TT&HĐ V - 42/o

 

Trọng lực, lực hấp dẫn và những điều chúng ta vẫn lầm tưởng

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

 

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Khó lòng hình dung được sự vô hạn độ theo hướng vô cùng lớn bao nhiêu thì lại dễ dàng hình dung sự hữu hạn độ theo hướng vô cùng nhỏ bấy nhiêu. Trong mối quan hệ tương phản âm – dương qua gốc 0, giá trị 0 là giới hạn không thể vượt qua của cả hai lực lượng âm, dương nếu chúng còn muốn bảo toàn tính âm, dương của chúng. Trong rất nhiều trường hợp, có thể trực giác được sự giảm dần tất yếu phải đạt đến kết quả là bằng 0 hoặc bị chặn bởi 0. Té ra số 0 lại thể hiện tính hữu hạn rõ ràng và triệt để nhất trong mọi biểu hiện về sự hữu hạn, thậm chí sự hữu hạn mà nó biểu thị ra, nhìn ở góc độ nhất định là có tính tuyệt đối.

Khi cho n (biểu thị số lượng) phát triển đến vô cùng lớn và giả sử rằng nó đạt đến vô hạn (đã đạt được đến vô hạn, thì không còn là vô hạn nữa!?) thì (lượng) phải phát triển đến vô cùng nhỏ và buộc phải bằng 0. Nhưng dù có bằng 0 thì vẫn còn một chút gì đó gọi là dx vì sự phân chia không thể dẫn tới Hư Vô được. Nếu còn một chút vô cùng nhỏ dx nào đó ở trạng thái cực hạn thì thông qua mối tương phản nghịch đảo, cũng phải thấy vô hạn ở vô cùng lớn là một cái gì đó xác định tạm gọi là N, sao cho chắc chắn tồn tại:

               dx.N=1

Vậy vô hạn thì cũng phải hữu hạn!

Mặt khác không thể quan niệm đường hay đoạn đường lại hiện hữu được từ Hư Vô và độ dài của chúng lại có thể được xây dựng nên từ những cái “không có gì” hay không có tính “độ dài”. Do đó mà phải cho rằng đường hay đoạn đường là do sự tập hợp nối tiếp nhau của nhiều điểm mà thành và chiều dài của chúng chính là tổng “bề dày” của các điểm đó (gọi là đơn vị độ dài tuyệt đối). (Như vậy, xét trên mặt phẳng, đường cũng phải có “bề rộng” và “bề rộng” đó đúng bằng đơn vị độ dài tuyệt đối). Thế thì, vì số lượng điểm của đoạn b-a rõ ràng là có hạn định cho nên số phân chia n cũng chỉ phát triển đến một mức độ hạn định N nào đó. N gọi là số khoảng cực đại có thể phân chia được của đoạn b-a và khi n đạt tới N thì đạt tới dx - gọi là độ dài cực tiểu có thể có của đoạn b-a (và cũng chính là đơn vị độ dài tuyệt đối của đường). Cần nói thêm rằng nếu “cố tình” chia số khoảng lớn hơn N thì coi như đoạn b-a lập tức bị”khai tử” (không hiện hữu như một đoạn đường nữa mà là “cái gì đó kỳ dị”) vì điểm không phải là điểm nữa và đơn vị tuyệt đối biểu thị độ dài cực tiểu cũng biến tướng nốt. (Trong suy nghĩ, tưởng tượng, có thể "thấy" đơn vị nhỏ nhất của một thực thể nhỏ hơn 1. Nhưng trong thực tại khách quan thuần túy, đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của một thực thể là không tồn tại!).

Khi chia đoạn b-a ra N khoảng có độ dài dx thì có thể hình dung diện tích cần tìm trên hình 3/a là một miền lấp đầy những đoạn thẳng nằm kế tiếo nhau theo phương vuông góc với trục x. Vì các đoạn thẳng đó có “bề rộng” là dx nên diện tích của mỗi đoạn là . Vậy diện tích cần tìm chính xác bằng tổng diện tích của các đoạn thẳng lấp đầy trong đó và chúng ta có thể viết lại (có điều chỉnh chút ít) biểu diễn tích phân mà Lépnit đã đề xướng:

              

Sau đây, chúng ta đưa ra vài ví dụ tầm thường nhất về tích phân để phần nào thấy được “cái chân cái mỹ” của nó và cũng tiện thể nghiệm chứng cho lập luận nêu trên.

1.- Cho hàm số  với . Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng song song với trục x và cách trục x một khoảng là 2 đơn vị độ dài. Miền xác lập giữa đường thẳng đó và trục x trong khoảng từ x=a đến x=b rõ ràng là một hình chữ nhật và diện tích của nó hiển nhiên bằng:

               2.(b-a)

Nếu phép tích phân là một công cụ toán học chính xác thì phải thỏa mãn:

              

Vâng, nó hoàn toàn thỏa mãn! Bởi vì:

              

(Nghĩa là dù n có như thế nào chăng nữa thì cũng chẳng ảnh hưởng gì đến phép toán!).

Theo quan niệm của chúng ta, n chỉ có thể đạt đến N. Lúc đó, , với 1=b-a, và vì thế:

              

               (luôn nhớ rằng i chỉ là số đếm, số thứ tự)

2.- Cho hàm  với  và các giá trị a và b với , thì miền diện tích cần tìm là một hình thang (xem minh họa ở hình 4/a). Theo hình học sơ cấp thì diện tích của nó bằng “đáy lớn cộng đáy nhỏ, nhân với chiều cao rồi chia cho hai”, nghĩa là theo ký hiệu trên hình 4/a thì:

Hình 4: Diện tích hình thang và hình viên phân parabôn

              

Theo phép tích phân thì vì:

              

mà           , cho nên:

              

Khi  thì:

              

Do đó:

              

Hoàn toàn phù hợp với công thức tính diện tích hình thang mà hình học sơ cấp đưa ra.

Ở đây, có một điều cần làm sáng tỏ là vì sao phải loại bỏ lượng:

              

               (dù vô cùng nhỏ nhưng không thể bằng 0)

thì phép tính vi phân ở trên mới đạt đến độ chính xác? Hay công thức diện tích hình thang truyền thống (theo hình học sơ cấp) là chưa chính xác?

Theo quan niệm của chúng ta thì không thể chia đoạn b-a của trục x đến vô hạn phần được mà chỉ đạt đến tối đa là N phần. Khi n đạt đến N thì đạt đến cực điểm tuyệt đối là dx. Lúc này, có thể hình dung diện tích hình thang trên hình 4/a là gồm diện tích của N đoạn thẳng có độ dài và bề rộng dx, nằm kề sát liên tiếp nhau và vuông góc với trục x tạo dựng nên. Và như vậy, biểu diễn toán học sẽ là:

  

Vì , nên:

              

Trên cơ sở trực quan cũng rút ra được kết luận: tích phân thực ra là sự diễn tả quá trình tích lũy vô số lực lượng vô cùng nhỏ đồng loại để tạo nên cái vô cùng lớn; diễn tả sự kết hợp theo cách thức nhất định của các lực lượng không quan sát được ở miền sâu thẳm vi mô thành những lực lượng hiện thực, có thể quan sát được ở miền vĩ mô. Có thể nói, phép tính tích phân là một sáng tạo tuyệt vời của một hệ quan sát biết tư duy nhận thức phù hợp với hiện thực khách quan mà nó cảm nghiệm được ở tầng nấc qui mô “giành” cho nó. Với quan niệm ấy thì phép tính tích phân là “cực kỳ” chính xác nhưng để tỏ ra là “thực sự đúng đắn”, đáng tin cậy thì phải loại trừ thành phần K ra khỏi kết quả của nó. Loài người, trong hiện thực khách quan của mình, có thể suy diễn được nhưng không thể quan sát được cùng một lúc cả miền vĩ mô lẫn miền vi mô. Khi thấy được (và chỉ có thể thấy được) “thực thể” đã thuộc hàng vĩ mô thì không thể thấy được “thực thể” K vì nó vẫn “thuộc về” miền vi mô. Chính vì thế mà công thức tính diện tích hình thang của hình học sơ cấp, không thể chấp nhận sự hiện diện của thành phần K, và điều đó là hoàn toàn phù hợp với hiện thực khách quan của con người. Tại sao lại khẳng định được như thế?

Không, chúng ta không khẳng định dứt khoát mà chỉ tin tưởng rằng Tự Nhiên bao giờ cũng chí lý trong sự vô lý kinh khủng của nó. Thành phần K chính là một trong những biểu hiện rõ ràng nhất của tính “trái khoáy” ấy. Trước hết, chúng ta “dàn trải” K ra:

xem thử có đúng là nó đóng vai trò như vậy không?

Qua quan sát và suy ngẫm, chúng ta đi đến ba nhận xét kiểu… “trời ơi đất hỡi” như sau:

- Dù n không thể vô hạn được mà chỉ có thể đạt tới N thôi thì cũng đã trở nên một “gã” vô cùng khổng lồ đến nỗi so với hai “gã” như thế, (b – a)² chẳng mảy may là “cái đinh” gì, do đó mà: (b – a)²/2N cũng thực sự không đáng kể chút xíu nào so với diện tích hình thang mà hình học sơ cấp đã xác định. Có thêm hay bớt một con người thì đối với Trái Đất phỏng có nghĩa gì?

- dx là thực thể đóng vai trò là độ dài cực tiểu tuyệt đối và vì thế nó thuộc về đáy cùng của miền vi mô. Quá trình tích phân thực chất là quá trình tích tụ những thành phần có tính cực tiểu trong miền cực tiểu thành những lực lượng có tầm cỡ vĩ mô, chỉ có thể quan sát được trong miền vĩ mô. Trong hiện thực khách quan (thuộc miền vĩ mô), không thể quan sát được cùng một lúc hai thành phần: b² – a²/2 (đã thuộc miền vĩ mô) và K (thuộc đáy cùng của miền vi mô) và thậm chí là không có cách nào quan sát trực giác được K trong kết quả của phép tích phân. Vì vậy, lúc này, để phù hợp với hiện thực khách quan phải cho rằng qui ước đường chỉ có bề dài mà không có bề rộng (dx=0) của Ơclít là chí lý và phải loại trừ K ra khỏi kết quả của phép tích phân.

Còn nếu không (nghĩa là vẫn “ngoan cố” bảo lưu ý kiến rằng đường phải có bề rộng  (dx > 0) dù không thấy được) thì phải nghĩ rằng tùy vào cách đặt vấn đề mà tồn tại hai kết quả tích phân: S_th+K và S_th-K, sao cho S_th là giá trị trung bình của hai kết quả ấy, nghĩa là:

- khi K được viết là:

thì vì một nửa độ dài cực tiểu tuyệt đối là hoàn toàn “phi nghĩa”, không còn có tính độ dài nữa cho nên K lúc này không phải là một thực thể diện tích mà là một cái “quái quỉ” vô cùng bé nào đó và phải “tống khứ” nó khỏi hiện thực khách quan, “di tam thiên lý” nó về với đáy cùng của cõi đã sinh ra nó!

Kết luận cuối cùng: diện tích hình thang mà phép tích phân đưa ra là chính xác cực kỳ nhưng… phi nghĩa, không phù hợp với hiện thực khách quan, cho nên phải loại bỏ K đi nếu muốn nó là công cụ đắc lực trong ứng dụng thực hành; diện tích hình thang do hình học sơ cấp đưa ra là hoàn toàn hợp tình hợp lý trong thực tiễn nhưng thiếu chính xác hơn (dựa vào nó không thể biết được nó có bao gồm hay không bao gồm các đường chu vi (chia trong ngoài) tạo nên nó, còn nếu không có các đường đó (bề rộng của chúng bằng 0) thì không biết nó được tạo nên từ cái gì và thậm chí, khả năng hiện hữu của nó là rất đáng nghi ngờ!).

Thí dụ thứ 2 coi như xong, chúng ta chuyển sang thí dụ thứ 3.

3/ Cho hàm y = f(x) với f(x) = x² (xem hình 4/b). Hãy tính diện tích miền được đánh dấu bằng những vạch ngang? Toán học gọi miền đó là hình viên phân parabôn. Hai ngàn năm trước đây, Ácximét đã giải được bài toán đó bằng một phương pháp rất độc đáo, tạm gọi là qui trình “vét cạn”. Đó chính là tiền thân của phép tính tích phân ngày nay…

Ngày nay, tìm diện tích hình viên phân parabôn cho trước, có nghĩa là chúng ta phải giải bài toán tích phân dạng:

Để cho đơn giản, chúng ta chọn a (còn gọi là “cận dưới” và gọi b là “cận trên”) bằng 0, và vì vậy:

Vì , nên và từ đây có thể viết:

Khi thì và khi “chuyển qua giới hạn” sẽ có:

Qui trình dẫn đến nhưng không thể bằng 0 được để rồi lại phải “chuyển qua giới hạn”, từ trước đến nay vẫn luôn gây ra một cái gì đó có vẻ bất ổn làm ức chế tư duy ghê gớm. Vì thế đến đây, chúng ta lại quay về với quan niệm của mình để trên cơ sở đó giải thử bài toán này xem có hay ho hơn không.

Khi n phát triển đến cực hạn, nghĩa là n = N thì cũng đạt đến cực hạn theo chiều ngược lại, nghĩa là  (độ dài cực tiểu tuyệt đối). Lúc này, vì  nên:

và tương ứng

Suy ra:

              

Tương tự như ở thí dụ 2, chúng ta có thể đặt:

Vì dx không thể “xuất đầu lộ diện” được trong hiện thực khách quan (thuộc miền vĩ mô) nên “ở đó”, K = 0. Vậy, diện tích hình viên phân parabôn ở hình 4/b chính xác là bằng:

4/ Từ ba thí dụ tích phân trên, chúng ta thấy hình như chúng cùng xuất phát từ một dạng tổng quát tuân theo cùng một qui luật sau đây:

Để đơn giản cho việc chứng minh, chúng ta đặt m = 1 và a = 0. Lúc này điều cần chứng minh là:

Trước hết, chúng ta viết lại cho rõ:

Có thể thấy chính là tổng của N đoạn thẳng có bề rộng dx bằng nhau, có độ dài từ đến , làm nên diện tích S. Ở đây, cần tưởng tượng rằng khi dx được nhìn nhận là đơn vị độ dài cực tiểu tuyệt đối thì có thể cho phép:

để tạm thời quên nó đi. Hoặc vì  nên có thể viết:

Biểu diễn đó dẫn đến phải chứng minh:

Thú thực là chúng ta không có khả năng thực hiện việc chứng minh này. Trong thư văn lý thuyết toán mà chúng ta có, chúng ta cũng không tìm thấy bất cứ đâu thực hiện trực tiếp chứng minh đó. Tuy nhiên một cách gián tiếp, chúng ta biết được toán học đã chỉ ra rằng biểu diễn đó chắc chắn phải tồn tại một cách hợp lý.

(Còn tiếp)

------------------------------------------------------------------