THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 43/d

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

                         ĐẠI CHÚNG

--------------------------

PHẦN V: THỐNG NHẤT

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

                                                         A. Anhxtanh

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad

CHƯƠNG III: THỰC - ẢO

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

(tiếp theo)

Có thể nói Vũ Trụ Thực Tại là Vũ Trụ mà các miền Không Gian tương phản tuyệt đối nhau “đã” chồng chập nhau, lồng vào nhau để vừa là chúng vừa không phải chúng, là cả hai mà cũng không phải cả hai. Phải chăng, chính sự chồng chập Không Gian là nguyên nhân sâu xa nhất dẫn đến sự thể hiện lập lờ nước đôi vô tiền khoáng hậu của Vũ Trụ Thực Tại khách quan, gợi ý cho quan sát và tư duy đến với quan niệm hai chân lý, thậm chí là ba chân lý cùng tồn tại ở một đối tượng của sự nhận thức , mà ở những góc độ khác nhau có thể thấy: đúng hoặc sai, vừa đúng vừa sai, không đúng mà cũng không sai, và phải như vậy mới đích thực là Tự Nhiên?

Khi hai miền Không Gian thực - ảo chập làm một thì tạo nên một Không Gian trung dung và vì chúng ta, những sự thực không thể phủ nhận được của tư duy nhận thức (mặc kệ những người tự cho là đã “đại ngộ” cứ khăng khăng phủ nhận bản thân họ là “giả hợp” chứ không “thực”!), đang hiện hữu trong đó nên nó chính là Vũ Trụ Thực Tại khách quan (đúng hơn là Vũ Trụ hiện thực khách quan). Trong Vũ Trụ Thực Tại Khách quan, mọi đặc tính tuyệt đối vủa Tự nhiên Tồn tại đều thể hiện ra trước chủ thể quan sát và tư duy nhận thức một cách gián tiếp và tương đối.

17.-  Nếu tượng trưng Vũ Trụ Thực tại là mặt phẳng (vô biên) ở hình 11/b và nếu cho xuất hiện một điểm A ở đó thì A chỉ là điểm tương đối và được qui ước là không có nội tại. Không thể xác định được tuyệt đôi vị trí của điểm A trong Vũ Trụ Thực Tại. Bởi vì bản thân Vũ Trụ Thự Tại là hoàn toàn bất định về vị trí trước một hệ quan sát ở “trong lòng” Nó. Chỉ có thể quan niệm được Vũ Trụ “đang ở duy nhất chỗ đó”, vô biên mà cũng hữu biên, không có trong – ngoài mà cũng có trong – ngoài, không có trung tâm mà cũng có trung tâm, có một tâm mà cũng có vô vàn tân, chỉ có một phía đồng thời cũng có vô kể phía… Nếu cho rằng điểm A đang nằm ở “rìa” Vũ Trụ thì cũng đúng bởi vì có thể phân định tương đối (qui ước) đâu là trong và đâu là ngoài, nhưng cũng sai vì Vũ Trụ chỉ có một phía nên từ điểm A nhìn theo bất cứ phương chiều nào trong vô hạn chiều (vô hạn phía) thì cũng chỉ thấy một Không Gian thuần nhất, duy nhất. Nghĩa là dù điểm A có ở rìa Vũ Trụ đi nữa thì nó vẫn đang ở đâu đó “trong” Vũ Trụ và nếu chọn nó làm trung tâm của Vũ Trụ thì cũng… khó mà bác bỏ được. Vật lý thiên văn hiện nay cho thấy từ Trái đất quan sát thì hiện tượng giản nỡ Vũ Trụ biểu hiện đồng đều ở mọi phía và nếu có cho phép Trái Đất là trung tâm Vũ Trụ thì cũng… được thôi.

Nếu gọi A là một điểm hình học thì nó là một thực thể có kích thước nhỏ tuyệt đối của Vũ Trụ hình học và cũng là của Vũ Trụ hiện thực (Vũ Trụ Thực Tại ở tầm vĩ mô theo qui ước được rút ra từ quá trình quan sát và chiêm nghiệm của con người). Có thể lấy điểm A làm tâm, vẽ bất cứ đường tròn nào và như thế, có thể vẽ được rất nhiều đường tròn có đường kính khác nhau đồng tâm ở A. Làm như vậy, chúng ta đã “vô tình” minh họa sự phân tầng qui mô Không Gian trong Vũ Trụ Thực Tại. Rõ ràng, sự phân tầng qui mô đó là có tính chủ quan, qui ước. Tuy nhiên, mặt khác, nó đã phản ánh đúng rằng trong Vũ Trụ hiện thực, thực sự là có sự phân tầng Không Gian về qui mô trong mối quan hệ giữa đại và tiểu (lớn - nhỏ). Vì A chỉ là điểm nhỏ nhất của Vũ Trụ tầm qui mô mà thôi, và hơn nữa, A có thể ở bất cứ vị trí nào trong Vũ Trụ ấy, cho nên sự phân tầng qui mô Không Gian trong Vũ Trụ hiện thực chỉ có tính tương đối, qui ước.

Bây giờ, qua A, chúng ta “vẽ” một đường thẳng t chẳng hạn. Hiển nhiên là đường thẳng t sẽ chia các đường tròn đồng tâm A thành hai nửa bằng nhau và do đó nó “chứa” tất cả các đường kính của các đường tròn ấy và do đó nó “chứa” tất cả các đường kính của các đường tròn ấy và do chồng chập Không Gian mà bản thân nó cũng đóng vai trò là đường kính D_V của Vũ Trụ Thực Tại. Nếu chu vi của miền Vũ Trụ thực trong phân định tuyệt đối là thì chu vi của Vũ Trụ Thực Tại (do chồng chập ảo - thực) phải được thấy là:

              

Một đàng, đường kính của Vũ Trụ Thực tại phải là D_V, đằng khác, chu vi của nó lại phải bằng . Thật là lạ đời! Giả sử rằng chúng ta có thể hành trình trên đường chu vi của Vũ Trụ Thực Tại và nếu chúng ta đánh dấu điểm xuất phát thì coi như chúng ta hành trình trên đường tròn có độ cong tuyệt đối và có đường kính D_V. Khi đi hết quãng đường , đáng lẽ chúng ta phải về đúng điểm xuất phát đã đánh dấu thì lại không thấy điểm đó đâu cả. Vì biết rằng trong suốt cuộc hành trình, chúng ta luôn quan sát kỹ lưỡng và không thể có cái gì xóa được dấu mốc mà chúng ta đã tạo ra lúc xuất phát, cho nên chúng ta sẽ nghĩ rằng, cần phải tiếp tục hành trình. Sau khi hành trình thêm một quãng có độ dài đúng bằng nữa, chúng ta mới thấy đã về được đúng điểm xuất phát. Để lý giải hiện tượng này, chúng ta chỉ còn một cách duy nhất là “bám vào” dải bằng Môbinx mà suy ra rằng “con đường” có vẻ trùng với đường tròn chu vi của Vũ Trụ thực nhưng dài gấp đôi chính là đường chu vi của Vũ Trụ Thực Tại. Nó có tính một phía và chúng ta cũng đã từng gọi nó là “đường giả tròn”.

Khi D_V cũng chính là đường kính của Vũ Trụ Thực Tại thì đường kính cong chuẩn của nó cũng là:

              

Nếu ký hiệu đường kính có độ cong tuyệt đối là D_TN thì đường kính cong đó bằng:

              

(với quan niệm đường kính đúng bằng tổng độ dài hai cạnh của lục giác đều nội tiếp đường tròn).

Từ nay, chúng ta gọi D_TN là “đường kính cong tự nhiên” và là “độ cong tuyệt đối tự nhiên”. Hình minh họa của đường kính cong này được thể hiện trên hình 11/b.

18.-  Vì Vũ Trụ Thực Tại có độ cong cực tiểu tuyệt đối là , nên thực ra không thể “hiện hữu dứt khoát” được bất cứ đường nào có độ cong nhỏ hơn nữa. Nghĩa là trong Vũ Trụ ấy, không thể dựng được một đường thẳng thực sự (có độ cong tuyệt đối bằng 0) nào. Do đó mà đường kính D_V chỉ có thể là một tồn tại ảo (tương đối).

Trong Vũ Trụ Thực Tại vĩ mô (hình 11/b) nếu từ điểm A, chúng ta có ý đồ vẽ một đường thẳng thuần túy hình học đi qua điểm B thì trong thực tế, chúng ta chỉ có thể vẽ được một trong những đường gọi là “thẳng nhất” (có độ cong ) qua đó. Lúc này, Vũ Trụ được thấy như không phân tầng qui mô và điểm A cũng không phài là tâm điểm của Vũ Trụ bởi vì nó hoàn toàn bình đẳng với điểm B. Có thể nói Vũ Trụ Thực Tại không phân tầng là Vũ Trụ có độ cong và độ cong của nó là bất biến trong toàn không gian, nghĩa là mọi miền của nó đều ở cùng một tầng nấc qui mô.

Nếu quan niệm trên được Tạo Hóa khen là “hay quá!” thì chúng ta mạnh miệng nói thêm rằng trong Vũ Trụ Thực Tại vĩ mô, ánh sáng thực ra không tuyền thẳng mà truyền theo đường có độ cong tự nhiên , và cũng chẳng có một thực thể nào chuyển động thẳng đều được trong Vũ Trụ ấy. Vì  quá nhỏ nên trong hiện thực khách quan (của loài người) không có cách nào phát hiện được độ cong ấy và chúng ta có thể ung dung và tự tin phán rằng: = 0.

Khi Vũ Trụ Thực tại được thấy như là phân tầng qui mô (tương đối) thì vì sự phân tầng qui mô có liên quan đến sự tương phản nghịch đảo, cho nên, nếu có một điểm C ở vị trí như thế hiện ở hình 11/b, nó phải có một kích cỡ nào đó lớn hơn điểm A tương ứng với mức độ giãn nở Không Gian. Lúc này, nếu nối điểm A với điểm C theo khoảng cách ngắn nhất thì chúng ta sẽ có một “đường” phi hình học thuần túy, có hình dạng kỳ lạ nhất từ trước đến nay, và không biết gọi nó là gì cho phải, đành bắt chước Lão Tử tạm gọi là “đạo” vậy! Lúc này điểm A được coi là tâm điểm của Vũ Trụ phân tầng qui mô. Nếu A phát sáng thì tia sáng từ A đến C sẽ phải “lớn dần” và để có thể lớn dần được thì phải cần đến thời gian tích lũy đủ ánh sáng sao cho khi đến C nó trở thành một luồng sáng có tiết diện đúng bằng tiết diện điểm C.

Trong Vũ Trụ Thực Tại, đúng là có hai thể hiện về sự phân tầng qui mô Không Gian của nó. Chúng ta tạm gọi kiểu cách phân tầng qui mô thứ nhất là “sự phân tầng ly - hợp”. Sự phân tầng này xảy ra trong cùng một tầng nấc qui mô Không Gian, là sự phân chia hay kết hợp tạo nên mối quan hệ Đại - Tiểu của vạn vật - hiện tượng cùng chấp nhận một kích cỡ thực thể nào đó đóng vai trò là điểm nhỏ nhất của chúng và một kích cỡ thực thể khác làm điểm lớn nhất của chúng. Giả dụ, cơ thể của một con người là gồm nhiều bộ phận to, nhỏ khác nhau (biểu hiện của sự phân tầng qui mô) như đầu, cổ, chân tay, gan, tim, thận… trong cùng một tầng nấc qui mô không gian, hợp thành. Tầng nấc qui mô ấy được giới hạn bởi hai điểm mà điểm nhỏ nhất là tế bào và điểm lớn nhất là bản thân kích cỡ người đó. Hoặc cũng có thể hình dung sự phân định to - nhỏ trong Thái Dương Hệ là ở cùng một tầng nấc qui mô có điểm nhỏ nhất là “hạt” nguyên tử và điểm lớn nhất là bản thân Thái Dương Hệ.

Kiểu phân tầng qui mô thứ hai tạm gọi là “Sự phân tầng thực sự”. Trong sự phân tầng này, các tầng nấc Không Gian thực sự có những biểu hiện ám chỉ khác nhau về mức độ qui mô giữa chúng. Chẳng hạn, có thể cho rằng hai lượng không khí bằng nhau được chứa trong hai thể tích khác nhau. Thể tích nào mà trong đó xuất hiện áp suất lớn hơn áp suất xuất hiện trong thể tích kia thì coi như nó có qui mô không gian nhỏ hơn qui mô không gian của thể tích kia. Hay nói cách khác, lượng không khí đã bị “đưa sang” vùng có tấng nấc qui mô không gian nhỏ hơn. Vậy thì độ cong trong vùng thể tích có áp suất lớn hơn có lớn hơn độ cong trong vùng thể tích có áp suất nhỏ hơn không? Nếu không, phải vứt bỏ nhận định nói trên đi! Chúng ta tin là có và còn tin rằng có thể suy ra điều đó từ những hiện tượng đã được khám phá trong lĩnh vực nghiên cứu động lực học chất khí của vật lý học. Một đặc điểm quan trọng của kiểu phân tầng qui mô này là miền không gian nào đó của tầng nấc qui mô nhỏ hơn khi “đặt trong” vùng của tầng nấc qui mô lớn hơn, luôn có xu thế giãn nở và nếu loại bỏ đột ngột những “ràng buộc” nào đó giúp nó tồn tại thì nó sẽ giãn nở bột phát mang tính bùng nổ, phát tán vạn vật, thực thể mà nó dung chứa để “hòa nhập” vào môi trường không gian có qui mô lớn hơn và đang “chứa” nó.

Phải chăng có thể dùng những đặc tính của ánh sáng để nói nhiều điều về sự phân tầng qui mô không gian thực sự? Giả dụ, một luồng sáng trắng đến Trái Đất từ Mặt Trời là tập hợp của rất nhiều những tia sáng đơn sắc có bước sóng () và tần số () khác nhau. Rất có thể sự khác nhau về bước sóng và đơn sắc của các tia sáng đơn sắc là do chúng được sản sinh ra ở những tầng nấc qui mô không gian có độ cong khác nhau. Có một hiện tượng xảy ra đối với ánh sáng (đúng hơn là tia bức xạ) mà vật lý vi mô đã phát hiện là không phải bất kỳ tia sáng nào cũng có thể xâm nhập được vào nội tại của nguyên tử mà chỉ có những tia sáng có bước sóng nhỏ đến mức nào đó mới thực hiện được việc đó. Có thể nào giải thích được hiện tượng đó bằng nhận định: một thực thể được sản sinh ra từ tầng nấc qui mô không gian lớn hơn (có độ cong nhỏ hơn) không bao giờ có thể xâm nhập được vào miền không gian có qui mô nhỏ hơn (có độ cong lớn hơn) mà chỉ có thể là ngược lại?

Đến đây, nếu thích, chúng ta cũng có thể kết luận một cách “hùng tráng”: trong Vũ Trụ Thực Tại một thực thể được sản sinh ra trong một tầng nấc qui mô không gian nào đó chỉ có thể xâm nhập vào tầng nấc qui mô không gian lớn hơn “nơi xuất xứ” của nó mà không thể xâm nhập vào tầng nấc qui mô không gian có qui mô nhỏ hơn. Con người có thể “hòa mình” vào không gian Vũ Trụ bao la nhưng không thể “hòa mình” vào thế giới nguyên tử!

Biết bao nhiêu hoang cảnh ly kỳ hiện ra trước mắt chúng ta, song, theo hướng này, sự “hoang tưởng” của chúng ta đã quá sa đà!...

19.-  Đường kính cong tự nhiên là một đường đặc biệt. Khoảng cách giữa hai đầu mút của nó đúng bằng D_V nhưng độ dài của nó lại bằng:

Đường kính cong tự nhiên đó chỉ thị rằng, trong Vũ Trụ Thực Tại, không thể tồn tại thực sự một đường nào đó có độ cong tuyệt đối nhỏ hơn thế nữa. Những đường có độ cong nhỏ hơn chỉ có thể là tồn tại ảo và phải coi chúng là những đường nổi trội về tính thẳng. Do đó có thể quan niệm rằng đường kính cong tự nhiên của Vũ Trụ Thực Tại là đường phân định tương phản giữa độ tròn và độ thẳng. Bản thân nó không cong không thẳng, đồng thời vừa cong vừa thẳng.

Trên tinh thần quan niệm đó chúng ta cần phải điều chỉnh lại tên gọi ba loại đường kính của Vũ Trụ thực tại đã nêu cho phù hợp hơn. Từ nay đường kính cong chuẩn (D_CT) sẽ được gọi là “đường kính cong” (ký hiệu D_C) đường kính cong tự nhiên D_TN được gọi là “đường kính tự nhiên” (vẫn ký hiệu D_TN) và đường kính D_V được gọi là “đường kính thẳng” (ký hiệu D_T).

Vì đường D_TN được hình dung là đường trung dung, đóng vai trò là đường phân định giữa tròn và thẳng, cho nên nó phải có tính đơn vị trong mối quan hệ tương phản tuyệt đối giữa độ cong và độ thẳng. Nếu độ cong tuyệt đối cực tiểu được biểu diễn là:

thì tương phản đối ứng nghịch đảo của nó phải là:

T_cđ = D_V

(và được gọi là “độ thẳng tuyệt đối cực đại”)

sao cho:

Cần phải thấy rằng cách biểu diễn toán học về độ cong tuyệt đối của chúng ta là chưa thỏa đáng. Bởi vì cho dù Không Gian Thực Tại là một Không Gian chồng chập thì phải hiểu một cách “cực kỳ linh động” cái bản chất chồng chập đó. Trong Vũ Trụ Thực Tại, hạt KG vẫn cứ là hạt KG và Vũ Trụ vẫn cứ là Vũ Trụ. Nếu trong Thực Tại, bằng cách nào đó chúng ta xác định được đường kính thẳng của hạt KG, và của Vũ Trụ, theo thứ nguyên độ dài mà chúng ta chọn, là bằng:

thì đó chính là những giá trị tuyệt đối dài nhất và ngắn nhất của khoảng cách. Không thể có khoảng cách nào có thể dài hơn D_V được nữa và cũng không thể có khoảng cách nào ngắn hơn D_h được nữa. Lúc này độ cong cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối được biểu diễn:

Nghĩa là không thể qui ước D_h=1 một cách đơn thuần, tùy tiện vì giá trị độ dài tuyệt đối nhỏ nhất của D_h là sự thực khách quan, mang bản chất đơn vị tuyệt đối cho nên chúng ta có thể chọn giá trị đó bằng (một tuyệt đối). Tuy nhiên lúc đó chúng ta cũng phải chọn thứ nguyên độ dài khác một cách phù hợp để đảm bảo không xâm phạm sự thực khách quan và tất yếu dẫn đến một giá trị mới theo thứ nguyên mới của đường kính thẳng của Vũ Trụ, bằng bình phương giá trị cũ. Từ đây có thể thấy đường kính thẳng của Vũ Trụ Thực Tại có giá trị D_V hay D_V² là do “cách nhìn” chủ quan qui định về một sự thực tuyệt đối khách quan. Hai giá trị đó luôn luôn có thể biến chuyển thành nhau theo một nguyên tắc duy  nhất.

Chỉ có hiểu như thế mới cảm nhận hết được mức độ biến hóa kỳ ảo phi thường nhưng chí lý của Tự nhiên Tồn tại, và phải hiểu như thế mới “cảm thông” được cách biểu diễn toán học về độ cong tuyệt đối mà chúng ta đã “lỡ” đề xuất và sử dụng.

Dù sao thì cách biểu diễn đầy đủ nhất, chân thực nhất về độ cong cực tiểu tuyệt đối có lẽ phải thế này:

              

Và như vậy, độ thẳng cực đại tuyệt đối phải được biểu diễn như thế này:

              

Rốt cuộc:

              

Hay có thể viết:

               D_hD_V=D_V² 
Chúng ta thấy rằng biểu thức đó diễn đạt một trường hợp đặc biệt của sự tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối, với vế trái là biểu diễn Vũ Trụ trong tình trạng phân lập và vế phải biểu diễn Vũ Trụ trong tình trạng chồng chập Không Gian. Như đã nói, khi Không Gian chồng chập (nghĩa là trong Vũ Trụ Thực Tại), D_h vẫn là D_h và D_T (với D_T = D_V) vẫn là D_T. Ở vế phải của biểu thức trên: chúng ta “có quyền” thay D_V bằng D (đóng vai trò là gốc của tương phản nghịch đảo tuyệt đối) để đưa về dạng biểu diễn tổng quát quen thuộc:

               D_h.D_T=D²

Và từ đó có:

              

Cách biểu diễn này làm gợi nhớ đến tỷ lệ vàng (sao). Nếu chúng ta chọn thì:

               D_T=1,6+0,96

               D_h=1

Và trở về:

              

Viết ra như vậy để thấy vấn đề “tích trong bằng tích ngoại” chỉ là một trong nhiều biểu hiện của sự tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối trong hiện thực toán học. Có lẽ, chỉ vì nhận thức chủ quan về nó chưa thấu đáo cho nên chỉ thấy nó như một “thứ gì đó” có vẻ thần bí, ma thuật, chứ chưa thấy được ẩn ý sâu xa hơn mà nó hàm chứa.

Trên cơ sở của phép nghịch đảo qua đường tròn, chúng ta có thể phát biểu: Vẽ trước (cho trước) đoạn thẳng có độ dài D bất kỳ, bao giờ cũng xác định đươc hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là D+x và D-y thỏa mãn:

              

Khi nói “vẽ trước đoạn thẳng…” thì đoạn thẳng đó chắc chắn xác thực, nghĩa là nó không thể vô tỷ. Tuy nhiên, nếu từ hai đầu mút của nó, vẽ thêm hai đoạn thẳng nữa sao cho tạo thành một tam giác vuông cân, nhận nó làm cạnh huyền thì lúc đó, so với hai cạnh kia, nó trở thành một đoạn thẳng vô tỷ (bằng ) còn nếu không, nghĩa là vẫn coi nó là một đoạn thẳng nguyên hoặc hữu tỷ thì hai đoạn thẳng kia phải vô tỷ. Người ta gọi đó là tinh vô ước. Còn chúng ta nói thêm rằng, tất cả các đoạn thẳng, một cách khách quan đều được xây dựng nên cùng một đơn vị độ dài gọi là tuyệt đối, do vậy mà chúng luôn nguyên, còn nếu xét theo những đơn vị độ dài tương đối nào đó (theo qui ước) thì trong số chúng còn thấy những đoạn thẳng hữu tỷ. Do có sự tạm gọi là “co giãn” của đơn vị độ dài tương đối ở những góc độ quan sát khác nhau có thể khác nhau mà xảy ra hiện tượng đoạn thẳng này có thể là vô tỷ so với đoạn thẳng kia và ngược lại. Chẳng hạn có ba đường thẳng nguyên bằng nhau lập thành một tam giác đều. Rõ ràng tổng bình phương hai cạnh không thể bằng bình phương một cạnh thứ ba. Tuy nhiên nếu đặt tam giác đó trước một phương phẳng ở một tư thế thích hợp, sẽ làm xuất hiện ảnh của nó là một tam giác vuông cân có tổng bình phương hai cạnh vuông bằng bình phương cạnh huyền. Tuy nhiên nếu khai căn chúng ra, vì vi phạm vào luật cấm của thế giới số hữu tỷ (không thể khai căn được một số nếu số đó không phải là bình phương của số nào khác trong các số hữu tỷ) cho nên đoạn thẳng có độ dài nguyên ban đầu (lúc này đóng vai trò cạnh huyền), so với hai cạnh kia, phải vô tỷ.

Hoàn toàn có thể chọn y = D -1 để đưa biểu diễn (*) về dạng:

                  (*)(*)

với:          D+x=D²

Khi x=1 thì D bằng . Nghĩa là trong thế giới hữu tỷ, không thể có một số nào cộng với số 1 lại bằng chính nó bình phương. Giả sử cho D=2 thì x chỉ có thể là bằng 2, hay có thể viết:

               D=x=2

Tuy nhiên, nếu cho D=x thì ngoài kết quả D=x=2, còn có kết quả thứ hai nữa, là D=x=0 (D, x không hiện hữu!)

Khi x=0,96 thì . Trường hợp này đã trở nên có vẻ tầm thường vì đến đây, chúng at biết rằng nó cũng chỉ là một trường hợp riêng của trường hợp tổng quát hơn rất nhiều. Tuy nhiên, sự hiện diện của số 0,96, số mà chúng ta đã linh cảm từ lâu về vai trò phi thường của nó trong tự nhiên, làm chúng ta nảy ra một ý tưởng mới.

Khi tỷ lệ thức (*)(*) thực sự là đang biểu diễn mối tương quan giữa đường kính của Vũ Trụ Thực Tại khách quan và của hạt KG trong đó thì D phải đóng vai trò là mốc tương phản nghịch đảo hoàn toàn cho nên D phải bằng 1. Lúc này, để phân biệt được giữa D_h, D và D_T, chúng ta sử dụng trở lại 10^k và viết:

              

Trong tình thế tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối, xét về mặt phân lập đối ứng Thẳng 0 tròn, Vũ Trụ Thực là miền mang tính cong nổi trội thì nội tại hạt KG (Vũ Trụ ảo) là miền mang tính cong nổi trội. Do đó, gốc tương phản thẳng – tròn của hai miền đó phải có tính chồng chập, trung dung của chúng. Về mặt tương phản cong - thẳng, nếu coi D_CT (đường kính cong chuẩn) là đại diện cho miền thực và D^*_h là đại diện cho miền ảo thì D^*_TN chính là đại diện gốc phân lập của chúng. Tạm quên 10^k đi thì có thể viết ra ba đại diện ấy the D_T.

             

Trong đó D_TN được coi là đường trung dung giữa tròn và thẳng, và trong mối quan hệ tương phản ấy nó phải bằng 1. Lúc này, ba đại diện trên sẽ được viết lại:

              

Đây là phát hiện có thể rất tầm thường về một điều kỳ diệu:

        

Từ nay trở đi cho đến thời khắc cuối cùng còn được hiện hữu trên cõi trần gian, không ai có thể lay chuyển nổi niềm tin đã hóa thành tuyệt đối của chúng ta rằng, khoảng cách cực tiểu tuyệt đối, có thực trong Vũ Trụ Thực Tại khách quan bằng: 0,96.10^-k

Khi D_h=0,96.10^-k thì đường kính thẳng của Vũ Trụ Thực Tại bằng:

              

Vậy thì đường kính tự nhiên của nó sẽ là:

              

Và đường kính cong chuẩn của nó là:

              

Nếu ký hiệu đường kính tự nhiên của nội tại hạt KG là , thì

              

Viết như thế là … ngược đời! Bởi vì chúng ta chỉ có thể thấy được điều ấy nếu cùng một lúc thấy được cả ba miền phân định của một Vũ Trụ duy nhất. Đó là việc mà đến thánh cũng chào thua, thậm chí ngay cả Đấng Tạo Hóa toàn năng cũng khó lòng mà chiêm ngưỡng nổi. Viết đúng phải là:

              

Tại sao lại cho rằng  là đúng chứ không phải ngược đời? Tại vì nó ngược với sự… ngược đời của chúng ta. Thế thôi!

Nếu ký hiệu đường kính cong chuẩn của hạt KG (có tính ảo, chỉ tồn tại trong suy nghĩ của những cái đầu biết hoang tưởng thôi!) là  thì tương tự như trên, sẽ viết được:

              

Nếu đem chia cho 6, chúng ta sẽ làm xuất hiện con số có vẻ quen nhưng cũng rất lạ và tạm đặt tên cho nó là “m”

              

Hơn nữa dễ thấy thêm là:

              

Nhớ lại ký hiệu D^*, đến đây coi như nó đã được xác định dứt khoát là:

              

Bây giờ, nếu tạm quên 10^k đi thì chúng ta sẽ thấy nhiều điều lý thú nữa về mối quan hệ giữa các đường kính. Dưới đây là một vài biểu diễn:

Với quan niệm chu vi của Vũ Trụ Thực Tại là độ dài của “đường giả tròn” và ký hiệu là C_T thì:

              

Đem nó chia cho 6 rồi căn 2 () sẽ có:

              

        

Vì 9 lần m (quên 10^-k đi!) cũng bằng 0,9216 nên có thể viết:

              

Lạ hơn nữa cũng có:

              

Nếu cho rằng vận tốc truyền sáng trong chân không (vận tốc cực đại trong Vũ Trụ Thực Tại) c có giá trị chính xác là 3 thì phải chăng:

              

               (với T là thời gian, m là khối lượng của hạt KG)

là lực lượng Không Gian toàn phần (mà trong vật lý học người ta vẫn gọi là năng lượng toàn phần) của hạt KG?

Gọi lực lượng Không Gian ấy là E_h, gọi thể tích của hạt KG là V_h thì một điều không thể nào tin nổi sẽ xảy ra

Vì:          

Cho nên có thể viết:

              

Nghĩa là:

                       hay      

Gọi V_htp là thể tích toàn phần của hạt KG thì:

Và có thể suy ra: Lực lượng toàn phần của Không Gian bằng hai lần thể tích của Vũ Trụ Thực Tại!

Xin đất trời chứng dám, từ lâu chúng ta cũng đã từng mường tượng ra điều đó nhưng chưa bao giờ dám cả quyết rằng nó đúng vì sự kỳ dị đến “ghê hồn” mà nó gây ra. Nhưng đã lỡ bước đến đây rồi thì cũng không thể thoái thác được rằng dù đó là điều có khó tin, có kỳ dị đến đâu chăng nữa thì vẫn thật là chí lý. Chúng ta buộc phải trở thành nô lệ cho sự biểu diễn phi thường ấy, phải tự giác tận tụy cật lực một cách không công để tôn thờ nó, bênh vực nó bằng mọi giá. Nếu không, coi như cái công trình vĩ cuồng mà chúng ta đã và đang quần quật xây đắp nên chỉ như một lâu đài cát nguy nga theo kiểu dị hợm trước một cơn mưa (chẳng cần lớn lắm) đang tới. Và chúng ta đành phải thục mạng “bỏ của chạy lấy người” mới may ra thoát thân, không bị chết ngạt trong một đống “thập toàn đại… bẩn” không biết là đống gì nữa.

Ở một khía cạnh khác, chúng ta cho rằng biểu diễn về mối quan hệ giữa không gian, thời gian và năng lượng ở trên còn chí lý ở chỗ trên cơ sở đó, có thể giải thích được thấu đáo những vấn đề căn cốt nhất của vật lý học như: năng lượng thực chất là gì và nguồn gốc đích thực của nó, vì sao năng lượng lại có tính gián đoạn ở thế giới vĩ mô, bản chất của khối lượng…

Cuối cùng, có lẽ sự chí lý của biểu diễn đó còn thể hiện ở chỗ: nó có khả năng làm rõ được vấn đề “hóc búa nhất của mọi hóc búa” mà nhân loại quan tâm ngay từ buổi bình minh của sự nhận thức, xuyên suốt mọi thời đại cho đến tận ngày nay và vẫn chưa làm sáng tỏ được. Đó là sự tồn tại của hồn và xác cùng với mối quan hệ gắn bó keo sơn giữa chúng. Bất cứ thực thể nào cũng là một khối thống nhất trong phân lập của hai lực lượng ảo và thực, hay là của hồn và xác. Nếu Vũ Trụ là phần xác của Tự Nhiên Tồn Tại thì linh hồn của Nó chính là Tạo Hóa.

Nếu lấy 0,9216 chia cho 0,64 sẽ xuất hiện số 1,44. Viết theo ký hiệu thì:

Vật lý học đã chỉ ra rằng ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt. Khi tia sáng được thấy như một sóng sin tính thì vận tốc lan truyền của nó được xác định:

Từ biểu thức trên suy ra được:

Vì 1,44 là kết quả của:

(Nhớ đừng nghĩ tới 10^k!)

Và nếu cho rằng số 3 đóng vai trò của c, 2D_T (hay D_TP) đóng vai trò của thì:

        

Đó là một “giả hợp” gượng ép đến kỳ cục hay đúng là một biểu hiện kỳ diệu của Tự Nhiên? Có thể rằng một trong những yếu tố cực kỳ quan trọng, có tính quyết định đến việc trả lời xác đáng câu hỏi đó, chính là 10^k. Chỉ khi nào xác định được trị số của k một cách tự nhiên, chúng ta may ra mới kiểm chứng được những “thành quả” do thuần túy hoang tưởng mà có của mình.

Nhưng làm sao mà xác định được k đây?

Cho đến lúc này thì đó là câu hỏi vô phương trả lời.

Mà thôi, tạm thời không nên nghĩ đến nó nữa. Hãy lôi cái đầu lêu lổng đến quá ư sa đà của chúng ta quay trở về, điều khiển cái miệng tiếp tục kể câu chuyện phép tính vi – tích phân bỗng dưng bị bỏ dở dang đến… tội nghiệp.

***

Hệ thống thị giác là báu vật vô giá mà Tạo Hóa đã ban tặng cho loài người. Nhưng con người có được cặp mắt tỏ tường màu sắc như ngày nay đâu phải là bỗng dưng, dễ dàng, một sớm một chiều, mà là kết quả tiến hóa trong suốt quá trình đấu tranh sinh tồn, thích nghi và chủ động thích nghi theo hướng đặc thù một cách phù hợp với cấu tạo, hình thể sinh học đã được thiên nhiên hoang dã hun đúc nên trong những hoàn cảnh, điều kiện sống mới.

Có thể đoán rằng, trong thời tối cổ xưa, hẳn cũng đến ngót nghét 10 triệu năm trước đây chứ không ít, thị giác của những thế hệ tổ tiên đầu tiên của loài người rất khác biệt so với thị giác đám hậu duệ ngày nay của họ. Thời đó, vì mới thoát thai ra từ muông thú cho nên trực giác của họ vẫn còn bảo lưu nhiều “cách thức trực giác” của muông thú, chẳng hạn: tai nghe thính hơn, nhưng phân biệt mùi vị dở hơn, cảm nhận được những rung động báo hiệu an nguy tinh tế hơn nhưng mắt mờ hơn… Năng lượng trực giác của sinh linh không phải là vô hạn độ. Hình như Tạo Hóa chỉ ban cho muôn loài một “khoản bình quân” nào đó về năng lực trực giác, bị hạn định bởi tầng nấc qui mô không gian mà trong đó chúng tồn tại. Tùy thuộc vào hướng tiến hóa thích nghi đặc thù của mỗi giống loài mà “khoản” năng lực trực giác ấy được phân bố một cách phù hợp. Loài chó có cái mũi đánh hơi “tài” bao nhiêu thì mắt lại nhìn “dở” bấy nhiêu. Nhiều loài động vật sống ở những miền duyên hải không chủ động nhận thức được vì thiếu tư duy, nhưng bù lại chúng sớm cảm nhận được nguy cơ sóng thần để dời đi trước khi quá muộn. Loài người ngày nay được ưu tiên có một tư duy “rõ ràng và sáng sủa” thì ở chiều khía cạnh khác, năng lực trực giác lại thua xa loài vật. Chúng ta vẫn thường thấy, một người bị khiếm khuyết một giác quan nào đó thì sự tinh nhạy của một vài giác quan trong số còn lại sẽ được tăng cường.

Biết đâu chừng trước khi gắn bó đời sống của mình với ngọn lửa, loài người nhìn trong màn đêm tinh tường hơn bây giờ, nhưng nhìn ban ngày lại chỉ thấy trắng đen như những người mắc chứng mù màu ngày nay. Và cũng biết đâu chừng con người thấy được quang cảnh thiên nhiên muôn màu muôn vẻ như hiện đang thấy là nhờ vào sự liên tục tích cực thích nghi trong suốt quá trình đằng đẵng, bắt đầu từ du cư hái lượm, săn bắt đến hết quá trình lấy lối sống định cư, trồng trọt, chăn nuôi làm phương thức sống chủ yếu được khẳng định. Các nhà khảo cứu khoa học thời hiện đại vẫn còn phải mặc nhiên và thán phục đôi mắt của loài người tiền sử trong quan sát thiên văn của họ. Phải chăng tổ tiên xa xôi ấy của chúng ta đã có một năng lục thị giác “nhìn xa trông rộng”, thấu tỏ gấp nhiều lần so với thị giác của chúng ta?

Ánh sáng, như đã biết, chỉ là một miền hẹp của bức xạ điện từ mà con người cảm thụ được bằng thị giác một cách đặc thù. Sự cảm thụ đặc thù ấy đã đem lại cho chúng ta một quang cảnh hiện thực đầy màu sắc, vừa rực rỡ huy hoàng vừa lung linh huyền diệu. Phải nói rằng nếu không có ánh sáng tràn trề trên Trần Gian này thì không thể có thị giác, cũng không thể có đôi mắt biết đến sắc màu biết phân biệt sáng tối, và vì thế mà ngay cả sự tư duy nhận thức chắc gì đã xuất hiện chứ nói gì đến thơ, ca, nhạc, họa. Như vậy, vai trò của ánh sáng là tối quan trọng, thậm chí là có tính quyết định đến vận mệnh đối với sinh linh và cả cái Trần Gian có vẻ hi hữu này.

Dễ dàng thấy rằng ánh sáng chan hòa Trái Đất chủ yếu đến từ Mặt Trời. Có lẽ vì thế mà Mặt Trời cũng trở thành vị thần tối cao đầu tiên được con người tôn thờ.

Suy rộng ra, có thể nghĩ rằng ánh sáng lan truyền trong Vũ Trụ mà con người quan sát thấy, là do những thiên thể vĩ đại tỏa ra trong quá trình vận động nội tại của chúng, là sản phẩm của các quá trình tương tác có tính hủy diệt và tạo dựng giữa chúng. Mặt khác, tất cả những quá trình vĩ đại, xảy ra trong Vũ Trụ vĩ mô ấy, dù nhiều khi được thấy như tương đối độc lập đối với nhau thì cũng phải quan niệm rằng chúng thực sự nằm trong mối quan hệ ràng buộc, phụ thuộc lẫn nhau, là nguyên nhân và kết quả của nhau, và hợp thành một quá trình vĩ đại duy nhất, có tính tự thân, xoay vần, vĩnh cửu của Vũ Trụ Vĩ mô (miền Vũ Trụ thỏa mãn hình học Ơclít, tia sáng được coi như một đoạn thẳng, truyền thẳng theo phương trục của nó). Như vậy, có thể kết luận rằng cái quá trình tự thân, xoay vần vĩ đại ấy đã “sản xuất” ra ánh sáng một cách không bao giờ ngừng nghỉ. Nếu thế ánh sáng sẽ phải nhiều dần đến vô hạn, còn không vận động tự thân của Vũ Trụ Vĩ mô phải dừng lại. Đó là điều không thể chấp nhận được vì nó đã vi phạm nghiêm trọng nguyên lý bảo toàn Không Gian và tỏ ra “cực đoan một cách trắng trợn”. Do đó, phải đi đến quan niệm rằng, vận động tự thân của Vũ Trụ vĩ mô vừa “sản xuất ra” vừa “tiêu thụ vào” ánh sáng. Nếu “ở đây” phát tán ánh sáng, thì ở đâu đó phải xảy ra sự hấp thụ ánh sáng, sao cho “lượng ánh sáng” trong Vũ Trụ Vĩ mô là bất biến. Thế thì phải chăng có thể coi ánh sáng (đúng hơn là bức xạ điện từ mà ánh sáng đóng vai trò đại diện) vừa là nguyên liệu (tạo ra động lực), vừa là thành phẩm của vận động, để từ đó mà có sự tác thành nên cái quang cảnh vô cùng lộng lẫy và vô cùng sống động của Vũ Trụ Vĩ mô mà chúng ta đang quan chiêm?

Sự “phát ra” ánh sáng bao giờ cũng có tính trực quan hơn sự “thu vào” ánh sáng. Chỉ cần “xoẹt” một cái là que diêm bốc cháy và tỏa ra ánh sáng. Từ đốm lửa ấy có thể làm bùng cháy cả một khu rừng và trong đêm, đó là một vùng rừng rực tỏa ánh sáng trong không gian vĩ mô. Nếu Trái Đất không tiếp nhận được ánh sáng từ Mặt Trời thì chắc chắn sự sống trên Trái Đất không thể xuất hiện được. Cây cối và muông thú nếu bỗng dưng không được cung cấp ánh sáng nữa thì sự tuyệt vọng của chúng là không thể tránh khỏi. Nghĩa là ánh sáng Mặt Trời đóng vai trò như nguồn dinh dưỡng không thể thay thế, có vai trò quyết định đến sự sinh tồn của Trái Đất. Thế nhưng thật khó hình dung sự “thu vào” ánh sáng. Ánh sáng trong Vũ Trụ vĩ mô, khi bị tiêu thụ thì “vào” đâu, chuyển hóa thành cái gì để lại góp phần tạo ra động lực mới làm phát ra ánh sáng mới “ra” Vũ Trụ Vĩ mô? Câu hỏi này gợi ý đến việc phải hình dung về sự tồn tại một khu vực nào đó “trong” Vũ Trụ nhưng không thuộc Vũ Trụ vĩ mô, đóng vai trò “chứa đựng” làm nơi “chế biến”, “trung chuyển”, đầu mối và đồng thời cũng là kết cục của cái chu trình phát tán – thu nạp ánh sáng bất tận và vĩ đại của Vũ Trụ vĩ mô. Chúng ta cho rằng khi vực đó chính là Vũ Trụ vi mô (miền Không Gian không còn thỏa mãn hình học Ơclít, tia sáng ở đó được “thấy” như những bó sóng lan tỏa không tuân theo qui luật truyền thẳng nữa, và ở tầng sâu hơn nữa biết đâu chừng quang cảnh chỉ giống như một khối nước khổng lồ sôi sùng sục, “bốc hơi” ra nghi ngút những phần tử mầm mống đầu tiên của bức xạ điện từ để từ đó mà có ánh sáng).

Đến đây, không thể nói vận động của Vũ Trụ vĩ mô là có tính tự thân nữa mà phải nói rằng vận động đó vừa là kết quả, vừa là nguyên nhân đối với vận động của Vũ Trụ vi mô và ngược lại. Hai vận động ấy hợp thành vận động tự thân của Vũ Trụ Thực Tại. Nói đúng hơn, Tồn Tại là vốn dĩ và để duy trì, thể hiện sự vốn dĩ ấy thì Nó phải vận động triệt để đến tận cùng khả năng theo cách hoàn toàn Tự Nhiên nhằm bảo toàn tuyệt đối Tồn Tại. Như vậy, Vũ Trụ Thực Tại khách quan phải là một toàn thể không thể tách rời, thống nhất trong phân định tuyệt đối đồng thời phân định trong thống nhất tuyệt đối, phải phân lập tương phản để vận động có khả năng và phải chồng chập để bảo đảm thống nhất.

Hình dung ở góc độ Vũ Trụ phân định, có thể thấy rằng, vận động trong Vũ Trụ vĩ mô có nguyên nhân từ vận động trong Vũ Trụ vi mô và đến lượt nó, vận động vĩ mô tác động trở lại, gây ra vận động vi mô. Lực lượng nối kết chặt chẽ hai vận động ấy trong mối quan hệ tác động - phản ứng cũng như trong mối quan hệ nhân - quả, đồng thời đóng luôn vai trò trực tiếp tác động đến hai vận động ấy chính là ánh sáng (hay đúng hơn là bức xạ điện từ).

Với quan niệm vạn vật - hiện tượng sinh ra ở tầng nấc qui mô Không Gian tuyệt đối lớn hơn không thể xâm nhập vào miền Không Gian có tầng nấc qui mô tuyệt đối nhỏ hơn mà chỉ có thể ngược lại, và bức xạ điện từ có xuất xứ từ những tầng nấc trong Vũ Trụ vi mô như vật lý học ngày nay đã chỉ ra thì coi như vận động vĩ mô không thể trực tiếp “làm ra” ánh sáng. Các thực thể vĩ mô, trong quá trình vận động cũng như trong quá trình tương tác giữa chúng, đã tất yếu làm nảy sinh ra những tác động vào vận động của Vũ Trụ vi mô và thông qua đó mà gián tiếp tái tạo ra ánh sáng, rồi từ đó ánh sáng mới xâm nhập trở lại Vũ Trụ vĩ mô, tiếp tục cái sứ mạng tiền định của nó. Vậy thì vạn vật trong Vũ Trụ vĩ mô luôn phải hàm chứa đồng thời hai quá trình bức xạ và hấp thụ sóng điện từ trong vận động của chúng.

Để có thể hoàn thành “xuất sắc” được vai trò vừa là cầu nối vừa là tác nhân trực tiếp tạo nên một toàn thể vận động không ngừng trong sự thống nhất tuyệt cùng, ánh sáng nói rằng và bức xạ điện từ nói chung tất yếu phải có những đặc tính cơ bản mà Đấng Tạo Hóa thiêng liêng đã ban cho chúng, và nếu quan sát ở tầng vĩ mô sẽ thấy là: truyền thẳng, phản xạ, khúc xạ và sự tác dụng độc lập của các chùm tia.

Ánh sáng đúng là món quà vô giá mà miền Vũ Trụ vĩ mô đã hào phóng ban tặng cho cõi Trần gian này. Nhờ có ánh sáng và những đặc tính tự nhiên của nó, loài người không những được sinh ra mà còn được thấy một thiên nhiên tỏ tường muôn sắc đồng thời cũng trong trẻo, long lanh và biến ảo đến diệu kỳ. Nếu ánh sáng được coi là nguyên nhân sâu xa thì mối quan hệ tác động - phản ứng có tính lựa lọc một cách thích ứng giữa ánh sáng và vật cản chính là nguyên nhân trực tiếp làm cho vạn vật - hiện tượng hiện hữu và được phân biệt trước mắt chúng ta.

Phải nói rằng hiện tượng phản xạ và khúc xạ ánh sáng xảy ra đồng thời, có tầm ảnh hưởng quyết định đối với “sự nhìn thấy”. Hai hiện tượng ấy đã được loài người biết đến từ rất lâu. Theo sử liệu thì vào khoảng 4 thế kỷ trước CN, Ơclít đã đề cập đến chúng và chính ông là người đầu tiên phát biểu định luật phản xạ ánh sáng (góc phản xạ bằng góc tới). Đến thế kỷ I, nhờ phát hiện của Hêrôn (trong môi trường đồng nhất, ánh sáng truyền đến một điểm cho trước qua phản xạ gương theo tuyến đường có độ dài cực tiểu, cũng có nghĩa là trong khoảng thời gian cực tiểu), người ta mới biết được nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của định luật ấy. Tuy nhiên, định luật khúc xạ ánh sáng lại được phát hiện muộn hơn rất nhiều.

Năm 1000, nhà khoa học Ảrập tên là Alhazen đã đưa ra một thuyết về khúc xạ ánh sáng. Thuyết này tỏ ra đúng đắn nhưng chỉ về mặt định tính, vì nó không được trình bày theo ngôn ngữ toán học. Alhazen đã nhận định rằng, vận tốc ánh sáng là hữu hạn và hơn nữa vận tốc đó thay đổi theo độ “đặc” (hay “loãng) mà sau này gọi là tính “chiết quang” (sự cản trở truyền sáng) của môi trường mà ánh sáng truyền trong đó. Theo ông, khi một tia sáng truyền từ một môi trường sang môi trường chiết quang hơn (chẳng hạn như từ không khí vào nước; xem minh họa ở hình 12), thì không những vận tốc của nó giảm đi khi qua mặt phân cách giữa hai môi trường mà phương truyền của nó còn bị gãy khúc ngay tại mặt phân cách, lệch về phía pháp tuyến của mặt phân cách.

Hình 12: Hiện tượng khúc xạ ánh sáng.

Người đầu tiên thiết lập biểu thức toán học cho hiện tượng khúc xạ ánh sáng là Keple. Ông phát biểu rằng, tỷ số giữa góc tới và góc phản xạ là không đổi. Tuy nhiên đó là một phát biểu sai, chỉ gần đúng khi góc tới nhỏ. Phải đợi đến khi bước vào thế kỷ XVII, khoảng năm 1021, nhờ nhà khoa học Hà Lan tên là Sneli (Willibrord Snellius, 1580-1626) rút ra từ thực nghiệm, định luật khúc xạ ánh sáng mới được nêu lên một cách đúng đắn: tỷ số giữa sin góc tới và sin góc khúc xạ bằng với tỷ số vận tốc truyền sáng trong môi trường 1 và trong môi trường 2 (xem hình 12) và là một hằng số gọi là “chiết xuất tỷ đối” của môi trường 2 đối với môi trường 1 (thường được ký hiệu: n_2,1). Biểu diễn toán học của định luật khúc xạ, theo qui ước trên hình 12 là:

Dù đã xác lập chính xác biểu thức toán học cho sự truyền sáng trong hiện tượng khúc xạ, song Sneli không thể giải thích được tại sao ánh sáng lại khúc xạ theo qui luật ấy. Do vậy mà ý kiến xác đáng của ông vẫn được nhiều người thừa nhận ngay. Đềcác là một trong số đó. Ông đã xem xét lại các ý tưởng của Alhazen, suy luận lại, để rồi cũng đi đến một nhận định về hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Chỉ có điều nhận định của ông trái ngược với của Sneli (và hoàn toàn sai lầm) rằng:

              

Nghĩa là vận tốc truyền sáng trong nước lớn hơn trong không khí!

Sau này, nhà cơ học cổ điển vĩ đại Niutơn, với quan niệm ánh sáng là dòng các hạt vô cùng nhỏ truyền đi từ nguồn theo đường thẳng (thuyết chảy), giữa môi trường và các hạt đó nảy sinh lực hút lẫn nhau, do đó môi trường càng đậm đặc, lực hút càng mạnh, cũng đi đến kết luận sai lầm như vậy.

Người đầu tiên chứng minh bằng toán học về tính đúng đắn của định luật khúc xạ do Sneli nêu ra (và đồng thời qua đó cũng giải thích luôn được vì sao ánh sáng khi khúc xạ lại phải tuân theo định luật ấy), là nhà toán học xuất chúng Fecma – “Ông hoàng nghiệp dư”.

Trước tiên Fecma xem xét lại một loạt khái niệm mà Hêrôn và những người đi trước ông đã đề xuất ra. Sự mẫn cảm của một tài năng thiên bẩm đã đưa Fecma đến một suy nghĩ có tính đột phá: phải chăng tia sáng luôn truyền đi từ điểm này tới điểm kia theo tuyến đường tốn ít thời gian nhất? Khi vận tốc truyền sáng chỉ thay đổi phụ thuộc vào độ chiết quang thì trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, vận tốc đó là không đổi. Vậy trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, việc tia sáng truyền từ điểm này tới điểm kia một cách trực tiếp hay thông qua phản xạ đều trên tuyến đường ngắn nhất đối với từng trường hợp thật ra là vì tia sáng “chọn” tuyến đường sao cho thời gian “tốn” cho hành trình ấy là cực tiểu? Vì phải thỏa mãn yêu cầu này và cũng vì vận tốc truyền sáng giữa hai môi trường có độ chiết quang so với nhau là khác nhau, cho nên khi tia sáng truyền từ một điểm ở môi trường này đến một điểm ở môi trường kia, nó phải bị khúc xạ theo đúng cách mà Sneli đã chỉ ra? Nếu đúng như thế thì theo minh họa ở hình 12, phải có:

              

là cực tiểu, nghĩa là nếu có một tia sáng truyền từ A đến B thì nó buộc phải truyền theo tuyến AOB.

Khi đặt vấn đề tia sáng đi theo tuyến đường có thời gian cực tiểu trong hiện tượng khúc xạ tương tự như trong hiện tượng phản xạ, chắc hẳn Fecma đã đặt niềm tin vào sự tồn tại của loại nguyên nhân có tính mục đích mà các nhà triết học trước ông đã chỉ ra. Vì vậy mà ông viết: “Chứng minh của tôi dựa trên một định đề duy nhất nói rằng, tự nhiên vận hành bằng các phương tiên và con đường dễ nhất và thoải mái nhất”. Như đã trình bày trước đây thì chúng ta tin rằng, nếu thực sự tồn tại loại nguyên nhân như vậy thì đó là sự đòi hỏi của Tồn Tại, là sự an bài của Tạo Hóa, chứ không có gì là huyền bí cả. Rất có thể, quá trình phát triển từ cực tiểu đến cực đại và từ cực đại đến cực tiểu là một trong những biểu hiện nổi trội nhất trong vận động của vạn vật trong tự nhiên. Đúng là tia sáng truyền theo tuyến đường có thời gian cực tiểu, là nguyên nhân làm cho sự phản xạ và khúc xạ ánh sáng phải xảy ra như thế chứ không thể khác. Nhưng chúng ta tin đó chưa phải là nguyên nhân cuối cùng mà là kết quả của nguyên nhân khác nữa gồm nhiều yếu tố…

Bài toán cho trước hai điềm A và B như trên hình 1, chọn điểm O sao cho tia sáng truyền theo tuyến AOB (để đạt thời gian cực tiểu) là không dễ giải chút nào nếu không dựa vào phép tính vi phân.

Để giải bài toán đó trong khi phép tính vi phân chưa ra đời, Fecma đã nghĩ ra một phương pháp mà nếu suy cho đến cùng sẽ dẫn đến phép tính vi phân và sau này người ta thường gọi là phép tính biến phân. Ông đã khái quát hiện tượng khúc xạ bằng cách tưởng tượng ra một môi trường không đồng nhất và phân chia nó thành những lớp mỏng. Khi có một tia sáng đi xuyên qua môi trường đó thì vận tốc của nó trong mỗi phân lớp coi như không đổi. Với giả thiết bề dày mỗi lớp mỏng dần tới O, Fecma đã rút ra được nguyên lý tổng quát của quang hình học (ngày nay có tên là nguyên lý Fecma): trong một môi trường không đồng chất, tia sáng đi từ điểm này tới điểm khác theo một con đường sao cho thời gian cần thiết là nhỏ hơn khi nó đi theo bất kỳ con đường nào khác. Nhờ nguyên lý này mà định luật khúc xạ ánh sáng do Sneli phát biểu đã được xác minh tính đúng đắn của nó về mặt lý thuyết.

Thành quả toán học đó của Fecma lúc đầu bị các học trò của Đềcác phản đối. họ cho rằng đó là một khiên cưỡng phi vật lý. Chỉ riêng việc chứng minh của Fecma dựa trên cơ sở tia sáng phải “biết” trước tuyến đường đi đến nơi đã định sao cho nhanh nhất (“tốn” thời gian cực tiểu) đã là kỳ dị rồi. Tuy nhiên, sự tiến bộ trong nghiên cứu vật lý đã chứng tỏ nguyên lý Fecma hoàn toàn đúng đắn. Không những thế, nguyên lý này cùng với phép tính biến phân còn trở thành công cụ cơ bản để tính toán các hệ thống thấu kính.

Sau này, các nhà khoa học còn phát hiện ra nhiều nguyên lý tương tự như nguyên lý thời gian cực tiểu của Fecma thống trị trong nhiều lĩnh vực khác nữa của vật lý học và gọi chúng với một tên chung là “nguyên lý cực tiểu”. Không phải chỉ có định luật cân bằng mà định luật chuyển động cũng tuân theo các nguyên lý cực trị, trong đó có nguyên lý thường được các nhà nghiên cứu động học và động lực học nhắc đến, đó là “nguyên lý tác dụng tối thiểu”.

Người đầu tiên có ý niệm rõ ràng nhất về tính phổ biến của các nguyên lý cực trị trong vật lý là Ơle. Ông đã thực hiện hàng loạt các phép toán biến phân trong lĩnh vực vật lý. Tiếp theo, nhà toán học Hamingtơn (1805-1865) phát hiện lại và mở rộng thêm, tạo nên một công cụ mạnh trong những lĩnh vực như cơ học, quang học, điện học và các ngành khoa học - kỹ thuật khác nhau. Lý thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử cũng là những thí dụ thể hiện đầy đủ giá trị các phương pháp của phép tính biến phân.

Như chúng ta đã có lần kể thì điều tuyệt vời liên quan mật thiết đến hiện tượng truyền sáng đóng vai trò như một cú hích, mở ra một chương mới đầy ly kỳ trong quá trình nhận thức bản chất ánh sáng, là sự xuất hiện thuyết sóng của Huygens (1629-1695). Theo Huygens, ánh sáng lan truyền dưới dạng sóng tương tự như âm thanh. nếu môi trường truyền sóng âm là không khí thì môi trường truyền sóng sáng là một chất đặc biệt choán đầy không gian, không sờ mó được, có thể hình dung như một chất lỏng không trọng lượng nhưng đàn hồi, gọi là “ête” – cái tên đã có từ thời Hi Lạp cổ đại. Trên cơ sở thuyết sóng còn ngây thơ và khiếm khuyết này, Huygens đã lý giải được nhiều hiện tượng quang học và đặc biệt là cũng rút ra được định luật phản xạ mà Ơclit đã nêu lên và định luật khúc xạ ánh sáng do Sneli phát biểu.

***

Không thể phủ nhận được công lao to lớn của Lépnit và Niutơn đối với giải tích toán học nhưng cũng không nên nghĩ một cách giản đơn rằng phép tính vi – tích phân hoàn toàn là do hai ông đơn thuần sáng tạo ra. Đó là kết quả tất yếu của quá trình suy tư lâu dài của nhiều nhà toán học trước hai ông và được tiếp tục hoàn thiện sau hai ông.

Như đã kể thì tiền thân của toán học giải tích đã có từ thế kỷ III TCN và có thể cho rằng thủy tổ của phép tính tích phân là Ácximét.

Đến thế kỷ XVII, một số nhà toán học nhiệt tâm ở Châu Âu đã đề ra mục tiêu tiếp tục các công trình toán học của Képle và Gallilê. Họ đã giữ vững liên lạc với nhau bằng thư từ và bằng những cuộc gặp gỡ cá nhân. Lúc đó xuất hiện hai bài toán trung tâm thu hút họ. Một là “bài toán tiếp tuyến”: xác định tiếp tuyến với đường cong cho trước, và hai là “bài toán cầu phương”: xác định diện tích liên kết với đường cong cho trước.

Khái niệm cơ bản đầu tiên của toán giải tích là khái niệm “tích phân”. Chúng ta có thể hiểu tích phân là “diện tích dưới đường cong biểu thị qua giới hạn”.

Nếu có hình chữ nhật với hai cạnh là p và q (xem hình 2/a), chúng ta dễ dàng tính được diện tích của nó:

               S=pxq

Hình 2: Hai cách tính diện tích hình chữ nhật

Giả sử chúng ta có 10 hình chữ nhận bằng nhau có hai cạnh lần lượt là P và d ghép với nhau thành một hình chữ nhật lớn như minh họa ở hình 2/b và nếu:

               10xd=q

thì diện tích của nó cũng chính là S:

              

Khái quát hơn, có thể cho các d_i khác nhau với điều kiện tổng của chúng bằng q thì kết quả cuối cùng cũng không hề thay đổi.

Vấn đề vừa nêu là quá hiển nhiên nên cũng tầm thường. Tuy nhiên đó có thể là một “hướng đạo sinh” tốt cho chúng ta trong việc giải quyết vấn đề tiếp theo đây.

Giả sử cho một đường cong (hàm dương, liên tục y=f(x)) trên hình 3/a. Yêu cầu đề ra là phải xác định diện tích của miền được gạch chéo.

Hình 3: Bước đi tiếp cận phép tính tích phân

Từ sự gợi ý của thí dụ phía trên, chúng ta có thể tính gần đúng bằng cách trên trục x, chia khoảng từ a đến b ra thành nhiều khoảng nhỏ (không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng ở đây, vì lý do đơn giản hóa, chúng ta cho chúng bằng nhau), rồi dựng các đường vuông góc tại mỗi điểm chia, tạo nên các hình chữ nhật như mô tả trên hình 3/b. Tổng diện tích của các hình chữ nhật này sẽ là giá trị gần đúng của diện tích cần tìm. Độ chính xác của sự gần đúng đó sẽ càng cao nếu số lượng hình chữ nhật càng nhiều (nghĩa là chiều rộng của mỗi dải chữ nhật càng hẹp)

Giả sử chúng ta chia khoảng từ a đến b ra n đoạn thì độ dài mỗi đoạn là:

              

Khi chúng ta ký hiệu các điểm lần lượt theo thứ tự là x₀, x₁, x₂, …, x_n, thì:

              

Nếu ký hiệu  (đọc là “đen ta x”) là hiệu số của  thì có thể viết:

              

Như vậy, một cách thích hợp, chúng ta có tổng diện tích hình chữ nhật bằng:

              

Hoặc viết tắt:

              

Đó cũng là diện tích gần đúng của diện tích cần tìm A

Khi cho n tăng lên vô hạn thì dần tới 0 (nhưng không được bằng 0!) dẫn đến S_n dần tới A và khi chuyển qua giới hạn thì S_n đúng bằng A. Biểu diễn toán học của quá trình này là:

              

Biểu diễn ở vế phải được viết ra lần đầu tiên bởi Lépnit (ở thời của Lépnit, dấu tổng thường được viết là S và dấu chính là sự biến dạng giản đơn của chữ S).

Đừng hiểu lầm phép tính tích phân chỉ áp dụng cho việc tính toán diện tích (hay thể tích) hình học dù rằng có thể nó được xây dựng nên bắt đầu từ những đòi hỏi như vậy. Đó là một phép toán có tính ứng dụng phổ quát. Một trong những thành tựu chủ yếu của giải tích toán học, là đã thiết lập được một phương pháp tính toán chung, đầy hiệu quả để thay thế cho những qui trình tính toán chuyên biệt thường rườm rà và gặp không ít khó khăn.

Ở những ngày đầu, trong khi bản thân phép tính tích phân đã được thừa nhận là một công cụ tính toán chính xác, đưa đến những kết quả đúng đắn một cách hiển nhiên, thì bản chất của nó lại vẫn không được hiểu một cách rõ ràng, nhất quán. Tình trạng đó xảy ra có nguyên nhân chủ yếu từ việc quan niệm dần tới 0 nhưng không thể bằng 0. Như chúng ta đã nói thì cái quan niệm ấy có phần khiên cưỡng, phi trực giác và do đó mà cũng trở nên mù mờ, khó hiểu. Nhiều người có thiên hướng tự biện triết học và thậm chí đến ngay cả Lépnit cũng không thoát khỏi những suy tưởng theo hướng thần bí hóa quan niệm đó. Thường thì người ta giải thích ý nghĩa của tích phân bằng cách nói rằng “một số gia hữu hạn được thay thế bới một đại lượng nhỏ vô hạn dx, bản thân tích phân là tổng của một vô hạn số các số số hạng vô cùng bé ”

Khoảng 100 năm năm sau Lépnit và Niutơn, người ta mới đi đến nhận thức rằng cơ sở chân thực của định nghĩa tích phân là khái niệm giới hạn chứ không phải cái gì khác. Và cho đến ngày nay, nhận thức đó vẫn còn đóng vai trò chính thống.

Theo chúng ta thì dù sao nhận thức như thế vẫn chưa triệt để, thậm chí là bất ổn, bởi vì nó vẫn dựa trên cái quan niệm chưa xác đáng về sự tiến tới vô cùng bé của .

Khi n tăng lên vô hạn thì tiến đến vô cùng bé, bé đến vô hạn độ miễn là vẫn lớn hơn 0 và trong tình trạng đó, nó được gọi là dx. Suy diễn cảm quan buộc chúng ta phải đi đến nhận định vì n có thể tăng mãi đến vô hạn nên quá trình đó rõ ràng là không có giới hạn, nghĩa là n bất định, kéo theo dx cũng dần trở nên nhỏ đến vô hạn và cũng không thể xác định chắc chắn được. Vậy thì cũng không thể là một lượng xác định chính xác. Muốn xác định được  thì phải dừng sự tăng n “ở đâu đó” để cho dx xác định. Nhưng vì n vẫn còn khả năng tăng lên nữa để tích phân có thể đạt độ chính xác cao hơn cho nên khi dx đã “bị” xác định thì  chỉ có tính gần đúng. Song thực hành toán học đã chỉ ra rằng tích phân là một phương pháp tính mà kết quả của nó là chính xác. Vậy thì mâu thuẫn này phải được giải quyết như thế nào?

Trước hết chúng ta thấy rất rõ điều này: trong thực tiển đời sống, khó lòng phân chia một sự vật nào đó đến vô hạn độ được. Chẳng hạn, không thể phân chia một lượng tiền nào đó vượt quá đơn vị tiền tệ nhỏ nhất của nó nếu muốn một phần phân chia vẫn còn là thứ tiền tệ đó và vẫn có giá trị sử dụng trong việc mua bán thông thường. Không thể phân chia một tảng thịt bò ra thành những miến thịt bò nhỏ đến vô hạn độ được bởi vì sẽ đến một lúc mà các phần bị phân chia không thể được gọi là “miếng thịt bò” nữa, thậm chí gọi là “phần tử thịt bò” cũng không đúng nốt… Có thể nêu vô vàn những thí dụ tương tự để thấy rằng việc chia nhỏ đến vô hạn độ một sự vật nào đó mà vẫn muốn bảo lưu đặc tính nào đó của nó là bất khả.

Từ những thí dụ trực quan và chính mâu thuẫn đã nêu ở phía trên buộc chúng ta phải đi đến một quan niệm mới, xác đáng hơn về quá trình tiến tới vô cùng lớn của n cũng như quá trình tiến tới vô cùng nhỏ của .

Dù có thể tùy tiện chia đoạn từ a đến b ra bao nhiêu phần tùy ý thì số n cũng bắt đầu từ 1 (một phần, chưa chia) và số lần chia tăng lên một cách tự nhiên nhất cũng chỉ có thể là 1, 2, 3, …

Gọi k.e là chiều dài của đoạn b-a do theo đơn vị độ dài e nào đó thì bao giờ chúng ta cũng chọn được số n_e nào đó sao cho n_e=k (về mặt số trị thôi!), nghĩa là:

              

Nếu cho k=1 và gọi e là 1 thì rõ ràng độ dài b-a cũng đóng luôn vai trò là đơn vị độ dài theo qui ước. Lúc này chúng ta sẽ “ung dung” viết được:

              

               với n là số tự nhiên nào đó

Rõ ràng  và n là tương phản nghịch đảo qua gốc 1 của nhau. Nếu n luôn lớn hơn hay bằng 1 thì luôn nhỏ hơn hay bằng 1. Khi n phát triển đến vô cùng lớn thì phát triển đến vô cùng nhỏ một cách đối ứng. Theo quan niệm của triết học duy tồn thì hai chiều phát triển đó là tương phản ảo thực của nhau, đối nghịch nhau mà cũng bình đẳng nhau (ở những góc độ quan sát nhất định có thể thấy quá trình nào cũng là thực và đồng thời quá trình còn lại là ảo).

Khó lòng hình dung được sự vô hạn độ theo hướng vô cùng lớn bao nhiêu thì dễ dàng hình dung sự vô hạn độ theo hướng vô cùng nhỏ bấy nhiêu. Trong mối quan hệ tương phản âm – dương qua gốc 0, giá trị 0 là giới hạn không thể vượt qua của cả hai lực lượng âm, dương nếu chúng còn muốn bảo toàn tính âm, dương của chúng. Trong rất nhiều trường hợp, có thể trực giác được sự giảm dần tất yếu phải đạt đến kết quả là bằng 0 hoặc bị chặn bởi 0. Té ra số 0 lại thể hiện tính hữu hạn rõ ràng và triệt để nhất trong mọi biểu hiện về sự hữu hạn, thậm chí sự hữu hạn mà nó biểu thị ra, nhìn ở góc độ nhất định là có tính tuyệt đối.

Khi cho n phát triển đến vô cùng lớn và giả sử rằng nó đạt đến vô hạn (đã đạt được đến vô hạn không còn là vô hạn nữa!?) thì phải phát triển đến vô cùng nhỏ và buộc phải bằng 0. Nhưng dù có bằng 0 thì vẫn còn một chút gì đó gọi là dx vì sự phân chia không thể dẫn tới Hư Vô được. Nếu còn một chút vô cùng nhỏ dx nào đó ở trạng thái cực hạn thì thông qua mối tương phản nghịch đảo, cũng phải thấy vô hạn ở vô cùng lớn là một cái gì đó xác định tạm gọi là N, sao cho chắc chắn tồn tại:

               dx.N=1

Vậy vô hạn thì cũng phải hữu hạn!

Mặt khác không thể quan niệm đường hay đoạn đường lại hiện hữu được từ Hư Vô và độ dài của chúng lại có thể được xây dựng nên từ những cái “không có gì” hay không có tính “độ dài”. DO đó mà phải cho rằng đường hay đoạn đường là do sự tập hợp nối tiếp nhau của nhiều điểm mà thành và chiều dài của chúng chính là tổng “bề dày” của các điểm đó (gọi là đơn vị độ dài tuyệt đối). (Như vậy, xét trên mặt phẳng, đường cũng phải có “bề rộng” và “bề rộng” đó đúng bằng đơn vị độ dài tuyệt đối). Thế thì, vì số lượng điểm của đoạn b-a rõ ràng là có hạn định cho nên số phân chia n cũng chỉ phát triển đến một mức độ hạn định N nào đó. N gọi là số khoảng cực đại có thể phân chia được của đoạn b-a và khi n đạt tới N thì đạt tới dx - gọi là độ dài cực tiểu có thể có của đoạn b-a (và cũng chính là đơn vị độ dài tuyệt đối của đường). Cần nói thêm rằng nếu “cố tình” chia số khoảng lớn hơn N thì coi như đoạn b-a lập tức bị”khai tử” (không hiện hữu như một đoạn đường nữa mà là “cái gì đó kỳ dị”) vì điểm không phải là điểm nữa và đơn vị tuyệt đối biểu thị độ dài cực tiểu cũng biến tướng nốt.

Khi chia đoạn b-a ra N khoảng có độ dài dx thì có thể hình dung diện tích cần tìm trên hình 3/a là một miền lấp đầy những đoạn thẳng nằm kế tiếo nhau theo phương vuông góc với trục x. Vì các đoạn thẳng đó có “bề rộng” là dx nên diện tích của mỗi đoạn là . Vậy diện tích cần tìm chính xác bằng tổng diện tích của các đoạn thẳng lấp đầy trong đó và chúng ta có thể viết lại (có điều chỉnh chút ít) biểu diễn tích phân mà Lépnit đã đề xướng:

              

Sau đây, chúng ta đưa ra vài ví dụ tầm thường nhất về tích phân để phần nào thấy được “cái chân cái mỹ” của nó và cũng tiện thể nghiệm chứng cho lập luận nêu trên.

1.- Cho hàm số  với . Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng song song với trục x và cách trục x một khoảng là 2 đơn vị độ dài. Miền xác lập giữa đường thẳng đó và trục x trong khoảng từ x=a đến x=b rõ ràng là một hình chữ nhật và diện tích của nó hiển nhiên bằng:

               2.(b-a)

Nếu phép tích phân là một công cụ toán học chính xác thì phải thỏa mãn:

              

Vâng, nó hoàn toàn thỏa mãn! Bởi vì:

              

(Nghĩa là dù n có như thế nào chăng nữa thì cũng chẳng ảnh hưởng gì đến phép toán!).

Theo quan niệm của chúng ta, n chỉ có thể đạt đến N. Lúc đó, , với 1=b-a, và vì thế:

              

               (luôn nhớ rằng i chỉ là số đếm, số thứ tự)

2.- Cho hàm  với  và các giá trị a và b với , thì miền diện tích cần tìm là một hình thang (xem minh họa ở hình 4/a). Theo hình học sơ cấp thì diện tích của nó bằng “đáy lớn cộng đáy nhỏ, nhân với chiều cao rồi chia cho hai”, nghĩa là theo ký hiệu trên hình 4/a thì:

Hình 4: Diện tích hình thang và hình viên phân parabôn

              

Theo phép tích phân thì vì:

              

mà           , cho nên:

              

Khi  thì:

              

Do đó:

              

Hoàn toàn phù hợp với công thức tính diện tích hình thang mà hình học sơ cấp đưa ra.

Ở đây, có một điều cần làm sáng tỏ là vì sao phải loại bỏ lượng:

              

               (dù vô cùng nhỏ nhưng không thể bằng 0)

thì phép tính vi phân ở trên mới đạt đến độ chính xác? Hay công thức diện tích hình thang truyền thống (theo hình học sơ cấp) là chưa chính xác?

Theo quan niệm của chúng ta thì không thể chia đoạn b-a của trục x đến vô hạn phần được mà chỉ đạt đến tối đa là N phần. Khi n đạt đến N thì đạt đến cực điểm tuyệt đối là dx. Lúc này, có thể hình dung diện tích hình thang trên hình 4/a là gồm diện tích của N đoạn thẳng có độ dài và bề rộng dx, nằm kề sát liên tiếp nhau và vuông góc với trục x tạo dựng nên. Và như vậy, biểu diễn toán học sẽ là:

  

Vì , nên:

              

Trên cơ sở trực quan cũng rút ra được kết luận: tích phân thực ra là sự diễn tả quá trình tích lũy vô số lực lượng vô cùng nhỏ đồng loại để tạo nên cái vô cùng lớn; diễn tả sự kết hợp theo cách thức nhất định của các lực lượng không quan sát được ở miền sâu thẳm vi mô thành những lực lượng hiện thực, có thể quan sát được ở miền vĩ mô. Có thể nói, phép tính tích phân là một sáng tạo tuyệt vời của một hệ quan sát biết tư duy nhận thức phù hợp với hiện thực khách quan mà nó cảm nghiệm được ở tầng nấc qui mô “giành” cho nó. Với quan niệm ấy thì phép tính tích phân là “cực khỳ” chính xác nhưng để tỏ ra là “thực sự đúng đắn”, đáng tin cậy thì phải loại trừ thành phần K ra khỏi kết quả của nó. Loài người, trong hiện thực khách quan của mình, có thể suy diễn được nhưng không thể quan sát được cùng một lúc cả miền vĩ mô lẫn miền vi mô. Khi thấy được (và chỉ có thể thấy được) “thực thể” đã thuộc hàng vĩ mô thì không thể thấy được “thực thể” K vì nó vẫn “thuộc về” miền vi mô. Chính vì thế mà công thức tính diện tích hình thang của hình học sơ cấp, không thể chấp nhận sự hiện diện của thành phần K, và điều đó là hoàn toàn phù hợp với hiện thực khách quan của con người. Tại sao lại khẳng định được như thế?

Không, chúng ta không khẳng định dứt khoát mà chỉ tin tưởng rằng Tự Nhiên bao giờ cũng chí lý trong sự vô lý kinh khủng của nó. Thành phần K chính là một trong những biểu hiện rõ ràng nhất của tính “trái khoáy” ấy. Trước hết, chúng ta “dàn trải” K ra:

xem thử có đúng là nó đóng vai trò như vậy không?

Qua quan sát và suy ngẫm, chúng ta đi đến ba nhận xét kiểu… “trời ơi đất hỡi” như sau:

- Dù n không thể vô hạn được mà chỉ có thể đạt tới N thôi thì cũng đã trở nên một “gã” vô cùng khổng lồ đến nỗi so với hai “gã” như thế, (b – a)² chẳng mảy may là “cái đinh” gì, do đó mà: (b – a)²/2N cũng thực sự không đáng kể chút xíu nào so với diện tích hình thang mà hình học sơ cấp đã xác định. Có thêm hay bớt một con người thì đối với Trái Đất phỏng có nghĩa gì?

- dx là thực thể đóng vai trò là độ dài cực tiểu tuyệt đối và vì thế nó thuộc về đáy cùng của miền vi mô. Quá trình tích phân thực chất là quá trình tích tụ những thành phần có tính cực tiểu trong miền cực tiểu thành những lực lượng có tầm cỡ vĩ mô, chỉ có thể quan sát được trong miền vĩ mô. Trong hiện thực khách quan (thuộc miền vĩ mô), không thể quan sát được cùng một lúc hai thành phần: b² – a²/2 (đã thuộc miền vĩ mô) và K (thuộc đáy cùng của miền vi mô) và thậm chí là không có cách nào quan sát trực giác được K trong kết quả của phép tích phân. Vì vậy, lúc này, để phù hợp với hiện thực khách quan phải cho rằng qui ước đường chỉ có bề dài mà không có bề rộng (dx=0) của Ơclít là chí lý và phải loại trừ K ra khỏi kết quả của phép tích phân.

Còn nếu không (nghĩa là vẫn “ngoan cố” bảo lưu ý kiến rằng đường phải có bề rộng  (dx > 0) dù không thấy được) thì phải nghĩ rằng tùy vào cách đặt vấn đề mà tồn tại hai kết quả tích phân: S_th+K và S_th-K, sao cho S_th là giá trị trung bình của hai kết quả ấy, nghĩa là:

- khi K được viết là:

thì vì một nửa độ dài cực tiểu tuyệt đối là hoàn toàn “phi nghĩa”, không còn có tính độ dài nữa cho nên K lúc này không phải là một thực thể diện tích mà là một cái “quái quỉ” vô cùng bé nào đó và phải “tống khứ” nó khỏi hiện thực khách quan, “di tam thiên lý” nó về với đáy cùng của cõi đã sinh ra nó!

Kết luận cuối cùng: diện tích hình thang mà phép tích phân đưa ra là chính xác cực kỳ nhưng… phi nghĩa, không phù hợp với hiện thực khách quan, cho nên phải loại bỏ K đi nếu muốn nó là công cụ đắc lực trong ứng dụng thực hành; diện tích hình thang do hình học sơ cấp đưa ra là hoàn toàn hợp tình hợp lý trong thực tiễn nhưng thiếu chính xác hơn (dựa vào nó không thể biết được nó có bao gồm hay không bao gồm các đường chu vi (chia trong ngoài) tạo nên nó, còn nếu không có các đường đó (bề rộng của chúng bằng 0) thì không biết nó được tạo nên từ cái gì và thậm chí, khả năng hiện hữu của nó là rất đáng nghi ngờ!).

Thí dụ thứ 2 coi như xong, chúng ta chuyển sang thí dụ thứ 3.

3/ Cho hàm y = f(x) với f(x) = x² (xem hình 4/b). Hãy tính diện tích miền được đánh dấu bằng những vạch ngang? Toán học gọi miền đó là hình viên phân parabôn. Hai ngàn năm trước đây, Ácximét đã giải được bài toán đó bằng một phương pháp rất độc đáo, tạm gọi là qui trình “vét cạn”. Đó chính là tiền thân của phép tính tích phân ngày nay…

Ngày nay, tìm diện tích hình viên phân parabôn cho trước, có nghĩa là chúng ta phải giải bài toán tích phân dạng:

Để cho đơn giản, chúng ta chọn a (còn gọi là “cận dưới” và gọi b là “cận trên”) bằng 0, và vì vậy:

Vì , nên và từ đây có thể viết:

Khi thì và khi “chuyển qua giới hạn” sẽ có:

Qui trình dẫn đến nhưng không thể bằng 0 được để rồi lại phải “chuyển qua giới hạn”, từ trước đến nay vẫn luôn gây ra một cái gì đó có vẻ bất ổn làm ức chế tư duy ghê gớm. Vì thế đến đây, chúng ta lại quay về với quan niệm của mình để trên cơ sở đó giải thử bài toán này xem có hay ho hơn không.

Khi n phát triển đến cực hạn, nghĩa là n = N thì cũng đạt đến cực hạn theo chiều ngược lại, nghĩa là  (độ dài cực tiểu tuyệt đối). Lúc này, vì  nên:

và tương ứng

Suy ra:

              

Tương tự như ở thí dụ 2, chúng ta có thể đặt:

Vì dx không thể “xuất đầu lộ diện” được trong hiện thực khách quan (thuộc miền vĩ mô) nên “ở đó”, K = 0. Vậy, diện tích hình viên phân parabôn ở hình 4/b chính xác là bằng:

4/ Từ ba thí dụ tích phân trên, chúng ta thấy hình như chúng cùng xuất phát từ một dạng tổng quát tuân theo cùng một qui luật sau đây:

Để đơn giản cho việc chứng minh, chúng ta đặt m = 1 và a = 0. Lúc này điều cần chứng minh là:

Trước hết, chúng ta viết lại cho rõ:

Có thể thấy chính là tổng của N đoạn thẳng có bề rộng dx bằng nhau, có độ dài từ đến , làm nên diện tích S. Ở đây, cần tưởng tượng rằng khi dx được nhìn nhận là đơn vị độ dài cực tiểu tuyệt đối thì có thể cho phép:

để tạm thời quên nó đi. Hoặc vì  nên có thể viết:

Biểu diễn đó dẫn đến phải chứng minh:

Thú thực là chúng ta không có khả năng thực hiện việc chứng minh này. Trong thư văn lý thuyết toán mà chúng ta có, chúng ta cũng không tìm thấy bất cứ đâu thực hiện trực tiếp chứng minh đó. Tuy nhiên một cách gián tiếp, chúng ta biết được toán học đã chỉ ra rằng biểu diễn đó chắc chắn phải tồn tại một cách hợp lý.

Có thể phỏng đoán rằng vì điều kiện tiên quyết đối với tích phân đang xét là trong kết quả cuối cùng của nó không được phép hiện hữu dx, nghĩa là phải loại trừ sự hiện diện của , cho nên thành phần phải biểu diễn được như là một tích mà một số hạng nhân của nó phải là . Biết rằng đóng vai trò như một đoạn thẳng gần tổng các đoạn thẳng thành phần của nó. Chúng ta có thể chia lại nó ra thành K+1 đoạn thẳng bằng nhau B, nghĩa là:

Suy ra:

Để thỏa mãn điều kiện tiên quyết thì:

Có thể thấy trên hình 4/b là khi b được chia ra N phần thì có thể chia đoạn ra thành phần. Vậy đối với sẽ chia được  phần. Do đó có thể nghĩ rằng:

Là biểu diễn diện tích một hình chữ nhật có hai cạnh bằng N và . Vì diện tích cần tìm dưới đường cong  trong khoảng x = b chỉ là một phần của diện tích hình chữ nhật ấy và do ràng buộc bởi qui luật chi phối hàm số (mối tương quan giữa x và y) mà phải có:

Thật là lẩn thẩn! Nhưng thôi, cứ để nguyên như thế chẳng ảnh hưởng gì khái niệm tích phân mà chúng ta muốn giới thiệu (dù là sơ sài) cả. Bây giờ, chúng ta nói sang chuyện khác của giải tích toán học.

Trong khi khái niệm tích phân có nguồn gốc từ thời Ácximét xa xưa thì khái niệm “đạo hàm” chỉ mới hình thành “gần đây”, trong thế kỷ XVII mà công đầu thuộc về Fécma.

Sự xuất hiện một cách phổ biến các quá trình tự nhiên liên quan đến cực trị trong nghiên cứu khoa học đã buộc các nhà toán học phải thiết lập hàng loạt bài toán tìm cực trị và cách giải chúng. Đến thế kỷ XVII thì nảy sinh yêu cầu xây dựng một lý thuyết tổng quát về cực trị.

Nói chung, những quá trình vận động của tự nhiên đều là những quá trình tuân theo nguyên lý nhân - quả: sự biến đổi, chuyển hóa lẫn nhau của một hay nhiều yếu tố, lực lượng sẽ làm biến đổi, chuyển hóa một hay nhiều yếu tố, lực lượng khác và ngược lại. Sự xuất hiện giá trị biên, cực đại, cực tiểu làm biến đổi vận động trong các quá trình ấy là có tính phổ biến. Hàm số thường là biểu diễn toán học của các quá trình ấy và việc thiết lập bài toán tổng quát tìm cực trị cho các quá trình ấy cũng chính là xác lập lý thuyết tổng quát về cực trị của hàm số. Fecma chính là người tiên phong trong việc nghiên cứu vấn đề này.

Giả sử có một đường cong đóng vai trò là đồ thị của hàm  được thể hiện trên hình 5.

Hình 5: Các điểm dừng của hàm .

Những điểm nào trên đường cong đó mà có giá trị  lớn hơn bất kỳ điểm nào (hay nhỏ hơn bất kỳ điểm nào) ở lân cận nó thì được gọi là điểm có giá trị cực đại (hay cực tiểu). Như vậy, trên hình 5, các điểm A, B, C, D được gọi là những điểm cực trị, trong đó: A, C là hai điểm cực tiểu, B, D là hai điểm cực đại, A được gọi là điểm có cực tiểu tuyệt đối, D được gọi là điểm có cực đại tuyệt đối.

Một cách trực quan có thể thấy những điểm có cực trị là những điểm mà tại đó tiếp tuyến với đường cong  song song với trục x. Điểm E được gọi là điểm uốn vì đó là điểm xảy ra sự biến chuyển đường cong từ “lõm” sang “lồi” (hoặc cũng có thể nói ngược lại tùy thuộc vào qui ước). Nếu quan niệm đường tiếp tuyến của đường cong qua điểm đó chính là đường vừa tiếp tuyến với phần “lồi” vừa tiếp tuyến với phần “lõm” của đường cong thì tại E, theo thể hiện ở hình 5, tiếp tuyến tại điểm E cũng có thể song song với trục x. Tuy nhiên điểm E không có cực trị vì không thỏa mãn qui định là điểm có giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) so với bất kỳ điểm nào ở lân cận nó.

Vậy, việc đầu tiên tìm các điểm cực trị của một đường cong cho trước chính là đi xác định các điểm mà tại đó tiếp tuyến với đường cong song song với trục x. Điều đó làm nảy sinh yêu cầu có tính tổng quát hơn: xây dựng phương pháp xác định phương của một tiếp tuyến với đường cong đã cho tại một điểm cho trước.

Giả sử có đường cong thể hiện trên hình 6. Hãy xác định phương tiếp tuyến tại điểm P của đường cong ấy!

Đó chính là nội dung “bài toán tiếp tuyến”, một trong hai bài toán trung tâm thu hút nhiều nhà toán học ở thế kỷ XVII và quá trình đi tìm lời giải tổng quát cho bài toán của họ đã làm hình thành nên khái niệm “đạo hàm” - một khái niệm cơ bản trong giải tích toán học, dẫn đến phép tính vi phân.

Nếu chỉ dựa vào hàm  của đường cong và tọa dộ (x, y) của điểm P thì không thể nào xác định được phương tiếp tuyến tại P của đường cong. Trước hết, chúng ta xét một điểm P₁ có tọa độ (x₁,y₁) ở gần điểm P. Đường thẳng t₁ đi qua hai điểm P và P₁ được gọi là cát tuyến của đường cong . Gọi góc giữa trục x và đường thẳng t₁ là , chúng ta dễ dàng có được mối quan hệ toán học:

(gọi là tang) được gọi là “độ dốc” của đường cát tuyến t₁. Độ dốc chính là chỉ thị phương của đường thẳng trong tọa độ vuông góc.

Hình 6: Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Bây giờ, chúng ta cho điểm P₁ chuyển động trên đường cong, dần tới điểm P. Quá trình đó tương đương với quá trình xoay đường thẳng t₁ quanh điểm cố định P. Sẽ đến lúc đường cát tuyến t₁ đạt đến vị trí chỉ còn tiếp xúc với đường cong tại điểm duy nhất P, nghĩa là nó trùng với đường tiếp tuyến t (hoặc có thể nói, nó trở thành đường tiếp tuyến t và có độ dốc là ). Vậy: tiếp tuyến là giới hạn của cát tuyến, độ dốc của tiếp tuyến là giới hạn độ dốc của cát tuyến.

Trong biểu diễn toán học, người ta qui ước:

được gọi là số gia của hàm y,   được gọi là số gia của biến độc lập x.

Khi cho P₁ tiến dần tới P thì có nghĩa cho tiến dần tới O và sẽ tiến dần tới một giới hạn nào đó (nếu có). Giới hạn đó chính là độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm P. Hay phát biểu tổng quát hơn: tiếp tuyến t với một đường cong cho trước có độ dốc bằng giới hạn của tỷ số các số gia khi  tiến dần tới 0 (nhưng không được bằng 0!).

Có thể tưởng tượng được rằng đường cong có vô vàn điểm và tại mỗi điểm đều có thể xác định được giá trị độ dốc tiếp tuyến theo cách đã làm với điểm P. Rõ ràng những giá trị độ dốc ấy được “suy ra” từ hàm  theo cùng một cách thức, cùng một qui luật. Nghĩa là chúng cũng đóng vai trò là một tập hợp của một hàm số nào đó. Người ta gọi hàm số này là “đạo hàm” của hàm cho trước và ký hiệu: hay  (nhiều khi cũng dùng ký hiệu dó Lépnit đề xướng: .

Quá trình giới hạn nhờ đó chúng ta tìm được đạo hàm được gọi là phép vi phân hàm . Nền tảng cơ bản nhất của phép tính vi phân là biểu diễn toán học sau đây:

Đến đây, có thể thấy rằng, điều kiện tiên quyết (nhưng chưa đủ) để một điểm có cực trị là tiếp tuyến tại điểm đó phải có độ dốc bằng 0. Như vậy, việc đầu tiên đi tìm những điểm cực trị của hàm số là phải xác định được đạo hàm của nó, sau đó tìm (các) nghiệm của phương trình:

Để phân biệt trong số các điểm có , điểm nào là điểm có cực đại, có cực tiểu hay đơn thuần là điểm uốn thì phải xác định được cái gọi là “đạo hàm bậc hai”, ký hiệu: hay . Đạo hàm bậc hai là đạo hàm của , hay còn nói là đạo hàm của đạo hàm. Cách xác định nó cũng tương tự như đạo hàm bậc một. Từ khái niệm đạo hàm bậc hai, có thể suy ra được sự tồn tại của đạo hàm bậc n (với n là số tự nhiên nào đó).

Nếu tại một điểm có đạo hàm bậc một bằng 0, và nếu đạo hàm bậc hai:

- nhỏ hơn 0, thì ở đó có cực đại (đường cong có tính lồi).

- lớn hơn 0, thì ở đó có cực tiểu (đường cong có tính lõm).

- bằng 0, thì đó là điểm uốn (đường cong có tính uốn lượn).

Về mặt lịch sử, khái niệm đạo hàm đã được xây dựng nên như chúng ta vừa kể và đó cũng là ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tuy nhiên, sẽ phạm sai lầm đến nực cười nếu cho rằng đạo hàm chỉ là một “trò chơi toán học”, gói gọn trong những bài toán tính độ dốc của tiếp tuyến với đường cong cho trước. Dù hàm số có là con đẻ của toán học thuần túy đi chăng nữa thì cũng không nên lầm tưởng rằng nó không có dính líu nào đến thực tại khách quan. Như chúng ta thường nói, toán học không phải là cái gì khác mà chính là sự biểu diễn đặc thù của nhận thức ở loài người đối với hiện thực khách quan. Mà hiện thực khách quan lại chính là bức tranh mà loài người quan sát được, cảm nhận được, suy nghiệm được và đồng thời cũng “góp phần” thêu dệt nên về Thực Tại Khách Quan, về Tự Nhiên Tồn Tại. Vì lẽ đó mà hàm số không những có mối liên quan mật thiết đối với các quá trình vật lý, là một biểu hiện dưới hình thức toán học của những hiện tượng và quá trình tự nhiên mà sự hình thành của nó còn có nguyên nhân sâu xa từ những biểu hiện của tự nhiên, là thành quả của trí tuệ loài người trên bước đường đi tìm hiểu bản chất của Tự Nhiên.

Thiên tài Niutơn, nhờ được “đứng trên vai của những người khổng lồ” như ông từng tự bạch, đã thiết lập được lý thuyết nòng cốt nhất, phổ quát nhất, đóng vai trò nền tảng của tòa lâu đài cơ học cổ điển. Nếu Fécma đi tiên phong trong việc làm hình thành khái niệm đạo hàm thì Niutơn chính là người đầu tiên nêu ra cái ý nghĩa vật lý của nó.

Khi nghiên cứu, phân tích hiện tượng chuyển động của một động tử (Niutơn gọi là “fluent”, ngày nay cũng thường gọi là “chất điểm”, có thể hiểu “chất điểm” là điểm vật chất, có “khối lượng” nhưng không có kích thước, tương tự như điểm hình học Ơclít), Niutơn đã phải tìm cách giải quyết một yêu cầu cơ bản: xác định vận tốc của động tử chuyển động không đều trên một quãng đường bất kỳ. Sự suy luận sắc sảo của một bộ não thông minh thiên bẩm đã giúp Niutơn thấy được ở công trình của Fécma sự gợi ý hoàn hảo để thực hiện nhiệm vụ đó. Chính từ hướng này mà ông đã đến được với phép tính vi phân.

Nói chung, biểu hiện nổi trội có tính đặc trưng của một chuyển động là sự nhanh, chậm. Nói đến nhanh, chậm thì phải nghĩ ngay đến thời gian. Để “đo” sự nhanh, chậm đối với chuyển động của một động tử, vật lý học không thể không đến với khái niệm “vận tốc” hay “tốc độ”. Đối với một chuyển động đều (là chuyển động mà đối với bàn thân nó, không có lúc nào nhanh hơn cũng như chậm hơn trên một quãng đường) thì vận tốc của nó được xác định bằng độ dài quãng đường đạt được trong khoảng thời gian nào đó chia cho khoảng thời gian đó. Chẳng hạn tại thời điểm t, quãng đường một động tử (chuyển động đều) đạt được là S, sau đó tại thời điểm t₁, tổng quãng đường động tử đạt được là S₁, thì vận tốc chuyển động của nó, ký hiệu là v, được xác định:

Trong trường hợp chuyển động không đều, nghĩa là vận tốc chuyển động của động tử biến đổi theo thời gian thì biểu thức trên không còn chính xác nữa và cùng lắm chỉ được coi là biểu thức tính vận tốc trung bình, mang tính gần đúng mà thôi.

Nếu vận tốc chuyển động của động tử biến đổi theo thời gian một cách “trơn tru”, “tự nhiên”, hay nói dúng hơn là một cách có qui luật thì sẽ thiết lập được mối quan hệ nhân - quả hình thức giữa quãng đường và thời gian, trong đó quãng đường đóng vai trò hàm số và thời gian đóng vai trò là biến số của nó. Lúc này, có thể đặt:

và công thức tính vận tốc trung bình viết theo ký hiệu mới là:

Biểu diễn toán học này có bản chất giống hệt biểu diễn toán học tính độ dốc cát tuyến của đường cong mà chúng ta đã trình bày, và nếu thay bằng , t bằng x, t₁ bằng x₁ thì chính là biểu diễn toán học đó. Vậy muốn xác định giá trị vận tốc biến đổi theo thời gian tại thời điểm t (gọi là “vận tốc tức thời” tại thời điểm t), chúng ta phải cho t₁ tiến dần tới t, hay “nói trắng ra” là tìm đạo hàm của hàm tại thời điểm t, và viết:

Vậy: vận tốc là đạo hàm của đường đi theo thời gian.

Sự biến đổi của vận tốc theo thời gian cũng có thể là nhanh hay chậm (nhiều hay ít) cho nên cũng xuất hiện khái niệm “gia tốc”. Gia tốc là tốc độ biến đổi của vận tốc theo thời gian, thường ký hiệu là a và giá trị của a chính là đạo hàm bậc hai của hàm . Có thể biểu diễn:

Không thể phủ nhận được công lao to lớn của Lépnit và Niutơn đối với phép tính vi – tích phân trong việc tạo ra chúng và hơn nữa là trong việc làm sáng tỏ mối quan hệ nội tại giữa chúng.

Ký hiệu đạo hàm bằng  là do Lagrăngxơ đề xướng, còn ký hiệu là do Lépnit đưa ra và được ông gọi là “tỷ số của vi phân”. Do đó mà có thể viết:

Lépnit coi đạo hàm như là tỷ số của hai vi phân, rõ ràng không phải là tùy tiện vô tình. Chắc rằng ông đã nhận thấy hai quá trình: quá trình  trong phép tích phân và quá trình trong phép đạo hàm thực chất là như nhau. Nếu trong tích phân, khi “cho qua giới hạn”,  (khác 0) thì trong đạo hàm cũng phải xảy ra như vậy. Trực giác ban đầu cho thấy không có gì cản trở khi tiến dần tới 0 lại không thể bằng 0 được, và do đó mà cũng không có gì cản trở tỷ số của các số gia () đạt đến “trạng thái” . Nhưng nếu có như thế thì thật là vô nghĩa. Chính thực hành toán học xác minh rằng quá trình  tiến tới ngày càng bé sẽ làm cho tỷ số của các số gia biến đổi chuyển hóa để kết quả cuối cùng bao giờ cũng có một ý nghĩa toán học hay vật lý học thật sự (trong trường hợp nó bằng 0 thì có nghĩa tại điểm đó hay thời điểm đó có đạo hàm bằng 0). Dù có thể còn lúng túng trong việc nhận thức triết học về cái quá trình “tiến tới 0 nhưng không thể bằng 0” ấy, nhưng Lépnit theo ý kiến chúng ta, đã có một nhận định toán học đúng đắn. Đại loại, Lépnit cho rằng, có xu thế tiến dần đến 0 nhưng “giá trị cuối cùng” của không bằng 0 mà là “một đại lượng vô cùng bé”, “một vi phân” được ký hiệu là dx. Kéo theo đó  cũng đạt đến “giá trị cuối cùng”, “một vi phân” được ký hiệu là dy. Tỷ số của hai đại lượng vô cùng bé ấy cho ra kết quả là một số thông thường:

Khái niệm về phép tích phân và một phần khái niệm về phép vi phân đã được phát triển khá tốt từ trước khi có các công trình của Lépnit và Niutơn. Tuy nhiên, như chúng ta đã nói, thành tựu vượt trội của hai ông là ở chỗ đã vạch ra được mối quan hệ gắn bó keo sơn của hai qúa trình tích phân và vi phân mà thoạt đầu tưởng chừng như chúng không có liên quan gì với nhau. Chúng thực ra là hai phép toán thuận - nghịch của nhau, tương tự như phép cộng và phép trừ, phép nhân và phép chia. Có thể coi tích phân và vi phân là hai thể, hai quá trình tương phản nhau, chuyển hóa nhau, hợp thành một thể, một quá trình thống nhất. Đó cũng chính là nội dung khái quát có thể rút ra được từ định lý cơ bản của giải tích , được Lépnit và Niutơn, không hẹn mà gặp, thiết lập trong gần cùng một thời gian.

Để phát biểu chính xác định lý cơ bản của giải tích, trước tiên, chúng ta hãy xem hình 7

Hình 7: Tích phân là hàm của cận trên

Xét tích phân của hàm trong khoảng từ hằng số a đến số x mà chúng ta xem như một biến. Để không nhầm lẫn cận trên x của tích phân với biến dươi dấu tích phân, chúng ta viết tích phân dưới dạng:

              

để chứng tỏ ý định xem xét tích phân như một hàm (F(x)) đối với cận trên (x) của nó. Hàm F(x) chính là diện tích miền ở dưới đường cong y=f(u), từ điểm u=a đến điểm u=x. Vì x được coi là một biến, chưa xác định nên người ta thường gọi F(x) với biến cận trên x là “tích phân bất định”.

Toán học đã chứng minh được:

              

Do vậy, định lý cơ bản của giải trình được phát biểu: Đạo hàm của tích phân bất định F(x) theo cận trên x của nó bằng giá trị của hàm f(x) tại điểm u=x, nghĩa là:

              

Nói cách khác: quá trình tích phân đi từ f(x) đến hàm F(x) bị phá hủy bới quá trình vi phẩn ngược với nó áp dụng cho hàm F(x).

Nói thêm, trong toán học, người ta gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x). Hàm f(x) có vô số nguyên hàm. Những nguyên hàm này khác biệt nhau một hằng số nào đó và có thể biểu diễn tập hợp các nguyên hàm của hàm f(x):

              

Với C là một số nào đó trong miền các số thực.

Nói tóm lại, có thể hình dung tích phân là quá trình tích lũy những “đơn trị vi phân” được “xây dựng” nên từ những đơn vị cực tiểu tuyệt đối thuộc miền vi mô không thấy được theo một cách thức có tính nguyên tắc hay qui luật nào đó, thành một lực lượng có tính vô cùng lớn, đối với chúng, chỉ có thể thấy được (hiện hữu được trong miền vi mô), còn vi phân là quá trình gia giảm một lực lượng thuộc miền vĩ mô để tìm lại một “đơn trị vi phân” nào đó. Chúng ta quan niệm “đơn trị vi phân” là những “thực thể” trung gian kết nối hai miền không gian vĩ mô và vi mô. Nói chung thì chúng đều có thể hiện hữu cùng một lúc ở cả hai miền ấy nhưng do hạn chế khách quan của năng lực quan sát không thể thấy được cùng một lúc những hiện hữu trong hai miền ấy mà trong từng miền, sự hiện hữu của chúng là không đềy đủ, có tính phiến diện. Chẳng hạn, chúng ta có thể coi những “hình chữ nhật” f(x)dx tạo nên diện tích miền dưới đường cong y=f(x) là những “đơn vị vi phân” (được tạo thành theo qui luật y=f(x)). Trong miền vĩ mô, vì quan sát không thể thấy được thành phần dx nên những đơn vị vi phân ấy chỉ hiện hữu như những đoạn thẳng  f(x) không có tiết diện. Trái lại, trong miền vi mô, khi đã quan sát “thấy” được dx thì không thể quan sát thấy được toàn vẹn độ dài  f(x), thậm chí là tính thẳng liên tục của đơn vị vi phân cũng không thể hiện.

Chúng ta cho rằng chỉ có quan niệm như trên mới soi tỏ được quá trình chuyển biến từ

              

thành:     

Có thể thấy đó là quá trình đã bị “tóm tắt hóa” bởi vì nó đã diễn thiếu mất một giai đoạn trung gian chuyển tiếp nữa. Nếu viết đầy đủ thì theo chúng ta, phải là như sau:

Có nguyên hàm:              

Bỏ dấu tích phân có nghĩa là tìm lại dạng biểu diễn đầy đủ của một đơn vị vi phân góp phần làm nên nguyên hàm ấy. Chúng ta gọi đơn vị vi phân đó là dy và viết được:

              

Vì dx là lượng vô cùng bé, đóng vai trò là đơn vị cực tiểu tuyệt đối, không thể hiện hữu trong miền vĩ mô nên cũng có thể bỏ qua nó mà không ảnh hưởng gì đến kết quả tính toán. Hay đúng hơn, phảỉ cho rằng biểu diễn trong hiện thực vĩ mô của đơn trị vi mô tại x (hình thành theo qui luật y=f(x)) là:

              

Dễ dàng thấy rằng nếu thay dx bằng dt và coi đó là đơn vị cực tiểu tuyệt đối của thời gian thì dy chính là quãng đường chuyển động mà động tử đạt được trong đơn vị thời gian ấy. Do đó mà vận tốc tức thời của một động tử đang chuyển động luôn xác định và một cách tuyệt đối thì không thể bằng 0 được (dù quan sát và qui ước có cho là bằng 0 đi chăng nữa!).

Đến đây, có thể nói, câu chuyện lịch sử về sự hình thành nên phép tính vi – tích phân, được chúng ta kể một cách vừa sơ sài vừa lan man “chuyện nọ xọ chuyện kia”, biên niên không ra biên niên mà tự sự cũng không ra tự sự, thực hư lẫn lộn và quá ư luộm thuộm, đã đến hồi kết. Chắc rằng những “bậc khổng lồ” không bao giờ thèm nghe câu chuyện này bởi vì họ sống trong thượng tầng vĩ mô nên chỉ thấy được những điều lớn lao. Đối với họ, những điều nào được cho là lớn lao, đúng đắn trong câu chuyện thì họ đều biết tỏng từ lâu và đã trở thành cũ rích, nhàm chán. Còn những điều nào được gọi là mới lạ của câu chuyện thì vì chúng thuộc hạ tầng vi mô nên những “bậc khổng lồ” không nhìn thấy được, hoặc giả nếu có thấy được thì họ cũng nhếch mép cười ý nhị cho rằng, chúng hoàn toàn phi lý, nếu không phải là biểu hiện của sự rồ dại thì cũng là của sự ngớ ngẩn. Ngẫm mà thấy vừa buồn vừa lo! Nhưng thú thật, chúng ta có cảm giác rằng, chỉ có Hoàng Tử Bé mới thích thú câu chuyện này và dù thế, nếu cậu ta thực sự đã quan tâm theo dõi từ đầu chí cuối, thì ngay lúc này, cậu ta cũng đang thở phải nhẹ nhõm vì câu chuyện đã đến… bước đường cùng.

Để kết thúc cho có hậu, chúng ta đưa ra một bài toán và giải quyết nó một cách ly kỳ… cục, làm món quà tặng cho Hoàng Tử Bé vì có công lao kiên trì chịu đựng câu chuyện của chúng ta. Chắc là cậu chàng sẽ rất vui vẻ, phấn khích trở lại mà quên hết chán ngán, mệt mỏi!

Cho hàm y=f(x) với . Hãy xác định đạo hàm của nó!

Con đường làm xuất hiện đạo hàm chính là:

Với đáp số:

chúng ta cũng có thể coi như đã giải xong bài toán. Nhưng giải như thế, “thà chết còn sướng hơn” vì nó cũng tương tự như một câu trả lời “Trời sinh ra thế!” và mù tịt vẫn hoàn mù tịt!

Vì tin định lý cơ bản về giải tích là một chân lý đích thực nên chúng ta bình tâm viết lại một biểu diễn quen thuộc:

Dựa vào nguyên tắc tìm đạo hàm theo ý nghĩa hình học của nó và quan niệm đạo hàm tại x của nguyên hàm F(x) là thành phần đơn trị vi phân thấy được trong miền vĩ mô của nó, chúng ta viết tiếp:

Vì rõ ràng là đơn trị vi phân của F(x) tại điểm x = 1 cho nên cách viết tổng quát khi x chưa xác định đối với đơn trị vi phân của F(x) thấy được trong miền vĩ mô phải là:

Toán học đã chỉ ra rằng, trong miền vĩ mô:

Nên:

Nghĩa là quá trình đạo hàm không ảnh hưởng đến hằng số đóng vai trò mẫu số K+1.

Nếu đặt ; thì:

Bài toán đã được giải xong và kết quả thật… sáng sủa!