Thứ Ba, 10 tháng 8, 2021

TT&HĐ IV - 37/d

                                                 Bí quyết giải hình học không gian cổ điển


PHẦN IV:     BÁU VẬT 
"Dọc đường lịch sử nhân loại, có rất nhiều báu vật bị người đời, vô tình hay hữu ý, lỡ bỏ đi, lỡ đánh rơi, đã chìm trong quên lãng. Kẻ nào muốn có ngọc , chỉ cần dò tìm lại chúng, nhặt lên, đánh bóng..." 
 NTT 
 
“Sách là nguồn của cải quý báu của thế giới và là di sản xứng đáng của các thế hệ và các quốc gia.” 

“Khi họ đốt sách thì chính là họ cũng đang đốt cả loài người.” 
“Dẫu có bạc vàng trăm vạn lạng.
Chẳng bằng kinh sử một vài pho.”
  
“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên dáng ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG V (XXXVII): KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.
A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.
J. Keple

“Euclid viết sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC ở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên. Đây là thời kỳ Hellenistic của triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại đã lan tỏa tới những vùng đất chịu ảnh hưởng của văn hóa Hy lạp mà tiêu biểu là thành Alexandria bên bờ Phi của Địa Trung Hải. Nét chung của triết học thời kỳ Hellenistic, phần nào thể hiện trong sách CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC, là tư duy đã đạt đến mức tinh túy, nhưng có lẽ đã mất đi tính bay bổng của thời kỳ trước Socrates và sức mạnh tư duy của Plato, Socrates.
...Theo một nghĩa nào đó, CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC là quyển sách thuần túy toán học đầu tiên của nhân loại và là tờ giấy khai sinh ra toán học như một bộ môn độc lập, tuy vẫn còn là một bộ phận của triết học. Cách Euclid xây dựng một hệ thống kiến thức cao vút dựa trên số ít tiên đề nền và lấy luật logic làm chất gắn kết, đã là hình mẫu cho sự phát triển của toán học đến ngày nay"

Ngô Bảo Châu

 

 

(Tiếp theo)


Kể thêm rằng, nghe đâu sau đó chừng 6, 7 năm thì qui hoạch tổng thể phố thị ra đời. Vì con đường OA trở thành một trong những trục chính ở trung tâm nội thị nên xe tải nặng sẽ bị cấm lưu thông qua đó. Hơn nữa do phố thị bị biến dạng ghê gớm bởi sự bành trướng của nó nên khi ấy khu công nghiệp A sẽ không còn ở nơi “đắc địa” nữa. Qui hoạch tổng thể cho thấy ở C sẽ mọc lên một khu công nghiệp đồ sộ gấp mấy lần khu công nghiệp A, còn ở A sẽ được phá - xây thành khu phố thị mới với hàng loạt chung cư cao tầng.
Nếu thành lập khu công nghiệp ở C, tất nhiên phải làm đại lộ BC. Việc này được nêu rõ trong dự án. Tuy nhiên có điều lạ là trong đó vẫn không đề cập đến thi công con đường OC, một việc làm cũng tất yếu phải có như kinh nghiệm khi phá - xây khu D đã chỉ ra. Thế là ông dự toán “buộc phải” tính chi phí vận chuyển theo lộ trình OB’C.
Chúng ta hãy mường tượng cảnh ông “chủ” cười hềnh hệch trước sự cố tình “thiếu hiểu biết” của ông dự án, trước sự “lờ tịt” của ông dự toán, đồng thời biết rằng ông lại phải trình bày luận chứng để cho ra đời con đường OC một cách “hơi muộn” một chút, nhưng lần trình bày này không phải là theo sáng kiến của ông mà theo sự “gửi gắm” của người khác.
Câu chuyện điển hình về tham nhũng theo tưởng tượng của chúng ta là như vậy. Nhìn lại, có thể thấy trong khi kể chuyện, chúng ta đã “vô tình” phát hiện ra được cái lực lượng Không Gian không biết “bốc hơi” đâu mất khi nhân hai véctơ khác phương chiều với nhau, hóa ra đó chính là lượng mà ông “chủ” đã “hốt” được nhờ quyền mưu tuyệt luân của mình.
Đến đây, rốt cuộc, chúng ta đã có thể kết luận: một lực lượng Không Gian có tính phương chiều trong mặt phẳng, trong suốt quá trình tồn tại của nó, luôn bảo toàn. Trong trường hợp cụ thể ở đây, có thể biểu diễn:
                 
Vì không đổi nên cũng không đổi. Hơn nữa, phải cho rằng đó cũng là một lực lượng Không Gian trong mặt phẳng và là một thành phần của lực lượng diện tích . Như trong câu chuyện về tham nhũng cho thấy thì có thể biểu diễn:
                 
Với  là góc lập bởi hai véctơ đó.
Biết rằng:
                 
                 
Nên cũng có thể viết:
                 
Đến đây, chúng ta lại “tuyên bố”: tích của hai véctơ là một lực lượng diện tích gồm hai thành phần. Trong đó một thành phần gọi là tích vô hướng của các véctơ, còn thành phần kia được tạm gọi là “lượng còn tồn đọng” của tích hai véctơ đó. Tùy thuộc vào sự biến đổi của mà hai thành phần đó có thể chuyển hóa qua lại nhau sao cho tổng lực lượng diện tích luôn bảo toàn.
Biểu thức j gây cho chúng ta một ấn tượng rất mạnh về mặt vật lý. Nếu coi vế trái là lực lượng toàn phần của một vật chuyển động, thành phần đầu của vế phải là biểu hiện lực lượng chuyển động (động năng, động lượng) của nó và có tính nổi trội (quan sát được). Còn thành phần sau của vế phải có tính lặn, chìm khuất (không hoặc khó quan sát thấy), được gọi là lực lượng nội tại của vật chuyển động, thì chúng ta sẽ dễ dàng liên tưởng đến biểu thức tuyệt mỹ và cốt lõi nhất của vật lý là:
                 
Qua biểu thức:
                 
chúng ta còn thấy:
          

Đó chính là diện tích tam giác vuông OBC
     
Nghĩa là lúc này BD nằm trên đường thẳng c và biến thành BC, và diện tích OBCC’ là diện tích cực đại mà hai véctơ và có thể tích hợp nên được (và gọi là sự tích hợp hoàn toàn của hai véctơ).
Theo định lý Pitago thì:
                 
Cho nên còn có thể được viết thành:
                 
Chúng ta thấy cần phải nói thêm về trường hợp tổng của hai đoạn thẳng cùng một đường thẳng: có OB và BA thì:
                 
Nghĩa là: tổng của hai đoạn thẳng trên a bằng một đoạn thẳng cũng trên a.
Chúng ta bình phương 2 vế:
                 
Hành động như thế, vô tình, chúng ta đã làm cho các độ dài không còn mang tính khoảng cách đơn thuần nữa mà còn mang cả tính diện tích, thậm chí, đúng hơn là phải coi kết quả sau khi bình phương thực thụ là những diện tích (ký hiệu là S).
Triển khai biểu thức trên, chúng ta được:
                 
Có thể coi:
    
Và viết:
Tuy nhiên theo định lý Pitago thì:
Cho nên:
Cuối cùng:
Vậy: tổng diện tích của hai hình vuông nguyên (tự nhiên) luôn có kết quả là một hình vuông. Hình vuông này có thể là nguyên (tự nhiên) hoặc không nguyên so với hai hình vuông kia (nhưng đối với bản thân nó thì vẫn nguyên). Tổng quát hơn, có thể phát biểu: tuân theo Định lý lớn Fecma khi n = 2, tổng diện tích của hai hình vuông bao giờ cũng bằng hình vuông thứ ba. Ba hình vuông ấy có thể là nguyên hay không nguyên đối với nhau (nhưng hoàn toàn xác định được trong Vũ trụ hình học).
Lập luận tương tự, chúng ta cũng có tổng của hai thể tích (ký hiệu thể tích là V) và tổng quát hơn là tổng của hai độ dài lũy thừa bậc n. Cũng theo Định lý lớn Fecma thì tổng của hai thể tích nguyên, hay của hai độ dài lũy thừa bậc n bao giờ cũng có kết quả là hình khối không nguyên (nhưng vẫn luôn xác định một cách dứt khoát trong không gian hình học).
Hiện tượng vừa nguyên vừa không nguyên trong Vũ trụ hình học có thể là một gợi ý quan trọng cho chúng ta trong việc nhận thức số vô tỷ và bản chất của các hằng số vật lý.
Có một hiện tượng hình học mà trong khi tìm hiểu mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, người ta đã phát hiện được từ rất sớm, vào thời toán học chỉ mới đi được những bước chập chững đầu tiên, và được gọi là hiện tượng “tích trung bằng tích ngoại”. Hiện tượng “tích trung bằng tích ngoại” là một trong vài hiện tượng nổi tiếng nhất của toán học qua mọi thời đại và kết quả của nó là một con số cũng lẫy lừng không kém với danh xưng là “Tỷ lệ vàng”.
Giả sử chúng ta có một đoạn thẳng bất kỳ OA trên hình 2 (do đó nó không bằng 7 nữa). Trên đoạn thẳng đó có sẵn một điểm B phân chia đoạn thẳng OA thành hai đoạn thẳng thành phần là OB và BA. Bây giờ chúng ta “xê dịch” điểm B trên đoạn thẳng OA sao cho:
Đây chính là hiện tượng tích trung tỷ bằng tích ngoại tỷ ( tỷ lệ bên trong bằng tỷ lệ bên ngoài). Vào năm 300 TCN, Ơclít đã định nghĩa khái niệm này và lưu lại trong bộ “Cơ sở” của ông.
Cho BA = 1 và gọi OB là x thì ta có thể viết tích trung bằng tích ngoại là:
Từ đó, chúng ta sẽ có phương trình bậc hai:
Giải ra ta được nghiệm của nó là:
Người ta loại bỏ nghiệm vì cho là không hợp lệ (không thể có đoạn thẳng âm). (Còn chúng ta cho rằng cũng tồn tại vì nó thỏa mãn phương trình và trong thế giới tương phản âm - dương, đồng phương thì véctơ âm xuất hiện là điều hiển nhiên).
Toán học gọi là số Tỷ lệ vàng vì vai trò quan trọng của nó trong Vũ trụ hình học và tôn thờ nó bởi những biểu hiện đặc biệt kỳ lạ của nó trong toán học cũng như trong thiên nhiên. Người ta thường ký hiệu Tỷ lệ vàng là , và gọi là “số phi”. Với ký hiệu , chúng ta có thể diễn tả lại hiện tượng tích trung bằng tích ngoại như sau:
Ngay lập tức và hết sức trực quan, chúng ta đã thấy những biểu hiện kỳ thú của Tỷ lệ vàng:
- là một đoạn thẳng vô tỷ.
- Một hình vuông có cạnh là  thì lấy cộng với 1 sẽ cho ra diện tích của nó.
- Bình phương của  là số vô tỷ: 2,6180339887…, có phần thập phân giống hệt của và cũng giống hệt phần thập phân của nghiệm âm () của phương trình .
- Bình phương của đem trừ đi 1 sẽ bằng chính nó và nếu tiếp tục đem nó trừ cho 1 thì sẽ bằng trị số (bỏ dấu trừ) của . Trị số này chính là nghịch đảo của .
Những biểu hiện lạ lùng của Tỷ lệ vàng không phải chỉ có thế. Chúng ta đã từng nghe một số người kể về câu chuyện ly kỳ của Tỷ lệ vàng trong lịch sử toán học và bây giờ xin kể lại một cách tóm lược, dựa chủ yếu theo lời kể của Nguyễn Minh Hoàng (biên dịch) qua cuốn “Tỷ lệ vàng”.
***
Trong thư văn toán học chuyên môn, ký hiệu thông thường của Tỷ lệ vàng là Ç (đọc là “tau”, tiếng Hi Lạp có nghĩa là “nhát cắt”, “chia cắt”). Tuy nhiên, vào đầu thế kỷ XX, nhà toán học Mark Barr, người Mỹ, đặt cho tỷ lệ ấy ký hiệu (đọc là “phi”), là chữ đầu của Phidias, tên nhà điêu khắc đại tài của Hi Lạp cổ đại, sống vào khoảng 490-430 TCN. Nhiều nhà nghiên cứu lịch sử mỹ thuật cho rằng Phidias sử dụng Tỷ lệ vàng một cách thường xuyên và tỉ mỉ. Tỷ lệ vàng còn có những tên gọi khác nhau là: Sự chia cắt hoàng kim, Con số vàng, Số phi, Tỷ lệ thần thánh…

Kết quả hình ảnh cho Phidias
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Phidias
Nhà điêu khắc
Phidias hoặc Pheidias là một nhà điêu khắc, họa sĩ và kiến trúc sư người Hy Lạp cổ đại. Tượng thần Zeus ở Olympia của ông là một trong Bảy kỳ quan thế giới cổ đại. Wikipedia
Sinh: 480 Trước CN, Athens, Hy Lạp
Mất: 430 Trước CN, Athens, Hy Lạp
Giai đoạn phát triển: Nghệ thuật Hy Lạp cổ
Sêri: Elgin Marbles
Các kiến trúc: Đền Parthenon, Tượng thần Zeus ở
Nhiều bộ óc toán học trong hàng ngũ những nhà toán học xuất sắc nhất mọi thời đại, từ Pitago, Ơclít ở Hi Lạp cổ đại, rồi nhà toán học Leonardo người Ý ở Pisa, nhà toán học kiêm thiên văn học Johannes Kepler thời Phục Hưng, đến những gương mặt vừa qua như nhà vật lý Roger Penrose tại Đại học Oxford, đều đã bỏ nhiều công sức để nghiên cứu Tỷ lệ vàng. Không chỉ có thế, Tỷ lệ vàng còn có sức hấp dẫn mãnh liệt đối với cả những nhà sinh vật học, họa sĩ, nhạc sĩ, kiến trúc sư… Có thể nói Tỷ lệ vàng xuất hiện ở khắp nơi, mọi thời và là nguồn cảm hứng suy tư cho biết bao nhiêu con người hoạt động khoa học cũng như nghệ thuật, thậm chí là cả những nhà thần học. Khó có con số nào lại được quan tâm, chú ý rộng rãi đến như thế trong lịch sử toán học…
Tỷ lệ vàng hấp dẫn đến thế có lẽ vì trước hết và trên hết, nó xuất hiện một cách kỳ lạ ở những nơi thâm thúy nhất, ít người ngờ tới. Chẳng hạn, thoạt nhìn thì ngôi sao 5 cánh không có gì liên quan tới Tỷ lệ vàng cả, nhưng thực ra mỗi một tam giác cân ở mỗi góc của ngôi sao lại có tính chất là: cạnh dài chia cho cạnh ngắn (thường gọi là cạnh đáy) chính xác bằng .
Sir Roger Penrose
Roger Penrose, 2005
Sinh 8 tháng 8, 1931 (86 tuổi)
Colchester, Essex, Anh
Nơi cư trú Anh
Canada (trong Thế chiến II)
Tôn giáo chủ nghĩa duy vật Platonist with no doctrinal stance
Ngành Vật lý toán
Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng chính những thành viên của hội phái Pitago là những người đầu tiên khám phá ra Tỷ lệ vàng và từ đó mà cũng phát hiện ra tính vô ước. Tuy nhiên trước đó, nền toán học cổ Ai Cập và Babylon đã có những thành tựu đáng kết và trước khi sáng lập trường phái của mình, Pitago đã từng chu du thiên hạ và học hỏi được nhiều tri thức toán học ở đó. Cho nên cũng có nhiều nhà nghiên cứu đặt nghi vấn: biết đâu các nền văn minh đó hoặc vài nền văn minh khác đã khám phá ra Tỷ lệ vàng trước cả hội phái Pitago?
Theo các nhà khảo cứu thì hình sao 5 cánh được xuất hiện sớm nhất là ở vùng Lưỡng Hà vào thiên niên kỷ IV TCN. Giới khảo cổ học đã khai quật được những dạng thể hình sao 5 cánh tại Uruk (cũng là nơi khai quật được chữ viết cổ Ai Cập lâu đời nhất), và ở Jemder Nasr. Hình sao 5 cánh được vẽ trên đất sét có niên đại 3200 TCN, và người ta cũng phát hiện được nhiều hình sao 5 cánh khác được vẽ trên một chiếc bình của thời kỳ đó. Nhiều địa phương khác ở Trung Đông cũng khảo cổ được những cổ vật có lưu dấu hình sao 5 cánh. Chẳng hạn một bàn nạo bằng đá lửa thuộc thời kỳ 4500-3100 TCN, trên có khắc hình sao 5 cánh được tìm thấy ở Israel.
Mặc dù hình sao 5 cánh được thấy khá nhiều trên các đồ dùng Ai Cập cổ đại, song những đường nét thực sự sắc sảo, có tính hình học thì lại hiếm thấy. Câu hỏi bật ra là: các nhà thông thái thời cổ Ai Cập đã có ý thức về sự hiện diện của Tỷ lệ vàng trong hình sao 5 cánh chưa?
Không ít người đã trả lời khẳng định và cũng đã cố gắng trưng ra những lập luận lẫn bằng chứng để thuyết phục.
Osirion là một ngôi đền được xem là đài tưởng niệm vua Seti I, từng trị vì Ai Cập khoảng năm 1300 đến 1290 TCN. Người ta phát hiện ngôi đền vào năm 1901, và công cuộc khai quật được tiến hành đến năm 1927 mới kết thúc. Năm 1982, Robert Lawlor gợi ý rằng hình học trong cấu trúc của đền Osirion là chiếu theo tỷ lệ của Sự chia Hoàng Kim. Ông này đã khẳng định rằng tỷ lệ vàng hiện diện nổi bật trong thiết kế ngôi đền, và nói: “Việc nhấn mạnh vào chủ đề hình ngũ giác đã nói lên một cách thích đáng cho niềm tin rằng, sau khi băng hà, nhà vua trở thành một vì sao”.
Mặc dù nghe hấp dẫn thật, song nhà nghiên cứu Livio vẫn cho rằng các phân tích ấy thiếu thuyết phục, một mặt, các đường nét được xem là minh chứng cho tỷ lệ vàng đã bị vạch ở những chỗ hoàn toàn có chủ ý, mặt khác, theo Livio, thật khiên cưỡng khi diễn giải sơ đồ có dạng nguyên thủy cơ bản là hình chữ nhật thành hình ngũ giác.
Tình hình đối với lăng mộ của Petrosiris cũng tương tự. Ngôi mộ này không xưa bằng đền Osirion, vì chỉ xuất hiện từ năm 300 TCN. Vào thời kỳ này, người Hi Lạp đã biết đến tỷ lệ vàng rồi. Đối với lăng mộ này, Lawlos cũng khẳng định Tỷ lệ vàng đã được ứng dụng trong việc xây dựng cấu trúc của nó. Ông kết luận như vậy là dựa vào hai phân tích hình học của một phù điêu trên bức tường phía Đông. Thế nhưng những phân tích hình học đó cũng đầy khiên cưỡng và tùy tiện. Vì vậy, Livio cho rằng việc áp dụng Tỷ lệ vàng trong kiến trúc của ngôi mộ là điều rất khó tin.
Trong số những kim tự tháp Ai Cập thì kim tự tháp Khuphu là hùng vĩ nhất. Nó xuất hiện vào khoảng giữa thiên niên kỷ III TCN. Vài nhà cuồng tín đã ra sức biện minh rằng các nhà thông thái thời đó đã chủ động đưa Tỷ lệ vàng vào việc tạo dáng kiến trúc cho kim tự tháp Khufu. Thế nhưng những lập luận gượng ép và những bằng cớ không phù hợp với kích thước thực tế cũng hầu như không thuyết phục được ai.
Khi nghiên cứu những phiến đất có ký tự hình nêm từ thiên niên kỷ II TCN (được khai quật ở Susa, Iran ngày nay), người ta gần như chắc chắn rằng người Babylon thuộc triều đại thứ nhất đã biết cách tính gần đúng diện tích hình ngũ giác (đường chéo chia cho cạnh của nó bằng ). Phiến đất sét Susa có ghi: “140, hằng của ngũ diện”. Vì người Babylon sử dụng hệ đếm 60 nên “1   40” phải được hiểu theo hệ thập phân là , và câu trên có nghĩa: “1,666…, cho diện tích của hình ngũ giác” (thật ra diện tích của hình ngũ giác có cạnh bằng 1 đơn vị dài là 1,720). Người Babylon cho rằng chu vi của bất kỳ hình đa giác đền nào cũng bằng 6 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp nó và suy ra trị của số “pi” () là:
                 
Mặc dù đã có những khám phá quan trọng trong lĩnh vực toán học nhưng vẫn chưa có chút bằng chứng nào cho thấy người Babylon cổ đã biết đến Tỷ lệ vàng.
Có thể rằng các nền văn minh Á Đông cổ đại đã có lúc động chạm đến tính vô ước nhưng không thể nhận thức được “sự kỳ quái” (cũng như tầm quan trọng) của nó nên đã chối bỏ, không thừa nhận sự tồn tại của nó. Điều này có thể tin được vì đến ngay trường phái Pitago, trong thời đại muộn hơn rất nhiều và cũng có một tri thức toán học cao hơn nhiều, khi phát hiện ra tính vô ước đã phải sửng sốt, khiếp đảm như thế nào. Có lẽ quan điểm cho rằng Tỷ lệ vàng là do những người trong hội phái Pitago, mà cụ thể là nhà toán học Hippasus, phát hiện ra, là hợp lý hơn cả.
Gớt (Goethe), nhà thơ nổi tiếng người Đức từng nói: “Trong số tất cả các dân tộc, chính người Hy Lạp mới mơ giấc mơ của cuộc đời một cách tốt nhất”. Câu nói đó nhằm ca ngợi niềm say mê khoa học và sự nỗ lực nhận thức thế giới bao trùm lên xã hội Hy Lạp cổ đại suốt mấy trăm năm. Tri thức nhiều mặt mà người Hy Lạp cổ đại phát hiện thật vĩ đại. Nhất là về toán học và chỉ riêng hình học thôi, trong vòng 400 năm, từ thời Talét (Thales, khoảng năm 600 TCN) đến “Nhà hình học vĩ đại” Apolông (Apollonius, khoảng năm 200 TCN), họ đã hòan thành những cốt yếu về lý thuyết của nó. Nhân loại lớp hậu thế đã được thừa hưởng những thành tựu, những công trình xuất sắc đến tuyệt vời của người Hy Lạp cổ đại và đời đời phải nhớ ơn họ.
Vào thời Platon, chương trình giáo dục của các chính khách là bao gồm số học, hình học, hình học lập thể, thiên văn, âm nhạc, và tất cả những môn đó, theo lời Archytan, đều được gọi là “Toán học”. Theo truyền thuyết, khi Alexandre Đại Đế đến, hỏi thầy dạy của ông là Menaechmus (người được xem là đã khám phá ra đường cong elip, parabol và hyberbol): có cách nào vắn tắt để học hình học không, thì vị thầy này đáp: “Thưa Đức vua, muốn chu du khắp lãnh thổ, ta có đường dành cho vua chúa và đường dành cho dân dã, nhưng trong lĩnh vực hình học thì chỉ có một con đường chung cho tất cả”
Người ta nói rằng Platon đã học toán từ môn đồ của Pitago là Thedorus, người đầu tiên chứng minh không chỉ mà cho đến cũng đều là vô tỷ. Có thể thấy rằng, phần lớn nền tảng dẫn đến việc định nghĩa và tìm hiểu Tỷ lệ vàng đã được thực hiện suốt thời kỳ trước khi Platon khai trương trường học Academy năm 386 TCN và tiếp tục được nghiên cứu suốt thời kỳ hoạt động của trường Academy mà gương mặt chủ chốt đứng sau vấn đề này có thể là Theodorus.
Trong một chừng mực nào đó, Platon được xem như một nhà lý thuyết thực sự. Có lẽ sự dìu dắt của Platon là quan trọng hơn nhiều so với những đóng góp trực tiếp của ông đối với toán học. Một bản văn được cho là của Philodemus ở thế kỷ I, có đọan: “Tiến bộ lớn lao về toán học (đạt được) trong thời kỳ đó, với Platon là người chỉ đạo và ra đề, còn các nhà toán học thì miệt mài nghiên cứu”.
Dù sao thì bản thân Platon chắc chắn cũng quan tâm rất nhiều đến tính chất của các con số và các hình hình học. Tuy nhiên, có thể là chịu ảnh hưởng sâu sắc bởi quan niệm của trường phái Pitago, ông thường gắn liền những đặc trưng toán học với những hiện tượng tự nhiên - xã hội. Chẳng hạn Platon cho rằng dân số lý tưởng của một quốc gia là 5.040. Hay ông coi 216 là một số quan trọng, bởi vì theo ông, nó là kết quả của 6 mũ 3, mà 6 là số tượng trưng cho hôn nhân (là tích của số đực - số 3, và số cái, số 2), hơn nữa 216 còn là tổng lập phương của 3, 4, 5 mà 3, 4, 5 lại là cạnh của tam giác vuông nguyên nhỏ nhất.
Chắc chắn Platon cũng trực tiếp quan tâm đến Cách cắt Hoàng kim. Platon đã có lần nhấn mạnh rằng nếu một con số chẵn có thể là tổng của hai số chẵn hoặc hai số lẻ, thì tổng cũa hai số vô tỷ cũng có thể là vô tỷ hoặc hữu tỷ.
Trong một tác phẩm của mình (cuốn “Timaeun”), Platon tự nhận lấy nhiệm vụ nặng nề là thảo luận về nguồn gốc và chuyển động Vũ Trụ. Đặc biệt, ông đã sử dụng 5 khối đa diện để thử giải thích cấu trúc vật chất, điều mà trường phái Pitago đã từng tìm hiểu ít nhiều. Platon đã đưa ra 5 loại khối đa diện mà sau này được gọi là “những khối Platon (xem hình 3), được phân biệt theo các thuộc tính: chúng là những hình khối có các mặt giống nhau và các cạnh bằng nhau và mỗi khối đều nội tiếp trong hình cầu.
Platon đã dựa theo quan niệm của Empedocle (cho rằng Vũ Trụ được xây dựng trên 4 yếu tố vật chất là đất, nước, không khí, lửa) để giải thích cho những khối đa diện của ông. Theo Platon, yếu tố đất liên hệ với khối lập phương vững chãi, trong khi tính chất “sắc sảo” của lửa lại phù hợp với khối tứ diện có mũi nhọn, còn gió thì giống như dáng vẻ “linh động” của khối tám mặt, khối đa điện 20 mặt “long lanh” muôn hình vạn trạng thì biểu trưng cho nước, cuối cùng là khối 12 mặt ngũ giác được Platon gán cho toàn thể Vũ Trụ mà theo cách nói của ông là “Thượng đế dùng để đính các chòm sao trên toàn bộ bầu trời”. Platon cho rằng, các hiện tượng phức tạp ta nhìn thấy trong Vũ Trụ thật ra không mấy quan trọng, mà điều thực sự nền móng chính là các đối xứng cơ bản, chúng không bao giờ thay đổi (đây là cảm nhận thiên tài của Platon!).
Hình 3
Tỷ lệ vàng đóng vai trò chủ chốt trong các kích thước và tính chất đối xứng của vài khối Platon. Khối 12 mặt có độ dài cạnh là 1 sẽ có tổng diện tích bằng và có thể tích là . Tương tự, khối 20 mặt có cạnh là 1 đơn vị sẽ có thể tích là .
Tính đối xứng của các khối Platon đưa đến nhiều những biểu hiện thú vị. Chẳng hạn khối lập phương và khối 8 mặt có cùng số cạnh là 12, nhưng trong khi khối lập phương có 6 mặt và 8 đỉnh thì khối 8 mặt có 8 mặt và 6 đỉnh. Trường hợp này cũng xảy ra đối với khối 12 mặt và khối 20 mặt. Nếu kết nối tâm điểm của tất cả các mặt ở khối lập phương, ta sẽ được một khối 8 mặt (xem hình 4). Nếu kết nối tâm điểm các mặt của khối 8 mặt, sẽ làm xuất hiện một khối lập phương…
Còn rất nhiều những biểu hiện liên quan mật thiết với Tỷ lệ vàng đối với các khối Platon nữa, song chúng ta không nói tiếp về chúng vì phía trước còn những điều hết sức kỳ lạ của Tỷ lệ vàng mà chúng ta không thể không nói tới, trong khuôn khổ thời gian cho phép mà chúng ta đành phải hạn định để “nhường” cho cuộc hành trình “đi tìm cái gì đó” chưa đâu vào đâu cả.
(Còn tiếp) 
-----------------------------------------------------------


vào lúc
Nhãn:

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)