TT&HĐ V - 42/n

 

                                        Giải Mã Bí Ẩn Vũ Trụ #1 | Phản Vật Chất | VTPLK #4 

Giải Mã Bí Ẩn Vũ Trụ #2: Điểm Kì Dị "Cởi Truồng"???

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

 

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Ở một khía cạnh khác, chúng ta cho rằng biểu diễn về mối quan hệ giữa không gian, thời gian và năng lượng ở trên còn chí lý ở chỗ trên cơ sở đó, có thể giải thích được thấu đáo những vấn đề căn cốt nhất của vật lý học như: năng lượng thực chất là gì và nguồn gốc đích thực của nó, vì sao năng lượng lại có tính gián đoạn ở thế giới vĩ mô, bản chất của khối lượng…

Cuối cùng, có lẽ sự chí lý của biểu diễn đó còn thể hiện ở chỗ: nó có khả năng làm rõ được vấn đề “hóc búa nhất của mọi hóc búa” mà nhân loại quan tâm ngay từ buổi bình minh của sự nhận thức, xuyên suốt mọi thời đại cho đến tận ngày nay và vẫn chưa làm sáng tỏ được. Đó là sự tồn tại của hồn và xác cùng với mối quan hệ gắn bó keo sơn giữa chúng. Bất cứ thực thể nào cũng là một khối thống nhất trong phân lập của hai lực lượng ảo và thực, hay là của hồn và xác. Nếu Vũ Trụ là phần xác của Tự Nhiên Tồn Tại thì linh hồn của Nó chính là Tạo Hóa.

Nếu lấy 0,9216 chia cho 0,64 sẽ xuất hiện số 1,44. Viết theo ký hiệu thì:

Vật lý học đã chỉ ra rằng ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt. Khi tia sáng được thấy như một sóng sin tính thì vận tốc lan truyền của nó được xác định:

Từ biểu thức trên suy ra được:

Vì 1,44 là kết quả của:

(Nhớ đừng nghĩ tới 10^k!)

Và nếu cho rằng số 3 đóng vai trò của c, 2D_T (hay D_TP) đóng vai trò của thì:

        

Đó là một “giả hợp” gượng ép đến kỳ cục hay đúng là một biểu hiện kỳ diệu của Tự Nhiên? Có thể rằng một trong những yếu tố cực kỳ quan trọng, có tính quyết định đến việc trả lời xác đáng câu hỏi đó, chính là 10^k. Chỉ khi nào xác định được trị số của k một cách tự nhiên, chúng ta may ra mới kiểm chứng được những “thành quả” do thuần túy hoang tưởng mà có của mình.

Nhưng làm sao mà xác định được k đây?

Cho đến lúc này thì đó là câu hỏi vô phương trả lời.

Mà thôi, tạm thời không nên nghĩ đến nó nữa. Hãy lôi cái đầu lêu lổng đến quá ư sa đà của chúng ta quay trở về, điều khiển cái miệng tiếp tục kể câu chuyện phép tính vi – tích phân bỗng dưng bị bỏ dở dang đến… tội nghiệp.

***

Hệ thống thị giác là báu vật vô giá mà Tạo Hóa đã ban tặng cho loài người. Nhưng con người có được cặp mắt tỏ tường màu sắc như ngày nay đâu phải là bỗng dưng, dễ dàng, một sớm một chiều, mà là kết quả tiến hóa trong suốt quá trình đấu tranh sinh tồn, thích nghi và chủ động thích nghi theo hướng đặc thù một cách phù hợp với cấu tạo, hình thể sinh học đã được thiên nhiên hoang dã hun đúc nên trong những hoàn cảnh, điều kiện sống mới.

Có thể đoán rằng, trong thời tối cổ xưa, hẳn cũng đến ngót nghét 10 triệu năm trước đây chứ không ít, thị giác của những thế hệ tổ tiên đầu tiên của loài người rất khác biệt so với thị giác đám hậu duệ ngày nay của họ. Thời đó, vì mới thoát thai ra từ muông thú cho nên trực giác của họ vẫn còn bảo lưu nhiều “cách thức trực giác” của muông thú, chẳng hạn: tai nghe thính hơn, nhưng phân biệt mùi vị dở hơn, cảm nhận được những rung động báo hiệu an nguy tinh tế hơn nhưng mắt mờ hơn… Năng lượng trực giác của sinh linh không phải là vô hạn độ. Hình như Tạo Hóa chỉ ban cho muôn loài một “khoản bình quân” nào đó về năng lực trực giác, bị hạn định bởi tầng nấc qui mô không gian mà trong đó chúng tồn tại. Tùy thuộc vào hướng tiến hóa thích nghi đặc thù của mỗi giống loài mà “khoản” năng lực trực giác ấy được phân bố một cách phù hợp. Loài chó có cái mũi đánh hơi “tài” bao nhiêu thì mắt lại nhìn “dở” bấy nhiêu. Nhiều loài động vật sống ở những miền duyên hải không chủ động nhận thức được vì thiếu tư duy, nhưng bù lại chúng sớm cảm nhận được nguy cơ sóng thần để dời đi trước khi quá muộn. Loài người ngày nay được ưu tiên có một tư duy “rõ ràng và sáng sủa” thì ở nhiều khía cạnh khác, năng lực trực giác lại thua xa loài vật. Chúng ta vẫn thường thấy, một người bị khiếm khuyết một giác quan nào đó thì sự tinh nhạy của một vài giác quan trong số còn lại sẽ được tăng cường.

Biết đâu chừng trước khi gắn bó đời sống của mình với ngọn lửa, loài người nhìn trong màn đêm tinh tường hơn bây giờ, nhưng nhìn ban ngày lại chỉ thấy trắng đen như những người mắc chứng mù màu ngày nay. Và cũng biết đâu chừng con người thấy được quang cảnh thiên nhiên muôn màu muôn vẻ như hiện đang thấy là nhờ vào sự liên tục tích cực thích nghi trong suốt quá trình đằng đẵng, bắt đầu từ du cư hái lượm, săn bắt đến hết quá trình lấy lối sống định cư, trồng trọt, chăn nuôi làm phương thức sống chủ yếu được khẳng định. Các nhà khảo cứu khoa học thời hiện đại vẫn còn phải mặc nhiên và thán phục đôi mắt của loài người tiền sử trong quan sát thiên văn của họ. Phải chăng tổ tiên xa xôi ấy của chúng ta đã có một năng lực thị giác “nhìn xa trông rộng”, thấu tỏ gấp nhiều lần so với thị giác của chúng ta?

Ánh sáng, như đã biết, chỉ là một miền hẹp của bức xạ điện từ mà con người cảm thụ được bằng thị giác một cách đặc thù. Sự cảm thụ đặc thù ấy đã đem lại cho chúng ta một quang cảnh hiện thực đầy màu sắc, vừa rực rỡ huy hoàng vừa lung linh huyền diệu. Phải nói rằng nếu không có ánh sáng tràn trề trên Trần Gian này thì không thể có thị giác, cũng không thể có đôi mắt biết đến sắc màu biết phân biệt sáng tối, và vì thế mà ngay cả sự tư duy nhận thức chắc gì đã xuất hiện chứ nói gì đến thơ, ca, nhạc, họa. Như vậy, vai trò của ánh sáng là tối quan trọng, thậm chí là có tính quyết định đến vận mệnh đối với sinh linh và cả cái Trần Gian có vẻ hi hữu này.

Dễ dàng thấy rằng ánh sáng chan hòa Trái Đất chủ yếu đến từ Mặt Trời. Ánh sáng bao dung sự sống. Thiếu ánh sáng, sự sống khó lòng mà tồn tại. Có lẽ vì thế mà Mặt Trời trở nên thiêng liêng trong tâm hồn con người, đã trở thành vị thần tối cao đầu tiên được con người tôn thờ!

Suy rộng ra, có thể nghĩ rằng ánh sáng lan truyền trong Vũ Trụ mà con người quan sát thấy, là do những thiên thể vĩ đại tỏa ra trong quá trình vận động nội tại của chúng, là sản phẩm của các quá trình tương tác có tính hủy diệt và tạo dựng giữa chúng. Mặt khác, tất cả những quá trình vĩ đại, xảy ra trong Vũ Trụ vĩ mô ấy, dù nhiều khi được thấy như tương đối độc lập đối với nhau thì cũng phải quan niệm rằng chúng thực sự nằm trong mối quan hệ ràng buộc, phụ thuộc lẫn nhau, là nguyên nhân và kết quả của nhau, và hợp thành một quá trình vĩ đại duy nhất, có tính tự thân, xoay vần, vĩnh cửu của Vũ Trụ Vĩ mô (miền Vũ Trụ thỏa mãn hình học Ơclít, tia sáng được coi như một luồng "hạt sáng", truyền thẳng theo phương trục của nó). Như vậy, có thể kết luận rằng cái quá trình tự thân, xoay vần vĩ đại ấy đã “sản xuất” ra ánh sáng một cách không bao giờ ngừng nghỉ. Nếu thế ánh sáng sẽ phải nhiều dần đến vô hạn và Vũ Trụ ngày nay phải rực sáng chói, còn không vận động tự thân của Vũ Trụ Vĩ mô phải dừng lại. Đó là điều không thể chấp nhận được vì nó đã vi phạm nghiêm trọng nguyên lý bảo toàn Không Gian và tỏ ra “cực đoan một cách trắng trợn”. Do đó, phải đi đến quan niệm rằng, vận động tự thân của Vũ Trụ vĩ mô vừa “sản xuất ra” vừa “tiêu thụ vào” ánh sáng. Nếu “ở đây” phát tán ánh sáng, thì ở đâu đó phải xảy ra sự hấp thụ ánh sáng, sao cho “lượng ánh sáng” trong Vũ Trụ Vĩ mô là bất biến. Thế thì phải chăng có thể coi ánh sáng (đúng hơn là bức xạ điện từ mà ánh sáng đóng vai trò đại diện) vừa là nguyên liệu (tạo ra động lực), vừa là thành phẩm của vận động, để từ đó mà có sự tác thành nên cái quang cảnh vô cùng lộng lẫy và vô cùng sống động của Vũ Trụ Vĩ mô mà chúng ta đang quan chiêm?

Sự “phát ra” ánh sáng bao giờ cũng có tính trực quan hơn sự “thu vào” ánh sáng. Chỉ cần “xoẹt” một cái là que diêm bốc cháy và tỏa ra ánh sáng. Từ đốm lửa ấy có thể làm bùng cháy cả một khu rừng và trong đêm, đó là một vùng rừng rực tỏa ánh sáng trong không gian vĩ mô. Nếu Trái Đất không tiếp nhận được ánh sáng từ Mặt Trời thì chắc chắn sự sống trên Trái Đất không thể xuất hiện được. Cây cối và muông thú nếu bỗng dưng không được cung cấp ánh sáng nữa thì sự tuyệt vọng của chúng là không thể tránh khỏi. Nghĩa là ánh sáng Mặt Trời đóng vai trò như nguồn dinh dưỡng không thể thay thế, có vai trò quyết định đến sự sinh tồn của Trái Đất. Thế nhưng thật khó hình dung sự “thu vào” ánh sáng. Ánh sáng trong Vũ Trụ vĩ mô, khi bị tiêu thụ thì “vào” đâu, chuyển hóa thành cái gì để lại góp phần tạo ra động lực mới làm phát ra ánh sáng mới “ra” Vũ Trụ Vĩ mô? Câu hỏi này gợi ý đến việc phải hình dung về sự tồn tại một khu vực nào đó “trong” Vũ Trụ nhưng không thuộc Vũ Trụ vĩ mô, đóng vai trò “chứa đựng” làm nơi “chế biến”, “trung chuyển”, đầu mối và đồng thời cũng là kết cục của cái chu trình phát tán – thu nạp ánh sáng bất tận và vĩ đại của Vũ Trụ vĩ mô. Chúng ta cho rằng khu vực đó chính là Vũ Trụ vi mô (miền Không Gian không còn thỏa mãn hình học Ơclít, tia sáng ở đó được “thấy” như những bó sóng lan tỏa không tuân theo qui luật truyền thẳng nữa, và ở tầng sâu hơn nữa biết đâu chừng quang cảnh chỉ giống như một khối nước khổng lồ sôi sùng sục, “bốc hơi” ra nghi ngút những phần tử mầm mống đầu tiên của bức xạ điện từ để từ đó mà có ánh sáng).

Đến đây, không thể nói vận động của Vũ Trụ vĩ mô là có tính tự thân nữa mà phải nói rằng vận động đó vừa là kết quả, vừa là nguyên nhân đối với vận động của Vũ Trụ vi mô và ngược lại. Hai vận động ấy hợp thành vận động tự thân tổng thể của Vũ Trụ Thực Tại. Nói đúng hơn, Tồn Tại là vốn dĩ và để duy trì, thể hiện sự vốn dĩ ấy thì nó phải vận động triệt để đến tận cùng khả năng theo cách hoàn toàn Tự Nhiên nhằm bảo toàn tuyệt đối Tồn Tại. Như vậy, Vũ Trụ Thực Tại khách quan phải là một toàn thể không thể tách rời, thống nhất trong phân định tuyệt đối đồng thời phân định trong thống nhất tuyệt đối, phải phân lập tương phản để vận động có khả năng và phải chồng chập để bảo đảm thống nhất.

Hình dung ở góc độ Vũ Trụ phân định, có thể thấy rằng, vận động trong Vũ Trụ vĩ mô có nguyên nhân từ vận động trong Vũ Trụ vi mô và đến lượt nó, vận động vĩ mô tác động trở lại, gây ra vận động vi mô. Lực lượng nối kết chặt chẽ hai vận động ấy trong mối quan hệ tác động - phản ứng cũng như trong mối quan hệ nhân - quả, đồng thời đóng luôn vai trò trực tiếp tác động đến hai vận động ấy chính là ánh sáng (hay đúng hơn là bức xạ điện từ).

Với quan niệm vạn vật - hiện tượng sinh ra ở tầng nấc qui mô Không Gian tuyệt đối lớn hơn không thể xâm nhập vào miền Không Gian có tầng nấc qui mô tuyệt đối nhỏ hơn mà chỉ có thể ngược lại, và bức xạ điện từ có xuất xứ từ những tầng nấc trong Vũ Trụ vi mô như vật lý học ngày nay đã chỉ ra thì coi như vận động vĩ mô không thể trực tiếp “làm ra” ánh sáng. Các thực thể vĩ mô, trong quá trình vận động cũng như trong quá trình tương tác giữa chúng, đã tất yếu làm nảy sinh ra những tác động vào vận động của Vũ Trụ vi mô và thông qua đó mà gián tiếp tái tạo ra ánh sáng, rồi từ đó ánh sáng mới xâm nhập trở lại Vũ Trụ vĩ mô, tiếp tục cái sứ mạng tiền định của nó. Vậy thì vạn vật trong Vũ Trụ vĩ mô luôn phải hàm chứa đồng thời hai quá trình bức xạ và hấp thụ sóng điện từ trong vận động của chúng.

Để có thể hoàn thành “xuất sắc” được vai trò vừa là cầu nối vừa là tác nhân trực tiếp tạo nên một toàn thể vận động không ngừng trong sự thống nhất tuyệt cùng, ánh sáng nói rằng và bức xạ điện từ nói chung tất yếu phải có những đặc tính cơ bản mà Đấng Tạo Hóa thiêng liêng đã ban cho chúng, và nếu quan sát ở tầng vĩ mô sẽ thấy là: truyền thẳng, phản xạ, khúc xạ và sự tác dụng độc lập của các chùm tia.

Ánh sáng đúng là món quà vô giá mà miền Vũ Trụ vĩ mô đã hào phóng ban tặng cho cõi Trần gian này. Nhờ có ánh sáng và những đặc tính tự nhiên của nó, loài người không những được sinh ra mà còn được thấy một thiên nhiên tỏ tường muôn sắc đồng thời cũng trong trẻo, long lanh và biến ảo đến diệu kỳ. Nếu ánh sáng được coi là nguyên nhân sâu xa thì mối quan hệ tác động - phản ứng có tính lựa lọc một cách thích ứng giữa ánh sáng và vật cản chính là nguyên nhân trực tiếp làm cho vạn vật - hiện tượng hiện hữu và được phân biệt trước mắt chúng ta.

Phải nói rằng hiện tượng phản xạ và khúc xạ ánh sáng xảy ra đồng thời, có tầm ảnh hưởng quyết định đối với “sự nhìn thấy”. Hai hiện tượng ấy đã được loài người biết đến từ rất lâu. Theo sử liệu thì vào khoảng 4 thế kỷ trước CN, Ơclít đã đề cập đến chúng và chính ông là người đầu tiên phát biểu định luật phản xạ ánh sáng (góc phản xạ bằng góc tới). Đến thế kỷ I, nhờ phát hiện của Hêrôn (trong môi trường đồng nhất, ánh sáng truyền đến một điểm cho trước qua phản xạ gương theo tuyến đường có độ dài cực tiểu, cũng có nghĩa là trong khoảng thời gian cực tiểu), người ta mới biết được nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của định luật ấy. Tuy nhiên, định luật khúc xạ ánh sáng lại được phát hiện muộn hơn rất nhiều.

Năm 1000, nhà khoa học Ảrập tên là Alhazen đã đưa ra một thuyết về khúc xạ ánh sáng. Thuyết này tỏ ra đúng đắn nhưng chỉ về mặt định tính, vì nó không được trình bày theo ngôn ngữ toán học. Alhazen đã nhận định rằng, vận tốc ánh sáng là hữu hạn và hơn nữa vận tốc đó thay đổi theo độ “đặc” (hay “loãng) mà sau này gọi là tính “chiết quang” (sự cản trở truyền sáng) của môi trường mà ánh sáng truyền trong đó. Theo ông, khi một tia sáng truyền từ một môi trường sang môi trường chiết quang hơn (chẳng hạn như từ không khí vào nước; xem minh họa ở hình 12), thì không những vận tốc của nó giảm đi khi qua mặt phân cách giữa hai môi trường mà phương truyền của nó còn bị gãy khúc ngay tại mặt phân cách, lệch về phía pháp tuyến của mặt phân cách.

Hình 12: Hiện tượng khúc xạ ánh sáng.

Người đầu tiên thiết lập biểu thức toán học cho hiện tượng khúc xạ ánh sáng là Keple. Ông phát biểu rằng, tỷ số giữa góc tới và góc phản xạ là không đổi. Tuy nhiên đó là một phát biểu sai, chỉ gần đúng khi góc tới nhỏ. Phải đợi đến khi bước vào thế kỷ XVII, khoảng năm 1021, nhờ nhà khoa học Hà Lan tên là Sneli (Willibrord Snellius, 1580-1626) rút ra từ thực nghiệm, định luật khúc xạ ánh sáng mới được nêu lên một cách đúng đắn: tỷ số giữa sin góc tới và sin góc khúc xạ bằng với tỷ số vận tốc truyền sáng trong môi trường 1 và trong môi trường 2 (xem hình 12) và là một hằng số gọi là “chiết xuất tỷ đối” của môi trường 2 đối với môi trường 1 (thường được ký hiệu: n_2,1). Biểu diễn toán học của định luật khúc xạ, theo qui ước trên hình 12 là:

Dù đã xác lập chính xác biểu thức toán học cho sự truyền sáng trong hiện tượng khúc xạ, song Sneli không thể giải thích được tại sao ánh sáng lại khúc xạ theo qui luật ấy. Do vậy mà ý kiến xác đáng của ông vẫn được nhiều người thừa nhận ngay. Đềcác là một trong số đó. Ông đã xem xét lại các ý tưởng của Alhazen, suy luận lại, để rồi cũng đi đến một nhận định về hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Chỉ có điều nhận định của ông trái ngược với của Sneli (và hoàn toàn sai lầm) rằng:

              

Nghĩa là vận tốc truyền sáng trong nước lớn hơn trong không khí!

Sau này, nhà cơ học cổ điển vĩ đại Niutơn, với quan niệm ánh sáng là dòng các hạt vô cùng nhỏ truyền đi từ nguồn theo đường thẳng (thuyết chảy), giữa môi trường và các hạt đó nảy sinh lực hút lẫn nhau, do đó môi trường càng đậm đặc, lực hút càng mạnh, cũng đi đến kết luận sai lầm như vậy.

Người đầu tiên chứng minh bằng toán học về tính đúng đắn của định luật khúc xạ do Sneli nêu ra (và đồng thời qua đó cũng giải thích luôn được vì sao ánh sáng khi khúc xạ lại phải tuân theo định luật ấy), là nhà toán học xuất chúng Fecma – “Ông hoàng nghiệp dư”.

Trước tiên Fecma xem xét lại một loạt khái niệm mà Hêrôn và những người đi trước ông đã đề xuất ra. Sự mẫn cảm của một tài năng thiên bẩm đã đưa Fecma đến một suy nghĩ có tính đột phá: phải chăng tia sáng luôn truyền đi từ điểm này tới điểm kia theo tuyến đường tốn ít thời gian nhất? Khi vận tốc truyền sáng chỉ thay đổi phụ thuộc vào độ chiết quang thì trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, vận tốc đó là không đổi. Vậy trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, việc tia sáng truyền từ điểm này tới điểm kia một cách trực tiếp hay thông qua phản xạ đều trên tuyến đường ngắn nhất đối với từng trường hợp thật ra là vì tia sáng “chọn” tuyến đường sao cho thời gian “tốn” cho hành trình ấy là cực tiểu? Vì phải thỏa mãn yêu cầu này và cũng vì vận tốc truyền sáng giữa hai môi trường có độ chiết quang so với nhau là khác nhau, cho nên khi tia sáng truyền từ một điểm ở môi trường này đến một điểm ở môi trường kia, nó phải bị khúc xạ theo đúng cách mà Sneli đã chỉ ra? Nếu đúng như thế thì theo minh họa ở hình 12, phải có:

              

là cực tiểu, nghĩa là nếu có một tia sáng truyền từ A đến B thì nó buộc phải truyền theo tuyến AOB.

Khi đặt vấn đề tia sáng đi theo tuyến đường có thời gian cực tiểu trong hiện tượng khúc xạ tương tự như trong hiện tượng phản xạ, chắc hẳn Fecma đã đặt niềm tin vào sự tồn tại của loại nguyên nhân có tính mục đích mà các nhà triết học trước ông đã chỉ ra. Vì vậy mà ông viết: “Chứng minh của tôi dựa trên một định đề duy nhất nói rằng, tự nhiên vận hành bằng các phương tiện và con đường dễ nhất và thoải mái nhất”. Như đã trình bày trước đây thì chúng ta tin rằng, nếu thực sự tồn tại loại nguyên nhân như vậy thì đó là sự đòi hỏi của Tồn Tại, là sự an bài của Tạo Hóa, chứ không có gì là huyền bí cả. Rất có thể, quá trình phát triển từ cực tiểu đến cực đại và từ cực đại đến cực tiểu là một trong những biểu hiện nổi trội nhất trong vận động của vạn vật trong tự nhiên. Đúng là tia sáng truyền theo tuyến đường có thời gian cực tiểu, là nguyên nhân làm cho sự phản xạ và khúc xạ ánh sáng phải xảy ra như thế chứ không thể khác. Nhưng chúng ta tin đó chưa phải là nguyên nhân cuối cùng mà là kết quả của nguyên nhân khác nữa gồm nhiều yếu tố…

Bài toán cho trước hai điềm A và B như trên hình 1, chọn điểm O sao cho tia sáng truyền theo tuyến AOB (để đạt thời gian cực tiểu) là không dễ giải chút nào nếu không dựa vào phép tính vi phân.

Để giải bài toán đó trong khi phép tính vi phân chưa ra đời, Fecma đã nghĩ ra một phương pháp mà nếu suy cho đến cùng sẽ dẫn đến phép tính vi phân và sau này người ta thường gọi là phép tính biến phân. Ông đã khái quát hiện tượng khúc xạ bằng cách tưởng tượng ra một môi trường không đồng nhất và phân chia nó thành những lớp mỏng. Khi có một tia sáng đi xuyên qua môi trường đó thì vận tốc của nó trong mỗi phân lớp coi như không đổi. Với giả thiết bề dày mỗi lớp mỏng dần tới O, Fecma đã rút ra được nguyên lý tổng quát của quang hình học (ngày nay có tên là nguyên lý Fecma): trong một môi trường không đồng chất, tia sáng đi từ điểm này tới điểm khác theo một con đường sao cho thời gian cần thiết là nhỏ hơn khi nó đi theo bất kỳ con đường nào khác. Nhờ nguyên lý này mà định luật khúc xạ ánh sáng do Sneli phát biểu đã được xác minh tính đúng đắn của nó về mặt lý thuyết.

Thành quả toán học đó của Fecma lúc đầu bị các học trò của Đềcác phản đối. họ cho rằng đó là một khiên cưỡng phi vật lý. Chỉ riêng việc chứng minh của Fecma dựa trên cơ sở tia sáng phải “biết” trước tuyến đường đi đến nơi đã định sao cho nhanh nhất (“tốn” thời gian cực tiểu) đã là kỳ dị rồi. Tuy nhiên, sự tiến bộ trong nghiên cứu vật lý đã chứng tỏ nguyên lý Fecma hoàn toàn đúng đắn. Không những thế, nguyên lý này cùng với phép tính biến phân còn trở thành công cụ cơ bản để tính toán các hệ thống thấu kính.

Sau này, các nhà khoa học còn phát hiện ra nhiều nguyên lý tương tự như nguyên lý thời gian cực tiểu của Fecma thống trị trong nhiều lĩnh vực khác nữa của vật lý học và gọi chúng với một tên chung là “nguyên lý cực tiểu”. Không phải chỉ có định luật cân bằng mà định luật chuyển động cũng tuân theo các nguyên lý cực trị, trong đó có nguyên lý thường được các nhà nghiên cứu động học và động lực học nhắc đến, đó là “nguyên lý tác dụng tối thiểu”.

Người đầu tiên có ý niệm rõ ràng nhất về tính phổ biến của các nguyên lý cực trị trong vật lý là Ơle. Ông đã thực hiện hàng loạt các phép toán biến phân trong lĩnh vực vật lý. Tiếp theo, nhà toán học Hamingtơn (1805-1865) phát hiện lại và mở rộng thêm, tạo nên một công cụ mạnh trong những lĩnh vực như cơ học, quang học, điện học và các ngành khoa học - kỹ thuật khác nhau. Lý thuyết tương đối và lý thuyết lượng tử cũng là những thí dụ thể hiện đầy đủ giá trị các phương pháp của phép tính biến phân.

Như chúng ta đã có lần kể thì điều tuyệt vời liên quan mật thiết đến hiện tượng truyền sáng đóng vai trò như một cú hích, mở ra một chương mới đầy ly kỳ trong quá trình nhận thức bản chất ánh sáng, là sự xuất hiện thuyết sóng của Huygens (1629-1695). Theo Huygens, ánh sáng lan truyền dưới dạng sóng tương tự như âm thanh. nếu môi trường truyền sóng âm là không khí thì môi trường truyền sóng sáng là một chất đặc biệt choán đầy không gian, không sờ mó được, có thể hình dung như một chất lỏng không trọng lượng nhưng đàn hồi, gọi là “ête” – cái tên đã có từ thời Hi Lạp cổ đại. Trên cơ sở thuyết sóng còn ngây thơ và khiếm khuyết này, Huygens đã lý giải được nhiều hiện tượng quang học và đặc biệt là cũng rút ra được định luật phản xạ mà Ơclit đã nêu lên và định luật khúc xạ ánh sáng do Sneli phát biểu.

***

Không thể phủ nhận được công lao to lớn của Lépnit và Niutơn đối với giải tích toán học nhưng cũng không nên nghĩ một cách giản đơn rằng phép tính vi – tích phân hoàn toàn là do hai ông đơn thuần sáng tạo ra. Đó là kết quả tất yếu của quá trình suy tư lâu dài của nhiều nhà toán học trước hai ông và được tiếp tục hoàn thiện sau hai ông.

Như đã kể thì tiền thân của toán học giải tích đã có từ thế kỷ III TCN và có thể cho rằng thủy tổ của phép tính tích phân là Ácximét.

Đến thế kỷ XVII, một số nhà toán học nhiệt tâm ở Châu Âu đã đề ra mục tiêu tiếp tục các công trình toán học của Képle và Gallilê. Họ đã giữ vững liên lạc với nhau bằng thư từ và bằng những cuộc gặp gỡ cá nhân. Lúc đó xuất hiện hai bài toán trung tâm thu hút họ. Một là “bài toán tiếp tuyến”: xác định tiếp tuyến với đường cong cho trước, và hai là “bài toán cầu phương”: xác định diện tích liên kết với đường cong cho trước.

Khái niệm cơ bản đầu tiên của toán giải tích là khái niệm “tích phân”. Chúng ta có thể hiểu tích phân là “diện tích dưới đường cong biểu thị qua giới hạn”.

Nếu có hình chữ nhật với hai cạnh là p và q (xem hình 2/a), chúng ta dễ dàng tính được diện tích của nó:

               S=pxq

Hình 2: Hai cách tính diện tích hình chữ nhật

Giả sử chúng ta có 10 hình chữ nhận bằng nhau có hai cạnh lần lượt là P và d ghép với nhau thành một hình chữ nhật lớn như minh họa ở hình 2/b và nếu:

               10xd=q

thì diện tích của nó cũng chính là S:

              

Khái quát hơn, có thể cho các d_i khác nhau với điều kiện tổng của chúng bằng q thì kết quả cuối cùng cũng không hề thay đổi.

Vấn đề vừa nêu là quá hiển nhiên nên cũng tầm thường. Tuy nhiên đó có thể là một “hướng đạo sinh” tốt cho chúng ta trong việc giải quyết vấn đề tiếp theo đây.

Giả sử cho một đường cong (hàm dương, liên tục y=f(x)) trên hình 3/a. Yêu cầu đề ra là phải xác định diện tích của miền được gạch chéo.

Hình 3: Bước đi tiếp cận phép tính tích phân

Từ sự gợi ý của thí dụ phía trên, chúng ta có thể tính gần đúng bằng cách trên trục x, chia khoảng từ a đến b ra thành nhiều khoảng nhỏ (không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng ở đây, vì lý do đơn giản hóa, chúng ta cho chúng bằng nhau), rồi dựng các đường vuông góc tại mỗi điểm chia, tạo nên các hình chữ nhật như mô tả trên hình 3/b. Tổng diện tích của các hình chữ nhật này sẽ là giá trị gần đúng của diện tích cần tìm. Độ chính xác của sự gần đúng đó sẽ càng cao nếu số lượng hình chữ nhật càng nhiều (nghĩa là chiều rộng của mỗi dải chữ nhật càng hẹp)

Giả sử chúng ta chia khoảng từ a đến b ra n đoạn thì độ dài mỗi đoạn là:

              

Khi chúng ta ký hiệu các điểm lần lượt theo thứ tự là x₀, x₁, x₂, …, x_n, thì:

              

Nếu ký hiệu  (đọc là “đen ta x”) là hiệu số của  thì có thể viết:

              

Như vậy, một cách thích hợp, chúng ta có tổng diện tích hình chữ nhật bằng:

              

Hoặc viết tắt:

              

Đó cũng là diện tích gần đúng của diện tích cần tìm A

Khi cho n tăng lên vô hạn thì dần tới 0 (nhưng không được bằng 0!) dẫn đến S_n dần tới A và khi chuyển qua giới hạn thì S_n đúng bằng A. Biểu diễn toán học của quá trình này là:

              

Biểu diễn ở vế phải được viết ra lần đầu tiên bởi Lépnit (ở thời của Lépnit, dấu tổng thường được viết là S và dấu chính là sự biến dạng giản đơn của chữ S).

Đừng hiểu lầm phép tính tích phân chỉ áp dụng cho việc tính toán diện tích (hay thể tích) hình học dù rằng có thể nó được xây dựng nên bắt đầu từ những đòi hỏi như vậy. Đó là một phép toán có tính ứng dụng phổ quát. Một trong những thành tựu chủ yếu của giải tích toán học, là đã thiết lập được một phương pháp tính toán chung, đầy hiệu quả để thay thế cho những qui trình tính toán chuyên biệt thường rườm rà và gặp không ít khó khăn.

Ở những ngày đầu, trong khi bản thân phép tính tích phân đã được thừa nhận là một công cụ tính toán chính xác, đưa đến những kết quả đúng đắn một cách hiển nhiên, thì bản chất của nó lại vẫn không được hiểu một cách rõ ràng, nhất quán. Tình trạng đó xảy ra có nguyên nhân chủ yếu từ việc quan niệm dần tới 0 nhưng không thể bằng 0. Như chúng ta đã nói thì cái quan niệm ấy có phần khiên cưỡng, phi trực giác và do đó mà cũng trở nên mù mờ, khó hiểu. Nhiều người có thiên hướng tự biện triết học và thậm chí đến ngay cả Lépnit cũng không thoát khỏi những suy tưởng theo hướng thần bí hóa quan niệm đó. Thường thì người ta giải thích ý nghĩa của tích phân bằng cách nói rằng “một số gia hữu hạn được thay thế bới một đại lượng nhỏ vô hạn dx, bản thân tích phân là tổng của một vô hạn số các số số hạng vô cùng bé ”

Khoảng 100 năm năm sau Lépnit và Niutơn, người ta mới đi đến nhận thức rằng cơ sở chân thực của định nghĩa tích phân là khái niệm giới hạn chứ không phải cái gì khác. Và cho đến ngày nay, nhận thức đó vẫn còn đóng vai trò chính thống.

Theo chúng ta thì dù sao nhận thức như thế vẫn chưa triệt để, thậm chí là bất ổn, bởi vì nó vẫn dựa trên cái quan niệm chưa xác đáng về sự tiến tới vô cùng bé của .

Khi n tăng lên vô hạn thì tiến đến vô cùng bé, bé đến vô hạn độ miễn là vẫn lớn hơn 0 và trong tình trạng đó, nó được gọi là dx. Suy diễn cảm quan buộc chúng ta phải đi đến nhận định vì n có thể tăng mãi đến vô hạn nên quá trình đó rõ ràng là không có giới hạn, nghĩa là n bất định, kéo theo dx cũng dần trở nên nhỏ đến vô hạn và cũng không thể xác định chắc chắn được. Vậy thì cũng không thể là một lượng xác định chính xác. Muốn xác định được  thì phải dừng sự tăng n “ở đâu đó” để cho dx xác định. Nhưng vì n vẫn còn khả năng tăng lên nữa để tích phân có thể đạt độ chính xác cao hơn cho nên khi dx đã “bị” xác định thì  chỉ có tính gần đúng. Song thực hành toán học đã chỉ ra rằng tích phân là một phương pháp tính mà kết quả của nó là chính xác. Vậy thì mâu thuẫn này phải được giải quyết như thế nào?

Trước hết chúng ta thấy rất rõ điều này: trong thực tiển đời sống, khó lòng phân chia một sự vật nào đó đến vô hạn độ được. Chẳng hạn, không thể phân chia một lượng tiền nào đó vượt quá đơn vị tiền tệ nhỏ nhất của nó nếu muốn một phần phân chia vẫn còn là thứ tiền tệ đó và vẫn có giá trị sử dụng trong việc mua bán thông thường. Không thể phân chia một tảng thịt bò ra thành những miếng thịt bò nhỏ đến vô hạn độ được bởi vì sẽ đến một lúc mà các phần bị phân chia không thể được gọi là “miếng thịt bò” nữa, thậm chí gọi là “phần tử thịt bò” cũng không đúng nốt… Có thể nêu vô vàn những thí dụ tương tự để thấy rằng việc chia nhỏ đến vô hạn độ một sự vật nào đó mà vẫn muốn bảo lưu đặc tính nào đó của nó là bất khả.

Từ những thí dụ trực quan và chính mâu thuẫn đã nêu ở phía trên buộc chúng ta phải đi đến một quan niệm mới, xác đáng hơn về quá trình tiến tới vô cùng lớn của n cũng như quá trình tiến tới vô cùng nhỏ của .

Dù có thể tùy tiện chia đoạn từ a đến b ra bao nhiêu phần tùy ý thì số n cũng bắt đầu từ 1 (một phần, chưa chia) và số lần chia tăng lên một cách tự nhiên nhất cũng chỉ có thể là 1, 2, 3, …

Gọi k.e là chiều dài của đoạn b-a đo theo đơn vị độ dài e nào đó thì bao giờ chúng ta cũng chọn được số n_e nào đó sao cho n_e=k (về mặt số trị thôi!), nghĩa là:

              

Nếu cho k=1 và gọi e là 1 thì rõ ràng độ dài b-a cũng đóng luôn vai trò là đơn vị độ dài theo qui ước. Lúc này chúng ta sẽ “ung dung” viết được:

              

               với n là số tự nhiên nào đó

Rõ ràng  và n là tương phản nghịch đảo qua gốc 1 của nhau. Nếu n luôn lớn hơn hay bằng 1 thì luôn nhỏ hơn hay bằng 1. Khi n phát triển đến vô cùng lớn thì phát triển đến vô cùng nhỏ một cách đối ứng. Theo quan niệm của triết học duy tồn thì hai chiều phát triển đó là tương phản ảo thực của nhau, đối nghịch nhau mà cũng bình đẳng nhau (ở những góc độ quan sát nhất định có thể thấy quá trình nào cũng là thực và đồng thời quá trình còn lại là ảo).

(Còn tiếp)

-----------------------------------------------------------------