TT&HĐ V - 42/g

 
 

Bài 8 Gương cầu lõm

 PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Không, chúng ta biết chắc rằng tia sáng không tự lựa chọn được vì nếu có như thế thì tất nhiên phải có những ngoại lệ dù là trong điều kiện lý tưởng (đã loại bỏ các yếu tố nguyên nhân gọi là “ngoại lai”). Nói đơn giản hơn, lựa chọn là kết quả của so sánh và suy nghĩ, ánh sáng không có suy đoán tìm phương án tối ưu nên cũng không thể lựa chọn. Đó phải là một sự tất định! Mà đã là tất định thì cũng như đối với mọi tất định trong hiện thực khách quan, phải do Chúa Trời an bài – nói theo đạo Thiên chúa, hay phải do Đấng Tạo Hóa bắt buộc – nói theo Đạo Tự Nhiên.

Quan sát thực nghiệm ở tầng vĩ mô đã dẫn đến kết luận: trong môi trường đồng chất, đẳng hướng và không bị chướng ngại, ánh sáng truyền theo đường thẳng. Giả sử có nguồn sáng S thì sẽ có vô số kể tia sáng phát ra từ nó theo khắp các phương. Nếu không bị chặn, các tia đó sẽ truyền thẳng mãi, vượt mọi tầm của khả năng quan sát và có vẻ như đi đến vô tận. Do tính thẳng của tia sáng và do “ly tâm” từ cùng một nguồn sáng điểm cho nên một cách trực quan, những tia sáng đó là “chung một gốc” nhưng không bao giờ trùng nhau ở bất cứ đâu. Tính chất đó dẫn đến kết quả tất yếu là nếu cho xuất hiện một điểm P bất kỳ ở đâu đó quanh S thì chỉ có duy nhất một tia sáng “đến được” P theo con đường thẳng “độc đạo” SP. Có thể thấy do tính phát sáng đồng đều ra mọi phương của S mà tất nhiên phải có một tia sáng đến P, chứ không phải tia sáng đó đã tự chọn đường đến P trước khi nó được sinh ra(!).

Có thể thấy đoạn thẳng SP là có tính cực tiểu. Giả sử rằng S và P là hai vị trí thông thường trong không gian đồng nhất và đẳng hướng (hay trực quan hơn là S và P ở trên một mặt phẳng nào đó). Chúng ta có thể xác lập hay vạch vẽ được vô vàn tuyến đường để cho một vật (không phải là tia sáng) có thể đi được từ S đến P. Các tuyến đường đó có thể là gấp khúc, cong lượn… tùy ý, hợp thành một tập hợp gọi là “đoạn đường”. Trong tập hợp đoạn đường đi từ S tới P, đương nhiên chỉ có duy nhất một đoạn đường ngắn nhất gọi là cực tiểu. Đó chính là đoạn đường thẳng nối S với P. Sự cực tiểu hiển nhiên của đoạn thẳng SP là ở chỗ: có thể chọn bất kỳ điểm nào ở ngoài đường thẳng qua S và P để cùng với S và P lập thành tam giác và tam giác đó phải thỏa mãn cạnh SP (đoạn đường thẳng) luôn ngắn hơn tổng hai cạnh kia (đại diện cho đoạn đường không thẳng). Từ đây cũng suy ra về tính duy nhất của đoạn thẳng SP, nghĩa là không thể có hai hay nhiều đoạn thẳng phân biệt nhưng giống hệt nhau nối S và P.

Có thể tưởng tượng được, đoạn thẳng SP đóng vai trò như đơn vị độ dài trong tập hợp các tuyến đường nối S với P. Một tính chất của đơn vị (số 1) là tương phản nghịch đảo tuần hoàn (qua gốc 1) của nó cũng chính là nó, và tương phản âm – dương hoàn toàn (qua gốc O) của nó là bằng -1. Xét về mặt lực lượng thì:

Vì đoạn thẳng SP là nhỏ nhất, không thể “vẽ vời” thêm được một đoạn thẳng nối S và P nào khác ngoài đoạn thẳng SP nêu trong “thực tế” phải cho rằng -1 trùng với +1, nghĩa là một cách hình thức, có thể phân định đoạn thẳng SP thành hai bộ phận tương phản âm – dương, nhưng hai bộ phận đó trùng nhau nên triệt tiêu nhau về mặt tương phản (bằng 0). Tuy nhiên, đừng quên rằng lực lượng Không Gian toàn phần của đoạn SP luôn bằng 2, nếu lực lượng Không Gian hiện thực (độ dài thực) của nó được cho là bằng 1!

Như vậy, đương nhiên trong tưởng tượng, đoạn thẳng SP cũng đóng luôn vai trò là gốc của mọi tương phản (qua 1 hoặc qua O) trong tập hợp các tuyến đường có thể có, nối S và P.

Sự tưởng tượng ở trên không biết có phù hợp với Tự Nhiên hay không, nhưng chắc rằng nếu dựa vào nó, có thể giải thích vì sao trong “thực tế” đoạn thẳng SP trở thành trục xoay và đối xứng (hay nói rộng hơn là tương phản đối ứng) của tất cả các đoạn đường nối S và P mà không phải là đoạn thẳng SP. Nếu “vạch vẽ” được một tuyến đường đi từ S đến P không trùng với đoạn thẳng SP thì cũng sẽ vẽ được vô vàn tuyến đường giống hệt như thế (nhưng vẫn phân biệt được!) khi không gặp chướng ngại. Từ đây cũng có thể suy ra một điều kiện của đường thẳng là, có một đường qua 2 điểm cho trước, nếu bằng mọi cách không thể xác định được một đường thứ hai cũng đi qua hai điểm đó, giống hệt nhưng không trùng với đường đó thì đường đó là đường thẳng.

Vậy, từ nguồn sáng điểm S, trong cùng một thời điểm, có vô vàn tia sáng phát ra khắp các phương theo đường thẳng mà không tia nào gặp tia nào ở bất cứ đâu. Do đó, một cách trực tiếp, chỉ có duy nhất một tia sáng đến được điểm P theo đoạn đường thẳng SP có độ dài tuyệt đối ngắn nhất (cực tiểu) so với mọi đường có thể có nối S với P. Trong thực tế, nếu cần phải chọn quãng đường có độ dài ngắn nhất (khoảng cách cực tiểu) giữa hai vị trí cho trước, thì quãng đường đó chính là đường đi của tia sáng.

Nói tóm lại, sự kiện tia sáng từ S trực tiếp đến một điểm bất kỳ nào đó luôn đi theo con đường duy nhất có độ dài cực tiểu, là “vô tình” đối với bản thân tia sáng nhưng là “hữu ý” đối với sự phát sáng của S, mà chung qui là do phải tuân theo tuyệt đối “pháp lệnh” của Tạo Hóa nhằm đảm bảo Tồn Tại.

Bây giờ, chúng ta cho hiện hữu một tấm gương phẳng G theo cách và ở vị trí như minh họa trên hình 1/b. Tình hình lúc này sẽ ra sao?

Vì ánh sáng từ S phát ra theo mọi phương nên sẽ có một bộ phận các tia sáng đi về phía gương G và bị G chặn lại. Ở phạm vi quan sát vĩ mô, để đơn giản hóa việc khảo sát hành vi của tia sáng, qui ước đó sẽ dẫn đến thừa nhận đầu mút của tia sáng là một hạt sáng. Hạt sáng này “đi” như thế nào và về đâu thì tia sáng đi như thế đó và về đó. Như vậy, thay vì quan sát hành trình của tia sáng, thì chúng ta chỉ cần quan sát hành trình của một hạt sáng. Lẽ tất nhiên, có bao nhiêu hạt sáng đi về phía gương G thì cũng có bấy nhiêu điểm “đón” được ánh sáng từ S trên G.

Số lượng hạt sáng đến được gương G là vô hạn hay hữu hạn? Vì lực lượng của S là hữu hạn nên số lượng đó cũng phải hữu hạn. Có thể cho rằng số lượng hạt sáng đó chiếm lĩnh toàn bộ bề mặt của G hay không? Không thể mà cũng có thể! Vì Vũ Trụ thực tại là hữu hạn ở phía VCN (nghĩa là có một cực tiểu tuyệt đối) cho nên mọi dạng thực thể vật chất đều có cực tiểu lực lượng của chúng (đơn vị nhỏ nhất không thể phân chia được của chúng). Nếu tồn tại cực tiểu Không Gian thì về mặt vận động, cũng tồn tại một cực tiểu thời gian (đơn vị thời gian tuyệt đối). Nếu mọi dạng thực thể vật chất có cực tiểu lực lượng thì trong vận động, chúng cũng “nhận” một khoảng thời gian nào đó làm đơn vị đo nhỏ nhất của chúng (cực tiểu thời gian của chúng). Đối với quá trình phát sáng của S cũng vậy. Do đó trong một đơn vị thời gian riêng sẽ chỉ có “một lần” phát sáng trong quá trình phát sáng được cho là liên tục của nó. Cũng vì các hạt sáng càng đi xa S càng tách xa nhau cho nên trong cùng một thời điểm nào đó (một khoảng thời gian đủ nhỏ) sẽ chỉ có một số lượng xác định rải rác trên G nhận được hạt sáng. Tuy nhiên vì chúng ta cho rằng nguồn S phát sáng theo mọi phương cho nên phải hình dung có một cơ chế là những lần phát sau của S sẽ có một số hạt sáng không hành trình trùng phương với những phương ở lần phát trước, và trong một khoảng thời gian gọi là cực đại nào đó, quan sát ở tầm vĩ mô sẽ thấy mọi điểm của G đều luôn nhận được hạt sáng.

Lực lượng của hạt ánh sáng là không thể bị tiêu diệt được. Vậy thì trong trường hợp bị chặn bởi gương G (có bề mặt phẳng lý tưởng), nếu không bị phân rã, không đi vào “trong” G (coi như không xảy ra hiện tượng khúc xạ), hạt sáng phải đi đâu khi nó không được phép đứng yên?

Chúng ta đã biết, có thể biểu diễn một chuyển động thẳng có vận tốc v bằng một véc tơ, và trong ảo tưởng, có thể phân tích véc tơ ấy thành 2 thành phần bất kỳ (không trùng phương với nó) với điều kiện góc lập giữa chúng nhỏ hơn 180^o. Vì vậy, đối với mọi tia sáng từ S đến G, chúng ta đều có thể phân tích thành hai thành phần, trong đó có một thành phần song song và một thành phần vuông góc với phương G. Theo minh họa ở hình 1/b, chúng ta có thể “toán học hóa” nhận xét đó dưới dạng biểu diễn véc tơ. Chẳng hạn đối với tia sáng từ S đến G tại R:

Và lực lượng của nó được biểu diễn:

(Vì dù  có mang giá trị nào chăng nữa thì luôn có:

Tuy nhiên ở đây do qui ước phân tích véc tơ mà , nghĩa là:

Khi tia sáng đến tác động vào gương G tại R, thì theo nguyên lý tác động - phản ứng, gương G sẽ lập tức tác động lại tia sáng (tác động ngược, hay còn gọi là tác động tương hỗ). Vì thành phần luôn song song với mặt gương G cho nên nó không tham gia vào quá trình ấy (gương G không phản ứng với nó), nghĩa là sau khi tia sáng “va chạm” với gương G tại R, phương chiều và độ lớn của nó vẫn không thay đổi. Chỉ có thành phần (vuông góc với gương G) là tác động trực tiếp đến G và bị G phản ứng lại.

Vì không bị G “hấp thụ” cho nên tia sáng bị phản xạ trở lại, tiếp tục truyền trong môi trường chứa nguồn S và vì sau khi “va chạm” lực lượng tia sáng vẫn bảo toàn nên độ lớn của thành phần không đổi, chỉ có phương chiều là thay đổi. Giả sử rằng sau va chạm véc tơ đó (bằng độ lớn nhưng khác phương chiều với  và gọi là RE) lập với một góc thì chúng ta sẽ có một tích vô hướng của hai véc tơ:

Vì RH = SE, RE = SM; và thực nghiệm vật lý chỉ ra rằng vận tốc truyền sáng trong cùng môi trường là bất biến, nên:

Do đó

Nghĩa là từ R tia sáng phản xạ, truyền trở lại trong môi trường “cũ” theo phương chiều sao cho RE vuông góc với G và cũng là đường phân giác của góc . Và muốn cho tia sáng từ nguồn S đến gương G, phản xạ tại R đến được điểm P cho trước thì điểm P phải nằm trong môi trường chứa S và trên đường thẳng chứa RF. Dễ dàng chứng minh hình học rằng tuyến đường SRP là có tính cực tiểu và hơn nữa, có thể tưởng tượng rằng tất cả các tia phản xạ qua gương R từ nguồn S, nếu kéo dài chúng về phía vào trong gương G (miền ảo) thì đều đồng qui tại S’, nghĩa là cứ như những tia đó được phát trực tiếp từ điểm đối xứng qua G của S’.

Thực ra, có thể chứng minh sự phản xạ của tia sáng theo nguyên lý Hêrôn là tất yếu và duy nhất một cách đơn giản hơn nhiều.

Như đã nói, trong một môi trường đồng nhất, tốc độ truyền sáng là bất biến và cực đại trong môi trường ấy và hơn nữa, trong môi trường chân không (tạm gọi là “môi trường không gian thuần túy”), vận tốc truyền sáng bằng C - vận tốc cực đại (có thực) trong Vũ Trụ. Giả sử môi trường chứa nguồn S là chân không thì vận tốc truyền sáng trong đó là bằng C. Một cách duy nhất, chỉ có một tia sáng duy nhất trực tiếp đến được P từ S, theo tuyến đường cực tiểu SP (đường thẳng), và do đó mà cũng trong thời gian cực tiểu.

Khi đặt gương G ở đó (xem lại hình 1/b) thì trong số tất cả tia sáng từ S đến gương G và bị phản xạ trở lại, chỉ có duy nhất một tia sáng đến được P theo tuyến đường duy nhất SRP. Độ dài của quãng đường đó cũng là cực tiểu đối với mọi quãng đường đi từ S đến gương G rồi đến P và do đó, thời gian tia sáng từ S đến R rồi đến P cũng là cực tiểu.

Nghĩa là tia phản xạ cũng tuân theo nguyên tắc truyền theo tuyến đường sao cho thời gian đến điểm đã định là cực tiểu. Nhưng vì sao vậy?

Trên SP có thể chọn một điểm A nào đó (xem hình 1/b), sao cho:
              

 và:                   với n là số nguyên lớn hơn 2 (nói chung là càng lớn càng dễ thấy vấn đề!)

Chiếu vuông góc điểm A xuống mặt gương G thì trên đó cũng xác định được một đoạn có độ dài c và đương nhiên cũng có:

              

Trong hiện thực sẽ không thể có tia sáng truyền trực tiếp từ S đến P lại có thể đồng thời “soi bóng” xuống mặt gương G được. Tuy nhiên trong ảo tưởng, chúng ta có thể cho phép điều đó xảy ra. Dù có tưởng tượng được như thế thì hiện tương tia sáng đi từ M đến N trên mặt gương G không thể đồng thời với hiện tượng tia sáng từ S trực tiếp đến P được mà phải muộn hơn, vì vận tốc truyền sáng là hữu hạn và hơn nữa, vận tốc truyền sáng từ M đến N vẫn bằng c, nghĩa là nếu có:

              

(Có thể chứng minh dễ dàng bằng kiến thức hình học thông thường)

Khi chiếu vuông góc đoạn SP gồm n đoạn thẳng a xuống gương G làm xuất hiện đoạn MN gồm n đoạn thẳng e trên đó thì đương nhiên, chúng ta cũng xác định được n đoạn trên đoạn gãy khúc SRP, trong đó có một đoạn thẳng có độ dài bằng b (như minh họa trên hình 1/b) và có thể có đoạn gấp khúc tại R (vì việc chọn độ dài a là ngẫu nhiên đối với đoạn SRP).

Có thể tưởng tượng ra ngay đoạn MN cũng chính là hình chiếu lên mặt gương G của đoạn SRP gồm n đoạn tương ứng tỷ lệ với n đoạn bằng nhau (bằng e) của đoạn MN, và những đoạn nguyên trên SR là bằng nhau, cũng như những đoạn nguyên trên RP là bằng nhau.

Nếu gọi thời gian truyền sáng qua đoạn có độ dài b là thì:

              

Một cách trực quan hình học, cũng dễ dàng thấy được giữa và có mối quan hệ nhân quả mật thiết, trong đó vì  nên .

Thời gian truyền sáng qua mỗi đoạn của n đoạn e trên MN rõ ràng là đều bằng  nên thời gian truyền sáng trên mỗi đoạn của n đoạn theo tuyến SRP cũng phải bằng . Vận tốc truyền sáng trong một môi trường đồng nhất mang tính bất biến là một tất định tự nhiên nên phải dẫn đến tất cả các đoạn trong số n đoạn thẳng (kể cả đoạn thẳng gãy khúc tại R nếu có ) trên tuyến SRP là bằng nhau (đều bằng b). Điều này chỉ có thể xảy ra khi 3 điểm SRP’ (với P’ là điểm đối xứng qua gương G của điểm P) thẳng hàng và 3 điểm S’RP cũng thẳng hàng, nghĩa là góc SRP phải nhận đường vuông góc với G tại R làm đường phân giác của nó. Nguyên lý Hêrôn được chứng minh xong!

Nhờ nguyên lý Hêrôn mà dễ dàng chứng thực được điều này: Có thể dựng được vô vàn tam giác từ một cạnh cho trước và một diện tích cho trước, trong số đó, tam giác có tổng hai cạnh còn lại cực tiểu chỉ có thể là tam giác cân. việc cho trước một cạnh và một diện tích để dựng một tam giác không khác gì việc cho trước một cạnh và một đường cao của cạnh đó. Giả sử cho trước cạnh SP có độ dài a trên hình 2. Vẽ một đường thẳng song song với nó và cách nó một khoảng cách h cho trước. Khoảng cách h chính là độ dài đường cao của cạnh SP.

Hình 2: Tính cực tiểu của chu vi tam giác

Trên đường thẳng song song đó, có thể chọn bất kỳ điểm R nào đó để dựng tam giác SRP. Vì số lượng điểm trên đường thẳng là nhiều vô hạn nên cũng có thể dựng được vô hạn tam giác có cạnh chung là SP và một đỉnh nằm trên đường thẳng đó. Điều hiển nhiên là tất cả các tam giác đều có cùng diện tích:

              

Một hiển nhiên nữa có được từ trực giác là, điểm R càng rời xa đoạn SP về phía vô tận (ở cả hai đường thẳng) thì khoảng cách từ R đến S và đến P càng dài, nghĩa là chu vi của tam giác có chu vi nhỏ nhất trong số các tam giác có chung cạnh SP và có chung diện tích s. Nhưng đó là tam giác nào?

Khi R ở lân cận điểm N (tam giác SNP là tam giác cân) thì khó mà nhận biết được giữa tam giác cân) thì khó mà nhận biết được giữa tam giác cân SNP và chẳng hạn như tam giác SOP, tam giác nào có chu vi nhỏ hơn.

Vì vậy, cần có một chứng minh tổng quát nếu chưa biết nguyên lý Hêrôn!

Công thức tính chu vi tổng quát cho tam giác bất kỳ trong trường hợp đang xét (Xem hình 2) là:

              

Trong trường hợp tam giác cân, công thức trên biến đổi thành:

              

Điều cần chứng minh chính là:

               

(Nghĩa là tổng hai cạnh khác SP của tam giác bất kỳ luôn lớn hơn tổng hai cạnh khác SP của tam giác cân có chung cạnh SP và có cùng diện tích s với nó).

Khi e mang giá trị âm (tức là e nằm ngoài a, còn gọi là giá trị ảo) một cách trực quan, bất đẳng thức trên luôn được “thực chứng”. Khi e mang giá trị dương thì nó chỉ có thể có giá trị trong khoảng:

              

Lúc này, để loại trừ sự phiền phức gây ra bởi căn thức có thể thay bằng việc chứng minh tổng bình phương hai cạnh:

               

Hay có thể viết:

               

Khi         

Dễ dàng thấy rằng khi  thì:

              

(tam giác bất kỳ SRP biến thành tam giác vuông SMP)

Khi , tam giác bất kỳ SRP biến thành tam giác cân SNP và:

              

Còn khi  thì có thể viết:

Điều muốn chứng minh đã được giải quyết “rõ ràng và sáng sủa”!

Hình 2 tạo ra một cảm giác thật buồn cười! Nếu S là điểm phát sáng và đường thẳng song song với SP là biểu diễn của một tấm gương phẳng thì điểm S phi thường ở chỗ không cần đến thước kẻ và compa cũng “vẽ” được vô vàn đoạn thẳng đến mặt gương và hơn nữa là “dựng” ngay được một tam giác cân có đỉnh nằm trên mặt gương và cạnh đáy là SP cho trước. Tuy nhiên, điểm S làm được như thế không phải vì nó thông minh sáng suốt gì cả mà có phần “hú họa”, hoàn toàn mù quáng tuân theo tất định của Tự Nhiên. Con người “dở” hơn điểm S ở chỗ muốn làm được như nó, phải cần đến công cụ hỗ trợ mà đơn giản nhất là thước kẻ và compa. Nhưng con người lại phi thường hơn điềm S ở chỗ họ còn có thể dựng được vô vàn tam giác có cạnh đáy SP và một đỉnh nằm trên gương phẳng đã cho, hơn nữa còn hiểu rõ được vì sao điểm S chỉ có thể “dựng” được duy nhất tam giác cân SNP. Có thể nói trong vạn vật hiện hữu, con người thuộc giống loài còn quá thô thiển và vụng về trong hành động nhưng trí thông minh thì đã thuộc mức hảo hạng. Dù có trí tuệ là thế đi chăng nữa, dù có sự hoang tưởng bay bổng đến cỡ nào đi nữa thì con người cũng không thể sáng tạo một cách “tự do vô chính phủ” ra những nguyên lý, những học thuyết phi tự nhiên, không có cơ sở đã hàm chứa trong hiện thực khách quan mà có thể dựa vào đó thấu hiểu được Vũ Trụ cũng như mưu cầu hạnh phúc cho bản thân mình. Đó chính là giới hạn mang tính tất định của khả năng sáng tạo ở loài người. Sáng tạo toán học cũng phải chịu sự tất định như vậy.

Đến đây, một ý nghĩ thú vị nảy ra trong chúng ta: bản thân ánh sáng thì mù tịt, nhưng chính nó lại soi tỏ con đường dẫn dắt loài người đến nơi diện kiến được toàn diện “dung nhan và hành tung” của Đấng Tạo Hóa, hay có thể nói rằng, khi loài người đã thấu hiểu được ánh sáng thì cũng là lúc Tự Nhiên Tồn Tại “lộ diện” hoàn toàn trước mắt họ. Chỉ cần dựa trên những biểu hiện của sự truyền và phản xạ ánh sáng trong hiện thực ở tầm mức vĩ mô thôi, rất có thể cũng xây dựng được hình học Ơclit, thậm chí là một “thứ” hình học nào đó “hay” hơn nhiều vì có sự hòa hhợp với hình học véctơ và có cả thời gian tính.

Nói chung, hiện tượng phản xạ ánh sáng khi gặp “vật cản” là có tính phổ biến mà sự phản xạ ánh sáng qua gương phẳng chỉ là trường hợp riêng . Nói đến gương phẳng thì phải nói đến gương cong. Nếu gương phẳng chỉ có một loại thì gương cong lại có vô số loại, chẳng hạn là gương elip, parabôn, hypécbôn, cầu… Chắc chắn do loại gương mang tính đặc thù nên sự phản xạ ánh sáng qua từng loại gương dù cũng phải tuân theo những nguyên lý chung nhất của hiện tượng phản xạ ánh sáng, nhưng không thể không mang những tính chất đặc thù nào đó. Cần thấy rằng sự xuất hiện tính đặc thù cũng là do tất định để đảm bảo Tồn Tại trong điều kiện hoàn cảnh mới mà thôi. Chúng ta không có tham vọng nghiên cứu đây đủ và toàn diện những biểu hiện đặc thù ở những gương cong vì thực ra là không đủ năng lực cũng như trí tuệ. Chúng ta chỉ nói về sự phản xạ ánh sáng của gương cầu, nhưng cũng chỉ trên bình diện nông cạn. ngây thơ và nặng nề hoang tưởng trong suy lý triết học. (Chú ý: gương cầu mà chúng ta bàn sau đây không phải là loại có trong thực tiễn ứng dụng!).

Trước hết, chúng ta nói đến gương cầu lồi. Có thể tưởng tượng gương cầu lồi là một mặt cầu bên ngoài phủ gương. Một điều có thể suy ra được từ nguyên lý Hêrôn là điểm phát sáng, điểm phản xạ, điểm nhận tia phản xạ và đường phân giác đồng thời là đường vuông góc với gương phẳng luôn nằm trong cùng một mặt phẳng (trong vật lý, đây chính là nội dung của định luật I Đềcác: tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới). Chúng ta thừa nhận trong hiện tượng phản xạ ánh sáng ở gương cầu lồi (và cả lõm) tình hình cũng như vậy. Do đó, có thể minh họa gương cầu lồi bằng một đường tròn (xem minh họa ở hình 3). Cho S là điểm phát sáng, đường truyền sáng từ S đến điểm M song song với mặt gương phẳng g. Theo hệ quả của nguyên lý Hêrôn, sẽ có một tia sáng đến gương g tại điểm N rồi từ đó phản xạ đến M thỏa mãn SNM là tam giác cân mà SM là cạnh đáy của nó. Có thể dựng được một đường tròn tâm O (biểu diễn gương lồi O) tiếp xúc với mặt gương g tại duy nhất điểm N. Đường ON kéo dài tất nhiên phải vuông góc với gương g, cho nên nó cũng là đường phân giác của góc SNM. Như vậy, sự phản xạ ánh sáng trong trường hợp gương cầu lồi cũng tuân theo nguyên lý Hêrôn (cụ thể hơn là tuân theo hệ quả của nguyên lý ấy: góc phản xạ bằng góc tới và tia phản xạ nằm trong mặt phẳng tới).

Bây giờ, chúng ta cho thêm một điểm P bất kỳ ở phía ngoài đường tròn O (trên hình vẽ 3, điểm P nằm trên đường chứa OM không phải là cố ý). Để có một tia sáng trực tiếp đến được P từ S thì đường tròn O (gương O) không được cắt (chặn) đoạn SP. Và đó cũng là điều kiện tiên quyết để có thể có được tia sáng từ S tới gương cầu lồi O rồi phản xạ đến P.

Trực quan cho biết rằng đường đi của tia sáng phản xạ từ gương cầu O đến P không thể là NP vì ON kéo dài không phải là đường phân giác của góc SNP. Điểm phản xạ tia sáng từ gương cầu O đến P phải là một điểm R nào đó trên đường tròn O, sao cho OR kéo dài là đường phân giác của SRP (xem minh họa ở hình 3). Vậy, bằng cách nào để xác định điểm R? Đối với trường hợp gương phẳng thì chỉ việc tìm một trong hai điểm đối xứng qua gương của S hoặc P là xong, mà việc tìm kiếm đó thì… quá dễ. Trong trường hợp gương cầu, hiện tượng đối xứng đó (gọi là đối xứng trục), chỉ bằng quan sát trực giác cũng thấy, không tồn tại nữa. Qua suy lý, chúng ta đoán định rằng (thậm chí là biết chắc), ảnh ảo của S (hay P) chỉ có thể “hiện hữu” được trên đoạn SO (hay PO) ở phần bên trong đường tròn O (mặt sau gương cầu lồi O). Nhưng cụ thể là điểm nào thì thật khó xác định. Nếu “bắt chước” như trong phản xạ gương phẳng, chúng ta kéo dài MN để cắt SO tại điểm nào đó gọi là S’ thì S’ có phải là ảnh của S trong gương cầu lồi không? Phải mà cũng không! Nó là ảnh của S chỉ khi chúng ta quan sát gương theo phương MN, còn ngoài ra thì không phải, vị trí của ảnh ảo S’ thay đổi tùy thuộc vào góc độ của quan sát, Có thể lấy đây làm một ví dụ tốt để “bao biện” cho nhận định triết học rằng, S’ là sự thỏa thuận để đi tới thống nhất giữa khách thể và chủ thể, là hiện thực khách quan của Thực tại khách quan (S) trước quan sát chủ quan theo phương MN. Như vậy, đối với cùng một Thực tại sẽ có thể có nhiều hiện thực. Tuy nhiên những hiện thực ấy không phải xuất hiện một cách tùy tiện mà phải tuân theo những nguyên lý, qui luật khách quan thống nhất mang tính tất định, để rồi tư duy, trong suốt quá trình quan sát, nghiên cứu, tìm hiểu (đầy gian truân) của nó, trước sau gì cũng rút ra được nhận thức duy nhất đúng về Thực tại khách quan, mà theo nghĩa sâu rộng nhất chính là Tự Nhiên Tồn Tại.

Hình 3: Sự phản xạ qua gương cầu lồi.

Rõ ràng khi chuyển quan sát tới P, chúng ta sẽ nhận được một ảnh nào đó của S khác với S’. Có thể có nhiều cách xác định điểm R, nhưng chúng ta có một cách rất đơn giản và cũng khá chính xác khi góc SRP lớn hơn 60^o. Từ S, vẽ đường tiếp tuyến với đường tròn O tại Y, từ P, vẽ đường tiếp tuyến với đường tròn O tại X, R chính là điểm giữa của cung tròn XY.

Đối với gương lồi chuẩn cầu thì việc xác định ảnh ảo của một điểm phát sáng theo cách đã trình bày (hay theo chỉ dẫn của giáo trình phổ thông về quang hình học) gây ra một nghi ngờ lớn về sự chuẩn xác của nó. Bởi vì nếu làm như thế, tùy thuộc vào việc chọn vị trí của S và M (hay P), sẽ làm xuất hiện trường hợp ảnh ảo nằm ngoài gương cầu lồi O. Điều đó có vẻ thật phi lý. Hơn nữa, giả sử rằng có thể đưa điểm S theo tuyến OS, điểm M theo tuyến OM ra xa, dần về phía vô tận sao cho SOM luôn là tam giác cân. Quá trình đó làm cho góc SNM nhỏ dần tới O. Nhưng có thể bằng O được không? Không được! Muốn thế, S và M phải trùng nhau ở vô tận. (Thực ra cách nói “đến gần tới vô tận” hay “đạt đến vô tận” là không thể nhận thức được vì đã vô tận thì không thể “gần” hay “đạt đến” được… Nhưng còn cách nào diễn đạt nữa đâu?). Muốn cho S và M trùng nhau ở vô tận thì đến lúc nào đó, quá trình làm cho khoảng cách SM ngày một “muôn trùng” có vẻ rất hiển nhiên, phải đảo ngược lại. Khó mà tin được không gian lại xử sự như vậy ở vô cùng xa. Có lẽ đây cũng là một trong nhiều nguyên do dẫn toán học đến với quan niệm mà về mặt trực giác hình học, có vẻ khiên cưỡng và gây phản cảm: Có thể nhỏ bao nhiêu cũng được nhưng không được bằng 0. Khi góc  là vô cùng nhỏ thì theo cách dựng đã nêu, chúng ta cũng xác định được ảnh ảo của S ở đâu đó trên SO phía trong gương lồi, rất gần điểm O nhưng không phải điểm O. Sự kiện điểm O ở ngay “sát mũi” mà điểm S’ không thể nào đến “chiếm lĩnh” được, thật là kỳ quặc.

Trong hình học xạ ảnh có một qui ước rất hay: hai đường thẳng song song được coi là gặp nhau tại một điểm ở vô tận. Theo qui ước này thì khi S ở vô tận, sẽ có một tia sáng từ nó, song song với SO với OM đến được M ở vô tận (xem hình 3). Nếu thừa nhận đây là trường hợp giới hạn thì giới hạn của quá trình góc  nhỏ dần phải dừng lại khi nó bằng góc và ảnh ảo của điểm S ở vô tận chính là điểm S”. Cảnh tượng này có lẽ cũng kỳ quặc không kém cảnh tượng trên.

Đúng là vô cùng khó khăn trong việc nhận thức sự vô cùng! Đúng là không có gì gây ra nhiều “hoang mang vĩ đại” cho tư duy bằng sự vô cùng! Và cũng đúng là chúng ta (chỉ riêng chúng ta thôi!), cho đến đây, vẫn còn mù tịt trong việc xác định ảnh ảo trong gương chuẩn cầu lồi của một điểm sáng thực. Dù sao thì chúng ta cũng cho rằng mọi cách dựng làm xuất hiện ảnh ảo bên ngoài gương cầu lồi là không thể chấp nhận được, và Tạo Hóa chắc là đã xử lý để không xảy ra cảnh tượng đó cũng như những cảnh tượng đã nêu ra ở trên trong Thực tại khách quan vĩ mô của Ngài.

Hay là Tạo Hóa vẫn cho phép xảy ra những điều mà chúng ta, do thiển cận, cho là kỳ quặc ở gương cầu lồi? Thôi, kệ Ngài! Chúng ta đã “chán” gương cầu lồi rồi và bây giờ chúng ta chui vào gương chuẩn cầu lõm để xem hiện tượng phản xạ ánh sáng ở đó xảy ra như thế nào?

Gương cầu lõm cũng được tượng trưng như một đường tròn tâm O ở hình 4. Lúc này, phía trong mặt cầu được phủ gương và vì chúng ta ở phía trong đường tròn nên miền đó là thực còn miền bên ngoài đường tròn (trong gương) là ảo. Trong miền ảo, tia sáng ảo truyền theo đường gì chúng ta chưa biết, chứ trong miền thực, tia sáng ắt phải truyền theo đường thẳng.

Cho hai điểm S và điểm nào đó một cách bất kỳ ở miền thực. Trong đó, S là điểm phát sáng. Vì là ở vị trí bất kỳ nên cả S và điểm kia đều có thể ở trên mặt gương cầu lõm O, ở ngay tâm O hoặc ở ngoài hai vị trí ấy.

Giả sử rằng cho S nằm trên mặt gương. Theo thời gian, mọi điểm trên mặt gương đều nhận được tia sáng trực tiếp đến từ S và phản xạ đi. Cho một điểm A trên mặt gương. Hỏi, điểm đó nhận được bao nhiêu tia gián tiếp (qua phản xạ gương)? Nếu không kể số lần phản xạ để tia sáng từ S đến A thì là… rất nhiều (xem mô tả ở hình 4). Nhưng nếu chỉ qua một lần phản xạ thôi thì có đúng 2 tia tới A. Riêng duy nhất đối với điểm B, số tia sáng gián tiếp từ S, qua một lần phản xạ gương đều được nó cũng vô số kể. Điềm B là trường hợp ngoại lệ.

Hình 4: Hiện tượng phản xạ đặc thù trong gương cầu lõm

Qua hai trường hợp đó, chúng ta thấy gì? Thứ nhất, tia sáng từ S tới gương rồi phản xạ đến A (hoặc B) không còn là duy nhất nữa. Thứ hai, ngay cả đối với khi phản xạ một lần đến điểm đã cho, sự phản xạ ánh sáng cũng không tuân theo nguyên lý Hêrôn nữa, trái lại (dễ dàng chứng minh được), hai tia sáng từ S, phản xạ một lần qua gương đến điểm cho trước (trên mặt gương), tuân theo nguyên tắc là sao cho quãng đường mà chúng đi được, lập thành một tứ giác (tạm gọi là cân) có chu vi và cả diện tích mang tính cực đại. Thứ ba, có thể thấy tia sáng từ S phản xạ một lần qua gương đến điểm cho trước (trên mặt gương), nếu trở về S sau 2 lần phản xạ thì đường đi của nó sẽ vạch vẽ nên một tam giác đều. Suy rộng ra, nếu tia sáng đó sau n-1 lần phản xạ để trở về đúng điểm S mà các tuyến đường của nó không cắt nhau thì nó vạch vẽ được một đa giác đều n cạnh…

Có thể kể thêm nhiều điều hay ho về “tài vẽ vời” của ánh sáng khi S nằm trên mặt gương cầu lõm nữa, nhưng thôi, dễ gây chán chường vì… ai cũng biết. Chúng ta quay sang vấn đề lớn hơn và chắc là bổ ích hơn. Đó là trường hợp phản xạ tổng quát ở gương cầu lõm, khi S và điểm nhận tia phản xạ (lúc này gọi là P) nằm ở vị trí bất kỳ, không ở trên mặt gương cũng không trùng tâm O (xem hình 5)

Hình 5 -  Cách dựng gần đúng điểm phản xạ trên gương cầu lõm

Tương tự như ở gương phẳng và gương cầu lồi, chỉ có một tia sáng duy nhất trực tiếp đến được P từ S. Tuy nhiên, trong khi đối với một gương phẳng hay một gương cầu lồi, chỉ có thể có một tia từ một điểm sáng cho trước, phản xạ qua gương đến một điểm bất kỳ cho trước thì như chúng ta thấy, trong trường hợp gương cầu lõm, có nhiều tia phản xạ xuất cứ từ S đến được P mà trong đó, thông thường là có hai tia phản xạ một lần (nói “thông thường” là vì cũng có những vị trí đặc biệt mà khi P ở đó sẽ không thể có một tia phản xạ một lần nào đến được nó từ S).

Có cách nào chính xác tìm được hai điểm phản xạ gương từ S tới đế đến P đó không? Chắc chắn là phải có rồi! Chúng ta, những kẻ hoang tưởng triết học đến phát rồ phát dại, đã không thể phát hiện ra được phương pháp truy tìm thuần túy toán học đó. Tuy nhiên, lấy cần cù bù thông minh, bằng con đường “thực nghiệm miệt mài và chân chính”, chúng ta cũng tìm ra một cách dựng hình học, gần đúng không chê vào đâu được để xác định hai điểm “trời đánh” nói trên (gọi thế vì chúng ta tốn quá nhiều sức lực trí não đến… mệt phờ cả râu!). Sau đây, chúng ta sẽ trình bày cách dựng hình học (bằng thước kẻ và compa) đó, không phải vì muốn phô diễn sự tháo vát của mình mà vì nó đã gợi ra một ý có vẻ thiêng liêng.

Từ O, vẽ hai đường qua S và P, kéo dài ra ngoài đường tròn O. Từ S, vẽ đoạn vuông góc với SO, có độ dài bằng bán kính đường tròn O, gọi là SK. Từ K, vẽ đường thẳng vuông góc với KO, cắt SO cũng sẽ có được điểm P’ trên OP kéo dài. Nối S’ với P’ vẽ đường vuông góc với S’P’, đi qua O, cắt đường tròn tại điểm G₁. Nối S và P với G₁. Đoạn OG₁ chính là phân giác của góc . Nghĩa là quang lộ của một trong hai tia sáng từ S đến P qua một lần phản xạ gương là đoạn gấp khúc SG₁P.

Từ P, vẽ đường vuông góc với đường phân giác của và cắt đường này tại H. Nối S và H rồi kéo dài cắt đường tròn tại G₂. Đoạn OG₂ chính là phân giác của góc SG₂P. Suy ra đoạn gấp khúc SG₂P là lộ trình của tia sáng thứ hai từ S đến P qua một lần phản xạ gương.

Dưới một góc độ nhất định, đồng thời loại bỏ những ảnh hưởng gây nhiễu có thể có, thì điểm B được coi là ảnh của điểm sáng S. Vì P ở miền thực (cùng miền với S và ệ quan sát) cho nên được gọi là ảnh thực. Nói chung, trong khi phản xạ ở gương cầu lồi chỉ cho xuất hiện ảnh ảo của điểm sáng hay của vật, thì phản xạ ở gương cầu lõm, không những cho xuất hiện ảnh thật mà còn có thể cho cả ảnh ảo. Sự kiện phản xạ ở gương cầu lõm làm xuất hiện ảnh ảo nghe có vẻ lạ đối với quan niệm thông thường, nhưng không thể phủ nhận được vì có thể quan sát thấy trong hiện thực. Tuy nhiên có thể phán đoán rằng đối với một quan sát thì trong hiện tượng tạo ảnh của gương cầu lõm, nếu xuất hiện ảnh thực thì không xuất hiện ảnh ảo và ngược lại.
 

(Còn tiếp)
----------------------------------------------------------------------