Thứ Sáu, 30 tháng 7, 2021
MUÔN MẶT ĐỜI THƯỜNG II/168
ĐC sưu tầm trên NET)
Bản tin 113 Online cập nhật ngày 29/7: Hà Nội ghi nhậm thêm 26 ca dương tính với Sars-cov-2 | ANTV
Thời sự quốc tế 29/7 | Trung Quốc tập trận liên hoàn, tuyên bố sẵn sàng “động thủ” | FBNC
Cập nhật tin Biển Đông mới nhất hôm nay 29/7.Trung Quốc rầm rộ tập trận trên Biển Đông ‘dằn mặt’ Anh
Tin tức thời sự 60 giây sáng 30/7 | Chuyện về kẻ xin đổi án 20 năm tù thành tử hình
Bài Ca Dành Cho Những Xác Người ( Sáng tác: Trịnh Công Sơn) - KHÁNH LY
Bộ trưởng Quốc phòng Mỹ thăm nhà tù Hỏa Lò
Phát hiện hố đen lạ chứng minh thuyết của Einstein đúng
Giới khoa học lần đầu tiên phát hiện ánh sáng đằng sau hố đen
Thứ Năm, 29 tháng 7, 2021
TT&HĐ IV - 36/c
NGHỊCH LÝ TOÁN HỌC 1 = 0.999 ... ? - [NGHỊCH LÝ CHANNEL]
PHẦN IV: BÁU VẬT
"Dọc
đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm
trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt
lên, đánh bóng..."
NTT
NTT
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.”
“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.”
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi
CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO
“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.
“Người
biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ
khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều
tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.
"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein
"Nếu
tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu
tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál
"Trong
quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã
hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã
"đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng,
nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang
đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất
nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá
(Tiếp theo)
Cách
nay trên dưới 250 năm, nhà toán học Gônbách, viện sĩ Viện hàn lâm
Pêtecbua (thủ đô của nước Nga Sa hoàng) đã nghiên cứu vấn đề đó. Ông đã
làm thí nghiệm với rất nhiều số, cố phân tích chúng thành tổng của các
số nguyên tố và kết quả là sự gợi ý một khẳng định: bao giờ cũng có thể
phân tích một số ra tổng của không quá 3 số nguyên tố.
Gônbách
không chứng minh được mệnh đề trên, thậm chí cũng không tìm được phương
pháp chứng minh nó. Ông bèn viết thư trình bày sự việc đó cho bạn ông
là nhà toán học lừng danh Ơle. Hai ông đã trao đổi thư từ cho nhau trong
suốt 15 năm trời. Trong bức thư ngày 7-6-1742, Gônbách báo cho Ơle biết
rằng, ông đã mạo hiểm phát biểu mệnh đề: “Một số bất kỳ lớn hơn 5 là
tổng của ba số nguyên tố”. Ơle trả lời rằng, theo ông thì mỗi một số
chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố, điều suy đoán đó có thể là một
định lý hoàn toàn chính xác, và mệnh đề của Gônbách là một hệ quả đơn
giản của điều suy đoán đó. Thế nhưng, ngay cả Ơle cũng không chứng minh
được.
Từ
đó một bài toán dưới cái tên: “Bài toán của Gônbách” lừng danh trong
thế giới toán học xuất hiện với nội dung: “Chứng minh một số tự nhiên
bất kỳ lớn hơn đơn vị là tổng của không quá 3 số nguyên tố”.
Cả
Gônbách, Ơle và các nhà toán học thế kỷ XIX đều không đi đến kết quả
nào trong việc giải bài toán ấy. Nhà toán học siêu quần Canto, người lập
nên lý thuyết tập hợp đã kiên nhẫn thí nghiệm tất cả các số chẵn từ 2
đến 1000, rồi đến lượt nhà toán học Ôbri đã thí nghiệm tất cả các số
chẵn từ 1000 đến 2000, cả hai người đều cả quyết rằng trong giới hạn đó,
một số chẵn bất kỳ đều là tổng của hai số nguyên tố.
Đến
đầu thế kỷ XX đã xuất hiện rất nhiều công trình nhằm mở đường giải bài
toán ấy hoặc liên hệ nó với các vấn đề khác của toán học. Tuy nhiên,
việc chứng minh chặt chẽ bài toán đó thì không đạt kết quả gì hết. Năm
1912, nhà lý thuyết số, nhà vật lý lý thuyết trứ danh Landao, trong hội
nghị các nhà toán học quốc tế, đã nêu ý kiến rằng, bài toán đó không thể
giải quyết được bằng các phương tiện toán học hiện đại…
Năm
1930, xuất hiện một bước ngoặt trong việc giải bài toán Gônbách. Nhà
toán học ưu tú Xô viết là L. G. Snhirenman (1905 - 1938) đã “giảm nhẹ”
yêu cầu của bài toán Gônbách bằng một bài toán khác. Bài toán này về
hình thức có vẻ phức tạp nhưng có thể giải quyết được. Ông đặt vấn đề
liệu có thể có một số nguyên dương nhất định gọi là c, và một số tự
nhiên bất kỳ có thể được biểu thị dưới dạng tổng của không vượt quá c số
nguyên tố? Hay viết dưới dạng biểu thức toán học:
Nếu tồn tại biểu thức đó và chứng minh được c = 3 thì bài toán Gônbách được giải quyết.
Snhirenman
đã giải quyết hoàn toàn thành công bài toán Gônbách đã được “giảm nhẹ”
đó. Số c được gọi là “hằng số Snhirenman”. Lúc đầu, số c được xác định
là rất lớn. Sự nỗ lực của các nhà toán học đã làm giảm nó xuống còn 67
và cuối thì đạt được giá trị là 18. Tuy nhiên so với yêu cầu của bài
toán Gônbách (c = 3) thì kể ra cũng còn hơi bị xa.
Dù
sao đi nữa thì toán học cũng đạt được điều quan trọng là đã chứng minh
được bất kỳ số tự nhiên nào, dù lớn bao nhiêu chăng nữa, cũng đều có thể
phân tích thành tổng các số nguyên tố với số lượng không quá 67 con số
(thậm chí là không quá 18 con số!).
Năm
1939, nhà toán học nổi tiếng người Xô Viết, viện sĩ Vinôgradốp đã đạt
được kết quả: đối với tất cả các số lẻ đủ lớn, hằng số Snhirenman không
vượt quá 3. Kết quả này dù chưa giải quyết trọn vẹn bài toán Gônbách
nhưng cũng đã làm cho công cuộc giải bài toán ấy tiến thêm được một bước
rất dài.
***
Sự
phân bố phi quy luật trong dãy số đếm của các số nguyên tố và do đó đã
kéo theo sự không thể dự báo được “khoảng cách” hay mức độ tăng trưởng
của một số nguyên tố thành số nguyên tố kế tiếp sau nó trong dãy số
nguyên tố, có lẽ là một trong vài ấn tượng mạnh nhất, gây sững sờ cũng như “khó chịu” nhất đối với nhiều thế hệ các nhà toán học.
Cũng
như đối với hiện tượng một khối chân lý sáng ngời lại phải hàm chứa
những nghịch lý, nhận thức của loài người đã từng có một thời không sao
chấp nhận nổi một cơ thể toán học chặt chẽ về lôgíc, chắc nịch về qui
luật lại để cho các số nguyên tố “tự tung tự tác”, lúc ẩn lúc hiện một
cách tùy tiện như ma trơi. Sự “trêu ngươi” của số nguyên tố đã thúc giục
các nhà toán học tiến hành một cuộc “thập tự chinh” để khuất phục nó.
Cuộc “thập tự chinh” đó được phát động ngay từ buổi bình minh của toán
học và trở thành một cuộc trường chinh đằng đẵng cho tới tận ngày nay mà
vẫn chưa tới hồi kết thúc. Loài người đã phải dành ra biết bao nhiêu
tâm trí và sức lực, đã phải “hiến tế” biết bao nhiêu nhà toán học cho
cuộc trường chinh ấy, và dù cũng đã đạt được biết bao nhiêu chiến tích
thì cái mục đích cuối cùng là tìm ra được một công thức tổng quát xác
định được một cách chắc chắn tính nguyên tố của một số lẻ bất kỳ (cũng
có nghĩa là khám phá ra tính qui luật của sự phân bố biểu hiện phi qui
luật của các số nguyên tố trong dãy số đếm), vẫn mịt mù bóng chim tăm
cá.
Tuy
nhiên, cần phải khẳng định một điều rằng thành quả đạt được trong cuộc
nghiên cứu về số nguyên tố thật là lớn lao. Nó đã cho phép nhận diện
được tương đối chính xác tính nguyên tố của nhiều số lẻ ở những “khu
vực” cực kỳ xa vời trong thế giới số nguyên. Hơn thế nữa, thành quả đó
đã có một ý nghĩa rất sâu sắc đối với nhận thức của loài người, bởi vì
nhờ nó mà các nhà toán học hiểu được rằng sự hiện diện phi qui luật của
các số nguyên tố không hẳn là đã phi qui luật. Tính phân nhóm của các số
nguyên tố và số nguyên tố thuộc nhóm nào cũng phải tuân thủ qui luật
đặc thù của nhóm ấy là điều chắc chắn, không thể chối cãi được. Đó là
một gợi ý hết sức quan trọng về sự tồn tại của công thức tổng quát.
Về
mặt triết học, chúng ta cho rằng mọi sự vật - hiện tượng của Thực tại
khách quan, dù thực hay ảo đều phải tuân theo nguyên lý chung nhất, duy
nhất của Tự Nhiên Tồn Tại. Từ đó suy ra, mọi phần tử trong một tập hợp,
một thực thể hay một hệ thống mà nó góp phần tạo lập nên đều phải tuân
theo một nguyên lý chung nhất, có tính đặc thù của tập hợp, thực thể hay
hệ thống đó. Vậy thì tập hợp các số nguyên tố trước hết là phải tuân
theo những nguyên lý chung nhất của Vũ trụ số, kế đến là của Thế giới số
tự nhiên và vì số nguyên tố thuộc dãy số đếm nên nó cũng phải tuân theo
nguyên lý chung nhất của dãy đó. Phải chăng sự phân bố số nguyên tố vì
phải tuân theo luật chung nhất nào đó của số đếm nên có thể là hệ quả
suy ra từ đó và như vậy là nó phải mang tính qui luật?
Bản
chất ngông cuồng của sự hoang tưởng đã buộc chúng ta phải nghĩ rằng có
thể ngay từ đầu toán học đã lạc hướng để rồi phải đi trên con đường ngày
một khúc khuỷu, gập ghềnh nhưng cuối cùng thì sau khi đã giải quyết
xong những bài toán phức tạp và hóc búa nhất, nó cũng đến được nơi trú
ngụ của cái công thức tổng quát về số nguyên tố. Tuy nhiên, vì chân lý
vốn dĩ là dung dị cho nên không nhất thiết phải đi trên một con đường
khác thong dong hơn, vẫn có thể chiêm ngưỡng được cái công thức hằng ước
đó. Có thể nào nói như thế cũng là nói về một chân lý?
Bây
giờ, chúng ta quay lại, tiếp tục vui thú một phen nữa với các số nguyên
tố, nhưng theo cách riêng tư và vì sự “tung hứng” có phần vụng về nên
có thể gọi là “cách của những gã nhà quê”.
Chắc
rằng trong quá trình vận động, chuyển hóa, tương tác lẫn nhau không
ngừng nghỉ của vạn vật - hiện tượng, luôn tồn tại những phản ứng tạm gọi
là những cảm ứng vô thức hàm chứa mầm mống về sự nhận biết số lượng, về
sự đếm, định lượng. Có lẽ nhờ đặc tính đó mà chẳng hạn như các nguyên
tử, phân tử… mới có thể “tìm thấy” những nguyên tử, phân tử phù hợp với
chúng trong những điều kiện nhất định của môi trường để kết hợp, tạo nên
một thế giới vật chất mà chúng ta đang thấy, vừa phong phú đa dạng vừa
khuôn khổ trật tự. Nhưng sự đếm thực sự và sự hình thành nên hệ thống số
đếm chỉ có thể là kết quả của tư duy và vì thế nên cũng chỉ là một tồn
tại có tính ảo.
Nhờ
tư duy mà có dãy số đếm, nhờ tư duy mang tính tự do mà những số đếm trở
nên bất tận. Dãy số đếm xuất hiện cùng với bản chất “cộng” của nó là
tiền đề cho một Vũ Trụ số hình thành và vì dãy số đếm là bất tận nên Vũ
Trụ số cũng vô hạn. Có thể nói dãy số đếm là hệ cơ sở, là nền tảng của
Vũ Trụ mọi thế giới số. Vì lẽ đó mà chúng ta cho rằng muốn nghiên cứu
cặn kẽ Vũ Trụ số thì việc đầu tiên phải làm là xem xét dãy số đếm cùng
với sự biến ảo của nó.
Chúng ta viết ra dãy số đếm hệ cơ số 10:
1, 2, 3, 4, 5, … (đến vô hạn).
và đưa ra vài nhận xét:
-
Dãy số đếm chứa chấp tất cả các ký số có thể có của số tự nhiên (trừ số
0 nếu qui ước số 0 không phải là số đếm). Do đó mà nó cũng chứa chấp
tất cả các loại số chẵn, lẻ, nguyên tố, lũy thừa…
- Dãy số đếm cũng hàm chứa 3 phép toán thuận: cộng, nhân, lũy thừa và kéo theo 3 phép toán nghịch: trừ, chia, khai căn.
-
Việc cho phép 3 phép toán nghịch được thực hiện tự do trên các số đếm
đã làm cho dãy số đếm tiềm ẩn đủ các loại số có thể có của Vũ Trụ số.
-
Dãy số đếm là dãy số: số sau luôn lớn hơn số trước kề nó chính xác là 1
đơn vị và nếu gọi số chia hết cho 2 là số chẵn và số không chia hết cho
2 là lẻ thì sự sắp xếp của dãy số đếm là xen kẽ chẵn lẻ (nghĩa là giữa
hai số chẵn là một số lẻ và giữa hai số lẻ là một số chẵn).
-
Thế giới số tự nhiên, dãy số đếm là dãy số bao hàm tất cả các dãy số tự
nhiên có thể có và cũng có thể bằng cách nào đấy “trích xuất” ra từ nó
một dãy số nào đó tùy ý.
- Số lượng dãy số đếm trong Vũ Trụ số vô hạn chiều là vô hạn (mà Thế giới số tự nhiên cũng vô hạn).
Có thể nêu ra rất nhiều nhận xét khác nữa, nhưng thôi chúng ta thiết thực hơn là nêu vài thí dụ cho nhận xét vừa rồi.
Muốn
có một dãy số chẵn mà số sau hơn số trước kề nó 2 đơn vị thì chúng ta
nhân dãy số đếm lên 2 lần, hoặc chúng ta dùng cách cộng 2 dãy số đếm:
Tương tự, nếu muốn có một dãy số mà số sau lớn hơn số trước kề nó n đơn vị thì chúng ta nhân số đếm với n (lần).
Chúng
ta thấy rằng việc nhân dãy số đếm với n cho ra kết quả là một dãy số rõ
ràng là lớn hơn dãy số đếm gấp n lần. Thế nhưng theo nhận xét ở phía
trên thì nó chỉ là bộ phận thuộc dãy số đếm nên đồng thời lại phải nhỏ
hơn số đếm về mặt lực lượng. Đó là một nghịch lý hiển nhiên đành phải
chấp nhận! Nếu cố tình không muốn chấp nhận nghịch lý đó thì chỉ còn
cách phải cho rằng việc nhân lên n lần không làm cho dãy số đếm tăng lên
chút nào về mặt lực lượng mà chỉ làm nó biến hóa thành một dạng khác.
Vậy thì có thể nhận định trong dãy số chẵn có hàm chứa số lẻ và ngược
lại trong dãy số lẻ có hàm chứa số chẵn, hay nói một cách triết lế:
trong dương có âm mà trong âm có dương. Ở đây nữa, sự xuất hiện nghịch
lý đã minh chứng cho sự tồn tại của một biểu hiện theo nguyên lý nước
đôi: không một vô hạn nào là không bao hàm cái hữu hạn và ngược lại,
không một hữu hạn nào lại không bao hàm cái vô hạn.
Một
cách hoàn toàn hiển nhiên, nếu chúng ta muốn có một dãy các số đếm có
lũy thừa bậc n bất kỳ, thì coi như chúng ta đã nâng dãy số đếm lên lũy
thừa bậc n và viết:
1n, 2n, 3n, 4n, 5n, …
Để làm xuất hiện dãy số lẻ từ dãy số đếm, chúng ta làm như sau:
Dãy
số lẻ này là bao gồm toàn bộ các số lẻ có thể có trong dãy số đếm,
nghĩa là cũng bao gồm toàn bộ các số nguyên tố lẻ có thể có trong đó.
Nếu
nhân dãy số lẻ đó với bất cứ một số lẻ nào (khác 1) thì chúng ta đều
nhận được một dãy số lẻ không chứa đựng bất cứ số nguyên tố lẻ nào (hoặc
chỉ có 1 số nguyên tố).
Chúng
ta có thể gọi dãy số chẵn mà số sau lớn hơn số trước kề nó 2 đơn vị là
“dãy số chẵn cơ bản”, và như thế, cũng gọi dãy số lẻ mà số sau lớn hơn
số trước kề nó 2 đơn vị là “dãy số lẻ cơ bản”
Nếu chúng ta nhân dãy số lẻ cơ bản với 3 (số lẻ nhỏ nhất khác 1) thì được:
Chúng
ta cho rằng những dãy số do dãy số đếm biến dạng ra qua phép cộng và
phép nhân đều mang tính tự nhiên và những dãy số biến dạng từ dãy số
biến dạng tự nhiên qua phép cộng và phép nhân cũng mang tính tự nhiên
(nói thế không có nghĩa là chúng không mang tính “nhân tạo”). Với quan
niệm như vậy thì dãy số (1) là kề sát nhất dãy số lẻ cơ bản (nghĩa là
giữa chúng không thể tồn tại một dãy số lẻ tự nhiên nào khác nữa). Vì
khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp trong dãy số (1) là 6 đơn vị và
là khoảng cách nhỏ nhất so với khoảng cách của các dãy số lẻ tự nhiên
“chiết xuất” ra từ dãy số lẻ cơ bản, cho nên có thể nói rằng dãy số (1)
chứa đựng nhiều hợp số lẻ nhất, hay nói cách khác là khi nó loại bỏ tất
cả các số nguyên tố (trừ số 3) thì đồng thời nó cũng loại bỏ một số
lượng nhất định nhưng là số lượng ít nhất các hợp số lẻ.
Vì
khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy (1) là 6 đơn vị, nên đã có
một cặp số lẻ giữa chúng bị loại ra. Các cặp số lẻ bị loại ra đó được
gom lại thành một tổng số lượng và trong tổng số lượng đó là toàn bộ các
số nguyên tố lẻ (trừ số 1 và số 3) có thể có của dãy số đếm.
Chúng
ta biết rằng những số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5 nên không bao
giờ là số nguyên tố (trừ số 5). Những số lẻ chia hết cho 3 (trừ số 3)
cũng không thể là số nguyên tố. Dấu hiệu để một số lẻ chia hết cho 3 là
tổng cuối cùng các ký số của nó là một trong ba số 3, 6, 9. Chẳng hạn
các số lẻ 4071, tổng cuối cùng của các ký số là:
4 + 7 + 1 = 12 = 1 + 2 = 3
Vậy số đó chia hết cho 3.
Như
thế, đối với các cặp số lẻ bị loại ra khỏi (1), ngoài những số có tận
cùng là 5, những số còn lại đều có khả năng là số nguyên tố:
Đó
là một phát hiện của chúng ta trong việc nhận biết một số lẻ bất kỳ có
phải là số nguyên tố hay không. Nó có mới không? Cũ mèm! Nó có hay
không? Dở òm! Có lẽ chúng ta đang ở đâu đó trong buổi bình minh của số
học!
Thôi, chúng ta xoay hướng khác:
Giả sử có 2 dãy số đếm và chúng ta cộng chúng theo cách này.
Các
số hạng của dãy (2) và (3) là trùng nhau vì thực ra đó là 2 dãy số đếm.
Dãy (4) là bộ phận của dãy (2) hoặc (3) vì chúng có mặt xen kẽ trong
đó.
Có thể suy ra dễ dàng một số chẵn bất kỳ là tổng của 2 số lẻ. Thí dụ:
Với
4 thí dụ đó chúng ta thấy rằng một số chẵn không những có thể phân tích
thành tổng 2 số lẻ mà còn có thể thành tổng của 2 số nguyên tố.
Vậy
thì điều mà Ơle phỏng đoán, rằng một số chẵn tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2
chắc chắn phân tích được thành tổng của 2 số nguyên tố, có đúng không?
Và nếu đúng thì có thể chứng minh theo phương hướng này không?
Giả sử chúng ta có số tự nhiên bất kỳ là 52. Theo như cách sắp đặt các dãy số (2), (3), (4) ở trên thì chúng ta có ngay:
52 = 27 + 25
Đó
là tổng 2 số lẻ nhưng không phải nguyên tố. Tuy nhiên, chúng ta có thể
có những tổng của các cặp số lẻ khác mà tổng của chúng cũng bằng 52,
bằng cách coi (2) và (3) là những “thước dò” để “kéo” thước (2) sang
trái (hoặc phải) theo từng “nấc” 2 đơn vị một và đồng thời cũng kéo
thước (3) sang phải hoặc trái theo từng “nấc” 2 đơn vị một. Có thể mô tả
cách làm đó như sau:
52 = (27 – 2) + (25 + 2) = 25 + 27
Vì kết quả biến đổi chẳng nên cơm cháo gì nên chúng ta… biến đổi tiếp:
52 = (25 – 2) + (27 + 2) = 23 + 29
Thành công mĩ mãn vì đó chính là tổng của hai số nguyên tố.
Thêm một thí dụ nữa:
56 = 29 + 27
Đó là tổng của một số nguyên tố và một hợp số lẻ nên cần phải biến đổi:
56 = (29 + 2) + (27 – 2) = 31 + 25 = (31 + 2) + (25 – 2)
= 33 + 23 = (33 + 2) + (23 – 2) = 35 + 21
= (35 + 2) + (21 – 2) = 37 + 19
Đó chính là tổng với 2 số nguyên tố của số chẵn tự nhiên 56.
Có
thể là ở miền số nhỏ, vấn đề một số chẵn có thể phân tích thành tổng
của 2 số nguyên tố luôn được nghiệm đúng nhưng ở vùng các số lớn, điều
đó còn đúng nữa không? Hay nói một cách tổng quát: có một số chẵn bất kỳ
là 
thì luôn lựa chọn được một số chẵn là 
để viết được:
thì luôn lựa chọn được một số chẵn là để viết được:
a = (m + b) + (n – b)
với m, n là những số lẻ, và
(m + b), (n – b) là những số nguyên tố
Nếu mệnh đề trên được chứng minh thì đó chính là qui luật và ý kiến của Ơle là chính xác.
Bằng
thao tác kéo thước (2) và (3), có thể làm xuất hiện tất cả các cặp số
lẻ có thể có và do đó có thể chọn ra làm một tổng 2 số lẻ cho một số
chẵn bất kỳ. Nếu có một số chẵn n bất kỳ, có thể đưa thước (2) và (3)
vào vị trí cặp số lẻ là 1 và (n – 1) để có tổng.
n = 1 + (n – 1)
Tiếp tục kéo thước, sẽ có thể tạo được các cặp số lẻ khác chẳng hạn: 3, n – 3, hay 5, n – 5…
Khi
n càng lớn thì tổng số cặp số lẻ để tạo thành tổng của n càng nhiều và
như thế thì càng có khả năng tìm được tổng của n là 2 số nguyên tố.
Điều
suy đoán đó nghe rất có lý nhưng không phải là một chứng minh. Còn có
thể chứng minh được hay không thì chúng ta mù tịt vì… dốt quá xá!
Không suy nghĩ thêm về chuyện đó nữa, chúng ta trở về viết lại cách cộng 2 dãy số đếm cho ra dãy số lẻ cơ bản:
Quá
trình cộng cho chúng ta thấy tất cả các số hạng từ 3 trở đi ở dãy số lẻ
cơ bản đều là kết quả của tổng một số chẵn và một số lẻ. Chẳng hạn:
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
13 = 7 +6
Ở
đây, nếu chúng ta qui ước rằng 1 cũng là số lẻ (và hơn nữa là số nguyên
tố) thì vì một số chẵn có thể phân tích thành tổng 2 số lẻ nên có thể
cho rằng bất kỳ số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều phân tích được thành
tổng của 3 số lẻ. Thí dụ:
3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 (tổng 3 số lẻ trùng nhau)
5 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1
7 = 4 + 3 = 1 + 3 + 3
13 = 7 + 6 = 7 + 5 + 1
Và hơn nữa có thể cho rằng bất cứ một số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều có thể phân tích thành tổng của 3 số nguyên tố.
Đối
với một số lẻ bất kỳ nào thì bằng cách kéo thước (2) và (3) ngược chiều
nhau theo từng nấc 1 đơn vị, bao giờ cũng chọn được một tổng gồm một số
chẵn và một số nguyên tố. Nếu mệnh đề “một số chẵn tự nhiên luôn phân
tích được thành tổng của 2 số nguyên tố” được chứng minh, thì mệnh đề
“một số lẻ bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 3 luôn có thể phân tích thành tổng
của 3 số nguyên tố” sẽ trở thành hiển nhiên.
Vậy, muốn quyết định được triệt để bài toán Gônbách thì phải chứng minh được mệnh đề Ơle.
Chúng ta khẳng định như thế và lại nói sang chuyện… cũ.
Có
một câu hỏi đặt ra là bằng những con đường (mà chúng ta gọi là) biến
đổi tự nhiên như trên có thể nào làm xuất hiện một dãy số chứa chấp toàn
bộ số nguyên tố lẻ và không chứa bất cứ hợp số lẻ nào không?
Chúng
ta thấy ngay rằng nếu thực hiện được điều đó thì sự phân bố của số
nguyên tố phải có qui luật và qui luật đó là có tính chặt chẽ. Tuy
nhiên, có thể không bao giờ làm được điều đó.
Dù sao thì chúng ta cũng cố thử một phen cho thỏa lòng mát dạ.
Trước
hết chúng ta viết ra dãy số lẻ cơ bản, kế tiếp bên dưới viết ra dãy số
được “chiết xuất” từ nó khi nhân nó với 3 rồi làm một phép trừ, như sau:
Như
đã nói, kết quả là một dãy số chứa toàn bộ số nguyên tố lẻ từ số 5 và
“một ít” hợp số lẻ. Quan sát trực giác cũng thấy ngay rằng các số hạng
trong dãy số này phân bố có qui luật.
Nếu dãy số đó, ở đây chúng ta gọi là dãy số (5), chỉ chứa toàn số nguyên tố thôi thì cuộc đời dễ chịu biết bao nhiêu!
Có
cách nào “sàng” bỏ “một ít” hợp số lẻ đi không? Nhìn những số hạng đầu
tiên của dãy số, chúng ta khấp khởi nghĩ rằng: việc sàng bỏ cái “số ít”
ấy chắc rằng cũng không mấy khó nhọc. Nhưng than ôi, dãy (5) chỉ không
chứa những số lẻ chia hết cho 3 thôi chứ nó vẫn chứa gần như đầy đủ các
số lẻ có thể chia hết cho những số lẻ khác 3 và khác bản thân nó. Vì vậy
mà cái “một ít” ấy cũng hằng hà sa số như sao trên trời vậy. Hơn nữa,
chúng ta không tìm thấy một qui tắc nhất quán nào trong việc lược bỏ các
số không nguyên tố ra khỏi (5) cả cho nên nếu có thiết lập được dãy số
nguyên tố thì sư biến đổi các khoảng cách (giữa hai số hạng liên tiếp)
là không lường trước được.
Vậy
thì tại sao sự phân bố ngay trong nội tại của dãy nguyên tố lại không
theo một qui tắc nào ngoài qui tắc trị số của các số hạng tăng dần đến
vô hạn? Bởi vì dãy số nguyên tố không phải là dãy số biến dạng tự nhiên
từ dãy số đếm, dù trực tiếp hay gián tiếp. Mặt khác, các số nguyên tố là
một bộ phận của dãy số đếm bị ràng buộc bởi dãy số đếm cho nên sự biểu
hiện “ngỗ nghịch” của chúng không phải vì chúng muốn “ngỗ nghịch” mà vì
nhiệm vụ thiêng liêng này: vừa bảo vệ bản chất phát triển nhất quán, có
tính chu kỳ nhưng không lặp lại của dãy số đếm, vừa đảm bảo cho nguyên
lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại không bị xâm phạm.
Hãy
bằng lòng với Tự Nhiên dù chúng ta quan niệm rằng Tự Nhiên không hoàn
hảo. Bởi vì nếu không biết bằng lòng như thế thì rồi chúng ta sẽ phải
đến một kết luận rằng chính bản thân tư duy của chúng ta không hoàn hảo.
Thế nhưng thói đời làm cho con người ta, mấy ai, chấp nhận là mình suy
nghĩ không hoàn hảo? Cho nên, người nào hiểu rằng mình không bao giờ
hoàn hảo, thì người đó là kẻ hiểu được sự đời!
***
Trong lịch sử toán học có một câu chuyện rất hay, gọi là “Vấn đề (3a+1)”.
Thập
niên 1950, giới toán học thế giới trở nên sôi nổi trước một hiện tượng
kỳ lạ: a là một số tự nhiên bất kỳ, nếu a là số chẵn thì chia đôi 
; nếu a là số lẻ thì nhân nó với 3 rồi cộng với 1; cứ thực hiện như vậy thì cuối cùng bao giờ kết quả cũng là số 1.
; nếu a là số lẻ thì nhân nó với 3 rồi cộng với 1; cứ thực hiện như vậy thì cuối cùng bao giờ kết quả cũng là số 1.
Thí
dụ: có a = 26, chia đôi bằng 13, lấy 13 nhân với 3 thì được 39, cộng số
đó với 1 được 40, chia 40 cho 2 được 20, chia 20 cho 2 được 10, chia 10
cho 2 được 5, nhân 5 với 3 được 15, cộng 1 được 16, chia 16 cho 2 được
8, chia 8 cho 2 được 4, chia 4 cho 2 được 2, chia 2 cho 2 được kết quả
cuối cùng là 1.
Hiện
tượng đó đã từng gây nên biết bao nhiêu cảm hứng cho những người yêu
mến toán học đương thời. Một nhà toán học Mỹ nói: “Có một thời, trong
các trường đại học Mỹ, hiện tượng này trở nên hấp dẫn nhất. Sinh viên
khoa toán và khoa máy tính hầu như ai cũng nghiên cứu nó”
Các
nhà toán học đã phải ngạc nhiên rằng dù phải thực hiện bao nhiêu phép
tính chăng nữa thì rốt cuộc vẫn làm cho số a trở về 1. Giáo viên và sinh
viên ở trường đại học Tôkyô (Nhật Bản) đã kiểm tra từng số đến số tự
nhiên 240 vẫn thấy không có một ngoại lệ nào, bao giờ cũng thu được kết quả cuối cùng là 
.
.
Người
ta chỉ gọi: hiện tượng “3a+1”, vì không biết ai là người đầu tiên đề
xướng ra. Có người cho đó là ý tưởng của L. Collatz, đưa ra tại Hội nghị
toán học thế giới năm 1950. Nhưng cũng có người lại nói rằng do B.
Thwaiter (Anh), R.V. Andree (Nga), Hans (Mỹ), Neolamu (Mỹ)… đưa ra. Nói
chung thì đến nay vẫn chưa biết chắc chắn ai là tác giả.
Nhiều
người đã cố tìm hiểu để giải thích hiện tượng này nhưng ngay cả các nhà
toán học nổi tiếng cũng chưa giải quyết được. Học giả R.K. Guy gọi đó
là “Đề toán khó của thế giới” và khuyên mọi người không nên toan tính
giải quyết nó. Đã có nhiều giải thưởng với số tiền thưởng ngày càng cao
đã được đưa ra nhưng người lãnh giải thì cứ vẫn “trốn chui trốn nhủi”
đâu đó. Nhà toán học nổi tiếng thế giới là P. Erdôs nhắn nhủ rằng: “Toán
học còn chưa đủ chín để giải quyết vấn đề đó"
(Còn tiếp)
-------------------------------------------------------------------
(Còn tiếp)
-------------------------------------------------------------------
TT&HĐ IV - 36/d
PHẦN IV: BÁU VẬT
"Dọc
đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm
trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt
lên, đánh bóng..."
NTT
NTT
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.”
“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.”
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi
CHƯƠNG IV (XXXVI) : DỊ THẢO
“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.
“Người
biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ
khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều
tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.
"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy lôgic”
Albert Einstein
"Nếu
tôi cảm thấy không hạnh phúc, tôi làm toán để cảm thấy hạnh phúc. Nếu
tôi cảm thấy hạnh phúc, tôi làm toán để luôn được hạnh phúc"
Turán Pál
"Trong
quá trình mưu sinh của con người, toán học tất nhiên xuất hiện. Khi đã
hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ của mình trong thực tiễn ứng dụng, khi đã
"đủ lông đủ cánh" và do "nhiễm" tính tò mò cố hữu của tư duy trừu tượng,
nó tiếp tục bay bổng lung tung, dần rời xa thực tại, lạc vào cõi hoang
đường, ngổn ngang nghịch lý. Rồi đây, vật lý học sẽ phải đính chính rất
nhiều, nếu còn muốn sử dụng nó làm ngôn ngữ giải thích Vũ Trụ"
Ba Đá
(Tiếp theo)
Trong
quá trình làm cho dãy số đếm “biến hóa”, chúng ta thấy được một điều,
không biết dùng nó để giải thích vấn đề 3a + 1 có được không nữa. Nhưng
chúng ta cứ mạnh dạn nêu ra đây để “đèn trời soi xét”
Trước hết, chúng ta viết lại:
và đưa ra nhận xét:
- Dãy (4) bao gồm toàn bộ các loại số chẵn tự nhiên có thể có.
- Một số chẵn a bất kỳ bao giờ cũng có thể biểu diễn:
với: n, m là những số tự nhiên, trong đó 
x là một số lẻ tự nhiên và lũy thừa của một số lẻ cũng là số lẻ thuộc dãy 
nên có thể cho xm = b
nên có thể cho xm = b
Có thể viết lại biểu thức trên là:
và khi b = 1 thì a = 2n
- Từ trên suy ra có 2 loại số chẵn là:
- Nói chung thì một số chẵn bao giờ cũng viết được thành tổng của 2 số lẻ. Hơn nữa, có thể viết:
a = 1 + p
với p là một số lẻ tự nhiên.
Sau khi có những nhận xét như vậy, chúng ta thử lý giải hiện tượng “3a + 1”.
Giả sử có a là số chẵn tự nhiên bất kỳ. Vì:
(b là số lẻ thuộc dãy số lẻ tự nhiên)
Nhân b với 3 thì được một số lẻ thuộc dãy số lẻ chia hết cho 3 và 3a + 1 là một số chẵn. Vì 3b + 1 là số chẵn nên có thể viết:
(với y1 là số tự nhiên khác 0 và b1 là 1 số lẻ tự nhiên).
Suy ra 
Nếu b1 = 1 thì quá trình kết thúc.
Nếu 
thì ta lại có: 3b1 là một số lẻ trong dãy chia hết cho 3 và cũng lại có:
thì ta lại có: 3b1 là một số lẻ trong dãy chia hết cho 3 và cũng lại có:
Nếu 
thì quá trình lại tiếp diễn tương tự để có b3, b4, … với 
và 3b, 3b1, 3b2, 3b3, 3b4,… là những số lẻ thuộc dãy chia hết cho 3.
thì quá trình lại tiếp diễn tương tự để có b3, b4, … với và 3b, 3b1, 3b2, 3b3, 3b4,… là những số lẻ thuộc dãy chia hết cho 3.
Điều cần chứng minh là quá trình bao giờ cũng dẫn đến kết quả cuối cùng:
Nghĩa là sẽ làm xuất hiện một số lẻ 3bi trong dãy chia hết cho 3 để có:
Một cách trực quan, chúng ta thấy rất nhiều số lẻ trong dãy chia hết cho 3 thỏa mãn biếu thức trên:
22 = 3 + 1
24 = 3 . 5 + 1 = 15 + 1
26 = 3 . 21 + 1 = 63 + 1
28 = 3 . 85 + 1 = 255 + 1
210 = 3 . 341 + = 1023 + 1
Nghĩa là nếu m là một số chẵn tự nhiên thì 2m sẽ phân tích được thành:
Trong đó bi là số lẻ tự nhiên
Cần phải chứng minh được rằng đối với bất kỳ một số tự nhiên a nào thì thông qua quá trình 3a+ 1 sẽ làm xuất hiện bi để thỏa mãn biểu thức trên:
Đây
là điều chúng ta phỏng đoán: quá trình 3a + 1 là một quá trình làm xuất
hiện hàng loạt những số lẻ liên tiếp khác nhau, có số trị lớn nhỏ đan
xen nhau, hay có thể nói đó là một quá trình “tiến, lui”. Quá trinh tiến
lui đó, do tính chất “nhân 3, cộng 1, chia cho 2y” (với y có
thể là 1, 2, 3, …) làm cho khoảng lùi nhiều khi lớn hơn khoảng tiến
(chia nhiều lần cho 2 làm giảm nhanh số trị của một số lẻ đang tương đối
lớn nào đó). Hiện tượng đó, kèm theo hiện tượng các số lẻ xuất hiện
trong quá trình phải khác nhau đã dẫn đến không thể tiến đến vô hạn được
và phải xuất hiện bi để có 3bi + 1 = 2m
Ở
các dãy số lẻ chia hết cho các số lớn hơn 3 (chẳng hạn cho 5, 7, 11…),
quá trình tương tự như thế, dù cũng có dạng “tiến lui” nhưng tính chất
“nhân với số lớn hơn 4, cộng 1, chia 2y (với y thường không
lớn hơn 2), nên thường dẫn tới vô hạn. Đối với các dãy số này, cũng có
thể chọn được số chẵn a để quá trình quay về kết thúc với 1 nhưng không
phổ biến.
Nếu
gọi A là một số lẻ tự nhiên và đồng thời là số biểu thị cho dãy số lẻ
chia hết cho nó thì có thể viết quá trình 3a + 1 thành tổng quát hơn là
Aa + 1. Và chúng ta đoán rằng: quá trình Aa + 1 là một qui luật đối với
dãy chia hết cho 3 và là hiện tượng ngẫu nhiên đối với các dãy chia hết
cho số lẻ lớn hơn 3.
Thí dụ:
- Đối với dãy chia hết cho 5; khi chọn a = 6 thì:
6 : 2 = 3
5 x 3 + 1 = 16
16 : 2 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1
Khi chúng ta chọn a = 18 thì:
18 : 2 = 9; 5 x 9 + 1 = 46; 46 : 2 = 23; 5 x 23 + 1 = 116; 116 : 2 = 58; 58 : 2 = 29; 5
x 29 + 1 = 146; 146 : 2 = 73; 5 x 73 + 1 = 366; 366 : 2 = 183; 5 x 183 +
1 = 458; 458 : 2 = 229; 5 x 229 + 1 = 1146; 1146 : 2 = 573;…
- Đối với dãy chia hết cho 7, khi chọn a = 18 thì:
18 : 2 = 9
7 x 9 + 1 = 64
64 : 26 = 1
Khi chúng ta chọn a = 38 thì:
38 : 2 = 19; 7 x 19 + 1 = 134; 134 : 2 = 67; 7 x 67 + 1 = 470; 470 : 2 = 235; 7 x 235 + 1 = 1646; 1646 : 2 = 823; 7 x 823 + 1 = 5762;…
Cần
nói thêm rằng quá trình Aa – 1 đôi khi cũng dẫn tới kết quả 1 nhưng
cũng chỉ là hiện tượng ngẫu nhiên. Cũng có những quá trình Aa 
1 “tiến lui” được một lúc thì lặp lại thành một chu trình kín ở đâu đó, không tiến tới vô hạn mà cũng không về 1.
1 “tiến lui” được một lúc thì lặp lại thành một chu trình kín ở đâu đó, không tiến tới vô hạn mà cũng không về 1.
Chẳng hạn đối với dãy chia hết cho 3, khi chọn a = 14 và quá trình là 3a – 1 thì:
14 : 2 = 7; 3 x 7 – 1 = 20; 20 : 2 = 10; 10 : 2 = 5; 3 x 5 – 1 = 14; 14 : 2 = 7;…
Cũng với dạng quá trình 3a – 1 nhưng chọn a = 6 thì:
6 : 2 = 3; 3 x 3 – 1 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1
Vấn đề 3a + 1 cho chúng ta biết rằng nếu bậc của lũy thừa 2 là số chẵn thì 2m – 1 luôn chia hết cho 3 và có thể viết:
Có thể chọn m sao cho 
là số lẻ gọi là p và viết lại:
là số lẻ gọi là p và viết lại:
Nếu chứng minh được 
không bao giờ chia hết cho 3 thì 
phải chia hết cho 3 để có số c lẻ nào đó và b phải chia hết cho c để có kết quả là số lẻ Mp nào đó:
không bao giờ chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 3 để có số c lẻ nào đó và b phải chia hết cho c để có kết quả là số lẻ Mp nào đó:
Đây chính là số Mecxen và đã được chứng minh rằng nếu Mp là số nguyên tố thì p cũng là số nguyên tố.
Trong phần cuối quyển IX của bộ sách “Những nguyên lý”, Ơclít đã đưa ra mệnh đề: Nếu 
là số nguyên tố thì nhất định là “số hoàn hảo” (hay còn gọi là “số hoàn chỉnh”).
là số nguyên tố thì nhất định là “số hoàn hảo” (hay còn gọi là “số hoàn chỉnh”).
Vậy số hoàn hảo là gì?
Trường phái Pitago ở Hy Lạp cổ đại đã phát hiện ra rất nhiều loại số kỳ lạ, trong đó có số hoàn hảo.
Theo
định nghĩa thì số hoàn hảo là số tự nhiên mà tổng các ước của nó (kể cả
bản thân nó) bằng 2 lần nó hoặc nếu không kể bản thân nó thì bằng chính
nó. Chẳng hạn:
1 + 2 + 3 + 6 = 2 x 6 hoặc 1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 x 28 hoặc 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Trường
phái Pitago cho rằng số 6 là số thần thánh nhất, lý tưởng nhất, đầy đủ
nhất. Ngoài tính chất chung nêu trên, số 6 còn có tính chất: tích các
ước (không kể bản thân nó) bằng chính nó:
1 x 2 x 3 = 6
Số 6 cũng là số hoàn hảo nhỏ nhất.
Ơclít đã chứng minh mệnh đề về số hoàn hảo của ông như sau:
Đặt 
. Tất cả các ước của 
, không kể bản thân nó có tổng là:
. Tất cả các ước của , không kể bản thân nó có tổng là:
Ơclít đã phát hiện được 3 số hoàn hảo là 6, 28, 491, tương ứng với p bằng 2, 3 và 5.
Đến
thế kỷ I, học giả cuối cùng của trường phái Pitago phát hiện thêm được
một số hoàn hảo nữa là số 8128 (p = 7). Năm 1460, người ta tìm được số
hoàn hảo thứ 5 là số 33550336 (p = 13). Năm 1603, lại tìm thấy được các
số hoàn hảo thứ 6, thứ 7 và thứ 8. Đầu thế kỷ XIX, tiếp tục tìm thấy số
hoàn hảo thứ 9 có 37 ký số… Cho đến năm 1996, người ta đã tìm được số
hoàn hảo thứ 33.
Vào thế kỷ XVIII, nhà toán học thiên tài Ơle đã chứng minh rằng: “Bất cứ một số hoàn hảo nào là số chẵn đều phải có dạng 
, trong đó p là số nguyên tố và 
cũng là số nguyên tố”.
, trong đó p là số nguyên tố và cũng là số nguyên tố”.
Điều đáng ngạc nhiên là trong các số hoàn hảo đã được tìm thấy, tất cả đều chẵn.
Phải
chăng không có số hoàn hảo lẻ? Năm 1908, nhà toán học A. Turcaninov
chứng minh số hoàn hảo lẻ chỉ có thể lớn hơn 2 triệu. Người ta đã chứng
minh được số hoàn hảo là số lẻ, nếu tồn tại, thì phải lớn hơn 10200 (!).
Đến nay, chưa ai có thể biết được số lượng số hoàn hảo là hữu hạn hay vô hạn.
Sau đây là vài biểu hiện kỳ lạ của số hoàn hảo:
- Một số hoàn hảo có thể phân tích thành tổng của một lượng số đếm liên tiếp bắt đầu từ 1:
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
496 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31
8128 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31 + … + 126 + 127
- Trừ số 6 ra, các số hoàn hảo khác đều có thể biểu thị bằng tổng lập phương các số đếm lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1:
28 = 13 +33
486 = 13 + 33 + 53 + 73
8128 = 13 + 33 + 53 + … + 133 + 153
- Tổng các số nghịch đảo tất cả các ước (kể cả bản thân nó) của số hoàn hảo luôn bằng 2:
Sự
biến hóa của Vũ Trụ số thật khôn lường. Đến Tôn Ngộ Không với 72 phép
thần thông quảng đại và thậm chí là cả ngài Phật Tổ Như Lai “thông thái
bác địa” mà lạc vào Vũ Trụ ấy cũng phải kinh hoàng, phủ phục. Tuy nhiên,
như chúng ta đã nói, nguyên nhân sâu xa gây ra sự biến hóa khôn lường
của Vũ Trụ số lại là do sự biến ảo kỳ diệu, vừa tự nhiên, vừa nhân tạo
của dãy số đếm, mà cho đến nay, người ta vẫn còn chưa nhận biết hết
được.
Nói về sự đếm thì người ta có thể đếm:
Một, hai, ba, …
Để đếm nhanh hơn, người ta có thể đếm:
Hai, bốn, sáu, …
Nhanh hơn nữa:
Năm, mười, mười lăm, …
Nghĩa
là có nhiều cách đếm khác nhau. Nhưng cách đếm cơ sở, cội gốc của mọi
cách đếm thì vẫn là cách đếm đầu tiên, thêm vào liên tiếp từng đơn vị
một. Cho nên có thể nói rằng dãy số đếm
1, 2, 3, 4, …
là
dãy số nguyên thủy có tính cơ sở, là cội rễ của mọi dãy số, là nền tảng
của Vũ Trụ số cũng như của mọi biến hóa của Vũ Trụ ấy.
Dù
dãy số đếm cơ sở chỉ tồn tại trong thực tại ảo nhưng là sự “gợi ý” của
Thực Tại khách quan và được hình thành bởi tư duy nhận thức trước mặt
biểu hiện rời rạc của Thực Tại khách quan.
Giả sử có N hạt KG phơi bày rời rạc ra trước quan sát. Nhận thức ban đầu có thể chỉ là:
Tiếp theo, nhận thức sẽ thấy được điều này:
N = 1 + 1 + 1 + … + 1
Vì
hạt KG phân bố không đến nỗi rời rạc như thế mà có lúc còn “nhóm họp”
lại thành những lực lượng to nhỏ khác nhau, nên nhận thức thấy thêm điều
này nữa:
N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = 1 + 2 + 3 + … + n
(với
n < N: vừa biểu thị là lực lượng có số hạt KG nhiều nhất (ở đây cứ
cho là nó trùng với số đếm), vừa là tổng số lượng các lực lượng KG có
nội tại tăng dần từ 1 đến 2… và đến n, trình hiện ra trong “tầm quan
sát” của nhận thức).
Từ
đó mà dãy số đếm cơ sở ra đời và nhận thức cũng qua đó, hiểu được một
trong những bản chất cơ bản nhất cúa nó là sự thêm vào (phép cộng).
Dãy
số đếm và phép cộng ra đời đã tạo tiền đề cho các phép toán khác và các
thế giới số lần lượt hình thành. Loài người không ngờ rằng trên con
đường mưu cầu cuộc sống, họ đã “vô tình” tạo ra cả một Vũ Trụ số để rồi
cho đến tận ngày nay, họ vẫn còn phải lặn hụp “bở hơi tai” trong cái đại
dương vô bờ bến đó…
Thôi, chúng ta hãy quay lại “bông phèng” một lúc nữa với các dãy số.
Giả sử chúng ta có tổng:
1 + 1 + 1 + … + 1 = 10
thì chúng ta cũng viết được:
10 = 1 + 2 + 3 + 4
và:
Vì: 
nên: 
Nghĩa là số 1 bao giờ cũng phân tích được thành tổng của các phân số đơn.
Nhưng
số 1 có thể phân tích thành tổng của 3 phân số đơn không? Không phải
với mọi N đều có thể phân tích được như thế. Đối với N = 10 thì 1 không
thể phân tích được thành tổng của 3 phân số đơn, nhưng đối với N = 6 thì
là phân tích được:
Thêm vài thí dụ nữa:
- Cho N = 1 + 1 + … + 1 = 7 = 1 + 2 + 4
Suy ra:
Bằng cách tương tự chúng ta sẽ được kết quả:
(với N = 7)
- Cho N = 2, như chúng ta đã biết:
Nếu n = 10 thì:
Suy ra: 
Trường hợp n rất lớn thì có thể cho rằng:
Cho N = 3 thì:
Cho N = 18 thì chính là trường hợp ba anh em nhà nọ chia bò:
Khi chúng ta trừ hai dãy số đếm cho nhau sao cho số bị trừ lớn hơn số trừ 1 đơn vị, sẽ làm xuất hiện một dãy số toàn số 1:
Nếu bỏ dấu phẩy ở kết quả đi, chúng ta sẽ được một số tự nhiên vô hạn toàn số 1:
1 1 1 1 1 …
Bình phương số đó sẽ được số:
1 2 3 4 5 6 7 9 0 1 2 3 …
Nếu số lượng số 1 là hạn định ( N hữu hạn) thì hai số hạng cuối cùng của số bình phương chúng là 21.
Chẳng hạn N = 2 thì:
112 = 121
N = 3 thì:
1112 = 12321
N = 4 thì:
11112 = 1234321
Nếu chia số: 1111… (với số lượng số 1 là vô hạn) cho 9 thì sẽ có kết quả:
12345679012345679012…
Vậy thì:
Và do đó mà có: 111… = 0,111… (!)
Hay: (111…) x 9 = 1
và: 999… = 1 (!)
Sự vô hạn thật quá kỳ dị!
Nhưng
biết đâu chừng đó là biểu hiện của Tự Nhiên Tồn Tại: giới hạn của lớn
vô cùng là 1, và nếu so “kích cỡ qui mô” giữa Vũ Trụ và hạt KG thì:
Khi số lượng số 1 là 9 thì đem chia 111111111 cho 9 sẽ có kết quả là:
12345679
Tương tự:
Khi số N = 8 thì kết quả là:
1234567,888…
Khi số N = 7 thì kết quả là:
123456,777…
Khi số N = 3 thì kết quả là:
12,333…
Khi số N = 2 thì kết quả là:
1,2222…
Khi số N = 1 thì kết quả là:
0,111111…
Ngược lại, vì 0,1111… x 9 = 1 nên có thể suy ra:
0,11111… x n x 9 = n
Nghĩa là từ đây ta có thể xây dựng lại được dãy số đếm cơ sở:
1, 2, 3, 4, …
Nếu bình phương các số hạng của dãy số đó, ta sẽ được dãy bình phương các số đếm:
12, 22, 32, 42, 52…
Điều
lạ lùng của dãy bình phương các số đếm là các khoảng cách giữa hai số
hạng liên tiếp hợp thành một dãy số bao gồm toàn bộ các loại số lẻ có
thể có (ngoại trừ số 1) của Thế giới số tự nhiên:
Vì
bình phương của một số lẻ là một số lẻ nên dãy số lẻ nói trên cũng hàm
chứa tất cả các số lẻ bình phương có thể có. Từ những nhận xét này mà
chúng ta có thể thiết lập được vài biểu thức liên quan đến dãy bình
phương các số đếm.
Nếu có một số đếm là a thì số đếm liên tiếp kế trước nó là a – 1 và kế sau nó là a + 1. Nếu gọi khoảng cách giữa hai số a2 và (a + 1)2 là b thì chúng ta sẽ có:
a + (a + 1) = 2a + 1 = b
a + (a – 1) = 2a – 1 = b – 2
Nếu b là một số lẻ c2 thì:
Và 
Tóm
lại, chúng ta có thể xác định được các số hạng nào trong dãy số đếm mà
khi bình phương chúng lên sẽ thiết lập được biểu thức Pitago nổi tiếng
từ cổ chí kim, khi đã biết c2.
Chẳng hạn, chúng ta chọn số lẻ 5, bình phương lên được 25.
Vậy: 
. Từ đây chúng ta có:
. Từ đây chúng ta có:
Hay chúng ta chọn số lẻ là 3, bình phương lên được 9. Vậy:
Nếu chúng ta nhân 2 về cho một số căn 2 nào đó sẽ được một biểu thức với những số đếm mới. Thí dụ nhân với 
:
:
Hay nhân với căn 
:
:
Có
hằng hà sa số các số tự nhiên để thiết lập được đẳng thức: tổng của 2
số bình phương bằng bình phương của số thứ ba. Tuy nhiên không phải lúc
nào cũng thiết lập được như thế. Chẳng hạn có 2 + 3 = 5, bao giờ cũng có
22 + 5 = 32, nhưng 5 không phải là một số chính phương cho nên không bao giờ thiết lập được:
22 + c2 = 32, với c là một số lẻ tự nhiên.
Nói một cách tổng quát, khi A, B, C là những số tự nhiên thì:
A2 + B2 = C2
có
vô số nghiệm nhưng không phải lúc nào cũng nghiệm đúng. Hay có thể phát
biểu: tổng của 2 số bình phương không phải lúc nào cũng cho ra kết quả
là một số thuộc dãy số bình phương.
Vậy thì có thể thiết lập được:
A2 + B2 + C2 = D2
với A, B, C, D là những số tự nhiên nào đó hay không?
Chắc chắn là được, vì chúng ta dò ra thí dụ:
32 + 42 + 122 = 132
Có một vấn đề là khi A + B = D thì luôn tốn tại: (A + B)2 = D2. Triển khai ra thì được:
A2 + B2 + 2AB = D2
Vậy thử hỏi rằng có khi nào chọn được C để cho:
C2 = 2AB không?
Chúng
ta trả lời một cách đanh thép rằng là… là… là… “không biết”, và quay
ngoắt sang ngắm nghía dãy số lập phương cùng với những biểu thị về
khoảng cách của nó:
Vì
là dãy biến dạng tự nhiên nên dãy này cũng có qui luật của riêng nó.
Nói chung, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của mọi dãy số lũy
thừa đều là số lẻ tự nhiên và do đó, các khoảng cách của dãy lập phương
cũng lập thành một dãy số lẻ, bắt đầu từ số 7. Dò la sơ bộ, chúng ta
đoán rằng dãy số các khoảng cách này gồm chứa những số lẻ nguyên tố và
số lẻ có ước ít nhất là 2 số nguyên tố lẻ (có thể là trùng nhau, như 169
= 13 x 13). Chẳng hạn:
hay:
Rất
đẹp là dãy số của của dãy số các khoảng cách. Đó là một dãy số chẵn bắt
đầu là số 12 và (6x2) và tăng lên theo qui luật 6xn (với n là số đếm
hay là số thứ tự tự nhiên).
Một câu hỏi đặt ra là có thể thiết lập được:
A3 + B3 = C3
với A, B, C là những số tự nhiên hay không?
Toán học đã chứng minh được rằng biểu thức trên không bao giờ có nghiệm đúng
Nếu chúng ta có số lập phương là a3, thì số lập phương kế tiếp nó là (a+1)3. Nếu gọi b là khoảng cách giữa chúng thì có thể xác định được:
a3 + b = (a+1)3
hoặc
a3 – (b-6a) = (a+1)3
Cả hai biểu thức trên đều cho ra: b = 3a (a+1) + 1.
Theo dự đoán của chúng ta thì b hoặc là số nguyên tố, hoặc là một hợp số có hai ước là số nguyên lẻ. Chẳng hạn cho: a = 12 thì b = 469 = 7 x 67
a = 13 thì b = 547 (là số nguyên tố)
a = 19 thì b = 7 x 163
Dạng tổng quát của một dãy số lũy thừa là:
Một
trong những vấn đề tưởng chừng đơn giản nhưng đã từng là hóc búa nhất
của dãy lũy thừa là vấn đề: có thể tìm được ba số tự nhiên A, B, C nào
đó để có được đẳng thức:
An + Bn = Cn ?
Vấn
đề đó được Fecma nêu ra và phát biểu thành định lý, được giới toán học
gọi là “Định lý lớn Fecma” hay “Định lý cuối cùng của Fecma”, như sau:
Với n>2 thì bài toán nêu trên không có nghiệm nguyên.
Chúng ta biết rằng khi n = 0 thì bài toán rõ ràng là vô nghiệm vì:
Khi n = 1 thì bài toán luôn nghiệm đúng:
Khi n = 2 thì bài toán có vô số nghiệm như chúng ta đã biết
Khi
n>2 thì ngay từ thế kỷ XVII, Fecma đã đưa ra một tuyên bố gây sững
sờ: “Sở dĩ không ai tìm được các nghiệm đó là bởi vì chúng không hề tồn tại”.
Định
lý lớn Fecma và công cuộc nỗ lực tìm cách chứng minh nó trong suốt hơn
350 năm đã trở thành chuyện cực kỳ lôi cuốn trong lịch sử toán học.
Chúng ta đã từng được “nghe” Simon Singh kể trong tác phẩm “Định lý cuối
cùng của Fecma” của ông.
Bây
giờ đến lượt chúng ta xin “hầu chuyện” lại cho những ai còn “yêu mến sự
thông thái”. Nhưng cũng chỉ tóm tắt được thôi vì còn phải… leo núi Tu
Di!
(Còn tiếp)
--------------------------------------------------------------------
(Còn tiếp)
--------------------------------------------------------------------
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)