TT&HĐ V - 42/p

 

GIẢ THUYẾT VỀ HẠT HIGGS ( HẠT CỦA CHÚA )

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

 

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

 

(Tiếp theo)

Có thể phỏng đoán rằng vì điều kiện tiên quyết đối với tích phân đang xét là trong kết quả cuối cùng của nó không được phép hiện hữu dx, nghĩa là phải loại trừ sự hiện diện của , cho nên thành phần phải biểu diễn được như là một tích mà một số hạng nhân của nó phải là . Biết rằng đóng vai trò như một đoạn thẳng gần tổng các đoạn thẳng thành phần của nó. Chúng ta có thể chia lại nó ra thành K+1 đoạn thẳng bằng nhau B, nghĩa là:

Suy ra:

Để thỏa mãn điều kiện tiên quyết thì:

Có thể thấy trên hình 4/b là khi b được chia ra N phần thì có thể chia đoạn ra thành phần. Vậy đối với sẽ chia được  phần. Do đó có thể nghĩ rằng:

Là biểu diễn diện tích một hình chữ nhật có hai cạnh bằng N và . Vì diện tích cần tìm dưới đường cong  trong khoảng x = b chỉ là một phần của diện tích hình chữ nhật ấy và do ràng buộc bởi qui luật chi phối hàm số (mối tương quan giữa x và y) mà phải có:

Thật là lẩn thẩn! Nhưng thôi, cứ để nguyên như thế chẳng ảnh hưởng gì khái niệm tích phân mà chúng ta muốn giới thiệu (dù là sơ sài) cả. Bây giờ, chúng ta nói sang chuyện khác của giải tích toán học.

Trong khi khái niệm tích phân có nguồn gốc từ thời Ácximét xa xưa thì khái niệm “đạo hàm” chỉ mới hình thành “gần đây”, trong thế kỷ XVII mà công đầu thuộc về Fécma.

Sự xuất hiện một cách phổ biến các quá trình tự nhiên liên quan đến cực trị trong nghiên cứu khoa học đã buộc các nhà toán học phải thiết lập hàng loạt bài toán tìm cực trị và cách giải chúng. Đến thế kỷ XVII thì nảy sinh yêu cầu xây dựng một lý thuyết tổng quát về cực trị.

Nói chung, những quá trình vận động của tự nhiên đều là những quá trình tuân theo nguyên lý nhân - quả: sự biến đổi, chuyển hóa lẫn nhau của một hay nhiều yếu tố, lực lượng sẽ làm biến đổi, chuyển hóa một hay nhiều yếu tố, lực lượng khác và ngược lại. Sự xuất hiện giá trị biên, cực đại, cực tiểu làm biến đổi vận động trong các quá trình ấy là có tính phổ biến. Hàm số thường là biểu diễn toán học của các quá trình ấy và việc thiết lập bài toán tổng quát tìm cực trị cho các quá trình ấy cũng chính là xác lập lý thuyết tổng quát về cực trị của hàm số. Fecma chính là người tiên phong trong việc nghiên cứu vấn đề này.

Giả sử có một đường cong đóng vai trò là đồ thị của hàm  được thể hiện trên hình 5.

Hình 5: Các điểm dừng của hàm .

Những điểm nào trên đường cong đó mà có giá trị  lớn hơn bất kỳ điểm nào (hay nhỏ hơn bất kỳ điểm nào) ở lân cận nó thì được gọi là điểm có giá trị cực đại (hay cực tiểu). Như vậy, trên hình 5, các điểm A, B, C, D được gọi là những điểm cực trị, trong đó: A, C là hai điểm cực tiểu, B, D là hai điểm cực đại, A được gọi là điểm có cực tiểu tuyệt đối, D được gọi là điểm có cực đại tuyệt đối.

Một cách trực quan có thể thấy những điểm có cực trị là những điểm mà tại đó tiếp tuyến với đường cong  song song với trục x. Điểm E được gọi là điểm uốn vì đó là điểm xảy ra sự biến chuyển đường cong từ “lõm” sang “lồi” (hoặc cũng có thể nói ngược lại tùy thuộc vào qui ước). Nếu quan niệm đường tiếp tuyến của đường cong qua điểm đó chính là đường vừa tiếp tuyến với phần “lồi” vừa tiếp tuyến với phần “lõm” của đường cong thì tại E, theo thể hiện ở hình 5, tiếp tuyến tại điểm E cũng có thể song song với trục x. Tuy nhiên điểm E không có cực trị vì không thỏa mãn qui định là điểm có giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) so với bất kỳ điểm nào ở lân cận nó.

Vậy, việc đầu tiên tìm các điểm cực trị của một đường cong cho trước chính là đi xác định các điểm mà tại đó tiếp tuyến với đường cong song song với trục x. Điều đó làm nảy sinh yêu cầu có tính tổng quát hơn: xây dựng phương pháp xác định phương của một tiếp tuyến với đường cong đã cho tại một điểm cho trước.

Giả sử có đường cong thể hiện trên hình 6. Hãy xác định phương tiếp tuyến tại điểm P của đường cong ấy!

Đó chính là nội dung “bài toán tiếp tuyến”, một trong hai bài toán trung tâm thu hút nhiều nhà toán học ở thế kỷ XVII và quá trình đi tìm lời giải tổng quát cho bài toán của họ đã làm hình thành nên khái niệm “đạo hàm” - một khái niệm cơ bản trong giải tích toán học, dẫn đến phép tính vi phân.

Nếu chỉ dựa vào hàm  của đường cong và tọa dộ (x, y) của điểm P thì không thể nào xác định được phương tiếp tuyến tại P của đường cong. Trước hết, chúng ta xét một điểm P₁ có tọa độ (x₁,y₁) ở gần điểm P. Đường thẳng t₁ đi qua hai điểm P và P₁ được gọi là cát tuyến của đường cong . Gọi góc giữa trục x và đường thẳng t₁ là , chúng ta dễ dàng có được mối quan hệ toán học:

(gọi là tang) được gọi là “độ dốc” của đường cát tuyến t₁. Độ dốc chính là chỉ thị phương của đường thẳng trong tọa độ vuông góc.

Hình 6: Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Bây giờ, chúng ta cho điểm P₁ chuyển động trên đường cong, dần tới điểm P. Quá trình đó tương đương với quá trình xoay đường thẳng t₁ quanh điểm cố định P. Sẽ đến lúc đường cát tuyến t₁ đạt đến vị trí chỉ còn tiếp xúc với đường cong tại điểm duy nhất P, nghĩa là nó trùng với đường tiếp tuyến t (hoặc có thể nói, nó trở thành đường tiếp tuyến t và có độ dốc là ). Vậy: tiếp tuyến là giới hạn của cát tuyến, độ dốc của tiếp tuyến là giới hạn độ dốc của cát tuyến.

Trong biểu diễn toán học, người ta qui ước:

được gọi là số gia của hàm y,   được gọi là số gia của biến độc lập x.

Khi cho P₁ tiến dần tới P thì có nghĩa cho tiến dần tới O và sẽ tiến dần tới một giới hạn nào đó (nếu có). Giới hạn đó chính là độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm P. Hay phát biểu tổng quát hơn: tiếp tuyến t với một đường cong cho trước có độ dốc bằng giới hạn của tỷ số các số gia khi  tiến dần tới 0 (nhưng không được bằng 0!).

Có thể tưởng tượng được rằng đường cong có vô vàn điểm và tại mỗi điểm đều có thể xác định được giá trị độ dốc tiếp tuyến theo cách đã làm với điểm P. Rõ ràng những giá trị độ dốc ấy được “suy ra” từ hàm  theo cùng một cách thức, cùng một qui luật. Nghĩa là chúng cũng đóng vai trò là một tập hợp của một hàm số nào đó. Người ta gọi hàm số này là “đạo hàm” của hàm cho trước và ký hiệu: hay  (nhiều khi cũng dùng ký hiệu dó Lépnit đề xướng: .

Quá trình giới hạn nhờ đó chúng ta tìm được đạo hàm được gọi là phép vi phân hàm . Nền tảng cơ bản nhất của phép tính vi phân là biểu diễn toán học sau đây:

Đến đây, có thể thấy rằng, điều kiện tiên quyết (nhưng chưa đủ) để một điểm có cực trị là tiếp tuyến tại điểm đó phải có độ dốc bằng 0. Như vậy, việc đầu tiên đi tìm những điểm cực trị của hàm số là phải xác định được đạo hàm của nó, sau đó tìm (các) nghiệm của phương trình:

Để phân biệt trong số các điểm có , điểm nào là điểm có cực đại, có cực tiểu hay đơn thuần là điểm uốn thì phải xác định được cái gọi là “đạo hàm bậc hai”, ký hiệu: hay . Đạo hàm bậc hai là đạo hàm của , hay còn nói là đạo hàm của đạo hàm. Cách xác định nó cũng tương tự như đạo hàm bậc một. Từ khái niệm đạo hàm bậc hai, có thể suy ra được sự tồn tại của đạo hàm bậc n (với n là số tự nhiên nào đó).

Nếu tại một điểm có đạo hàm bậc một bằng 0, và nếu đạo hàm bậc hai:

- nhỏ hơn 0, thì ở đó có cực đại (đường cong có tính lồi).

- lớn hơn 0, thì ở đó có cực tiểu (đường cong có tính lõm).

- bằng 0, thì đó là điểm uốn (đường cong có tính uốn lượn).

Về mặt lịch sử, khái niệm đạo hàm đã được xây dựng nên như chúng ta vừa kể và đó cũng là ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tuy nhiên, sẽ phạm sai lầm đến nực cười nếu cho rằng đạo hàm chỉ là một “trò chơi toán học”, gói gọn trong những bài toán tính độ dốc của tiếp tuyến với đường cong cho trước. Dù hàm số có là con đẻ của toán học thuần túy đi chăng nữa thì cũng không nên lầm tưởng rằng nó không có dính líu nào đến thực tại khách quan. Như chúng ta thường nói, toán học không phải là cái gì khác mà chính là sự biểu diễn đặc thù của nhận thức ở loài người đối với hiện thực khách quan. Mà hiện thực khách quan lại chính là bức tranh mà loài người quan sát được, cảm nhận được, suy nghiệm được và đồng thời cũng “góp phần” thêu dệt nên về Thực Tại Khách Quan, về Tự Nhiên Tồn Tại. Vì lẽ đó mà hàm số không những có mối liên quan mật thiết đối với các quá trình vật lý, là một biểu hiện dưới hình thức toán học của những hiện tượng và quá trình tự nhiên mà sự hình thành của nó còn có nguyên nhân sâu xa từ những biểu hiện của tự nhiên, là thành quả của trí tuệ loài người trên bước đường đi tìm hiểu bản chất của Tự Nhiên.

Thiên tài Niutơn, nhờ được “đứng trên vai của những người khổng lồ” như ông từng tự bạch, đã thiết lập được lý thuyết nòng cốt nhất, phổ quát nhất, đóng vai trò nền tảng của tòa lâu đài cơ học cổ điển. Nếu Fécma đi tiên phong trong việc làm hình thành khái niệm đạo hàm thì Niutơn chính là người đầu tiên nêu ra cái ý nghĩa vật lý của nó.

Khi nghiên cứu, phân tích hiện tượng chuyển động của một động tử (Niutơn gọi là “fluent”, ngày nay cũng thường gọi là “chất điểm”, có thể hiểu “chất điểm” là điểm vật chất, có “khối lượng” nhưng không có kích thước, tương tự như điểm hình học Ơclít), Niutơn đã phải tìm cách giải quyết một yêu cầu cơ bản: xác định vận tốc của động tử chuyển động không đều trên một quãng đường bất kỳ. Sự suy luận sắc sảo của một bộ não thông minh thiên bẩm đã giúp Niutơn thấy được ở công trình của Fécma sự gợi ý hoàn hảo để thực hiện nhiệm vụ đó. Chính từ hướng này mà ông đã đến được với phép tính vi phân.

Nói chung, biểu hiện nổi trội có tính đặc trưng của một chuyển động là sự nhanh, chậm. Nói đến nhanh, chậm thì phải nghĩ ngay đến thời gian. Để “đo” sự nhanh, chậm đối với chuyển động của một động tử, vật lý học không thể không đến với khái niệm “vận tốc” hay “tốc độ”. Đối với một chuyển động đều (là chuyển động mà đối với bàn thân nó, không có lúc nào nhanh hơn cũng như chậm hơn trên một quãng đường) thì vận tốc của nó được xác định bằng độ dài quãng đường đạt được trong khoảng thời gian nào đó chia cho khoảng thời gian đó. Chẳng hạn tại thời điểm t, quãng đường một động tử (chuyển động đều) đạt được là S, sau đó tại thời điểm t₁, tổng quãng đường động tử đạt được là S₁, thì vận tốc chuyển động của nó, ký hiệu là v, được xác định:

Trong trường hợp chuyển động không đều, nghĩa là vận tốc chuyển động của động tử biến đổi theo thời gian thì biểu thức trên không còn chính xác nữa và cùng lắm chỉ được coi là biểu thức tính vận tốc trung bình, mang tính gần đúng mà thôi.

Nếu vận tốc chuyển động của động tử biến đổi theo thời gian một cách “trơn tru”, “tự nhiên”, hay nói dúng hơn là một cách có qui luật thì sẽ thiết lập được mối quan hệ nhân - quả hình thức giữa quãng đường và thời gian, trong đó quãng đường đóng vai trò hàm số và thời gian đóng vai trò là biến số của nó. Lúc này, có thể đặt:

và công thức tính vận tốc trung bình viết theo ký hiệu mới là:

Biểu diễn toán học này có bản chất giống hệt biểu diễn toán học tính độ dốc cát tuyến của đường cong mà chúng ta đã trình bày, và nếu thay bằng , t bằng x, t₁ bằng x₁ thì chính là biểu diễn toán học đó. Vậy muốn xác định giá trị vận tốc biến đổi theo thời gian tại thời điểm t (gọi là “vận tốc tức thời” tại thời điểm t), chúng ta phải cho t₁ tiến dần tới t, hay “nói trắng ra” là tìm đạo hàm của hàm tại thời điểm t, và viết:

Vậy: vận tốc là đạo hàm của đường đi theo thời gian.

Sự biến đổi của vận tốc theo thời gian cũng có thể là nhanh hay chậm (nhiều hay ít) cho nên cũng xuất hiện khái niệm “gia tốc”. Gia tốc là tốc độ biến đổi của vận tốc theo thời gian, thường ký hiệu là a và giá trị của a chính là đạo hàm bậc hai của hàm . Có thể biểu diễn:

Không thể phủ nhận được công lao to lớn của Lépnit và Niutơn đối với phép tính vi – tích phân trong việc tạo ra chúng và hơn nữa là trong việc làm sáng tỏ mối quan hệ nội tại giữa chúng.

Ký hiệu đạo hàm bằng  là do Lagrăngxơ đề xướng, còn ký hiệu là do Lépnit đưa ra và được ông gọi là “tỷ số của vi phân”. Do đó mà có thể viết:

Lépnit coi đạo hàm như là tỷ số của hai vi phân, rõ ràng không phải là tùy tiện vô tình. Chắc rằng ông đã nhận thấy hai quá trình: quá trình  trong phép tích phân và quá trình trong phép đạo hàm thực chất là như nhau. Nếu trong tích phân, khi “cho qua giới hạn”,  (khác 0) thì trong đạo hàm cũng phải xảy ra như vậy. Trực giác ban đầu cho thấy không có gì cản trở khi tiến dần tới 0 lại không thể bằng 0 được, và do đó mà cũng không có gì cản trở tỷ số của các số gia () đạt đến “trạng thái” . Nhưng nếu có như thế thì thật là vô nghĩa. Chính thực hành toán học xác minh rằng quá trình  tiến tới ngày càng bé sẽ làm cho tỷ số của các số gia biến đổi chuyển hóa để kết quả cuối cùng bao giờ cũng có một ý nghĩa toán học hay vật lý học thật sự (trong trường hợp nó bằng 0 thì có nghĩa tại điểm đó hay thời điểm đó có đạo hàm bằng 0). Dù có thể còn lúng túng trong việc nhận thức triết học về cái quá trình “tiến tới 0 nhưng không thể bằng 0” ấy, nhưng Lépnit theo ý kiến chúng ta, đã có một nhận định toán học đúng đắn. Đại loại, Lépnit cho rằng, có xu thế tiến dần đến 0 nhưng “giá trị cuối cùng” của không bằng 0 mà là “một đại lượng vô cùng bé”, “một vi phân” được ký hiệu là dx. Kéo theo đó  cũng đạt đến “giá trị cuối cùng”, “một vi phân” được ký hiệu là dy. Tỷ số của hai đại lượng vô cùng bé ấy cho ra kết quả là một số thông thường:

Khái niệm về phép tích phân và một phần khái niệm về phép vi phân đã được phát triển khá tốt từ trước khi có các công trình của Lépnit và Niutơn. Tuy nhiên, như chúng ta đã nói, thành tựu vượt trội của hai ông là ở chỗ đã vạch ra được mối quan hệ gắn bó keo sơn của hai qúa trình tích phân và vi phân mà thoạt đầu tưởng chừng như chúng không có liên quan gì với nhau. Chúng thực ra là hai phép toán thuận - nghịch của nhau, tương tự như phép cộng và phép trừ, phép nhân và phép chia. Có thể coi tích phân và vi phân là hai thể, hai quá trình tương phản nhau, chuyển hóa nhau, hợp thành một thể, một quá trình thống nhất. Đó cũng chính là nội dung khái quát có thể rút ra được từ định lý cơ bản của giải tích , được Lépnit và Niutơn, không hẹn mà gặp, thiết lập trong gần cùng một thời gian.

Để phát biểu chính xác định lý cơ bản của giải tích, trước tiên, chúng ta hãy xem hình 7

Hình 7: Tích phân là hàm của cận trên

Xét tích phân của hàm trong khoảng từ hằng số a đến số x mà chúng ta xem như một biến. Để không nhầm lẫn cận trên x của tích phân với biến dươi dấu tích phân, chúng ta viết tích phân dưới dạng:

              

để chứng tỏ ý định xem xét tích phân như một hàm (F(x)) đối với cận trên (x) của nó. Hàm F(x) chính là diện tích miền ở dưới đường cong y=f(u), từ điểm u=a đến điểm u=x. Vì x được coi là một biến, chưa xác định nên người ta thường gọi F(x) với biến cận trên x là “tích phân bất định”.

Toán học đã chứng minh được:

              

Do vậy, định lý cơ bản của giải trình được phát biểu: Đạo hàm của tích phân bất định F(x) theo cận trên x của nó bằng giá trị của hàm f(x) tại điểm u=x, nghĩa là:

              

Nói cách khác: quá trình tích phân đi từ f(x) đến hàm F(x) bị phá hủy bới quá trình vi phẩn ngược với nó áp dụng cho hàm F(x).

Nói thêm, trong toán học, người ta gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x). Hàm f(x) có vô số nguyên hàm. Những nguyên hàm này khác biệt nhau một hằng số nào đó và có thể biểu diễn tập hợp các nguyên hàm của hàm f(x):

              

Với C là một số nào đó trong miền các số thực.

(Còn tiếp)

------------------------------------------------------------------