TT&HĐ V - 42/e

 

(Bài 05)[Toán học] Tích Phân Là Gì?

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Khi chúng ta viết, chẳng hạn:

,25 hay ,333…,

thì đó chính là tổng của một số nguyên dương thực sự và số dương ảo nào đó lớn hơn 1, được thấy từ miền thực (số nghịch đảo của nó).

Nếu “xóa nhòa” ranh giới ảo - thực đi, nghĩa là coi miền ảo cũng là miền thực, thuộc về miền thực, thì vì:

Chúng ta gọi những số kiểu ,25 và ,33… là những số hữu tỷ tuyệt đối.

Còn khi chúng ta viết: 1,25 hay 1,33… thì đó là những số hữu tỉ tương đối, vì chúng là sự biểu diễn của những số lượng có thực. Việc phải biểu diễn dưới dạng ảo thành các thành phần 0,25 hay 0,33… là do sự chọn lựa (hay qui ước) đơn vị tương đối (số 1) gây ra.

Còn nhiều điều kỳ dị nữa hàm chứa trong biểu diễn:

Chúng ta thử liệt kê ra đây cho vui:

- Vì n có thể là bất cứ số nào nên có thể chọn bất cứ số nào làm đơn vị tương đối. Khi     n = thì 1, khi n = I thì I 1 (lúc này, có thể gọi Vũ Trụ thực là “giả ảo”!).

- Suy ra từ sự biểu diễn thì: , nghĩa là:

1 – 1 = 0

Hiển nhiên là thế, nhưng mặt khác, như đã nói thì cũng có:

Vậy có thể viết:

2 = 0

Biểu diễn này có nghĩa là hai mặt tương phản đã hợp nhất, sự tương phản đã “lặn” vào trong không biểu hiện ra ngoài nữa. Khi lằn ranh ảo - thực không còn nữa thì dấu “bằng” cũng biến mất, nên biểu hiện lúc này còn lại là:

2^o

Để không nhầm lẫn với số lũy thừa, chúng ta chuyển vị trí ký hiệu tương phản âm – dương ra đằng trước trên số 2 và viết lại:

^o2

(Thú vị là khi giải phương trình  theo toán học truyền thống, chúng ta có hai nghiệm là . Nếu cho rằng:

thì:

Nghĩa là dù có hai nghiệm đi nữa thì cũng cho ra một kết quả duy nhất. Dù là hai hiện thực thì cũng chỉ là phản ánh của một thực tại khách quan duy nhất!

Cũng từ sự biểu diễn mà suy ra:

Như vậy, cũng phải có:

Vì đã qui ước dương cũng là thực (biểu diễn theo dấu tương phản là ), do đó:

Nếu thế  

Đến đây thì khó lòng mà bác bỏ được  phải vừa bằng 0, vừa bằng . Để thể hiện điều đó, chúng ta viết:

Để sáng tỏ hơn nữa, chúng ta viết lại:

Có thể biện luận rằng ở vế phải vì  nên chỉ còn lại , do đó:

       

Một trung tính (mất dấu tương phản) có nghĩa là sự biểu hiện tương phản của nó đã “dung hòa” nhau, “chìm khuất” vào nội tại. Do đó, về mặt tương phản phải cho rằng được coi là bằng 0, nếu không thì phải phân tích thành . Thành thử khi chuyển về cách viết thông thường thì hoặc:

              

Mặt khác, khi trong cùng một vế chỉ xuất hiện một loại dấu tương phản hoặc dương hoặc âm thôi thì coi như trong vế đó không có sự tương phản, nghĩa là có thể thay dấu đó bằng ký hiệu “0” rồi loại bỏ cả ký hiệu “0” đi. Trường hợp cụ thể ở đây là:

              

Viết rõ lại thì:

              

Từ đó cũng suy ra được

Sự nhất quán của kết quả  là minh chứng cho sự “chí lý” của suy luận.

Chúng ta nói: với yếu tố , sự kiện dẫn đến kết quả duy nhất là . Kết quả đó đồng thời có hai biểu hiện, một là về mặt lực lượng (số lượng), một là về tính tương phản của nó (bằng 0, trung tính). Dù là sự biểu hiện đồng thời thì hệ quan sát khó lòng “nắm bắt” được cùng một lúc cả hai biểu hiện ấy. Tùy góc độ và chủ đích của quan sát mà có thể thấy kết quả là bằng 0 hoặc bằng . Tuy nhiên, dù kết quả có thể nào đi nữa, miễn là nó đúng (không phạm phải mâu thuẫn nội tại!) thì từ đó vẫn có thể truy nguyên được về cùng một gốc xuất phát. Nghĩa là dù kết quả là 0 hay , đều có thể dẫn về cùng một gốc xuất phát qui luật của quá trình từ nguyên nhân đến kết quả được khám phá. Điều này đồng thời cũng góp phần vào khẳng định: dù nghiên cứu khoa học trong một hiện thực đặc thù như thế nào đi nữa thì nếu quá trình nghiên cứ ấuy (rút cuộc) không phạm sai lầm, cũng tất yếu khám phá được những nguyên lý, qui luật chung nhất, cơ bản nhất của Tự Nhiên, vì Thực Tại khách quan chỉ có một và chỉ một mà thôi.

Toán học sẽ không bao giờ tin nổi hiện tượng:

              

vì khi đó sẽ xuất hiện:  -1 = +1

Còn chúng ta thì hoàn toàn tin vào sự “có lý” của nó. Dù là rất kỳ dị thì về mặt triết học, đó cũng là một biểu diễn cơ bản về bản chất bảo toàn Không Gian của Thực Tại khách quan.

Hơn nữa, từ -1 = +1 có thể suy ra được:

              

và nếu không trên cơ sở biểu diễn này thì hóa học đã không thể giải thích căn cơ được cá hiện tượng biến hóa vật chất bằng các phương trình của nó.

- Chưa hết, tư duy “bạt mạng” của con người còn đưa ra một ý tưởng không kém phần “quái đản” nữa. Với biểu diễn:

              

thì phải hiểu rằng n vừa bằng nghịch đảo của nó vừa bằng chính nó. giả sử cho n=2 thì:

 

Điều này chỉ có thể giải thích được với quan niệm rằng 1 là đơn vị tương đối gồm 4 đơn vị nhỏ hơn bốn lần nó, tương tự như:

               1 giờ = 60 phút

Lúc này, sau khi thay 4 vào vị trí của 1, ta có:

Chúng ta nên thì dụ trên để chỉ ra rằng chỉ khi coi 1 đóng vai trò đơn vị tuyệt đối thì mới có thể viết được:

              

Còn khi 1 đã được bộc lộ ra sự tương đối của nó thì đó là một suy diễn bị cấm kỵ, vì như thí dụ trên:

              

Cũng vì cách hiểu “n bằng nghịch đảo của nó đồng thời bằng chính nó” mà từ biểu diễn:

              

dẫn đến cách biểu diễn:

              

Trong toán học, người ta gọi cách viết ở vế phải là “Liên phân số” (Tương tự, khi có , cũng sẽ viết được:

              

và gọi là “Liên căn thức”).

Trước tiên, dễ dàng thấy ngay rằng sự biểu diễn đó sẽ “hợp đạo lý” khi . Sau đó còn thấy nếu số lượng số 1 là lẻ thì n bằng nghịch đảo của nó, nếu số lượng đó là chẵn thì n bằng chính nó. Tuy nhiên, khi n là bất kỳ số nào khác  thì đồng thời cũng có  nên có thể viết:

              

và dù số lượng  có chẵn hay lẻ mặc lòng, bao giờ cũng phải có:

               n = n

Nghĩa là:

               Mặc bao bão táp phong ba

               Thì ta vẫn cứ là ta mới tài

Rõ là dù một mà hai,

Tuy hai mà một, có đầy như không

Vừa là vô thủy vô chung

Vừa là chung thủy một lòng đó đây

               Bất tận thì cũng chốn này

               Nghĩ đi nghĩ lại, đúng sai tại mình.

(Tương tự, đối với liên căn thức nói trên, nếu qui ước thêm , thì biểu diễn sẽ “hợp đạo lý” đối với bất cứ bậc khai căn nào khi , và khi n là bất cứ số nào khác thì bậc khai căn chỉ có thể là 1. Tuy nhiên sẽ không cần bất cứ những qui ước “lặt vặt” như thế nếu đã có qui ước “tối thượng” với m, n là bất cứ số nào!)

Thật là quái đản đúng không… chúng ta? Và tư duy con người cũng thật là dị thường đúng không… chúng ta? Có thể là như thế. Có thể là quái đản, có thể là dị thường nhưng nghĩ cho kỹ lại thì thực tại khách quan còn dị thường hơn nhiều. Bộ não con người, kể cả những bộ não điên loạn nhất, dù có thể nghĩ ra được nhiều điều vô cùng “rùng rợn” đến bản thân con người cũng phát chết khiếp, thì cũng không thể nghĩ ra được cái mà Tự nhiên Tồn tại không cho phép. Chẳng hay, không thể có bất cứ một tư duy siêu việt nào mường tượng ra được Hư Vô bởi vì Tồn Tại luôn “chiếm chỗ” trong tất tuyệt, biết rằng sáng tạo ra nhiều thứ kỳ diệu, nhưng không bao giờ có thể sửa đổi, thêm bớt những nguyên lý, qui luật vô cùng biến hóa của Vũ Trụ. Chỉ số thông minh của loài người làm sao mà bằng được chỉ số thông minh của Đấng Tạo Hóa thiêng liêng, vì thế mà làm sao sự sáng tạo của nó vượt qua sự sáng tạo của Ngài được!?

Suy tư toán học không thể “vẽ vời” ra những biểu diễn mà hiện thực không hàm chứa. Chúng ta phát biểu như vậy không phải là vô căn cứ.

Trong Vũ Trụ số, chúng ta luôn chọn được ngẫu nhiên hai số bất kỳ để lập thành một phân số. Giả sử có hai số m và n, với m>n, đồng thời để tiện theo dõi, m và n là nguyên dương, được lập thành phân số:

              

Một cách ngẫu hứng, chúng ta đưa ra biểu diễn:

              

Để “hợp đạo lý” thì phải xảy ra:

              

Tuy nhiên, vì tự do “quá trớn” trong tư duy thường dẫn đến sự tùy tiện “ngoan cố” cho nên chúng ta vẫn cứ cho biểu diễn đó “hợp đạo lý” ngay cả khi . Vì m>n nên chúng ta giả sử được:

               ,    với a < n

và do đó:

              

Chú ý: nếu cho a = n  thì n = 2. Suy ra

vế phải rõ ràng là số thập phân trong khi vế trái là số nguyên dương. Vậy thì làm sao chúng bằng nhau được? Chúng ta cho rằng sự “ngoan cố” tùy tiện dù có “hùng dũng” đến mấy thì cũng phải có giới hạn và ngưỡng chặn trên của nó là sự gàn dở. Nếu ngoan cố dù sao vẫn còn chút tỉnh táo thì gàn rở coi như đã bị mất trí. Chúng ta chỉ tự nhận mình là ngoan cố thôi chứ chưa phải gàn rở nên đành lủi thủi rút lui mà suy nghĩ lại.

Nếu vế phải chắc chắn là số thập phân thì số n cũng phải là số thập phân. Có thể biểu diễn nêu trên, trong Vũ Trụ số nguyên dương chỉ có kết quả duy nhất là Nếu muốn nó có nghiệm khác với  thì phải mở rộng Vũ Trụ số, nghĩa là phải qui ước n, m mà là dương nhưng có thể không nguyên.

Vì a là số dương bất kỳ nhỏ hơn n nên chúng ta có quyền cho nó là 1 và có:

              

và suy ra:

              

Đến đây thì sự điên rồ của tư duy đã hội ngộ với biểu hiện thần thánh của hiện thực . Giải phương trình bậc hai với ẩn số là n ở trên, chúng ta sẽ có nghiệm dương là số Tỷ lệ vàng (số ), thật là kỳ thú!

Kỳ thú hơn nữa là số được biểu diễn dưới dạng liên phân số:

      

Dù số lần phép chia là vô hạn thì cuối cùng nó cũng phải kết thúc bằng số . Vậy thì số lần chia có thực sự vô hạn không? Không biết nói thế nào nữa! Chắc rằng số  là biểu hiện sự thỏa thuận giữa khách quan và chủ quan, giữa thực và ảo, giữa hữu hạn và vô hạn. Hiện thực khách quan trở nên lung linh, huyền diệu là có lẽ vì thế.

Đặc biệt, số còn được biểu diễn dưới dạng liên căn thức bậc 2 nữa. Vì có thể viết:

              

nên có thể viết tiếp:

              

Bình phương hai vế thì được:

               

Suy ra:    

Vậy , nghĩa là:

              

Từ hai cách viết số , đều bắt buộc phải xảy ra là:

              

Có thể coi đó là hai hiện thực của một thực tại khách quan duy nhất. Ở hiện thực nào thì cũng đều có thể khám phá ra chân lý đích thực và duy nhất. Điều quan trọng bậc nhất rút ra được từ đây là cả hai quá trình đó có vô hạn hay hữu hạn thì cũng không mảy may quan trọng. Vì chúng là quá trình ở bất cứ giai đoạn nào, miễn là phần quá trình đã qua có tính trọn vẹn (nghĩa là sự biểu diễn luôn thỏa mãn với cách biểu diễn ban đầu, hay tạm gọi là “đơn vị vận động của quá trình”), thì đều cho ra kết quả là .

Thực ra cái ngẫu hứng đặt:

              

chẳng thấm tháp vào đâu so với ngẫu hứng của Đấng Tạo Hóa. Vì trong lòng hiện thực còn tiềm ẩn cách biểu diễn tổng quát hơn nhiều. Đó là:

                       

Từ đó mà có :     

Suy ra:    

Nghiệm dương của phương trình này (với n là ẩn số) là:

              

Khi b và a bằng 1 thì:

Vậy có thể cho rằng  là nghiệm trong vô số nghiệm của phương trình tổng quát .Ở góc độ này thì Tỷ lệ vàng cũng… bình thường thôi, chẳng có vẻ gì thần thánh!

Giả sử rằng  và , chúng ta sẽ có số n là:

              

Chỉ cần chọn bất cứ số c nào thỏa mãn:

              

thì chúng ta sẽ có ngay được một số n mang những đặc tính kỳ lạ của số là:

              

(Chú ý:  chính là nghiệm thứ hai của phương trình tính ra )

Thí dụ cho , suy ra:

              

Thử lại:

              

hay:        

Thí dụ cho , suy ra:

              

Thử lại theo cách biểu diễn liên phân số:

              

Vì liên tiếp luôn có:  nên dù quá trình có kéo dài ra vô hạn thì cuối cùng cũng phải là

Thử theo cách biểu diễn liên căn thức:

              

Vì quá trình dừng lại như một bộ phận trọn vẹn ở bất cứ quãng nào cũng tồn tại nên

Trước đây, chúng ta đã từng “bịa” ra , và gọi nó là số “Tỷ lệ vàng sao”, và cho rằng thực ra chỉ là cái bóng của nó. Có thể rằng lúc đó vì không thấy có liên quan đến số 0,96- là số mà chúng ta vô cùng “ngưỡng mộ” nên đã có những tuyên bố huyênh hoang quá đáng. Bây giờ nghĩ lại thấy hơi… bị xấu hổ. Đáng lẽ ra tốt hơn hết là nên phát biểu chung chung, đại loại: “Cái bình dị nhất thường hàm chứa điều thiêng liêng nhất”, thế thôi là đủ!

Số  viết theo biểu diễn liên phân số và liên căn thức là:

(với số bước “nguyên” tùy ý!)

Có lẽ điều lạ lùng nhất về số là thế này:

Khi viết:

              

thì ở vế trái, ắt phải: . Ở vế phải đương nhiên là n cũng bằng . Tuy nhiên, ở vế phải không phải là điều cần thiết cho vế trái bằng . Một khi quá trình liên phân số và liên căn thức ở trên là vô hạn, dù số n của chúng là bất kỳ số nào, miễn là  thì cả hai quá trình ấy đều đi đến kết quả là . Hay có thể nói là giới hạn của mọi dãy số vô hạn khi các dãy số đó có số hạng “cuối cùng” đưa về được dạng liên phân số hay liên căn thức ở trên. Thí dụ khi , chắc chắn phải có:

              

Rất vui vì cũng có:

              

Có thể phát biểu: Đem nghịch đảo một số dương bất kỳ rồi cộng với 1, được kết quả lại đem nghịch đảo nó rồi cộng với 1, cứ thế mà làm tới vô hạn lần sẽ có kết quả cuối cùng là số . Hoặc, lấy một số dương bất kỳ cộng với 1, được bao nhiêu đem khai căn bậc 2, lấy kết quả đó cộng với 1 rồi tiếp tục khai căn bâc 2 nó, cứ thế mà  làm tới vô hạn bước sẽ có kết quả cuối cùng là số .

Khi tùy tiện viết:

              

Chúng ta đâu có ngờ rằng đó chẳng qua là sự dẫn xuất ra từ phương trình bậc 2 tổng quát. Nếu chúng ta đổi n thành x và gọi x là ẩn số thì phương trình bậc 2 tổng quát có dạng:

              

                           Với A, B, C là những số thực đã biết, gọi là hệ số.

Từ đó suy ra được:

              

Đặt lại:     , thì có:

              

Nhiều khả năng cách viết này chính là gợi ý đầu tiên cho các nhà toán học cách biểu diễn một số thực bằng liên phân số và liên căn thức, nhất là đối với các số vô tỷ. Cho dù sự xuất hiện của chúng có thể xảy ra sớm hơn. Sự biểu hiện mối liên quan mật thiết giữa số vô tỷ và liên phân số cũng như liên căn thức mà chúng ta cảm nhận được, đã gợi ý rằng rất có thể xây dựng được một biểu diễn tổng quát cho mọi số vô tỷ trên cơ sở áp dụng liên phân số và liên căn thức.

Chính Ơle đã tìm ra sự biểu diễn theo liên phân số rất đẹp của số (còn gọi là số Ácximét):

              

Số e (còn được gọi là số Ơle) là một số cũng rất nổi tiếng. Ngay sau khi Ơle cho công bố tác phẩm “Nhập môn giải tích vô hạn”, số e đã nhanh chóng chiếm địa vị quan trọng trong toán học. Đối với số e, Ơle cũng tìm ra (không phải chỉ một) cách biểu diễn dưới dạng liên phân số cho nó. Dưới đây là một cách biểu diễn:

Đặc trưng của một số vô tỷ cụ thể nào đó là nếu quan sát các số hạng trong phần thập phân của nó, sẽ không thấy bất kỳ một sự sắp xếp có qui luật nào. Tuy nhiên việc biểu diễn được một số vô tỷ bằng biểu thức toán học hữu hạn mà vẫn hàm nghĩa, hình dung được đến vô hạn của nó đã mách bảo chúng ta rằng dù sao thì các số vô tỷ cũng phải được sinh thành ra từ những quá trình toán học có qui luật. Chính vì vậy mà bản thân chúng cũng mang tính qui luật, cũng hàm chứa những đặc tính có qui luật, chỉ có điều chúng không biểu diễn ra hoặc biểu hiện ra nhưng khó thấy. Số là minh chứng điển hình cho nhận định đó. Nếu số không hàm chứa những nguyên lý, qui luật thậm chí là rất cơ bản của Tự Nhiên thì nó không thể được biểu diễn bằng những chuỗi số có cách tiến triển khoan thai, nhịp nhàng và giản dị đến không ngờ mà công đầu trong việc khám phá ra chúng là thuộc Lepnit và Ơle. Số là số siêu việt, nhà toán học người Pháp tên là Lămbe (D’Alemert, 1717-1783) đã chứng minh được tính vô tỷ của . Dù nó bị xếp vào hàng những “kẻ hỗn độn” nhất trong Vũ Trụ số thì sự hỗn độn kinh khủng đó chỉ là cái biểu diễn bề ngoài đã che đậy một hồn vía vừa ảo huyền kỳ diệu vừa hồn nhiên sáng láng. Chúng ta sẽ bị mê hoặc bởi các chuỗi số sau:

Và đặc biệt:

(Tổng các số tự nhiên nghịch đảo!)

Nếu chúng ta vẫn tin tưởng rằng số huyền ảo vì nó là cái “bóng xế” của một “hiện thực” có tên gọi là “Số Pi vàng” () thì cái “hiện thực” ấy được biểu diễn gọn gàng như sau:

Từ đó, chúng ta có thể “xáo xào” để cho ra một con số thú vị:

Năm 1965, hai nhà vật lý thiên văn người Mỹ, tên là Pendiat (Penzias) và Uynxơ (Wilson) đã đo được cái gọi là “nhiệt độ tương đối của bức xạ phông Vũ Trụ”. Nó có giá trị bằng: 2,735K (độ Kenvin). Kết quả này được các nhà vật lý học đánh giá là một bằng chứng quyết định cho tính đúng đắn của thuyết Big Bang.

Vậy có mối liên quan nào giữa con số vừa tính ra của chúng ta với số đo thực nghiệm của vật lý đó không?

Ngoài ra chúng ta cũng có thể đặt câu hỏi tương tự khi nhớ đến số e. Trị của số e là:

Không như số và số được phát hiện từ rất sớm trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu hình học một cách trực quan, số e mãi đến thế kỷ XVIII mới xuất hiện trong toán học. Nó được khám phá ra khi các nhà toán học đi nhận thức bản chất của sự vô cùng và xây dựng khái niệm giới hạn.
Cần phải khẳng định một cách dứt khoát, trong thực tại khách quan tuyệt đối (không có sự lũng đoạn chủ quan của hệ quan sát!), không thể tồn tại số thập phân tuần hoàn hoặc số vô tỷ. Vì nếu như thế, nguyên lý cân bằng động vĩ đại của Vũ Trụ sẽ bị phá vỡ, nhiều quá trình định lượng của nó trở nên bất định. Nhưng số thập phân tuần hoàn và số vô tỷ vẫn có thể và phải tồn tại trong toán học (trong Vũ Trụ ảo). Số vô tỷ, chỉ cần qui ước lại hệ số đếm hợp lý, sẽ biến thành số hữu tỷ, thậm chí là số nguyên dương! Có như vậy là vì tính chủ quan của hệ quan sát đã lũng đoạn thực tại khách quan (đã qui ước!).

Trong Vũ Trụ số thực, với hai số thực A và B bất kỳ (nhưng để tiện theo dõi, qui ước chúng là nguyên dương), chúng ta luôn thiết lập được:

với c cũng là số thực

Từ biểu thức đó, bao giờ chúng ta cũng biểu diễn được:

      

                       với - p, q cũng là 2 số thực

     - thành phần liên phân số ở vế phải có thể có số bước hữu hạn hoặc vô hạn.

Thí dụ 1: Có:    

Nếu tính thử lại thì:

Thí dụ 2: Có thể triển khai  thành:

Thí dụ 3: Số 13 là một số nguyên tố. Có thể phân tích thành:

        

Với A, B là nguyên dương thì C cũng nguyên dương và bao giờ cũng có thể tìm được những số hữu tỷ biểu diễn dưới dạng gọi là đặc biệt của dạng , là:

với n là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1

Viết như thế coi như chúng ta đã chuyển đơn vị làm nên lực lượng c (có thể là tuyệt đối hoặc tương đối) sang đơn vị mới để lực lượng c lúc này được thấy là Q. Nghĩa là đơn vị làm nên lực lượng Q, bản thân nó được cấu thành từ p đơn vị của lực lượng c, hay nói cách khác là 1 = p. Có thể nói số nguyên dương c, nhìn ở góc độ nào đó sẽ thấy là một số hữu tỷ (dương) Q có lực lượng:

với n là số tự nhiên tương đối (hay có bản chất tự nhiên)

Khi cho n tăng dần vế phía VCL, vì 1 là đơn vị tương đối và Vũ Trụ là hữu hạn, nên n chỉ có thể đạt đến trị lớn nhất của nó gọi là I (số tự nhiên tương đối lớn nhất). Lúc này:

Hãy tạm quên Q là số hữu tỷ đi và cho đó là biểu diễn lực lượng toàn phần của một thực thể Không Gian nào đó. Lúc này, p là lực lượng được cấu thành từ số lượng K đơn vị Không Gian nhỏ tuyệt đối, nghĩa là:

Gọi I là lực lượng của Vũ Trụ hữu hạn (lực lượng thực), thì:

và biểu thức được chuyển đổi thành:

Có thể chọn K = I và do đó:

Có thể chọn và do đó:

Vì trong Vũ Trụ thực, không còn gì nhỏ hơn được nữa cho nên chính là lực lượng của Vũ Trụ ảo được thấy từ Vũ Trụ thực mà nếu đem chuyển đổi sang thực thì là nghịch đảo của nó, nghĩa là:

Có thể gọi I là đơn vị lớn tuyệt đối của Vũ Trụ thực.

Vậy, nếu I là lực lượng tuyệt đối của Vũ Trụ thực thì:

là lực lượng tuyệt đối của Vũ Trụ toàn phần (gồm thực và ảo “đã qui ra thực”; nếu là lực lượng tuyệt đối của hạt KG thì:

là lực lượng toàn phần của nó (mà thành phần ảo của nó đóng vai trò như lượng cảm ứng kích thích (năng lượng) lúc ẩn lúc hiện chăng?!).

Vì cho K=I nên cũng viết được:

Nghĩa là bất cứ thực thể nào cũng có tổng lực lượng Không Gian là tổng lực lượng toàn phần của các hạt KG cấu thành nên nó. Hay còn có thể nói chỉ số lực lượng KG toàn phần của một thực thể là 2.

Bây giờ, chúng ta lại nhìn Q như là biểu diễn của một dãy số:

Nếu cho n tăng từ 1 đến I thì chắc chắn  sẽ đạt đến giới hạn hữu hạn . Khi trở nên VCN (chúng ta quan niệm vô cùng nhỏ là rất nhỏ chứ không phải vô tận) đến độ không còn thấy được, cảm nhận được thì coi như:

Do đó có thể viết:

Toán học chẳng bao giờ đồng ý như vậy nên chúng ta phải viết theo cách:

(Chúng ta hiểu: khi n vượt qua giới hạn hữu hạn ở VCL thì thành phần ảo được thấy trong miền thực  sẽ biến thành 0, nghĩa là không quan sát được, bất định, hóa hư không).

Vì  là tương phản nghịch đảo của số tự nhiên n nên chúng ta gọi nó là số tự nhiên ảo, và cũng vì thế mà nó không phải là một tồn tại thực trong thế giới số tự nhiên mà chỉ là hình ảnh thấy được ở miền thực tương tự như qua một thấu kính (to hóa nhỏ, thuận hóa nghịch) của một số tự nhiên tồn tại thực ở miền ảo của Vũ Trụ số. Tình trạng đó đã làm cho chúng ta (những kẻ luôn ở Vũ Trụ thực!) thấy được hiện tượng là khi cho n tăng từ 1 lên VCL thì giảm từ 1 xuống VCN và khi n đạt tới thì biến thành 0.

Nếu chúng ta có thể bước qua được “ranh giới” để vào được miền tồn tại thực của (miền Vũ Trụ ảo) thì chúng ta sẽ thấy quá trình giảm từ 1 xuống VCN của  chẳng khác gì quá trình n tăng từ 1 lên VCL. Nghĩa là dạng thực của quá trình ảo  chính là khi . Nhưng đừng vội cho rằng vì thế mà nghịch đảo tương phản (hoàn toàn qua 1) của:

Khi chúng ta viết  thì phải quan niệm rằng tính chủ quan của nhận thức đã “xâm nhập” vào cách viết đó rồi. Từ sự qui ước chủ quan của mình về đơn vị, chúng ta đã chấp nhận biểu diễn một số lượng cùng một lúc gồm hai thành phần thực và ảo (vô tình làm cho số lượng đó vốn dĩ là có thể đếm được trở thành không đếm được). Nhưng đồng thời cũng cần thấy rằng không hành động như vậy thì toán học cũng không thể “đi đâu xa” được cho nên biểu diễn đã hàm chứa sự “thỏa thuận” tất yếu giữa chủ quan nhận thức và khách quan phản ánh. Sự thỏa thuận đó làm xuất hiện bên cạnh sự tương phản tự nhiên, có thực của Vũ Trụ là sự tương phản tương đối do qui ước chủ quan, phi thực. Bằng con đường trực quan, thuyết âm – dương của Trung Hoa cổ đại đã đi đến một luận điểm tài tình, chí lý: trong âm có dương và trong dương có âm. Dù có thế thì những nhà hiền triết Trung Hoa cổ đại vẫn chưa thể thấy được cái nguyên nhân gốc rễ làm cho cảm nhận trực quan đến được với quan niệm đó. Hiện thực khách quan khi đã được nhận thức thì tất yếu phải hàm chứa cả sự chủ quan của nhận thức, làm sản sinh ra một trong những “đứa con” của nó là sự tương phản tương đối, ít nhiều mang tính qui ước. Từ đó mà cũng xuất hiện hiện tượng thực có thể biểu diễn như ảo, ảo có thể biểu diễn như thực, thực mà ảo, ảo mà thực, trong thực có ảo, trong ảo có thực, nói chung là… hư hư thực thực. Nếu biểu diễn là ở dạng trong thực có ảo thì tương phản nghịch đảo của nó có dạng gọi là trong ảo có thực, sao cho tích của chúng bằng 1.

Vì  cho nên tương phản nghịch đảo của nó phải là:

Cả hai biểu diễn ấy, khi cho n tăng dần từ 1 đến VCL thì đều là quá trình tiến đến giới hạn là 1. Hay có thể viết:

Có thể thấy quá trình đầu là quá trình giảm dần tới 1, nghĩa là nhận 1 làm giới hạn dưới của nó và quá trình sau là quá trình tăng dần tới 1, nghĩa là nhận 1 làm giới hạn trên của nó. Một cách tương đối nếu cho một trong hai quá trình là thực thì quá trình kia là ảo trong mối tương quan nghịch đảo (qua 1) của nó.

Đơn thuần là chỉ vì thích thú riêng tư, chúng ta ngẫu hứng viết lại:

rồi tự đặt câu hỏi: giữa chúng có mối liên hệ nào không, và nếu có thì có ý nghĩa triết học nào không?

Trước hết, vì đã có “kinh nghiệm” ở phía trên rồi, nên chúng ta cho rằng có thể sử dụng chúng vào việc biểu diễn lực lượng toàn phần của Vũ Trụ. Với quan niệm Vũ Trụ thực là hữu hạn, thì ngay lập tức, chúng ta viết được: n = I, là số tự nhiên cực đại tuyệt đối. Do đó cũng có:

Với qui ước: số lượng là phải đếm được thì không còn cách nào khác, phải có:

Vì = I thì hoàn toàn cũng là I = , nên cũng có:

Sau khi đã “ngầm hiểu” như trên rồi thì chúng ta viết lại:

Cho… đẹp; và phát biểu: Với vai trò tượng trưng cho lực lượng toàn phần đếm được của Vũ Trụ thì hai biểu diễn đó là tương đương nhau và có thể chuyển hóa thành nhau. Chú ý rằng khi 1 = n thì hai biểu diễn đó nói về lực lượng toàn phần của Vũ Trụ trong trạng thái thể hiện sự vô cùng lớn của nó trước quan sát nhận thức (bằng 2n), và khi n = 1 thì hai biểu diễn đó nói về lực lượng toàn phần của hạt KG (bằng 2), mà theo quan niệm của triết học duy tồn, hạt KG là trạng thái thể hiện sự vô cùng nhỏ của Vũ Trụ trước quan sát nhận thức. Vì lực lượng toàn phần của Vũ Trụ bằng tổng lực lượng toàn phần của các hạt KG cho nên có thể viết được:

         

Số hạt KG có thực là:

        

Theo quan niệm của triết học duy tồn thì ở một góc độ quan sát đặc biệt nào đó, phải thấy hạt KG cũng chính là Vũ Trụ. Tuy nhiên khi thấy một hạt KG là Vũ Trụ thì hệ quan sát phải lọt vào nội tại nó. Nhưng dù có lọt được vào đó thì hệ quan sát cũng chỉ thấy quang cảnh y hệt như Vũ Trụ thực, thậm chí là không thể phân biệt được và cũng chỉ có thể “đếm được” n hạt KG. Hơn nữa làm sao vượt được giới hạn giữa thực và ảo tuyệt đối, khi ngoài hạt KG ra, không còn cái gì nhỏ hơn nó nữa để mà “chui vào” nó? Có thể biện luận rằng không cần phải chui vào hạt KG mà chỉ qua suy tưởng lôgic thôi cũng phải cho rằng, phải nhân toàn bộ vế phải của biểu thức về lượng hạt KG thêm một số n nữa. Chúng ta mặc kệ, ai muốn làm thế thì làm, nhưng do bản chất phân định tương phản ảo - thực của Vũ Trụ mà khi làm thế, tự nhiên phải đồng thời nhân với cả  nữa. Rốt cuộc thì vế trái luôn không đổi, nghĩa là 2n bất biến (bảo toàn Không Gian).

Trong tất cả các số tự nhiên (khác 0), số 2 có một đặc tính mà không có số nào có. Nếu giải phương trình:

              

thì nghiệm dương của nó là ,

Vậy:       

Nghĩa là: tích của một số với chính nó bằng tổng của nó với chính nó. Và số khác 0 đó chỉ có thể là số 2.

Vì hai biểu diễn đang xét mang bản chất của số 2 nên chúng ta viết được một biểu diễn mới đầy thú vị:

              

Nếu tính độc lập mỗi vế thì kết quả đều cho ra:

              

Từ đó:

              

Tổng quát hơn, có thể đưa cách viết trên vào trong tương phản âm – dương:

              

Sự hoang tưởng, khi không có nguồn gốc bệnh lý, thì đừng vội kết tội nó là “lệch lạc”, đừng ruồng bỏ nó, thậm chí là nên tôn vinh nó. Bởi vì, nếu không có sự hoang tưởng thì loài người sẽ không bao giờ tích lũy được một kho tàng khổng lồ và cực kỳ quí báu những chuyện cổ tích và thần tiên đầy huyền diệu và kỳ ảo. Đó là món ăn thức uống tinh thần không bao giờ hết, không bao giờ cạn, vô cùng rẻ tiền nhưng lại vô cùng sảng khoái đối với biết bao nhiêu thế hệ nam, phụ, lão, ấu, hèn, sang từ cổ xưa quá khứ cho đến ngày nay và cả đối với muôn đời sau. Nếu không có những hoang tưởng vĩ đại đi tiên phong thì nhận thức của loài người đang ở đâu, thì toán – lý giờ này đã thấy được những gì từ hiện thực khách quan?

(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------