TT&HĐ V - 42/c

 

Hàm số và ứng dụng kinh tế (Function)

PHẦN V:     THỐNG NHẤT 

"Khoa học là một sức mạnh trí tuệ lớn nhất, nó dốc hết sức vào việc phá vỡ xiềng xích thần bí đang cầm cố chúng ta."
Gorky 

 

"Mỗi một thành tựu lớn của nhà khoa học chính là xuất phát từ những ảo tưởng táo bạo". 
JohnDewey

"Chân lý chỉ có một, nó không nằm trong tôn giáo, mà nằm trong khoa học."
Leonardo da Vinci
 

"Cái khó hiểu nhất chính là hiểu được thế giới" 

Albert Einstein

 "Có hai cách để sống trên đời: một là xem như không có phép lạ nào cả, hai là xem tất cả đều là phép lạ".

Albert Einstein

      

“Chính qua cuộc đấu tranh nhằm thống nhất một cách hợp lý cái đa dạng mà đã đạt được những thành công lớn nhất, dù rằng chính ý đồ đó có thể gây ra những nguy cơ lớn nhất để trở thành con mồi của ảo vọng”.

Albert Einstein

“Người nhìn thấy cái đa dạng mà không thấy cái đồng nhất thì cứ trôi lăn trong cõi chết”.

Upanishad       

CHƯƠNG III (XXXXII): THỰC - ẢO

"Hãy sống nhờ trí tưởng tượng của mình thay vì nhờ trí nhớ."

Les Brown

"Biết thì nói là biết, không biết thì nói là không biết, vậy mới thật là biết."
Khổng Tử 

 
"Có thể Chúa tồn tại, nhưng khoa học có thể giải thích về vũ trụ mà không cần tới một đấng sáng tạo."
 "Mục đích của tôi khá đơn giản. Đó là hiểu biết hoàn toàn về vũ trụ, vì sao nó có hình dạng như hiện tại, và vì sao nó tồn tại."
Stephen Hawking

“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.

Hêrôn

“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.

Léonard de Vinci

“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.

Trịnh Xuân Thuận

"Phải chăng có thể tưởng tượng: Vũ Trụ là một đại dương mênh mông mà không gian là nước và vạn vật là những tảng băng trôi dạt; băng tan thành nước và nước cô kết lại thành băng?".
NTT

"Quá trình đi đến thực tại Vũ Trụ hiện nay là duy nhất. Nhưng vì Vũ Trụ mang tính đầy đủ nên có nhiều cách, từ đơn giản đến phức tạp, từ thô sơ đến trừu tượng, để giải thích sự tồi tại Vũ Trụ. Chính vì vậy mà vật lý học được hình thành và các lý thuyết toán học mới có khả năng triển khai"

NTT

 

 

(Tiếp theo)

Một trong những nhận biết từ rất sớm của các nhà thông thái là mọi biến đổi trong tự nhiên đều phải có lý do và mọi biến đổi luôn kéo theo những biến đổi sau đó. Tình hình đó dẫn các nhà thông thái đến với khái niệm về những quá trình muôn vẻ xảy ra trong tự nhiên và hiểu rằng tất cả những quá trình đó, dù có thể xuất hiện theo kiểu cách gì đi nữa, dù có biểu hiện ra kỳ lạ như thế nào chăng nữa thì sự tiến triển của chúng cũng vẫn như một xâu chuỗi kế tiếp nhau của những biến đổi liên tiếp có tính trước – sau, theo những phương thức đặc thù nào đó có tính bất biến tương đối, được gọi là nguyên lý, qui luật… Ngay từ thời cổ đại, các nhà thông thái, qua con đường chiêm nghiệm và suy tư triết học, đã quan niệm được mối quan hệ nhân - quả và có lẽ đến thời trung đại thì đã coi mối quan hệ ấy như là một nguyên lý đầu tiên, phổ quát cho mọi quá trình đích thực là quá trình (nghĩa là như một chuỗi xích liên kết, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách tự nhiên trong thời gian, mà nếu thiếu bất cứ mắt xích nào thì quá trình không thể tồn tại) biến đổi và chuyển hóa vật chất.

Hiện thực khách quan của một hệ quan sát chính là thực tại khách quan đã mang ít nhiều đặc thù (không hoàn toàn khách quan nữa), "nhiễm" tính chủ quan của hệ quan sát đó. Cho dù có thế thì nếu hệ quan sát đó không phạm sai lầm, không tự gây ra những mâu thuẫn nội tại trong nghiên cứu khảo sát khoa học, nó vẫn có thể khám phá ra những nguyên lý, qui luật vốn có, những chân lý đích thực của Tự Nhiên (được trình bày theo ngôn ngữ riêng, theo cách “ghi chép” của nó).

Thể chất của Tự Nhiên Tồn Tại là Không Gian, thể hiện của Tự nhiên Tồn tại là Không Gian và Thời Gian, mà cụ thể là vật chất và vận động vật chất. (Từ đó mà cũng không thể khác: sự trình diễn của một hiện thực khách quan, trong “tầm” hệ quan sát của nó, chính là vạn vật - hiện tượng vận động trong những quá trình biến đổi, chuyển hóa muôn hình vạn trạng, theo những nguyên lý, qui luật mà Tự nhiên đã qui định cho chúng, và để có thể phân biệt được chúng, phải dựa vào hai chỉ tiêu cơ bản có nguồn gốc tự nhiên là “định tính” và “định lượng”. Hai chỉ tiêu này cũng có mối quan hệ mật thiết với nhau, phụ thuộc lẫn nhau và là tiền đề tồn tại của nhau.

Nhận thức hiện thực khách quan là nhận thức vật chất và vận động cũng như những quá trình biến đổi và chuyển hóa. Việc xác định những quá trình đó cũng chính là quá trình đi khám phá những nguyên lý, qui luật vốn có và “đang” chi phối hiện thực khách quan. Muốn thế, chỉ có cách là định tính và định lượng được chúng.

Khi nói “định tính” và “định lượng” có nguồn gốc tự nhiên thì cũng có nghĩa rằng những mệnh đề, định lý, những mối tương quan… toán học đã tiềm ẩn trong các nguyên lý, qui luật vốn có của Tự Nhiên. Do đó có thể thấy không phải ngẫu nhiên mà tiếp bước ngay sau triết học, toán học đã là lĩnh vực nghiên cứu mang tính khoa học đầu tiên trong công cuộc nhận thức hiện thực khách quan của loài người, và cũng đã từng là một “thực chứng” quan trọng cho nhận thức triết học. Vậy, nghiên cứu toán học là một lĩnh vực tất yếu của nhận thức, là quá trình đi khám phá những tiềm ẩn toán học trong tự nhiên, trên cơ sở đó mà loài người sáng tạo ra toán học theo cách riêng của nó. Để rồi toán học, đến lượt nó trở thành phương tiện mũi nhọn đắc lực, không thể thiếu được và thực ra là duy nhất trong công việc khám phá ra “một cách chính xác” về định tính cũng như định lượng có nguyên lý cũng như các qui luật vốn có trong Tự Nhiên. Ngày nay toán học đóng vai trò ngôn ngữ tất yếu trong nhận thức khoa học! Không có toán học, khoa học trở nên câm điếc, ngu ngơ! 

Thế nhưng toán học không phải là cái gì đó tồn tại rành mạch trong thực tại khách quan mà chỉ như một tồn tại ảo, tiềm ẩn trong đó. Dưới con mắt của các loài sinh vật thiếu tư duy trừu tượng, hầu như không quan sát thấy toán học ở đâu cả! Chỉ có con người mới phát hiện ra toán học nhờ thực dụng mưu sinh cộng với tư duy trừu tượng và xây dựng nên nó nhờ lao động sáng tạo! Dù sao toán học cũng chỉ là một tưởng tượng của con người về thực tại khách quan. Do đó nó không thoát được những ngộ nhận và sự lũng đoạn chủ quan của con người. Cho nên nguyên lý một nguyên nhân chỉ có một kết quả của tự nhiên dễ bị vi phạm. chẳng hạn phương trình bậc hai, nếu không có qui ước thì không thể có hai nghiệm.

Ngay từ khi toán học chỉ mới đóng vai trò là một số học thô sơ, phục vụ cho tính toán trực quan, nảy sinh trong đời sống thực tiễn thì nó đã phải qui ước để phản ánh ra mối quan hệ nhân - quả rồi. Chẳng hạn nếu có:

               2 + 3 = ?

thì kết quả chắc chắn phải là 5. Hay nếu có cái “nguyên nhân” qui ước:

               2 – 3 = ?

thì nếu muốn nó có kết quả (vì trong thực tại khách quan không thể giải quyết được!), thì tất yếu phải qui ước để dẫn đến kết quả là -1 chứ không thể là số nào khác.

Tuy nhiên, khi trong toán học xuất hiện thêm số bình phương và dấu () thì mối quan hệ nhân - quả mà nó phản ánh với quan niệm một nguyên nhân một kết quả đã bị vi phạm. Chẳng hạn:

              

Nếu quan niệm “nguyên nhân” đó chỉ có một kết quả duy nhất thì kết quả chính là bằng 2. Thế nhưng toán học không chấp nhận như vậy mà cho rằng:

              

Nghĩa là cùng một nguyên nhân có thể có hai kết quả hoặc là bằng +2 hoặc là bằng -2.

Để bênh vực quan niệm của mình, chúng ta buộc phải cho rằng trong trường hợp này, toán học đã ngộ nhận, thậm chí là phạm sai lầm. Nhưng toán học đã qua hàng ngàn năm ứng dụng rồi thì với sự thử thách “khốc liệt” như thế, làm sao nó sai được? Vậy chỉ còn cách “ngụy biện” như thế nào đó để thỏa thuận với nó thôi!.

Té ra thì cũng đơn giản! Số 4 là biểu thị một lực lượng (Không Gian đặc thù nào đó) ban đầu. Khi phân chia nó ra thành hai phần bằng nhau, tất yếu dẫn đến một kết quả duy nhất là bằng 2. Tuy nhiên nếu đặt trong qui ước về tương phản âm – dương thì có thể chọn 4 là (+2)² hoặc (-2)² và kết quả sẽ là +2 hoặc -2. Chính qui ước chủ quan đã lũng đoạn làm ngộ nhận về kết quả, chứ thực ra quá trình phân chia ấy là có tính duy nhất, luôn thỏa mãn một nguyên nhân một kết quả. Vì trong một quá trình độc lập, lực lượng Không Gian phải được bảo toàn cho nên có thể thấy:

 

Viết được như trên là vì chúng ta là “chúa tể” nên bao giờ cũng thấy mình là thực và những gì trái với thực thì là ảo. Trong mối tương phản ảo - thực, khi chỉ có thể hoặc thế này, hoặc thế kia thì ảo của ảo không phải là ảo mà chính là thực, (nói thêm: ảo của thực rõ ràng là ảo, thực của ảo thì cũng là ảo, thực của thực thì phải là thực thôi!).

Trong hiện thực, muốn phân ra làm đôi từ một lực lượng là 4 thì phải có hành động “tách” chúng ra thành hai phần khác biệt và trong mối tương quan âm – dương, nếu phần này là +2 thì phần kia là -2 và kết quả là có thể chọn một trong hai số ấy mà xét về “tiêu chuẩn” bảo toàn Không Gian thì cũng không bị xâm phạm gì; vì:

              

Nhưng đã qui ước  nên bốn trường hợp trên chỉ coi như là nói về cùng một hiện tượng.

Có thể dùng “luận điệu” trên để chứng minh

              

có kết quả duy nhất là bằng -2

Thực ra mối quan hệ nhân - quả được phản ánh trong toán học là một hiện tượng rất phổ biến, đến nỗi có thể nói nếu không có mối quan hệ nhân - quả thì cũng không có toán học và biểu diễn trên cơ sở mối quan hệ nhân – quả là biểu diễn cốt lõi, cơ bản nhất của toán học. Khi chúng ta đưa ra một bài toán thì có nghĩa rằng chúng ta đã đưa ra một cách hình thức mối quan hệ chuyển biến có bản chất qui luật để từ một nguyên nhân cho trước mà tìm ra kết quả, hoặc cũng có thể cho biết những dữ kiện có tính thống kê về nguyên nhân lẫn kết quả để từ đó mà phải tìm ra mối quan hệ chuyển biến như một qui luật giữa chúng… Chẳng hạn có bài toán:

               2+x=5

Ở đây, kết quả đã được xác định là 5, nguyên nhân là 2+x, gồm những yếu tố tiền nguyên nhân là 2, +, x, trong đó x là yếu tố chưa biết gọi là ẩn cần tìm, qui luật biến đổi là phép tổng.

Để tìm ẩn, chúng ta biến đổi phương trình trên thành:

x=5-2

Lúc này, do hình thức bài toán đã biến đổi mà có thể cho rằng mối quan hệ nhân - quả cũng đã biến đổi: x là kết quả của cái nguyên nhân 5 – 2, và ẩn số x chính là bằng 3. 3 là kết quả tất yếu của 5 – 2 và đồng thời là yếu tố tiền nguyên nhân không thể khác nếu muốn có kết quả là 5.

Một nguyên nhân là do nhiều yếu tố tiền nguyên nhân hợp thành, do đó mà trong nhiều trường hợp cùng một lúc có hai hay nhiều yếu tố chưa biết (những ẩn số), và dù đã biết trước được kết quả, cũng như qui luật của mối quan hệ nhân - quả thì cũng không thể xác định một cách chắc chắn được. Chẳng hạn, có hai yếu tố tiền nguyên nhân là x và y trong mối quan hệ nhân - quả:

có kết quả đã biết (bằng -3) và qui luật biến đổi đã biết (phép toán).

Đến đây, một câu hỏi lớn được đặt ra là: vậy có đúng là đang diễn tả một mối quan hệ nhân - quả đã có kết quả cho trước là -3 hay không? Nếu cho rằng đúng thì chúng ta sẽ phải lâm vào một mâu thuẫn khó lòng mà “tiêu diệt” được. Vì có nhiều cặp số x và y cho ra kết quả -3 nên phải cho rằng có nhiều nguyên nhân tạo thành một kết quả và do đó phải từ bỏ quan niệm một nguyên nhân một kết quả.

Mà nếu phải thừa nhận như thế thì “tội tình” cho chúng ta quá! Vậy thì lại phải cố mà “ngụy biện” thôi! Nhưng bằng cách nào?

Bằng cách nào thì chưa biết, nhưng trước tiên phải phủ nhận là sự biểu diễn của một mối quan hệ nhân - quả đích thực.

Một nguyên tắc phải được tuân thủ tuyệt đối trong mối quan hệ nhân - quả là kết quả phải có sau nguyên nhân. Nãy giờ có lẽ chúng ta đã phạm phải sai lầm chết người là đã giả sử kết quả có trước nguyên nhân, bắt nguyên nhân phải “phục tùng” kết quả trong một quá trình xảy ra trong thời gian. Khi một nguyên nhân chưa được xác định chắc chắn thì nó mới ở dạng khả năng. Có thể có nhiều khả năng nhưng chỉ có một khả năng duy nhất biến thành hiện thực. Khả năng đó được gọi là nguyên nhân đích thực và hiện tại đó được gọi là kết quả tất yếu. Có thể mô tả qui luật biến đổi của một quá trình biến đổi tương quan nhân - quả nào đó nhưng không thể là của quá trình x, y bị biến đổi do kết quả -3 gây ra, vì chúng không thể là kết quả của -3 mà là của những nguyên nhân trực tiếp tạo nên chúng trước đó trong thời gian, khi -3 chưa xuất hiện. Hơn nữa, nếu cho rằng mối quan hệ nhân - quả thực sự tồn tại thì việc suy từ -3 ra các cặp giá trị x và y nhằm thỏa mãn bài toán chỉ là hú họa và sai lầm. Vì chỉ có một cặp x, y duy nhất có thể là những yếu tố tiền nguyên nhân của cái nguyên nhân làm xuất hiện -3. Chúng ta còn cho rằng một cách hoàn toàn hình thức -3 không phải là kết quả duy nhất của một quá trình mà có thể là của nhiều quá trình khác hẳn nhau về bản chất, tương tự như một điểm trùng của nhiều tuyến đường. Dù như một điểm trùng của nhiều tuyến đường thì về thực chất vẫn phải coi sự trùng ấy là của những kết quả khác biệt có được từ những nguyên nhân khác biệt, khác biệt về mặt thời gian xuất hiện, về phương chiều từ đó chúng xuất hiện, và về sự biểu hiện tương tác giữa chúng (gây ra những biến cố)… mà toán học đã không thể phát hiện được do cách biểu diễn đặc thù và phiến diện của nó.

***

Chắc mẩm vì những biện hộ “quá đẹp” vừa trình bày, chúng ta đi tìm cho những biểu diễn toán học mới, “đích thực” mô tả được mối quan hệ nhân - quả nào đó một cách đúng đắn. Dễ dàng biến đổi đi một chút, và chúng ta có được:

Chúng ta cho rằng và là những biểu diễn về mối quan hệ có tính nhân - quả đích thực với vế trái là nguyên nhân duy nhất và vế phải là kết quả tất yếu, khi x (hoặc y) là yếu tố đã hoàn toàn được xác định.

Mặt khác, khi x (hoặc y) chưa xác định (là những ẩn số) và đóng vai trò như một lượng (còn gọi là đại lượng) nào đó, thì với mỗi giá trị gán cho nó, chúng ta sẽ có một kết quả (tất yếu và duy nhất) tương ứng với những giá trị ấy theo qui luật bất biến và chặt chẽ của phép toán thể hiện trong (hoặc ), nghĩa là một cách có qui luật. Hơn nữa, giả sử rằng x (hoặc y) là một đại lượng biến đổi một cách tự nhiên theo trình tự thời gian, nghĩa là tại mỗi thời điểm trong “chuỗi” thời gian liên tục luôn xác định được một giá trị (duy nhất và tất yếu) của x (hoặc y), thì lúc này có thể coi (hoặc ) chính là qui luật được biểu diễn bằng phương tiện toán học của một quá trình biến đổi (vật chất) liên tục nào đó đã (hoặc đang) xảy ra trong hiện thực khách quan.

Thông thường thì trong cách biểu diễn (hoặc ), ẩn số ở vế trái (yếu tố tiền nguyên nhân chưa xác định được) không phải chỉ có một mà có thể có nhiều hơn thế, nhưng bao giờ thì vế phải cũng vẫn chỉ là một đại lượng đóng vai trò ẩn số duy nhất (kết quả duy nhất và tất yếu). Muốn thế, nghĩa là muốn cho cách biểu diễn (hoặc ) trong trường hợp vế trái có hơn một ẩn số, vẫn thỏa mãn là sự biểu diễn một qui luật của một quá trình biến đổi liên tục nào đó, thì sự biến đổi của các ẩn số ở vế trái không thể tùy tiện mà cũng phải tuân theo những qui luật bất biến, qui định cho riêng chúng hoặc sự biến đổi của chúng phải nằm trong mối quan hệ khăng khít, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách duy nhất.

Trong toán học, cách biểu diễn tương tự như (hoặc ) được gọi là cách biểu diễn hàm số. Các ẩn số của vế trái được gọi là các “biến (số)”, ẩn số ở vế phải, vì sự thay đổi của nó là tùy thuộc vào những thay đổi ở vế trái, nên để phân biệt, người ta gọi là “hàm (số)”. Theo đó thì ở , x chính là biến số của y và y là hàm số của y. Trong tập quán, x, y, z… vẫn được dùng ký hiệu cho những ẩn số, biến số, cho nên để khỏi lẫn lộn, người ta hay dùng các ký hiệu f, f, h… để chỉ hàm số. Chẳng hạn nếu viết: thì phải hiểu rằng là hàm của biến số x. Như vậy, chúng ta có thể viết lại và :

và:                   

Vì được suy ra một cách thuần túy toán học từ  và tương tự như “quá trình ngược” trong mối quan hệ thuận nghịch với “quá trình thuận” cho nên người ta cũng gọi là hàm ngược của .

Chính Lepnit là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ “hàm”. Đối với các nhà toán học thế kỷ XVIII thì khái niệm tương quan hàm được hiểu tương đối thống nhất ở mức độ nhất định với sự tồn tại một hệ thức toán học đơn giản biểu thị chính xác mối tương quan đó. Quan niệm như thế là quá hẹp so với những yêu cầu do vật lý – toán đề ra.

Có thể thấy một biến hay cụ thể là biến số, trong quá trình biến đổi của nó sẽ cho ra nhiều “định lượng” (hay số trị) cấu thành một dãy (hay tập hợp) có “trật tự” nào đó, và được gọi là “miền biến thiên” của biến đó. Miền biến thiên của biến số có thể là hữu hạn hay vô hạn, liên tục hay không liên tục… Biểu diễn hình học của một hàm trong hệ tọa độ được gọi là “đồ thị” của hàm đó. Chẳng hạn, đồ thị của hàm trong hệ tọa độ vuông góc hai chiều là một đường thẳng.

Nội dung quan trọng bậc nhất của lý thuyết hàm là những nghiên cứu về những cặp khái niệm: liên tục – gián đoạn, vô hạn - hữu hạn và mối liên quan biện chứng giữa chúng với nhau, trong những quá trình biến đổi tự nhiên được biểu diễn dưới dạng đã “toán học hóa”. Những khái niệm đó cùng với toàn bộ lập luận toán học về chúng đã là những cơ sở kết thành nên nền tảng bền chặt của phương pháp tính toán vi – tích phân.

Một cách trực giác, thật khó lòng mà “thấy” được “cảnh tượng” của sự vô tận, nhưng rất dễ dàng cảm nhận được sự hữu hạn hay giới hạn cũng như sự liền lạc hay rời rạc, liên tục hay gián đoạn. Trong đời sống hàng ngày, khái niệm “liên tục” và “gián đoạn” đều được mọi người mặc nhiên thừa nhận như những điều hoàn toàn hiển nhiên, dễ dàng hiểu được, đến độ nếu ai hỏi: “Liên tục (hay gián đoạn) là gì?” Cho là cắc cớ, vô công rỗi nghề, bởi vì ai cũng có thể tự trả lời được: “Liên tục là không bị gián đoạn”, hay “Gián đoạn là rời lìa, là đứt đoạn, không còn liên tục nữa”.

Thế nhưng nếu hỏi rằng: “Liên tục và gián đoạn là như thế nào?”, thì suy nghĩa kỹ một chút, trả lời cho xác đáng thật không dễ chút nào. Không ai không đồng ý rằng một hồ đầy nước là một khối liền lạc, liên tục và chỉ gián đoạn ở mặt tiếp giáp của nó với xung quanh. Tuy nhiên có thể dễ dàng múc nước lên ở đó, nghĩa là khối nước đó được hợp thành từ nhiều lượng nước, từ nhiều phần tử nước, cho nên nó cũng có tính rời rạc, và xét trên góc độ này thì cũng có thể nói hồ nước là một khối gián đoạn. Tương tự, một dòng sông chảy từ đầu nguồn ra biển phải được cho là một dòng liên tục và chỉ bị gián đoạn ở đầu nguồn và cửa biển, hoặc bị gián đoạn ở đâu đó giữa dòng khi bị người ta xây đập ngăn. Thế nhưng nước chảy là hiện tượng cùng lúc, chuyển dời vị trí theo cùng một hướng của vô vàn phần tử nước trên suốt chiều dài dòng chảy, mà các phần tử nước “ở trước” vừa dời đi thì lập tức các phần tử nước “ở sau” tràn đến chiếm chỗ. Vậy thì trong một khoảng thời gian đủ nhỏ (thời điểm) sao cho các phần tử nước được thấy như đứng yên, dòng sông đó không thể được coi là một thực thể liên tục. Thêm ví dụ nữa, một bãi mênh mông toàn cát (ngoài cát ra không còn cái gì cả, sa mạc chẳng hạn) là có tính liên tục hay gián đoạn? Nếu quan sát từ xa (từ trên máy bay chẳng hạn), khi mà mắt không thể phân biệt được các hạt cát với nhau, thì nếu chỉ dựa vào quan sát đó thôi. Không thể không thừa nhận đó là một miền cát liên tục. nhưng nếu đứng ngay trên bãi cát mênh mông mà quan sát thì thấy rõ ràng nó là một miền tập hợp những hạt cát rời rạc, và như vậy, nếu chỉ dựa vào quan sát này thôi thì phải cho rằng bãi cát mênh mông là có tính gián đoạn. Có thể nói như thế này được không: bãi cát mênh mông, vì “toàn cát là cát” nên nó có tính liên tục, vì được tạo nên từ sự tập hợp những hạt cá nên nó cũng có tính gián đoạn, và tùy vào cự ly quan sát mà thấy nó liên tục hay gián đoạn và đều đúng với mỗi quan sát? Có thể lắm! Và chúng ta nói thêm rằng, chính cái bản chất nước đôi của Tự nhiên Tồn tại đã làm cho mọi sự vật - hiện tượng đều đồng thời có tính liên tục và gián đoạn, tùy vào quan sát mà được thể hiện ra ở góc độ này là gián đoạn, ở góc độ kia là liên tục. 

Liên tục và gián đoạn là hai biểu hiện của một thực tại thống nhất. Chúng là hai mặt của một mối quan hệ tương phản và biện chứng, là tiền đề tồn tại của nhau, “giúp” nhau tồn tại cùng chuyển hóa lẫn nhau thông qua sự vận động vật chất và đồng thời cũng làm cho vận động vật chất có khả năng. Lịch sử tồn tại của loài người từ khởi thủy đến nay là một quá trình liên tục, được hợp thành từ vô vàn các quá trình gián đoạn đan xen chằng chịt, kế tục nhau, kết thúc và mở đầu bằng hàng loạt biến cố, xảy ra trong không gian và thời gian. 

Tùy thuộc vào nội dung và phạm vi nghiên cứu mà có thể nhấn mạnh hay quan tâm chủ yếu đến mặt gián đoạn hay liên tục của quá trình ấy. Tuy nhiên, phải cho rằng quá trình ấy luôn biểu hiện đồng thời cả hai thuộc tính gián đoạn và liên tục. Một cách tương đối thì có thể qui ước, đối với một sự vật - hiện tượng hay một quá trình vận động, khi hệ quan sát không phát hiện được hoặc “phớt lờ” sự rời rạc, sự khác biệt trong nội tại của nó, coi như nó đồng nhất, không “ngắt” được, không phân chia được thì phải cho rằng nó liền lạc, liên tục trong toàn miền hay khoảng tồn tại của nó, bằng không, ngược lại phải gọi là không liên tục, nghĩa là phải rời rạc, gián đoán. Còn một cách tuyệt đối thì phải quan niệm rằng, Không Gian phải liền lạc và liên tục đến tuyệt cùng để không thể xuất hiện Hư Vô, đồng thời phải rời rạc và gián đoạn đến “chân tơ kẽ tóc” để đảm bảo Tồn Tại.

Thế thì toán học quan niệm như thế nào về tính liên tục và gián đoạn trong nhận thức đặc thù của nó?

Có thể định nghĩa, hàm là qui luật của một quá trình vận động tự nhiên nào đó đã được toán học hóa: Thông qua hàm mà có thể biểu diễn hình học quá trình đó bằng đồ thị. Có thể thấy ở đồ thị biểu tượng trực quan về tính liên tục hay gián đoạn của một quá trình để từ đó toán học đi đến định nghĩa chặt chẽ về những tính chất ấy.

Chúng ta biết rằng đồ thị của hàm là một đường thẳng. Đường thẳng chính là một biểu tượng trực quan của tính liên tục, bởi vì không hề quan sát thấy nó “đứt đoạn” ở bất cứ đâu cả và nếu có gián đoạn thì may ra là ở vô tận vì ở đó quan sát không “với tới” được nên cũng không xác định được. Hơn nữa, không thể không quan niệm đường thẳng là tập hợp nối tiếp nhau của các điểm, nhưng theo Ơclit thì “điểm là cái không có bộ phận”, do đó không thể “lấy” bất cứ điểm nào ra khỏi đường thẳng đó được, nghĩa là đường thẳng phải liên tục và không thể tùy tiện làm cho gián đoạn một khi nó đã hiện hữu.

Từ trực quan về tính liên tục của đường thẳng, có thể mô tả sự liên tục của một đường cong và từ đó mà cho rằng, một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó là một đường cong trơn tru không “đứt đoạn” ở đâu cả.

“Điểm là cái không có bộ phận” là một quan niệm không thể hình dung được. Đường thẳng hình thành nên từ tập hợp của những cái Hư Vô rõ ràng là điều phi lý. Nhưng nếu điểm có nội tại thì lại cũng thật là bất ổn vì đường thẳng lúc này sẽ chỉ được thấy như sự “tiếp giáp” nối tiếp nhau liên tục một cách thứ tự giữa điểm này với điểm kia của vô vàn điểm chứ không thể được thấy liên tục một cách “dứt khoát” được, nghĩa là nó cũng có tính gián đoạn. Để loại bỏ sự thể hiện “hai mang” của đường thẳng, chỉ chấp nhận mặt biểu hiện liên tục của nó và đồng thời vẫn thừa nhận điểm phải có nội tại, thì chúng ta chỉ còn một cách cho rằng, điểm là có thực nhưng không nhìn thấy được nên cũng không phân biệt được giữa chúng với nhau, do đó, đường là trơn tru, liên tục. Còn các nhà toán học, để gỡ bỏ thế bí, cũng phải đi đến quan niệm mới về điểm, hơi khác với chúng ta. họ cho rằng điểm là nhỏ vô cùng, có thể tùy ý cho nó nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là khác 0. Trên cơ sở quan niệm này, toán học đã xây dựng nên khái niệm về sự liên tục và giới hạn của hàm số.

Giả sử trên đồ thị của hàm cho trước một điểm A (xem hình 1/a). Hỏi rằng, tại điểm đó đồ thị của hàm có liên tục hay không? Hỏi như thế thì cũng đồng nghĩa với việc hỏi rằng tại “điểm” x₁, hàm f(x) có liên tục hay không?

Hình 1: Sự liên tục của hàm số

Toán học chỉ ra rằng, muốn biết hàm f(x) có liên tục tại điểm x₁ hay không, chúng ta phải cho biến số x tiến dần liên tục đến giá trị x₁ của nó, lần lượt từ hai phía “bên phải” lẫn “bên trái”. “Tiến dần liên tục đến X₁” có nghĩa là như thế nào? Giá trị của x₁ (hay X) được thấy trên hình 1/a chính là khoảng cách từ điểm x₁ (hay x) đến gốc O. Do đó khoảng cách từ x đến x₁ ở cả hai phía trái, phải đều có thể được xác định bằng . Khi x tiến tới x₁ thì khoảng cách tiến tới O (ký hiệu ). Vì điểm được quan niệm là nhỏ bao nhiêu cũng được miễn khác 0 nên để tiến tới x₁, biến số x lần lượt và theo trình tự nhận mọi giá trị có thể có, tồn tại giữa x và x₁. (Số lượng các giá trị ấy là bao nhiêu? Phải là vô hạn rồi! Nếu thế thì làm sao có thể đi được đến đích của cuộc khảo sát được?... Nhưng thôi, đó là vấn đề riêng của Zénon và của toán học. Hãy để cho “họ” tự giải quyết. Còn chúng ta bỏ qua kẻo… hết thời gian!). Tương ứng với các giá trị của biến số x khi nó tiến về x₁ là các giá trị của hàm số f(x), nghĩa là cũng tồn tại quá trình tiến dần tới giới hạn từ hai phía. Khi x tiến tới x₁ và đạt đến giá trị x = x₁ từ hai phía và hai quá trình tiến tới giới hạn cũng đạt đến giới hạn mà giới hạn của chúng là đồng nhất (có cùng giá trị f(x) bằng f(x₁)) thì chúng ta nói rằng hàm f(x) liên tục tại “điểm” x₁. Nếu điều này xảy ra tại mọi điểm thuộc một khoảng nào đó thì hàm là liên tục trong khoảng cũng được thấy liên tục tại điểm A. Do tính thuần nhất của đường thẳng và điểm A có thể chọn bất kỳ nên đường thẳng là liên tục trên suốt chiều dài của nó.

Có một cách viết như thế này:

              

Đó có phải là biểu diễn một hàm số? Theo định nghĩa thì đúng là như thế. Tuy nhiên phải quan niệm rằng đó là một hàm không biến đổi hay hằng số vì dù cho biến số có biến đổi thế nào thì f(x) cũng luôn bằng 1 (xem hình 1/b). Hơn nữa, giữa biến số và hàm rõ ràng là không có mối quan hệ nhân - quả cho nên hàm đó cũng không phải là sự biểu diễn qui luật của một quá trình thực sự nào. Vậy, đó là một hàm có tính hình thức, giả tạo. Điều lạ lùng là khi x = 0 thì hàm f(x) bằng bao nhiêu và ở tại đó nó nó liên tục hay không khi nó được thấy liên tục ở mọi điểm khác (điểm B chẳng hạn)?

Muốn trả lời thỏa đáng câu hỏi đó thì phải nhờ đến quan niệm triết học. Vì là bất định. Nhưng bất định không có nghĩa là Hư Vô mà là phép chia của hai đại lượng tồn tại nhưng không xác định được (do chìm khuất, không thấy được chẳng hạn). Tuy nhiên trong trường hợp cụ thể này, vì nó xuất phát từ thể tổng quát  nên chắc chắn là hai đại lượng đó dù thế nào chăng nữa thì cũng phải bằng nhau. Suy ra, trong trường hợp cụ thể này, phải có:

              

và như vậy: f(0) = 1

Hoặc cũng có thể trả lời cách khác. Đường thẳng có chứa điểm B trên hình 1/b là một tồn tại khách quan có trước. Nó vốn dễ liên tục và được thấy như một hiện tượng bất biến. Tuy nhiên, không thể xác định và khảo sát nó được trong không gian nếu hệ quan sát không chọn cho mình một hệ tọa độ. Do cách chọn tọa độ như ở hình 1/b (đường thẳng chứa B song song với trục x và cắt trục f(x) tại 1) và với qui ước là không có nghĩa cho nên mới gây ra những rắc rối “không đáng có”. Để tránh những “phiền toái” phát sinh từ sự chủ quan đó, hoặc là phải “mở rộng” qui ước cho trường hợp đặc biệt này là , hoặc phải lựa chọn hệ tọa độ mới để không xuất hiện .

Khi bàn luận về sự liên tục của một hàm số, chúng ta có sử dụng thuật ngữ “giới hạn” và “tiến tới dần giới hạn”. Có thể hiểu được ý nghĩa của những thuật ngữ ấy một cách trực quan. Tuy nhiên tiêu chí của lập luận toán học là phải tỏ tường, chính xác cho nên các nhà toán học đã không bằng lòng với cách hiểu như vậy, và đã bỏ công sức để xây dựng một cách hoàn chỉnh và chặt chẽ khái niệm toán học về “giới hạn” cũng như “tiến dần tới giáo hạn”.

Trong thực tế, biên giới chính là giới hạn về lãnh thổ (và lãnh hải) của một quốc gia. Giới hạn đó là do nhân tạo và có tính qui ước thuần túy. Cũng có những giới hạn do thiên tạo, được thừa nhận một cách tự nhiên, chẳng hạn như bờ biển là giới hạn của biển và đồng thời cũng là giới hạn của lục địa. Khi chúng ta hói hàm số f(x) tiến dần tới f(x₁) khi cho x tiến dần tới x₁ (và không được vượt qua x₁), thì f(x₁) chính là giới hạn qui ước của hàm f(x). Tuy nhiên trong nghiên cứu toán học, người ta còn thấy rất nhiều hiện tượng xuất hiện giới hạn một cách hoàn toàn tự nhiên, do từ thân sự tiến triển của một “sự vật”, một quá trình, biểu hiện ra chứ không phải do bất kỳ một sự “cố ý” qui ước nào cả. Toán học chủ yếu bàn về giới hạn loại này. Có thể nói lý thuyết giới hạn mà toán học đã xây dựng được đúng là một cuộc cách mạng trong nhận thức của con người về mối quan hệ giữa hữu hạn và vô hạn, giữa gián đoạn và liên tục biểu hiện ra trong các quá trình biến hóa của Tự Nhiên. Tuy nhiên, theo ý kiến riêng của chúng ta, thì vì vẫn dựa trên quan điểm có nền tảng trực quan trong thế giới vĩ mô để nhìn nhận thế giới vi mô, nền toán học vẫn còn những nhận định bất cập, những kết luận chưa thỏa đáng, thậm chí là gây mâu thuẫn nội tại về vấn đề giới hạn và ứng dụng nó.

Dãy số là gì thì chúng ta biết rồi! Dãy số là tập hợp các số nào đó hay qui luật nào đó . Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, số sau lớn hơn số trước một đơn vị, là một dãy số. Hay chẳng hạn có số vô tỷ: 3,1415926… Nếu bỏ dấu phẩy đi (hay thêm dấu phẩy?), tách nó ra thành những số đơn, thì chúng ta cũng có được một dãy số là:

               3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6…

với nguyên tắc là nếu bỏ các dấu phẩy sau số 1 đi thì dãy số đó chính là số

Dãy số hợp thành số đã chi ra rằng, dù chúng ta có tùy tiện viết ra bất cứ một tập hợp số đơn tự nhiên “đứng” kế tiếp nhau nào, thì đó vẫn là dãy số, vì bất cứ số vô tỷ nào cũng phải có một công thức tính ra nó (dù chúng ta có thể chưa khám phá ra được!), hoặc cũng có thể nói là theo nguyên tắc: tùy thích.

Nếu chúng ta qui ước “n” là cách viết tổng quát của số thì chúng ta cũng viết được một tỷ số tổng quát là . Tập hợp các tỷ số đó lại theo một cách thức nào đó thì ta sẽ có được một dãy số và có thể biểu diễn:

với m là số thứ tự, n là số thực.

Khi n là biểu diễn một số thực thì chúng ta sẽ gặp phải khó khăn cực kỳ to lớn trong nhận thức, thậm chí là không thể nhận thức được quan niệm của toán học về tính liên tục và hiện tượng giới hạn, do xuất hiện các số thập phân vô tận. Không biết toán học có thấy được sự “nguy hiểm” đó không, nhưng chắc rằng để tránh những rườm rà, phức tạp không cần thiết, toán học vẫn thường qui ước n là biểu diễn tổng quát của số tự nhiên.

Khi n là số tự nhiên và dãy số  được sắp xếp theo thứ tự số n từ nhỏ tới lớn, thì chúng ta có:

Rõ ràng là được sắp xếp một cách có nguyên tắc là sau kế tiếp số hạng phải là số chứ không phải bất cứ số nào khác. Hay có thể nói là dãy kết quả của một quá trình mà trong đó n phát triển một cách liên tục (không gián đoạn) từ nhỏ tới lớn. Không thể không cho rằng quá trình đó có tính tất yếu, nghĩa là có qui luật, và qui luật đó được xác định trong sự biểu diễn tổng quát của dãy số, mà ở đây là:

Như vậy, khi một dãy số biểu diễn được dưới dạng tổng quát nào đó mà dạng tổng quát này đồng thời cũng thể hiện qui luật phát triển của bản thân dãy số, thì đó cũng chính là một hàm số.

Khi cho n tăng liên tục và mãi tớn vô hạn () thì , một cách tất yếu và phải giảm liên tục và dần tới 0 (). Toán học nói: dãy số n có giới hạn 0 khi n tăng vô hạn. Biết rằng nhận xét như vậy vẫn còn mang cảm tính trực quan, nghĩa là chưa đủ chặt chẽ. Vì hiển nhiên là không thể lớn hơn 0 được nhưng chắc gì 0 là giới hạn “thực sự” của dãy , cho nên toán học đã phải tìm cách lập luận sao cho “không thể chối cãi” được. Trước hết, toán học cho rằng nếu đã có số n thì luôn có số n+1, và như thế mà n có thể tăng vô hạn, lớn đến bao nhiêu cũng được, dẫn đến tương ứng phải có một số nhỏ bao nhiêu cũng được (nhưng không thể bằng 0!). Tiếp theo, toán học giả sử rằng nếu ở “gần” (hay lân cận) số 0 có một số cho trước tùy ý nào đó, “nhỏ bao nhiêu cũng được”, gọi là (épxilon) và:

thì bao giờ cũng chọn được một số để cho . Đến đây, toán học kết luận rằng nếu luôn luôn thực hiện được thì 0 chính là giới hạn của dãy số . Hay có thể phát biểu một cách tổng quát: khi số a là giới hạn của dãy số nào đó thì với bất kỳ số dương “nhỏ bao nhiêu cũng được” nào làm tồn tại số N, bao giờ cũng có: đối với mọi số tự nhiên , đều cho . Sự kiện có giới hạn a được biểu diễn như sau:

hoặc:   

Toán học qui ước thêm: một dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ; một dãy số không hội tụ được gọi là dãy số phân kỳ. Với quan niệm số 0 là hữu hạn thì dãy là một dãy hội tụ. Mặt khác, có thể hiểu dãy phân kỳ là dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn. Một trong những dãy số tiến dần đến vô hạn đơn giản nhất là dãy số:

với n là số tự nhiên

Dễ dàng thấy rằng, với bất kỳ một số N khác 0 và “lớn đến bao nhiêu cũng được” nào, bao giờ cũng tồn tại: với mọi số , luôn có (mà trong trường hợp này, ). Nghĩa là:

hay:     

Cách viết thứ hai ít được sử dụng vì toán học cho rằng nó có tính hình thức đơn thuần và dễ gây ngộ nhận. Theo quan niệm của toán học thì  không phải là một số mà chỉ là một ký hiệu diễn tả tình trạng hay mức vô hạn độ có thể đạt tới của một quá trình tăng trưởng nào đó. Một sự tăng trưởng có khả năng đạt đến mức vô hạn độ thì cũng có nghĩa khả năng của sự tăng trưởng đó là không có giới hạn. Giới hạn của một cái gì đó, được hình dung như một giới tuyến, một mức độ… đã được hạn định một cách tự nhiên hoặc theo qui ước mà cái đó không thể vượt qua (và thậm chí bản thân giới tuyến, mức độ… hoạch định không thuộc phạm vi của cái đó thì cái đó cũng không thể đạt tới). Sự “không thể vượt qua” phải được hiểu theo hai nghĩa là: cái đó, tự thân nó không thể vượt qua được giới hạn dù có cho phép (xóa bỏ qui ước), và ngược lại, nó hoàn toàn có khả năng vượt qua được nhưng không thể vượt qua khi bị sự qui ước ràng buộc, không cho phép. Hình dung như thế dẫn chúng ta đến nhận định rằng, “có giới hạn” và “không có giới hạn” là hai khái niệm lập nên một mối quan hệ tương phản giữa chúng với nhau; có thể chuyển hóa nhau, là tiền đề tồn tại của nhau, nghĩa là nếu không có khái niệm này thì cũng không thể có khái niệm kia và ngược lại. Cặp khái niệm có giới hạn – không có giới hạn là có nghĩa tương đương với cặp khái niệm hữu hạn – vô hạn. Đặc trưng của hữu hạn là tính xác định được của nó và đặc trưng của vô hạn là tính không xác định được của nó. Do vậy dù chúng nằm trong một mối quan hệ thống nhất biện chứng, dù có thể trong hữu hạn, thì chúng cũng không bao giờ đồng nhất với nhau được nếu còn muốn mối quan hệ đó tồn tại. Khi toán học đưa ra khái niệm “giới hạn vô hạn” thì coi như toán học đã đồng nhất sự hữu hạn và vô hạn với nhau: hữu hạn đã mở rộng thành vô hạn và vô hạn bị giới hạn thành hữu hạn. Thật khó mà nhận thức được một quan niệm như thế, nhưng toán học “buộc phải” đạt đến quan niệm như thế bởi vì Tự Nhiên là như thế. Thực ra những cặp khái niệm đại loại như: cao - thấp, gần – xa, ở đây - ở kia, trong – ngoài, hữu hạn – vô hạn… chỉ nảy sinh trong nhận thức của một hệ quan sát trước hiện thực khách quan “của nó”, chứ trong hiện thực khách quan tuyệt đối (thực tại khách quan chưa thông qua hệ quan sát), chúng không hề tồn tại. Đấng Tạo Hóa thiêng liêng không bao giờ quan tâm tới Vũ Trụ này là hữu hạn hay vô hạn, bởi vì nó hoàn toàn không cần thiết và hơn nữa, quang cảnh bày ra trước mắt Ngài chẳng biểu hiện gì về mối quan hệ hữu hạn – vô hạn. Nếu chúng ta có hỏi Ngài về điều đó thì chắc rằng Ngài sẽ uể oải ngáp và nói: “Lũ oắt con! Chúng mày muốn nói thế nào tùy thích, nói Vũ Trụ là hữu hạn cũng được mà vô hạn cũng xong, đồng thời là cả hai cũng đúng mà không phải cả hai cũng chả sao… Thôi! Biến đi chỗ khác để cho Ông còn ngủ!”.
(Còn tiếp)
-----------------------------------------------------------------