TT&HĐ IV - 36/c

 

NGHỊCH LÝ TOÁN HỌC 1 = 0.999 ... ? - [NGHỊCH LÝ CHANNEL]

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 
 

 

 

(Tiếp theo)

Cách nay trên dưới 250 năm, nhà toán học Gônbách, viện sĩ Viện hàn lâm Pêtecbua (thủ đô của nước Nga Sa hoàng) đã nghiên cứu vấn đề đó. Ông đã làm thí nghiệm với rất nhiều số, cố phân tích chúng thành tổng của các số nguyên tố và kết quả là sự gợi ý một khẳng định: bao giờ cũng có thể phân tích một số ra tổng của không quá 3 số nguyên tố.

Gônbách không chứng minh được mệnh đề trên, thậm chí cũng không tìm được phương pháp chứng minh nó. Ông bèn viết thư trình bày sự việc đó cho bạn ông là nhà toán học lừng danh Ơle. Hai ông đã trao đổi thư từ cho nhau trong suốt 15 năm trời. Trong bức thư ngày 7-6-1742, Gônbách báo cho Ơle biết rằng, ông đã mạo hiểm phát biểu mệnh đề: “Một số bất kỳ lớn hơn 5 là tổng của ba số nguyên tố”. Ơle trả lời rằng, theo ông thì mỗi một số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố, điều suy đoán đó có thể là một định lý hoàn toàn chính xác, và mệnh đề của Gônbách là một hệ quả đơn giản của điều suy đoán đó. Thế nhưng, ngay cả Ơle cũng không chứng minh được.

Từ đó một bài toán dưới cái tên: “Bài toán của Gônbách” lừng danh trong thế giới toán học xuất hiện với nội dung: “Chứng minh một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn đơn vị là tổng của không quá 3 số nguyên tố”.

Cả Gônbách, Ơle và các nhà toán học thế kỷ XIX đều không đi đến kết quả nào trong việc giải bài toán ấy. Nhà toán học siêu quần Canto, người lập nên lý thuyết tập hợp đã kiên nhẫn thí nghiệm tất cả các số chẵn từ 2 đến 1000, rồi đến lượt nhà toán học Ôbri đã thí nghiệm tất cả các số chẵn từ 1000 đến 2000, cả hai người đều cả quyết rằng trong giới hạn đó, một số chẵn bất kỳ đều là tổng của hai số nguyên tố.

Đến đầu thế kỷ XX đã xuất hiện rất nhiều công trình nhằm mở đường giải bài toán ấy hoặc liên hệ nó với các vấn đề khác của toán học. Tuy nhiên, việc chứng minh chặt chẽ bài toán đó thì không đạt kết quả gì hết. Năm 1912, nhà lý thuyết số, nhà vật lý lý thuyết trứ danh Landao, trong hội nghị các nhà toán học quốc tế, đã nêu ý kiến rằng, bài toán đó không thể giải quyết được bằng các phương tiện toán học hiện đại…

Năm 1930, xuất hiện một bước ngoặt trong việc giải bài toán Gônbách. Nhà toán học ưu tú Xô viết là L. G. Snhirenman (1905 - 1938) đã “giảm nhẹ” yêu cầu của bài toán Gônbách bằng một bài toán khác. Bài toán này về hình thức có vẻ phức tạp nhưng có thể giải quyết được. Ông đặt vấn đề liệu có thể có một số nguyên dương nhất định gọi là c, và một số tự nhiên bất kỳ có thể được biểu thị dưới dạng tổng của không vượt quá c số nguyên tố? Hay viết dưới dạng biểu thức toán học:

Nếu tồn tại biểu thức đó và chứng minh được c = 3 thì bài toán Gônbách được giải quyết.

Snhirenman đã giải quyết hoàn toàn thành công bài toán Gônbách đã được “giảm nhẹ” đó. Số c được gọi là “hằng số Snhirenman”. Lúc đầu, số c được xác định là rất lớn. Sự nỗ lực của các nhà toán học đã làm giảm nó xuống còn 67 và cuối thì đạt được giá trị là 18. Tuy nhiên so với yêu cầu của bài toán Gônbách (c = 3) thì kể ra cũng còn hơi bị xa.

Dù sao đi nữa thì toán học cũng đạt được điều quan trọng là đã chứng minh được bất kỳ số tự nhiên nào, dù lớn bao nhiêu chăng nữa, cũng đều có thể phân tích thành tổng các số nguyên tố với số lượng không quá 67 con số (thậm chí là không quá 18 con số!).

Năm 1939, nhà toán học nổi tiếng người Xô Viết, viện sĩ Vinôgradốp đã đạt được kết quả: đối với tất cả các số lẻ đủ lớn, hằng số Snhirenman không vượt quá 3. Kết quả này dù chưa giải quyết trọn vẹn bài toán Gônbách nhưng cũng đã làm cho công cuộc giải bài toán ấy tiến thêm được một bước rất dài.

***

Sự phân bố phi quy luật trong dãy số đếm của các số nguyên tố và do đó đã kéo theo sự không thể dự báo được “khoảng cách” hay mức độ tăng trưởng của một số nguyên tố thành số nguyên tố kế tiếp sau nó trong dãy số nguyên tố, có lẽ là một trong vài ấn tượng mạnh  nhất, gây sững sờ cũng như “khó chịu” nhất đối với nhiều thế hệ các nhà toán học.

Cũng như đối với hiện tượng một khối chân lý sáng ngời lại phải hàm chứa những nghịch lý, nhận thức của loài người đã từng có một thời không sao chấp nhận nổi một cơ thể toán học chặt chẽ về lôgíc, chắc nịch về qui luật lại để cho các số nguyên tố “tự tung tự tác”, lúc ẩn lúc hiện một cách tùy tiện như ma trơi. Sự “trêu ngươi” của số nguyên tố đã thúc giục các nhà toán học tiến hành một cuộc “thập tự chinh” để khuất phục nó. Cuộc “thập tự chinh” đó được phát động ngay từ buổi bình minh của toán học và trở thành một cuộc trường chinh đằng đẵng cho tới tận ngày nay mà vẫn chưa tới hồi kết thúc. Loài người đã phải dành ra biết bao nhiêu tâm trí và sức lực, đã phải “hiến tế” biết bao nhiêu nhà toán học cho cuộc trường chinh ấy, và dù cũng đã đạt được biết bao nhiêu chiến tích thì cái mục đích cuối cùng là tìm ra được một công thức tổng quát xác định được một cách chắc chắn tính nguyên tố của một số lẻ bất kỳ (cũng có nghĩa là khám phá ra tính qui luật của sự phân bố biểu hiện phi qui luật của các số nguyên tố trong dãy số đếm), vẫn mịt mù bóng chim tăm cá.

Tuy nhiên, cần phải khẳng định một điều rằng thành quả đạt được trong cuộc nghiên cứu về số nguyên tố thật là lớn lao. Nó đã cho phép nhận diện được tương đối chính xác tính nguyên tố của nhiều số lẻ ở những “khu vực” cực kỳ xa vời trong thế giới số nguyên. Hơn thế nữa, thành quả đó đã có một ý nghĩa rất sâu sắc đối với nhận thức của loài người, bởi vì nhờ nó mà các nhà toán học hiểu được rằng sự hiện diện phi qui luật của các số nguyên tố không hẳn là đã phi qui luật. Tính phân nhóm của các số nguyên tố và số nguyên tố thuộc nhóm nào cũng phải tuân thủ qui luật đặc thù của nhóm ấy là điều chắc chắn, không thể chối cãi được. Đó là một gợi ý hết sức quan trọng về sự tồn tại của công thức tổng quát.

Về mặt triết học, chúng ta cho rằng mọi sự vật - hiện tượng của Thực tại khách quan, dù thực hay ảo đều phải tuân theo nguyên lý chung nhất, duy nhất của Tự Nhiên Tồn Tại. Từ đó suy ra, mọi phần tử trong một tập hợp, một thực thể hay một hệ thống mà nó góp phần tạo lập nên đều phải tuân theo một nguyên lý chung nhất, có tính đặc thù của tập hợp, thực thể hay hệ thống đó. Vậy thì tập hợp các số nguyên tố trước hết là phải tuân theo những nguyên lý chung nhất của Vũ trụ số, kế đến là của Thế giới số tự nhiên và vì số nguyên tố thuộc dãy số đếm nên nó cũng phải tuân theo nguyên lý chung nhất của dãy đó. Phải chăng sự phân bố số nguyên tố vì phải tuân theo luật chung nhất nào đó của số đếm nên có thể là hệ quả suy ra từ đó và như vậy là nó phải mang tính qui luật?

Bản chất ngông cuồng của sự hoang tưởng đã buộc chúng ta phải nghĩ rằng có thể ngay từ đầu toán học đã lạc hướng để rồi phải đi trên con đường ngày một khúc khuỷu, gập ghềnh nhưng cuối cùng thì sau khi đã giải quyết xong những bài toán phức tạp và hóc búa nhất, nó cũng đến được nơi trú ngụ của cái công thức tổng quát về số nguyên tố. Tuy nhiên, vì chân lý vốn dĩ là dung dị cho nên không nhất thiết phải đi trên một con đường khác thong dong hơn, vẫn có thể chiêm ngưỡng được cái công thức hằng ước đó. Có thể nào nói như thế cũng là nói về một chân lý?

Bây giờ, chúng ta quay lại, tiếp tục vui thú một phen nữa với các số nguyên tố, nhưng theo cách riêng tư và vì sự “tung hứng” có phần vụng về nên có thể gọi là “cách của những gã nhà quê”.

Chắc rằng trong quá trình vận động, chuyển hóa, tương tác lẫn nhau không ngừng nghỉ của vạn vật - hiện tượng, luôn tồn tại những phản ứng tạm gọi là những cảm ứng vô thức hàm chứa mầm mống về sự nhận biết số lượng, về sự đếm, định lượng. Có lẽ nhờ đặc tính đó mà chẳng hạn như các nguyên tử, phân tử… mới có thể “tìm thấy” những nguyên tử, phân tử phù hợp với chúng trong những điều kiện nhất định của môi trường để kết hợp, tạo nên một thế giới vật chất mà chúng ta đang thấy, vừa phong phú đa dạng vừa khuôn khổ trật tự. Nhưng sự đếm thực sự và sự hình thành nên hệ thống số đếm chỉ có thể là kết quả của tư duy và vì thế nên cũng chỉ là một tồn tại có tính ảo.

Nhờ tư duy mà có dãy số đếm, nhờ tư duy mang tính tự do mà những số đếm trở nên bất tận. Dãy số đếm xuất hiện cùng với bản chất “cộng” của nó là tiền đề cho một Vũ Trụ số hình thành và vì dãy số đếm là bất tận nên Vũ Trụ số cũng vô hạn. Có thể nói dãy số đếm là hệ cơ sở, là nền tảng của Vũ Trụ mọi thế giới số. Vì lẽ đó mà chúng ta cho rằng muốn nghiên cứu cặn kẽ Vũ Trụ số thì việc đầu tiên phải làm là xem xét dãy số đếm cùng với sự biến ảo của nó.

Chúng ta viết ra dãy số đếm hệ cơ số 10:

1, 2, 3, 4, 5, … (đến vô hạn).

và đưa ra vài nhận xét:

- Dãy số đếm chứa chấp tất cả các ký số có thể có của số tự nhiên (trừ số 0 nếu qui ước số 0 không phải là số đếm). Do đó mà nó cũng chứa chấp tất cả các loại số chẵn, lẻ, nguyên tố, lũy thừa…

- Dãy số đếm cũng hàm chứa 3 phép toán thuận: cộng, nhân, lũy thừa và kéo theo 3 phép toán nghịch: trừ, chia, khai căn.

- Việc cho phép 3 phép toán nghịch được thực hiện tự do trên các số đếm đã làm cho dãy số đếm tiềm ẩn đủ các loại số có thể có của Vũ Trụ số.

- Dãy số đếm là dãy số: số sau luôn lớn hơn số trước kề nó chính xác là 1 đơn vị và nếu gọi số chia hết cho 2 là số chẵn và số không chia hết cho 2 là lẻ thì sự sắp xếp của dãy số đếm là xen kẽ chẵn lẻ (nghĩa là giữa hai số chẵn là một số lẻ và giữa hai số lẻ là một số chẵn).

- Thế giới số tự nhiên, dãy số đếm là dãy số bao hàm tất cả các dãy số tự nhiên có thể có và cũng có thể bằng cách nào đấy “trích xuất” ra từ nó một dãy số nào đó tùy ý.

- Số lượng dãy số đếm trong Vũ Trụ số vô hạn chiều là vô hạn (mà Thế giới số tự nhiên cũng vô hạn).

Có thể nêu ra rất nhiều nhận xét khác nữa, nhưng thôi chúng ta thiết thực hơn là nêu vài thí dụ cho nhận xét vừa rồi.

Muốn có một dãy số chẵn mà số sau hơn số trước kề nó 2 đơn vị thì chúng ta nhân dãy số đếm lên 2 lần, hoặc chúng ta dùng cách cộng 2 dãy số đếm:

                 

Tương tự, nếu muốn có một dãy số mà số sau lớn hơn số trước kề nó n đơn vị thì chúng ta nhân số đếm với n (lần).

Chúng ta thấy rằng việc nhân dãy số đếm với n cho ra kết quả là một dãy số rõ ràng là lớn hơn dãy số đếm gấp n lần. Thế nhưng theo nhận xét ở phía trên thì nó chỉ là bộ phận thuộc dãy số đếm nên đồng thời lại phải nhỏ hơn số đếm về mặt lực lượng. Đó là một nghịch lý hiển nhiên đành phải chấp nhận! Nếu cố tình không muốn chấp nhận nghịch lý đó thì chỉ còn cách phải cho rằng việc nhân lên n lần không làm cho dãy số đếm tăng lên chút nào về mặt lực lượng mà chỉ làm nó biến hóa thành một dạng khác. Vậy thì có thể nhận định trong dãy số chẵn có hàm chứa số lẻ và ngược lại trong dãy số lẻ có hàm chứa số chẵn, hay nói một cách triết lế: trong dương có âm mà trong âm có dương. Ở đây nữa, sự xuất hiện nghịch lý đã minh chứng cho sự tồn tại của một biểu hiện theo nguyên lý nước đôi: không một vô hạn nào là không bao hàm cái hữu hạn và ngược lại, không một hữu hạn nào lại không bao hàm cái vô hạn.

Một cách hoàn toàn hiển nhiên, nếu chúng ta muốn có một dãy các số đếm có lũy thừa bậc n bất kỳ, thì coi như chúng ta đã nâng dãy số đếm lên lũy thừa bậc n và viết:

                  1ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, 4ⁿ, 5ⁿ, …

Để làm xuất hiện dãy số lẻ từ dãy số đếm, chúng ta làm như sau:

                 

Dãy số lẻ này là bao gồm toàn bộ các số lẻ có thể có trong dãy số đếm, nghĩa là cũng bao gồm toàn bộ các số nguyên tố lẻ có thể có trong đó.

Nếu nhân dãy số lẻ đó với bất cứ một số lẻ nào (khác 1) thì chúng ta đều nhận được một dãy số lẻ không chứa đựng bất cứ số nguyên tố lẻ nào (hoặc chỉ có 1 số nguyên tố).

Chúng ta có thể gọi dãy số chẵn mà số sau lớn hơn số trước kề nó 2 đơn vị là “dãy số chẵn cơ bản”, và như thế, cũng gọi dãy số lẻ mà số sau lớn hơn số trước kề nó 2 đơn vị là “dãy số lẻ cơ bản”

Nếu chúng ta nhân dãy số lẻ cơ bản với 3 (số lẻ nhỏ nhất khác 1) thì được:

                 

Chúng ta cho rằng những dãy số do dãy số đếm biến dạng ra qua phép cộng và phép nhân đều mang tính tự nhiên và những dãy số biến dạng từ dãy số biến dạng tự nhiên qua phép cộng và phép nhân cũng mang tính tự nhiên (nói thế không có nghĩa là chúng không mang tính “nhân tạo”). Với quan niệm như vậy thì dãy số (1) là kề sát nhất dãy số lẻ cơ bản (nghĩa là giữa chúng không thể tồn tại một dãy số lẻ tự nhiên nào khác nữa). Vì khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp trong dãy số (1) là 6 đơn vị và là khoảng cách nhỏ nhất so với khoảng cách của các dãy số lẻ tự nhiên “chiết xuất” ra từ dãy số lẻ cơ bản, cho nên có thể nói rằng dãy số (1) chứa đựng nhiều hợp số lẻ nhất, hay nói cách khác là khi nó loại bỏ tất cả các số nguyên tố (trừ số 3) thì đồng thời nó cũng loại bỏ một số lượng nhất định nhưng là số lượng ít nhất các hợp số lẻ.

Vì khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy (1) là 6 đơn vị, nên đã có một cặp số lẻ giữa chúng bị loại ra. Các cặp số lẻ bị loại ra đó được gom lại thành một tổng số lượng và trong tổng số lượng đó là toàn bộ các số nguyên tố lẻ (trừ số 1 và số 3) có thể có của dãy số đếm.

Chúng ta biết rằng những số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5 nên không bao giờ là số nguyên tố (trừ số 5). Những số lẻ chia hết cho 3 (trừ số 3) cũng không thể là số nguyên tố. Dấu hiệu để một số lẻ chia hết cho 3 là tổng cuối cùng các ký số của nó là một trong ba số 3, 6, 9. Chẳng hạn các số lẻ 4071, tổng cuối cùng của các ký số là:

4 + 7 + 1 = 12 = 1 + 2 = 3

Vậy số đó chia hết cho 3.

Như thế, đối với các cặp số lẻ bị loại ra khỏi (1), ngoài những số có tận cùng là 5, những số còn lại đều có khả năng là số nguyên tố:

Đó là một phát hiện của chúng ta trong việc nhận biết một số lẻ bất kỳ có phải là số nguyên tố hay không. Nó có mới không? Cũ mèm! Nó có hay không? Dở òm! Có lẽ chúng ta đang ở đâu đó trong buổi bình minh của số học!

Thôi, chúng ta xoay hướng khác:

Giả sử có 2 dãy số đếm và chúng ta cộng chúng theo cách này.

               

Các số hạng của dãy (2) và (3) là trùng nhau vì thực ra đó là 2 dãy số đếm. Dãy (4) là bộ phận của dãy (2) hoặc (3) vì chúng có mặt xen kẽ trong đó.

Có thể suy ra dễ dàng một số chẵn bất kỳ là tổng của 2 số lẻ. Thí dụ:

               

Với 4 thí dụ đó chúng ta thấy rằng một số chẵn không những có thể phân tích thành tổng 2 số lẻ mà còn có thể thành tổng của 2 số nguyên tố.

Vậy thì điều mà Ơle phỏng đoán, rằng một số chẵn tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2 chắc chắn phân tích được thành tổng của 2 số nguyên tố, có đúng không? Và nếu đúng thì có thể chứng minh theo phương hướng này không?

Giả sử chúng ta có số tự nhiên bất kỳ là 52. Theo như cách sắp đặt các dãy số (2), (3), (4) ở trên thì chúng ta có ngay:

52 = 27 + 25

Đó là tổng 2 số lẻ nhưng không phải nguyên tố. Tuy nhiên, chúng ta có thể có những tổng của các cặp số lẻ khác mà tổng của chúng cũng bằng 52, bằng cách coi (2) và (3) là những “thước dò” để “kéo” thước (2) sang trái (hoặc phải) theo từng “nấc” 2 đơn vị một và đồng thời cũng kéo thước (3) sang phải hoặc trái theo từng “nấc” 2 đơn vị một. Có thể mô tả cách làm đó như sau:

52 = (27 – 2) + (25 + 2) = 25 + 27

Vì kết quả biến đổi chẳng nên cơm cháo gì nên chúng ta… biến đổi tiếp:

52 = (25 – 2) + (27 + 2) = 23 + 29

Thành công mĩ mãn vì đó chính là tổng của hai số nguyên tố.

Thêm một thí dụ nữa:

56 = 29 + 27

Đó là tổng của một số nguyên tố và một hợp số lẻ nên cần phải biến đổi:

56 = (29 + 2) + (27 – 2) = 31 + 25 = (31 + 2) + (25 – 2)

     = 33 + 23 = (33 + 2) + (23 – 2) = 35 + 21

     = (35 + 2) + (21 – 2) = 37 + 19

Đó chính là tổng với 2 số nguyên tố của số chẵn tự nhiên 56.

Có thể là ở miền số nhỏ, vấn đề một số chẵn có thể phân tích thành tổng của 2 số nguyên tố luôn được nghiệm đúng nhưng ở vùng các số lớn, điều đó còn đúng nữa không? Hay nói một cách tổng quát: có một số chẵn bất kỳ là  thì luôn lựa chọn được một số chẵn là để viết được:

a = (m + b) + (n – b)

với m, n là những số lẻ, và

(m + b), (n – b) là những số nguyên tố

Nếu mệnh đề trên được chứng minh thì đó chính là qui luật và ý kiến của Ơle là chính xác.

Bằng thao tác kéo thước (2) và (3), có thể làm xuất hiện tất cả các cặp số lẻ có thể có và do đó có thể chọn ra làm một tổng 2 số lẻ cho một số chẵn bất kỳ. Nếu có một số chẵn n bất kỳ, có thể đưa thước (2) và (3) vào vị trí cặp số lẻ là 1 và (n – 1) để có tổng.

n = 1 + (n – 1)

Tiếp tục kéo thước, sẽ có thể tạo được các cặp số lẻ khác chẳng hạn: 3, n – 3, hay 5, n – 5…

Khi n càng lớn thì tổng số cặp số lẻ để tạo thành tổng của n càng nhiều và như thế thì càng có khả năng tìm được tổng của n là 2 số nguyên tố.

Điều suy đoán đó nghe rất có lý nhưng không phải là một chứng minh. Còn có thể chứng minh được hay không thì chúng ta mù tịt vì… dốt quá xá!

Không suy nghĩ thêm về chuyện đó nữa, chúng ta trở về viết lại cách cộng 2 dãy số đếm cho ra dãy số lẻ cơ bản:

                     

Quá trình cộng cho chúng ta thấy tất cả các số hạng từ 3 trở đi ở dãy số lẻ cơ bản đều là kết quả của tổng một số chẵn và một số lẻ. Chẳng hạn:

                  3 = 2 + 1

                  5 = 3 + 2

                  13 = 7 +6

Ở đây, nếu chúng ta qui ước rằng 1 cũng là số lẻ (và hơn nữa là số nguyên tố) thì vì một số chẵn có thể phân tích thành tổng 2 số lẻ nên có thể cho rằng bất kỳ số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều phân tích được thành tổng của 3 số lẻ. Thí dụ:

                  3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 (tổng 3 số lẻ trùng nhau)

                  5 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1

                  7 = 4 + 3 = 1 + 3 + 3

                  13 = 7 + 6 = 7 + 5 + 1

Và hơn nữa có thể cho rằng bất cứ một số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều có thể phân tích thành tổng của 3 số nguyên tố.

Đối với một số lẻ bất kỳ nào thì bằng cách kéo thước (2) và (3) ngược chiều nhau theo từng nấc 1 đơn vị, bao giờ cũng chọn được một tổng gồm một số chẵn và một số nguyên tố. Nếu mệnh đề “một số chẵn tự nhiên luôn phân tích được thành tổng của 2 số nguyên tố” được chứng minh, thì mệnh đề “một số lẻ bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 3 luôn có thể phân tích thành tổng của 3 số nguyên tố” sẽ trở thành hiển nhiên.

Vậy, muốn quyết định được triệt để bài toán Gônbách thì phải chứng minh được mệnh đề Ơle.

Chúng ta khẳng định như thế và lại nói sang chuyện… cũ.

Có một câu hỏi đặt ra là bằng những con đường (mà chúng ta gọi là) biến đổi tự nhiên như trên có thể nào làm xuất hiện một dãy số chứa chấp toàn bộ số nguyên tố lẻ và không chứa bất cứ hợp số lẻ nào không?

Chúng ta thấy ngay rằng nếu thực hiện được điều đó thì sự phân bố của số nguyên tố phải có qui luật và qui luật đó là có tính chặt chẽ. Tuy nhiên, có thể không bao giờ làm được điều đó.

Dù sao thì chúng ta cũng cố thử một phen cho thỏa lòng mát dạ.

Trước hết chúng ta viết ra dãy số lẻ cơ bản, kế tiếp bên dưới viết ra dãy số được “chiết xuất” từ nó khi nhân nó với 3 rồi làm một phép trừ, như sau:

                     

Như đã nói, kết quả là một dãy số chứa toàn bộ số nguyên tố lẻ từ số 5 và “một ít” hợp số lẻ. Quan sát trực giác cũng thấy ngay rằng các số hạng trong dãy số này phân bố có qui luật.

Nếu dãy số đó, ở đây chúng ta gọi là dãy số (5), chỉ chứa toàn số nguyên tố thôi thì cuộc đời dễ chịu biết bao nhiêu!

Có cách nào “sàng” bỏ “một ít” hợp số lẻ đi không? Nhìn những số hạng đầu tiên của dãy số, chúng ta khấp khởi nghĩ rằng: việc sàng bỏ cái “số ít” ấy chắc rằng cũng không mấy khó nhọc. Nhưng than ôi, dãy (5) chỉ không chứa những số lẻ chia hết cho 3 thôi chứ nó vẫn chứa gần như đầy đủ các số lẻ có thể chia hết cho những số lẻ khác 3 và khác bản thân nó. Vì vậy mà cái “một ít” ấy cũng hằng hà sa số như sao trên trời vậy. Hơn nữa, chúng ta không tìm thấy một qui tắc nhất quán nào trong việc lược bỏ các số không nguyên tố ra khỏi (5) cả cho nên nếu có thiết lập được dãy số nguyên tố thì sư biến đổi các khoảng cách (giữa hai số hạng liên tiếp) là không lường trước được.

Vậy thì tại sao sự phân bố ngay trong nội tại của dãy nguyên tố lại không theo một qui tắc nào ngoài qui tắc trị số của các số hạng tăng dần đến vô hạn? Bởi vì dãy số nguyên tố không phải là dãy số biến dạng tự nhiên từ dãy số đếm, dù trực tiếp hay gián tiếp. Mặt khác, các số nguyên tố là một bộ phận của dãy số đếm bị ràng buộc bởi dãy số đếm cho nên sự biểu hiện “ngỗ nghịch” của chúng không phải vì chúng muốn “ngỗ nghịch” mà vì nhiệm vụ thiêng liêng này: vừa bảo vệ bản chất phát triển nhất quán, có tính chu kỳ nhưng không lặp lại của dãy số đếm, vừa đảm bảo cho nguyên lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại  không bị xâm phạm.

Hãy bằng lòng với Tự Nhiên dù chúng ta quan niệm rằng Tự Nhiên không hoàn hảo. Bởi vì nếu không biết bằng lòng như thế thì rồi chúng ta sẽ phải đến một kết luận rằng chính bản thân tư duy của chúng ta không hoàn hảo. Thế nhưng thói đời làm cho con người ta, mấy ai, chấp nhận là mình suy nghĩ không hoàn hảo? Cho nên, người nào hiểu rằng mình không bao giờ hoàn hảo, thì người đó là kẻ hiểu được sự đời!

***

Trong lịch sử toán học có một câu chuyện rất hay, gọi là “Vấn đề (3a+1)”.

Thập niên 1950, giới toán học thế giới trở nên sôi nổi trước một hiện tượng kỳ lạ: a là một số tự nhiên bất kỳ, nếu a là số chẵn thì chia đôi ; nếu a là số lẻ thì nhân nó với 3 rồi cộng với 1; cứ thực hiện như vậy thì cuối cùng bao giờ kết quả cũng là số 1.

Thí dụ: có a = 26, chia đôi bằng 13, lấy 13 nhân với 3 thì được 39, cộng số đó với 1 được 40, chia 40 cho 2 được 20, chia 20 cho 2 được 10, chia 10 cho 2 được 5, nhân 5 với 3 được 15, cộng 1 được 16, chia 16 cho 2 được 8, chia 8 cho 2 được 4, chia 4 cho 2 được 2, chia 2 cho 2 được kết quả cuối cùng là 1.

Hiện tượng đó đã từng gây nên biết bao nhiêu cảm hứng cho những người yêu mến toán học đương thời. Một nhà toán học Mỹ nói: “Có một thời, trong các trường đại học Mỹ, hiện tượng này trở nên hấp dẫn nhất. Sinh viên khoa toán và khoa máy tính hầu như ai cũng nghiên cứu nó”

Các nhà toán học đã phải ngạc nhiên rằng dù phải thực hiện bao nhiêu phép tính chăng nữa thì rốt cuộc vẫn làm cho số a trở về 1. Giáo viên và sinh viên ở trường đại học Tôkyô (Nhật Bản) đã kiểm tra từng số đến số tự nhiên 2⁴⁰ vẫn thấy không có một ngoại lệ nào, bao giờ cũng thu được kết quả cuối cùng là .

Người ta chỉ gọi: hiện tượng “3a+1”, vì không biết ai là người đầu tiên đề xướng ra. Có người cho đó là ý tưởng của L. Collatz, đưa ra tại Hội nghị toán học thế giới năm 1950. Nhưng cũng có người lại nói rằng do B. Thwaiter (Anh), R.V. Andree (Nga), Hans (Mỹ), Neolamu (Mỹ)… đưa ra. Nói chung thì đến nay vẫn chưa biết chắc chắn ai là tác giả.

Nhiều người đã cố tìm hiểu để giải thích hiện tượng này nhưng ngay cả các nhà toán học nổi tiếng cũng chưa giải quyết được. Học giả R.K. Guy gọi đó là “Đề toán khó của thế giới” và khuyên mọi người không nên toan tính giải quyết nó. Đã có nhiều giải thưởng với số tiền thưởng ngày càng cao đã được đưa ra nhưng người lãnh giải thì cứ vẫn “trốn chui trốn nhủi” đâu đó. Nhà toán học nổi tiếng thế giới là P. Erdôs nhắn nhủ rằng: “Toán học còn chưa đủ chín để giải quyết vấn đề đó"

(Còn tiếp) 
-------------------------------------------------------------------