THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 43/b

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

                         ĐẠI CHÚNG

--------------------------

PHẦN V: THỐNG NHẤT

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

                                                         A. Anhxtanh

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad

CHƯƠNG III: THỰC - ẢO

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.
                                                                                                                            
                                                                                                                          Trịnh Xuân Thuận

(tiếp theo)

Suy tư toán học không thể “vẽ vời” ra những biểu diễn mà hiện thực không hàm chứa. Chúng ta phát biểu như vậy không phải là vô căn cứ.

Trong Vũ Trụ số, chúng ta luôn chọn được ngẫu nhiên hai số bất kỳ để lập thành một phân số. Giả sử có hai số m và n, với m>n, đồng thời để tiện theo dõi, m và n là nguyên dương, được lập thành phân số:

              

Một cách ngẫu hứng, chúng ta đưa ra biểu diễn:

              

Để “hợp đạo lý” thì phải xảy ra:

              

Tuy nhiên, vì tự do “quá trớn” trong tư duy thường dẫn đến sự tùy tiện “ngoan cố” cho nên chúng ta vẫn cứ cho biểu diễn đó “hợp đạo lý” ngay cả khi . Vì m>n nên chúng ta giả sử được:

               ,    với a < n

và do đó:

              

Chú ý: nếu cho a = n  thì n = 2. Suy ra

vế phải rõ ràng là số thập phân trong khi vế trái là số nguyên dương. Vậy thì làm sao chúng bằng nhau được? Chúng ta cho rằng sự “ngoan cố” tùy tiện dù có “hùng dũng” đến mấy thì cũng phải có giới hạn và ngưỡng chặn trên của nó là sự gàn dở. Nếu ngoan cố dù sao vẫn còn chút tỉnh táo thì gàn rở coi như đã bị mất trí. Chúng ta chỉ tự nhận mình là ngoan cố thôi chứ chưa phải gàn rở nên đành lủi thủi rút lui mà suy nghĩ lại.

Nếu vế phải chắc chắn là số thập phân thì số n cũng phải là số thập phân. Có thể biểu diễn nêu trên, trong Vũ Trụ số nguyên dương chỉ có kết quả duy nhất là Nếu muốn nó có nghiệm khác với  thì phải mở rộng Vũ Trụ số, nghĩa là phải qui ước n, m mà là dương nhưng có thể không nguyên.

Vì a là số dương bất kỳ nhỏ hơn n nên chúng ta có quyền cho nó là 1 và có:

              

và suy ra:

              

Đến đây thì sự điên rồ của tư duy đã hội ngộ với biểu hiện thần thánh của hiện thực . Giải phương trình bậc hai với ẩn số là n ở trên, chúng ta sẽ có nghiệm dương là số Tỷ lệ vàng (số ), thật là kỳ thú!

Kỳ thú hơn nữa là số được biểu diễn dưới dạng liên phân số:

      

Dù số lần phép chia là vô hạn thì cuối cùng nó cũng phải kết thúc bằng số . Vậy thì số lần chia có thực sự vô hạn không? Không biết nói thế nào nữa! Chắc rằng số  là biểu hiện sự thỏa thuận giữa khách quan và chủ quan, giữa thực và ảo, giữa hữu hạn và vô hạn. Hiện thực khách quan trở nên lung linh, huyền diệu là có lẽ vì thế.

Đặc biệt, số còn được biểu diễn dưới dạng liên căn thức bậc 2 nữa. Vì có thể viết:

              

nên có thể viết tiếp:

              

Bình phương hai vế thì được:

               

Suy ra:    

Vậy , nghĩa là:

              

Từ hai cách viết số , đều bắt buộc phải xảy ra là:

              

Có thể coi đó là hai hiện thực của một thực tại khách quan duy nhất. Ở hiện thực nào thì cũng đều có thể khám phá ra chân lý đích thực và duy nhất. Điều quan trọng bậc nhất rút ra được từ đây là cả hai quá trình đó có vô hạn hay hữu hạn thì cũng không mảy may quan trọng. Vì chúng là quá trình ở bất cứ giai đoạn nào, miễn là phần quá trình đã qua có tính trọn vẹn (nghĩa là sự biểu diễn luôn thỏa mãn với cách biểu diễn ban đầu, hay tạm gọi là “đơn vị vận động của quá trình”), thì đều cho ra kết quả là .

Thực ra cái ngẫu hứng đặt:

              

chẳng thấm tháp vào đâu so với ngẫu hứng của Đấng Tạo Hóa. Vì trong lòng hiện thực còn tiềm ẩn cách biểu diễn tổng quát hơn nhiều. Đó là:

                       

Từ đó mà có :     

Suy ra:    

Nghiệm dương của phương trình này (với n là ẩn số) là:

              

Khi b và a bằng 1 thì:

Vậy có thể cho rằng  là nghiệm trong vô số nghiệm của phương trình tổng quát .Ở góc độ này thì Tỷ lệ vàng cũng… bình thường thôi, chẳng có vẻ gì thần thánh!

Giả sử rằng  và , chúng ta sẽ có số n là:

              

Chỉ cần chọn bất cứ số c nào thỏa mãn:

              

thì chúng ta sẽ có ngay được một số n mang những đặc tính kỳ lạ của số là:

              

(Chú ý:  chính là nghiệm thứ hai của phương trình tính ra )

Thí dụ cho , suy ra:

              

Thử lại:

              

hay:        

Thí dụ cho , suy ra:

              

Thử lại theo cách biểu diễn liên phân số:

              

Vì liên tiếp luôn có:  nên dù quá trình có kéo dài ra vô hạn thì cuối cùng cũng phải là

Thử theo cách biểu diễn liên căn thức:

              

Vì quá trình dừng lại như một bộ phận trọn vẹn ở bất cứ quãng nào cũng tồn tại nên

Trước đây, chúng ta đã từng “bịa” ra , và gọi nó là số “Tỷ lệ vàng sao”, và cho rằng thực ra chỉ là cái bóng của nó. Có thể rằng lúc đó vì không thấy có liên quan đến số 0,96- là số mà chúng ta vô cùng “ngưỡng mộ” nên đã có những tuyên bố huyênh hoang quá đáng. Bây giờ nghĩ lại thấy hơi… bị xấu hổ. Đáng lẽ ra tốt hơn hết là nên phát biểu chung chung, đại loại: “Cái bình dị nhất thường hàm chứa điều thiêng liêng nhất”, thế thôi là đủ!

Số  viết theo biểu diễn liên phân số và liên căn thức là:

(với số bước “nguyên” tùy ý!)

Có lẽ điều lạ lùng nhất về số là thế này:

Khi viết:

              

thì ở vế trái, ắt phải: . Ở vế phải đương nhiên là n cũng bằng . Tuy nhiên, ở vế phải không phải là điều cần thiết cho vế trái bằng . Một khi quá trình liên phân số và liên căn thức ở trên là vô hạn, dù số n của chúng là bất kỳ số nào, miễn là  thì cả hai quá trình ấy đều đi đến kết quả là . Hay có thể nói là giới hạn của mọi dãy số vô hạn khi các dãy số đó có số hạng “cuối cùng” đưa về được dạng liên phân số hay liên căn thức ở trên. Thí dụ khi , chắc chắn phải có:

              

Rất vui vì cũng có:

              

Có thể phát biểu: Đem nghịch đảo một số dương bất kỳ rồi cộng với 1, được kết quả lại đem nghịch đảo nó rồi cộng với 1, cứ thế mà làm tới vô hạn lần sẽ có kết quả cuối cùng là số . Hoặc, lấy một số dương bất kỳ cộng với 1, được bao nhiêu đem khai căn bậc 2, lấy kết quả đó cộng với 1 rồi tiếp tục khai căn bâc 2 nó, cứ thế mà  làm tới vô hạn bước sẽ có kết quả cuối cùng là số .

Khi tùy tiện viết:

              

Chúng ta đâu có ngờ rằng đó chẳng qua là sự dẫn xuất ra từ phương trình bậc 2 tổng quát. Nếu chúng ta đổi n thành x và gọi x là ẩn số thì phương trình bậc 2 tổng quát có dạng:

              

                           Với A, B, C là những số thực đã biết, gọi là hệ số.

Từ đó suy ra được:

              

Đặt lại:     , thì có:

              

Nhiều khả năng cách viết này chính là gợi ý đầu tiên cho các nhà toán học cách biểu diễn một số thực bằng liên phân số và liên căn thức, nhất là đối với các số vô tỷ. Cho dù sự xuất hiện của chúng có thể xảy ra sớm hơn. Sự biểu hiện mối liên quan mật thiết giữa số vô tỷ và liên phân số cũng như liên căn thức mà chúng ta cảm nhận được, đã gợi ý rằng rất có thể xây dựng được một biểu diễn tổng quát cho mọi số vô tỷ trên cơ sở áp dụng liên phân số và liên căn thức.

Chính Ơle đã tìm ra sự biểu diễn theo liên phân số rất đẹp của số (còn gọi là số Ácximét):

              

Số e (còn được gọi là số Ơle) là một số cũng rất nổi tiếng. Ngay sau khi Ơle cho công bố tác phẩm “Nhập môn giải tích vô hạn”, số e đã nhanh chóng chiếm địa vị quan trọng trong toán học. Đối với số e, Ơle cũng tìm ra (không phải chỉ một) cách biểu diễn dưới dạng liên phân số cho nó. Dưới đây là một cách biểu diễn:

Đặc trưng của một số vô tỷ cụ thể nào đó là nếu quan sát các số hạng trong phần thập phân của nó, sẽ không thấy bất kỳ một sự sắp xếp có qui luật nào. Tuy nhiên việc biểu diễn được một số vô tỷ bằng biểu thức toán học hữu hạn mà vẫn hàm nghĩa, hình dung được đến vô hạn của nó đã mách bảo chúng ta rằng dù sao thì các số vô tỷ cũng phải được sinh thành ra từ những quá trình toán học có qui luật. Chính vì vậy mà bản thân chúng cũng mang tính qui luật, cũng hàm chứa những đặc tính có qui luật, chỉ có điều chúng không biểu diễn ra hoặc biểu hiện ra nhưng khó thấy. Số là minh chứng điển hình cho nhận định đó. Nếu số không hàm chứa những nguyên lý, qui luật thậm chí là rất cơ bản của Tự Nhiên thì nó không thể được biểu diễn bằng những chuỗi số có cách tiến triển khoan thai, nhịp nhàng và giản dị đến không ngờ mà công đầu trong việc khám phá ra chúng là thuộc Lepnit và Ơle. Số là số siêu việt, nhà toán học người Pháp tên là Lămbe (D’Alemert, 1717-1783) đã chứng minh được tính vô tỷ của . Dù nó bị xếp vào hàng những “kẻ hỗn độn” nhất trong Vũ Trụ số thì sự hỗn độn kinh khủng đó chỉ là cái biểu diễn bề ngoài đã che đậy một hồn vía vừa ảo huyền kỳ diệu vừa hồn nhiên sáng láng. Chúng ta sẽ bị mê hoặc bởi các chuỗi số sau:

Và đặc biệt:

(Tổng các số tự nhiên nghịch đảo!)

Nếu chúng ta vẫn tin tưởng rằng số huyền ảo vì nó là cái “bóng xế” của một “hiện thực” có tên gọi là “Số Pi vàng” () thì cái “hiện thực” ấy được biểu diễn gọn gàng như sau:

Từ đó, chúng ta có thể “xáo xào” để cho ra một con số thú vị:

Năm 1965, hai nhà vật lý thiên văn người Mỹ, tên là Pendiat (Penzias) và Uynxơ (Wilson) đã đo được cái gọi là “nhiệt độ tương đối của bức xạ phông Vũ Trụ”. Nó có giá trị bằng: 2,735K (độ Kenvin). Kết quả này được các nhà vật lý học đánh giá là một bằng chứng quyết định cho tính đúng đắn của thuyết Big Bang.

Vậy có mối liên quan nào giữa con số vừa tính ra của chúng ta với số đo thực nghiệm của vật lý đó không?

Ngoài ra chúng ta cũng có thể đặt câu hỏi tương tự khi nhớ đến số e. Trị của số e là:

Không như số và số được phát hiện từ rất sớm trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu hình học một cách trực quan, số e mãi đến thế kỷ XVIII mới xuất hiện trong toán học. Nó được khám phá ra khi các nhà toán học đi nhận thức bản chất của sự vô cùng và xây dựng khái niệm giới hạn.

Trong Vũ Trụ số thực, với hai số thực A và B bất kỳ (nhưng để tiện theo dõi, qui ước chúng là nguyên dương), chúng ta luôn thiết lập được:

với c cũng là số thực

Từ biểu thức đó, bao giờ chúng ta cũng biểu diễn được:

      

                       với - p, q cũng là 2 số thực

     - thành phần liên phân số ở vế phải có thể có số bước hữu hạn hoặc vô hạn.

Thí dụ 1: Có:    

Nếu tính thử lại thì:

Thí dụ 2: Có thể triển khai  thành:

Thí dụ 3: Số 13 là một số nguyên tố. Có thể phân tích thành:

        

Với A, B là nguyên dương thì C cũng nguyên dương và bao giờ cũng có thể tìm được những số hữu tỷ biểu diễn dưới dạng gọi là đặc biệt của dạng , là:

với n là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1

Viết như thế coi như chúng ta đã chuyển đơn vị làm nên lực lượng c (có thể là tuyệt đối hoặc tương đối) sang đơn vị mới để lực lượng c lúc này được thấy là Q. Nghĩa là đơn vị làm nên lực lượng Q, bản thân nó được cấu thành từ p đơn vị của lực lượng c, hay nói cách khác là 1 = p. Có thể nói số nguyên dương c, nhìn ở góc độ nào đó sẽ thấy là một số hữu tỷ (dương) Q có lực lượng:

với n là số tự nhiên tương đối (hay có bản chất tự nhiên)

Khi cho n tăng dần vế phía VCL, vì 1 là đơn vị tương đối và Vũ Trụ là hữu hạn, nên n chỉ có thể đạt đến trị lớn nhất của nó gọi là I (số tự nhiên tương đối lớn nhất). Lúc này:

Hãy tạm quên Q là số hữu tỷ đi và cho đó là biểu diễn lực lượng toàn phần của một thực thể Không Gian nào đó. Lúc này, p là lực lượng được cấu thành từ số lượng K đơn vị Không Gian nhỏ tuyệt đối, nghĩa là:

Gọi I là lực lượng của Vũ Trụ hữu hạn (lực lượng thực), thì:

và biểu thức được chuyển đổi thành:

Có thể chọn K = I và do đó:

Có thể chọn và do đó:

Vì trong Vũ Trụ thực, không còn gì nhỏ hơn được nữa cho nên chính là lực lượng của Vũ Trụ ảo được thấy từ Vũ Trụ thực mà nếu đem chuyển đổi sang thực thì là nghịch đảo của nó, nghĩa là:

Có thể gọi I là đơn vị lớn tuyệt đối của Vũ Trụ thực.

Vậy, nếu I là lực lượng tuyệt đối của Vũ Trụ thực thì:

là lực lượng tuyệt đối của Vũ Trụ toàn phần (gồm thực và ảo “đã qui ra thực”; nếu là lực lượng tuyệt đối của hạt KG thì:

là lực lượng toàn phần của nó (mà thành phần ảo của nó đóng vai trò như lượng cảm ứng kích thích (năng lượng) lúc ẩn lúc hiện chăng?!).

Vì cho K=I nên cũng viết được:

Nghĩa là bất cứ thực thể nào cũng có tổng lực lượng Không Gian là tổng lực lượng toàn phần của các hạt KG cấu thành nên nó. Hay còn có thể nói chỉ số lực lượng KG toàn phần của một thực thể là 2.

Bây giờ, chúng ta lại nhìn Q như là biểu diễn của một dãy số:

Nếu cho n tăng từ 1 đến I thì chắc chắn  sẽ đạt đến giới hạn hữu hạn . Khi trở nên VCN (chúng ta quan niệm vô cùng nhỏ là rất nhỏ chứ không phải vô tận) đến độ không còn thấy được, cảm nhận được thì coi như:

Do đó có thể viết:

Toán học chẳng bao giờ đồng ý như vậy nên chúng ta phải viết theo cách:

(Chúng ta hiểu: khi n vượt qua giới hạn hữu hạn ở VCL thì thành phần ảo được thấy trong miền thực  sẽ biến thành 0, nghĩa là không quan sát được, bất định, hóa hư không).

Vì  là tương phản nghịch đảo của số tự nhiên n nên chúng ta gọi nó là số tự nhiên ảo, và cũng vì thế mà nó không phải là một tồn tại thực trong thế giới số tự nhiên mà chỉ là hình ảnh thấy được ở miền thực tương tự như qua một thấu kính (to hóa nhỏ, thuận hóa nghịch) của một số tự nhiên tồn tại thực ở miền ảo của Vũ Trụ số. Tình trạng đó đã làm cho chúng ta (những kẻ luôn ở Vũ Trụ thực!) thấy được hiện tượng là khi cho n tăng từ 1 lên VCL thì giảm từ 1 xuống VCN và khi n đạt tới thì biến thành 0.

Nếu chúng ta có thể bước qua được “ranh giới” để vào được miền tồn tại thực của (miền Vũ Trụ ảo) thì chúng ta sẽ thấy quá trình giảm từ 1 xuống VCN của  chẳng khác gì quá trình n tăng từ 1 lên VCL. Nghĩa là dạng thực của quá trình ảo  chính là khi . Nhưng đừng vội cho rằng vì thế mà nghịch đảo tương phản (hoàn toàn qua 1) của:

Khi chúng ta viết  thì phải quan niệm rằng tính chủ quan của nhận thức đã “xâm nhập” vào cách viết đó rồi. Từ sự qui ước chủ quan của mình về đơn vị, chúng ta đã chấp nhận biểu diễn một số lượng cùng một lúc gồm hai thành phần thực và ảo (vô tình làm cho số lượng đó vốn dĩ là có thể đếm được trở thành không đếm được). Nhưng đồng thời cũng cần thấy rằng không không hành động như vậy thì toán học cũng không thể “đi đâu xa” được cho nên biểu diễn đã hàm chứa sự “thỏa thuận” tất yếu giữa chủ quan nhận thức và khách quan phản ánh. Sự thỏa thuận đó làm xuất hiện bên cạnh sự tương phản tự nhiên, có thực của Vũ Trụ là sự tương phản tương đối do qui ước chủ quan, phi thực. Bằng con đường trực quan, thuyết âm – dương của Trung Hoa cổ đại đã đi đến một luận điểm tài tình, chí lý: trong âm có dương và trong dương có âm. Dù có thế thì những nhà hiền triết Trung Hoa cổ đại vẫn chưa thể thấy được cái nguyên nhân gốc rễ làm cho cảm nhận trực quan đến được với quan niệm đó. Hiện thực khách quan khi đã được nhận thức thì tất yếu phải hàm chứa cả sự chủ quan của nhận thức, làm sản sinh ra một trong những “đứa con” của nó là sự tương phản tương đối, ít nhiều mang tính qui ước. Từ đó mà cũng xuất hiện hiện tượng thực có thể biểu diễn như ảo, ảo có thể biểu diễn như thực, thực mà ảo, ảo mà thực, trong thực có ảo, trong ảo có thực, nói chung là… hư hư thực thực. Nếu biểu diễn là ở dạng trong thực có ảo thì tương phản nghịch đảo của nó có dạng gọi là trong ảo có thực, sao cho tích của chúng bằng 1.

Vì  cho nên tương phản nghịch đảo của nó phải là:

Cả hai biểu diễn ấy, khi cho n tăng dần từ 1 đến VCL thì đều là quá trình tiến đến giới hạn là 1. Hay có thể viết:

Có thể thấy quá trình đầu là quá trình giảm dần tới 1, nghĩa là nhận 1 làm giới hạn dưới của nó và quá trình sau là quá trình tăng dần tới 1, nghĩa là nhận 1 làm giới hạn trên của nó. Một cách tương đối nếu cho một trong hai quá trình là thực thì quá trình kia là ảo trong mối tương quan nghịch đảo (qua 1) của nó.

Đơn thuần là chỉ vì thích thú riêng tư, chúng ta ngẫu hứng viết lại:

rồi tự đặt câu hỏi: giữa chúng có mối liên hệ nào không, và nếu có thì có ý nghĩa triết học nào không?

Trước hết, vì đã có “kinh nghiệm” ở phía trên rồi, nên chúng ta cho rằng có thể sử dụng chúng vào việc biểu diễn lực lượng toàn phần của Vũ Trụ. Với quan niệm Vũ Trụ thực là hữu hạn, thì ngay lập tức, chúng ta viết được: n = I, là số tự nhiên cực đại tuyệt đối. Do đó cũng có:

Với qui ước: số lượng là phải đếm được thì không còn cách nào khác, phải có:

Vì = I thì hoàn toàn cũng là I = , nên cũng có:

Sau khi đã “ngầm hiểu” như trên rồi thì chúng ta viết lại:

Cho… đẹp; và phát biểu: Với vai trò tượng trưng cho lực lượng toàn phần đếm được của Vũ Trụ thì hai biểu diễn đó là tương đương nhau và có thể chuyển hóa thành nhau. Chú ý rằng khi 1 = n thì hai biểu diễn đó nói về lực lượng toàn phần của Vũ Trụ trong trạng thái thể hiện sự vô cùng lớn của nó trước quan sát nhận thức (bằng 2n), và khi n = 1 thì hai biểu diễn đó nói về lực lượng toàn phần của hạt KG (bằng 2), mà theo quan niệm của triết học duy tồn, hạt KG là trạng thái thể hiện sự vô cùng nhỏ của Vũ Trụ trước quan sát nhận thức. Vì lực lượng toàn phần của Vũ Trụ bằng tổng lực lượng toàn phần của các hạt KG cho nên có thể viết được:

         

Số hạt KG có thực là:

        

Theo quan niệm của triết học duy tồn thì ở một góc độ quan sát đặc biệt nào đó, phải thấy hạt KG cũng chính là Vũ Trụ. Tuy nhiên khi thấy một hạt KG là Vũ Trụ thì hệ quan sát phải lọt vào nội tại nó. Nhưng dù có lọt được vào đó thì hệ quan sát cũng chỉ thấy quang cảnh y hệt như Vũ Trụ thực, thậm chí là không thể phân biệt được và cũng chỉ có thể “đếm được” n hạt KG. Hơn nữa làm sao vượt được giới hạn giữa thực và ảo tuyệt đối, khi ngoài hạt KG ra, không còn cái gì nhỏ hơn nó nữa để mà “chui vào” nó? Có thể biện luận rằng không cần phải chui vào hạt KG mà chỉ qua suy tưởng lôgic thôi cũng phải cho rằng, phải nhân toàn bộ vế phải của biểu thức về lượng hạt KG thêm một số n nữa. Chúng ta mặc kệ, ai muốn làm thế thì làm, nhưng do bản chất phân định tương phản ảo - thực của Vũ Trụ mà khi làm thế, tự nhiên phải đồng thời nhân với cả  nữa. Rốt cuộc thì vế trái luôn không đổi, nghĩa là 2n bất biến (bảo toàn Không Gian).

Trong tất cả các số tự nhiên (khác 0), số 2 có một đặc tính mà không có số nào có. Nếu giải phương trình:

              

thì nghiệm dương của nó là ,

Vậy:       

Nghĩa là: tích của một số với chính nó bằng tổng của nó với chính nó. Và số khác 0 đó chỉ có thể là số 2.

Vì hai biểu diễn đang xét mang bản chất của số 2 nên chúng ta viết được một biểu diễn mới đầy thú vị:

              

Nếu tính độc lập mỗi vế thì kết quả đều cho ra:

              

Từ đó:

              

Tổng quát hơn, có thể đưa cách viết trên vào trong tương phản âm – dương:

              

Sự hoang tưởng, khi không có nguồn gốc bệnh lý, thì đừng vội kết tội nó là “lệch lạc”, đừng ruồng bỏ nó, thậm chí là nên tôn vinh nó. Bởi vì, nếu không có sự hoang tưởng thì loài người sẽ không bao giờ tích lũy được một kho tàng khổng lồ và cực kỳ quí báu những chuyện cổ tích và thần tiên đầy huyền diệu và kỳ ảo. Đó là món ăn thức uống tinh thần không bao giờ hết, không bao giờ cạn, vô cùng rẻ tiền nhưng lại vô cùng sảng khoái đối với biết bao nhiêu thế hệ nam, phụ, lão, ấu, hèn, sang từ cổ xưa quá khứ cho đến ngày nay và cả đối với muôn đời sau. Nếu không có những hoang tưởng vĩ đại đi tiên phong thì nhận thức của loài người đang ở đâu, thì toán – lý giờ này đã thấy được những gì từ hiện thực khách quan?

Tuy nhiên, cần thấy rằng, dù hoang tưởng mãnh liệt cỡ nào đi nữa thì cũng có giới hạn chứ không thể vô hạn được. Ở thời đại nào cũng xuất hiện không ít các nhà hoang tưởng. Tùy vào sự lệ thuộc nhiều hay ít vào ý thức hệ (vốn dĩ bảo thủ) của thời đại mà mức độ của những hoang tưởng đó có khác nhau. Khi một hoang tưởng đã dứt bỏ được mọi xích xiềng ràng buộc vào mặt trái bảo thủ lạc hậu của ý thức và kiến thức thời đại để bay trong bầu trời tự do, khoáng đạt, thì, thôi rồi, nó sẽ bay một mạch đến đậu trên cành viển vông có một không hai mà hót lanh lảnh rặt những tiếng quá ư kỳ dị và phi lý “kinh khủng” làm cho người đương thời vì chưa ai từng nghe thấy nên đều choáng váng khi nghe phải.

Nói thực lòng, chúng ta rất khoái chí nếu được ai đó xếp vào hàng ngũ những nhà hoang tưởng vĩ đại, phi phàm nhất. Tuy nhiên, chắc chắn không thể xảy ra điều đó. Vì nếu điều đó thực sự xảy ra thì nó phải viển vông hơn mọi viển vông! Nhưng chúng ta hoàn toàn tự tin khi tự nhận rằng bản thân là nhà hoang tưởng bạt mạng nhất qua mọi thời đại từ trước đến nay. Một kẻ, với mớ kiến thức triết – toán – lý lè tè thấp hơn cả ngọn cỏ mà còn dám đứng ra “nghênh chiến” với những khối uyên bác đại thụ, thậm chí còn chê bai sự toàn năng của Thượng Đế, phê phán cả Đấng tạo Hóa về tính hai mang của Ngài một cách liến thoắng, có lý lẽ hẳn hoi thì không một ai trong số người đời có thể tưởng tượng ra nổi bộ não kẻ đó còn biết tư duy tỉnh táo. Rồi đây, chắc rằng mọi người sẽ gán cho chúng ta nhãn mác: “Kẻ hãnh tiến xấc xược và phá bĩnh rồ dại nhất thế gian”. Thật là một nhãn hiệu đầy danh giá, tưởng hạ nhục nhưng hóa ra là tôn vinh. Chúng ta nghĩ thế và xin… thành thực cảm ơn!

Còn Tạo Hóa thì chẳng tôn vinh chúng ta một mảy may. Trái lại, rất có thể là Ngài đã từng gầm lên: “Thằng mất dạy!”. Nhưng vô ích thôi! Vì từ lâu, chúng ta đã trở thành những anh hề điếc đặc, ngó nghiêng ngơ ngơ ngáo ngáo. Ở chốn lưng chừng Vũ Trụ này, không có không khí để truyền âm thanh mà tai nghe được mới là chuyện lạ!. Nhưng nhiều khả năng là Ngài chẳng bao giờ chửi đổng thế, vì Ngài biết tỏng rằng, nếu chúng ta có xúc phạm Ngài thì cũng là làm theo định mệnh. Mà định mệnh của chúng ta là do đâu nếu không phải là do Ngài ban định?

Chúng ta tiếp tục đi theo sự thúc giục của định mệnh đời mình!

Sự tự tôn bản thân làm chúng ta phấn khích. Phấn khích thì đối với những kẻ nhẹ dạ thường dẫn đến phởn chí. Sự phởn chí thái quá đã làm cho chúng ta “mất bình tĩnh” nên huênh hoang công bố: Số lượng Không Gian toàn phần là một bất biến. Số lượng đó bằng 2n khi thấy hạt KG. Nhưng trong Thực Tại, vì không thể thấy cùng một lúc hai miền phân định ào - thực của Tự Nhiên Tồn Tại nên bao giờ cũng chỉ đếm được n hạt KG mà thôi”.

Do đó nếu thể tích của Vũ Trụ là:

              

với n là số hạt KG có thực, v là thể tích thực của hạt KG, thì lực lượng Không Gian toàn phần của Vũ Trụ là:

              

Đến đây, chúng ta có thể khẳng định: khi toán học được dùng để “giảng giải” triết học về Vũ Trụ thì nó không còn chắc chắn nữa. Hay nói cách khác: hiện thực khách quan vốn dĩ hàm chứa toàn bộ lý thuyết toán học nhưng lại không cho phép toán học mô hình hóa nó một cách đúng đắn. Mọi mưu toan toán học nhằm chiếm vai trò của triết học trong việc nhận thức thực tại khách quan đều dẫn đến thất bại. Vì thực tại khách quan tuy tuyệt đối phục tùng nguyên lý, qui luật nhưng không chấp nhận cách đơn thuần máy móc. Mà toán học không còn là nó nữa. Tuy nhiên, như đã có lần nói, nếu không có toán học (và cả vật lý học, triết học) sẽ rất chi là… buồn tênh.

Có một “tung hứng” toán học không kém “hay ho”. Trước khi “trình diễn”, chúng ta phải thực hiện yêu cầu: “Cái gì của Xêda phải trả lại cho Xêda, cái gì của Chúa phải trả lại cho Chúa”. Cụ thể là phải trở về quan niệm truyền thống: đã là n thì vẫn là n, đã là 1 thì vẫn là 1, không cho phép được “đánh lận con đen” n cũng có thể là 1 và 1 cũng có thể là n.

Với quan niệm về một Vũ Trụ hữu hạn và n là số tự nhiên cực đại của nó thì cách viết:

là không được phép. Vì n là tổng số hạt KG có trong Vũ Trụ hữu hạn nên không thể “đào đâu ra” để có thêm hạt KG mà thỏa mãn biểu diễn trên. Vậy thì chỉ có thể hiểu rằng biểu diễn đó là nói về sự mở rộng của Vũ Trụ hữu hạn đang xét. Nhưng nếu đã biểu diễn được sự mở rộng Vũ Trụ hữu hạn đến thì tự nhiên cũng có thể mở rộng nó đến  và đến . Nghĩa là  không phải biểu diễn một Vũ Trụ hữu hạn mà biểu diễn một Vũ Trụ vô hạn.

Đối với quan niệm Vũ Trụ hữu hạn thì một tổng gọi là “tối đa” chỉ có thể, và cũng chắc chắn là:

Thế nhưng trong “thực tiễn” toán học, khi đã có số n rồi thì dù nó đã là cực đại, chúng ta vẫn cứ “tạo ra” được một cách dễ dàng số tự nhiên nào đó lớn hơn n, mà số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn n chính là . Tại sao Tạo Hóa không cấm chúng ta làm được điều đó? Và nếu Ngài đã không cấm thì biểu diễn  hiển nhiên là hợp lý. Vậy Vũ Trụ phải chăng là vô hạn chứ không phải hữu hạn như chúng ta quan niệm? Có thể cảm giác được việc chỉ cho n đạt đến cực đại rồi thôi là khiên cưỡng hơn nhiều so với việc cho phép n lớn tới bao nhiêu cũng được.

Nếu Vũ Trụ thực sự là vô hạn thì lực lượng Không Gian không nhất thiết phải tuân theo nguyên lý bảo toàn nữa. Nghĩa là dù có thể có lúc lực lượng Không Gian bị mất đi “chút ít” hoặc được thêm vào “chút ít” thì vì là vô hạn nên nó coi như chẳng suy suyễn gì. Hơn nữa, lượng mất đi “chút ít” hay thêm vào “chút ít” ấy trở về đâu hay đến từ đâu khi mà lực lượng Không Gian vốn dĩ là vô hạn, “ngay từ đầu” đã chiếm lĩnh “mọi lúc mọi nơi”? Hay là phải chấp nhận Hư Vô? Biết rằng, đặc trưng cốt lõi nhất của Không Gian là tính thể tích của Nó. Một thể tích, dù rỗng tuếch, dù có thể tưởng tượng rằng tuyệt đối chẳng hàm chứa gì thì vẫn chỉ thị cho tư duy nghĩ đến Không Gian chứ không thể là cái gì khác. Vậy Hư Vô phải là thứ gì đó không có thể tích. Khi một “chút ít” lượng Không Gian mất đi thì có nghĩa là một chút xíu thể tích biến mất và khi một “chút ít” lượng Không Gian được thêm vào thì có nghĩa là xuất hiện một chút xíu thể tích từ Hư Vô. Một “chút ít” Không Gian có thể mất đi hoặc thêm vào thì cũng có thể có nhiều “chút ít” mất đi hoặc thêm vào. Khi một thể tích biến mất thì nó có tạo “lỗ hổng” ở đó không? Nếu có thì lỗ hổng đó “chứa” Hư Vô hay Không Gian. Chắc chắn là không phải Hư Vô rồi, vì Hư Vô làm gì có thể tích. Khi một thể tích Không Gian được thêm vào thì thêm vào như thế nào một khi Không Gian vốn dĩ đã “lấp đầy” đến vô hạn? Mặt khác, sự tự nhiên tăng trưởng thể tích Không Gian chỉ có khả năng nếu trước đó Không Gian chưa đạt đến vô hạn, nghĩa là trước đó Không Gian phải hữu hạn. Đó là những điều không thể hình dung được cũng như không thể hình dung được Hư Vô. Vậy thì hoặc là không bao giờ xuất hiện hiện tượng thêm, bớt Không Gian (mà nếu có chăng nữa thì chỉ là ảo huyền!) hoặc là thực sự có hiện tượng ấy nhưng chẳng ảnh hưởng gì đến lực lượng Không Gian cả, cũng như chẳng làm cho tính vô hạn của Vũ Trụ bị biến đổi. Cuối cùng, phải kết luận rằng một Vũ Trụ vô hạn cũng phải tuân thủ nguyên lý bảo toàn Không Gian. Nhưng khi nói một lực lượng được bảo toàn thì chính cái ý niệm “bảo toàn” đã phải hàm nghĩa về tính xác định chắc chắn được lực lượng đó. Nghĩa là một Vũ Trụ hàm chứa tính vô hạn thì đồng thời cũng hàm chứa tính hữu hạn.

Rốt cuộc, chỉ còn cách phát biểu duy nhất: Vũ Trụ là hữu hạn trong vô hạn, là vô hạn trong hữu hạn, đồng thời như thế mà cũng không đồng thời như thế! (Nghe được lời phát biểu “chói chang” này, chắc rằng Tạo Hóa sẽ nở một nụ cười vô cùng hả hê, mãn nguyện và có thể là còn khen: “Lũ oắt con tài thật! Tài đến thế là cùng!... Tiên sư anh Tào Tháo!”).

Nếu điều đó đúng thì cũng là một “bằng chứng” cực kỳ hùng hồn cho nguyên lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại, hay còn gọi là “Nguyên lý hai chân lý”. Một chân lý khách quan duy nhất đúng phải bao gồm hai bộ phận tương phản nhau gọi là thuận và nghịch. Tùy điều kiện hoàn cảnh cụ thể cũng như tùy quan niệm mà chân lý thuận là đúng hay sai và đồng thời khi đó, chân lý nghịch là sai hay đúng. Hơn nữa, hai bộ phận thuận nghịch của chân lý, tùy thuộc vào sự biến đổi của điều kiện, hoàn cảnh và quan niệm, cũng chuyển hóa lẫn nhau và cùng biến đổi một cách phù hợp. Một chân lý khách quan, chỉ khi được nhận thức một cách linh động, uyển chuyển thì mới có thể là chân lý đích thực.

Ngay trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều ví dụ có thể giải thích vì sao cách biểu diễn lại chỉ thị về tính vô hạn. Chẳng hạn, chúng ta nuôi được 1000 con heo cả thảy. Tập hợp heo đó là “của chúng ta” chứ không phải là của ai khác, và chỉ có ngần ấy. Nghĩa là tập hợp heo “của chúng ta” là hữu hạn với số lượng cực đại là n = 1000.

Vì chỉ có ngần ấy heo “của chúng ta” nên chẳng thể “bói” đâu ra thêm dù chỉ một con nữa để viết được:

1000 + 1 heo “của chúng ta”

Tuy nhiên, nếu lúc đó chúng ta muốn có một đàn heo nhiều hơn 1000 con, chúng ta vẫn có thể thực hiện được bằng nhiều cách kể cả cách đi ăn cướp. Nhưng có lẽ cách hiền từ và hợp lý nhất là bỏ tiền ra mua một con heo mới, biến con heo “của người ta” đó thành con heo “của chúng ta”, mang về, xung vào đàn heo đang có, rồi ung dung viết: 1000 + 1 heo “của chúng ta”.

Cần thấy rằng hành động mua heo để làm tăng đàn heo “của chúng ta” là hành động làm cho một tập hợp vượt qua giới hạn hữu hạn. Đã tăng được 1 ắt cũng có thể tăng được nhiều hơn và nếu toàn bộ heo trên Trái Đất là vô hạn thì đàn heo “của chúng ta” cũng có thể là vô hạn. Đàn heo “của chúng ta” lúc này cũng là đàn heo “của Trái Đất”. Nhưng trực quan cho chúng ta biết, làm sao đàn heo “của Trái đất” vô hạn được? Điều đó có nghĩa đàn heo “của chúng ta” dù là có vẻ vô hạn nhưng vẫn “trong” hữu hạn. Đến đây, nếu còn muốn viết:  heo “của Trái đất” thì chỉ còn cách qui ước gà, voi, chim, cá… cũng là heo “của Trái đất”, cực đoan hơn nữa: hạt cát cũng là heo “của Trái đất”, thậm chí cả hành tinh, các vì sao, số tự nhiên cũng là heo “của Trái đất” để thực hiện ước muốn đầy tham vọng đó. Chỉ có cách đó mới làm cho đàn heo “của chúng ta” có thể có số lượng vô hạn. Dù thế thì đàn heo đúng là heo “của chúng ta” (chứ không phải heo không đúng là heo) vẫn phải hữu hạn. Nghĩa là sự tham lam vô hạn độ vẫn phải dừng bước trước giới hạn hữu hạn!

Trên cơ sở quan niệm của triết học duy tồn và nhờ “giỏi biện bác”, chúng ta đã tính ra được số lượng của lực lượng Không Gian toàn phần là 2n cùng với sự khẳng định số 2n là một bất biến. Vì thế, dù Vũ Trụ là vô hạn và được biểu diễn bằng  thì bao giờ cũng phải thỏa mãn:

(Nghĩa là nếu biết thì vì: nên lại là . Hay dù có viết  đi chăng nữa thì rõ ràng vẫn cứ là ).

Từ biểu diễn trên, có thể viết:

Và suy ra:  nếu chỉ chú ý tới mặt tương phản âm – dương.

       hay  nếu chỉ chú ý tới tính bảo toàn lực lượng Không Gian.

Vì đã lỡ ra điều kiện “Cái gì của Xêda…” rồi nên hai biểu diễn vừa nêu là không thể nhận thức được. Hay có thể nói qui ước là con dao hai lưỡi, vừa mở đường cho nhận thức tiến lên, vừa cản trở “che mắt” nhận thức. Không qui ước thì không được, mà răm rắp tuân theo qui ước thì trở thành mù quáng. Cho nên qui ước thì cứ qui ước nhưng cần phải biết quên qui ước đi một cách đúng lúc! Đó là lời khuyên chí lý của chúng ta cho… chính chúng ta. (Và hình như Tạo Hóa lại cười!...).

Chúng ta cho rằng biểu hiện bình dị vô song mà cũng huyền diệu tuyệt vời của lực lượng Không Gian toàn phần, được mô phỏng bằng số n mà chúng ta đã khám phá ra được (hay bịa ra được?!), chính là biểu diễn:

              

hay:        

(Tương tự như biểu diễn , kết quả sẽ bằng 0 nếu chỉ chú ý tới tương phản âm – dương, sẽ bằng  nếu chỉ chú ý tới tính bảo toàn của lực lượng Không Gian, biểu diễn sẽ có kêt quả bằng 1nếu chỉ chú ý tới tương phản nghịch đảo, sẽ có kết quả bằng nếu chỉ chú ý tới tính bảo toàn của lực lượng Không Gian. Muốn biểu diễn lực lượng toàn phần có thực của Không Gian thì phải chuyển biểu diễn ảo sang biểu diễn thực!). Cách biểu diễn trên chắc chắn là tuyệt tác làm nên mọi tuyệt tác mà Đấng Tạo Hóa thiêng liêng đã sáng tạo ra được một cách… Tự Nhiên! Không thể tiêu diệt được Không Gian. Chúng ta tin tưởng sâu sắc vào sự bất hủ đến vĩnh hằng của nó. Biểu hiện của sự bất hủ đó chính là ở chỗ nó quá ư chí lý, đến độ phải phi lý tột cùng!

Có được “bảo bối” rồi, chúng ta thản nhiên viết:

              

và đưa về dạng:

              

Lạ lùng thay, đó chính là biểu diễn “Tích trung bằng tích ngoại” lừng danh mọi thời!

Lạ lùng hơn, cũng bằng con đường suy tư triết học, chúng ta có thêm một cách nữa đến được kết quả đó. Ở phía trên chúng ta đã từng viết được:

              

Rõ ràng đó là cách biểu diễn theo quan niệm Vũ Trụ là vô hạn. Đối với quan niệm Vũ Trụ là hữu hạn, không thể viết được như thế. Còn nếu khăng khăng đòi viết như thế thì phải ngầm hiểu n thực ra là , nghĩa là:

              

Viết như thế thì cũng chẳng khác gì cách viết:

              

Vì sự biểu hiện của Vũ Trụ vừa co thể là vô hạn, vừa có thể là hữu hạn, nên hai cách viết biểu diễn hai biểu hiện ấy dù là khác nhau thì cũng phải tương đồng nhau, nghĩa là:

              

Từ đó chúng ta sẽ có:

              

Hay:       

Và:          

Thật là không thể không ngàn lần bái phục Đấng Tạo Hóa! Thật là không thể nói khác được: Tích trung bằng tích ngoại là kết quả của mối giao duyên quấn quít giữa tính vô hạn và tính hữu hạn, là sự hòa hợp thống nhất giữa hai tính cách hoàn toàn trái ngược và huyễn hoặc cực kỳ của Vũ Trụ.

Có lẽ vì vậy mà n phải “hóa vàng” để diễn tả cho được sự tác hợp kỳ lạ có một không hai ấy? Vừa phải hữu hạn (bị chặn), vừa phải vô hạn, vừa là tất yếu khách quan, vừa là ngẫu nhiên chủ quan, ý nghĩa về sự vô tỷ “ghê hồn” của số phải chăng là vì thế.

Nhưng căn nguyên đích thực làm xuất hiện số là ở đâu, vì chúng ta không tin được trong Thực tại khách quan lại có một sự “biểu dương lực lượng” không xác định được và vì thế mà làm cho tính bảo toàn Không Gian có thể bị lung lay? Không, một lực lượng Không Gian vô tỷ nhất quyết không thể tồn tại trong Vũ Trụ thực chất được. Cũng như một số vô tỷ khác, số chỉ có thể tồn tại trong Vũ Trụ số của các nhà toán học (Xin lỗi!), là kết quả của thực tại khách quan đã bị chủ quan hóa lũng đoạn.

Theo thiển ý của chúng ta thì căn nguyên đích thực là do sự hiện diện của cái “1” trong biểu diễn:       mà ra.

Vì n là hữu hạn, cho nên cái “1” ở đây không phải là đơn vị (tương đối cũng như tuyệt đối) của Vũ Trụ n hoặc do Vũ Trụ n tác thành, mà là đơn vị “ngoại lai” (qui ước là “con heo” nhưng thực ra, đâu phải “con heo”?!), được “huy động” từ đâu đó “mông lung”. Xét về mặt số lượng, nên “quy đổi” cái “1” ấy sang cách biểu diễn thỏa mãn với Vũ Trụ n thì nó không bao giờ là 1. Vì ngộ nhận hoặc cố tình qui ước cái “1” đó là đơn vị của n, cho nên chúng ta buộc phải chấp nhận sự vô tỷ của n, nghĩa là làm n hóa thành số thần thánh.

Bây giờ, với quan niệm ở trên, chúng ta gọi cái “1” đã qui đổi là x và thử xác định nó sao cho n luôn hữu tỷ. Có thể chuyển phương trình bậc hai:

              

thành:     

Giải ra với ẩn số là n thì được:

              

Rõ ràng n luôn là số hữu tỉ khi  hữu tỉ.

Toán học không cho phép  cho nên nó đã phải tăng cường qui ước để giải quyết trường hợp . Toán học nghĩ rằng qui ước là một khiên cưỡng nên gọi đó là một số ảo. Nhưng thực ra qui ước đó không kiên cưỡng chút nào vì nó hoàn toàn phù hợp với hiện thực. Trong nhiều trường hợp hoặc có thể là trong bất cứ trường hợp nào, số ảo của toán học là một lực lượng thực sự tồn tại trong Vũ Trụ số. Chúng ta cho rằng phải có những quá trình tự nhiên tương tự như:

              

Vì thế mà cũng có quá trình nghịch:

              

Nếu quá trình thuận là hữu tỉ thì quá trình nghịch cũng hữu tỉ.

Tuy nhiên ở đây, vì mục đích đơn giản hóa, chúng ta chỉ chú ý tới n là hữu tỷ dương và loại bỏ qui ước  (nghĩa là phép khai căn đó không thực hiện được).

Có thể chọn bất kỳ số hữu tỷ dương k nào cũng đều thỏa mãn.

Và cho ra một giá trị x hữu tỷ. Chẳng hạn:

Hoàn toàn là cảm tình riêng tư, chúng ta chọn k=2,2 để có được số chỉ thị mà chúng ta cho là một trong những số thiêng liêng nhất Vũ Trụ, đó là:

Khithì chúng ta có được:

(như đã gọi là số “Tỷ lệ vàng sao”)

Trên đà tổng lượng, chúng ta tiếp tục đưa ra vài nhận xét vui vẻ sau đây:

- Khi  thì  (hoặc )

Ý nghĩa: Vũ Trụ là hữu hạn, duy nhất và ở góc độ nào đó còn thấy nó chính là hạt KG. Vì biểu diễn được xây dựng từ một lực lượng có thực nên n không thể bằng 0 được. “Biến cố” phải được hiểu là sự bất động của miền Vũ Trụ ảo, là sự không thấy được biểu hiện của nó trong hiện thực, hay cũng có thể hiểu Vũ Trụ là duy nhất (), khác 0, nhưng miền ảo của nó do tác động của nguyên lý trội lặn nên bị cho là không có, nghĩa là:

- Khi   thì

Ý nghĩa: Vũ Trụ là hữu hạn và xét về mặt lực lượng thì được thấy gồm hai đơn vị hợp thành, hoặc cũng có thể thấy đó là lực lượng toàn phần của hạt KG.

- Khi  thì

Ý nghĩa: x là lực lượng miền ảo của Vũ Trụ và nếu qui đổi thành thực thì nó đúng bằng n. Vậy lực lượng toàn phần của Vũ Trụ, nếu có thể qui đổi từ ảo sang thực thì đúng bằng 2n (theo tương phản âm – dương) hay bằng n² (theo tương phản nghịch đảo).

- Khi thì và có thể viết:

       

Ý nghĩa: Vũ Trụ là vô hạn và bất định. Cho dù là vô hạn và bất định thì nó, nhìn ở góc độ nào đó cũng là một hạt KG có lực lượng toàn phần là 2 đơn vị tuyệt đối. Nghĩa là dù vô hạn và bất định thì cũng không xóa nhòa được mặt biểu hiện hữu hạn và xác định của Vũ Trụ thực tại khách quan cũng cũng như tính lưỡng phân lưỡng hợp (phân định nhưng duy nhất) của nó.

Thế là chúng ta đã trình diễn xong tiết mục “tung hứng toán học”. Có hay ho không? Chỉ sự đánh giá của khán giả mới đáng tin cậy. Nhưng chẳng có “ma” nào ngoài chúng ta ở chốn lưng chừng Vũ Trụ này cả. Đành chờ ngày trở về Trái Đất biểu diễn lại vậy!

Chúng ta tiếp tục “hành quân” và hướng trí não trở lại biểu diễn:

Vì 1ⁿ được toán học qui ước là bằng 1 dù n có là số nào đi nữa, và qui ước đó đã trở thành hết sức hiển nhiên, đóng vai trò như một tiên đề, cho nên chúng ta dễ đi đến xác quyết rằng:

Và… sai lầm hoàn toàn! Vì dù cho có nhỏ đến bao nhiêu chăng nữa thì bao giờ cũng lớn hơn 1, do đó lũy thừa vô hạn của một số lớn hơn 1 buộc phải lớn hơn 1. Vậy thì giới hạn đó bằng bao nhiêu? Toán học đã chỉ ra rằng:

Có thể phân tích số e thành một chuỗi số cộng rất đẹp:

Chúng ta biết rằng nghịch đảo của  là:

Vậy:

Có thể cho là bằng được không?

***

Trong thực tiễn đời sống, vẫn thường xuất hiện những vấn đề phải giải quyết sao cho đạt được tối ưu, nghĩa là phải xác định được mối quan hệ giữa tốt nhất - xấu nhất, nhiều nhất - ít nhất,… để từ đó mà lựa chọn được phương án tối ưu. Chẳng hạn như phải thiết kế hình dạng của đáy tàu như thế nào để con tàu chịu sức cản nước một cách tối thiểu. Hay như với cùng một lượng vật liệu, phải chế tạo bình đựng nước có hình dạng ra sao để đạt được dung tích lớn nhất.

Quá trình đi tìm phương án giải quyết tối ưu luôn liên quan đến việc thiết lập bài toán xác định những giá trị biên gọi là lớn nhất và nhỏ nhất của một quá trình nào đó, mà trong ngôn ngữ toán học được gọi là giá trị “cực đại” và “cực tiểu” hay gọi chung là “cực trị”

Sự tồn tại cực trị trong hiện thực khách quan đã được con người biết đến từ rất lâu. Các nhà toán học Hi Lạp cổ đại đã xác định được trong số các mặt cong kín có cùng diện tích thì mặt cầu “bao bọc” được một thể tích lớn nhất. Theo Truyền thuyết thì ngay từ thế kỷ I, nhà toán học Hêrôn đã khám phá ra hiện tượng tổng quãng đường mà một tia sáng đi từ điểm này đến điểm kia bằng cách phản xạ qua gương là có tính cực tiểu và duy nhất. Sau này, người ta gọi khám phá đó là nguyên lý Hêrôn. Nguyên lý Hêrôn còn được cho là mầm mống  đầu tiên của lý thuyết quang hình học.

Tuy nhiên, lý thuyết tổng quát về cực trị thì mãi đến thế kỷ XVII mới phát sinh. Những bước đầu tiên do Fecma thực hiện đã thúc đẩy nhanh sự cố gắng tìm ra những phương pháp chung để nghiên cứu các vấn đề về cực đại và cực tiểu. Những phương pháp này đã được bổ sung thêm rất nhiều trong thế kỷ tiếp sau, cùng với sự sáng tạo ra phép tính biến phân.

Hiện tượng xuất hiện cực trị trong quá trình tự nhiên phải nói là có tính phổ biến bởi vì đó cũng chính là biểu hiện bản chất cái đặc tính hữu hạn của Vũ Trụ. mặt khác, cũng cần thấy rằng do cách đặt vấn đề và quy ước của chủ quan nhận thức như thế nào mà nhiều khi sẽ không thấy được sự xuất hiện cực trị.

Đó là nhận định “thuần triết học” và hoàn toàn dựa vào cảm tính của chúng ta. Nó có thể đúng mà cũng có thể sai. Thôi thì tốt nhất là nên xét và “hiện tượng” cụ thể xem thử thế nào.

Trước hết, chúng ta giới thiệu bài toán mà kết quả của nó dẫn đến nguyên lý Hêrôn. Cho một đường thẳng G và hai điểm S và P ở về một phía của nó (xem minh học ở hình 1/a).

Hình 1: Định lý Hêrôn và tính cực trị của tia sáng

Cần tìm điểm R trên G sao cho tổng hai đoạn thẳng SR và RP là ngắn nhất có thể (cực tiểu).

Một cách trực giác, có thể thấy ngay rằng có một điểm R như vậy. Đó là giao điểm của đoạn thẳng S’P và đường thẳng G, với S’ là điểm đối xứng với S qua G. Khi đó:

              

Hơn nữa điểm R là duy nhất làm cho quãng đường đi từ S đến R rồi từ R đến P là ngắn nhất. Bởi vì với bất cứ một điểm R’ nào không trùng với R đều tạo ra một đường S’P gãy khúc tại R’ làm cho:

              

(Tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Từ đó còn có thể rút ra: điều kiện để cho quãng đường đi từ S đến G rồi từ đó đến P là hai góc và  phải bằng nhau.

Qua quan sát thực nghiệm về sự phản xạ qua gương của ánh sáng, Hêrôn thấy rằng tia sáng bao giờ cũng đi theo cách ấy, nghĩa là sao cho tổng quãng đường từ điểm phát sáng đến gương để từ đó phản xạ đến điểm nào đó, là cực tiểu, hay bao giờ cũng phản xạ sao cho . Điều này còn chỉ ra rằng đối với một tấm gương, từ một điểm phát sáng có thể có vô số tia sáng đến đập vào nó để phản xạ đi, nhưng chỉ có một tia duy nhất đến được một điểm cho trước: Chẳng hạn, trên hình 1/a, chỉ có một tia sáng duy nhất từ S đến được đểm Q bằng con đường phản xạ và khi đó phải có S’, R”, Q thẳng hàng.

Đã từ lâu, hành vi của tia sáng luôn nhất nhất tuân theo nguyên lý Hêrôn trong hiện tượng phản xạ (nói chung, một cách lý tưởng), là điều kỳ bí đối với con người. Tại sao tia sáng cứ phải đi đúng con đường “độc đạo” có độ dài cực tiểu mà không thể đi theo bất kỳ con đường nào khác để đến với điểm qui định khi buộc phải thông qua cách phản xạ? Phải chăng tia sáng dũng “biết” lựa chọn phương án tối ưu? Nhưng nó lựa chọn phương án tối ưu, rút ngắn đến cực tiểu quãng đường hành trình, để được gì?

Không, chúng ta biết chắc rằng tia sáng không tự lựa chọn được vì nếu có như thế thì tất nhiên phải có những ngoại lệ dù là trong điều kiện lý tưởng (đã loại bỏ các yếu tố nguyên nhân gọi là “ngoại lai”). Đó phải là một sự tất định! Mà đã là tất định thì cũng như đối với mọi tất định trong hiện thực khách quan, phải do Chúa Trời an bài – nói theo đạo Thiên chúa, hay phải do Đấng Tạo Hóa bắt buộc – nói theo Đạo Tự Nhiên.

Quan sát thực nghiệm ở tầng vĩ mô đã dẫn đến kết luận: trong môi trường đồng chất, đẳng hướng và không bị chướng ngại, ánh sáng truyền theo đường thẳng. Giả sử có nguồn sáng S thì sẽ có vô số kể tia sáng phát ra từ nó theo khắp các phương. Nếu không bị chặn, các tia đó sẽ truyền thẳng mãi, vượt mọi tầm của khả năng quan sát và có vẻ như đi đến vô tận. Do tính thẳng của tia sáng và do “ly tâm” từ cùng một nguồn sáng điểm cho nên một cách trực quan, những tia sáng đó là “chung một gốc” nhưng không bao giờ trùng nhau ở bất cứ đâu. Tính chất đó dẫn đến kết quả tất yếu là nếu cho xuất hiện một điểm P bất kỳ ở đâu đó quanh S thì chỉ có duy nhất một tia sáng “đến được” P theo con đường thẳng “độc đạo” SP. Có thể thấy do tính phát sáng đồng đều ra mọi phương của S mà tất nhiên phải có một tia sáng đến P, chứ không phải tia sáng đó đã tự chọn đường đến P trước khi nó được sinh ra(!).

Có thể thấy đoạn thẳng SP là có tính cực tiểu. Giả sử rằng S và P là hai vị trí thông thường trong không gian đồng nhất và đẳng hướng (hay trực quan hơn là S và P ở trên một mặt phẳng nào đó). Chúng ta có thể xác lập hay vạch vẽ được vô vàn tuyến đường để cho một vật (không phải là tia sáng) có thể đi được từ S đến P. Các tuyến đường đó có thể là gấp khúc, cong lượn… tùy ý, hợp thành một tập hợp gọi là “đoạn đường”. Trong tập hợp đoạn đường đi từ S tới P, đương nhiên chỉ có duy nhất một đoạn đường ngắn nhất gọi là cực tiểu. Đó chính là đoạn đường thẳng nối S với P. Sự cực tiểu hiển nhiên của đoạn thẳng SP là ở chỗ: có thể chọn bất kỳ điểm nào ở ngoài đường thẳng qua S và P để cùng với S và P lập thành tam giác và tam giác đó phải thỏa mãn cạnh SP (đoạn đường thẳng) luôn ngắn hơn tổng hai cạnh kia (đại diện cho đoạn đường không thẳng). Từ đây cũng suy ra về tính duy nhất của đoạn thẳng SP, nghĩa là không thể có hai hay nhiều đoạn thẳng phân biệt nhưng giống hệt nhau nối S và P.

Có thể tưởng tượng được, đoạn thẳng SP đóng vai trò như đơn vị độ dài trong tập hợp các tuyến đường nối S với P. Một tính chất của đơn vị (số 1) là tương phản nghịch đảo tuần hoàn (qua gốc 1) của nó cũng chính là nó, và tương phản âm – dương hoàn toàn (qua gốc O) của nó là bằng -1. Xét về mặt lực lượng thì:

Vì đoạn thẳng SP là nhỏ nhất, không thể “vẽ vời” thêm được một đoạn thẳng nối S và P nào khác ngoài đoạn thẳng SP nêu trong “thực tế” phải cho rằng -1 trùng với +1, nghĩa là một cách hình thức, có thể phân định đoạn thẳng SP thành hai bộ phận tương phản âm – dương, nhưng hai bộ phận đó trùng nhau nên triệt tiêu nhau về mặt tương phản (bằng 0). Tuy nhiên, đừng quên rằng lực lượng Không Gian toàn phần của đoạn SP luôn bằng 2, nếu lực lượng Không Gian hiện thực (độ dài thực) của nó được cho là bằng 1!

Như vậy, đương nhiên trong tưởng tượng, đoạn thẳng SP cũng đóng luôn vai trò là gốc của mọi tương phản (qua 1 hoặc qua O) trong tập hợp các tuyến đường có thể có, nối S và P.

Sự tưởng tượng ở trên không biết có phù hợp với Tự Nhiên hay không, nhưng chắc rằng nếu dựa vào nó, có thể giải thích vì sao trong “thực tế” đoạn thẳng SP trở thành trục xoay và đối xứng (hay nói rộng hơn là tương phản đối ứng) của tất cả các đoạn đường nối S và P mà không phải là đoạn thẳng SP. Nếu “vạch vẽ” được một tuyến đường đi từ S đến P không trùng với đoạn thẳng SP thì cũng sẽ vẽ được vô vàn tuyến đường giống hệt như thế (nhưng vẫn phân biệt được!) khi không gặp chướng ngại. Từ đây cũng có thể suy ra một điều kiện của đường thẳng là, có một đường qua 2 điểm cho trước, nếu bằng mọi cách không thể xác định được một đường thứ hai cũng đi qua hai điểm đó, giống hệt nhưng không trùng với đường đó thì đường đó là đường thẳng.

Vậy, từ nguồn sáng điểm S, trong cùng một thời điểm, có vô vàn tia sáng phát ra khắp các phương theo đường thẳng mà không tia nào gặp tia nào ở bất cứ đâu. Do đó, một cách trực tiếp, chỉ có duy nhất một tia sáng đến được điểm P theo đoạn đường thẳng SP có độ dài tuyệt đối ngắn nhất (cực tiểu) so với mọi đường có thể có nối S với P. Trong thực tế, nếu cần phải chọn quãng đường có độ dài ngắn nhất (khoảng cách cực tiểu) giữa hai vị trí cho trước, thì quãng đường đó chính là đường đi của tia sáng.

Nói tóm lại, sự kiện tia sáng từ S trực tiếp đến một điểm bất kỳ nào đó luôn đi theo con đường duy nhất có độ dài cực tiểu, là “vô tình” đối với bản thân tia sáng nhưng là “hữu ý” đối với sự phát sáng của S, mà chung qui là do phải tuân theo tuyệt đối “pháp lệnh” của Tạo Hóa nhằm đảm bảo Tồn Tại.

Bây giờ, chúng ta cho hiện hữu một tấm gương phẳng G theo cách và ở vị trí như minh họa trên hình 1/b. Tình hình lúc này sẽ ra sao?

Vì ánh sáng từ S phát ra theo mọi phương nên sẽ có một bộ phận các tia sáng đi về phía gương G và bị G chặn lại. Ở phạm vi quan sát vĩ mô, để đơn giản hóa việc khảo sát hành vi của tia sáng, qui ước đó sẽ dẫn đến thừa nhận đầu mút của tia sáng là một hạt sáng. Hạt sáng này “đi” như thế nào và về đâu thì tia sáng đi như thế đó và về đó. Như vậy, thay vì quan sát hành trình của tia sáng, thì chúng ta chỉ cần quan sát hành trình của một hạt sáng. Lẽ tất nhiên, có bao nhiêu hạt sáng đi về phía gương G thì cũng có bấy nhiêu điểm “đón” được ánh sáng từ S trên G.

Số lượng hạt sáng đến được gương G là vô hạn hay hữu hạn? Vì lực lượng của S là hữu hạn nên số lượng đó cũng phải hữu hạn. Có thể cho rằng số lượng hạt sáng đó chiếm lĩnh toàn bộ bề mặt của G hay không? Không thể mà cũng có thể! Vì Vũ Trụ thực tại là hữu hạn ở phía VCN (nghĩa là có một cực tiểu tuyệt đối) cho nên mọi dạng thực thể vật chất đều có cực tiểu lực lượng của chúng (đơn vị nhỏ nhất không thể phân chia được của chúng). Nếu tồn tại cực tiểu Không Gian thì về mặt vận động, cũng tồn tại một cực tiểu thời gian (đơn vị thời gian tuyệt đối). Nếu mọi dạng thực thể vật chất có cực tiểu lực lượng thì trong vận động, chúng cũng “nhận” một khoảng thời gian nào đó làm đơn vị đo nhỏ nhất của chúng (cực tiểu thời gian của chúng). Đối với quá trình phát sáng của S cũng vậy. Do đó trong một đơn vị thời gian riêng sẽ chỉ có “một lần” phát sáng trong quá trình phát sáng được cho là liên tục của nó. Cũng vì các hạt sáng càng đi xa S càng tách xa nhau cho nên trong cùng một thời điểm nào đó (một khoảng thời gian đủ nhỏ) sẽ chỉ có một số lượng xác định rải rác trên G nhận được hạt sáng. Tuy nhiên vì chúng ta cho rằng nguồn S phát sáng theo mọi phương cho nên phải hình dung có một cơ chế là những lần phát sau của S sẽ có một số hạt sáng không hành trình trùng phương với những phương ở lần phát trước, và trong một khoảng thời gian gọi là cực đại nào đó, quan sát ở tầm vĩ mô sẽ thấy mọi điểm của G đều luôn nhận được hạt sáng.

Lực lượng của hạt ánh sáng là không thể bị tiêu diệt được. Vậy thì trong trường hợp bị chặn bởi gương G (có bề mặt phẳng lý tưởng), nếu không bị phân rã, không đi vào “trong” G (coi như không xảy ra hiện tượng khúc xạ), hạt sáng phải đi đâu khi nó không được phép đứng yên?

Chúng ta đã biết, có thể biểu diễn một chuyển động thẳng có vận tốc v bằng một véc tơ, và trong ảo tưởng, có thể phân tích véc tơ ấy thành 2 thành phần bất kỳ (không trùng phương với nó) với điều kiện góc lập giữa chúng nhỏ hơn 180^o. Vì vậy, đối với mọi tia sáng từ S đến G, chúng ta đều có thể phân tích thành hai thành phần, trong đó có một thành phần song song và một thành phần vuông góc với phương G. Theo minh họa ở hình 1/b, chúng ta có thể “toán học hóa” nhận xét đó dưới dạng biểu diễn véc tơ. Chẳng hạn đối với tia sáng từ S đến G tại R:

Và lực lượng của nó được biểu diễn:

(Vì dù  có mang giá trị nào chăng nữa thì luôn có:

Tuy nhiên ở đây do qui ước phân tích véc tơ mà , nghĩa là:

Khi tia sáng đến tác động vào gương G tại R, thì theo nguyên lý tác động - phản ứng, gương G sẽ lập tức tác động lại tia sáng (tác động ngược, hay còn gọi là tác động tương hỗ). Vì thành phần luôn song song với mặt gương G cho nên nó không tham gia vào quá trình ấy (gương G không phản ứng với nó), nghĩa là sau khi tia sáng “va chạm” với gương G tại R, phương chiều và độ lớn của nó vẫn không thay đổi. Chỉ có thành phần (vuông góc với gương G) là tác động trực tiếp đến G và bị G phản ứng lại.

Vì không bị G “hấp thụ” cho nên tia sáng bị phản xạ trở lại, tiếp tục truyền trong môi trường chứa nguồn S và vì sau khi “va chạm” lực lượng tia sáng vẫn bảo toàn nên độ lớn của thành phần không đổi, chỉ có phương chiều là thay đổi. Giả sử rằng sau va chạm véc tơ đó (bằng độ lớn nhưng khác phương chiều với  và gọi là RE) lập với một góc thì chúng ta sẽ có một tích vô hướng của hai véc tơ:

Vì RH = SE, RE = SM; và thực nghiệm vật lý chỉ ra rằng vận tốc truyền sáng trong cùng môi trường là bất biến, nên:

Do đó

Nghĩa là từ R tia sáng phản xạ, truyền trở lại trong môi trường “cũ” theo phương chiều sao cho RE vuông góc với G và cũng là đường phân giác của góc . Và muốn cho tia sáng từ nguồn S đến gương G, phản xạ tại R đến được điểm P cho trước thì điểm P phải nằm trong môi trường chứa S và trên đường thẳng chứa RF. Dễ dàng chứng minh hình học rằng tuyến đường SRP là có tính cực tiểu và hơn nữa, có thể tưởng tượng rằng tất cả các tia phản xạ qua gương R từ nguồn S, nếu kéo dài chúng về phía vào trong gương G (miền ảo) thì đều đồng qui tại S’, nghĩa là cứ như những tia đó được phát trực tiếp từ điểm đối xứng qua G của S’.

Thực ra, có thể chứng minh sự phản xạ của tia sáng theo nguyên lý Hêrôn là tất yếu và duy nhất một cách đơn giản hơn nhiều.

Như đã nói, trong một môi trường đồng nhất, tốc độ truyền sáng là bất biến và cực đại trong môi trường ấy và hơn nữa, trong môi trường chân không (tạm gọi là “môi trường không gian thuần túy”), vận tốc truyền sáng bằng C - vận tốc cực đại (có thực) trong Vũ Trụ. Giả sử môi trường chứa nguồn S là chân không thì vận tốc truyền sáng trong đó là bằng C. Một cách duy nhất, chỉ có một tia sáng duy nhất trực tiếp đến được P từ S, theo tuyến đường cực tiểu SP (đường thẳng), và do đó mà cũng trong thời gian cực tiểu.

Khi đặt gương G ở đó (xem lại hình 1/b) thì trong số tất cả tia sáng từ S đến gương G và bị phản xạ trở lại, chỉ có duy nhất một tia sáng đến được P theo tuyến đường duy nhất SRP. Độ dài của quãng đường đó cũng là cực tiểu đối với mọi quãng đường đi từ S đến gương G rồi đến P và do đó, thời gian tia sáng từ S đến R rồi đến P cũng là cực tiểu.

Nghĩa là tia phản xạ cũng tuân theo nguyên tắc truyền theo tuyến đường sao cho thời gian đến điểm đã định là cực tiểu. Nhưng vì sao vậy?

Trên SP có thể chọn một điểm A nào đó (xem hình 1/b), sao cho:
              

 và:                   với n là số nguyên lớn hơn 2 (nói chung là càng lớn càng dễ thấy vấn đề!)

Chiếu vuông góc điểm A xuống mặt gương G thì trên đó cũng xác định được một đoạn có độ dài c và đương nhiên cũng có:

              

Trong hiện thực sẽ không thể có tia sáng truyền trực tiếp từ S đến P lại có thể đồng thời “soi bóng” xuống mặt gương G được. Tuy nhiên trong ảo tưởng, chúng ta có thể cho phép điều đó xảy ra. Dù có tưởng tượng được như thế thì hiện tương tia sáng đi từ M đến N trên mặt gương G không thể đồng thời với hiện tượng tia sáng từ S trực tiếp đến P được mà phải muộn hơn, vì vận tốc truyền sáng là hữu hạn và hơn nữa, vận tốc truyền sáng từ M đến N vẫn bằng c, nghĩa là nếu có:

              

(Có thể chứng minh dễ dàng bằng kiến thức hình học thông thường)

Khi chiếu vuông góc đoạn SP gồm n đoạn thẳng a xuống gương G làm xuất hiện đoạn MN gồm n đoạn thẳng e trên đó thì đương nhiên, chúng ta cũng xác định được n đoạn trên đoạn gãy khúc SRP, trong đó có một đoạn thẳng có độ dài bằng b (như minh họa trên hình 1/b) và có thể có đoạn gấp khúc tại R (vì việc chọn độ dài a là ngẫu nhiên đối với đoạn SRP).

Có thể tưởng tượng ra ngay đoạn MN cũng chính là hình chiếu lên mặt gương G của đoạn SRP gồm n đoạn tương ứng tỷ lệ với n đoạn bằng nhau (bằng e) của đoạn MN, và những đoạn nguyên trên SR là bằng nhau, cũng như những đoạn nguyên trên RP là bằng nhau.

Nếu gọi thời gian truyền sáng qua đoạn có độ dài b là thì:

              

Một cách trực quan hình học, cũng dễ dàng thấy được giữa và có mối quan hệ nhân quả mật thiết, trong đó vì  nên .

Thời gian truyền sáng qua mỗi đoạn của n đoạn e trên MN rõ ràng là đều bằng  nên thời gian truyền sáng trên mỗi đoạn của n đoạn theo tuyến SRP cũng phải bằng . Vận tốc truyền sáng trong một môi trường đồng nhất mang tính bất biến là một tất định tự nhiên nên phải dẫn đến tất cả các đoạn trong số n đoạn thẳng (kể cả đoạn thẳng gãy khúc tại R nếu có ) trên tuyến SRP là bằng nhau (đều bằng b). Điều này chỉ có thể xảy ra khi 3 điểm SRP’ (với P’ là điểm đối xứng qua gương G của điểm P) thẳng hàng và 3 điểm S’RP cũng thẳng hàng, nghĩa là góc SRP phải nhận đường vuông góc với G tại R làm đường phân giác của nó. Nguyên lý Hêrôn được chứng minh xong!

Nhờ nguyên lý Hêrôn mà dễ dàng chứng thực được điều này: Có thể dựng được vô vàn tam giác từ một cạnh cho trước và một diện tích cho trước, trong số đó, tam giác có tổng hai cạnh còn lại cực tiểu chỉ có thể là tam giác cân. việc cho trước một cạnh và một diện tích để dựng một tam giác không khác gì việc cho trước một cạnh và một đường cao của cạnh đó. Giả sử cho trước cạnh SP có độ dài a trên hình 2. Vẽ một đường thẳng song song với nó và cách nó một khoảng cách h cho trước. Khoảng cách h chính là độ dài đường cao của cạnh SP.

Hình 2: Tính cực tiểu của chu vi tam giác

Trên đường thẳng song song đó, có thể chọn bất kỳ điểm R nào đó để dựng tam giác SRP. Vì số lượng điểm trên đường thẳng là nhiều vô hạn nên cũng có thể dựng được vô hạn tam giác có cạnh chung là SP và một đỉnh nằm trên đường thẳng đó. Điều hiển nhiên là tất cả các tam giác đều có cùng diện tích:

              

Một hiển nhiên nữa có được từ trực giác là, điểm R càng rời xa đoạn SP về phía vô tận (ở cả hai đường thẳng) thì khoảng cách từ R đến S và đến P càng dài, nghĩa là chu vi của tam giác có chu vi nhỏ nhất trong số các tam giác có chung cạnh SP và có chung diện tích s. Nhưng đó là tam giác nào?

Khi R ở lân cận điểm N (tam giác SNP là tam giác cân) thì khó mà nhận biết được giữa tam giác cân) thì khó mà nhận biết được giữa tam giác cân SNP và chẳng hạn như tam giác SOP, tam giác nào có chu vi nhỏ hơn.

Vì vậy, cần có một chứng minh tổng quát nếu chưa biết nguyên lý Hêrôn!

Công thức tính chu vi tổng quát cho tam giác bất kỳ trong trường hợp đang xét (Xem hình 2) là:

              

Trong trường hợp tam giác cân, công thức trên biến đổi thành:

              

Điều cần chứng minh chính là:

               

(Nghĩa là tổng hai cạnh khác SP của tam giác bất kỳ luôn lớn hơn tổng hai cạnh khác SP của tam giác cân có chung cạnh SP và có cùng diện tích s với nó).

Khi e mang giá trị âm (tức là e nằm ngoài a, còn gọi là giá trị ảo) một cách trực quan, bất đẳng thức trên luôn được “thực chứng”. Khi e mang giá trị dương thì nó chỉ có thể có giá trị trong khoảng:

              

Lúc này, để loại trừ sự phiền phức gây ra bởi căn thức có thể thay bằng việc chứng minh tổng bình phương hai cạnh:

               

Hay có thể viết:

               

Khi         

Dễ dàng thấy rằng khi  thì:

              

(tam giác bất kỳ SRP biến thành tam giác vuông SMP)

Khi , tam giác bất kỳ SRP biến thành tam giác cân SNP và:

              

Còn khi  thì có thể viết:

Điều muốn chứng minh đã được giải quyết “rõ ràng và sáng sủa”!

Hình 2 tạo ra một cảm giác thật buồn cười! Nếu S là điểm phát sáng và đường thẳng song song với SP là biểu diễn của một tấm gương phẳng thì điểm S phi thường ở chỗ không cần đến thước kẻ và compa cũng “vẽ” được vô vàn đoạn thẳng đến mặt gương và hơn nữa là “dựng” ngay được một tam giác cân có đỉnh nằm trên mặt gương và cạnh đáy là SP cho trước. Tuy nhiên, điểm S làm được như thế không phải vì nó thông minh sáng suốt gì cả mà có phần “hú họa”, hoàn toàn mù quáng tuân theo tất định của Tự Nhiên. Con người “dở” hơn điểm S ở chỗ muốn làm được như nó, phải cần đến công cụ hỗ trợ mà đơn giản nhất là thước kẻ và compa. Nhưng con người lại phi thường hơn điềm S ở chỗ họ còn có thể dựng được vô vàn tam giác có cạnh đáy SP và một đỉnh nằm trên gương phẳng đã cho, hơn nữa còn hiểu rõ được vì sao điểm S chỉ có thể “dựng” được duy nhất tam giác cân SNP. Có thể nói trong vạn vật hiện hữu, con người thuộc giống loài còn quá thô thiển và vụng về trong hành động nhưng trí thông minh thì đã thuộc mức hảo hạng. Dù có trí tuệ là thế đi chăng nữa, dù có sự hoang tưởng bay bổng đến cỡ nào đi nữa thì con người cũng không thể sáng tạo một cách “tự do vô chính phủ” ra những nguyên lý, những học thuyết phi tự nhiên, không có cơ sở đã hàm chứa trong hiện thực khách quan mà có thể dựa vào đó thấu hiểu được Vũ Trụ cũng như mưu cầu hạnh phúc cho bản thân mình. Đó chính là giới hạn mang tính tất định của khả năng sáng tạo ở loài người. Sáng tạo toán học cũng phải chịu sự tất định như vậy.

Đến đây, một ý nghĩ thú vị nảy ra trong chúng ta: bản thân ánh sáng thì mù tịt, nhưng chính nó lại soi tỏ con đường dẫn dắt loài người đến nơi diện kiến được toàn diện “dung nhan và hành tung” của Đấng Tạo Hóa, hay có thể nói rằng, khi loài người đã thấu hiểu được ánh sáng thì cũng là lúc Tự Nhiên Tồn Tại “lộ diện” hoàn toàn trước mắt họ. Chỉ cần dựa trên những biểu hiện của sự truyền và phản xạ ánh sáng trong hiện thực ở tầm mức vĩ mô thôi, rất có thể cũng xây dựng được hình học Ơclit, thậm chí là một “thứ” hình học nào đó “hay” hơn nhiều vì có sự hòa hhợp với hình học véctơ và có cả thời gian tính.

Nói chung, hiện tượng phản xạ ánh sáng khi gặp “vật cản” là có tính phổ biến mà sự phản xạ ánh sáng qua gương phẳng chỉ là trường hợp riêng . Nói đến gương phẳng thì phải nói đến gương cong. Nếu gương phẳng chỉ có một loại thì gương cong lại có vô số loại, chẳng hạn là gương elip, parabôn, hypécbôn, cầu… Chắc chắn do loại gương mang tính đặc thù nên sự phản xạ ánh sáng qua từng loại gương dù cũng phải tuân theo những nguyên lý chung nhất của hiện tượng phản xạ ánh sáng, nhưng không thể không mang những tính chất đặc thù nào đó. Cần thấy rằng sự xuất hiện tính đặc thù cũng là do tất định để đảm bảo Tồn Tại trong điều kiện hoàn cảnh mới mà thôi. Chúng ta không có tham vọng nghiên cứu đây đủ và toàn diện những biểu hiện đặc thù ở những gương cong vì thực ra là không đủ năng lực cũng như trí tuệ. Chúng ta chỉ nói về sự phản xạ ánh sáng của gương cầu, nhưng cũng chỉ trên bình diện nông cạn. ngây thơ và nặng nề hoang tưởng trong suy lý triết học. (Chú ý: gương cầu mà chúng ta bàn sau đây không phải là loại có trong thực tiễn ứng dụng!).

Trước hết, chúng ta nói đến gương cầu lồi. Có thể tưởng tượng gương cầu lồi là một mặt cầu bên ngoài phủ gương. Một điều có thể suy ra được từ nguyên lý Hêrôn là điểm phát sáng, điểm phản xạ, điểm nhận tia phản xạ và đường phân giác đồng thời là đường vuông góc với gương phẳng luôn nằm trong cùng một mặt phẳng (trong vật lý, đây chính là nội dung của định luật I Đềcác: tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới). Chúng ta thừa nhận trong hiện tượng phản xạ ánh sáng ở gương cầu lồi (và cả lõm) tình hình cũng như vậy. Do đó, có thể minh họa gương cầu lồi bằng một đường tròn (xem minh họa ở hình 3). Cho S là điểm phát sáng, đường truyền sáng từ S đến điểm M song song với mặt gương phẳng g. Theo hệ quả của nguyên lý Hêrôn, sẽ có một tia sáng đến gương g tại điểm N rồi từ đó phản xạ đến M thỏa mãn SNM là tam giác cân mà SM là cạnh đáy của nó. Có thể dựng được một đường tròn tâm O (biểu diễn gương lồi O) tiếp xúc với mặt gương g tại duy nhất điểm N. Đường ON kéo dài tất nhiên phải vuông góc với gương g, cho nên nó cũng là đường phân giác của góc SNM. Như vậy, sự phản xạ ánh sáng trong trường hợp gương cầu lồi cũng tuân theo nguyên lý Hêrôn (cụ thể hơn là tuân theo hệ quả của nguyên lý ấy: góc phản xạ bằng góc tới và tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới).

Bây giờ, chúng ta cho thêm một điểm P bất kỳ ở phía ngoài đường tròn O (trên hình vẽ 3, điểm P nằm trên đường chứa OM không phải là cố ý). Để có một tia sáng trực tiếp đến được P từ S thì đường tròn O (gương O) không được cắt (chặn) đoạn SP. Và đó cũng là điều kiện tiên quyết để có thể có được tia sáng từ S tới gương cầu lồi O rồi phản xạ đến P.

Trực quan cho biết rằng đường đi của tia sáng phản xạ từ gương cầu O đến P không thể là NP vì ON kéo dài không phải là đường phân giác của góc SNP. Điểm phản xạ tia sáng từ gương cầu O đến P phải là một điểm R nào đó trên đường tròn O, sao cho OR kéo dài là đường phân giác của SRP (xem minh họa ở hình 3). Vậy, bằng cách nào để xác định điểm R? Đối với trường hợp gương phẳng thì chỉ việc tìm một trong hai điểm đối xứng qua gương của S hoặc P là xong, mà việc tìm kiếm đó thì… quá dễ. Trong trường hợp gương cầu, hiện tượng đối xứng đó (gọi là đối xứng trục), chỉ bằng quan sát trực giác cũng thấy, không tồn tại nữa. Qua suy lý, chúng ta đoán định rằng (thậm chí là biết chắc), ảnh ảo của S (hay P) chỉ có thể “hiện hữu” được trên đoạn SO (hay PO) ở phần bên trong đường tròn O (mặt sau gương cầu lồi O). Nhưng cụ thể là điểm nào thì thật khó xác định. Nếu “bắt chước” như trong phản xạ gương phẳng, chúng ta kéo dài MN để cắt SO tại điểm nào đó gọi là S’ thì S’ có phải là ảnh của S trong gương cầu lồi không? Phải mà cũng không! Nó là ảnh của S chỉ khi chúng ta quan sát gương theo phương MN, còn ngoài ra thì không phải, vị trí của ảnh ảo S’ thay đổi tùy thuộc vào góc độ của quan sát, Có thể lấy đây làm một ví dụ tốt để “bao biện” cho nhận định triết học rằng, S’ là sự thỏa thuận để đi tới thống nhất giữa khách thể và chủ thể, là hiện thực khách quan của Thực tại khách quan (S) trước quan sát chủ quan theo phương MN. Như vậy, đối với cùng một Thực tại sẽ có thể có nhiều hiện thực. Tuy nhiên những hiện thực ấy không phải xuất hiện một cách tùy tiện mà phải tuân theo những nguyên lý, qui luật khách quan thống nhất mang tính tất định, để rồi tư duy, trong suốt quá trình quan sát, nghiên cứu, tìm hiểu (đầy gian truân) của nó, trước sau gì cũng rút ra được nhận thức duy nhất đúng về Thực tại khách quan, mà theo nghĩa sâu rộng nhất chính là Tự Nhiên Tồn Tại.

Hình 3: Sự phản xạ qua gương cầu lồi.

Rõ ràng khi chuyển quan sát tới P, chúng ta sẽ nhận được một ảnh nào đó của S khác với S’. Có thể có nhiều cách xác định điểm R, nhưng chúng ta có một cách rất đơn giản và cũng khá chính xác khi góc SRP lớn hơn 60^o. Từ S, vẽ đường tiếp tuyến với đường tròn O tại Y, từ P, vẽ đường tiếp tuyến với đường tròn O tại X, R chính là điểm giữa của cung tròn XY.

Đối với gương lồi chuẩn cầu thì việc xác định ảnh ảo của một điểm phát sáng theo cách đã trình bày (hay theo chỉ dẫn của giáo trình phổ thông về quang hình học) gây ra một nghi ngờ lớn về sự chuẩn xác của nó. Bởi vì nếu làm như thế, tùy thuộc vào việc chọn vị trí của S và M (hay P), sẽ làm xuất hiện trường hợp ảnh ảo nằm ngoài gương cầu lồi O. Điều đó có vẻ thật phi lý. Hơn nữa, giả sử rằng có thể đưa điểm S theo tuyến OS, điểm M theo tuyến OM ra xa, dần về phía vô tận sao cho SOM luôn là tam giác cân. Quá trình đó làm cho góc SNM nhỏ dần tới O. Nhưng có thể bằng O được không? Không được! Muốn thế, S và M phải trùng nhau ở vô tận. (Thực ra cách nói “đến gần tới vô tận” hay “đạt đến vô tận” là không thể nhận thức được vì đã vô tận thì không thể “gần” hay “đạt đến” được… Nhưng còn cách nào diễn đạt nữa đâu?). Muốn cho S và M trùng nhau ở vô tận thì đến lúc nào đó, quá trình làm cho khoảng cách SM ngày một “muôn trùng” có vẻ rất hiển nhiên, phải đảo ngược lại. Khó mà tin được không gian lại xử sự như vậy ở vô cùng xa. Có lẽ đây cũng là một trong nhiều nguyên do dẫn toán học đến với quan niệm mà về mặt trực giác hình học, có vẻ khiên cưỡng và gây phản cảm: Có thể nhỏ bao nhiêu cũng được nhưng không được bằng 0. Khi góc  là vô cùng nhỏ thì theo cách dựcng đã nêu, chúng ta cũng xác định được ảnh ảo của S ở đâu đó trên SO phía trong gương lồi, rất gần điểm O nhưng không phải điểm O. Sự kiện điểm O ở ngay “sát mũi” mà điểm S’ không thể nào đến “chiếm lĩnh” được, thật là kỳ quặc.

Trong hình học xạ ảnh có một qui ước rất hay: hai đường thẳng song song được coi là gặp nhau tại một điểm ở vô tận. Theo qui ước này thì khi S ở vô tận, sẽ có một tia sáng từ nó, song song với SO với OM đến được M ở vô tận (xem hình 3). Nếu thừa nhận đây là trường hợp giới hạn thì giới hạn của quá trình góc  nhỏ dần phải dừng lại khi nó bằng góc và ảnh ảo của điểm S ở vô tận chính là điểm S”. Cảnh tượng này có lẽ cũng kỳ quặc không kém cảnh tượng trên.

Đúng là vô cùng khó khăn trong việc nhận thức sự vô cùng! Đúng là không có gì gây ra nhiều “hoang mang vĩ đại” cho tư duy bằng sự vô cùng! Và cũng đúng là chúng ta (chỉ riêng chúng ta thôi!), cho đến đây, vẫn còn mù tịt trong việc xác định ảnh ảo trong gương chuẩn cầu lồi của một điểm sáng thực. Dù sao thì chúng ta cũng cho rằng mọi cách dựng làm xuất hiện ảnh ảo bên ngoài gương cầu lồi là không thể chấp nhận được, và Tạo Hóa chắc là đã xử lý để không xảy ra cảnh tượng đó cũng như những cảnh tượng đã nêu ra ở trên trong Thực tại khách quan vĩ mô của Ngài.

Hay là Tạo Hóa vẫn cho phép xảy ra những điều mà chúng ta, do thiển cận, cho là kỳ quặc ở gương cầu lồi? Thôi, kệ Ngài! Chúng ta đã “chán” gương cầu lồi rồi và bây giờ chúng ta chui vào gương chuẩn cầu lõm để xem hiện tượng phản xạ ánh sáng ở đó xảy ra như thế nào?

Gương cầu lõm cũng được tượng trưng như một đường tròn tâm O ở hình 4. Lúc này, phía trong mặt cầu được phủ gương và vì chúng ta ở phía trong đường tròn nên miền đó là thực còn miền bên ngoài đường tròn (trong gương) là ảo. Trong miền ảo, tia sáng ảo truyền theo đường gì chúng ta chưa biết, chứ trong miền thực, tia sáng ắt phải truyền theo đường thẳng.

Cho hai điểm S và điểm nào đó một cách bất kỳ ở miền thực. Trong đó, S là điểm phát sáng. Vì là ở vị trí bất kỳ nên cả S và điểm kia đều có thể ở trên mặt gương cầu lõm O, ở ngay tâm O hoặc ở ngoài hai vị trí ấy.

Giả sử rằng cho S nằm trên mặt gương. Theo thời gian, mọi điểm trên mặt gương đều nhận được tia sáng trực tiếp đến từ S và phản xạ đi. Cho một điểm A trên mặt gương. Hỏi, điểm đó nhận được bao nhiêu tia gián tiếp (qua phản xạ gương)? Nếu không kể số lần phản xạ để tia sáng từ S đến A thì là… rất nhiều (xem mô tả ở hình 4). Nhưng nếu chỉ qua một lần phản xạ thôi thì có đúng 2 tia tới A. Riêng duy nhất đối với điểm B, số tia sáng gián tiếp từ S, qua một lần phản xạ gương đều được nó cũng vô số kể. Điềm B là trường hợp ngoại lệ.

Hình 4: Hiện tượng phản xạ đặc thù trong gương cầu lõm

Qua hai trường hợp đó, chúng ta thấy gì? Thứ nhất, tia sáng từ S tới gương rồi phản xạ đến A (hoặc B) không còn là duy nhất nữa. Thứ hai, ngay cả đối với khi phản xạ một lần đến điểm đã cho, sự phản xạ ánh sáng cũng không tuân theo nguyên lý Hêrôn nữa, trái lại (dễ dàng chứng minh được), hai tia sáng từ S, phản xạ một lần qua gương đến điểm cho trước (trên mặt gương), tuân theo nguyên tắc là sao cho quãng đường mà chúng đi được, lập thành một tứ giác (ạm gọi là cân) có chu vi và cả diện tích mang tính cực đại. Thứ ba, có thể thấy tia sáng từ S phản xạ một lần qua gương đến điểm cho trước (trên mặt gương), nếu trở về S sau 2 lần phản xạ thì đường đi của nó sẽ vạch vẽ nên một tam giác đều. Suy rộng ra, nếu tia sáng đó sau n-1 lần phản xạ để trở về đúng điểm S mà các tuyến đường của nó không cắt nhau thì nó vạch vẽ được một đa giác đều n cạnh…

Có thể kể thêm nhiều điều hay ho về “tài vẽ vời” của ánh sáng khi S nằm trên mặt gương cầu lõm nữa, nhưng thôi, dễ gây chán chường vì… ai cũng biết. Chúng ta quay sang vấn đề lớn hơn và chắc là bổ ích hơn. Đó là trường hợp phản xạ tổng quát ở gương cầu lõm, khi S và điểm nhận tia phản xạ (lúc này gọi là P) nằm ở vị trí bất kỳ, không ở trên mặt gương cũng không trùng tâm O (xem hình 5)

Hình 5 -  Cách dựng gần đúng điểm phản xạ trên gương cầu lõm

Tương tự như ở gương phẳng và gương cầu lồi, chỉ có một tia sáng duy nhất trực tiếp đến được P từ S. Tuy nhiên, trong khi đối với một gương phẳng hay một gương cầu lồi, chỉ có thể có một tia từ một điểm sáng cho trước, phản xạ qua gương đến một điểm bất kỳ cho trước thì như chúng ta thấy, trong trường hợp gương cầu lõm, có nhiều tia phản xạ xuất cứ từ S đến được P mà trong đó, thông thường là có hai tia phản xạ một lần (nói “thông thường” là vì cũng có những vị trí đặc biệt mà khi P ở đó sẽ không thể có một tia phản xạ một lần nào đến được nó từ S).

Có cách nào chính xác tìm được hai điểm phản xạ gương từ S tới đế đến P đó không? Chắc chắn là phải có rồi! Chúng ta, những hẻ hoang tưởng triết học đến phát rồ phát dại, đã không thể phát hiện ra được phương pháp truy tìm thuần túy toán học đó. Tuy nhiên, lấy cần cù bù thông minh, bằng con đường “thực nghiệm miệt mài và chân chính”, chúng ta cũng tìm ra một cách dựng hình học, gần đúng không chê vào đâu được để xác định hai điểm “trời đánh” nói trên (gọi thế vì chúng ta tốn quá nhiều sức lực trí não đến… mệt phờ cả râu!). Sau đây, chúng ta sẽ trình bày cách dựng hình học (bằng thước kẻ và compa) đó, không phải vì muốn phô diễn sự tháo vát của mình mà vì nó đã gợi ra một ý có vẻ thiêng liêng.

Từ O, vẽ hai đường qua S và P, kéo dài ra ngoài đường tròn O. Từ S, vẽ đoạn vuông góc với SO, có độ dài bằng bán kính đường tròn O, gọi là SK. Từ K, vẽ đường thẳng vuông góc với KO, cắt SO cũng sẽ có được điểm P’ trên OP kéo dài. Nối S’ với P’ vẽ đường vuông góc với S’P’, đi qua O, cắt đường tròn tại điểm G₁. Nối S và P với G₁. Đoạn OG₁ chính là phân giác của góc . Nghĩa là quang lộ của một trong hai tia sáng từ S đến P qua một lần phản xạ gương là đoạn gấp khúc SG₁P.

Từ P, vẽ đường vuông góc với đường phân giác của và cắt đường này tại H. Nối S và H rồi kéo dài cắt đường tròn tại G₂. Đoạn OG₂ chính là phân giác của góc SG₂P. Suy ra đoạn gấp khúc SG₂P là lộ trình của tia sáng thứ hai từ S đến P qua một lần phản xạ gương.

Dưới một góc độ nhất định, đồng thời loại bỏ những ảnh hưởng gây nhiễu có thể có, thì điểm B được coi là ảnh của điểm sáng S. Vì P ở miền thực (cùng miền với S và kệ quan sát) cho nên được gọi là ảnh thực. Nói chung, trong khi phản xạ ở gương cầu lồi chỉ cho xuất hiện ảnh ảo của điểm sáng hay của vật, thì phản xạ ở gương cầu lõm, không những cho xuất hiện ảnh thật mà còn có thể cho cả ảnh ảo. Sự kiện phản xạ ở gương cầu lõm làm xuất hiện ảnh ảo nghe có vẻ lạ đối với quan niệm thông thường, nhưng không thể phủ nhận được vì có thể quan sát thấy trong hiện thực. Tuy nhiên có thể phán đoán rằng đối với một quan sát thì trong hiện tượng tạo ảnh của gương cầu lõm, nếu xuất hiện ảnh thực thì không xuất hiện ảnh ảo và ngược lại.

Sự tạo ảnh của ánh sáng trong phản xạ gương, nhất là đối với trường hợp gương cầu và việc tìm kiếm chính xác vị trí, hình hài cũng như kích thước của những ảnh đó, gây ấn tượng sâu sắc đối với chúng ta. Chắc chắn rằng nếu không có sự hiện hữu của vật thì cũng không thể có ảnh của nó. Giữa chúng phải có mối quan hệ giữa khả năng và hiện thực, mà nếu xét đến cụ thể toàn bộ những yếu tố có liên quan trong mối quan hệ nhân - quả tất định. Nếu những yếu tố được cho là khách quan như vật, gương, ánh sáng… quyết định cho ảnh được hiện hữu một cách duy nhất thì quan sát chủ quan lại là yếu tồ làm cho ảnh phải được thấy như thế nào (dù rằng “ý thích” chủ quan đó cũng không thể thoát khỏi sự “ràng buộc” của những quy luật khách quan). Thông qua phản xạ (hay khúc xạ) ánh sáng mà ảnh của một vật được tạo dựng. Một khi ảnh đã hiện hữu rồi thì không cần đến quan sát hoặc quan sát không thấy được thì nó vẫn hiện hữu (hay chúng ta thường nói, lúc này gọi là tồn tại). Rõ ràng là không có quan sát và nhận thức thì không có hiện thực khách quan. Nhưng không có hiện thực khách quan thì Thực Tại Khách Quan vẫn luôn còn đó, phô bày ra cái cốt lõi vốn dĩ thế một cách giản dị, thuần khiết tuyệt đối.

Theo quan niệm của triết học duy tồn, muốn nhận thức xác đáng được Tự Nhiên Tồn Tại thì trước hết và trên hết, phải thừa nhận Tồn Tại là vốn dĩ, tuyệt đối và duy nhất, đồng thời lại cũng phải thừa nhận cái bản tính thể hiện một nước đôi (hai chân lý) của nó. Có thể nói Tồn Tại tuyệt đối được và duy nhất được là nhờ bản tính nước đôi và ngược lại, sự “thi triển” bản tính nước đôi đó trong Thực Tại, đảm bảo cho tính tuyệt đối và duy nhất của Tồn Tại không bị xâm phạm.

Chúng ta, từ lâu đã là môn đồ trung thành, hay đúng hơn là đệ tử chân truyền của triết học duy tồn nên tin chắc như đinh đóng cột vào quan niệm nói trên và ủng hộ “nhiệt liệt” nó.

Chính cái bản chất nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại đã làm cho Nó, biểu hiện ra như thế này mà cũng như thế kia tùy lúc, vừa thống nhất vừa không thống nhất, tuy một hóa hai và tuy hai mà một, vừa xác định vừa bất định, vừa ảo vừa thực… và nhiều khi lại cũng chẳng phải như thế, chẳng thế này mà cũng chẳng thế kia. Sự tương phản đối ứng giữa vạn vật - hiện tượng trong Thực Tại Khách Quan chính là biểu hiện cơ bản của bản tính nước đôi ấy. Con người, một khi vẫn chưa vượt thoát được tính bảo thủ và cực đoan do bản năng cảm nghiệm trực quan gây ra trong tư duy của nó, thì nó vẫn còn phải “phát điên lên” trước những biểu hiện ấy trong hiện thực khách quan của nó.

***

Hiện tượng tương phản đối ứng (trong đó có đối xứng) là mang tính phổ biến, có mặt hầu như khắp nơi trong hiện thực trước quan sát và thông qua nhận thức, được qui ước mà mang những tên gọi như tương phản âm – dương, tương phản nghịch đảo, tương phản ảo - thực… Tuy nhiên nên thấy rằng, tất cả những mối tương phản đối ứng diễn ra trong hiện thực, dù có vẻ tự nhiên hay “nhân tạo” thì đều có tính tạm thời, chịu sự chi phối của môi trường chứa chúng, được đánh giá, qui ước bởi quan sát nhận thức, và do đó cũng chỉ mang tính tương đối.

Thường thì những mặt, những thể, những miền… tương phản đối ứng tương đối với nhau đều là do chủ quan qui định. Nói như thế không có nghĩa là phủ nhận tính tự nhiên của sự tương phản đối ứng “trình diện” trong hiện thực. Nhưng dù có thế chăng nữa thì vì đã hiện hữu trong hiện thực nên trở thành bộ phận của hiện thực biến đổi không ngừng nên chúng cũng “bấp bênh”, tương đối. Trong hiện thực, tất cả sự vật - hiện tượng được đặt trong một mối tương phản đối ứng nào đó với nhãn mác âm, dương, thuận, nghịch, ảo, thực… thì khi được đặt trong một mối quan hệ khác, chúng có thể phải đổi tên gọi tương phản đi hoặc chẳng tương phản gì cả. Chẳng hạn, có thể đổi tên gọi điện tích âm thành điện tích dương và ngược lại, vì về mặt “hút - đẩy” thì chúng bình đẳng với nhau và chẳng có sự tương phản nào (chúng gặp nhau thì “hút” nhau nên hóa ra chúng lại giống nhau vì đều “hút”!). Hay chẳng hạn, ảnh của một vật trong gương là tương phản ảo - thực của vật. So với vật thì nó là ảo nhưng xét cho cùng nó cũng là thật vì được “sinh ra” trong mối quan hệ nhân - quả hẳn hoi và được quan sát thấy. (“Cái tôi” khi soi gương, đừng tưởng rằng “cái tôi” trong gương không biết gì. Dù là phù phiếm, phiến diện và nhất thời, thì “cái tôi” trong gương vẫn là một hiện thực có “phảng phất” tư duy - thứ tư duy lệ thuộc nhưng không phải là không có tác động đến “cái tôi” ngoài gương. Coi chừng!!!). Vì lẽ đó, có thể gọi tất cả các mối tương phản, kể cả tương phản ảo - thực, trong hiện thực, với một tên chung là tương phản tương đối có tính đối ứng thực - thực (hay “ảo - ảo” cũng được, tùy thích, qui ước có quyền mà!).

Vì Tự Nhiên Tồn Tại là vốn dĩ nên nếu có Hư Vô thì cũng phải là Tồn Tại. Muốn thế, Vũ Trụ phải đầy đủ (đã đầy đủ thì phải bao hàm cả thiếu thốn mới gọi là đầy đủ, thật là oan cho Thạch Sùng khi bị chê là không đầy đủ chỉ vì thiếu cái “mẻ kho”!). Đây cũng là lý do khiến chúng ta tin rằng trong Thực Tại Khách Quan, tất yếu phải tồn tại mối tương phản đối ứng ảo - thực tuyệt đối, với mốc tương phản, không thể khác, phải là hạt KG mà trong trường hợp lý tưởng, sự phân định giữa hai miền ảo - thực ấy chính là “mặt cầu” của nó. Con người, dù vĩnh viễn không thể quan sát trực giác được mối quan hệ tương phản tuyệt đối này trong hiện thực thì rồi trước sau gì cũng nhận biết được thông qua những biểu hiện gián tiếp chỉ thị đến nó trong những mối tương phản tương đối, và hơn nữa là phải xác nhận nó nếu muốn giải quyết rốt ráo cái “vấn nạn đau thương” gây ra cho tư duy bởi quan niệm về sự vô cùng. Vũ Trụ là liên thông, vạn vật - hiện tượng tồn tại trong mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau một cách chặt chẽ và rộng khắp, sống động và thường biến trên cơ sở tác động - phản ứng không bao giờ ngừng nghỉ. Cho nên mọi sự kiện xảy ra ở cái gọi là vô tận tất yếu phải có liên quan đến “cõi Trần gian”, phản ánh hình bóng của nó trong “cõi Trần gian” thông qua mối quan hệ khả năng và hiện thực, cụ thể là mối quan hệ nhân - quả, và ngược lại. Trong cái hữu hạn có thể thấy được cái vô cùng, trong cái vô cùng có thể thấy được cái hữu hạn. Một trong những bí ẩn lớn nhất của Vũ Trụ trước “người trần mắt thịt” là ở chỗ ấy, nhưng có thể chính chỗ ấy cũng là “yếu huyệt” của Nó trước tư duy nhận thức. Tự Nhiên Tồn Tại kỳ diệu vì không cực đoan và giản dị vì không thể khác, không “thêm vào” được mà cũng không “bớt ra” được.

Đặc trưng cơ bản của mọi mối tương phản, dù tương đối hay tuyệt đối, là tính biểu diễn “trái chiều” giữa hai mặt đối ứng của chúng. Sự biểu hiện trái chiều có thể là đa dạng, nhưng qui kết lại chỉ gồm hai dạng cơ bản: âm – dương và đại - tiểu (to - nhỏ). Trong hiện thực khách quan, thông qua những mối tương phản đối ứng tương đối mà Thực Tại tương phản đối ứng tuyệt đối bộc lộ ra trước quan sát, lúc dưới dạng trái chiều âm – dương, lúc dưới dạng đại - tiểu (hay nghịch đảo) và nói đúng hơn là đồng thời cả hai dạng ấy trong mối quan hệ trội - lặn giữa chúng. Nếu cho rằng tương phản âm – dương chủ yếu mách bảo về tính vận động của vạn vật - hiện tượng thì tương phản nghịch đảo chủ yếu mách bảo về tính lực lượng.

Khi nói đến sự tương phản ảo - thực tuyệt đối thì phải nghĩ đến chủ thể của nó. Và chủ thể đó, tuyệt đối không thể là cái gì khác, ngoài Không Gian. Hoàn toàn đúng, khi cho rằng vận động tự do theo tất định là thể hiện cơ bản nhất của Tự Nhiên Tồn Tại, không có vận động thì không thể nói được bất cứ điều gì về Tồn Tại. Tuy nhiên, nguyên lý nước đôi cũng cho phép trong một chừng mực nào đó, trên một bình diện nào đó, có thể quan niệm Không Gian vận động không ngừng đồng thời cũng không vận động. Trong một đêm không trăng, không sao, không gió máy và ở giữa đồng không mông quạnh, chúng ta dễ dàng cảm nhận được một không gian “tĩnh lặng như tờ”. Đối với cái không gian ấy, chúng ta chẳng có cảm nhận “hay ho” nào ngoài sự mông lung, mịt mùng của nó và sự cô đơn, nhỏ nhoi đến thảm hại của bản thân mình. Nghĩa là chúng ta chỉ còn mỗi ý niệm về sự to - nhỏ hay cực đại - cực tiểu khi nghĩ đến “tầm vóc” của mình trong cái không gian ấy. Hoặc giả, nếu chúng ta bỏ qua sự hiện hữu của vạn vật – hiện tượng trong không gian, thì biểu hiện duy nhất còn lại của cái không gian ấy trước chúng ta chỉ là sự trống rỗng vĩ đại, là một thể tích hư vô vĩ đại được hợp thành từ vô vàn thể tích nhỏ hơn (vì trong tưởng tượng có thể phân chia nó ra được). Nghĩa là trong không gian ấy, nếu lấy bản thân làm mốc, chúng ta chỉ có thể phân biệt tương đối được các miền không gian về mặt phương chiều và độ to nhỏ của chúng mà trong hai sự phân biệt ấy, sự phân biệt về độ to nhỏ mang tính tự nhiên, vốn dĩ, đáng tin cậy hơn hẳn.

Chúng ta nêu ra những tưởng tượng trên nhằm “ngụy biện” cho nhận định hoang tưởng rằng Đấng Tạo Hóa thiêng liêng, để giải quyết rốt ráo yêu cầu về tính duy nhất và bảo toàn tuyệt đối của Tồn Tại mà mấu chốt là ở mối quan hệ giữa vô hạn và hữu hạn, đã không còn cách nào khác là để mặc cho Tồn Tại một cách Tự Nhiên, nghĩa là… chẳng giải quyết gì cả. Chính vì thế mà Không Gian Thực Tại vừa tuyệt đối thống nhất, liên thông, vừa tuyệt đối phân lập tương phản. Sự tuyệt đối phân lập tương phản của Không Gian Thực Tại hiện ra thấp thoáng khắp nơi một cách ly kỳ, trong hiện thực khách quan đặc thù của chúng ta, qua muôn hình vạn trạng sự tương phản đối ứng tương đối, khiến chúng ta – dù đã là “bậc thầy” về “trình độ” hoang tưởng bạt mạng – cũng phải vò đầu bứt gần trụi hết tóc râu mới “dám” nhìn nhận nó và đặt nhãn mác là “sự tương phản ảo - thực tuyệt đối của Tồn Tại”.

Khó lòng mà bác bỏ được rằng trong hiện thực, đặc trưng cơ bản nhất rõ ràng dễ nhận biết nhất mà cũng tự nhiên nhất của Không Gian là quảng tính (tính thể tích) của nó. Có lẽ, ngay từ buổi bình minh của tư duy nhận thức ở loài người, trong số những ý niệm xuất hiện đầu tiên, đã có những cặp ý niệm liên quan đến quảng tính của Không Gian như: to - nhỏ, xa - gần, dài- ngắn, rộng - hẹp… Bởi vì những cặp ý niệm đó có nguồn gốc xuất phát từ bản năng đã hun đúc được suốt quá trình tiến hóa thích nghi để đấu tranh sinh tồn trong môi trường thiên nhiên vốn dĩ có tính kích thước, vốn dĩ có thể phân biệt được ngay từ khi loài người chưa thoát khỏi tình trạng còn “mù mờ”, hỗn mang của kiếp động vật. Bên cạnh đó, có thể là muộn hơn, rồi dần dần cũng xuất hiện những cặp ý niệm có tính trái chiều nhau khác, chứa một trình độ tư duy cao hơn, xuất hiện, như: phải – trái, đúng – sai… và nhất là cặp ý niệm thật – không thật, hay thực - ảo. Từ những cặp ý niệm trái chiều ấy đến với nhận thức về một thế giới tương phản đối ứng chỉ là vấn đề thời gian.

Công lao của triết học cổ đại phương Đông trong nhận thức của loài người về tự nhiên, dù còn hời hợt và ngây thơ, là đã khám phá ra được tính tương phản đối ứng của thế giới và qui được về một mối chung nhất, gọi là tương phản âm – dương. Dù sao thì khái niệm “âm” và “dương” theo như cách hiểu xưa nay, vẫn chưa đủ sức lột tả một cách minh tường và chân xác bản chất tương phản đối ứng của thế giới hiện thực. Chính toán học, trong tiến trình phát triển của nó, mới khơi gợi ra được một cách chắc chắn về hai hình thức biểu hiện chung nhất là âm – dương và nghịch đảo của sự tương phản đối ứng xảy ra trong hiện thực. Trong hai hình thức tương phản ấy, nếu tương phản âm – dương dễ nhận biết hơn, mang “dấu ấn” chủ quan nhiều hơn, thì tương phản nghịch đảo lại khó nhận biết hơn nhưng có tính khách quan nhiều hơn.

Từ những biểu hiện của Không Gian trong hiện thực mà chúng ta phán đoán rằng một trong những đặc tính cơ bản, tự nhiên vốn có của Không Gian Thực Tại (không cần “đếm xỉa” gì đến sự hiện hữu của quan sát!) là quảng tính (tính thể tích, tính kích thước) của Nó. Như chúng ta đã từng quan niệm thì thể tích Không Gian Thực Tại không thể tồn tại trên cơ sở Hư Vô mà phải trên cơ sở Tồn Tại. Nghĩa là Không Gian Thực Tại phải là sự hợp thành của những Tồn Tại. Nghĩa là Không Gian Thực Tại phải là sự hợp thành cũa những cái gì đó gọi là bộ phận của Nó có bản chất thể tích như Nó nhưng đồng thời cũng không như Nó. Vì không thể là Hư Vô được nên những bộ phận đó, dù có thể là rất nhỏ, nhỏ đến mấy chăng nữa thì vẫn phải có nội tại. Thể chất của nội tại đó là đồng nhất với thể chất của Không Gian Thực tại vì là bộ phận của Không Gian Thực Tại, nhưng đồng thời cũng không đồng nhất với thể chất của Không Gian Thực Tại vì tuyệt đối không thể “hòa lẫn” được với thể chất của Không Gian Thực Tại. Như chúng ta đã gọi thì bộ phận nhỏ nhất làm nên Không Gian Thực Tại là đơn vị Không Gian hay hạt KG và chỉ có thể nói rằng nội tại hạt KG và Không Gian Thự Tại (hay Vũ Trụ) là hai thể tương phản ảo - thực tuyệt đối của nhau. Hai thể ấy là bình đẳng với nhau, bằng nhau tuyệt đối về mặt lực lượng nhưng “trái chiều” tuyệt đối nhau. “Ảo”, “thực” là khái niệm do chúng ta đặt ra và một khi chúng ta “thiên vị” gọi cái Không Gianmà chúng ta hiện diện (Vũ Trụ) là “thực” thì cái Không Gian còn lại (nội tại hạt KG) là “ảo”. Giả sử rằng có thể “lọt” được vào nội tại hạt KG nào đó thì quang cảnh ở đó cũng i xì như quang cảnh Vũ Trụ mà chúng ta đang quan chiêm.

Như vậy, sự tương phản ảo - thực tuyệt đối bao giờ cũng là tương phản hoàn toàn (qua gốc O hoặc gốc 1). Sự tương phản ảo - thực tuyệt đối ấy bao hàm cả hai tính chất tương phản âm – dương và tương phản nghịch đảo, nhưng xét về mặt lực lượng (thể tích, quảng tính) và theo “quán tính” cảm nhận của chúng ta thì tính tương phản nghịch đảo trở nên nổi trội, lấn át. Vì hạt KG là đơn vị tuyệt đối Không Gian nên mốc tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối cũng là kích thước hạt KG và ranh giới phân chia hai miền tương phản tuyệt đối ấy phải là “mặt bao” của hạt KG mà một cách lý tưởng, có thể tưởng tượng “mặt bao” đó là mặt cầu chuẩn.

Sự tạo ảnh có phóng đại hoặc thu nhỏ cũng như hiện tượng biến dạng ảo của ảnh trong phản xạ ánh sáng ở gương cầu đã gây cho chúng ta nhiều khó khăn trong việc tìm hiểu và xác định bản chất của nó, nhưng cũng đồng thời nhờ thế mà chúng ta nảy được ra ý nghĩ rằng trong một chừng mực nhất định, có thể lấy nó làm mô phỏng minh họa trong hiện thực về sự tương phản ảo thực nghịch đảo tuyệt đối của Không Gian Thực Tại. Hơn nữa toán học đã chỉ ra rằng sự phản xạ ở gương cầu có liên quan mật thiết đến một phép biến đổi hình học có tính nghịch đảo. Đó là phép biến đổi hình học qua mặt cầu, mà xét trong trường hợp giản lược hơn, đối với mặt phẳng có thể gọi là phép biến đổi nghịch đảo qua đường tròn.

Vậy thì, chúng ta nhận định” nếu hiện tượng phản xạ ở gương cầu là sự gợi ý rõ ràng đến sự tồn tại đích thực của mối tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối trong Thực Tại Khách Quan thì vì hiện tượng đó có sự liên quan mật thiết đối với phép biến đổi hình học nghịch đảo qua đường tròn, thậm chí còn hoạt động dựa trên cơ sở của phép biến đổi ấy, cho “có vẻ” còn hoạt động dựa trên cơ sở của phép biến đổi ấy, cho nên chúng ta hoàn toàn có thể dùng phép biến đổi ấy biểu diễn trực quan cũng như “liến thoắng nhiều chuyện kiểu bà Tám” về sự tương phản ảo - thực tuyệt đối.

Như đã biết, khi một đường cong trong một mặt (phẳng) không tự cắt nó và khép kín thì nó sẽ phân định mặt (phẳng) đó thành hai miền gọi là trong và ngoài. Hai mặt đó thực ra đều là một phần của mặt (phẳng) nên đương nhiên chúng có bản chất như nhau. Tuy nhiên vì chúng đã bị phân định thành miền trong - miền ngoài, phân biệt được với nhau nên cũng khác nhau. Nếu tưởng tượng rằng sự phân định là tuyệt đối, nghĩa là hai miền bị phân định không thể xâm nhập vào nhau đươc (mà chỉ có thể chuyển hóa lẫn nhau theo cách nào đó) thì có thể nói chúng tuyệt đối giống nhau mà cũng tuyệt đối khác nhau (đồng thời giữa chúng có một mối quan hệ khăng khít). Tiếp tục tưởng tượng, giả sử rằng về hình dạng, miền ngoài giống hệt miền trong, về qui mô, miền ngoài nhận miền trong làm đơn vị của nó, đồng thời ở một góc độ khác, lực lượng của hai miền lại tương đương với nhau, thì đó chính là hình ảnh trực quan rất gần với sự tương phản ảo - thực nghịch đảo hoàn toàn. Nếu gọi miền này là ảo (hay trong) thì miền kia là thực (hay ngoài) và ngược lại một cách hoàn toàn bình đẳng. Khi xác định được tâm điểm của miền trong (điểm này luôn tồn tại, trong vật lý nó mang ý nghĩa là trọng tâm, ở đây nó còn được gọi là “tâm” hay “cực” của phép nghịch đảo) thì chúng ta có thể thiết lập được mối quan hệ tương phản nghịch đảo về mặt hình học không gian giữa hai miền.

Cảm nghiệm dẫn chúng ta đến ý thức rằng đường thẳng và đường tròn là hai đường giản dị nhất, nghĩa là có tính tự nhiên nhất trong các loại đường được quan sát thấy trong hiện thực. Như thế, có thể hình dạng đó là hai cở sở nền tảng có tính trái chiều nhau trong một mối tương phản đối ứng và sự chuyển hóa lẫn nhau thông qua mối quan hệ của chúng là nguyên nhân làm xuất hiện ra các dạng đường khác. Nếu đường thẳng hàm chỉ tính phương chiều của Không Gian thì đường tròn hàm chỉ tính lực lượng (thể tích) của Nó.

Có lẽ cũng vì thế mà Tạo Hóa đã giao cho đường thẳng và đường tròn cái vai trò trọng đại là phô diễn cho tư duy nhận thức thấy được hai dạng tương phản ảo - thực của Tự Nhiên trong khi phân định mặt (phẳng) thành hai miền mà đối với đường thẳng là hai miền âm – dương của nhau, còn đối với đường tròn là hai miền nghịch đảo của nhau, và chúng đã “hoàn thành xuất sắc” nhiệm vụ đó một cách phi thường.

Về mặt nhận thức, chúng ta quan niệm rằng sự tương phản ảo thực tuyệt đối đồng thời thể hiện dưới dạng nghịch đảo hoàn toàn và âm – dương hoàn toàn. Nhưng trong hiện thực, dù là gián tiếp, chúng ta cũng không thể quan sát được cùng một lúc hai thể hiện ấy. Vì đang quan tâm đến vấn đề về mối quan hệ giữa hữu hạn và vô hạn, giữa đại và tiểu nên chúng ta lúc này cũng chỉ quan tâm tới sự tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối và hoàn toàn.

Đã là tương phản ảo - thực tuyệt đối thì phải mang tính hoàn hảo, mẫu mực, tự nhiên, lý tưởng, cho nên trong hiện thực, mô phỏng sát thực nhất đối với mối tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối, theo thiển ý của chúng ta, chỉ có thể là hiện tượng tương phản qua mặt cầu (hay trong trường hợp đơn giản là qua đường tròn). Vì cảm nhận trực quan cho thấy nó có tính hồn nhiên nhất, toàn thiện toàn mỹ nhất.

Trước đây, chúng ta đã từng đề cập đến phép nghịch đảo qua đường tròn cùng với những tính chất cơ bản của nó và cũng đã từng liên tưởng sự phân định mặt phẳng thành hai miền trong – ngoài của đường tròn với sự tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối và hoàn toàn qua mốc hạt KG của Thực Tại Khách Quan. Bây giờ, chúng ta lại bàn thảo vấn đề đó một lần nữa nhưng cũng chỉ trên tinh thần "bác học" để phục vụ cho việc củng cố quan niệm về mối quan hệ giữa vô hạn và hữu hạn của triết học duy tồn - thứ triết học mà chúng ta đã đặt cược cả cuộc đời (vô danh tiểu tốt) của mình để bênh vực nó. Trước tiên, phải nhấn (rất) mạnh rằng Thực Tại Khách Quan mà chúng ta nói đến ở đây dù đích thực thì cũng không… đích thực gì lắm, bởi vì Nó chỉ là cái Thế Giới tạm gọi là vĩ mô mà con người cảm nhận được và đã quen quan niệm đến mức bản năng, đồng thời đã “rút ra” được từ đó một “hiện thực” toán học phi thường gọi là “Hình học Ơclít”. Tuy thế, đối với nghiên cứu Triết học, Thực Tại Khách Quan ấy, vì cũng hàm chứa đầy đủ những nguyên lý cơ bản của Tự Nhiên nên cũng không hề “kém cỏi” trong việc “hướng dẫn” con người đến được với những nhận thức chí lý (dù có thể phải qua một quá trình trải nghiệm và “mơ mộng” đầy gian lao!) về Tự Nhiên Tồn Tại.

Cho đường tròn tâm O, bán kính R ở hình 6/a. Đường tròn đó phân định mặt phẳng ra thành hai miền trong – ngoài. Hãy tưởng tượng hai miền đó là tương phản ảo - thực tuyệt đối của nhau. Nếu gọi miền ngoài là miền Không Gian thực (hay Vũ Trụ thực) thì miền trong đường tròn là miền Không Gian ảo (hay nội tại của hạt KG) và ngược lại. Chúng ta quan niệm rằng, ở góc độ hai miền ấy là ảo - thực tuyệt đối của nhau, chúng là hai cõi âm – dương cách trở tuyệt đối không xâm nhập vào nhau được, nhưng có thể tác động, gây phản ứng đối với nhau bằng cách kích thích - cảm ứng. Ở góc độ hai miền ấy là bộ phận của một Không Gian duy nhất, thống nhất và liên thông thì chúng chồng chập nhau. Trong mối quan hệ về đại và tiểu (to và nhỏ) thì hai miền Không Gian ấy là tương phản nghịch đảo tuyệt đối và hoàn toàn (qua gốc hạt KG) của nhau.

Hình 6: Mô phỏng sự tương phản nghịch đảo tuyệt đối qua hạt KG.

Khi nói cho một điểm thực (hay ảo) thì điều đó phải nằm trong miền Không Gian thực (hay ảo). Có thể qui ước điểm là trung tâm (trọng tâm, điểm bất động) của một thực thể (hay ảo thể) nào đó và đóng vai trò đại diện cho thực thể (hay ảo thể) ấy. Để khỏi bị “lú lẫn” trong quá trình khảo sát, biện giải triết học và cũng phù hợp với trực quan, chúng ta qui ước trong sự phân định mặt phẳng của đường tròn, miền trong đường tròn bao giờ cũng là miền không gian ảo (nội tại hạt KG), do đó miền ngoài đường tròn bao giờ cũng là miền không gian thực (Vũ Trụ). Hơn nữa, ở đây cũng cần phải quên đi quan niệm điểm nhỏ nhất tuyệt đối trong Vũ Trụ là hạt KG (vì dù sao, ở góc đó tương phản âm – dương tuyệt đối, Không Gian của Vũ Trụ và Không Gian của nội tại hạt KG tương đương nhau về mặt lực lượng, chỉ khác nhau về dấu). Và còn phải qui ước thêm: điểm (hình học) là không có nội tại, đường (hình học) là không có thiết diện.

Bây giờ, giả sử cho một điểm ảo A’ (xem hình 6/a). Chắc chắn phải tồn tại một điểm thực A đóng vai trò là thể tương phản nghịch đảo tuyệt đối của A’. Vậy thì điểm A nằm ở vị trí nào trong miền thực? Theo phép biến đổi nghịch đảo qua đường tròn trong hình học thì điểm A phải nằm trên đường thẳng a xuyên tâm O sao cho:

Nghĩa là hai đoạn thẳng đó tương phản nghịch đảo qua mốc độ dài bán kính bình phương của hạt KG (với điểm O là tâm của phép nghịch đảo).

Sự đơn giản mà cũng rất tự nhiên của cách dựng hình học trong việc tìm vị trí điểm tương phản ảo - thực nghịch đảo tuyệt đối của một điểm bất kỳ cho trước như trình bày ở hình 6/a đã gieo niềm tin cho chúng ta rằng, ảnh ảo của một thực thể được xác định theo phương pháp ấy trong hiện thực là có tính thuần túy khách quan, không bị chi phối bởi hệ quan sát hoặc lệ thuộc vào nó (nghĩa là, quan sát có thể thấy khác đi nhưng chân lý khách quan đích thực mà mọi hệ quan sát rút ra được từ cùng một hiện tượng chỉ có một, duy nhất).

Khi phát hiện ra sự biến đổi nghịch đảo qua đường tròn trong lĩnh vực hình học, toán học cũng đã chú tâm nghiên cứu nó, cũng tìm cách lý giải một vài biểu hiện dị thường của nó, để rồi chỉ coi nó như một hiện tượng biến đổi bình thường như nhiều hiện tượng biến đổi khác trong lý thuyết Tôpô, ứng dụng nó như một phép dựng hình hình học. Do bị hạn chế bởi tính đặc thù trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu Tự Nhiên của mình mà toán học khó lòng thấy được những điều vô cùng lớn lao ẩn tàng trong hiện tượng biến đổi nghịch đảo ấy. Đối với chúng ta thì một trong số ít những “mách bảo” hàm xúc nhất mà cũng rõ ràng nhất về bản chất những mối quan hệ cơ bản giữa vô hạn và hữu hạn, to và nhỏ, tròn và thẳng, ảo và thực… của Tự Nhiên Tồn Tại đối với quan sát và nhận thức chính là những biểu hiện kỳ dị đến mức thiêng liêng, phi thường (vì cảm nghiệm về chúng còn khó hơn cả cảm nghiệm về Chúa, Phật hay Thượng Đế và do đó cũng khó lòng phát hiện ra) của hiện tượng tương phản ảo - thực tuyệt đối, thông qua hiện tượng nghịch đảo qua đường tròn, phơi bày trong “hiện thực hình học Ơclít”.

(còn nữa)

.