TT&HĐ IV - 36/d

                                                 Miền đất toán học diệu kì - tập 3 + 4

PHẦN IV:     BÁU VẬT 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

 

"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein

"Nếu tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál 
  
"Trong quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã "đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng, nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá 
   

(Tiếp theo)

Trong quá trình làm cho dãy số đếm “biến hóa”, chúng ta thấy được một điều, không biết dùng nó để giải thích vấn đề 3a + 1 có được không nữa. Nhưng chúng ta cứ mạnh dạn nêu ra đây để “đèn trời soi xét”

Trước hết, chúng ta viết lại:

                  

và đưa ra nhận xét:

- Dãy (4) bao gồm toàn bộ các loại số chẵn tự nhiên có thể có.

- Một số chẵn a bất kỳ bao giờ cũng có thể biểu diễn:

                 

      với:       n, m là những số tự nhiên, trong đó

x là một số lẻ tự nhiên và lũy thừa của một số lẻ cũng là số lẻ thuộc dãy nên có thể cho x^m = b

      Có thể viết lại biểu thức trên là:

                 

      và khi b = 1 thì a = 2ⁿ

- Từ trên suy ra có 2 loại số chẵn là:

                 

- Nói chung thì một số chẵn bao giờ cũng viết được thành tổng của 2 số lẻ. Hơn nữa, có thể viết:

                  a = 1 + p

                  với p là một số lẻ tự nhiên.

Sau khi có những nhận xét như vậy, chúng ta thử lý giải hiện tượng “3a + 1”.

Giả sử có a là số chẵn tự nhiên bất kỳ. Vì:

                 

                  (b là số lẻ thuộc dãy số lẻ tự nhiên)

Nhân b với 3 thì được một số lẻ thuộc dãy số lẻ chia hết cho 3 và 3a + 1 là một số chẵn. Vì 3b + 1 là số chẵn nên có thể viết:

                 

                  (với y₁ là số tự nhiên khác 0 và b₁ là 1 số lẻ tự nhiên).

      Suy ra

Nếu b₁ = 1 thì quá trình kết thúc.

Nếu thì ta lại có: 3b₁ là một số lẻ trong dãy chia hết cho 3 và cũng lại có:

                 

Nếu thì quá trình lại tiếp diễn tương tự để có b₃, b₄, … với và 3b, 3b₁, 3b₂, 3b₃, 3b₄,… là những số lẻ thuộc dãy chia hết cho 3.

Điều cần chứng minh là quá trình bao giờ cũng dẫn đến kết quả cuối cùng:

                 

Nghĩa là sẽ làm xuất hiện một số lẻ 3b_i trong dãy chia hết cho 3 để có:

                 

Một cách trực quan, chúng ta thấy rất nhiều số lẻ trong dãy chia hết cho 3 thỏa mãn biếu thức trên:

                  2² = 3 + 1

                  2⁴ = 3 . 5 + 1 = 15 + 1

                  2⁶ = 3 . 21 + 1 = 63 + 1

                  2⁸ = 3 . 85 + 1 = 255 + 1

                  2¹⁰ = 3 . 341 + = 1023 + 1

Nghĩa là nếu m là một số chẵn tự nhiên thì 2^m sẽ phân tích được thành:

                 

Trong đó b_i là số lẻ tự nhiên

Cần phải chứng minh được rằng đối với bất kỳ một số tự nhiên a nào thì thông qua quá trình 3a+ 1 sẽ làm xuất hiện b_i để thỏa mãn biểu thức trên:

Đây là điều chúng ta phỏng đoán: quá trình 3a + 1 là một quá trình làm xuất hiện hàng loạt những số lẻ liên tiếp khác nhau, có số trị lớn nhỏ đan xen nhau, hay có thể nói đó là một quá trình “tiến, lui”. Quá trinh tiến lui đó, do tính chất “nhân 3, cộng 1, chia cho 2^y” (với y có thể là 1, 2, 3, …) làm cho khoảng lùi nhiều khi lớn hơn khoảng tiến (chia nhiều lần cho 2 làm giảm nhanh số trị của một số lẻ đang tương đối lớn nào đó). Hiện tượng đó, kèm theo hiện tượng các số lẻ xuất hiện trong quá trình phải khác nhau đã dẫn đến không thể tiến đến vô hạn được và phải xuất hiện b_i để có 3b_i + 1 = 2^m

Ở các dãy số lẻ chia hết cho các số lớn hơn 3 (chẳng hạn cho 5, 7, 11…), quá trình tương tự như thế, dù cũng có dạng “tiến lui” nhưng tính chất “nhân với số lớn hơn 4, cộng 1, chia 2^y (với y thường không lớn hơn 2), nên thường dẫn tới vô hạn. Đối với các dãy số này, cũng có thể chọn được số chẵn a để quá trình quay về kết thúc với 1 nhưng không phổ biến.

Nếu gọi A là một số lẻ tự nhiên và đồng thời là số biểu thị cho dãy số lẻ chia hết cho nó thì có thể viết quá trình 3a + 1 thành tổng quát hơn là Aa + 1. Và chúng ta đoán rằng: quá trình Aa + 1 là một qui luật đối với dãy chia hết cho 3 và là hiện tượng ngẫu nhiên đối với các dãy chia hết cho số lẻ lớn hơn 3.

Thí dụ:

- Đối với dãy chia hết cho 5; khi chọn a = 6 thì:

6 : 2 = 3

5 x 3 + 1 = 16

16 : 2 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1

Khi chúng ta chọn a = 18 thì:

18 : 2 = 9; 5 x 9 + 1 = 46; 46 : 2 = 23; 5 x 23 + 1 = 116; 116 : 2 = 58; 58 : 2 = 29; 5 x 29 + 1 = 146; 146 : 2 = 73; 5 x 73 + 1 = 366; 366 : 2 = 183; 5 x 183 + 1 = 458; 458 : 2 = 229; 5 x 229 + 1 = 1146; 1146 : 2 = 573;…

- Đối với dãy chia hết cho 7, khi chọn a = 18 thì:

18 : 2 = 9

7 x 9 + 1 = 64

64 : 2⁶ = 1

Khi chúng ta chọn a = 38 thì:

38 : 2 = 19; 7 x 19 + 1 = 134; 134 : 2 = 67; 7 x 67 + 1 = 470; 470 : 2 = 235; 7 x 235 + 1 = 1646; 1646 : 2 = 823; 7 x 823 + 1 = 5762;…

Cần nói thêm rằng quá trình Aa – 1 đôi khi cũng dẫn tới kết quả 1 nhưng cũng chỉ là hiện tượng ngẫu nhiên. Cũng có những quá trình Aa 1 “tiến lui” được một lúc thì lặp lại thành một chu trình kín ở đâu đó, không tiến tới vô hạn mà cũng không về 1.

Chẳng hạn đối với dãy chia hết cho 3, khi chọn a = 14 và quá trình là 3a – 1 thì:

14 : 2 = 7; 3 x 7 – 1 = 20; 20 : 2 = 10; 10 : 2 = 5; 3 x 5 – 1 = 14; 14 : 2 = 7;…

Cũng với dạng quá trình 3a – 1 nhưng chọn a = 6 thì:

6 : 2 = 3; 3 x 3 – 1 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1

Vấn đề 3a + 1 cho chúng ta biết rằng nếu bậc của lũy thừa 2 là số chẵn thì 2^m – 1 luôn chia hết cho 3 và có thể viết:

Có thể chọn m sao cho  là số lẻ gọi là p và viết lại:

Nếu chứng minh được  không bao giờ chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3 để có số c lẻ nào đó và b phải chia hết cho c để có kết quả là số lẻ Mp nào đó:

Đây chính là số Mecxen và đã được chứng minh rằng nếu Mp là số nguyên tố thì p cũng là số nguyên tố.

Trong phần cuối quyển IX của bộ sách “Những nguyên lý”, Ơclít đã đưa ra mệnh đề: Nếu là số nguyên tố thì nhất định là “số hoàn hảo” (hay còn gọi là “số hoàn chỉnh”).

Vậy số hoàn hảo là gì?

Trường phái Pitago ở Hy Lạp cổ đại đã phát hiện ra rất nhiều loại số kỳ lạ, trong đó có số hoàn hảo.

Theo định nghĩa thì số hoàn hảo là số tự nhiên mà tổng các ước của nó (kể cả bản thân nó) bằng 2 lần nó hoặc nếu không kể bản thân nó thì bằng chính nó. Chẳng hạn:

1 + 2 + 3 + 6 = 2 x 6 hoặc 1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 x 28 hoặc 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Trường phái Pitago cho rằng số 6 là số thần thánh nhất, lý tưởng nhất, đầy đủ nhất. Ngoài tính chất chung nêu trên, số 6 còn có tính chất: tích các ước (không kể bản thân nó) bằng chính nó:

1 x 2 x 3 = 6

Số 6 cũng là số hoàn hảo nhỏ nhất.

Ơclít đã chứng minh mệnh đề về số hoàn hảo của ông như sau:

Đặt . Tất cả các ước của , không kể bản thân nó có tổng là:

                   

Ơclít đã phát hiện được 3 số hoàn hảo là 6, 28, 491, tương ứng với p bằng 2, 3 và 5.

Đến thế kỷ I, học giả cuối cùng của trường phái Pitago phát hiện thêm được một số hoàn hảo nữa là số 8128 (p = 7). Năm 1460, người ta tìm được số hoàn hảo thứ 5 là số 33550336 (p = 13). Năm 1603, lại tìm thấy được các số hoàn hảo thứ 6, thứ 7 và thứ 8. Đầu thế kỷ XIX, tiếp tục tìm thấy số hoàn hảo thứ 9 có 37 ký số… Cho đến năm 1996, người ta đã tìm được số hoàn hảo thứ 33.

Vào thế kỷ XVIII, nhà toán học thiên tài Ơle đã chứng minh rằng: “Bất cứ một số hoàn hảo nào là số chẵn đều phải có dạng , trong đó p là số nguyên tố và cũng là số nguyên tố”.

Điều đáng ngạc nhiên là trong các số hoàn hảo đã được tìm thấy, tất cả đều chẵn.

Phải chăng không có số hoàn hảo lẻ? Năm 1908, nhà toán học A. Turcaninov chứng minh số hoàn hảo lẻ chỉ có thể lớn hơn 2 triệu. Người ta đã chứng minh được số hoàn hảo là số lẻ, nếu tồn tại, thì phải lớn hơn 10²⁰⁰ (!).

Đến nay, chưa ai có thể biết được số lượng số hoàn hảo là hữu hạn hay vô hạn.

Sau đây là vài biểu hiện kỳ lạ của số hoàn hảo:

- Một số hoàn hảo có thể phân tích thành tổng của một lượng số đếm liên tiếp bắt đầu từ 1:

                  6 = 1 + 2 + 3

                  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

                  496 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31

                  8128 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31 + … + 126 + 127

- Trừ số 6 ra, các số hoàn hảo khác đều có thể biểu thị bằng tổng lập phương các số đếm lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1:

                  28 = 1³ +3³

                  486 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

                  8128 = 1³ + 3³ + 5³ + … + 13³ + 15³

- Tổng các số nghịch đảo tất cả các ước (kể cả bản thân nó) của số hoàn hảo luôn bằng 2:

                 

Sự biến hóa của Vũ Trụ số thật khôn lường. Đến Tôn Ngộ Không với 72 phép thần thông quảng đại và thậm chí là cả ngài Phật Tổ Như Lai “thông thái bác địa” mà lạc vào Vũ Trụ ấy cũng phải kinh hoàng, phủ phục. Tuy nhiên, như chúng ta đã nói, nguyên nhân sâu xa gây ra sự biến hóa khôn lường của Vũ Trụ số lại là do sự biến ảo kỳ diệu, vừa tự nhiên, vừa nhân tạo của dãy số đếm, mà cho đến nay, người ta vẫn còn chưa nhận biết hết được.

Nói về sự đếm thì người ta có thể đếm:

Một, hai, ba, …

Để đếm nhanh hơn, người ta có thể đếm:

Hai, bốn, sáu, …

Nhanh hơn nữa:

Năm, mười, mười lăm, …

Nghĩa là có nhiều cách đếm khác nhau. Nhưng cách đếm cơ sở, cội gốc của mọi cách đếm thì vẫn là cách đếm đầu tiên, thêm vào liên tiếp từng đơn vị một. Cho nên có thể nói rằng dãy số đếm

                  1, 2, 3, 4, …

là dãy số nguyên thủy có tính cơ sở, là cội rễ của mọi dãy số, là nền tảng của Vũ Trụ số cũng như của mọi biến hóa của Vũ Trụ ấy.

Dù dãy số đếm cơ sở chỉ tồn tại trong thực tại ảo nhưng là sự “gợi ý” của Thực Tại khách quan và được hình thành bởi tư duy nhận thức trước mặt biểu hiện rời rạc của Thực Tại khách quan.

Giả sử có N hạt KG phơi bày rời rạc ra trước quan sát. Nhận thức ban đầu có thể chỉ là:

                 

Tiếp theo, nhận thức sẽ thấy được điều này:

                  N = 1 + 1 + 1 + … + 1

Vì hạt KG phân bố không đến nỗi rời rạc như thế mà có lúc còn “nhóm họp” lại thành những lực lượng to nhỏ khác nhau, nên nhận thức thấy thêm điều này nữa:

                  N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = 1 + 2 + 3 + … + n

(với n < N: vừa biểu thị là lực lượng có số hạt KG nhiều nhất (ở đây cứ cho là nó trùng với số đếm), vừa là tổng số lượng các lực lượng KG có nội tại tăng dần từ 1 đến 2… và đến n, trình hiện ra trong “tầm quan sát” của nhận thức).

Từ đó mà dãy số đếm cơ sở ra đời và nhận thức cũng qua đó, hiểu được một trong những bản chất cơ bản nhất cúa nó là sự thêm vào (phép cộng).

Dãy số đếm và phép cộng ra đời đã tạo tiền đề cho các phép toán khác và các thế giới số lần lượt hình thành. Loài người không ngờ rằng trên con đường mưu cầu cuộc sống, họ đã “vô tình” tạo ra cả một Vũ Trụ số để rồi cho đến tận ngày nay, họ vẫn còn phải lặn hụp “bở hơi tai” trong cái đại dương vô bờ bến đó…

Thôi, chúng ta hãy quay lại “bông phèng” một lúc nữa với các dãy số.

Giả sử chúng ta có tổng:

                  1 + 1 + 1 + … + 1 = 10

thì chúng ta cũng viết được:

                  10 = 1 + 2 + 3 + 4

và:

                 

Vì:

nên:           

Nghĩa là số 1 bao giờ cũng phân tích được thành tổng của các phân số đơn.

Nhưng số 1 có thể phân tích thành tổng của 3 phân số đơn không? Không phải với mọi N đều có thể phân tích được như thế. Đối với N = 10 thì 1 không thể phân tích được thành tổng của 3 phân số đơn, nhưng đối với N = 6 thì là phân tích được:

                 

Thêm vài thí dụ nữa:

- Cho N = 1 + 1 + … + 1 = 7 = 1 + 2 + 4

Suy ra:

Bằng cách tương tự chúng ta sẽ được kết quả:

(với N = 7)

- Cho N = 2, như chúng ta đã biết:

Nếu n = 10 thì:

Suy ra:     

Trường hợp n rất lớn thì có thể cho rằng:

Cho N = 3 thì:

Cho N = 18 thì chính là trường hợp ba anh em nhà nọ chia bò:

Khi chúng ta trừ hai dãy số đếm cho nhau sao cho số bị trừ lớn hơn số trừ 1 đơn vị, sẽ làm xuất hiện một dãy số toàn số 1:

                 

Nếu bỏ dấu phẩy ở kết quả đi, chúng ta sẽ được một số tự nhiên vô hạn toàn số 1:

1 1 1 1 1 …

Bình phương số đó sẽ được số:

1 2 3 4 5 6 7 9 0 1 2 3 …

Nếu số lượng số 1 là hạn định ( N hữu hạn) thì hai số hạng cuối cùng của số bình phương chúng là 21.

Chẳng hạn N = 2 thì:

11² = 121

N = 3 thì:

111² = 12321

N = 4 thì:

1111² = 1234321

Nếu chia số: 1111… (với số lượng số 1 là vô hạn) cho 9 thì sẽ có kết quả:

12345679012345679012…

Vậy thì:

Và do đó mà có: 111… = 0,111… (!)

Hay: (111…) x 9 = 1

  và: 999… = 1 (!)

Sự vô hạn thật quá kỳ dị!

Nhưng biết đâu chừng đó là biểu hiện của Tự Nhiên Tồn Tại: giới hạn của lớn vô cùng là 1, và nếu so “kích cỡ qui mô” giữa Vũ Trụ và hạt KG thì:

Khi số lượng số 1 là 9 thì đem chia 111111111 cho 9 sẽ có kết quả là:

12345679

Tương tự:

Khi số N = 8 thì kết quả là:

1234567,888…

Khi số N = 7 thì kết quả là:

123456,777…

Khi số N = 3 thì kết quả là:

12,333…

Khi số N = 2 thì kết quả là:

1,2222…

Khi số N = 1 thì kết quả là:

0,111111…

Ngược lại, vì 0,1111… x 9 = 1 nên có thể suy ra:

0,11111… x n x 9 = n

Nghĩa là từ đây ta có thể xây dựng lại được dãy số đếm cơ sở:

1, 2, 3, 4, …

Nếu bình phương các số hạng của dãy số đó, ta sẽ được dãy bình phương các số đếm:

1², 2², 3², 4², 5²…

Điều lạ lùng của dãy bình phương các số đếm là các khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp hợp thành một dãy số bao gồm toàn bộ các loại số lẻ có thể có (ngoại trừ số 1) của Thế giới số tự nhiên:

      

Vì bình phương của một số lẻ là một số lẻ nên dãy số lẻ nói trên cũng hàm chứa tất cả các số lẻ bình phương có thể có. Từ những nhận xét này mà chúng ta có thể thiết lập được vài biểu thức liên quan đến dãy bình phương các số đếm.

Nếu có một số đếm là a thì số đếm liên tiếp kế trước nó là a – 1 và kế sau nó là a + 1. Nếu gọi khoảng cách giữa hai số a² và (a + 1)² là b thì chúng ta sẽ có:

a + (a + 1) = 2a + 1 = b

a + (a – 1) = 2a – 1 = b – 2

Nếu b là một số lẻ c² thì:

Và             

Tóm lại, chúng ta có thể xác định được các số hạng nào trong dãy số đếm mà khi bình phương chúng lên sẽ thiết lập được biểu thức Pitago nổi tiếng từ cổ chí kim, khi đã biết c².

Chẳng hạn, chúng ta chọn số lẻ 5, bình phương lên được 25.

Vậy: . Từ đây chúng ta có:

                 

Hay chúng ta chọn số lẻ là 3, bình phương lên được 9. Vậy:

                 

Nếu chúng ta nhân 2 về cho một số căn 2 nào đó sẽ  được một biểu thức với những số đếm mới. Thí dụ nhân với :

                 

Hay nhân với căn :

                 

Có hằng hà sa số các số tự nhiên để thiết lập được đẳng thức: tổng của 2 số bình phương bằng bình phương của số thứ ba. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng thiết lập được như thế. Chẳng hạn có 2 + 3 = 5, bao giờ cũng có 2² + 5 = 3², nhưng 5 không phải là một số chính phương cho nên không bao giờ thiết lập được:

                  2² + c² = 3², với c là một số lẻ tự nhiên.

Nói một cách tổng quát, khi A, B, C là những số tự nhiên thì:

                  A² + B² = C²

có vô số nghiệm nhưng không phải lúc nào cũng nghiệm đúng. Hay có thể phát biểu: tổng của 2 số bình phương không phải lúc nào cũng cho ra kết quả là một số thuộc dãy số bình phương.

Vậy thì có thể thiết lập được:

                  A² + B² + C² = D²

với A, B, C, D là những số tự nhiên nào đó hay không?

Chắc chắn là được, vì chúng ta dò ra thí dụ:

                  3² + 4² + 12² = 13²

Có một vấn đề là khi A + B = D thì luôn tốn tại: (A + B)² = D². Triển khai ra thì được:

                  A² + B² + 2AB = D²

Vậy thử hỏi rằng có khi nào chọn được C để cho:

                  C² = 2AB    không?

Chúng ta trả lời một cách đanh thép rằng là… là… là… “không biết”, và quay ngoắt sang ngắm nghía dãy số lập phương cùng với những biểu thị về khoảng cách của nó:

                  

Vì là dãy biến dạng tự nhiên nên dãy này cũng có qui luật của riêng nó. Nói chung, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của mọi dãy số lũy thừa đều là số lẻ tự nhiên và do đó, các khoảng cách của dãy lập phương cũng lập thành một dãy số lẻ, bắt đầu từ số 7. Dò la sơ bộ, chúng ta đoán rằng dãy số các khoảng cách này gồm chứa những số lẻ nguyên tố và số lẻ có ước ít nhất là 2 số nguyên tố lẻ (có thể là trùng nhau, như 169 = 13 x 13). Chẳng hạn:

                 

hay:

                 

Rất đẹp là dãy số của của dãy số các khoảng cách. Đó là một dãy số chẵn bắt đầu là số 12 và (6x2) và tăng lên theo qui luật 6xn (với n là số đếm hay là số thứ tự tự nhiên).

Một câu hỏi đặt ra là có thể thiết lập được:

                  A³ + B³ = C³

với A, B, C là những số tự nhiên hay không?

Toán học đã chứng minh được rằng biểu thức trên không bao giờ có nghiệm đúng

Nếu chúng ta có số lập phương là a³, thì số lập phương kế tiếp nó là (a+1)³. Nếu gọi b là khoảng cách giữa chúng thì có thể xác định được:

                  a³ + b = (a+1)³

hoặc

                  a³ – (b-6a) = (a+1)³

Cả hai biểu thức trên đều cho ra: b = 3a (a+1) + 1.

Theo dự đoán của chúng ta thì b hoặc là số nguyên tố, hoặc là một hợp số có hai ước là số nguyên lẻ. Chẳng hạn cho:                                              a = 12 thì b = 469 = 7 x 67

                                       a = 13 thì b = 547 (là số nguyên tố)

                                       a = 19 thì b = 7 x 163

Dạng tổng quát của một dãy số lũy thừa là:

Một trong những vấn đề tưởng chừng đơn giản nhưng đã từng là hóc búa nhất của dãy lũy thừa là vấn đề: có thể tìm được ba số tự nhiên A, B, C nào đó để có được đẳng thức:

                  Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ  ?

Vấn đề đó được Fecma nêu ra và phát biểu thành định lý, được giới toán học gọi là “Định lý lớn Fecma” hay “Định lý cuối cùng của Fecma”, như sau: Với n>2 thì bài toán nêu trên không có nghiệm nguyên.

Chúng ta biết rằng khi n = 0 thì bài toán rõ ràng là vô nghiệm vì:

                 

Khi n = 1 thì bài toán luôn nghiệm đúng:

                 

Khi n = 2 thì bài toán có vô số nghiệm như chúng ta đã biết

Khi n>2 thì ngay từ thế kỷ XVII, Fecma đã đưa ra một tuyên bố gây sững sờ: “Sở dĩ không ai tìm được các nghiệm đó là bởi vì chúng  không hề tồn tại”.

Định lý lớn Fecma và công cuộc nỗ lực tìm cách chứng minh nó trong suốt hơn 350 năm đã trở thành chuyện cực kỳ lôi cuốn trong lịch sử toán học. Chúng ta đã từng được “nghe” Simon Singh kể trong tác phẩm “Định lý cuối cùng của Fecma” của ông.

Bây giờ đến lượt chúng ta xin “hầu chuyện” lại cho những ai còn “yêu mến sự thông thái”. Nhưng cũng chỉ tóm tắt được thôi vì còn phải… leo núi Tu Di!

(Còn tiếp)
--------------------------------------------------------------------