay không thì không quyết định được!) từ NTT, những lúc ông ôn tồn giảng dạy cũng như khi ông chửi bới cho tơi bời.
Có lẽ sự đếm đã manh nha trong thời đại săn bắt hái lượm. Lúc đầu là kiểu đếm “tạm gọi là” trực quan, “người thật, vật thật”, rồi đến kiểu đếm “người thật, vật giả” (vật thay thế, như: hòn sỏi, viên đá, que, vỏ sò, ngón tay… chẳng hạn). Sau đó là dùng khắc vạch giản đơn. Khắc vạch giản đơn cùng với những nhóm khắc vạch biểu diễn số lượng, lâu dần tạo ra những biểu tượng và “bật ra” thành ngôn ngữ qui ước, manh nha hàm chứa khái niệm. Vào thời đại trồng trọt, chăn nuôi và nhất là khi con người lấy định cư lâu dài và sản xuất cây lương thực (lúa nước, lúa mì…) làm phương thức sống chủ yếu thì do đòi hỏi bức thiết mà sự đếm tiến bộ nhanh chóng và cùng với nó là các ký hiệu số, biểu trưng số lượng được cải tiến ngày một hoàn thiện theo hướng tối ưu, nhất là các phép toán.
Xem xét sự đếm theo hướng khác, chúng ta thấy rằng điều kiện hiển nhiên và tiên quyết là phải có đơn vị nhỏ nhất để từ đó mà sự đếm bắt đầu. Nhận thức về số lượng của con người trong lịch sử, chắc chắn cũng phải bắt đầu từ cái đơn vị, cái đơn vị nhỏ nhất, mà sau này gọi là cái “một” hay ký hiệu là “1”. Sự đơn chiếc là hình tượng trực quan nhất và đồng thời cũng là trực giác nhất. Khi đã biết có cái một rồi thì từ đó cũng sẽ có hai cái một, ba cái một… và khi “gom” chúng lại thì cũng là lúc sự đếm bắt đầu.
Sự đếm ra đời từ việc con người mở miệng ra… đếm, và có thể là (theo cách nói hiện đại), lúc đầu từ:
“Một, nhiều”
rồi: “Một, nhiều, nhiều và một, quá nhiều”
…
Cuối cùng, dựa vào cấu trúc bàn tay năm ngón mà họ đếm:
“Một, hai, ba, bốn” và năm là số tối đa còn đếm được.
Nếu giả sử chúng ta chính là những con người tối cổ thời “bập bẹ” tập đếm thì lúc đầu, khi “đếm” mới chỉ là trực quan và được thực hiện bằng tay với việc “bốc, xếp” những viên sỏi thì để đếm từ 1 đến 5, có thể chúng ta đã “viết” như sau:
Sự đếm phát triển và vì có hai bàn tay nên chúng ta “đếm” tiếp:
Theo cái đà ấy, chúng ta có thể tiếp tục đếm nhưng rồi cũng đến lúc quá ư là rối rắm, nhầm lẫn liên miên, quá ư nặng nhọc và mất luôn cả tính ứng dụng thực tiễn.
Tình hình đó, cũng như lúc đột nhiên nảy sinh nhu cầu “đếm” lại không có sỏi để đếm đã làm chúng ta đi đến sáng kiến (không biết NTT có cho đây là hành vi sáng tạo không nhỉ?) dùng que vạch lên mặt đất bằng (vạch dễ hơn vẽ chấm tròn và thấy rõ hơn chấm tròn), như sau:
Nhưng trong thực tiễn, sự đếm đâu chỉ đến 10 đơn vị là hết và nếu cứ thế mà vạch mãi thì cũng lại nảy sinh những vấn nạn đã nêu ở cách đếm sỏi. Vậy phải tiếp tục cải tiến cách viết cho gọn, nhẹ, dễ nắm bắt số lượng hơn, và chúng ta viết lại:
 
 
Cách viết này làm chúng ta khoái chí vì thực sự đã tiện lợi hơn nhiều so với những cách trước. Hơn nữa, điều quan trọng nhất là từ đây, trong bộ não còn mù mờ về nhận thức của chúng ta đã bắt đầu hiện lên những biểu tượng của “con số”. Nếu thấy đâu đó có “hình vẽ” , chúng ta đều biết ngay đó là 5 đơn vị, nếu thấy , chúng ta sẽ cười khẩy và ngay lập tức “ú ớ”: “Mười lăm” mà khỏi cần… nghĩ ngợi hay đếm lại làm gì cho mệt xác.
Tuy nhiên cách viết này (có thể gọi là cách viết “số” ngang, theo hàng ngang và xuống dòng) có một “phiền phức” là nếu giữ khoảng cách giữa các số không đều (đôi khi nhỏ hơn khoảng cách của các ký hiệu trong “con số”), dễ gây nhầm lẫn tai hại. Cho nên một số người trong chúng ta thích viết kiểu: con số nằm ngang nhưng sắp thứ tự theo cột và vì “xuống dòng” thì họ “sang cột” (phải chăng dấu vết của kiểu viết này chính là lối viết sau này trong cách viết chữ tượng hình của người Hoa Hạ?).
Dù sao thì cách viết vừa rồi vẫn chưa khắc phục được sự “cồng kềnh” một cách dứt khoát được, khi mà chúng ta phải đếm với số lượng ngày một nhiều trong thời kỳ trồng trọt, chăn nuôi và nhất là trong sản xuất nông nghiệp có tính đại trà. Lại xuất hiện sự đòi hỏi phải cải tiến hơn nữa về cách viết các con số! May thay, sự xuất hiện biểu tượng về số lượng đã giúp chúng ta tìm ra cách: nếu ký hiệu   là biểu tượng của 5 đơn vị thì có thể dùng ký hiệu  làm biểu tượng cho 10 đơn vị. Cách đó kể cũng hay nhưng hay… ít thôi, vì chả giải quyết “khủng hoảng” được bao nhiêu. Chúng ta loay hoay tìm hết cách này đến cách khác và cuối cùng là đi đến… bế tắc.
Khi chúng ta đếm thì cũng là lúc hình thành các con số. Các con số đầu tiên ra đời cũng chính là số thứ tự. Có thể nói số thứ tự là kết quả của hành vi “cộng vào” số trước đó 1 đơn vị một cách tự phát (vô ý thức) của chúng ta, để rồi sau đó, trong quá trình thao tác, sử dụng chúng, sự “cộng vào” tự phát đó sẽ chuyển biến thành tự giác (có ý thức) và phép “cộng” (+) đóng vai trò là phép toán đầu tiên gợi mở cho 3 phép toán: trừ (-), nhân (x), chia (:) ra đời và hợp với chúng tạo thành 4 phép toán cơ sở, cốt lõi, mang tính tiên đề của toán học.
Việc sắp xếp thứ tự lần lượt các con số cho chúng ta biết rằng:
 

Thế bớt đi thì còn lại gì? Chúng ta còn có một củ khoai, đói quá, chúng ta ăn luôn củ khoai đó thì chúng ta còn lại gì (qui ước là chỉ nói về khoai của chúng ta thôi!)? Chẳng còn gì cả! Vậy cái con số “chẳng còn gì cả” ấy được viết như thế nào? Rõ là lắm chuyện! Đã không còn gì cả thì còn viết ra thế nào được nữa? Và chúng ta để trống chỗ “không còn gì cả” ấy có lẽ cũng đến ngàn năm chứ không ít!
(Còn tiếp) 
--------------------------------------------------------


vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)