TT&HĐ IV - 35/d

                                                    Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

PHẦN IV:     BÁU VẬT 
 

"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi hoặc đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc, chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..."

NTT 

“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

Henry David Thoreau

 

Tôi bước chân vào thư viện và khép cửa lại. Như thế là tôi đã tách khỏi tính tham lam, lòng tự ái, tệ say rượu và sự lười biếng củng tất cả những thói hư tật xấu do cái dốt nát, sự vô công rỗi nghề và cảnh sầu tư sinh ra. Tôi đắm mình vào cái vĩnh hằng giữa những tác giả tuyệt diệu với một niềm tự hào, với một cảm giác thỏa mãn đến mức cảm thấy thương hại tất cả các ông quan lớn sang trọng và giàu có nhưng không được hưởng niềm hạnh phúc này.
D. Henziut

 

Những người đọc sách tuy chưa thành danh nhưng cũng đã có một tư cách cao thượng, những người làm điều thiện, tuy không mong báo đáp nhưng tự trong lòng khoan khoái.
Ngạn ngữ Trung Quốc 

 

Đọc sách hay cũng giống như trò truyện với các bộ óc tuyệt vời nhất của những thế kỷ đã trôi qua. 

Rene Descartes

Những gì sách dạy chúng ta cũng giống như lửa. Chúng ta lấy nó từ nhà hàng xóm, thắp nó trong nhà ta, đem nó truyền cho người khác, và nó trở thành tài sản của tất cả mọi người. 

 Voltaire 

 

Một thư viện của sự hiểu biết quý giá hơn tất cả sự giàu sang, và tất cả mọi thứ đáng khao khát đều không thể so sánh với nó. Vì vậy bất cứ ai nhận mình là có nhiệt tâm với sự thật, với hạnh phúc, với sự hiểu biết hay tri thức đều phải trở thành người yêu sách. 

 Plato 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 

 Heinrich Heine

 

“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.

 Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”

 Lê Quý Đôn

  

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG III (XXXV): KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.

D. Gilbert

“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”

 Galileo Galilei

“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”

Gottfried Leibniz

"Đấu tranh sinh tồn hun đúc nên tư duy trừu tượng. Tư duy trừu tượng đẻ ra triết học. Khi nhận thức triết học được định lượng và định dạng thì toán học ra đời. Không có toán học trong thực tại, loài người vĩnh viễn mù lòa, nhưng khi toán học bay lạc ra ngoài thực tại, loài người trở nên bất định, hoang mang, phạm sai lầm trong nhận thức Vũ Trụ".
 NTT

 

(Tiếp theo) 

***

Lại tiếp tục nói đến Thế giới các số tự nhiên, vì câu chuyện… triết học (nửa mùa), kể về nó chưa hết. Xin nhấn mạnh, đây là câu chuyện rặt màu hoang tưởng thường thấy trong câu chuyện trường thiên "Thực tại và Hoang đường" của chúng ta. Nội dung của nó không thiết thực, vô bổ đối với nhưng mái đầu nghiêm túc, chỉ có tác dụng kích hoạt những bộ não "vô công rỗi nghề" và ưa bay bổng. Nhưng đâu biết chừng!...

Nếu dàn trải Thế giới N ra, chúng ta sẽ có một mặt (phẳng) được tạo nên (và cũng là lấp đầy) bởi các điểm . Mặt ấy luôn biến hóa, và qua các trạng thái của sự biến hóa ấy, chúng ta thấy có mặt đầy đủ và dồi dào các loại số (lượng) đơn vị và đồng thời cũng là các số (lượng) có thể có của Tự nhiên (biểu hiện ra thành số đếm từ đến N)…

Nếu chúng ta có thể kéo sợi được Thế giới N, thì chúng ta sẽ có được một sợi dây số tự nhiên dài “mút mùa Lệ Thủy”, cũng có đủ những “phẩm chất” chung về Thế giới N tương tự như mặt (phẳng) số tự nhiên, và làm chúng ta lưu luyến nhớ về dây thắt nút; mà dạng nguyên thủy, (gọi là) cơ sở, được viết tượng trưng như sau:

, , , , , …,

Vì đơn vị tuyệt đối là bộ phận của đơn vị tương đối và cho rằng các phép toán đúng với đơn vị tuyệt đối thì cũng đúng với đơn vị tương đối nên để cho tổng quát hơn, chúng ta tạm loại bỏ ký hiệu để dùng ký hiệu 1 (và hiểu ngầm rằng tùy lúc tùy nơi mà nó có ý nghĩa tuyệt đối hay tương đối). Thêm nữa, khi đã ký hiệu là 1 thì coi như ký hiệu này đã ở ngoài Thế giới N, do đó có thể tùy ý cho phép số lượng ký số 1 (cũng như các ký số khác) là hữu hạn hay vô hạn. Nhưng sự hình thành số lượng đã hàm chứa tính hữu hạn của thế giới thực tại!
 Cuối cùng, để xác định được số lượng thực sự là bao nhiêu, chúng ta phải thực hiện công việc đếm đơn vị. Đếm đơn vị là quá trình liên tục của việc thêm vào 1 đơn vị  cho số lượng đã được đếm ngay trước đó; và nếu chúng ta gọi sự thêm vào là phép toán “cộng” (ký hiệu: +) thì cũng gọi đếm đơn vị là “cộng đơn vị”.

Sau khi đã thỏa thuận như trên, chúng ta viết sợi dây số tự nhiên (đã thông qua quan sát và nhận thức!) cùng với dãy số đếm (số thứ tự) của nó như sau:

      1, 1, 1, 1, 1, …, 1

(0), 1, 2, 3, 4, 5, …, N, (…)

(Số đếm có thể là hữu hạn hoặc vô hạn!).

Đếm đơn vị thì đồng thời cũng là cộng đơn vị, nên có thể biểu diễn:

Chú ý:

- Dù chúng ta có đếm, có cộng hoặc làm đủ mọi thứ phép toán về Thế giới N thì cũng không hề làm xáo trộn thế giới ấy, nó vẫn hồn nhiên sống động theo cách của nó, vì chúng ta có “thò mũi” vào nó đâu!

- Vì hàm chứa sự trống rỗng nên dãy các số đếm chỉ có tính hình thức tượng trưng về số lượng, do đó các số đếm cũng tuyệt đối không có thứ nguyên. Sự biểu hiện có vẻ tầm thường và buồn tẻ của các số đếm đã che khuất vai trò tối quan trọng của chúng trong toán học. Chúng quan trọng đến nỗi nếu không có chúng thì tất cả các quá trình tính toán đột nhiên trở nên “ngốc nghếch”, phi lý và nhiều khi là không thể thực hiện được.

Thế giới N được cho là lấp đầy các số tự nhiên, ngoài số tự nhiên ra, không còn cái gì khác nữa, và cũng không có số tự nhiên nào lại ở ngoài Thế giới ấy. Chúng ta nói Thế giới N tuân theo luật đầy đủ. Thế nhưng như chúng ta đã đề cập, ở hầu hết các trạng thái, Thế giới ảo nói chung lại biểu hiện sự không có mặt đầy đủ của các loại đơn vị (về mặt số lượng), nghĩa là không đầy đủ. Vậy phải giải quyết mâu thuẫn này như thế nào? Luật đầy đủ bảo rằng một Thế giới muốn thực sự đầy đủ thì nó phải bao hàm cả thiếu thốn. Trong khi đó các Thế giới cũng phải tuân theo triệt để nguyên lý bảo toàn lực lượng. Để đồng thời đảm bảo hai yêu cầu đó, Tự Nhiên Tồn Tại đã trao cho các Thế giới một “bảo bối”, đó là đặc tính trội - lặn. Có thể dùng đặc tính trội - lặn để giải quyết mâu thuẫn nói trên: Thế giới luôn luôn đầy đủ, nhưng không thể quan sát đầy đủ Thế giới mà chỉ quan sát được một bộ phận gọi là nổi trội của Thế giới đó, những cái bị cho là thiếu, vắng thực ra là đã tạm thời lặn đi.

Còn một cách giải thích nữa nghe rất vui vẻ và không phải là không có lý: Vì không xảy ra trong thời gian (nãy giờ chúng ta có chú ý đến thời gian đâu và trong toán học thuần túy cũng đâu có thời gian), nên cần phải cho rằng các trạng thái của Thế giới N xuất hiện đồng thời, tạo ra hiện tượng chồng chập trạng thái và như vậy là luôn thấy nó… đầy đủ (ở đây, tính trội lặn không được đặt ra nữa!).

Vì lúc nào cũng thấy thế giới N là đầy đủ nên trong thế giới ấy, xét trong thế cô lập của nó, là không có hiện tượng sinh - diệt, các số tự nhiên, trong quá trình vận động, tương tác lẫn nhau, chỉ có thể là làm biến hóa lẫn nhau, từ số này thành số khác.

Sự vận động nội tại của Thế giới N được mô tả bằng những phép toán. Yêu cầu tiên quyết đối với những phép toán đó là có tính thuận nghịch và đảm bảo được kết quả là số tự nhiên.

Dù là tưởng tượng nhưng cũng hoàn toàn tự nhiên và chính sự đếm đơn vị đã làm cho chúng ta hình dung ra rằng: Thế giới N “thuở ban sơ”, khi nó chưa có đơn vị số lượng nào khác ngoài những đơn vị tuyệt đối, thì hành động đầu tiên của nó là kết hợp các đơn vị tuyệt đối thành những đơn vị tương đối khác nhau, và hành động đó được mô tả là phép toán cộng. Phép toán cộng là phép toán đầu tiên, có tính hiển nhiên, tất yếu, tiên đề và là cơ sở của mọi phép toán của thế giới N nói riêng và của Thực tại ảo nói chung.

Phép toán cộng được nảy sinh ra một cách hiển nhiên từ vận động của Thế giới N nên nó cũng thỏa mãn mọi yêu cầu của thế giới ấy, nghĩa là:

- Dù cộng bất cứ các số tự nhiên nào với nhau, kết quả tính toán luôn là số tự nhiên, là một số nào đó trong dãy số đếm.

- Nó có tính thuận nghịch, nghĩa là nếu có:

2 + 5 = 7 thì cũng phải có 7 – 5 = 2

và không bao giờ có (hai vế không bằng nhau):

2 + 5 = 8 (nên cũng không có 8 – 5 = 2)

Bắt đầu là phép toán cộng đơn vị (đếm xuôi) rồi đến phép toán trừ (-) đơn vị (đếm ngược). Tổng quát hơn là phép toán cộng và nghịch với nó là phép toán trừ.

Trong quá trình làm toán cộng, nhiều lúc xuất hiện hiện tượng một số, cộng liên tiếp nhiều lần với bản thân nó làm xuất hiện phép toán nhân và phép toán lũy thừa. Chẳng hạn cho a là 1 số tự nhiên và có:

a + a + a + … + a, nghĩa là có n số a cộng với nhau. (Có thể coi số a là đơn vị và n là số đếm lớn nhất đồng thời cũng chính là số lượng phải cộng của a). Để đơn giản hóa tính toán, người ta quy ước:

     

Phép nhân là sự suy diễn ra từ phép cộng nên kết quả tính toán của nó bao giờ cũng cho ra số tự nhiên.

Khi n = a thì người ta qui ước:

a x a = a²

    

Và gọi vế phải là phép toán lũy thừa.

Phép toán lũy thừa được suy diễn ra từ phép nhân nên kết quả của nó cũng luôn là số tự nhiên.

Có thể gọi ba phép toán: cộng, nhân, lũy thừa là ba phép toán cơ sở, hiển nhiên của Thế giới N. Chúng cũng là ba phép toán thuận.

Tương phản với ba phép toán trên là ba phép toán: trừ, chia, khai căn. Nếu gọi ba phép toán trên là quá trình thuận, có trước thì ba phép toán này được gọi là quá trình nghịch, có sau, hợp với quá trình thuận làm nên một thể thống nhất thuận - nghịch. Trong thế giới N, điều kiện tồn tại của ba phép toán sau lệ thuộc vào sự tồn tại của ba phép toán trước, nghĩa là ba phép toán sau phải là nghịch của ba phép toán trước, chứ không thể tùy tiện xuất hiện một cách độc lập được.

Có thể kết luận: Mọi phép toán trong thế giới N chỉ được cho là đúng nếu thỏa mãn tính thuận nghịch và có kết quả là số tự nhiên.

Thí dụ:

- Nếu có phép cộng (thuận): 2+1=3 (hoặc 1+2=3) thì cũng có phép trừ (nghịch): 3–1=2 (hoặc 3-2=1).

- Không có phép cộng: 3+5=3 nên cũng không có phép trừ: 3-5.

- Cũng không có phép trừ: 2-3 vì kết quả không phải là số tự nhiên.

- Không có số tự nhiên nào nhân với 3 bằng 2 nên rõ ràng cũng không thực hiện được phép chia: 2:3 (hoặc có thể viết ).

- Không có số nào bình phương lên bằng 2 cả nên (ký hiệu của khai căn: ) không thực hiện được trong Thế giới N.

Trong Thế giới N không tồn tại số 0 (mà cũng không có cả các số đếm), nhưng trong quá trình tính toán (được coi như là sự mô tả về sự vận động, biến hóa trong nội tại Thế giới N) lại không thể không xuất hiện số 0. Điều đó quả là ngạc nhiên!

Các số tự nhiên trong Thế giới N không phải là trống rỗng như số đếm mà chúng “thực sự” hàm chứa số lượng (lực lượng) để tạo nên một Thế giới hẳn hoi, nghĩa là chúng phải có thứ nguyên và thứ nguyên đó phải có tên gọi. Một cách hình tượng, có thể coi các số tự nhiên là “vạn vật” của Thế giới N. Chẳng hạn trong Thế giới loài gà, thì thứ nguyên của các số lượng là: “con gà”: 3 con gà, 6 con gà, 1 con gà… Trong thế giới ấy không bao giờ có số đếm 1, 3, 6 hoặc số 0. Khi trong Thế giới gà xuất hiện số 5 thì chúng ta phải lập tức hiểu rằng đó là sự viết tắt và số 5 đó chính là 5 con gà. Đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của Thế giới gà là j con gà và Thế giới gà là một Thế giới hoàn toàn rời rạc nhưng chứa đầy ắp gà.

Trong quá trình quan sát Thế giới loài gà, tất yếu nảy sinh ra sự đếm để nhận thức số lượng. Trong thực tế đời thường, nhiều khi chúng ta vẫn quen miệng đếm:

1 con gà, 2 con gà,…

Đếm như thế có đúng không? Đúng mà cũng không!

Như đã nói: đếm đơn vị thì cũng đồng thời là làm phép toán cộng đơn vị, mà trong đó, bài toán đầu tiên, sơ khai nhất, đơn giản nhất và hiển nhiên nhất là:

1 con gà + 1 con gà = ?

Đứa con nít cũng biết rằng kết quả là 2 con gà. Thật là hiển nhiên và không thể chối cãi được! Nhưng có một kẻ gàn rở vẫn đòi cãi, đó là… Thầy Cãi.

Ông ta cho rằng nếu bài toán đó chưa được qui ước thì không giải được. Không thể hiểu nổi: 1 con gà thêm (hoặc: “và”) 1 con gà là 2 con gà, có ý nghĩa gì. Trong thế giới loài gà, vì không có số đếm nên phải hiểu 1 con gà có nghĩa là “vật” thuộc loại nhỏ nhất trong vạn vật làm nên Thế giới ấy. Nếu có vật như thế, thêm vào đó vật như thế nữa (nghĩa là quan sát thấy vật như thế nữa!) thì hiện tượng chỉ là… như thế thôi, hay có thể biểu diễn:

Con gà + Con gà  = Con gà + Con gà

Nếu qui ước lúc này số 1, 2… chỉ là tên gọi các vật để phân biệt trong thế giới gà, thì có thể diễn giải:

Vật 1 (con gà) + Vật 1 (con gà) = Vật 1 (con gà) + Vật 1 (con gà)

Hay gọn hơn:

    

“2 con gà” là một vật có tên là “2”, có thứ nguyên là “con gà”.

Quá trình chuyển hóa từ (những) vật này thành vật khác là quá trình không thuộc về phép cộng, và vì chỉ thông qua quan sát để dựng nên bài toán cộng ở trên chứ không ai có quyền “thò mũi” vào Thế giới gà nên bài toán trở thành vô nghiệm.

Để cho bài toán có nghiệm thì phải ứng dụng số đếm. Số đếm là số tự nhiên khi nó có thứ nguyên (và thuộc về Thế giới N), và là số “ma” khi không có thứ nguyên (và ở ngoài Thế giới N). Vậy, khi quan sát Thế giới loài gà, thấy:

1 con gà, 1 con gà,…

Và đếm:    1            , 2           ,…

Lúc này bài toán cộng đơn vị, có vai trò là bài toán đầu tiên của mọi bài toán được đặt ra:

1 + 1 = ?

Đó là bài toán của những số đếm, biểu trưng, đơn thuần về những số lượng đơn vị, rời rạc không thứ nguyên. Kết quả bài toán hiển nhiên là 2 đơn vị (rời rạc), và nếu áp dụng cho Thế giới loài gà thì ngầm hiểu đó là 2 con gà (rời rạc), không cần quan tâm tới 2 con gà đó làm gì, ở đâu, có hòa hợp với nhau hay không (dù có thể 2 con gà đó đã “hòa vào nhau” trong một cái nồi thì về mặt số lượng vẫn được coi là 2 con gà!).

Vì phép cộng xuất phát từ phép cộng đơn vị mà phép cộng đơn vị chính là sự đếm số lượng đơn vị có khi là gồm những loại đơn vị khác nhau (các đơn vị hàm chứa số lượng khác nhau thì thứ nguyên của chúng cũng bộc lộ những nét sai biệt nhau, ví dụ: 1 con gà1 cặp gà1 nhóm gà…), cho nên đòi hỏi của một phép cộng “sáng sủa” là các số đếm tham gia vào quá trình cộng phải là những số biểu diễn số lượng đơn vị đồng thứ nguyên.

Thí dụ:

Có: 1 + 1 = 2

(Hiểu là: 1 đơn vị cộng 1 đơn vị bằng 2 đơn vị)

Điều đó đúng khi hai đơn vị tương đối ở vế trái là đồng thứ nguyên. Nếu hai đơn vị đó không đồng thứ nguyên, chẳng hạn đối với đơn vị đứng đầu, nó có thứ nguyên là 2 KG (Không gian) và đơn vị thứ hai có thứ nguyên là 5 KG thì kết quả bài toán trên không còn đúng nữa. Muốn có kết quả đúng, phải chuyển đổi hai đơn vị tương đối đó về đồng thứ nguyên, nghĩa là:

2 + 5 = 7 (đơn vị KG)  2

Qua những điều vừa trình bày, chúng ta đã thấy tầm quan trọng đến mức độ không thể thay thế được của số đếm trong tính toán. Vai trò quyết định của chúng thể hiện rất rõ rệt trong phép nhân. Tương tự như ở phép cộng, chúng ta cũng có bài toán đơn giản nhất của phép nhân:

1 con gà x 1 con gà = ?

Theo định nghĩa, kết quả phải là: 1² (con gà)²

Không thể hiểu được kết quả đó nói về cái gì. “1²” có nghĩa là gì và hơn nữa “(con gà)²” đóng vai trò như một thứ nguyên là cái quái gì?

“1²” còn có thể cố mà hiểu được đó là số đếm, chứ:

(con gà)² = con gà x con gà, thì không làm sao hiểu nổi. (Thực ra (con gà)² là kết quả của phép toán tích hợp, phải thông qua môi trường và chịu sự tác động từ bên ngoài. Chúng ta cho rằng phép toán này mô tả Thực Tại chính xác hơn, và được thể hiện rõ ràng trong các quá trình lý - hóa… Có thể chính quá trình tích hợp đã làm nên những đơn vị tương đối. Thưc ra, trong Thế giới N, không có những đơn vị tương đối thực sự mà chỉ có tính giả hợp).

Tuy nhiên nếu dùng số đếm, bài toán nhân sẽ được hiểu rõ đến không ngờ:

1 x 1 = 1 lần 1 = 1 con gà

(Một lần con gà thì bằng 1 con gà).

Tương tự với:

2 x 1 = 2 con gà

Có thể hiểu hai cách:

- Đếm 1 lần được 2 con gà nên có 2 con gà

- Đếm 2 lần 1 con gà nên có 2 con gà

Có thể biểu diễn 2 x 1 bằng cách:

Như vậy, theo cách hiểu này thì dù có n lần nhân số 1 với nhau thì cũng chỉ bằng 1.

1 x 1 x … x 1 = 1ⁿ = 1

(Và đừng cho Thầy Cãi biết điều này!)

Trong Thế giới N, có thể thấy được những biểu hiện gợi nên số đếm, nhưng không bao giờ thấy được những biểu hiện gợi nên số 0. Vì không có số 0 nên không có biểu hiện.

0 + 1 = 1,

do đó cũng không có biểu hiện:

1 – 1 = 0

Số 0 chỉ xuất hiện trong quá trình tính toán bằng số đếm ở bên ngoài Thế giới N, nhờ sự suy luận và sáng tạo (tự do) của quan sát và nhận thức. Việc làm đó tất yếu làm mở rộng Thế giới N thành một Thế giới ảo khác, bao hàm nó.

Tóm lại: phép toán cộng (với việc sử dụng các số đếm để tính toán) là phép toán cơ sở, tiên đề; là giềng mối của mọi phép toán toán học, không chỉ của Thế giới N mà là của tất cả các Thế giới ảo khác, nghĩa là của toàn bộ Thực tại ảo.

Cuối cùng, chúng ta có một chú ý nhỏ: mọi bài toán đều có quyền được tồn tại, dù có thể là vô nghiệm, và không có bài toán nào là không giải được nếu được tăng cường qui ước, hoặc bỏ bớt qui ước.

***

Khi quá trình tính toán làm xuất hiện số 0 thì rồi nó cũng làm xuất hiện số âm.

Chúng ta là những kẻ bảo thủ và cực đoan, nên khi tính toán làm xuất hiện số 0, chúng ta cố ép bằng được Thế giới N chấp nhận nó. Thế là giờ đây, Thế giới N được lấp đầy không phải bởi các số tự nhiên nữa, mà còn cả các số “chẳng có gì”. Từ đây, do bị những thứ “đồ bỏ” được thổi vào, Thế giới N bắt đầu phình ra như một cái bong bóng. Cái “vỏ bao” N của nó ngày càng căng, đòi hỏi phải có một cái tên khác, “oách” hơn, cho phù hợp với “quyền hạn” và “công lao” mới.

Thế nhưng chúng ta không “quyết”, vẫn khư khư cố giữ lấy cái tên “N” của một thời “xuân sắc” cho Thế giới số tự nhiên. Sự “cố chấp” mù quáng đó đã làm nảy sinh nhiều “vấn nạn” buộc chúng ta phải cố gắng “giải phẫu thẩm mỹ”, giữ gìn cái vẻ đẹp ban sơ cho Thế giới N.

Vì Thế giới N đã có thêm số tự nhiên là số 0 nên hiển nhiên là có các đẳng thức:

     

Không thể có đẳng thức:

      1 x 0 = 0,

vì nó không thỏa mãn qui ước là phải có tính thuận nghịch. Lấy “không có gì” đem chia cho bất cứ cái gì cũng đều “không có gì”; huống hồ là đem “nó” chia cho “không có gì” (chắc chắn là càng không có gì!). Đằng này, muốn cho đẳng thức 1 x 0 = 0 tồn tại thì phải có đẳng thức:

0 : 0 = 1

Thế nhưng trực giác cũng mách bảo rằng “một lần 0 bằng 0” là một hiển nhiên.

Để giải quyết mâu thuẫn đó, và để cho Thế giới N vẫn “tròn trịa”, đẹp đẽ thì chúng ta phải qui ước bài toán 0:0 có hai nghiệm là 0 và 1, nghĩa là:

                 

Có thể qui ước được như vậy không?

Trên bước đường quan sát và nhận thức Thực tại khách quan, con người nhất quyết phải xây dựng hệ thống khái niệm và qui ước. Tự Nhiên Tồn Tại cho phép con người tự do, tha hồ mà đặt điều này nọ, tha hồ mà qui ước lung tung, tha hồ mà vẽ vời lung tung đến bạt mạng. Tuy nhiên, dù có được tự do đến cỡ đó thì con người cũng không thể qui ước cái mà Tự Nhiên Tồn Tại không có (nếu còn muốn tiếp tục nhận thức!); dù có qui ước là Hư Vô đi nữa thì cứ vẫn là Tồn Tại.

Khi chúng ta qui ước số 0 có nghĩa là “không có gì cả” thì cái ý nghĩa ấy chỉ mang tính tương đối, nhất là khi chúng ta cố nhét nó vào Thế giới N và đặt nó đứng trong hàng ngũ các số tự nhiên.

Thế giới N là một tồn tại cho nên nó không bao giờ chấp nhận Hư Vô, dù là ở tận chân tơ kẽ tóc. Khi các số 0 bị đẩy vào Thế giới ấy, thì chúng phải được coi là những số lượng thực sự, bị gắn nhãn mác là “0”. Chúng ta gắn nhãn mác “0” vì tưởng rằng chúng trống rỗng, vì chẳng thấy gì ở những chỗ mà chúng “trú ngụ” cả. Chúng ta không thấy được chúng, dù sau này có ngộ ra được sự tồn tại của chúng (vì thấy Thế giới N “béo” ra!), thì cũng khó lòng xác định được những số lượng mà chúng “chứa đựng”. Do đó, ngoài tên gọi là “số 0” thuở ban đầu, chúng ta còn đặt cho chúng cái tên là “số bất định”. Số bất định cũng là số tự nhiên nhưng không “thấy” được, nên nó có tính lặn, không hiện hữu và tổng số của chúng hợp thành nền tảng của Thế giới N; khi đã có bộ phận nền tảng thì trong Thế giới N cũng xuất hiện quá trình sinh - diệt, hiện ra (thành số tự nhiên “thấy” được) và biến mất (thành số 0, không “thấy” hoặc thấy như “không có gì”, bất định trong cái nền tảng mênh mông và có vẻ liền lạc như… không gian trống rỗng).

Vậy là số 0 có hai nghĩa: không có gì và bất định. Có thể nói: số bất định có thể là bất cứ số nào, từ số 0 (trống rỗng) đến số N.

Vai trò của toán học là phục vụ cuộc sống, do đó mục đích cao cả của nó là nhận thức thế giới khách quan, công việc thực tiễn của nó là đi tìm ẩn số bằng cách đề ra và giải đáp các bài toán. Khi số 0 đóng vai trò là số bất định thì nó cũng chính là một ẩn số và là ẩn số tự nhiên trong Thế giới N (đã mở rộng).

Suy luận lung tung như thể để chúng ta đạt được điều này: nếu x và y là hai ẩn số thì từ:

0 : 0 = 1,

chúng ta có thể viết x : y = 1; và đây là một bài toán.

Lời giải hiển nhiên là khi x = y thì có kết quả bằng 1, và khi x = y = 0 (hoặc khi x = 0; y = 1) thì sẽ có:

0 : 0 = 0

    Hay 0 : 1 = 0

Vậy 0 : 0 = 1 là có thể qui ước được, nhưng là một qui ước đặc biệt. Trong thực tiễn, không thể chia sự trống rỗng của túi bên trái cho sự trống rỗng của túi bên phải để có được một… tòa lâu đài nguy nga tráng lệ. Nhưng dù sao thì nếu đem chia cái túi trống rỗng cho ai đó, chắc chắn người đó sẽ có được (thêm), ít ra là 1… cái “túi” chứa đầy Không Gian.

(Còn tiếp) 
-----------------------------------------------------------