Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (D)

(ĐC sưu tầm trên NET)

Sách là ngọn đuốc soi rọi chân lý, là chiếc khăn thấm đẫm máu, nước mắt và lòng nhân ái của loài người!
--------------------------------------------------------------------
"Nguồn Thuvienvatly.com"
Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.
Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.
Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i² = - 1.
6. Các số siêu việt là gì?
Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.
e và π là những số như thế.
e = 2,71828...;                    π= 3,14159...
các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.
Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là α^β là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.
Như vậy, 2^√3, 3^√2, 5^√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết α^β có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ e^e, π^π hoặc π^e có là siêu việt hay không.
Tuy nhiên, e^iπ = - 1 là một kết quả rất đẹp.
7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.
Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.
Như vậy,              4² – 1 = (4 + 1) (4 – 1).
                                5² – 1 = (5 + 1) (5 – 1),
                                6² – 1 = (6 + 1) (6 – 1).
Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.
Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau
x² – 1 = (x + 1) (x – 1).
Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.
8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?
Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.
Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.
Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x
cho dù x và y biểu diễn con số nào.
9. Đại số có được khái quát hóa không?
Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.
Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.
Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.
Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.
Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.
10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?
Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự khái quát hóa hơn nữa?
Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.
Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.
Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó 90^o là R₁, 180^o là R₂ và 270^o là R₃, thì chuyển động quay R₁ rồi đến R₂ sẽ tương đương với một chuyển động R₃.
Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.
Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là T₁ và T₂ là phép quay, thì biến đổi T₁ rồi đến T₂ sẽ tương đương với một phép tịnh tiến T₃.
Do đó, nếu với một tập hợp nhất định của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.
12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?
Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.
Hai hệ thống đại số như thế được gọi là nhóm và vành.
Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.
13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?
Topo học, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.
14. Số học là lí thuyết của những con số! Lí thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?
Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:
Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.
Các số Pythagoras,
Tính chất của những con số lớn,
Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.
15. Hợp số và số nguyên tố là gì?
Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ 15 = 3 × 5, nhưng 11 hoặc 17 thì không phân tích được.
Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.
16. Còn số 1 thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?
Một số nguyên tố là số có ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ, số nguyên tố 7 có hai ước số, 1 và 7, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.
Vì thế, nếu 1 là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu 1 là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số 1 có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.
17. Các quy tắc chia hết là gì?
Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.

1. Một số là chia hết cho 2, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2. Như vậy, những số kết thúc với 0, 2, 4, 6, hoặc 8 là chia hết cho 2, như trong 530 và 138.
2. Một số là chia hết cho 4, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 4, như trong 300 và 528.
3. Một số là chia hết cho 8, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là 000 hoặc chia hết cho 8, như trong 3000 và 3240.
4. Một số là chia hết cho 5, nếu chữ số tận cùng bên phải là 0 hoặc 5, như trong 240 và 235.
5. Một số là chia hết cho 25, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 25, như trong 300 và 425.
6. Một số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 3, như trong 231.

Ở đây 2 + 3 + 1 = 6, tổng chia hết cho 3, vì thế 231 chia hết cho 3.
Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:
231         = 2 × 100 + 3 × 10 + 1
                = 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1
                = 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1
                = 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1
                = (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1)
                = (một bội của 9) + (tổng các chữ số).
Do đó, một con số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho 3.
Ở đây, 4 + 7 + 7 = 18, tổng chia hết cho 9, nên 477 chia hết cho 9.
Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho 3.
Xét con số 1 8 3 9 5 5 2.
Tổng các chữ số thứ tự lẻ là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,
Tổng các chữ số thứ tự chẵn là 8 + 9 + 5 = 22,
Hiệu bằng 22 – 11 = 11, chia hết cho 11,
nên 1 8 3 9 5 5 2 chia hết cho 11.
18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?
Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:

1. Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
   Như vậy, nếu hai số là 12 và 18, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216.
2. Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2, tức là n(n + 1) là chia hết cho 2, trong đó n là số nguyên bất kì.
3. Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2), là chia hết cho 2 × 3, tức là 6.
4. Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là chia hết cho 2 × 3 × 4, tức là 24.
5. Tích của r số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2 × 3 × 4 × ... × r, hay r! .
   Tích 1.2.3...r được gọi là r giai thừa, và được kí hiệu là r!
6. Với mọi số lẻ n, số n² – 1 là chia hết cho 8.
   Nếu n là một số lẻ, thì n – 1 phải chẵn và chia hết cho 2. Đồng thời, n + 1 là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho 4. Vì thế, tích này chia hết cho 8.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
19. Có bao nhiêu số nguyên tố?
Có vô hạn số nguyên tố.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.
Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:
101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...
20. Có nguyên tố lớn nhất không?
Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.
21. Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?
Lập luận chứng minh như sau:
Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là P, khi đó thì số
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... ×P) +1
sẽ cho số dư là 1 khi chia mỗi số 2, 3, 5, 7, 11,..., P.
Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn P. Dù là trường hợp nào thì P chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất. Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.
22. Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?
Phương pháp tính số nguyên tố đến số N bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ 1 đến N,
1, 2, 3, 4,..., N
sau đó xóa đi, trước tiên là số 1, rồi đến tất cả những số bội của 2 ngoại trừ 2, rồi đến tất cả những số là bội của 3 ngoại trừ 3, rồi đến tất cả những số là bội của 5 ngoại trừ 5, rồi đến tất cả những số là bội của 7 ngoại trừ 7, và cứ thế. Các bội số của 4, 6,... đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố.
23. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?
Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.
Ví dụ, xét các số 10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10 lần lượt chia hết cho 2, 3, 4,..., 10. Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố 1.000.000.009.649 và 1.000.000.009.651 chỉ sai khác nhau 2.
24. Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?
Giữa một con số bất kì lớn hơn 1 và số gấp đôi của nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.
Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.
25. Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?
Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, tức là có 8 số, nên ta nói p(20) = 8.
Tương tự, p(100) = 25, p(200) = 46, p(300) = 62, p(400) = 78, p(500) = 95, p(600) = 109, p(700) = 125, p(800) = 139, p(900) = 154, p(1000) = 168.
Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho p(x), trong đó p(x) là kí hiệu cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x.
26. Định lí số nguyên tố là gì?
Định lí số nguyên tố phát biểu rằng đối với giá trị x lớn, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x xấp xỉ bằng x/logx, trong đó phép tính logarithm là logarithm tự nhiên.
Định lí được phỏng đoán bởi Gauss vào năm 1793, nhưng được chứng minh bởi Hadamard và de la Valle’e Poussin vào một thế kỉ sau đó, năm 1896.
27. Có công thức nào cho ra tất cả các số nguyên tố hay không?
Không. Người ta đã tốn nhiều công sức để tìm một công thức sẽ cho ra mọi số nguyên tố, nhưng chẳng có ai thành công.
Có thể nhắc lại một số trường hợp.
Biểu thức n² + n + 17 là số nguyên tố với mọi giá trị của n từ 1 đến 16,
2n² + 29 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 28,
n² – n + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 40,
và n² – 79n + 1601 hay (n – 40)² + (n – 40) + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 79.
Dirichlet đã chứng minh rằng mỗi chuỗi số
an + b, n = 0, 1, 2,3,...
trong đó a, b là hai số nguyên dương không có ước số chung lớn hơn 1, có chứa một số lượng vô hạn số nguyên tố.
Ví dụ, có vô hạn số nguyên tố có dạng 6n + 1, mặc dù, tất nhiên, không phải số nào như thế cũng là số nguyên tố. Với n = 4, 6n + 1 bằng 25, không phải là số nguyên tố.
Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng không có công thức đại số dạng hữu tỉ nào có thể chỉ biểu diễn số nguyên tố.
28. Có phải mọi số nguyên tố đều giống nhau?
Có hai dạng số nguyên tố.
Tất cả số nguyên tố ngoại trừ 2 đều có dạng hoặc 4n – 1 hoặc 4n + 1.
Trong số này, mỗi số nguyên tố có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương duy nhất. Ví dụ, 5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3², 17 = 1² + 4², 29 = 2² + 5², 953 = 13² + 28².
Tuy nhiên, nếu một số có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau, thì nó không thể là số nguyên tố. Ví dụ, 545 = 17² + 16² = 23² + 4², và 545 không phải là số nguyên tố.
Không có số nguyên nào dạng 4n – 1 có thể bằng tổng của hai bình phương, ví dụ 11 hay 23 không thể nào được biểu diễn như thế.
29. Những câu hỏi nào về số nguyên tố cho đến nay chưa được giải đáp?
Hai câu hỏi trông đơn giản liên quan đến số nguyên tố nhưng chưa được giải đáp là như sau:
Một là có hay không một vô hạn số nguyên tố thuộc dạng n² + 1, trong đó n là số nguyên.
Nếu chúng ta cho n nhận liên tiếp các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... thì (n² + 1) nhận các giá trị 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,... Trong số này có một số là số nguyên tố còn số khác thì không. Câu hỏi đặt ra là đến lúc nào thì quá trình này dừng cho ra số nguyên tố.
Hai là phỏng đoán của Goldbach khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn 2 bằng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ 40 = 11 + 29. Giả thiết đã được xác nhận bởi những bảng kê số nhưng chưa từng được chứng minh.
30. Định lí cơ bản của số học! Nó là gì?
Một tính chất mà mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có là hoặc nó là số nguyên tố, hoặc nó có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố theo cách duy nhất.
Kết quả cho mỗi số nguyên được phân tích thành tích của các thừa số duy nhất như thế này được gọi là định lí cơ bản của số học.
Ví dụ, 30 có thể được phân tích thành 2 × 3 × 5 và không có cách nào khác, một trật tự sắp xếp khác của các thừa số, ví dụ 3 × 2 × 5, không được xem là một phân tích thừa số khác.
Định lí này còn được gọi là định lí phân tích thành thừa số duy nhất.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
31. Số nguyên tố sinh đôi là gì?
Một hiện tượng thú vị là sự xuất hiện của những cặp số nguyên tố còn gọi là số nguyên tố sinh đôi.
Một cặp sinh đôi là một cặp số nguyên tố có hiệu bằng 2, ví dụ như 11 và 13.
Các cặp số nguyên tố nhỏ hơn 1000, xếp theo thứ tự, là:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), và (881, 883).
32. Có phải các số nguyên tố sinh đôi cũng vô hạn về số lượng?
Ba mươi lăm cặp số vừa nêu ở trên là nằm giữa 1 và 1000. Nhưng danh sách có thể tiếp tục kéo dài đến vô hạn.
Một cặp sinh đôi khác là (4049, 4051).
Một cặp khác nữa là (1.000.000.009.649, 1.000.000.009.651).
Người ta ước đoán rằng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là vô hạn, nhưng chưa ai chứng minh được.
33. Tính chất chung cho các số nguyên tố sinh đôi là gì?
Mọi cặp số nguyên tố, trừ ngoại lệ là cặp số đầu tiên, tức cặp (3,5), có một tính chất chung nổi bật là tổng các số trong cặp luôn luôn chia hết cho 12.
Ví dụ, cặp (5,7) có tổng bằng 12, cặp (11,13) có tổng bằng 24, cặp (17,19) có tổng bằng 26, và vân vân, mỗi tổng đều chia hết cho 12.
34. Một hợp số có bao nhiêu ước số?
Đặt N = a^pb^qc^r là một hợp số, trong đó a, b, c là những số nguyên tố khác nhau, và p, q, r là các số nguyên dương.
Số lượng ước số khi đó là (p + 1)(q + 1)(r + 1).
Làm thế nào có được?
Xét tích số
(1 + a + a² + ... + a^p) (1 + b + b² + ... + b^q) (1 + c + c² + ... + c^r).
Tổng các số hạng trong tích này là (p + 1)(q + 1)(r + 1) và mỗi số hạng trong tích trên là một ước số của con số đã cho. Vì thế, số lượng ước số là (p + 1)(q + 1)(r + 1).
Đồng thời, không còn số nào khác có thể là ước số.
Trong các ước số này đã tính luôn cả 1 và số N.
35. Tính chất này được khái quát hóa như thế nào?
Nếu N = a^pb^qc^rd^s..., thì số lượng ước số tương tự sẽ là (p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1)..., trong đó đã tính cả 1 và số N.
36. Số 30 có bao nhiêu ước số, và chúng bằng bao nhiêu?
Vì 30 = 2 × 3 × 5 = 2¹ × 3¹ × 5¹,
nên số lượng ước số = 2 × 2 × 2 = 8.
Các ước số đó là 2, 3, 5, 6, 10, 15; 1 và 30.
37. Số 7056 có bao nhiêu ước số?
Vì 7056 = 2⁴ × 3² × 7²,
nên số lượng ước số = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 × 3 = 45.
Nếu trừ đi hai ước số tầm thường 1 và 7056 thì số lượng ước số đích thực = 43.
38. Làm thế nào xác định số mũ cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n! ?
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ phương pháp xác định.
Chúng ta hãy tìm số mũ cao nhất của 3 trong 100!, tức là tích 1.2.3....100.
Số nguyên 3 chỉ xuất hiện trong các số nguyên 3, 6, 9,...,99, tức là mỗi số nguyên chia hết cho 3.
Do đó, số lượng của chúng được cho bởi thương số của 100 và 3, tức là 33.
3 xuất hiện lần thứ hai trong các số nguyên 9, 18, 27,...,99, số lượng của chúng bằng thương của 100 chia 9, tức là 11.
3 xuất hiện lần thứ ba trong số nguyên 27, 54, 81.
Số lượng của chúng bằng thương số 100 chia 27, tức là 3.
3 xuất hiện lần thứ tư chỉ trong số 81.
Vì thế số mũ cao nhất cần tìm bằng 33 + 11 + 3 + 1 = 48.
Như vậy, để tìm số mũ cao nhất của một số nguyên tố p chứa trong n!, chúng ta tìm thương số của n chia lần lượt cho p, p², p³,... rồi cộng chúng lại.
Tương tự, ta có thể tìm số mũ cao nhất của 7 chứa trong 1000! là 164.
39. Định lí Fermat là gì?
Nếu p là một số nguyên tố, và N là số nguyên tố cùng nhau với p, thì N^{p – 1} – 1 là một bội số của p.
Đây chính là định lí Fermat.
Vì N là số nguyên tố cùng nhau với p, nên có thể nhân biểu thức trên với N, và chúng ta có được kết quả sau:
N^p – N là chia hết cho p với mỗi số nguyên tố p.
Như vậy, n² – n là chia hết cho 2.
Nói bằng lời, kết quả này có nghĩa là hiệu giữa bình phương của một số và chính số đó luôn luôn là một số chẵn.
Tương tự, n³ – n, n⁵ – n, n⁷ – n, n¹¹ – n,... lần lượt chia hết cho 3, 5, 7, 11,..., nhưng những kết quả tương tự không đúng đối với n⁴ – n, n⁶ – n,... vì 4, 6 không phải là số nguyên tố.
40. Nhưng làm thế nào n⁵ – n chia hết cho 3, chứ không riêng chia hết cho 5?
Vì 5 là số nguyên tố, do đó theo định lí Fermat n⁵ – n là chia hết cho 5.
Mặt khác,
n⁵ – n = n (n⁴ – 1)
           = n (n² – 1) (n² + 1)
           = n (n – 1) (n + 1) (n² + 1)
           = (n – 1) n (n + 1) (n² + 1)
(n – 1) n (n + 1) là kí hiệu cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp, và chia hết cho 3! hoặc 6. Do đó, n⁵ – n là chia hết cho 5 × 6, tức là 30.
Lập luận tương tự, ta có n⁷ – n còn chia hết cho 7 × 6, tức là 42, chứ không riêng chia hết cho 7.
41. Từ định lí Fermat còn suy ra được những kết quả gì khác?
Ta suy ra được những kết quả sau đây:

1. 1.Mỗi số chính phương là có dạng 5n hoặc 5n ± 1, trong đó n là một số nguyên dương.
2. 2.Mỗi số có căn bậc ba nguyên là có dạng 9n hoặc 9n ± 1.
3. 3.Một số vừa là chính phương vừa có căn bậc ba nguyên thì có dạng 7n hoặc 7n + 1.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
42. Định lí Wilson là gì?
Định lí Wilson phát biểu rằng:
Số (n – 1)! + 1 là chia hết cho n, nếu và chỉ nếu n là số nguyên tố.
Ví dụ, với n = 5, (n – 1)! + 1 bằng 25 chia hết cho 5, vì 5 là số nguyên tố.
Nhưng nếu n = 6, thì (n – 1)! + 1 bằng 121 không chia hết cho 6, vì 6 không phải là số nguyên tố.
43. Người ta sử dụng phép quy nạp toán học như thế nào để chứng minh tính chia hết?
Phương pháp quy nạp toán học trong đó chúng ta đi từ phát biểu riêng đến phát biểu khái quát thỉnh thoảng có thể được sử dụng để chứng minh một số kết quả về tính chia hết.
Lấy ví dụ, chúng ta chứng minh rằng 3²ⁿ – 2n – 1 là chia hết cho 2, với mọi giá trị nguyên dương của n.
Ta hãy kí hiệu biểu thức trên là f(n), khi đó
f(n) = 3²ⁿ – 2n – 1                             (1)
biến đổi n thành n + 1 ta có
f(n + 1) = 3²ⁿ⁺² – 2(n + 2) – 1
             = 9. 3²ⁿ – 2n – 3                    (2)
Nhân (1) với 9, rồi lấy (2) trừ (1), ta được
f(n + 1) – 9f(n) = – 2n – 3 – 9 (–2n – 1)
                         = –2n – 3 + 18 n + 9
                         = 16n + 6
                         = 2 (8n + 3)
Do đó, nếu f(n) chia hết cho 2, thì f(n + 1) cũng chia hết cho 2.
Cụ thể, f(1) = 3² – 2 – 1 = 6, chia hết cho 2, nên f(2) chia hết cho 2, rồi f(3) cũng vậy, cứ thế. Như vậy, kết quả là đúng cho mọi trường hợp.
Những kết quả sau đây có thể được chứng minh tương tự:
44. Các số Pythagoras là gì?
Các số nguyên dương x, y, z được gọi là số Pythagoras nếu chúng thỏa mãn phương trình: x² + y² = z².
Hai ví dụ quen thuộc của những số như thế là 3, 4, 5 và 5, 12, 13.
Ở đây ta có 3² + 4² = 5², và 5² + 12² = 13².
Các số Pythagoras luôn làm thành ba cạnh của một tam giác vuông.
Đặc điểm nổi bật nhất của tam giác vuông được cho bởi định lí Pythagoras. Định lí phát biểu rằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền.

Theo định lí Pythagoras, 3² + 4² = 5².
Các số như vậy được cho bởi
Trong đó m, n là hai số nguyên dương bất kì, và m lớn hơn n.
45. Còn tổng lũy thừa cao nhất của các số nguyên thì sao? Hay định lí cuối cùng của Fermat là gì?
Một động thái tự nhiên là tìm kiếm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn
Tất cả những trường hợp này được gộp chung lại như sau:
Tìm các số nguyên x, y, z sao cho xⁿ + yⁿ = zⁿ ,trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.
Vào khoảng năm 1637, Fermat đã dành thời gian nghiên cứu bài toán này và đi tới kết luận rằng không thể tìm được những số nguyên như thế.
Kết quả này được gọi là định lí cuối cùng của Fermat.
Ông có đề cập rằng ông đã tìm ra một cách chứng minh không thể chối cãi của kết quả này, nhưng lề của quyển sách chỗ ông viết là quá hẹp để ghi nó ra. Fermat có thói quen ghi lại một số ý tưởng của ông trên lề của những quyển sách toán của ông.
46. Phép chứng minh đó có được tìm thấy lại hay không?
Một số nhà toán học trong hơn ba trăm năm qua đã cố gắng tìm lại phép chứng minh đó nhưng chẳng có ai thành công.
Định lí đã được chứng minh cho một vài giá trị của n, và người ta chưa tìm thấy ngoại lệ nào, nhưng một chứng minh tổng quát đúng cho mọi giá trị của n cho đến nay vẫn còn né tránh các nhà toán học.
47. Mỗi số nguyên dương có thể được biểu diễn theo tổng của bốn bình phương hay không?
Một tính chất thú vị đúng cho mọi số nguyên dương là mỗi số nguyên như thế có thể được biểu diễn ở dạng x² + y² + z² + u², các giá trị bằng 0 của x, y, z, u là không thể tránh khỏi.
Ví dụ,
Vân vân.
Vân vân.
48. Các biểu diễn như trên có là duy nhất hay không?
Không. Có thể biểu diễn một con số theo kiểu như vậy bằng nhiều cách. Ví dụ
10007    = 99² + 14² + 3² + 1²
                = 74² + 65² + 15² + 9²
49. Những kết quả như thế có tồn tại cho số mũ nguyên 3 và số mũ cao hơn hay không?
Các nghiên cứu đã được thực hiện theo chiều hướng này kể từ năm 1770 và các kết quả liên tục được cải thiện.
Những kết quả thu được cho đến nay đủ để phát biểu rằng mỗi số nguyên N đủ lớn là tổng của 9 mũ 3, 19 mũ 4, 41 mũ 5, 87 mũ 6, 193 mũ 7, 425 mũ 8, 949 mũ 9 hoặc 2113 mũ 10.
Giới hạn trên của số N chưa được xác định, nhưng nó phải là rất lớn.
50. Giả thiết Goldbach về những con số lớn là gì?
Vào năm 1742, Goldbach đã nêu giả thiết rằng mỗi con số lẻ N đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của ba số nguyên tố, tức là
Số lẻ N = p₁ + p₂ + p₃
nhưng giả thiết thật ra được chứng minh bởi Vinogradov vào năm 1937.
Nếu chúng ta cộng thêm 3 vào hai vế của biểu thức liên hệ này, thì ta có
Số chẵn N = p₁ + p₂ + p₃ + 3
tức là mỗi con số chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của bốn số nguyên tố.
Người ta còn biết rằng mỗi số nguyên đủ lớn là tổng của tối đa 20 số nguyên tố.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?
Xét những bài toán sau đây:

1. Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
2. Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
3. A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?

Thực thể chưa biết như tuổi, tiền và quãng đường đi trong những bài toán này được gán cho tên gọi x và bài toán được phát biểu theo kí hiệu x đó.
Phát biểu như thế này về x thường liên hệ hai biểu thức bởi một dấu bằng, vì thế nó được gọi là phương trình. Phương trình này là đúng đối với giá trị hoặc những giá trị nhất định của biến x, và không đúng với những giá trị khác.
Giải phương trình có nghĩa là xác định những giá trị của biến x để cho phương trình nghiệm đúng. Ví dụ, phương trình 4x = 12 chỉ đúng với x = 3, nên 3 được gọi là nghiệm của phương trình 4x = 12.
52. Những bài toán này được giải như thế nào?
Trong bài toán 1,
Ta gọi tuổi của B là x.
Thì tuổi của A là 2x.
Mười năm trước, tuổi của A phải là (2x – 10).
Và tuổi của B là (x – 10).
Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy tuổi của B là 15, và tuổi của A gấp đôi tuổi của B: 30.
Trong bài toán 2, ta giả sử B có x rupee, thì tiền của A là 2x rupee.
Sau khi xài 10 rupee, A còn lại (2x – 10) rupee, B còn lại (x – 10) rupee.
Theo bài toán, tiền của A lúc này bằng bốn lần tiền của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Tiền của B là 15 rupee, và tiền của A gấp đôi của B: 30 rupee.
Trong bài toán 3,
Ta giả sử B đi x dặm, thì A đi 2x dặm.
Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm thì quãng đường A đi được là (2x – 10), và B đi được (x – 10) dặm.
Theo bài toán, quãng đường của A bằng bốn lần quãng đường của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy B đi được 15 dặm và A đi được 15 dặm.
53. Nói phương trình là một mô hình toán học thì có nghĩa là gì?
Ba bài toán ở trên liên quan đến những thực thể rõ ràng khác nhau như tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng cùng một phương trình, tức là (2x – 10) = 4 (x – 10) là phương tiện cần thiết để giải chúng.
Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Như vậy, trong khi chúng ta chỉ giải mô hình, nhưng bài toán cũng đã được giải.
54. Mô hình “có nhiều điểm chung” với bài toán có nghĩa là sao? Có phải mô hình không đại diện hoàn toàn cho bài toán?
Tập hợp số tự nhiên 1, 2, 3,... là ví dụ đơn giản nhất của một mô hình toán học. Nó được sử dụng để đếm các vật khi mà toàn bộ tính chất của các vật đó bị bỏ qua, trừ số lượng của chúng.
Nhưng nếu những yếu tố khác được xét đến, thì chúng có thể dẫn tới những kết luận kì lạ hoặc bất ngờ như câu chuyện dưới đây sẽ làm rõ.
Trong lớp bình dân học vụ ở một ngôi làng nọ, người thầy dạy đang cố gắng giảng giải phép toán trừ như sau:
Thầy: Có 11 con cừu, 7 con nhảy ra khỏi chuồng thì sẽ còn lại mấy con?
Trò: Không còn con nào cả!
Thầy: Vì sao vậy? Nếu 7 con chạy qua bên này rồi thì bên kia còn lại 4 con chứ! Sao lại không còn con nào?
Mấy người học trò vẫn chưa chịu thôi.
Trò: Trời ơi, có lẽ thầy biết làm toán đó. Nhưng thầy không hiểu mấy con con cừu rồi!
55. Thủ tục giải các bài toán đại số là gì?
Để giải các bài toán, chúng được chuyển thành các phương trình. Cách giải các phương trình là chủ để trọng tâm của đại số học, phần tiếp theo sẽ giới thiệu ngắn gọn về chúng.
56. Phương trình bậc nhất là gì?
Một phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó x là một thực thể chưa biết, được gọi là một phương trình bậc nhất.
Nó có thể được giải một cách dễ dàng.
Nếu ax + b = 0 thì ax = - b và x = - b/a.
Trong những bài toán đã nêu ở trên, phương trình 2x = 30 là một phương trình bậc nhất.
57. Phương trình bậc hai là gì?
Một phương trình bậc hai thì có dạng ax² + bx + c = 0.
Nó có hai nghiệm, mặc dù đôi khi hai nghiệm đó trùng nhau.
58. Phương trình bậc hai được giải như thế nào?
Công cụ chính để giải phương trình bậc hai là một công thức được suy luận ra như sau:
Trước tiên, chia mỗi số hạng của phương trình cho a. Số hạng c/a được chuyển sang vế bên kia cùng với dấu trừ và sau đó cộng b²/4a² vào cả hai vế, rồi lấy căn bậc hai cả hai vế, tức là
ax² + bx + c = 0


59. Những phương pháp nghiệm này đã được phát triển khi nào?
Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.
60. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Một phương trình bậc nhất thì có một nghiệm, bậc hai có hai nghiệm, bậc ba có ba nghiệm, và cứ thế số nghiệm theo bậc của phương trình.
Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.
61. Có phải mọi phương trình đại số đều có nghiệm thực?
Không. Có những phương trình như x² + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.
Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm là i và – i, trong đó i là kí hiệu của √-1, tức là căn bậc hai của – 1.
Có thể nói rằng mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm, cái cần thiết là công nhận tồn tại số phức – cái đã có thời người ta phủ nhận.
Một con số có dạng a + it được gọi là số phức. Nếu a = 0 thì con số đó đôi khi được gọi là số ảo.
Nhưng phương trình x² – 2 = 0 thì có hai nghiệm thực, √2 và – √2.
Những nghiệm như thế đã gây khó khăn cho các nhà toán học, cho đến khi số vô tỉ được thừa nhận là một tập số.
Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
62. Mở rộng hệ thống số thì có lợi gì? Hay định lí cơ bản của đại số học là gì?
Với hệ thống số mở rộng bao gồm toàn bộ số tự nhiên, phân số, số âm, số vô tỉ và số phức, người ta đã có thể phát biểu một định đề rất quan trọng và đẹp đẽ gọi là định lí cơ bản của đại số học.
Nó phát biểu rằng mọi phương trình đại số bậc n với các hệ số thực hoặc hệ số phức luôn luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức.
Nó được gọi là định lí cơ bản của đại số học bởi vì khi nó được Gauss chứng minh lần đầu tiên vào năm 1799, nghiên cứu đại số học chỉ mới hạn chế với lí thuyết của các phương trình. Mặc dù định lí cực kì quan trọng nhưng tên gọi như thế không còn hợp lí trước sự thay đổi to lớn về bản chất và quy mô của đại số học.
Một hệ quả rất hữu ích của định lí này là mỗi phương trình đại số bậc n không phải có một mà có chính xác n nghiệm. Tất nhiên, ở đây ta giả sử rằng một nghiệm trùng lắp cũng được đếm là một nghiệm.
63. Tại sao định lí cơ bản của đại số học được gọi là định lí tồn tại?
Nó được gọi là định lí tồn tại vì nó chỉ đơn giản cho chúng ta biết số lượng nghiệm tồn tại đối với một phương trình cho trước, chứ nó không đề cập tới phương pháp xác định nghiệm.
64. Định lí này có đúng cho mọi loại phương trình không?
Không. Định lí chỉ đúng đối với các phương trình đại số vì có tồn tại những phương trình phi-đại số không có nghiệm gì cả!
Ví dụ, phương trình a^x = 0, trong đó a là một số thực, không có nghiệm nào hết!
65. Những phương trình nào được gọi là phi-đại số?
Sau đây là một vài phương trình phi-đại số:
Những phương trình này là phi-đại số vì chúng chứa các biểu thức logarithm, lũy thừa hoặc lượng giác.
66. Hệ thống số có được khái quát hóa vượt ra ngoài số phức hay không?
Đã có những nỗ lực khái quát hóa thêm khái niệm số nhưng không thành công cho lắm.
Các quaternion và số siêu phức đã được phát minh để có sự khái quát hóa như thế.
67. Quaternion là gì?
Một quaternion là một kí hiệu thuộc loại a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực, và i, j, k là các kí hiệu toán tử.
Tổng của hai quaternion được định nghĩa đơn giản. Ví dụ, tổng của hai quaternion
x = x₀ + x₁i + x₂j + x₃k
và y = y₀ + y₁i + y₂j + y₃k
là x + y = (x₀ + y₀) + (x₁ + y₁)i + (x₂ + y₂)j + (x₃ + y₃)k.
Tích của hai quaternion được định nghĩa bằng cách sử dụng luật phân phối và những quy ước sau đây:
i² = j² = k² = - 1
ij = - ji = k
jk = - kj = i
ki = - ik = j
Chúng được phát minh bởi William R. Hamilton.
68. Số siêu phức là gì?
Một số siêu phức được kí hiệu bởi biểu thức
E₁x₁ + E₂x₂ +… + E_nx_n,
trong đó x₁, x₂,…, x_n là các số thực, và E₁, E₂,…, E_n­ là các kí hiệu toán tử.
Nó còn được gọi là vector n chiều, và được sáng tạo bởi Grassmann, một người đương thời với Hamilton.
Lí thuyết số siêu phức bao hàm các quaternion, nên các quaternion có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của số siêu phức.
69. Tại sao những mở rộng này của hệ thống số ít được biết tới?
Có nhiều lí do.
Các nhà vật lí và các nhà toán học ứng dụng thấy chúng quá khái quát và phức tạp cho những nhu cầu hằng ngày của họ.
Thứ hai, một công cụ toán học đơn giản hơn nhiều gọi là Giải tích Vector đã được phát triển, do sức mạnh to lớn của nó mà nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu như mỗi ngành vật lí toán và nhiều lĩnh vực khác.
Thứ ba, các quy ước mà Hamilton sử dụng để định nghĩa tích của hai quaternion hay các quy tắc mà Grassmann lập ra để kết hợp hai số siêu phức không thỏa mãn sức mạnh của tính hợp thức của toán học.
70. Vậy câu hỏi cần trả lời là gì: Khái niệm số có được mở rộng thêm vượt ra ngoài hệ số phức hay không?
Câu trả lời là Không, và đó là một bước ngoặc lớn.
Weierstrass đã chứng minh vào khoảng năm 1860, và sau này được Hilbert chứng minh đơn giản hơn nữa, rằng không thể có sự khái quát hóa nào thêm nữa theo xu hướng đặc biệt này.
Chúng ta đã đi tới cuối con đường.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch