CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Tuy nhiên, khi trong toán học xuất hiện thêm số bình phương và dấu () thì mối quan hệ nhân - quả mà nó phản ánh với quan niệm một nguyên nhân một kết quả đã bị vi phạm. Chẳng hạn:

              

              

Té ra thì cũng đơn giản! Số 4 là biểu thị một lực lượng (Không Gian đặc thù nào đó) ban đầu. Khi phân chia nó ra thành hai phần bằng nhau, tất yếu dẫn đến một kết quả duy nhất là bằng 2. Tuy nhiên nếu đặt trong qui ước về tương phản âm – dương thì có thể chọn 4 là (+2)² hoặc (-2)² và kết quả sẽ là +2 hoặc -2. Chính qui ước chủ quan đã lũng đoạn làm ngộ nhận về kết quả, chứ thực ra quá trình phân chia ấy là có tính duy nhất, luôn thỏa mãn một nguyên nhân một kết quả. Vì trong một quá trình độc lập, lực lượng Không Gian phải được bảo toàn cho nên có thể thấy:

 

              

Nhưng đã qui ước  nên bốn trường hợp trên chỉ coi như là nói về cùng một hiện tượng.

              

Đến đây, một câu hỏi lớn được đặt ra là: vậy có đúng là đang diễn tả một mối quan hệ nhân - quả đã có kết quả cho trước là -3 hay không? Nếu cho rằng đúng thì chúng ta sẽ phải lâm vào một mâu thuẫn khó lòng mà “tiêu diệt” được. Vì có nhiều cặp số x và y cho ra kết quả -3 nên phải cho rằng có nhiều nguyên nhân tạo thành một kết quả và do đó phải từ bỏ quan niệm một nguyên nhân một kết quả.

Bằng cách nào thì chưa biết, nhưng trước tiên phải phủ nhận là sự biểu diễn của một mối quan hệ nhân - quả đích thực.

Một nguyên tắc phải được tuân thủ tuyệt đối trong mối quan hệ nhân - quả là kết quả phải có sau nguyên nhân. Nãy giờ có lẽ chúng ta đã phạm phải sai lầm chết người là đã giả sử kết quả có trước nguyên nhân, bắt nguyên nhân phải “phục tùng” kết quả trong một quá trình xảy ra trong thời gian. Khi một nguyên nhân chưa được xác định chắc chắn thì nó mới ở dạng khả năng. Có thể có nhiều khả năng nhưng chỉ có một khả năng duy nhất biến thành hiện thực. Khả năng đó được gọi là nguyên nhân đích thực và hiện tại đó được gọi là kết quả tất yếu. Có thể mô tả qui luật biến đổi của một quá trình biến đổi tương quan nhân - quả nào đó nhưng không thể là của quá trình x, y bị biến đổi do kết quả -3 gây ra, vì chúng không thể là kết quả của -3 mà là của những nguyên nhân trực tiếp tạo nên chúng trước đó trong thời gian, khi -3 chưa xuất hiện. Hơn nữa, nếu cho rằng mối quan hệ nhân - quả thực sự tồn tại thì việc suy từ -3 ra các cặp giá trị x và y nhằm thỏa mãn bài toán chỉ là hú họa và sai lầm. Vì chỉ có một cặp x, y duy nhất có thể là những yếu tố tiền nguyên nhân của cái nguyên nhân làm xuất hiện -3. Chúng ta còn cho rằng một cách hoàn toàn hình thức -3 không phải là kết quả duy nhất của một quá trình mà có thể là của nhiều quá trình khác hẳn nhau về bản chất, tương tự như một điểm trùng của nhiều tuyến đường. Dù như một điểm trùng của nhiều tuyến đường thì về thực chất vẫn phải coi sự trùng ấy là của những kết quả khác biệt có được từ những nguyên nhân khác biệt, khác biệt về mặt thời gian xuất hiện, về phương chiều từ đó chúng xuất hiện, và về sự biểu hiện tương tác giữa chúng (gây ra những biến cố)… mà toán học đã không thể phát hiện được do cách biểu diễn đặc thù và phiến diện của nó.

Chắc mẩm vì những biện hộ “quá đẹp” vừa trình bày, chúng ta đi tìm cho những biểu diễn toán học mới, “đích thực” mô tả được mối quan hệ nhân - quả nào đó một cách đúng đắn. Dễ dàng biến đổi đi một chút, và chúng ta có được:

Chúng ta cho rằng và là những biểu diễn về mối quan hệ có tính nhân - quả đích thực với vế trái là nguyên nhân duy nhất và vế phải là kết quả tất yếu, khi x (hoặc y) là yếu tố đã hoàn toàn được xác định.

Mặt khác, khi x (hoặc y) chưa xác định (là những ẩn số) và đóng vai trò như một lượng (còn gọi là đại lượng) nào đó, thì với mỗi giá trị gán cho nó, chúng ta sẽ có một kết quả (tất yếu và duy nhất) tương ứng với những giá trị ấy theo qui luật bất biến và chặt chẽ của phép toán thể hiện trong (hoặc ), nghĩa là một cách có qui luật. Hơn nữa, giả sử rằng x (hoặc y) là một đại lượng biến đổi một cách tự nhiên theo trình tự thời gian, nghĩa là tại mỗi thời điểm trong “chuỗi” thời gian liên tục luôn xác định được một giá trị (duy nhất và tất yếu) của x (hoặc y), thì lúc này có thể coi (hoặc ) chính là qui luật được biểu diễn bằng phương tiện toán học của một quá trình biến đổi (vật chất) liên tục nào đó đã (hoặc đang) xảy ra trong hiện thực khách quan.

Thông thường thì trong cách biểu diễn (hoặc ), ẩn số ở vế trái (yếu tố tiền nguyên nhân chưa xác định được) không phải chỉ có một mà có thể có nhiều hơn thế, nhưng bao giờ thì vế phải cũng vẫn chỉ là một đại lượng đóng vai trò ẩn số duy nhất (kết quả duy nhất và tất yếu). Muốn thế, nghĩa là muốn cho cách biểu diễn (hoặc ) trong trường hợp vế trái có hơn một ẩn số, vẫn thỏa mãn là sự biểu diễn một qui luật của một quá trình biến đổi liên tục nào đó, thì sự biến đổi của các ẩn số ở vế trái không thể tùy tiện mà cũng phải tuân theo những qui luật bất biến, qui định cho riêng chúng hoặc sự biến đổi của chúng phải nằm trong mối quan hệ khăng khít, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách duy nhất.

Trong toán học, cách biểu diễn tương tự như (hoặc ) được gọi là cách biểu diễn hàm số. Các ẩn số của vế trái được gọi là các “biến (số)”, ẩn số ở vế phải, vì sự thay đổi của nó là tùy thuộc vào những thay đổi ở vế trái, nên để phân biệt, người ta gọi là “hàm (số)”. Theo đó thì ở , x chính là biến số của y và y là hàm số của y. Trong tập quán, x, y, z… vẫn được dùng ký hiệu cho những ẩn số, biến số, cho nên để khỏi lẫn lộn, người ta hay dùng các ký hiệu f, f, h… để chỉ hàm số. Chẳng hạn nếu viết: thì phải hiểu rằng là hàm của biến số x. Như vậy, chúng ta có thể viết lại và :

và:                   

Vì được suy ra một cách thuần túy toán học từ  và tương tự như “quá trình ngược” trong mối quan hệ thuận nghịch với “quá trình thuận” cho nên người ta cũng gọi là hàm ngược của .

Có thể thấy một biến hay cụ thể là biến số, trong quá trình biến đổi của nó sẽ cho ra nhiều “định lượng” (hay số trị) cấu thành một dãy (hay tập hợp) có “trật tự” nào đó, và được gọi là “miền biến thiên” của biến đó. Miền biến thiên của biến số có thể là hữu hạn hay vô hạn, liên tục hay không liên tục… Biểu diễn hình học của một hàm trong hệ tọa độ được gọi là “đồ thị” của hàm đó. Chẳng hạn, đồ thị của hàm trong hệ tọa độ vuông góc hai chiều là một đường thẳng.

Chúng ta biết rằng đồ thị của hàm là một đường thẳng. Đường thẳng chính là một biểu tượng trực quan của tính liên tục, bởi vì không hề quan sát thấy nó “đứt đoạn” ở bất cứ đâu cả và nếu có gián đoạn thì may ra là ở vô tận vì ở đó quan sát không “với tới” được nên cũng không xác định được. Hơn nữa, không thể không quan niệm đường thẳng là tập hợp nối tiếp nhau của các điểm, nhưng theo Ơclit thì “điểm là cái không có bộ phận”, do đó không thể “lấy” bất cứ điểm nào ra khỏi đường thẳng đó được, nghĩa là đường thẳng phải liên tục và không thể tùy tiện làm cho gián đoạn một khi nó đã hiện hữu.

Giả sử trên đồ thị của hàm cho trước một điểm A (xem hình 1/a). Hỏi rằng, tại điểm đó đồ thị của hàm có liên tục hay không? Hỏi như thế thì cũng đồng nghĩa với việc hỏi rằng tại “điểm” x₁, hàm f(x) có liên tục hay không?

Toán học chỉ ra rằng, muốn biết hàm f(x) có liên tục tại điểm x₁ hay không, chúng ta phải cho biến số x tiến dần liên tục đến giá trị x₁ của nó, lần lượt từ hai phía “bên phải” lẫn “bên trái”. “Tiến dần liên tục đến X₁” có nghĩa là như thế nào? Giá trị của x₁ (hay X) được thấy trên hình 1/a chính là khoảng cách từ điểm x₁ (hay x) đến gốc O. Do đó khoảng cách từ x đến x₁ ở cả hai phía trái, phải đều có thể được xác định bằng . Khi x tiến tới x₁ thì khoảng cách tiến tới O (ký hiệu ). Vì điểm được quan niệm là nhỏ bao nhiêu cũng được miễn khác 0 nên để tiến tới x₁, biến số x lần lượt và theo trình tự nhận mọi giá trị có thể có, tồn tại giữa x và x₁. (Số lượng các giá trị ấy là bao nhiêu? Phải là vô hạn rồi! Nếu thế thì làm sao có thể đi được đến đích của cuộc khảo sát được?... Nhưng thôi, đó là vấn đề riêng của Zénon và của toán học. Hãy để cho “họ” tự giải quyết. Còn chúng ta bỏ qua kẻo… hết thời gian!). Tương ứng với các giá trị của biến số x khi nó tiến về x₁ là các giá trị của hàm số f(x), nghĩa là cũng tồn tại quá trình tiến dần tới giới hạn từ hai phía. Khi x tiến tới x₁ và đạt đến giá trị x = x₁ từ hai phía và hai quá trình tiến tới giới hạn cũng đạt đến giới hạn mà giới hạn của chúng là đồng nhất (có cùng giá trị f(x) bằng f(x₁)) thì chúng ta nói rằng hàm f(x) liên tục tại “điểm” x₁. Nếu điều này xảy ra tại mọi điểm thuộc một khoảng nào đó thì hàm là liên tục trong khoảng cũng được thấy liên tục tại điểm A. Do tính thuần nhất của đường thẳng và điểm A có thể chọn bất kỳ nên đường thẳng là liên tục trên suốt chiều dài của nó.

              

Muốn trả lời thỏa đáng câu hỏi đó thì phải nhờ đến quan niệm triết học. Vì là bất định. Nhưng bất định không có nghĩa là Hư Vô mà là phép chia của hai đại lượng tồn tại nhưng không xác định được (do chìm khuất, không thấy được chẳng hạn). Tuy nhiên trong trường hợp cụ thể này, vì nó xuất phát từ thể tổng quát  nên chắc chắn là hai đại lượng đó dù thế nào chăng nữa thì cũng phải bằng nhau. Suy ra, trong trường hợp cụ thể này, phải có:

              

Hoặc cũng có thể trả lời cách khác. Đường thẳng có chứa điểm B trên hình 1/b là một tồn tại khách quan có trước. Nó vốn dễ liên tục và được thấy như một hiện tượng bất biến. Tuy nhiên, không thể xác định và khảo sát nó được trong không gian nếu hệ quan sát không chọn cho mình một hệ tọa độ. Do cách chọn tọa độ như ở hình 1/b (đường thẳng chứa B song song với trục x và cắt trục f(x) tại 1) và với qui ước là không có nghĩa cho nên mới gây ra những rắc rối “không đáng có”. Để tránh những “phiền toái” phát sinh từ sự chủ quan đó, hoặc là phải “mở rộng” qui ước cho trường hợp đặc biệt này là , hoặc phải lựa chọn hệ tọa độ mới để không xuất hiện .

với nguyên tắc là nếu bỏ các dấu phẩy sau số 1 đi thì dãy số đó chính là số

Dãy số hợp thành số đã chi ra rằng, dù chúng ta có tùy tiện viết ra bất cứ một tập hợp số đơn tự nhiên “đứng” kế tiếp nhau nào, thì đó vẫn là dãy số, vì bất cứ số vô tỷ nào cũng phải có một công thức tính ra nó (dù chúng ta có thể chưa khám phá ra được!), hoặc cũng có thể nói là theo nguyên tắc: tùy thích.

Nếu chúng ta qui ước “n” là cách viết tổng quát của số thì chúng ta cũng viết được một tỷ số tổng quát là . Tập hợp các tỷ số đó lại theo một cách thức nào đó thì ta sẽ có được một dãy số và có thể biểu diễn:

Khi n là số tự nhiên và dãy số  được sắp xếp theo thứ tự số n từ nhỏ tới lớn, thì chúng ta có:

Rõ ràng là được sắp xếp một cách có nguyên tắc là sau kế tiếp số hạng phải là số chứ không phải bất cứ số nào khác. Hay có thể nói là dãy kết quả của một quá trình mà trong đó n phát triển một cách liên tục (không gián đoạn) từ nhỏ tới lớn. Không thể không cho rằng quá trình đó có tính tất yếu, nghĩa là có qui luật, và qui luật đó được xác định trong sự biểu diễn tổng quát của dãy số, mà ở đây là:

Khi cho n tăng liên tục và mãi tớn vô hạn () thì , một cách tất yếu và phải giảm liên tục và dần tới 0 (). Toán học nói: dãy số n có giới hạn 0 khi n tăng vô hạn. Biết rằng nhận xét như vậy vẫn còn mang cảm tính trực quan, nghĩa là chưa đủ chặt chẽ. Vì hiển nhiên là không thể lớn hơn 0 được nhưng chắc gì 0 là giới hạn “thực sự” của dãy , cho nên toán học đã phải tìm cách lập luận sao cho “không thể chối cãi” được. Trước hết, toán học cho rằng nếu đã có số n thì luôn có số n+1, và như thế mà n có thể tăng vô hạn, lớn đến bao nhiêu cũng được, dẫn đến tương ứng phải có một số nhỏ bao nhiêu cũng được (nhưng không thể bằng 0!). Tiếp theo, toán học giả sử rằng nếu ở “gần” (hay lân cận) số 0 có một số cho trước tùy ý nào đó, “nhỏ bao nhiêu cũng được”, gọi là (épxilon) và:

thì bao giờ cũng chọn được một số để cho . Đến đây, toán học kết luận rằng nếu luôn luôn thực hiện được thì 0 chính là giới hạn của dãy số . Hay có thể phát biểu một cách tổng quát: khi số a là giới hạn của dãy số nào đó thì với bất kỳ số dương “nhỏ bao nhiêu cũng được” nào làm tồn tại số N, bao giờ cũng có: đối với mọi số tự nhiên , đều cho . Sự kiện có giới hạn a được biểu diễn như sau:

hoặc:   

Toán học qui ước thêm: một dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ; một dãy số không hội tụ được gọi là dãy số phân kỳ. Với quan niệm số 0 là hữu hạn thì dãy là một dãy hội tụ. Mặt khác, có thể hiểu dãy phân kỳ là dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn. Một trong những dãy số tiến dần đến vô hạn đơn giản nhất là dãy số:

Dễ dàng thấy rằng, với bất kỳ một số N khác 0 và “lớn đến bao nhiêu cũng được” nào, bao giờ cũng tồn tại: với mọi số , luôn có (mà trong trường hợp này, ). Nghĩa là:

hay:     

Cách viết thứ hai ít được sử dụng vì toán học cho rằng nó có tính hình thức đơn thuần và dễ gây ngộ nhận. Theo quan niệm của toán học thì  không phải là một số mà chỉ là một ký hiệu diễn tả tình trạng hay mức vô hạn độ có thể đạt tới của một quá trình tăng trưởng nào đó. Một sự tăng trưởng có khả năng đạt đến mức vô hạn độ thì cũng có nghĩa khả năng của sự tăng trưởng đó là không có giới hạn. Giới hạn của một cái gì đó, được hình dung như một giới tuyến, một mức độ… đã được hạn định một cách tự nhiên hoặc theo qui ước mà cái đó không thể vượt qua (và thậm chí bản thân giới tuyến, mức độ… hoạch định không thuộc phạm vi của cái đó thì cái đó cũng không thể đạt tới). Sự “không thể vượt qua” phải được hiểu theo hai nghĩa là: cái đó, tự thân nó không thể vượt qua được giới hạn dù có cho phép (xóa bỏ qui ước), và ngược lại, nó hoàn toàn có khả năng vượt qua được nhưng không thể vượt qua khi bị sự qui ước ràng buộc, không cho phép. Hình dung như thế dẫn chúng ta đến nhận định rằng, “có giới hạn” và “không có giới hạn” là hai khái niệm lập nên một mối quan hệ tương phản giữa chúng với nhau; có thể chuyển hóa nhau, là tiền đề tồn tại của nhau, nghĩa là nếu không có khái niệm này thì cũng không thể có khái niệm kia và ngược lại. Cặp khái niệm có giới hạn – không có giới hạn là có nghĩa tương đương với cặp khái niệm hữu hạn – vô hạn. Đặc trưng của hữu hạn là tính xác định được của nó và đặc trưng của vô hạn là tính không xác định được của nó. Do vậy dù chúng nằm trong một mối quan hệ thống nhất biện chứng, dù có thể trong hữu hạn, thì chúng cũng không bao giờ đồng nhất với nhau được nếu còn muốn mối quan hệ đó tồn tại. Khi toán học đưa ra khái niệm “giới hạn vô hạn” thì coi như toán học đã đồng nhất sự hữu hạn và vô hạn với nhau: hữu hạn đã mở rộng thành vô hạn và vô hạn bị giới hạn thành hữu hạn. Thật khó mà nhận thức được một quan niệm như thế, nhưng toán học “buộc phải” đạt đến quan niệm như thế bởi vì Tự Nhiên là như thế. Thực ra những cặp khái niệm đại loại như: cao - thấp, gần – xa, ở đây - ở kia, trong – ngoài, hữu hạn – vô hạn… chỉ nảy sinh trong nhận thức của một hệ quan sát trước hiện thực khách quan “của nó”, chứ trong hiện thực khách quan tuyệt đối (thực tại khách quan chưa thông qua hệ quan sát), chúng không hề tồn tại. Đấng Tạo Hóa thiêng liêng không bao giờ quan tâm tới Vũ Trụ này là hữu hạn hay vô hạn, bởi vì nó hoàn toàn không cần thiết và hơn nữa, quang cảnh bày ra trước mắt Ngài chẳng biểu hiện gì về mối quan hệ hữu hạn – vô hạn. Nếu chúng ta có hỏi Ngài về điều đó thì chắc rằng Ngài sẽ uể oải ngáp và nói: “Lũ oắt con! Chúng mày muốn nói thế nào tùy thích, nói Vũ Trụ là hữu hạn cũng được mà vô hạn cũng xong, đồng thời là cả hai cũng đúng mà không phải cả hai cũng chả sao… Thôi! Biến đi chỗ khác để cho Ông còn ngủ!”.
(Còn tiếp)
-----------------------------------------------------------------

(ĐC sưu tầm trên NET)

Phát hiện ca mắc Covid-19, phong toả toà nhà với 1.400 người trong Bệnh viện Việt Đức

Thi hành kỷ luật Trung tướng Nguyễn Quang Đạm, nguyên Tư lệnh Cảnh sát biển Việt Nam

Báo điện tử VTV News - Đài Truyền Hình Việt Nam13 giờ trước

Cựu Tổng thống Pháp Nicolas Sarkozy bị kết án

Người Lao Động12 giờ trước

Loại gỗ sánh ngang kim cương, một gam có giá vài trăm triệu, ở Việt Nam cũng có

Tin tức 24h17 giờ trước

Để lộ "tử huyệt" trước mắt quân nổi dậy, Taliban sắp đại bại ở miền bắc Afghanistan?

Soha18 giờ trước

10 phát hiện mới ở Hy Lạp gây chấn động toàn thế giới

Dân ViệtHôm qua

Tại sao con người không có đuôi như loài linh trưởng?

Dân Trí Mobile24 thg 9

Thuốc viên điều trị Covid-19 sắp hoàn thành, hy vọng trả lại cuộc sống bình thường

Báo Thanh NiênHôm qua