TT&HĐ IV - 35/f

                                                                           số hữu tỉ

PHẦN IV:     BÁU VẬT 
 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."

NTT 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

 

Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng niềm hạnh phúc này.
D. Henziut

 

Những người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc 

 

Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua. 

Rene Descartes

Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. 

 Voltaire 

 

Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách. 

 Plato 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.

 Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG III (XXXV): KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.

D. Gilbert

“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”

 Galileo Galilei

“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”

Gottfried Leibniz

"Đấu tranh sinh tồn hun đúc nên tư duy trừu tượng. Tư duy trừu tượng đẻ ra triết học. Khi nhận thức triết học được định lượng và định dạng thì toán học ra đời. Không có toán học trong thực tại, loài người vĩnh viễn mù lòa, nhưng khi toán học bay lạc ra ngoài thực tại, loài người trở nên bất định, hoang mang, phạm sai lầm trong nhận thức Vũ Trụ".
 NTT

 

(Tiếp theo)

Dĩ nhiên là chúng ta không dám làm điều đó rồi vì dù có “cứng đầu cứng cổ” đến mấy chăng nữa thì làm sao mà đọ nổi khối khổng lồ đó khi nó đã được thực chứng xác nhận là đã hóa kim cương? Chúng ta không làm điều đó được còn vì một điều hết sức thiêng liêng: Chúng ta vốn dĩ là những học trò thuộc dạng tầm thường của toán học, nhờ toán học dạy dỗ mà may ra được nên người. Có thể chúng ta đã là những học trò ngỗ nghịch nên mới có những suy tư kỳ quặc như vậy chăng?

Không! Chúng ta luôn kính nể toán học nhưng nghe theo Tự Nhiên Tồn Tại. Toán học ngày nay nói chung là phù hợp với Tự Nhiên Tồn Tại theo cách thể hiện đặc thù của nó vì nó đã được nhận thức đi, nhận thức lại một cách sâu sắc qua hàng ngàn năm, bởi những bộ não thuộc hàng uyên bác nhất của loài người mà thiên nhiên đã hun đúc nên được. Thế nhưng, dù sao thì toán học chưa đến được tuyệt đích trên con đường của nó và vì thế nó vẫn còn đôi chút vấn đề chưa phù hợp với chân lý khách quan hoặc phù hợp một cách nửa vời! Cần thấy rằng thế hệ sau, nói chung, vẫn nhìn được bao quát hơn thế hệ trước trong quá trình tư duy để nhận thức thực tại, vì đã được thế hệ trước chỉ bảo, dạy dỗ, nâng niu trên đỉnh cao sự nghiệp của họ. Có thể nói rằng “hậu sinh khả úy” cũng là một qui luật của tư duy nhận thức. Và nếu đúng như vậy thì có sự uyên bác nào lại không bắt đầu từ sự khờ khạo, có cái vĩ đại nào lại không có nền móng là từ những cái tầm thường?

Lời tâm sự chí lý của Trương Khải Siêu còn văng vẳng bên tai chúng ta, và lúc này đây nó có tác dụng làm cho chúng ta bớt đi nỗi hoang mang và sợ hãi.

Rất có thể trong trường hợp này, toán học đã đúng và chúng ta cũng… đúng. Vậy thì cần phải có một sự thỏa thuận!

Sự thỏa thuận đã đến rất nhanh vì chúng ta sực nhớ lại điều này: toán học đã ngấm ngầm lựa chọn và qui ước rằng:

           

Nếu theo qui ước trên thì cách viết của chúng ta chả khác gì cách viết của toán học; khi bỏ qua nội dung trong dấu ngoặc đơn:

            

Tuy nhiên, về mặt nhận thức thì giữa chúng ta và toán học có chút khác biệt. Chúng ta quan niệm rằng, trong một điều kiện, hoàn cảnh nào đó thì là một sự thực của Thế giới Z. Trong khi đó, toán học lại cho rằng i² = -1 là một “đơn vị ảo”. Để giải được bài toán:

x² + 1 = 0

toán học đã phải xây dựng nên một cách khiên cưỡng khái niệm “số ảo” và bài toán có nghiệm là x² = -1. Còn cách giải của chúng ta thì đơn giản hơn mà cũng có thể là triệt để hơn; như sau:

Vì có:         

Và cũng có:

Nếu có ẩn số x thỏa mãn thì x phải bằng . Chúng ta có thể nhìn bài toán x² + 1 = 0 ở góc độ như là một bài toán tổng quá trong thế giới Z:

- Bài toán đó là vô nghiệm trong Thế giới N (không có số âm)

- Trong thế giới thuần âm (toàn số âm):

             

Trong khu vực thuần âm, các số âm trong bài toán sẽ mất dấu tương phản và được coi như (hay trở về thành) số tự nhiên, do đó

            

(Khi so sánh với số dương kết quả đó sẽ hóa thành )

Trong thế giới âm - dương, dấu âm không thể mất, do đó:

           

Có thể gọi đây là bài toán của các số âm trong Thế giới Z. Chúng ta nói đến vấn đề cuối cùng nảy sinh từ bài toán tổng quát 1 x 1 = 1:

Tại sao:

Chúng ta quan niệm rằng, khi phép toán là biểu diễn của một sự tích hợp nào đó thì đó là quá trình tích tụ từ 2 đơn vị tương phản nhau nhỏ hơn, thành 1 đơn vị mới lớn hơn. Có thể hình dung quá trình đó như quá trình hội tụ của hai nguyên tử ion thành một phân tử, hoặc giai đoạn cuối của quá trình hai hợp chất trao đổi gốc ion cho nhau để biến thành chất mới, trong các phản ứng hóa học. Đơn vị mới hình thành trong hóa học rõ ràng là trung tính do nội tại trong nội tại nó dù vẫn tồn tại nhưng đã hòa hợp với nhau, “rủ nhau lặn đi”. Một vật được gọi là trung tính khi nó biểu hiện không âm, không dương, dù nội tại nó vừa âm vừa dương (đề huề!). Chính vì vậy mà kết quả của phép toán trên là một số tự nhiên (). (Và để mô tả tính vừa âm vừa dương của nó chúng ta dùng ký hiệu * với qui ước là không xác định được, nghĩa là có thể là hay , hay cũng có thể là ).

Trong trường hợp phép toán trên được suy ra từ phép cộng (mà phép cộng lại được suy ra từ sự đếm) thì một trong hai số và phải đóng vai trò số đếm: Có 4 trường hợp đếm có thể xảy ra:

- Một (dương) lần của bằng

- Một (âm) lần của bằng

- Một (không âm không dương) lần của (hoặc ) bằng (hoặc ).

Tuy nhiên, nếu qui ước số đếm (hay số “lần”) nào cũng là số tự nhiên thì chúng ta có thể viết lại 4 trường hợp đếm ở trên dưới dạng toán học:

                 

Toán học qui ước: , do đó có thể viết:

Qui ước như vậy có lẽ cũng đúng vì trong hệ thống bài toán đã có một trường hợp

thay thế được cho . Dù sao, theo chúng ta nghĩ, bài toán: không phải có duy nhất một nghiệm .

Như vậy, bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia của Thế giới N cũng là bốn phép toán cơ sở của Thế giới Z, nhưng vì Thế giới Z, tuy được xây dựng nên từ Thế giới N, vẫn bộc lộ những tính chất riêng, đặc thù, nên bốn phép toán đó cũng chịu chung “số phận” đó, nghĩa là chúng cũng phải có tính riêng (mà ở đây có thể gọi là tính “mở rộng”).

Trong Thế giới Z, phép trừ trở nên hoàn toàn độc lập với phép cộng, hay nói đúng hơn là sự xuất hiện hai phép toán đó là “tự do”, không lệ thuộc vào nhau và cũng đồng thời là thuận, nghịch của nhau. Giả sử có 2 số nguyên bất kỳ là a, b và một số nguyên được chọn là c, thì:

          

Và khi qui ước thì có thể nói phép trừ trong Thế giới Z đã lặn đi, vẫn tồn tại mà không hiện hữu nữa. Theo qui ước đó, chúng ta có thể viết lại sự diễn tả toán học phía trên như sau:

          

Sự xuất hiện phép nhân trong việc biểu diễn số lượng và sự vận động nội tại của Thế giới Z cũng là một tất yếu. Phép nhân được cho là xuất phát từ phép cộng, đồng thời từ hiện tượng tạo dựng sự vật - hiện tượng “mới” trong Thế giới ảo, Thực tại ảo của Thực tại Khách quan.

Đối với Thế giới Z, phép chia và phép khai căn vẫn còn phải chịu lệ thuộc vào sự tồn tại của phép nhân và phép lũy thừa (là phép toán xuất hiện từ phép nhân và lệ thuộc vào phép nhân). Có thể viết:

     

Đó là một hiển nhiên, nhưng để có thể hiểu được vì sao như thế đôi khi cũng lúng túng ra phết. Có thể hiểu ba lần  là bằng , nghĩa là . Nhưng cũng có thể nói âm hai lần 3 là bằng được không? Được, dù trái với quan niệm thông thường một chút, và có thể biểu diễn:

                 

Tương tự, trường hợp cả a và b đều âm thì:

                     

Còn đối với phép lũy thừa thì:

                    

Từ đó, phép toán nghịch: là một hiển nhiên.

Mặt khác, chúng ta cho rằng:

                 

Nghĩa là lũy thừa của một số âm luôn là một số âm, không cần biết n là chẵn hay lẻ. Điều này trái ngược với toán học.

Đối với thế giới N, chúng ta thấy có hiện tượng hiển nhiên là:           

                  a + b = b + a  và  a x b = b x a

Hiện tượng đó được gọi là sự giao hoán

Đối với thế giới Z, phép cộng vẫn thỏa mãn triệt để tính giao hoán, nhưng phép nhân lại chỉ thỏa mãn tính giao hoán một cách có điều kiện.

Hay chúng ta nêu thí dụ cụ thể:

                  1 x 4 = 4 x 1 = 4

(một lần bốn thì cũng như bốn lần một vì đều bằng bốn)

Thế nhưng 1 x 0 có thể giao hoán thành 0 x 1? Nếu cho rằng một lần 0 cũng như không lần 1 vì đều cho kết quả là 0 (hoặc có thể nói sự tích hợp giữa 1 và 0, không làm kết quả xuất hiện cái mới và kết quả vẫn là một), thì chúng có thể là giao hoán của nhau:

                  1 x 0 = 0 x 1 = 0 (hoặc bằng 1)

Còn nếu cho “0” là một cái gì đó được xác định là trống rỗng (nghĩa là hiện hữu một hư vô (tương đối) thì 1 x 0 không có tính giao hoán. Không lần 1 nào thì rõ ràng cũng bằng 0, nhưng một lần (cái) 0 thì phải là một cái “không” (số đếm). Vì vậy:

                 

…

Mê man suy nghĩ và rồi chúng ta đột nhiên giật mình kinh hoàng. Cứ theo cái đà hoang tưởng đó thì cũng có ngày mất hết phương hướng, không còn biết đâu là bến bờ nữa. Mới đến đây thôi mà thế giới Z của chúng ta đã quá xa lạ so với Thế giới Z của toán học. Cần phải tìm cách quay về, cho dù bắt đầu từ lúc này, chúng ta đã thấy rất rõ ràng mặt trái đầy phi lý của số học nói riêng và cả nền toán học đương đại nói chung. Có thể nói rằng, nghịch lý “vĩ đại” nhất của toán học là nó biểu hiện một cách chính xác và sáng tỏ khi nó không mô tả đúng thực tại và khi nó mô tả hợp lý, đúng đắn thực tại thì nó hoàn toàn mất chính xác và mù tịt. Vì lẽ đó mà toán học không thể là một công cụ nhận thức vạn năng như xưa kia Pitago đã hằng tin tưởng. Chúng ta chợt nhớ lại câu nói của nhà vật lý thiên tài Anhxtanh: “Chừng nào toán học chắc chắn, thì toán học lại không liên quan đến thực tại”.

Anhxtanh đã đúng! Thế giới số học là một thế giới ảo, phản ánh về mặt số lượng và sự chuyển hóa giữa các số lượng của Thực Tại khách quan một cách phiến diện và siêu hình. Thế giới số học được xây dựng bắt đầu từ những quan sát trực quan về những biểu hiện số lượng rời rạc trong Thực Tại khách quan. Nhận thức thuở ban đầu đã “thấy được” một thế giới mà trong đó sự vận động biến hóa của những số lượng rời rạc và hoàn toàn xác định chắc chắn, như một cộng với một là hai chứ nhất quyết không thể là cái gì khác. Ấn tượng đó đi vào “xương tủy” của nhận thức, làm cho nhận thức tin tưởng tuyệt đối vào tính chính xác, tính chân lý của thế giới số học. Nhận thức đã không thể ngờ rằng mô tả chính xác một cách số học nói riêng và toán học nói chung về một Thực Tại khách quan có tính nước đôi là điều không thể (nếu muốn mô tả đúng). Do đó mà trong tiến trình đi lên của số học khi xuất hiện những nghịch lý, những “phản bác” về sự chính xác về tính chặt chẽ lôgic của nó (và không thể không xuất hiện được), thì nhận thức buộc phải nhận thức lại theo hướng đảm bảo cho số học luôn luôn thỏa mãn được tính chính xác của nó. Việc đó vừa mở đường cho số học tiến lên, vừa dẫn đến những bế tắc mới. Cứ thế để rồi đến một ngày nào đó, số học phải thừa nhận rằng nó vừa chính xác, vừa không chính xác, là cả hai mà không phải cả hai. Số học không thể cùng một lúc chính xác hết mọi thứ, khi mặt này của nó chính xác thì mặt kia của nó không chính xác và ngược lại.

Cũng như sự nhận thức nói chung, nhận thức số học phải thông qua khái niệm và qui ước. Thực tại khách quan đích thực là không qua khái niệm, qui ước, nhưng không qua khái niệm, qui ước thì không thể nhận thức được cái “đích thực” ấy. Tuy nhiên, vì cái “đích thực” thông qua nhận thức là hình ảnh của cái “đích thực” phản chiếu lên, nên cái hình ảnh đó tròn trịa, giống cái “đích thực” đến mức nào, là do trình độ của nhận thức. Điều nghịch lý lạ lùng là nhận thức số học càng muốn nhận thức thực tại trong khi vẫn bảo vệ đến cùng quan niệm số học là phải chính xác, thì càng phải “ra sức” tạo ra khái niệm và qui ước, nhưng càng có nhiều khái niệm, tạo ra khái niệm và qui ước, nhưng càng có nhiều khái niệm và qui ước (chưa kể những qui ước bất hợp lý) thì càng làm giảm khả năng mô tả thực tại của nó để “đổi lấy” sự chính xác. Chính vì vậy mà số học, trong giai đoạn phát triển cao trào của nó, trở nên hoang mang dao động, trở thành một thế giới ảo vừa kỳ dị, vừa kỳ diệu.

Dù sao thì chúng ta cũng phải kéo Thế giới Z của chúng ta về hòa hợp với Thế giới Z của toán học và nhìn nó ở góc độ kỳ diệu (chứ không phải kỳ dị!). Muốn thế, chúng ta phải nhớ lại những qui ước.

- Thế giới Z là một thế giới ảo và chúng ta nhận thức nó chứ không phải là nhận thức trực tiếp Thực Tại khách quan. Đó là một Thế giới số lượng rời rạc, được xây dựng nên từ các số nguyên và đơn vị tuyệt đối làm nên các số nguyên khác số 0 là các số .

- Số lượng các số nguyên (khác 0) được phân chia thành 2 lực lượng bằng nhau gọi là âm (-) và dương (+). Nếu có một số thì trong Thế giới Z cũng phải có một số là . Hai số đó chỉ khác dấu nhưng bằng nhau về số lượng, sao cho:

                 

(chúng ta không đồng tình với qui ước số âm nhỏ hơn (ký hiệu là <; và > là ký hiệu sự lớn hơn) số dương vì như  thế là mâu thuẫn với ngay qui ước )

- Nguyên tắc ưu tiên lựa chọn thực - ảo (mà trước đây chúng ta đã từng nói tới) cho phép chúng ta coi số dương cũng là số tự nhiên, nghĩa là:

                     và viết gọn là: a

- Do chỉ quan sát, so sánh sự chuyển biến của các số lượng và xác định các số lượng đó nên các quá trình tính toán đều được thực hiện “bên ngoài” và không ảnh hưởng gì đến thế giới Z. Điều đó có nghĩa các phép toán chỉ liên quan đến sự đếm, các số nguyên đều không có thứ nguyên; quá trình tình toán vì thế mà không mang ý nghĩa vật lý nào và cũng không cần đến thời gian lẫn không gian. Hơn nữa, số đếm phải là số nguyên dương.

- Kết quả của mọi bài toán đều là số nguyên và các phép toán đều tuân thủ nguyên tắc thuận nghịch, trong đó, phép cộng là cơ sở, là giềng mối của mọi phép toán.

Với những qui ước như thế và cho rằng nếu phép toán đúng cho số 1 thì cũng đúng cho mọi số nguyên (khác 0), chúng ta sẽ đề ra một hệ thống tính toán có tính chất cơ sở của Thế giới Z, như sau:

          

                  (bởi vì trong 2 số tham gia phép nhân, có 1 số là số đếm có tính nguyên dương. Nếu coi số (-1) là số đếm thì số tương phản với nó phải biến dấu từ dương sang âm)

     

(tương tự như trên, ở đây, trong 2 số tham gia phép toán, phải có ít nhất 1 số đếm (nguyên dương). Vì 2 số đó là cùng dấu nên khi chọn một số làm số đếm thì số kia cũng là số đếm (nguyên dương)).

     

Nếu n là số đếm chẵn thì từ qui ước 9 suy ra:

                 

Nếu n là số đếm lẻ thì từ qui ước 8 suy ra:

                 

Đến đây, “công trình xây dựng” Thế giới Z của chúng ta coi như đã hoàn tất. Thế giới ấy đã quang đãng rất nhiều sau lần tỉa tót dọn dẹp vừa rồi và chúng ta cho rằng nó đã hầu như trùng khớp với Thế giới Z của toán học, chỉ còn một vài tiểu tiết sai biệt không đáng kể.

Một trong số những tiểu tiết ấy là phép toán:

                              1 : 0

Toán học cho rằng nó không giải được hoặc có thể nói kết quả của nó là bất định. Trong khi đó, chúng ta lại cho rằng bài toán đó là giải được và có kết quả bằng 1. Nhưng nếu bất định thì cũng có thể bằng 1.

Giả sử số lượng Vũ Trụ là I và Hư Vô là 0, thì:

                 

Nghĩa là: Vũ Trụ lần “cái” Hư Vô thì bằng Vũ Trụ Hư Vô, nhưng Hư Vô thì vẫn cứ là Tồn Tại cho nên Vũ Trụ Hư Vô thì cũng chính là Vũ Trụ; và Vũ Trụ đem chia cho Hư Vô thì có nghĩa Hư Vô được “sở hữu” Vũ Trụ, nhưng Hư Vô thì cũng là Tồn Tại nên Vũ Trụ cũng thuộc về Tồn Tại như Vũ Trụ lúc đầu, trước khi bị chia (chia cho Hư Vô thì cũng như chẳng chia chác gì cả!)

Giả sử có bài toán:

                

Toán học cho rằng:

Còn chúng ta, để “giết bớt” thời gian, giải:

Cuối cùng, giả sử có bài toán:

                 

Đối với Toán học, bài toán đó không giải được.

Nhưng chúng ta giải được vì có nguyên tắc thuận nghịch, nghĩa là:

Vì có:  nên suy ra:

                 

Kể ra cũng còn một chút ít kỳ dị, nhưng Thế giới Z của chúng ta cũng tuyệt cú mèo đấy chứ? Ha, ha, ha!...

¯¯¯

Trong thế giới Z, chúng ta thấy rằng trong 4 phép toán cơ bản là cộng, trừ, nhân, chia thì đã có 3 phép toán là cộng, trừ và nhân đã trở nên hoàn toàn độc lập so với nhau. Điều đó có nghĩa là chọn bất cứ số nguyên nào và với bao nhiêu số nguyên cũng được để thiết lập bài toán với 3 phép toán đó mà không cần một điều kiện ban đầu nào. Riêng chỉ còn có phép chia là vẫn lệ thuộc vào phép nhân, là bài toán nghịch của bài toán nhân (thuận). Chẳng hạn, nếu có bài toán chia:

                  3 : 4 = ?

thì đây là bài toán không giải được (vô nghiệm), vì không thể tìm ra bất cứ số nguyên nào để nhân với 4, cho ra kết quả là 3.

Tuy nhiên, việc đặt ra những bài toán như vậy là một yêu cầu tự nhiên khách quan. Nghĩa là sự đòi hỏi được tồn tại bình đẳng, độc lập của phép chia như 3 “người anh em” của nó là chính đáng. Nhưng Thế giới Z “chuyên chế và lạc hậu” đã không thể dung chứa được cái “quyền lợi” chính đáng đó của phép chia. Mâu thuẫn đó tất yếu dẫn đến cuộc cách mạng mà phép chia là phía “ca khúc khải hoàn”.

Khi tính độc lập của phép chia được đảm bảo thì một thế giới mới, có vẻ là rộng lớn hơn Thế giới Z (nhưng thực ra không phải thế!) ra đời và có tên gọi là Thế giới số hữu tỷ, ký hiệu là Q.

Trong thực tại khách quan, có thể quan sát thấy những hiện tượng dẫn dắt tư duy toán học đến khái niệm số hữu tỷ. Giả sử có hai chồng  gạch, một chồng có 60 viên, một chồng có 30 viên. Muốn biết được số lượng của mỗi đống gạch nhiều hơn nhau bao nhiêu lần, người ta dùng phép chia: Gọi chồng gạch có 60 viên là A, chồng có 30 viên là B, chúng ta có thể viết:

                  A : B = ?

Nếu chúng ta chưa biết thông tin gì (trước đây) ngoài hai nhãn mác đó, nghĩa là chỉ biết:

A là A và B là B,

thì đó là bài toán không giải được, hay cũng có thể gọi là giải được kiểu “nửa vời”:

                      

Phân số đó có thể là một số nguyên (khi A “chia hết” cho B) và cũng có thể gọi là số không nguyên - hay còn gọi là số thập phân (khi A không chia hết cho B).

Toàn bộ số nguyên và số không nguyên hợp thành nên một thế giới ảo gọi là Thế giới số hữu tỷ (có tỷ số hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn).

Nếu chúng ta có thêm thông tin rằng A là một chồng gạch và B cũng là một chồng gạch thì kết quả bài toán trên sẽ là:

                 

Số 1 đó có ý nghĩa gì? Nó “mách” rằng người ta đã “chia cho” B chồng gạch A, cho phép bắt đầu từ đây A “thuộc về” (ký hiệu ) B, hay B được quyền sở hữu A theo “luật định” (qui ước). (Tuy nhiên, chúng ta chỉ mới biết “luật định” đó là do kẻ làm toán đưa ra chứ chưa biết được nó có hợp pháp không, hay ông ta lại làm điều phi pháp: ngấm ngầm “chôm” của người khác đem chia cho B, cũng có khi đơn giản chỉ là sự “lừa dối hào nhoáng”, hứa suông hão huyền? Cần phải biết rằng những người làm toán, dù sở hữu được cả một thế giới vô hạn những con số, nhưng đó chỉ như là một thứ vàng mã, cho nên họ vẫn thường là những kẻ nghèo mạt rệp!).

Số 1 đó còn chỉ ra rằng, tuân theo lôgíc toán học thì một chồng gạch là bằng một chồng gạch, do đó phải có:

                

(Nghĩa là A (hoặc B) là A (hoặc B) và bằng B (hoặc A), mà nói theo triết lý của nhạc sĩ tài hòa Trịnh Công Sơn thì: “Tôi là em và em cũng là tôi!”.

Kết quả đó có đúng không? Hoàn toàn đúng!

Nhưng nếu chúng ta biết thêm thông tin: Chồng gạch A lớn hơn (nhiều hơn) chồng gạch B thì kết quả đó hoàn toàn sai. Cụ thể, khi chúng ta biết đích xác số lượng viên gạch của mỗi chồng gạch thì lời giải bài toán là:

                 

Đó là một kết quả đúng. Nhưng có thể hiểu nó như thế nào?

Thật là một câu hỏi hay ho, xứng đáng với những cái đầu “tưng tửng” của chúng ta! Và chúng ta “dựng đứng” hiểu như thế này:

- Nếu chúng ta chỉ quan tâm tới số lượng và chỉ số lượng thôi thì:

                           

nghĩa là số lượng viên gạch của A nhiều hơn 2 lần số lượng viên gạch của B.

- Nếu quan tâm tới cả từng viên gạch của A và của B thì chúng ta phải hiểu rằng, về mặt hình thức, sau khi chia, mỗi viên gạch của B được “sở hữu” 2 viên gạch của A. Hơn nữa, nếu cho rằng kết quả đầu tiên đến lúc này vẫn đúng (và rõ ràng là luôn đúng nếu chọn đơn vị đếm là “chồng gạch”) thì có thể viết:

         

Suy ra: 1 viên gạch B = 2 viên gạch A,

(nghĩa là: 1 viên gạch B “tương đương” (có thể ký hiệu “” với 2 viên gạch A).

Điều đó dẫn đến hình dung: nếu chọn đơn vị làm nên số lượng nội tại của A gồm 2 viên gạch thì xét ở góc độ số lượng đơn vị của A và số lượng đơn vị của B (vẫn gồm 1 viên gạch), hai số lượng đó là bằng nhau, hay là:

A = B

Trong thực tế đời sống có người nào nghĩ ngợi như chúng ta không? Chắc là không! Vì làm gì có ai vô công rỗi việc và tưng tửng như chúng ta!

Bây giờ, vì vẫn còn “rỗi hơi” và cũng để cho đỡ buồn, nên chúng ta “lộn ngược” bài toán. Việc đó làm xuất hiện một bài toán khác như sau:

            

Lần này, chúng ta không suy nghĩ “vớ vẩn” nữa mà chỉ quan tâm tới vấn đề số lượng thôi, và viết:

           

Trong Thế giới Z, bài toán trên chỉ thực hiện được đến  và… vô nghiệm vì kết quả đó không phải là số nguyên, thậm chí không thể gọi là “số”. Vậy kết quả đó là cái gì? Rõ ràng nó vẫn tồn tại dưới dạng một bài toán (do một anh chàng hồ đồ nào đó, “điếc không sợ súng” đặt ra làm chuyện trò cười thiên hạ) và bài toán đó là không giải được.
(Còn tiếp)