111. NHÓM là gì?

Một tập hợp G gồm các phần tử a, b, c,..., trên đó một toán tử o được định nghĩa, được nói là tạo thành một NHÓM đối với toán tử đó nếu các tính chất sau đây đúng cho mọi a, b, c,... thuộc G:

(i)                  a o b thuộc tập G (tính đóng).

(ii)                a o (b o c) = a o (b o c) (tính kết hợp).

(iii)               Tồn tại một phần tử đặc biệt, gọi là phần tử đồng nhất e thuộc tập G sao cho e o a = a với mọi a thuộc G (tồn tại phần tử đồng nhất).

(iv)              Với mọi phần tử a thuộc G, tồn tại một phần tử a^-1 thuộc G sao cho a o a^-1 = e (tồn tại phần tử đối nghịch).

112. Tập hợp các số nguyên với phép cộng có tạo thành một nhóm hay không?

Ở đây toán tử o kí hiệu cho phép cộng bình thường, tức là +.

(i)                  Vì tổng của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, nên tính đóng được thỏa mãn.

(ii)                Ba số nguyên a, b, c bất kì cộng lại theo hai dãy phối hợp cho tổng bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(iii)               Phần tử đồng nhất đối với phép cộng là 0, tức là số không, cho nên a + 0 = a là một phát biểu đúng cho mọi số nguyên a.

(iv)              Mỗi phần tử a có một phần tử đối là – a, nó cũng là một số nguyên. Ví dụ, đối của 2 là – 2, và 2 + (- 2) = 0, trong đó 0 là phần tử đồng nhất.

Như vậy, tập hợp các số nguyên thỏa mãn cả bốn tính chất nên nó tạo thành một nhóm đối với phép cộng.

113. Các số nguyên có tạo thành một nhóm đối với phép nhân hay không?

(v)                Tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, do đó tính đóng được thỏa mãn.

(vi)              Ba số nguyên a, b, c bất kì nhân theo hai dãy phối hợp cho tích bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(vii)             Phần tử đồng nhất đối với phép nhân là 1, nó là một số nguyên, cho nên tính chất thứ ba cũng được thỏa mãn.

(viii)           Tính chất thứ tư không được thỏa mãn, vì nghịch đảo của một số nguyên không phải là một số nguyên mà là một phân số (ngoại lệ khi số nguyên đó là 1 hoặc - 1).

Lấy ví dụ, 2 × ½ = 1, cho nên nghịch đảo của số nguyên 2 là phân số ½ và không phải là số nguyên.

Vì một trong bốn yêu cầu của một nhóm không được thỏa mãn, nên các số nguyên không tạo thành một nhóm đối với phép nhân.

114. Nhóm Abel là gì?

Một nhóm G được nói là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, nếu có thêm tính giao hoán của toán tử cũng được thỏa mãn, tức là a o b = b o a với mọi a, b thuộc G.

Các số nguyên đối với phép cộng tạo thành một nhóm Abel, vì a + b = b + a là đúng với mọi số nguyên.

Sự giao hoán hàm ý rằng trật tự của các phần tử trong toán tử không gây ra sự khác biệt.

Vì 2 + 3 = 3 + 2, và tính chất này đúng với hai số nguyên bất kì, nên phép cộng được nói là có tính giao hoán đối với tập hợp các số nguyên.

115. Những thực thể nào có thể là các “phần tử” của một nhóm và những loại toán tử nào có thể được định nghĩa trên chúng?

Các phần tử của một nhóm có thể là các con số như trong số học, hoặc các điểm như trong hình học. Chúng có thể là các phép biến đổi như trong đại số hoặc hình học, hoặc bất cứ cái gì.

Toán tử có thể là phép cộng và phép nhân như trong đại số. Nó có thể là một phép quay xung quanh một điểm hoặc một trục như trong hình học. Nó có thể là bất kì quy tắc nào kết hợp hai phần tử thuộc một tập hợp để tạo ra một phần tử thứ ba thuộc tập hợp đó, như trong trường hợp hai phép biến đổi áp dụng liên tiếp cho ta một phép biến đổi thứ ba.

116. Cái gì đã dẫn tới lí thuyết nhóm?

Ban đầu, lí thuyết nhóm được phát triển để khảo sát vì sao một số phương trình bậc cao hơn bốn có thể giải được nghiên cứu khai căn còn những phương trình khác thì không giải được như thế.

Trong lúc tìm tòi như thế, lần đầu tiên người ta quan sát thấy sự đối xứng của các nghiệm của phương trình là cái cơ bản cho phép giải cả bài toán.

Sau này, lí thuyết nhóm được dùng làm một công cụ để nghiên cứu những cái cân đối quan trọng, ví dụ như các đối xứng, của thế giới thực tế.

117. Nghiên cứu các đối xứng như thế nhằm mục đích gì?

Khảo sát các đối xứng đa dạng có thể dẫn tới những hiểu biết sâu sắc không thể nào có được bằng cách suy biện trực tiếp.

Lí thuyết nhóm giúp làm sáng tỏ các đối xứng, thành ra giúp người ta hiểu sâu hơn các hiện tượng khác nhau.

118. Lí thuyết nhóm còn được áp dụng ở đâu?

Nó được áp dụng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong hình học, tinh thể học, vật lí học, hóa học, sinh học phân tử, và lí thuyết không gian và thời gian, nơi các quy luật đối xứng có một vai trò quan trọng.

119. Đẳng cấu là gì?

Cái cũng có khả năng xảy ra là hai nhóm với các loại phần tử và toán tử khá khác nhau nhưng về cơ bản lại giống nhau theo một ý nghĩa trừu tượng nào đó.

Ví dụ, xét nhóm {I, R, R¹} của phép quay của một tam giác đều lần lượt qua 0^o, 120^o, 240^o, và nhóm {1, w, w²} của căn bậc ba của đơn vị đối với phép nhân.

Sau đây là bảng nhân cho hai nhóm:

Bảng thứ nhất cho biết rằng:

Các phần tử thuộc hàng trên cùng, khi nhân với I cho I, R, R’; khi nhân với R cho R, R’, I; khi nhân với R’ cho R’, I, R.

Tương tự cho bảng thứ hai.

Bạn có thể thấy rằng bảng thứ nhất trở nên giống hệt với bảng thứ hai nếu I, R, R’ được thay tương ứng bởi 1, w, w².

Hai nhóm thể hiện một sự tương ứng một-một giữa các phần tử tương ứng, và tích của chúng, được gọi là đẳng cấu với nhau.

Hai nhóm đẳng cấu được nói là giống hệt về mặt trừu tượng.

120. Mục đích là gì nếu hai nhóm khác nhau được biết có cấu trúc giống nhau?

Nếu hai nhóm được biết có cấu trúc giống nhau, thì người ta nghiên cứu nhóm quen thuộc và sau đó áp dụng kết quả cho nhóm kia.

Như vậy, lí thuyết nhóm làm sáng tỏ sự đồng nhất ẩn sau những khác biệt biểu kiến, và mở ra hướng khai thác thông tin mà nếu không có nó thì không thể đạt tới.

121. Lí thuyết nhóm được phân chia thành một vài ngành nhỏ như thế nào?

Các phương pháp và các khái niệm của lí thuyết nhóm tỏ ra cực kì quan trọng không những cho nghiên cứu các quy luật đối xứng mà còn cho việc giải nhiều bài toán khác.

Vì mỗi lĩnh vực ứng dụng có những bài toán riêng đặc thù của nó, cho nên số lượng tăng dần của những lĩnh vực này đòi hỏi người ta sáng tạo ra những ngành mới của lí thuyết nhóm thích hợp cho những chủ đề và những ngữ cảnh khác nhau.

Do đó, lí thuyết nhóm, đó là một thực thể khi xét theo những khái niệm căn bản của nó, phân chia thành một số ngành ít nhiều độc lập nhau.

122. Những ngành phân chia này là gì?

Một số ngành được kể ra như sau:

Lí thuyết nhóm đại cương,

Lí thuyết nhóm hữu hạn,

Lí thuyết nhóm liên tục,

Lí thuyết nhóm rời rạc,

Lí thuyết biểu diễn và đặc trưng của nhóm.

123. VÀNH là gì?

Một vành là một hệ với hai toán tử.

Một tập hợp R của các phần tử trên đó hai toán tử + và . (gọi là phép cộng và phép nhân) được định nghĩa, được gọi là một vành nếu:

(i)                  Phép cộng thỏa mãn tính đóng, tính kết hợp và tính giao hoán.

(ii)                R chứa số đối cho mỗi phần tử và đồng thời chứa phần tử đồng nhất zero.

(iii)               Phép nhân thỏa mãn tính đóng và tính kết hợp, và được phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, và (b + c).a = b.a + c.a đối với mọi a, b, c thuộc R.

Tóm lại, một vành

(1)    Tạo thành một nhóm giao hoán đối với phép cộng, và

(2)    Toán tử gọi là phép nhân phải thỏa mãn tính đóng, tính phân phối và kết hợp.

124. Nêu một ví dụ quen thuộc của vành?

Dưới phép cộng và phép nhân các số nguyên, thì tập hợp các số nguyên là một vành.

125. Vành giao hoán là gì?

Nếu toán tử gọi là phép nhân còn có tính giao hoán, tức là a.b = b.a đúng cho mọi phần tử, thì vành đó được gọi là vành giao hoán.

126. Nhưng phép nhân chẳng phải luôn giao hoán đó sao?

Không. Không phải luôn luôn.

Kiến thức phổ thông là 4 × 5 = 5 × 4, tức là a × b = b × a.

Nhưng tính chất này chỉ đúng với các hệ quen thuộc như tập hợp số nguyên, phân số, số hữu tỉ, vân vân.

Có những hệ trong đó tính chất này không đúng.

Các vector và ma trận là thí dụ điển hình.

127. Vector là gì?

Một đoạn thẳng bất kì được gán chiều được gọi là một vector.

Như vậy, một đoạn thẳng từ O đến P là một vector, nó có độ dài là OP và có chiều từ O đến P.

Lực và vận tốc là ví dụ của các đại lượng vector.

Tổng vector là một tổng hiểu theo nghĩa sau đây:

128. Trong trường hợp nào tích của hai vector là không giao hoán?

Với các vector, người ta định nghĩa hai loại tích.

Một được gọi là tích vô hướng, hay tích chấm. Nó có tính giao hoán nên với hai vector a và b bất kì, ta có a.b = b.a.

Loại thứ hai được gọi là tích vector, hay tích chéo. Nó không có tính giao hoán, vì với hai vector a và b bất kì, ta có (a × b) = - (b × a).

129. Ma trận là gì?

Một sắp xếp của các con số theo dạng hình chữ nhật được gọi là một ma trận.

là một ma trận có 2 hàng và 3 cột, và được gọi là một ma trận cấp 2 × 3.

Một ma trận có m hàng và n cột được gọi là một ma trận m × n (đọc là ma trânh m nhân n).

130. Trong trường hợp nào tích của hai ma trận là không giao hoán?

Tích của hai ma trận thường là không giao hoán.

131. Lí thuyết ma trận được áp dụng ở đâu?

Ma trận có ích lợi lớn trong nhiều ngành toán học cao cấp, ví dụ như các phương trình đại số và phương trình vi phân, thiên văn học, cơ học, lí thuyết mạch điện, cơ học lượng tử, vật lí hạt nhân và khí động lực học.

132. Thế nào là một MIỀN NGUYÊN?

Một vành giao hoán được gọi là một miền nguyên, nếu

(i)                  Nó có phần tử đơn vị.

(ii)                Nó không có ước số zero.

133. Ước số zero nghĩa là gì?

Nói ước số zero có nghĩa là các phần tử khác không a, b sao cho tích của chúng ab = 0.

Một ví dụ của những ước số như thế là trong cái gọi là modulo số học n.

Với một số nguyên n cho trước, người ta thu được các số như thế bằng cách chỉ sử dụng các số nguyên 0, 1, 2,..., n – 1.

Phép cộng và phép nhân được định nghĩa là số dư sau khi chia cho n của tổng và tích ban đầu của hai số nguyên bất kì của hệ.

Ví dụ, nếu n = 6 thì

2 + 4 ≡ 0, 2 + 5 ≡ 1, 3 + 5 ≡ 2, bởi vì

2 + 4 tức là 6, chia 6 cho số dư 0,

2 + 5 tức là 7, chia 6 cho số dư 1,

và 3 + 5 tức là 8, chia 6 cho số dư 2.

Tương tự, 2 × 3 ≡ 0, 4 × 5 ≡ 2.

2 và 3 được gọi là ước số zero của hệ gọi là “các số nguyên modulo 6”, bởi vì tích của chúng đồng dư với 0, nhưng 2 và 3 đều khác không.

Kí hiệu ≡ đọc là “đồng dư với”.

Nếu n là số nguyên tố thì không có ước số zero nào.

134. Trong một hệ thống toán học nhất định, 2 × 2 = 2 × 5. Hệ đó được gọi là gì?

Hệ đó được gọi là “các số nguyên modulo 6”, trong đó 4 đồng dư với 10, modulo 6,

Hay 4 ≡ 10 (mod 6).