Thứ Hai, 11 tháng 4, 2016

HIỆN THỰC KỲ ẢO 123 (Định lý Bất toàn)

(ĐC sưu tầm trên NET)
                                     

Kurt Gödel

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Kurt Gödel

Kurt Gödel
Sinh April 28, 1906
Brno, Austria-Hungary
Mất January 14, 1978
Princeton, New Jersey
Ngành Mathematics
Alma mater University of Vienna
Người hướng dẫn luận án tiến sĩ Hans Hahn
Nổi tiếng vì Gödel's incompleteness theorems
Giải thưởng Albert Einstein Award (1951)
Kurt Gödel (28 tháng 4, 1906 – 14 tháng 1, 1978) là một nhà toán họclogic học nổi tiếng người Áo, người đã được tờ tạp chí danh tiếng Times bình chọn là nhà toán học lớn nhất thế kỷ 20.
Ông là tác giả của một định lý nổi tiếng trong toán học: "Định lý bất toàn" (incompleteness theorem), là một định lý được giới khoa học so sánh với thuyết tương đối của Einsteinnguyên lý bất định của Heisenberg. Định lý này khẳng định rằng bất kì một hệ tiên đề hình thức độc lập nào đủ mạnh để miêu tả số học cũng hàm chứa những mệnh đề không thể khẳng định mà cũng không thể phủ định. Được chứng minh vào năm 1930 và công bố một năm sau đó, định lý này đã đập tan niềm tin tuyệt đối của các nhà toán học vào sức mạnh của các công cụ hình thức vốn được đề xuất bởi David Hilbert và các cộng sự nhằm loại bỏ những mâu thuẫn và nghịch lý ra khỏi toán học.

Tiểu sử

Thời trẻ

Ông sinh ngày 28 tháng 4 năm 1906 tại Brünn, một trung tâm công nghiệp của Đế quốc Áo-Hung (nay là thành phố Brno của Cộng hòa Séc).

Tại Wien

Tại Princeton

Ông giảng dạy toán họcĐại học Princeton (Hoa Kỳ) từ năm 1953.

Gödel và Einstein tại IAS (1950)

Cuối đời

Ông sống rất sạch sẽ, thậm chí có tin đồn rằng ông mất năm 1978 vì ông sợ không dám ăn thức ăn trong bát đĩa mà ông nghi là chưa sạch.

Định lý Gödel

Tác phẩm

  • Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38 (1931) 
  • The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press, Princeton, NJ. (1940)
  • Rotating Universes in General Relativity Theory (1950)

Định lý Bất toàn của Godel: Giới hạn trí tuệ của mọi thiên tài

Dường như Einstein không tìm thấy ai hiểu mình hơn Gödel, đến nỗi có lần ông nói với mọi người rằng ông đến văn phòng của ông trong Đại học Princeton “chỉ để có cái đặc ân được cùng đi bộ với Gödel về nhà”. (Ảnh: Internet)
Dường như Einstein không tìm thấy ai hiểu mình hơn Gödel, đến nỗi có lần ông nói với mọi người rằng ông đến văn phòng của ông trong Đại học Princeton “chỉ để có cái đặc ân được cùng đi bộ với Gödel về nhà”. (Ảnh: Internet)
Gottfried Leibniz có lần nói: “Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”. Dẫn lời Leibniz, Perry Marshall đưa chúng ta vào thế giới của Toán học và Triết học, ở đó chúng ta có thể thấy rõ hơn chân lý, biết đâu là sự thật. Đó là mục đích bài giảng của ông: “Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 của thế kỷ 20”….
“Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20” là một bài giảng của Perry Marshall. Dưới đây là bản lược dịch của Phạm Việt Hưng.

ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN CỦA GÖDEL: KHÁM PHÁ TOÁN HỌC SỐ I CỦA THẾ KỶ XX
Bài giảng của Perry Marshall
Gottfried Leibniz:
“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”.
Galileo Galilei:
“Toán học là ngôn ngữ Chúa [1] viết trong vũ trụ”
Năm 1931, Kurt Gödel giáng cho các nhà toán học trong thời của ông một đòn nặng nề
Năm 1931, nhà toán học trẻ Kurt Gödel có một khám phá mang tính bước ngoặt, gây ra những chấn động lớn như những gì Albert Einstein đã làm.
Khám phá của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà thực ra áp dụng cho tất cả các ngành của khoa học, logic và hiểu biết của con người nói chung. Nó thực sự làm rung chuyển trái đất.
Nhưng trớ trêu thay, không mấy ai biết về nó.
Vậy hãy cho phép tôi nói với các bạn câu chuyện về định lý này.
Các nhà toán học vốn thích chứng minh mọi thứ. Vì thế họ nóng lòng và băn khoăn trong suốt nhiều thế kỷ vì có một số định đề toán học họ nghĩ là đúng nhưng không thể CHỨNG MINH.
Chẳng hạn nếu bạn đã từng học Hình học ở trường trung học, hẳn là bạn đã làm những bài tập chứng minh các tính chất của tam giác dựa trên một số định lý cơ bản.
Môn hình học đó được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid. Mọi người đều thấy những tiên đề đó là đúng, nhưng sau 2500 năm vẫn không có ai tìm ra cách chứng minh chúng.
Vâng, dường như hoàn toàn hợp lý khi cho rằng một đường thẳng có thể kéo dài vô tận về hai phía, nhưng không ai có thể CHỨNG TỎ điều đó. Chúng ta chỉ có thể bầy tỏ rằng đó là một tập hợp 5 tiên đề hợp lý, và thực tế là cần thiết.
Những thiên tài toán học cao chót vót đã thất vọng trong hơn 2000 năm bởi vì họ không thể chứng minh tất cả các định lý của họ. Có rất nhiều điều “rõ ràng” là đúng nhưng không ai có thể tìm ra cách chứng minh.
Tuy nhiên, vào những năm đầu của thập niên 1900, một niềm lạc quan to lớn bắt đầu phát triển trong giới toán học. Các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới lúc đó (như Bertrand Russell, David Hilbert và Ludwig Wittgenstein) tin rằng họ đang nhanh chóng tiến gần tới một phương pháp tổng hợp cuối cùng.
(Họ tin rằng) một sự thống nhất “Lý thuyết về mọi thứ” rốt cuộc sẽ thít chặt các đầu mối lỏng lẻo. Toán học sẽ kiện toàn, đạn bắn không thủng, không có kẽ hở cho không khí lọt vào, và toán học sẽ đắc thắng.
(Nhưng) năm 1931, nhà toán học trẻ người Áo, Kurt Gödel, đã công bố một công trình CHỨNG MINH một lần và mãi mãi rằng một Lý thuyết Duy nhất về Mọi thứ thực ra là không thể có (impossible, bất khả).
Khám phá của Gödel được gọi là “Định lý Bất toàn”.
Nếu bạn dành cho tôi vài phút, thì tôi sẽ giải thích với bạn định lý đó nói gì, Gödel đã khám phá ra định lý đó như thế nào, và định lý đó có ý nghĩa gì – tôi nói bằng một ngôn ngữ mộc mạc, đơn giản đến nỗi ai cũng hiểu.
Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng:
“Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích về bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.”
GODE1MXin nhắc lại điều nói trên bằng ngôn ngữ chính thức của khoa học:
Định lý Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng biểu diễn số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”
Luận đề Church-Turing nói rằng một hệ vật lý có thể biểu diễn số học sơ cấp y như con người, và rằng số học của Máy Turing (computer) không thể chứng minh được bên trong hệ thống đó và do đó computer cũng bất toàn.
Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo lường đều có khả năng biểu diễn số học sơ cấp (Nói cách khác, trẻ em có thể làm toán bằng cách đếm ngón tay, nước chảy vào thùng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được, và các hệ vật lý luôn luôn đua ra câu trả lời rõ ràng).
Do đó vũ trụ (thế giới vật lý) có khả năng biểu diễn được bằng số học sơ cấp và giống như bản thân toán học và computer, vũ trụ ấy là bất toàn.
Lý luận trên có thể tóm tắt bằng tam đoạn luận sau đây:
1. Mọi hệ thống đủ phức tạp có thể tính toán được đều bất toàn.
2. Vũ trụ là một hệ đủ phức tạp có thể tính toán được.
3. Do đó vũ trụ là bất toàn.
Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh tất cả các khái niệm trong cuốn sách hình học trung học của bạn. Nhưng tất cả chúng được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid, những tiên đề này rõ ràng là đúng nhưng không thể chứng minh. 5 tiên đề đó nằm ngoài cuốn sách, tức là bên ngoài vòng tròn bạn vừa vẽ.
Bạn cũng có thể vẽ một vòng tròn xung quanh một chiếc xe đạp nhưng sự tồn tại của chiếc xe đạp đó dựa vào một nhà máy ở bên ngoài vòng tròn đó. Chiếc xe đạp không thể tự giải thích sự tồn tại của bản thân nó.
Gödel chứng minh rằng LUÔN LUÔN có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh. Trong bất kỳ hệ thống logic hay hệ thống số nào mà các nhà toán học đã từng xây dựng được đều luôn luôn tồn tại ít nhất một vài giả định không thể chứng minh.
Định lý bất toàn của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà cho mọi đối tượng tuân thủ các định luật của logic. Bất toàn đúng trong toán học; nó cũng đúng trong khoa học hay ngôn ngữ hoặc triết học.
Và: Nếu vũ trụ mang tính chất toán học và logic thì tính bất toàn cũng áp dụng cho vũ trụ.
Gödel sáng tạo ra chứng minh của mình bằng cách khởi đầu với “Nghịch lý Kẻ nói dối” (The Liar’s Paradox) – đó là mệnh đề:
“Tôi đang nói dối.” (I am lying)
Mệnh đề “Tôi đang nói dối” là một mệnh đề tự mâu thuẫn, bởi nếu mệnh đề ấy phản ánh đúng sự thật, rằng tôi là một kẻ nói dối, thì suy ra mệnh đề vừa nói không đáng tin cậy, tức là mệnh đề ấy mâu thuẫn với chính nó; nếu mệnh đề ấy sai, lập luận tương tự cũng đi đến mâu thuẫn .
Tương tự như vậy, bằng một trong những biến đổi khéo léo nhất trong lịch sử toán học, Gödel đã chuyển Nghịch lý Kẻ Nói Dối thành một công thức toán học. Ông đã chứng minh rằng bất kỳ một mệnh đề nào cũng đòi hỏi một quan sát viên bên ngoài.
Không có mệnh đề nào (một sự trình bày nào) có thể một mình nó tự chứng minh nó đúng.
Định lý bất toàn của Gödel là một đòn nặng nề giáng vào “chủ nghĩa thực chứng” trong thời đại đó. Gödel chứng minh định lý của ông một cách rõ ràng trắng đen đến nỗi không ai có thể tranh cãi với logic của ông.
Tuy nhiên một số đồng nghiệp toán học của ông đến lúc ra đi về bên kia thế giới vẫn phủ nhận ông, tin rằng bằng cách này hay cách khác, trước sau Gödel chắc chắn phải sai.
Nhưng ông không sai. Định lý của ông thực sự đúng. Có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh.
Một “lý thuyết về mọi thứ” – dù trong toán học hay vật lý, triết học – sẽ không bao giờ tìm thấy. Đơn giản vì nó không thể tồn tại (impossible, bất khả).
OK, vậy điều này thực ra có ý nghĩa gì? Tại sao vấn đề này lại là vô cùng quan trọng, thay vì chỉ là một chuyện phiếm để mua vui?
Đây là ý nghĩa của định lý:
Đức tin và Lý lẽ không phải là kẻ thù của nhau. Thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh.
Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.
Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn nhưng sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn là “lý lẽ suy diễn”(deductive reasoning). Thí dụ:
1. Mọi người đều sẽ chết.
2. Socrates là một con người.
3. Vậy Socrates sẽ chết.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn là “lý lẽ quy nạp”. Thí dụ:
1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi.
2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.
Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.
Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. Bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mỗi lúcc bạn quan sát. Bạn không thể CHỨNG MINH vũ trụ là hợp lý (rational, tuân thủ những quy luật nhất định). Bạn chỉ có thể nhận thấy các công thức toán học, như E = mc2 chẳng hạn, dường như mô tả một cách hoàn hảo cái mà vũ trụ tiến hành.
Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Những định luật này đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ là logic và dựa trên những định luật cố định có thể khám phá ra.
Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó ( Bạn không thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Thực ra bạn phải chấp nhận điều đó bằng niềm tin. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học không thể chứng minh, nó chỉ có thể gợi ý, phỏng đoán (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy rằng Thần [2] tạo ra một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).
Bây giờ hãy xem xét điều gì sẽ xẩy ra khi chúng ta vẽ vòng tròn lớn nhất có thể có – vòng tròn bao quanh toàn thể vũ trụ (nếu có đa vũ trụ thì vẽ môt vòng tròn chứa tất cả những vũ trụ đó):
Phải có một cái gì đó bên ngoài vòng tròn đó. Một cái gì đó mà chúng ta phải thừa nhận là không thể chứng minh được.
Vũ trụ mà chúng ta biết là hữu hạn – hữu hạn vật chất, hữu hạn năng lượng, không gian hữu hạn và thời gian là 13.7 tỷ năm tuổi.
Vũ trụ ấy mang tính chất toán học. Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo đạc đều có thể biểu diễn bởi số học (Bạn không cần biết toán học để làm phép cộng – bạn có thể sử dụng bàn tính gẩy tay để tìm câu trả lời vào mọi lúc).
Vũ trụ (tất cả mọi vật chất, năng lượng, không gian, thời gian) không thể tự giải thích cho nó.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là vô hạn. Theo định nghĩa, không thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó .
● Nếu chúng ta vẽ một vòng tròn bao quanh mọi vật chất, năng lượng, không gian và thời gian và áp dụng định lý Gödel, chúng ta sẽ thấy cái gì ở ngoài vòng tròn đó sẽ không phải là vật chất, không phải năng lượng, không phải không gian và cũng không phải thời gian. Đó là thế giới phi vật chất.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều không phải là một hệ thống – nghĩa là không phải một tập hợp bao gồm các thành phần. Nói cách khác, nếu chúng ta có thể vẽ một vòng tròn bao quanh vật chất, năng lượng, không-thời-gian thì cái nằm ngoài vòng tròn ấy là không thể phân chia được.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là nguyên nhân không có nguyên nhân, bởi vì bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh một kết quả.
Chúng ta có thể áp dụng lý lẽ quy nạp tương tự cho nguồn gốc của thông tin:
Trong lịch sử vũ trụ, chúng ta cũng đã biết sự xuất hiện của thông tin, vào khoảng 3.5 tỷ năm trước. Nó xuất phát từ mã của Hệ Di truyền (Genetic code), một thứ phi vật chất mang tính biểu tượng .
Thông tin phải xuất phát từ bên ngoài, bởi vì thông tin được biết không phải là một đặc trưng vốn thuộc về vật chất, năng lượng và không gian hoặc thời gian.
Mọi mã mà chúng ta biết nguồn gốc đều được thiết kế bởi những thực thể có ý thức.
Do đó bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất cũng phải là một thực thể có ý thức.
Nói cách khác, khi chúng ta bổ sung thông tin vào trong phương trình, chúng ta có thể kết luận rằng cái ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất không chỉ vô hạn và phi vật chất, mà còn có ý thức.
Chẳng phải thú vị hay sao khi những vấn đề này nghe có vẻ đáng ngờ vực như những gì mà các nhà thần học đã mô tả Thần trong hàng ngàn năm nay?
Vì thế sẽ chẳng có gì đáng ngạc nhiên khi thấy 80-90% dân chúng trên thế giới đều có tín ngưỡng vào Thần theo một cách nào đó. Thật vậy, đó là trực giác đối với phần lớn các dân tộc. Nhưng định lý Gödel chỉ ra rằng đó cũng là logic tối cao. Thực ra đó là lập trường duy nhất mà người ta có thể nắm lấy và đứng trên đó trong vương quốc của lý lẽ và logic.
Người nào tự phụ tuyên bố “Bạn là người của đức tin, còn tôi là người của khoa học” thì người ấy không hiểu gốc rễ của khoa học hoặc bản chất của tri thức!
Một khía cạnh thú vị khác…
Nếu bạn có dịp thăm một trang mạng vô thần lớn nhất thế giới có tên là Infidels, bạn sẽ thấy trên trang chủ lời tuyên bố sau đây:
Chủ nghĩa duy tự nhiên (naturalism) là giả thuyết cho rằng thế giới tự nhiên là một hệ đóng, ngụ ý rằng không có cái gì không phải là thành phần của thế giới tự nhiên mà lại ảnh hưởng lên nó
kurt godelNếu bạn biết định lý Gödel, bạn sẽ thấy rằng mọi hệ logic phải phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống. Vậy theo định lý bất toàn của Gödel, tuyên bố của trang mạng Infidels không thể chính xác. Nếu vũ trụ là logic, nó phải có một nguyên nhân bên ngoài.
Do đó chủ nghĩa vô thần vi phạm các định luật của lý lẽ và logic.
Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học không bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có lựa chọn nào khác là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời.
Tính Bất toàn của vũ trụ không phải là chứng minh cho việc Thần tồn tại. Nhưng… đó LÀ chứng minh cho nhận định rằng để kiến tạo nên một mô hình vũ trụ hợp lý thì niềm tin vào Thần không chỉ logic 100%… mà đó là điều cần thiết.
5 tiên đề của Euclid không thể chứng minh một cách hình thức và Thần cũng không thể chứng minh một cách hình thức . Nhưng… giống như bạn không thể xây dựng một hệ thống hình học chặt chẽ mà không có 5 tiên đề của Euclid, bạn cũng không thể xây dựng một lý thuyết mô tả vũ trụ chặt chẽ mà không có Nguyên nhân Ban đầu và một Cội Nguồn của trật tự.
Do đó đức tin và khoa học không phải là kẻ thù của nhau, mà liên minh với nhau. Điều đó đã đúng trong hàng trăm năm, nhưng đến năm 1931 thì nhà toán học trẻ gầy ốm Kurt Gödel đã chứng minh điều đó.
Không có thời kỳ nào trong lịch sử nhân loại đức tin vào Thần lại trở nên có lý hơn, logic hơn, hoặc hoàn hảo hơn bằng khi nó được hỗ trợ bởi khoa học và toán học.
Chú thích:
[1] God (Chúa): God là một từ tiếng Anh ám chỉ một vị Thần nói chung theo định nghĩa ở chú thích [1]. Tuy nhiên, vì Ki-tô giáo là tôn giáo chính yếu ở Tây Phương, nên khi nhắc đến God, người ta thường mặc định ám chỉ đến Chúa trong tín ngưỡng Ki-tô Giáo. Tuy nhiên trong phạm vi bài viết này, trừ trong các trường hợp cụ thể, chúng ta nên hiểu rộng nghĩa của từ God theo chú thích [2]. [2] Thần: Một lực lượng siêu tự nhiên mà nhân loại từng sử dụng nhiều từ ngữ khác nhau để gọi tên, như Phật, Đạo, Đại Giác Giả, Thượng đế, Đấng Tối cao, Chúa, Đấng Sáng tạo, Jehovah, Allah,, , Bà Mẹ Tự nhiên, Nhà thiết kế vĩ đại… Tác giả: Perry Marshall
Bài viết thể hiện quan điểm của tác giả, không nhất thiết phản ánh quan điểm của Đại Kỷ Nguyên.
pham viet hung
Người dịch: Phạm Việt Hưng, viethungpham.com. Từng giảng dạy các môn Toán Kinh tế; Cơ học Lý thuyết; Sức bền Vật liệu; Toán luyện thi đại học. Hiện thỉnh giảng Toán cao cấp tại một đại học ở VN.

Hệ quả bất ngờ của một định lý toán học

Hà Yên
10:36' CH - Thứ sáu, 22/08/2014
Trong khoảng chưa đầy 30 năm đầu của thế kỷ 20, Khoa học đã được chứng kiến ba chấn động lớn : Vào năm 1905 và 1915 Einstein công bố Thuyết tương đối. Năm 1926, những công trình hoàn chỉnh đầu tiên của Cơ học lượng tử ra đời, với một số nguyên lý cơ bản, được coi mở ra một con đường mới, làm biến đổi hình ảnh về Vũ trụ vốn có ở con người, một cuộc biến đổi còn triệt để hơn cả sự biến đổi mà cuộc cách mạng Copernic đã tạo ra. đặc biệt vang dội là Nguyên lý bất định do nhà vật lý người Đức W. Heisenberg trình bày trong năm 1927, cùng dịp với Đại hội Copenhague, đánh dấu sự thành lập chính thức Lý thuyết Lượng tử. Bốn năm sau, năm 1931, Nhà toán học người Áo Kurt Göđel công bố một định lý làm chấn động Thế giới Toán học, được đánh giá là kỳ lạ nhất và cũng là bí hiểm nhất trong Toán học. Định lý có nội dung như sau : Đối với các hệ thống Toán học hình thức hóa với một hệ tiên đề đủ mạnh, thì, một là, hệ thống đó không thể vừa là nhất quán, vừa là đầy đủ. Hai là, tính nhất quán của hệ tiên đề không thể được chứng minh bên trong hệ thống đó.
Khác với hai lý thuyết Vật lý vừa nêu, định lý Toán học mang tên Kurt Gödel (hay còn gọi là định lý Bất toàn) không gây ra một không khí xôn xao sâu rộng như hai thuyết Vật lý cùng thời, và do đó rất ít người biết đến. Vì sao như vậy? Theo lý giải của nhiều học giả thì trước hết là người ta cho rằng, định lý Toán học chỉ có giá trị lý thuyết nhiều hơn. Nhưng có lẽ có một lý do khác mà không ít Nhà toán học không muốn đề cao tầm quan trọng của định lý, bỡi vì nhưng hệ quả Triết học của nó làm tiêu tan niềm xác tín đầy cao ngạo của họ đối với vai trò độc tôn của Toán học nói riêng và của Khoa học nói chung.
Với định lý Bất toàn, thì dù Toán học, xưa nay, vẫn tự hào là một hệ thống lôgic nghiêm ngặt với một nền tảng vững chắc nhất, cũng phải chịu một qui luật “Có thể sai” như các Khoa học khác !
Những biến đổi cách mạng tư duy trong Vật lý học hiện đại xuất phát từ sự thật rằng, không thể hy vọng đứng bên trong Thế giới duy lý mà biết hết mọi thứ. Thế giới Tự nhiên quả thực có nhiều thứ lạ lùng hơn mọi điều mà trí tuệ duy lý của chúng ta có thể nắm bắt được.
Suy rộng định lý Gödel, ta có thể hiểu là : Bất cứ một lý thuyết nào mà con người xây dựng nên, đều chỉ phản ảnh một tình huống nhất định của nhận thức. Từ bên trong một tình huống, không thể hiểu hết mọi chuyện trong tình huống đó, chỉ khi đứng ngoài tình huống đó thì may ra mới đạt tới một bức tranh sâu rộng hơn để có thể nhận ra toàn bộ mối quan hệ tạo nên cấu trúc bên trong của nó.
Trong cuộc sống đời thường, ta thường nghe câu triết lý : “ người trong cuộc không sáng suốt bằng kẻ đứng ngoài cuộc”. Đó là một trải nghiệm xuyên thời gian của Thế thái nhân tình, nhưng lại có nguồn gốc từ bản thể của Tự nhiên như một hệ quả Triết học của định lý bất toàn.
Hoặc nói cách khác, rằng : “Anh nói cho tôi biết người bạn thân thiết nhất của anh là người như thế nào, tôi sẽ nói cho anh biết, anh là người như thế nào”. Điều đó có nghĩa là, ta không bao giờ biết đầy đủ chính ta, nếu không đặt mình từ bên ngoài để nhìn lại mình.
Nếu tham vọng của Nhà toán học vĩ đại Hilbert muốn xây dựng một nền tảng Toán học nhất quán và phi mâu thuẫn, bị Định lý Gödel làm cho sụp đổ, thì trong công cuộc phát triển Kinh tế Xã hội, ở thời điểm hiện tại, nếu chưa xác định một cách nhất quán mô hình của nền kinh tế đất nước, thì việc hoạch định những dự án, dựa trên cơ sở “tư duy duy lý”, với một tầm nhìn hàng nửa thế kỷ, là một sự lựa chọn tiềm ẩn nhiều nguy cơ mất bền vững.
Những bài học phải trả giá đắt do dự báo sai về tầm nhìn phát triển, mà nhiều Quốc gia đã nếm trải, là một thực tế không thể không ghi nhớ.
Nhiều Nhà khoa học, kể cả các Nhà vật lý, đã nhận rõ là cần vượt ra ngoài biên giới của mọi qui giản về tư duy duy lý để có thể nhận thức đầy đủ hơn về Thế giới, mà Trí tuệ không bao giờ có thể thấu hiểu hòan toàn.
Trong một bài giảng của mình vào năm 1933, Einstein nói : “Nếu anh muốn biết phương pháp mà Nhà vật lý lý thuyết đã dùng, thi tôi cho anh một lời khuyên :Đừng nghe họ nói mà hãy xét những thành tựu của họ , Bởi vì đối với một Nhà phát minh, kiến trúc của trí tưởng tượng xuất hiện một cách tự nhiên như nó phải thế, chứ không phải là sáng tạo của tư duy”. Cùng mạch suy nghĩ này, trong một bài báo Khoa học Giáo sư Toán học Phan Đình Diệu viết : “Để cho Khoa học cung cấp cho con người nhiều hiểu biết hơn về Thiên nhiên, về Vũ trụ, về cuộc sống. đã đến lúc mà Tư duy cơ giới với Tất định luận, chỉ với những phương pháp phân tích, suy luận duy lý và qui giản… không còn phù hợp nữa, mà cần được bổ sung những quan điểm tư duy mới, sử dụng những công cụ và phương pháp mới, vận dụng thêm những năng lực cảm thụ khác vốn có, trên cơ sở các quan điểm và phương pháp mới đó để cảm nhận và tìm hiểu các đối tượng nhận thức của mình. Mà đối tượng nhận thức của con người thì trước hết phải là những vấn đề của đời sống bình thường, thuộc kích cỡ con người”.
Điều thú vị là định lý Gödel, ngoài động lực thúc đẩy một cuộc cách mạng tư duy về phương pháp luận khoa học, nó còn làm nảy sinh một nghịch lý về khái niệm “Mê tín” mới : Nhiều thế hệ các nhà khoa học mải mê trên con đường đi sâu mãi vào lòng vật chất của Thế giới , bằng tư duy qui giản, cắt vụn hiện thực, rồi xem cái mẩu được cắt ra đó là chính hiện thực, bằng những lời “đại ngôn”, làm không ít các Nhà khoa học và Triết học có lương tri phải lên tiếng, coi đó là sự “kiêu căng thái quá”. Và chính nó đã gây ra một ảo tưởng. rằng ngày nay mọi vấn đề của khoa học đời thường đều đã được giải quyết. Ảo tưởng đó đã trở thành niềm xác tín mang tính thần lực, mà người đời cũng xem nó là một thứ bệnh “Mê tín”. Hóa ra nhận thức cũng có sự đối xứng : “Mê tín Thần thánh” và “Mê tín Khoa học”. Mà mê tín nào thì cũng đã từng gây ra không ít đổ vỡ và bi kịch trần gian,
Trong lúc cuộc cách mạng tư duy cuốn hút trí tuệ thời đại trên con đường tiếp cận chân lý của hiện thực bằng Chiến lược Hệ thống, thì Triết lý Giáo dục lại đi theo một tiến trình ngược lại : Sự chia nhỏ manh mún gọi là “chuyên sâu”, sự phân Ban, lao sâu vào những cuộc thử nghiệm chuyên biệt…, ngay tại cấp học gọi là Phổ thông, với ý tưởng đi tìm đỉnh cao Tri thức. Ở đây, đối tượng của giáo dục là Con người để Làm người, như một tổng thể của hiện thực, đã bị xóa mất.
Edgar Morin Nhà triết học Giáo dục đã đặt Giáo dục trước những vấn đề thách thức trong một Thế giới toàn cầu hóa, mà sự hội nhập của các Quốc gia Dân tộc, là một tất yếu, trong đó, Ông nhắc lại câu nói của Nhà văn Mỹ Eliot, như một tiếng kêu : “Minh triết đâu rồi, chỉ còn lại Tri thức ! Tri thức đâu rồi, chỉ còn lại Thông tin ! “. Hình như nền Giáo dục của chúng ta đang còn ít hơn thế nữa. Nó kiến tạo những Trí thức và Thông tin bị băm vụn, dần trở thành những giáo điều ngấm vào nhận thức của hôm nay. Cuối cùng , cũng không thể không nhớ đến câu nói nổi tiếng của Nhà Giáo dục vĩ đại J. Rousseau : “Việc học tập đích thực của chúng ta là học tập về thân phận của Con người”.
Edgar Morin, đang nói đến việc học tập thân phận Con người trong một Thế giới biến đổi chưa từng có như ngày hôm nay.
Định lý Gödel ra đời, đến nửa thế kỷ sau, người ta mới thấy ý nghĩa to lớn của nó đối với Khoa học và Triết học. Từ sự hạn chế của các hệ lôgic của chính bản thân Toán học, người ta vỡ lẽ ra lý do khiếm khuyết và hạn chế trong các cấu trúc lôgic nhân tạo.
Trong công nghệ tính toán, Computer với tư cách là một hệ lôgic cả phân cứng lẫn phần mềm, nó cũng chấp nhận sống chung với sự “bất toàn” như một phần cơ thể của chính nó : Đó là sự cố Treo máy, sự cố Virus, Chương trình tối ưu, mà bất kỳ ai sử dụng computer đều được nếm trải.
Alan Turing, cha đẻ của máy tính điện tử hiện đại, với mô hình Toán học Máy Turing, từ những năm 1950, ông đã tiên đoán “Sự cố Treo máy" như một bài toán nổi tiếng mãi về sau này. Đồng thời cũng cho biết rằng, không thể khắc phục tuyệt đối bằng việc viết ra một chương trình có khả năng loại bỏ bất kỳ chủng virus nào. Gần đây nhất, G. Chaitin, Nhà Toán học thuộc IBM, đã chứng minh một hạn chế nữa, rằng không thể viết một chương trình tối ưu cho một mục tiêu định trước. Chỉ có thể viết một chương trình tốt hơn một chương trình đã có. Tất cả những hạn chế này đều có cơ sở lôgic là Định lý bất toàn Gödel.
Một vấn đề cũng có sức thu hút trí tuệ trong Thế kỷ hai mươi mốt, đó là “Trí thông minh nhân tạo”, với câu hỏi nóng bỏng nhất : “Trong tương lai, chúng ta có thể chế tạo những Robot thông minh như con người hay không ?”. John Arrow, giáo sư Đại học Sussex (London), đã lấy tư tưởng của Định lý bất toàn viết nên tác phẩm, có tiêu đề Imposibihty (Bất khả), nêu lên luận đề Giới hạn của Khoa học và Khoa học về các Giới hạn, cũng đã lấy Định lý bất toàn Gödel làm cơ sở để trả lời câu hỏi nóng bỏng trên : Bộ não con người, với tư cách là một hệ lôgic, không bao giờ hiểu biết hết chính mình, thì cũng sẽ chẳng bao giờ chế tạo được “Bộ não” thông minh giống mình. Robot được trang bị “Bộ não nhân tạo”, dù thông minh đến đâu, thì cũng chỉ có thể “suy nghĩ” dựa trên một tập hợp hữu hạn các tiên đề (chương trình). Trong khi đó não con người có thể có nhưng phát kiến bất chợt : Những cảm nhận Trực giác xuất thần không dựa theo bất kỳ một hệ thống lý thuyết nào.
“Khoa học về Giới hạn” mà Barrow nêu lên, không hạ thấp vai trò Khoa học, mà chính là để định hướng đi cho Khoa học, phát triển mà không xa rời bản chất của hiện thực. Như Nhà Vật lý Vũ trụ Stephen Hawking đã từng nói : “Khoa học Vật lý có thể hoàn thành sứ mệnh của mình mà không có câu trả lời cho một vài câu hỏi cơ bản nhất của Tự nhiên”, cũng là vì lý do hạn chế đó.
Định lý Bất toàn Gödel là một trong những Định lý vĩ đại nhất được chứng minh trong Thế kỷ XX. Nhà Toán học người Mỹ William Denton tuyên bố: “Định lý Bất toàn Gödel xếp ngang hàng với thuyết Tương đối của Einstein và nguyên lý Bất định của Heisenberg !

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét